ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΠΑΝΣΗΣ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΠΑΝΣΗΣ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΟΝΤΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΚΟΝΤΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΗΣ 2004

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΠΑΝΣΗΣ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΟΝΤΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΚΟΝΤΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ επιβλέπων καθηγητής Κ.Λ.Κατσιφαράκης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΗΣ 2004

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέσα στην πληθώρα προβλημάτων ρύπανσης που καλείται να αντιμετωπίσει ο άνθρωπος τις τελευταίες δεκαετίες, ως απόρροια της απερίσκεπτης και άπληστης ανάπτυξης του πολιτισμένου δυτικού κόσμου, περιλαμβάνεται και το πρόβλημα της ρύπανσης υπόγειων υδροφορέων. Ειδικά στην Ελλάδα, πηγές μόλυνσης αποτελούν οι διάφορες βιομηχανικές μονάδες με τα επικίνδυνα απόβλητά τους και η αλόγιστη χρήση φυτοφαρμάκων, ζιζανιοκτόνων και άλλων αγροτικής χρήσης σκευασμάτων, συνήθως τοξικών. Συχνό είναι και το φαινόμενο, ιδίως στο παρελθόν, μόλυνσης υπόγειων υδάτων από Χώρους Υγειονομικής Ταφής Απορριμμάτων (χωματερές) στους οποίους δεν είχαν προβλεφθεί μέτρα πρόληψης. Ιδιαίτερη σημασία έχει η αντιμετώπιση τέτοιων καταστάσεων όταν εκδηλώνονται κοντά σε οικισμούς που υδρεύονται από τους εν λόγω υδροφορείς. Και επειδή αντικείμενο του μηχανικού-μελετητή δεν είναι μόνο τα έργα ανάπτυξης ή και πρόληψης αλλά και αντιμετώπισης καταστάσεων τέτοιας μορφής έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι, αν όχι πλήρους αποκατάστασης, τουλάχιστον άμβλυνσης των συνεπειών στους ανθρώπους και το περιβάλλον. Οι μέθοδοι είναι πολλές και ποικίλλουν, συχνά όμως απαιτείται η αρκετά αντιοικονομική αλλά πολλές φορές επιβεβλημένη λύση της χρήσης συστήματος πηγαδιών άντλησης για περιορισμό της εξάπλωσης κηλίδων ρύπανσης. Το πρόβλημα ουσιαστικά έγκειται στην κατάλληλη επιλογή της θέσης και της παροχής των τοποθετούμενων πηγαδιών ώστε να υπάρχει ικανοποιητική σχέση κόστους-αποτελέσματος. Καταλήγουμε στην ανάγκη επίλυσης μη γραμμικού προβλήματος με μεγάλο πεδίο λύσεων. Η ακριβής επίλυση τέτοιων προβλημάτων μέχρι πριν μερικά χρόνια ήταν πολύ δύσκολη και χρονοβόρα αν όχι αδύνατη. Εκεί όμως όπου η αναλυτική μέθοδος αδυνατούσε ήρθε η χρήση των Γενετικών Αλγορίθμων να δώσει τη λύση, μία μέθοδος που βασίζεται στις αρχές της εξέλιξης και της φυσικής επιλογής που εισήγαγε ο Δαρβίνος. Η χρήση των γενετικών αλγορίθμων είναι πλέον ευρύτατα διαδεδομένη σε όλο το επιστημονικό φάσμα, αποδεικνύοντας την αξία τους σε δύσκολα προβλήματα βελτιστοποίησης, ιδίως όταν το πεδίο λύσεων είναι εκτεταμένο και παρουσιάζει πολλά ακρότατα. Στην υδραυλική των υπογείων ροών, η εφαρμογή τους βρίσκει εύφορο έδαφος σε πολύπλοκα προβλήματα, σχετιζόμενα με τον προσδιορισμό υδραυλικών παραμέτρων, όπου η αναλυτική λύση είναι αδύνατη. 2

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα διπλωματική εργασία στόχος είναι η βελτιστοποίηση ενός προβλήματος άντλησης (με δεδομένο αριθμό πηγαδιών) από έναν υδροφορέα περιοχές του οποίου καλύπτονται από κηλίδες μόλυνσης που εξαπλώνονται προς γεωτρήσεις πόσιμου νερού. Η βελτιστοποίηση γίνεται με τη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων και με την κατάστρωση κατάλληλου υπολογιστικού κώδικα σε γλώσσα προγραμματισμού Qbasic. 3

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΡΥΠΑΝΣΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΥΔΡΟΦΟΡΕΩΝ 2. ΡΥΠΑΝΣΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΥΔΡΟΦΟΡΕΩΝ Η βελτίωση της ποιότητας της ζωής στον 20 ο αιώνα ισοδυναμούσε με την κατασπατάληση κάθε είδους φυσικού πόρου, καθώς και μια γενικότερη υποβάθμιση του περιβάλλοντος. Ο επιστημονικά και τεχνολογικά αρτιότατα καταρτισμένος άνθρωπος φαίνεται τραγικά απαίδευτος σε περιβαντολλογικά θέματα. Έτσι ένα από τα προβλήματα που δημιουργήθηκαν είναι και αυτό της μόλυνσης των υδάτων (επιφανειακών και υπόγειων). Η προστασία και η αποκατάσταση των υπόγειων υδροφορέων αλλά και γενικά των υδάτων αποτελεί πλέον βασική επιδίωξη προκειμένου να καταστεί αναστρέψιμη η επικρατούσα κατάσταση που έχει να κάνει με την ποιότητα τόσο των υδάτων αλλά και του περιβάλλοντος γενικότερα. Τόσο τα επιφανειακά ύδατα όσο και οι υπόγειοι υδροφορείς έχουν μετατραπεί σε αποδέκτες χημικών ουσιών και αποβλήτων κάθε είδους: Διασταλάζοντα υγρά από πρόχειρους χώρους υγειονομικής ταφής απορριμμάτων, αντιβιοτικά, απορρυπαντικά, ανόργανα μεταλλικά στοιχεία και βαριά μέταλλα όπως χαλκός, μόλυβδος, ψευδάργυρος, χρώμιο, αρσενικό από χημικές βιομηχανίες και μηχανουργεία. Τέλος υπάρχει η μόλυνση από ραδιενεργά απόβλητα των πυρηνικών σταθμών Όλοι αυτοί οι ρίποι προκαλούν την συνεχόμενη υποβάθμιση της ποιότητας του νερού αλλά και ολόκληρου του ευρύτερου περιβάλλοντος δεχόμενοι ότι το νερό αποτελεί πηγή ζωής για ολόκληρο το οικοσύστημα. Το κλίμα στις μέρες μας φαίνεται να έχει αλλάξει σε ότι αφορά τον περιβαλλοντικό σχεδιασμό. Ο δείκτης ανάπτυξης πλέον έχει αρχίσει να συνδέεται με την αποκατάσταση και την προστασία του φυσικού πλούτου. Το ζήτημα της ποιότητας του νερού απασχολεί την Ευρώπη εδώ και μια τριαντακονταετία. Από το 1975 εκδίδονται κοινοτικές οδηγίες και αποφάσεις κυρίως υπό το φόβο της συνεχούς και ανεξέλεγκτης μόλυνσης του νερού από τοξικά απόβλητα και γεωργικά φάρμακα. Τον Οκτώβρη του 2000 το Ευρωπαϊκό συμβούλιο και το συμβούλιο της ευρωπαϊκής ένωσης υπό την αρχή ότι το νερό δεν είναι εμπορικό προϊόν και κρίνοντας απαραίτητη την ύπαρξη κοινοτικής νομοθεσίας που θα καλύπτει την οικολογική ποιότητα συνέταξε την οδηγία αυτή. Σκοπός της οδηγίας αυτής είναι η θέσπιση πλαισίου για την προστασία των εσωτερικών, επιφανειακών, μεταβατικών, παράκτιων και των υπόγειων υδάτων. Για την επίτευξη του σκοπού αυτού τίθενται οι παρακάτω άξονες σκεπτικού και δράσης: 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΡΥΠΑΝΣΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΥΔΡΟΦΟΡΕΩΝ Στοιχειοθέτηση ορολογίας η οποία και αναλύεται στην οδηγία και στόχο έχει την κοινή ευρωπαϊκή δράση. Χαρτογράφηση και καταγραφή κάθε υδρογραφικής λεκάνης σε εθνικό επίπεδο, καθώς και όλων των περιοχών που κείνται στο εσωτερικό της κάθε λεκάνης. Ενιαία ποσοτική και ποιοτική διάσταση του νερού η οποία και είναι απαραίτητη για την παρακολούθηση, τον έλεγχο και το σχεδιασμό της διαχείρισης. Διαχείριση με τη βοήθεια σχεδίων που υδρολογικής λεκάνης γίνονται σε επίπεδο Η αρχή ανάκτησης κόστους τίθεται σε ισχύ και αποτελεί βασική αρχή του σχεδιασμού δράσης. Συνειδητοποιώντας λοιπόν σύσσωμη η παγκόσμια κοινότητα πως η διατήρησης της ποιότητας του νερού και γενικά των υδατικών πόρων είναι θέμα επιβίωσης, κινητοποιείται για την αποκατάσταση της ποιότητας αυτής. Οργανώνονται συνέδρια με θέμα την διαχείριση διακρατικών υδάτων, στήνονται περιβαλλοντικές επιτροπές, δημιουργούνται σχέδια νόμου. Ένα τέτοιο ζήτημα, όπως οι υδατικοί πόροι, το οποίο από το παρελθόν γνωρίζουμε ότι είναι ικανό να κατατάξει ένα κράτος στα πλούσια ή στα φτωχά, στα ανεπτυγμένα ή στα υπό ανάπτυξη, δε μπορεί παρά να απαιτεί συνολική παγκόσμια αντιμετώπιση με βάση την άποψη ότι το νερό ανήκει σε όλους και σε κανένα. 5

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3. Γενετικοί αλγόριθμοι 3.1 Εισαγωγικά στοιχεία Tο ενδιαφέρον για τους αλγόριθμους που βασίζονται στις γενετικές διαδικασίες έχει αυξηθεί κατά τη διάρκεια των τεσσάρων τελευταίων δεκαετιών. Η ταχεία ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει δώσει τεράστια σημασία σε αυτούς τους αλγόριθμους. Το ξεκίνημα των γενετικών αλγόριθμων μπορεί να εντοπιστεί στις αρχές της δεκαετίας του '50, όταν αρκετοί βιολόγοι χρησιμοποίησαν υπολογιστές για την προσομοίωση βιολογικών συστημάτων. Παρ' όλα αυτά οι γενετικοί αλγόριθμοι πήραν τη σημερινή τους μορφή από την εργασία που έγινε στα τέλη της δεκαετίας του '60 και στις αρχές του '70 στο πανεπιστήμιο του Michigan υπό τις οδηγίες του John Holland. Ευρέως γνωστοί και δημοφιλείς γίνανε μέσω της δουλειάς ενός από τους φοιτητές του Holland του David Goldberg, ο οποίος χρησιμοποίησε επιτυχώς τους γενετικούς αλγόριθμους στην επίλυση ενός προβλήματος σχετικά με την μεταφορά φυσικού αερίου μέσω αγωγών. Για το θεωρητικό υπόβαθρο και τις εφαρμογές των γενετικών αλγορίθμων υπάρχουν εκτεταμένα ειδικά συγγράμματα, όπως του Goldberg (1989), του Michalewich (1994) και των Dasgupta και Michalewich (1997). Ο σκοπός της έρευνας από την οποία τελικά προέκυψαν οι γενετικοί αλγόριθμοι ήταν διπλός: 1. Εξήγηση της προσαρμοστικότητας που επιδεικνύουν τα φυσικά συστήματα στο συνεχώς μεταβαλλόμενο περιβάλλον τους. 2. Σχεδιασμός λογισμικού για τεχνητά συστήματα, τα οποία διατηρούν μηχανισμούς αντίστοιχους με εκείνους των φυσικών συστημάτων. Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι ένα μαθηματικό εργαλείο με ευρύ πεδίο εφαρμογής που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αρκετά επιστημονικά πεδία. Μιμούμενοι τη βιολογική διαδικασία της φυσικής επιλογής, εφαρμόζονται σε εκείνα τα συστήματα στα οποία δρα ένα σύνολο οντοτήτων που μπορούν να μεταβάλλονται και να αξιολογούνται, με στόχο την εξέλιξη και τη βελτίωση αυτών των συστημάτων. Η αξία της μεθόδου έγκειται στην απλότητα των υπολογισμών και στην ικανότητα της να εφαρμόζεται αποτελεσματικά. 6

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3.2 Σύντομη παρουσίαση της εξελικτικής θεωρίας Προκειμένου να γίνουν πιο κατανοητά η κατασκευή, η εφαρμογή και η ορολογία των γενετικών αλγορίθμων κρίνεται απαραίτητη μια σύντομη ανασκόπηση των βασικών αρχών της εξελικτικής θεωρίας ή αλλιώς της θεωρίας της φυσικής επιλογής. Η θεμελιώδης αρχή της φυσικής επιλογής ως του κυριότερου παράγοντα της εξέλιξης διατυπώθηκε το 1859 από τον Δαρβίνο με την δημοσίευση του έργου του "Η καταγωγή των ειδών". Η θεωρία του βασιζόταν σε τέσσερις βασικές παραδοχές: α. Ένας απόγονος έχει πολλά χαρακτηριστικά των γονέων του. β. Υπάρχει ποικιλία χαρακτηριστικών μεταξύ των διάφορων ατόμων τα οποία μπορούν να μεταβιβαστούν από την μια γενιά στην άλλη. γ. Μόνο ένα μικρό ποσοστό των απογόνων επιβιώνει. δ. Η επιβίωση των απογόνων εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά που έχουν κληρονομήσει. Σύμφωνα με την θεωρία, από ένα πληθυσμό έμβιων όντων επιζούν και αναπαράγονται στις επόμενες γενιές αυτά τα οποία εν δυνάμει, με βάση τον νόμο των πιθανοτήτων, μπορούν αντεπεξέλθουν στις δυσκολίες και τις αντιξοότητες του περιβάλλοντος (επιβίωση στο χώρο) αλλά και του βίου τους (επιβίωση στο χρόνο). Η πολυπλοκότητα των σχέσεων όλων των οργανισμών, μεταξύ τους και με τις εναλλασσόμενες συνθήκες ζωής οι οποίες χαρακτηρίζονται από έντονη μεταβλητότητα, προκαλεί μια ατελείωτη ποικιλία στη δομή, στη σύσταση και τις συνήθειες αυτών των οργανισμών. Κάθε τυχαία μεταβολή (μετάλλαξη) που θα είναι ωφέλιμη στην οντότητα στην οποία θα παρουσιαστεί και θα έχει θετικό αποτέλεσμα στον αγώνα της για επιβίωση, θα αποτελεί πλεονέκτημα που θα τείνει να μεταβιβαστεί στους απογόνους της βάσει της κληρονομικότητας. Η επόμενη γενιά θα περιλαμβάνει περισσότερα άτομα με το συγκεκριμένο πλεονέκτημα (της επιβίωσης), αφού τα άτομα που επιβιώνουν δίνουν απογόνους, σε αντίθεση με όσα χάνονται στον αγώνα για τη ζωή. Έτσι, η φυσική επιλογή δρα σαν κινητήρια δύναμη για την εξέλιξη και τη βελτίωση των ειδών. Στα ίδια συμπεράσματα κατέληξε ο A. R. Wallace εργαζόμενος παράλληλα αλλά ανεξάρτητα από τον Δαρβίνο. To 1865, o G. Mendel ανακάλυψε τις βασικές αρχές της μεταφοράς των κληρονομικών παραγόντων από γενιά σε γενιά βάζοντας τα θεμέλια για την ανάπτυξη της γενετικής. Οι νόμοι του Mendel έγιναν γνωστοί στην 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ επιστημονική κοινότητα αφού ανακαλύφτηκαν ξανά και ανεξάρτητα το 1900 από τους Η. de Vries, Κ. Correns και Κ. Von Tschermak. Η γενετική αναπτύχθηκε πλήρως από τον Τ. Morgan και τους συνεργάτες του, οι οποίοι απέδειξαν πειραματικά ότι τα χρωμοσώματα είναι οι κύριοι φορείς των κληρονομούμενων πληροφοριών και ότι τα γονίδια, που απαρτίζουν τα χρωμοσώματα, είναι οι βασικές μονάδες κληρονομικότητας. Αργότερα, πειράματα απέδειξαν την ισχύ των μεντελικών νόμων για όλους τους αμφιγονικά αναπαραγόμενους οργανισμούς. Οι νόμοι του Mendel και η θεωρία της φυσικής επιλογής του Δαρβίνου για αρκετά χρόνια παρέμεναν ανεξάρτητες και μη συνδεμένες έννοιες. Μόλις το 1920 αποδείχθηκε ότι οι δύο θεωρίες δεν είναι αντικρουόμενες αλλά ο συνδυασμός τους μας παρέχει την σύγχρονη εξελικτική θεωρία. Έτσι, η θεωρία της εξέλιξης μέσα από το πρίσμα της γενετικής προσφέρει μια πληρέστερη κατανόηση της διαδικασίας της φυσικής επιλογής και εξαιτίας αυτού του γεγονότος μπορούν να διατυπωθούν με μεγαλύτερη σαφήνεια οι κινητήριες δυνάμεις της εξέλιξης που υφίσταται ένας πληθυσμός: α. Είναι πιθανό να συμβούν μεταλλάξεις, δηλαδή τυχαίες αλλαγές στα χαρακτηριστικά ενός γονιδίου. Αυτές οι αλλαγές μπορεί να κληρονομηθούν από τους απογόνους και συμβαίνουν είτε αυθόρμητα, είτε λόγω εξωτερικών παραγόντων, όπως η έκθεση σε περιβαλλοντικούς παράγοντες. β. Οι γενετικές διαδικασίες μπορούν να επιφέρουν εισαγωγή νέων ατόμων στον αναπαραγόμενο πληθυσμό. γ. Οι γενετικές διαδικασίες μπορούν να συμβούν αποκλειστικά με γνώμονα την τύχη. δ. Βάση της φυσικής επιλογής οργανισμοί με μεγαλύτερη προσαρμοστικότητα έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα αναπαραγωγής. 8

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3.3 Ορολογία των Γενετικών Αλγορίθμων Για την κατανόηση της μεθόδου των γενετικών αλγορίθμων κρίνεται σκόπιμη η παράθεση της ορολογίας τους που είναι εμπνευσμένη από την θεωρία της φυσικής επιλογής. Έτσι, αρχικά με το όνομα "άτομο" (individual) ή "δομή" (structure) ορίζεται αυτό που στα φυσικά συστήματα αναφέρεται ως "γονότυπος" (genotype) ο οποίος ουσιαστικά είναι το σύνολο των χρωμοσωμάτων (chromosomes) ενός ατόμου. Στους γενετικούς αλγόριθμους κάθε άτομο θεωρείται ότι αποτελείται από ένα μόνο χρωμόσωμα ή "συμβολοσειρά" (string). Τα χρωμοσώματα αποτελούνται από διατεταγμένες μονάδες, τα "γονίδια", (genes) ή αλλιώς "χαρακτηριστικά" (feature) τα οποία στα φυσικά συστήματα ελέγχουν την κληροδότηση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών. Κάθε γονότυπος παριστάνει μία δυνατή λύση του προβλήματος. Στα φυσικά συστήματα ο οργανισμός που προκύπτει από την αλληλεπίδραση των γονότυπων ονομάζεται φαινότυπος. Αντίστοιχα, το αποτέλεσμα του συνδυασμού των συμβολοσειρών παράγει πιθανές λύσεις (solutions). Η εφαρμογή της εξελικτικής διαδικασίας σε ένα πληθυσμό χρωμοσωμάτων αντιστοιχεί με την εξερεύνηση των πιθανών λύσεων σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης. Οι βασικές γενετικές λειτουργίες είναι η διασταύρωση (crossover), γνωστή ως επιχισμός στην ορολογία των γενετικών συστημάτων και η μετάλλαξη (mutation). Η διασταύρωση αφορά στην ανταλλαγή ολόκληρων τμημάτων της συμβολοσειράς μεταξύ δύο ατόμων, ενώ η μετάλλαξη στην αλλαγή της τιμής ενός ή περισσοτέρων χαρακτηριστικών. 9

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3.4 Ανατομία ενός προγράμματος Γενετικών Αλγορίθμων Κάθε γενετικός αλγόριθμος αποτελείται από πέντε βασικά βήματα, ανεξάρτητα από τη φύση ή την ιδιαιτερότητα των προβλημάτων που αντιμετωπίζονται: 1. Γενετική αναπαράσταση των πιθανών λύσεων του προβλήματος. 2. Μέθοδο δημιουργίας αρχικού πληθυσμού πιθανών λύσεων. 3. Συνάρτηση αξιολόγησης η οποία διαδραματίζει το ρόλο του περιβάλλοντος αξιολογώντας τις λύσεις με κριτήριο την προσαρμοστικότητας τους. 4. Γενετικές λειτουργίες οι οποίες μεταβάλλουν τη σύνθεση των απογόνων. 5. Τιμές για τις διάφορες παραμέτρους που χρησιμοποιεί ένας γενετικός αλγόριθμος όπως το μέγεθος του πληθυσμού και οι πιθανότητες εφαρμογής των γενετικών λειτουργιών Γενετική αναπαράσταση Οι παράμετροι προς βελτιστοποίηση παριστάνονται συνήθως με μορφή συμβολοσειράς προκειμένου να προσαρμοστούν πιο εύκολα οι γενετικές διαδικασίες. Ο τρόπος αναπαράστασης παίζει σημαντικό ρόλο στην ακρίβεια και στον χρόνο υπολογισμού ενός γενετικού αλγορίθμου. Ο συνήθης τρόπος αναπαράστασης είναι ο δυαδικός, δηλαδή συμβολοσειρές αποτελούμενες από δύο στοιχεία, το 0 και το 1. Ο αριθμός των συμβόλων της σειράς ονομάζεται μήκος της συμβολοσειράς. Η αναπαράσταση μπορεί να γίνει επίσης χρησιμοποιώντας διάνυσμα ακέραιων ή πραγματικών αριθμών, με κάθε ακέραιο ή πραγματικό αριθμό να αντιπροσωπεύει μια παράμετρο. Όταν χρησιμοποιείται δυαδικός αριθμός για την γενετική αναπαράσταση, είναι σημαντικό να αποφασιστεί ο σωστός αριθμός συμβόλων που χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση των παραμέτρων προς βελτιστοποίηση, έτσι ώστε να καλύπτονται όλες οι πιθανές λύσεις. Σε περίπτωση που χρησιμοποιηθούν λιγότερα ή περισσότερα σύμβολα η απόδοση του γενετικού αλγορίθμου μπορεί να επηρεαστεί αρνητικά. Μία σημαντική παρατήρηση στους δυαδικούς γενετικούς αλγορίθμους είναι ότι τα χρωμοσώματα, όταν αποκωδικοποιηθούν στο δεκαδικό σύστημα, παίρνουν καταρχήν ακέραια τιμή. Αν οι μεταβλητές του μοντέλου είναι 10

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ δεκαδικοί αριθμοί, όπως είναι η γενική περίπτωση, τότε απαιτείται μία αρχική παραδοχή για την απαιτούμενη ακρίβεια ώστε να εκτιμηθεί σωστά το ανώτερο όριο της τιμής τους και επομένως του μήκους της αλυσίδας των γονιδίων Δημιουργία αρχικού πληθυσμού Στην αρχή της διαδικασίας βελτιστοποίησης, οι γενετικοί αλγόριθμοι απαιτούν ένα σύνολο αρχικών λύσεων. Αυτό μπορεί να γίνει είτε δημιουργώντας τυχαίες λύσεις με μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών είτε ξεκινώντας την διαδικασία βελτιστοποίησης με προσεγγιστικές τιμές κοντά στην βέλτιστη τιμή. Ο πρώτος τρόπος χρησιμοποιείται σε προβλήματα όπου δεν είναι γνωστή από πριν η περιοχή όπου εμφανίζεται η βέλτιστη λύση ή όταν πρόκειται να ελεγχθεί η απόδοση ενός γενετικού αλγορίθμου. Ο δεύτερος τρόπος προϋποθέτει γνώση της περιοχής της βέλτιστης λύσης και αφού εφαρμοστεί οδηγεί στην βέλτιστή λύση σε λιγότερο χρόνο Συνάρτηση αξιολόγησης Η συνάρτηση αξιολόγησης διαδραματίζει τον ρόλο του περιβάλλοντος αξιολογώντας τις λύσεις με κριτήριο την προσαρμοστικότητά τους. Το ίδιο ισχύει και για τους περιορισμούς του προβλήματος. Όταν οι περιορισμοί είναι κρίσιμοι και δεν επιτρέπεται να παραβιαστούν, μπορεί με κατάλληλο σχεδιασμό είτε να απορρίπτονται οι λύσεις που παραβιάζουν τους περιορισμούς από την αρχή είτε να παίρνουν μία ποινή στη βαθμολογία τους, η οποία καθορίζεται σε σχέση με την απόκλιση που παρουσιάζει ο αντίστοιχος περιορισμός που δεν ικανοποιείται και από τον αριθμό των μη ικανοποιούμενων περιορισμών. Επομένως τα χρωμοσώματα θα αναπαράγονται ή θα απορρίπτονται με ένα επί πλέον κριτήριο βιωσιμότητας, αυτό της ικανοποίησης των περιορισμών Γενετικές διαδικασίες Οι κυριότερες γενετικές διαδικασίες είναι η επιλογή, η διασταύρωση και η μετάλλαξη. Συχνά χρησιμοποιούνται και άλλες διαδικασίες με συνηθέστερη αυτή της αντιμετάθεσης που χρησιμοποιείται και στην παρούσα εργασία. Οι διαδικασίες αυτές μιμούνται τη φύση, ενώ στη βιβλιογραφία συναντώνται διάφορες εκδοχές τους. Να σημειωθεί πως δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν όλες οι διαδικασίες σε ένα γενετικό αλγόριθμο καθώς 11

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ κάθε μία δρα ανεξάρτητα από τις άλλες. Η επιλογή και ο σχεδιασμός των διαδικασιών εξαρτάται από το πρόβλημα και τον τρόπο αναπαράστασης. α. Επιλογή Ένα είδος καταλαμβάνει σε μια περιοχή μια συγκεκριμένη έκταση ανάλογα με τα άλλα ανταγωνιστικά είδη που είναι εγκατεστημένα στην ίδια περιοχή. Αποτελείται από έναν αριθμό ατόμων τα οποία, πολλαπλασιαζόμενα εκθετικά, δρουν μεταξύ τους επίσης ανταγωνιστικά προσπαθώντας να καταλάβουν όσο το δυνατό μεγαλύτερο χώρο στην επικράτεια τους. Όταν οι απαιτούμενοι για την ύπαρξη τους πόροι δεν θα είναι πλέον επαρκείς ο ρυθμός ανάπτυξης τους θα μειωθεί, επιφέροντας κατά κάποιο τρόπο ισορροπία στον αριθμό του αναπαραγόμενου πληθυσμού, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη έντονου ανταγωνισμού μεταξύ των ατόμων για την εξασφάλιση της ζωής. Η φυσική επιλογή θα ενεργήσει έτσι ώστε τα πιο εύρωστα άτομα να επιβιώσουν και να μεταβιβάσουν το πλεονέκτημα της ευρωστίας τους στους απογόνους τους. Αν θεωρηθεί ότι ο πληθυσμός θα παραμείνει ίδιος στην επόμενη γενιά, θα είναι ωστόσο στο σύνολο του "βελτιωμένος", αφού θα περιλαμβάνει περισσότερα άτομα εφοδιασμένα με το πλεονέκτημα της προσαρμογής. Ο στόχος της διαδικασίας της επιλογής είναι να αναπαράγει περισσότερα αντίγραφα των ατόμων των οποίων οι τιμές αξιολόγησης είναι υψηλότερες από εκείνες των οποίων οι τιμές είναι χαμηλές. Η διαδικασία της επιλογής παίζει σημαντικό ρόλο για να οδηγηθεί η αναζήτηση προς μια ευνοϊκή περιοχή και για την εύρεση των βέλτιστων λύσεων σε σύντομο χρονικό διάστημα. Εντούτοις, η ποικιλομορφία του πληθυσμού πρέπει να διατηρηθεί για να αποφευχθεί η πρόωρη τοπική σύγκλιση και για να φθάσει στη ολική βέλτιστη λύση. Στους γενετικούς αλγορίθμους εμφανίζονται κυρίως δύο διαδικασίες επιλογής: η επιλογή ανάλογα με την αξία αποτίμησης (τροχός της ρουλέτας με άνισα διαστήματα) και η επιλογή ανάλογα με την κατάταξη (διαγωνισμός-tournament). Η μέθοδος επιλογής που χρησιμοποιείται συχνότερα είναι αυτή ανάλογα με την αξία την οποία χρησιμοποίησε ο Holland. Η τεχνική που χρησιμοποιείται συνήθως για να την παραστήσει είναι εκείνη της ρουλέτας με τα άνισα διαστήματα (Goldberg, 1989). Σύμφωνα με αυτή οι αξίες αποτίμησης των ατόμων εκφράζονται από τα διαστήματα μιας νοητής ρουλέτας. Η επιλογή ενός ατόμου για την επόμενη γενιά γίνεται με τυχαία περιστροφή της ρουλέτας μέσω της οποίας επιλέγεται ένα διάστημα και κατά συνέπεια ένα συγκεκριμένο άτομο. Είναι προφανές ότι οι πιθανότητες επιλογής είναι ανάλογες του εύρους του διαστήματος, και κατά συνέπεια της αξίας του ατόμου. Αφού κάθε άτομο έχει μια αξία, ο πληθυσμός παρουσιάζει 12

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ μια συνολική αξία που προκύπτει αθροιστικά από τις αξίες των ατόμων του. Έτσι κάθε άτομο στατιστικά θα αναπαραχθεί τόσες φορές όσες αντιστοιχούν στον λόγο της αξίας του ως προς τη συνολική αξία του πληθυσμού. Όσο μεγαλύτερη αξία έχει ένα άτομο σε σχέση με τη συνολική αξία, τόσους περισσότερους απογόνους θα αφήσει. Σύμφωνα με την μέθοδο επιλογής με βάση την κατάταξη κάθε άτομο παράγει ένα συγκεκριμένο αριθμό απογόνων ανάλογα με την κατάταξη της αξίας αποτίμησης του και όχι με την τιμή. Επιλέγεται δηλαδή τυχαία ένας προκαθορισμένος αριθμός χρωμοσωμάτων και συγκρίνονται οι συναρτήσεις αξιολόγησής τους. Αυτό με την καλύτερη τιμή περνάει στον ενδιάμεσο πληθυσμό. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για αριθμό ίσο προς το μέγεθος του πληθυσμού, δίνοντας έτσι έναν ενδιάμεσο πληθυσμό ίσου μεγέθους προς τον αρχικό. Η μέθοδος αυτή βοηθάει στην αποτροπή φαινομένων γρήγορης σύγκλισης. β. Διασταύρωση Η διασταύρωση συμβαίνει στα είδη που αναπαράγονται φυλετικά. Ένας πληθυσμός θα αργούσε υπερβολικά να εξελιχθεί, αν η εξέλιξη του βασιζόταν μόνο στις τυχαίες μεταβολές των ατόμων, δηλαδή τις μεταλλάξεις των γονιδίων τους. Κατά τη διασταύρωση αποσπώνται κομμάτια από ένα άτομο (γονιό) και αλλάζουν θέση με τα αντίστοιχα κομμάτια του άλλου ατόμου. Η διαδικασία ανταλλαγής τμημάτων χρωμοσωμάτων ονομάζεται στη Γενετική επιχισμός. Η διαδικασία της διασταύρωσης θεωρείται ως αυτή που διαφοροποιεί τους γενετικούς αλγορίθμους από άλλους όπως αυτό του δυναμικού προγραμματισμού. Χρησιμοποιείται για την δημιουργία δύο νέων ατόμων (απογόνων) από δύο υπάρχοντα άτομα (γονείς) που επιλέγονται από τον υπάρχοντα πληθυσμό με την διαδικασία της επιλογής. Ο επιχισμός των γονιδίων μεταξύ δύο ατόμων που αποτελούν ζεύγος περιγράφεται στους δυαδικούς γενετικούς αλγορίθμους ως εξής: Έστω ότι τα δύο χρωμοσώματαγονείς είναι οι συμβολοσειρές: Γονέας A Γονέας B και ο επιχισμός συμβαίνει στη θέση 4, δηλαδή το τμήμα των τεσσάρων πρώτων γονιδίων θα ανταλλαγεί: 13

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Τα χρωμοσώματα απόγονοι που θα προκύψουν είναι: Απόγονος A Απόγονος B Η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω ονομάζεται διασταύρωση ενός σημείου, συχνά ωστόσο εφαρμόζεται και η διασταύρωση πολλαπλών σημείων. Η διαδικασία της διασταύρωσης επιτυγχάνει τη μετάβαση στη νέα γενιά απογόνων από τους οποίους ορισμένοι έχουν αξία μεγαλύτερη από τους γονείς τους και συμβαίνει στο μεγαλύτερο τμήμα ενός πληθυσμού που αναπτύσσεται αμφιγονικά. Η πιθανότητα να συμβεί αφορά στο σύνολο των χρωμοσωμάτων και είναι η ίδια για κάθε άτομο. Αν η πιθανότητα αυτή είναι p%, αυτό σημαίνει ότι κάθε χρωμόσωμα έχει πιθανότητα p% να διασταυρωθεί με κάποιο άλλο. Ωστόσο είναι τυχαίο το ποια χρωμοσώματα θα σχηματίσουν ζεύγη για να διασταυρωθούν μεταξύ τους, όπως επίσης τυχαία είναι και η θέση της διασταύρωσης. γ. Μετάλλαξη Η μετάλλαξη στη φύση συμβαίνει τυχαία και μπορεί να είναι πλεονεκτική ή μη-πλεονεκτική για το άτομο στον αγώνα του για επιβίωση, σε αντίθεση με τη φυσική επιλογή η οποία στηρίζεται στο νόμο των πιθανοτήτων. Η συσσώρευση πολλών τέτοιων μεταλλάξεων προς την κατεύθυνση της βελτίωσης οδηγεί στην εξέλιξη. Η μετάλλαξη μπορεί να συμβεί σε οποιοδήποτε γονίδιο οποιουδήποτε χρωμοσώματος. Στην διαδικασία της μετάλλαξης αλλάζουν ένα ή περισσότερα γονίδια με βάση ένα συγκεκριμένο ποσοστό. Η πιθανότητα να συμβεί στην φύση είναι μικρότερη από 0, Αν έπαιξε τόσο σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των ειδών ήταν γιατί υπήρχε τεράστιος διαθέσιμος χρόνος. Στους γενετικούς αλγορίθμους βέβαια, που αποτελούν μια προσομοίωση της εξελικτικής διαδικασίας της φύσης, μια τόσο μικρή πιθανότητα δεν θα είχε νόημα γιατί η συμβολή της στην εξέλιξη ενός πληθυσμού θα ήταν σχεδόν μηδαμινή. Συνήθως θεωρούμε την πιθανότητα μετάλλαξης μεταξύ 0,01 και 0,001. Η διαδικασία της μετάλλαξης οδηγεί το χρωμόσωμα στην διερεύνηση νέων περιοχών βοηθώντας έτσι τον αλγόριθμο να αποφύγει πρόωρη σύγκλιση και να ανακαλύψει την ολική βέλτιστη λύση. 14

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στους δυαδικούς Γενετικούς Αλγορίθμους η μετάλλαξη ενός γονιδίου σημαίνει μετατροπή τού 0 σε 1 και αντιστρόφως. Αν για παράδειγμα το χρωμόσωμα έχει τη μορφή : η τιμή του στο δυαδικό σύστημα θα είναι ίση με Μια μετάλλαξη που θα συνέβαινε στο δεύτερο γονίδιο του χρωμοσώματος θα έδινε τη μεταλλαγμένη μορφή: με τιμή Αν η αξία επιβίωσης του συγκεκριμένου χρωμοσώματος εξαρτάται από τη μεγάλη του τιμή τότε η μετάλλαξη θα δράσει πλεονεκτικά και το μεταλλαγμένο χρωμόσωμα έχει αυξημένες πιθανότητες να επιλεγεί στην επόμενη γενιά. Αντίθετα, αν η αξία επιβίωσης είναι ανάλογη με τη χαμηλή τιμή όπως για παράδειγμα συμβαίνει στην περίπτωση ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης, τότε αυτή η μετάλλαξη για το συγκεκριμένο χρωμόσωμα δεν αποφέρει πλεονέκτημα και οι πιθανότητες να επιβιώσει το νέο άτομο στην επόμενη γενιά μειώνονται δραστικά. δ. Αντιμετάθεση Η διαδικασία της αντιμετάθεσης εφαρμόζεται σε αρκετά προβλήματα βελτιστοποίησης και εφαρμόζεται σ ένα άτομο κάθε φορά. Μεταλλάσσει ένα τυχαίο γονίδιο εξασφαλίζοντας παράλληλα τη διαφορετικότητα του διπλανού του γονιδίου. Παλιό χρωμόσωμα: Νέο χρωμόσωμα: Παράγοντες ελέγχου Στους παράγοντες ελέγχου ενός γενετικού αλγορίθμου περιλαμβάνονται το μέγεθος του πληθυσμού και οι πιθανότητες διασταύρωσης και μετάλλαξης. Έχουν γίνει αρκετές έρευνες προκειμένου να προσδιοριστεί η επιρροή των παραγόντων αυτών στην απόδοση των γενετικών αλγορίθμων. Τα κύρια συμπεράσματα είναι τα ακόλουθα. 15

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Μεγάλο μέγεθος πληθυσμού οδηγεί σε ταυτόχρονη επεξεργασία πολλών λύσεων και αυξάνει το χρόνο υπολογισμού ανά επανάληψη. Με δεδομένη όμως την χρησιμοποίηση πολλών δειγμάτων, η πιθανότητα σύγκλισης στην βέλτιστη λύση είναι υψηλότερη από την χρησιμοποίηση μικρού μεγέθους πληθυσμού. Το ποσοστό διασταύρωσης καθορίζει τη συχνότητα της διαδικασίας διασταύρωσης. Είναι χρήσιμο στην έναρξη της διαδικασίας βελτιστοποίησης να ανακαλυφθεί μια ευνοϊκή περιοχή. Μικρή συχνότητα διασταυρώσεων μειώνει την ταχύτητα σύγκλισης σε μια τέτοια περιοχή. Αν η συχνότητα είναι πολύ μεγάλη, οδηγεί στον κορεσμό γύρω από μια λύση. Όσον αφορά την πιθανότητα μετάλλαξης μεγάλες τιμές εισάγουν μεγάλη ποικιλομορφία στον πληθυσμό κάτι που μπορεί να προκαλέσει αστάθεια. Αφ' ετέρου, είναι συνήθως δύσκολο για έναν γενετικό αλγόριθμο να βρει ολική βέλτιστη λύση με πολύ μικρό ποσοστό μετάλλαξης. Στον πίνακα 3.1 παρουσιάζονται ενδεικτικά προτεινόμενες τιμές για τους παράγοντες ελέγχου από τους De Jong, Schaffer, Grefenstete. Παράγοντες Ελέγχου De Jong Schaffer Grefenstete Μέγεθος πληθυσμού Ποσοστό διασταύρωσης Ποσοστό μετάλλαξης Πίνακας 3.1 Προτεινόμενες τιμές για τους παράγοντες ελέγχου των γενετικών αλγορίθμων 16

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3.5 Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα Γενετικών Αλγορίθμων Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι έχουν πολλές εφαρμογές ιδιαίτερα σε προβλήματα που περιγράφουν πολύπλοκά συστήματα, είτε βιολογικά, είτε φυσικά, είτε τέλος τεχνητά. Η ευρωστία που τους χαρακτηρίζει οφείλεται στα πλεονεκτήματα που παρουσιάζουν σε σχέση με άλλες μεθόδους βελτιστοποίησης. Τα βασικότερα είναι τα εξής: 1. Η εφαρμογή τους στηρίζεται σε σύνολα κωδικοποιημένων παραμέτρων και όχι στις ίδιες τις παραμέτρους, γεγονός που ευνοεί την επιτυχία τους, ακόμα και σε περιπτώσεις "δύστροπων" συναρτήσεων όπου οι παραδοσιακές μέθοδοι συναντούν δυσκολίες. 2. Η έρευνα των λύσεων γίνεται ταυτόχρονα σε πολλά σημεία του χώρου δυνατής πολιτικής και όχι σταδιακά από σημείο σε σημείο. Δεν είναι έτσι εύκολο να χαθούν περιπτώσεις ακρότατων, όπως συμβαίνει συχνά με άλλες μεθόδους. 3. Χρησιμοποιούν μόνο πληροφορίες αποτίμησης (την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) και όχι άλλες βοηθητικές μαθηματικές έννοιες όπως είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, η συνέχεια κ.λ.π., μπορούν δηλαδή να εφαρμοστούν σε συναρτήσεις ασυνεχείς και μη παραγωγίσιμες. Επομένως απαιτούν μικρό θεωρητικό υπόβαθρο από τη μαθηματική ανάλυση και απαλλάσσουν τον ερευνητή από πολύπλοκους αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς. 4. Τέλος, χρησιμοποιούν στοχαστικούς κανόνες μετάβασης (θεωρία πιθανοτήτων, τυχαία εφαρμογή των γενετικών διαδικασιών) και όχι ντετερμινιστικούς. Όσο και αν φαίνεται παράδοξο το γεγονός ότι η τύχη μπορεί να οδηγήσει στη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος, δεν πρέπει να παραβλέπει κανείς το εξής: ότι η τύχη μόνη της χωρίς την επιλογή στη βάση μιας αξιολόγησης δεν θα αρκούσε για να οδηγήσει στην εξέλιξη, και επίσης ότι η φύση και ο πραγματικός κόσμος είναι γεμάτοι από ανάλογα φαινόμενα. Ωστόσο υπάρχουν και ορισμένα μειονεκτήματα που θα πρέπει να αναφερθούν. Αυτά είναι: 1. Η αδυναμία παροχής εγγυήσεων για την επίτευξη σύγκλισης στη βέλτιστη λύση. 2. Ο μεγάλος αριθμός αξιολογήσεων καταλληλότητας που συνεπάγεται σημαντικό υπολογιστικό χρόνο. 17

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 3. Η μη αξιοποίηση ειδικότερων πληροφοριών σ' ένα συγκεκριμένο πρόβλημα μπορεί να περιορίσει αισθητά την απόδοση της έρευνας. 18

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4 Περιγραφή Του Προβλήματος Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η εύρεση βέλτιστης λύσης ως προς την τοποθέτηση πηγαδιών άντλησης σε υδροφορέα, τμήμα του οποίου έχει ρυπανθεί. Ειδικότερα, στον υπό μελέτη υδροφορέα έχει διαπιστωθεί κατείσδυση ρύπων και μόλυνση των υπόγειων υδάτων. Η μόλυνση εμφανίζεται με τη μορφή δύο κηλίδων συγκεκριμένης διαμέτρου η κάθε μία τη δεδομένη χρονική στιγμή που ξεκινά η μελέτη. Οι κηλίδες αυτές εάν δεν παρθούν τα κατάλληλα μέτρα εξαπλώνονται με κίνδυνο άντλησης μολυσμένου νερού από γειτονικές γεωτρήσεις (δύο σε αριθμό) όπως φαίνεται και στο σχήμα. Το πρόβλημα απαιτεί λύση δραστική και οικονομική, πάντα, μιας και ο υδροφορέας χρησιμοποιείται από γειτονικό οικισμό για ύδρευση. Λαμβάνοντας υπόψη ότι μέσα σε τρία χρόνια ο ρύπος έχει απολέσει το ρυπαντικό του φορτίο επιλέγουμε με τη χρήση πρόσθετων πηγαδιών άντλησης να επιβραδύνουμε την εξάπλωση των ρύπων και όχι να εξαλείψουμε ή να περιορίσουμε σε μέγεθος τις κηλίδες. Σκοπός μας είναι η εξασφάλιση της διατήρησης της ποιότητας του πόσιμου νερού των γεωτρήσεων με όσο το δυνατόν όμως χαμηλότερο κόστος. Άλλωστε, η λύση των πηγαδιών άντλησης είναι αρκετά δαπανηρή και δεν ενδείκνυται για μεγάλα χρονικά διαστήματα, δεν αποτελεί δηλαδή λύση μόνιμη. Είναι απαραίτητο να τονίσουμε την προσθήκη απλοποιητικών παραδοχών στις οποίες και βασίστηκε το πρόγραμμα. Έτσι πρέπει να αναφέρουμε ότι οριοθετήθηκε ένα συγκεκριμένο πεδίο στο οποίο μελετάμε μονοφασική ροή σε συγκεκριμένο πορώδες μέσο, ενώ ο υπό πίεση υδροφορέας θεωρείται άπειρος (ώστε να χρησιμοποιηθεί η αναλυτική λύση για τον υπολογισμό της πτώσης στάθμης του υδραυλικού φορτίου). Ακόμα θεωρείται ότι έχει σταθερό βάθος, μεταφορικότητα και πάχος σε όλη του την έκταση (διαφορετικά θα έπρεπε να εισαγάγουμε έναν κάνναβο με τα γνωστά διαφορετικά υψόμετρα του εδάφους), ενώ θεωρείται, επίσης, ότι η στάθμη του υπόγειου υδροφορέα ακολουθεί τη στάθμη του εδάφους. Θεωρούμε ότι η συνολική αντλούμενη παροχή από τα υπάρχοντα πηγάδια, είναι Q ολ = 250 l/sec ενώ η μέγιστη παροχή καθενός από τα πρόσθετα πηγάδια άντλησης είναι Q=120l/sec. Υποθέτουμε την ύπαρξη δυο πηγαδιών με συντεταγμένες Χ 1 = m, Y 1 = m και Χ 2 = m Y 2 = m και δυο κυκλικών κηλίδων. Η κηλίδα Α έχει κέντρο με συντεταγμένες X 1 =400m, Y 1 =2000m και ακτίνα 50m ενώ η κηλίδα Β έχει κέντρο με συντεταγμένες X 2 = m, Y 2 = m και ακτίνα 60m. 19

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ζητούμενο του προβλήματος είναι η θέση (συντεταγμένες) και οι παροχές των δυο πρόσθετων πηγαδιών καθώς και η κατανομή της συνολικής παροχής στα υπάρχοντα, έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε με το ελάχιστο συνολικό κόστος άντλησης την άντληση της απαιτούμενης ποσότητας καθαρού νερού από τις αρχικές γεωτρήσεις. 20

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 5. Επίλυση Προβλήματος Ο κώδικας που καταστρώθηκε για την επίλυση του προβλήματος βασίστηκε στο πρόγραμμα του καθηγητή κ. Κ.Κατσιφαράκη Gengeo3.bas σε γλώσσα προγραμματισμού QbasicX (Quick Basic Extended) το οποίο παρατίθεται στο παράρτημα Α (σελ. 64) Τόσο το παραπάνω πρόγραμμα, όσο και αυτό που καταστρώθηκε τελικά έχουν σαν στόχο την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης και συγκεκριμένα ελαχιστοποίησης κόστους με χρήση της μεθόδου των γενετικών αλγορίθμων. Στην παρούσα διπλωματική σκοπός ήταν η διερεύνηση του κατά πόσον η μέθοδος των γενετικών αλγορίθμων μπορεί να δώσει βέλτιστη λύση σε ένα αρκετά πολύπλοκο πρόβλημα όπως το μελετούμενο. Ο κώδικας ΑΚ32EXE1.BAS τελικά έδωσε λύσεις ικανοποιητικές, αν όχι βέλτιστες, και παρατίθεται επίσης στο παράρτημα Α (σελ.71). 5.1 Επεξήγηση συμβολισμών Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιήθηκαν χάριν συντομίας στο πρόγραμμα ΑΚ32EXE1.BAS συγκεντρωτικά παρατίθενται μαζί με τις επεξηγήσεις τους και παρατηρήσεις παρακάτω. PS : το πλήθος των χρωμοσωμάτων σε κάθε γενιά NG : αριθμός γενιών ΚΚ : σταθερά επιλογής CRP : πιθανότητα διασταύρωσης MP : πιθανότητα μετάλλαξης RW : ακτίνα πηγαδιών B$(PS) : πίνακας-στήλη με PS αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του είναι ένα χρωμόσωμα, μια αλφαριθμητική σταθερά (συμβολοσειρά) δηλαδή σε δυαδικό σύστημα (π.χ ). BN$(PS) : βοηθητικός πίνακας-στήλη όμοιος με το Β$(PS) VB(PS) : πίνακας-στήλη με PS αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί στο βαθμό καταλληλότητας 1 του αντίστοιχου χρωμοσώματος. 1 Στην πραγματικότητα, καθώς αντιμετωπίζουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους, όσο μικρότερο ειναι το VB ενός χρωμοσώματος τόσο πιο κατάλληλο είναι, οπότε πιο δόκιμος θα ήταν ο όρος "βαθμός α- καταλληλότητας". 21

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ VB1(PS) : πίνακας-στήλη με PS αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί στο συνολικό πραγματικό κόστος άντλησης για τον συνδυασμό παροχών που προκύπτει από το αντίστοιχο χρωμόσωμα TNW : συνολικός αριθμός πηγαδιών NEXW : αριθμός υπαρχόντων πηγαδιών NP : αριθμός σημείων ελέγχου MAXX : η μέγιστη τιμή των συντεταγμένων δηλαδή η μέγιστη διάσταση του υπό εξέταση πεδίου MAXQ : η μέγιστη τιμή της παροχής του κάθε πρόσθετου πηγαδιού MAXQ1 : η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα των δύο παροχών των υπαρχόντων πηγαδιών B1$((TNW-NEXW)*2) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με (TNW-NEXW)*2 αριθμό γραμμών. Αντιστοιχεί στο κομμάτι του χρωμοσώματος που αναφέρεται στις συντεταγμένες των πηγαδιών. B2$(TNW-NEXW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW-NEXW αριθμό γραμμών. Αντιστοιχεί στο κομμάτι του χρωμοσώματος που αναφέρεται στις παροχές των πρόσθετων πηγαδιών. QQ(PS,TNW) : πίνακας διαστάσεων PS*TNW Το QQ (I,J) στοιχείο του αντιστοιχεί στην παροχή του J-στού πηγαδιού για τη λύση που προκύπτει από το I-στό χρωμόσωμα XX(PS,(TNW-NEXW)) : πίνακας διαστάσεων PS*(TNW-NEXW) Το XX (I,J) στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη του J-στού πηγαδιού για τη λύση που προκύπτει από το I-στό χρωμόσωμα. YY(PS,(TNW-NEXW) : πίνακας διαστάσεων PS*(TNW-NEXW) Το ΥΥ (I,J) στοιχείο του αντιστοιχεί στην τεταγμένη του J-στού πηγαδιού για τη λύση που προκύπτει από το I-στό χρωμόσωμα. XTEL(TNW-NEXW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW-NEXW αριθμό γραμμών. Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη του κέντρου κάθε πρόσθετου πηγαδιού η οποία προκύπτει από την καλύτερη λύση κάθε γενιάς. YTEL(TNW-NEXW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW-NEXW αριθμό γραμμών. Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τεταγμένη του κέντρου κάθε πρόσθετου πηγαδιού η οποία προκύπτει από την καλύτερη λύση κάθε γενιάς. QTEL(TNW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην παροχή του κάθε πηγαδιού η οποία προκύπτει από την καλύτερη λύση κάθε γενιάς. X(TNW) : πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη του κέντρου κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. Y(TNW) : πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών 22

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τεταγμένη του κέντρου κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. Q(TNW) : πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην παροχή κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. XT(TNW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη της παρειάς κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. YT(TNW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τεταγμένη της παρειάς κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. S(TNW) : πίνακας-στήλη με TNW αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην πτώση στάθμης στην παρειά κάθε πηγαδιού του τρέχοντος χρωμοσώματος της τρέχουσας γενιάς. TS : χρονικό βήμα TP : πλήθος χρονικών βημάτων XP(NP,TP+1) : πίνακας διαστάσεων NP*(TP+1) Το XP(I,J) στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη της θεωρητικής τροχιάς του ρύπου που ξεκίνησε από το I-στό σημείο ελέγχου κατά το πέρας του J-στού σε σειρά χρονικού βήματος. YP(NP,TP+1) : πίνακας διαστάσεων NP*(TP+1) Το XP(I,J) στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη της θεωρητικής τροχιάς του ρύπου που ξεκίνησε από το I-στό σημείο ελέγχου κατά το πέρας του J-στού σε σειρά χρονικού βήματος. VX(NP) : πίνακας-στήλη με NP αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην κατά x συνιστώσα της θεωρητικής ταχύτητας του ρύπου που ξεκίνησε από το αντίστοιχο σημείο ελέγχου στο πέρας του τρέχοντος χρονικού βήματος. VY(NP) : πίνακας-στήλη με NP αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην κατά y συνιστώσα της θεωρητικής ταχύτητας του ρύπου που ξεκίνησε από το αντίστοιχο σημείο ελέγχου στο πέρας του τρέχοντος χρονικού βήματος. XNP(NP) : πίνακας-στήλη με NP αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τετμημένη του αντίστοιχου σημείου ελέγχου. YNP(NP) : πίνακας-στήλη με NP αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην τεταγμένη του αντίστοιχου σημείου ελέγχου. N1(NP) : πίνακας-στήλη με NP αριθμό γραμμών Κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί στην ποινή που επιβάλλεται στο βαθμό καταλληλότητας του αντίστοιχου χρωμοσώματος και αναφέρεται στο ρύπο που ξεκινά από το αντίστοιχο σημείο ελέγχου. 23

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ SLX : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αναπαριστά την κάθε συντεταγμένη των πρόσθετων πηγαδιών. MAXD : η μέγιστη τιμή της κάθε συντεταγμένης των πρόσθετων πηγαδιών η οποία προκύπτει μετά την μετατροπή της από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα. RATX : διορθωτικός συντελεστής για την προσαρμογή των συντεταγμένων εντός των ορίων του πεδίου μας. SLQ : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αναπαριστά την κάθε παροχή των πρόσθετων πηγαδιών. MAXQD : η μέγιστη τιμή της κάθε παροχής των πρόσθετων πηγαδιών η οποία προκύπτει μετά την μετατροπή της από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα. RATQ : διορθωτικός συντελεστής για την προσαρμογή των τιμών των παροχών των πρόσθετων πηγαδιών στα επιτρεπτά όρια. SLQ1 : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αναπαριστά την παροχή του ενός εκ των δύο υπαρχόντων πηγαδιών. MAXQ1D : η μέγιστη τιμή της παροχής ενός εκ των υπαρχόντων πηγαδιών η οποία προκύπτει μετά την μετατροπή της από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα. RATQ1 : διορθωτικός συντελεστής για την προσαρμογή των τιμών των παροχών των υπαρχόντων πηγαδιών στα επιτρεπτά όρια. SL1 : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αντιστοιχεί στις συντεταγμένες των πρόσθετων πηγαδιών. SL2 : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αντιστοιχεί στις παροχές των πρόσθετων πηγαδιών. SL3 : το μήκος του κομματιού του χρωμοσώματος που αντιστοιχεί στην παροχή ενός εκ των υπαρχόντων πηγαδιών. RI : ακτίνα επιρροής του κάθε πηγαδιού XPR(NEXW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη για την ευκολότερη εκτύπωση και των δεδομένων (εδώ τετμημένων υπαρχόντων πηγαδιών) στο αρχείο αποτελεσμάτων. YPR(NEXW) : βοηθητικός πίνακας-στήλη για την ευκολότερη εκτύπωση και των δεδομένων (εδώ τεταγμένων υπαρχόντων πηγαδιών) στο αρχείο αποτελεσμάτων. K1 : συντελεστής σχετικής διαπερατότητας A1 : πάχος υδροφορέα POR : πορώδες A2 : συντελεστής κόστους CPRI : βοηθητική σταθερά που καθορίζει τον αριθμό των πρώτων καλύτερων λύσεων που θα εκτυπωθούν. B$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά B1$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά B2$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά 24

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ B3$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά A$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά XY1 : βοηθητική σταθερά S : βοηθητική σταθερά S1 : βοηθητική σταθερά N : η συνολική ποινή που επιβάλλεται στην καταλληλότητα κάθε χρωμοσώματος XX : βοηθητική σταθερά CR1 : βοηθητική σταθερά CR2 : βοηθητική σταθερά JCR : βοηθητική σταθερά M1$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά M$ : βοηθητική αλφαριθμητική σταθερά 5.2 "Κατασκευή" του προβλήματος Αν προσεγγίσουμε χρονικά και λογικά την εξέλιξη του σκεπτικού που οδήγησε στη δημιουργία του κώδικα AK32EXE1.BAS και την επίλυση τελικά του προβλήματος, οφείλουμε να αναφέρουμε την αντίστροφη λογική που χρειάστηκε για την κατασκευή του προβλήματος. Υπήρξε έτσι, η ανάγκη κατασκευής ενός προγράμματος το οποίο να υπολογίζει, αν και σε ποιο βαθμό κινδυνεύει ένα υποθετικό ζευγάρι πηγαδιών άντλησης πόσιμου νερού, από εξάπλωση δυο παρακείμενων κηλίδων μόλυνσης. Στην πραγματικότητα, βέβαια, η δημιουργία του προγράμματος ήταν αναγκαία και για την "κατασκευή" του προβλήματος. Με ένα απλό σκεπτικό ισομερισμού της παροχής στα υπάρχοντα πηγάδια, πραγματοποιήθηκε σειρά δοκιμών ώστε να βρεθεί η κατάλληλη θέση των πηγαδιών σε σχέση με τις κηλίδες. Λόγω του υψηλού κόστους της λύσης εγκατάστασης-λειτουργίας ζευγαριού πρόσθετων πηγαδιών άντλησης, για λόγους ρεαλιστικής αναπαράστασης του προβλήματος, αλλά και για διευκόλυνση στην κατάστρωση του κώδικα και την εξαγωγή συμπερασμάτων, επιλέγεται η χωροθέτηση εκείνη από την οποία προκύπτει πως ο ρύπος φθάνει στα πηγάδια οριακά στο τέλος του χρόνου μελέτης του έργου (τρία χρόνια). Ο κώδικας, λοιπόν, που καταστρώθηκε είναι ο ΑΚ0EXE.BAS και παρατίθεται στο παράρτημα Α (σελ.79). 25

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Όπως αναφέρθηκε και στην περιγραφή του προβλήματος, ο χρόνος σχεδιασμού του έργου είναι τρία χρόνια. Στόχος είναι να εξασφαλιστεί η ποιότητα του πόσιμου νερού, να εξασφαλιστεί, δηλαδή, ότι ο ρύπος δεν θα "φθάσει" στα πηγάδια άντλησης πόσιμου νερού μέσα στο διάστημα κατά το οποίο φέρει επικίνδυνο ρυπαντικό φορτίο (τρία έτη). Η προσομοίωση της εξάπλωσης των κηλίδων μόλυνσης και ο έλεγχος αυτής γινεται ως εξής : Ορίζουμε απειροστή μάζα του ρύπου dm. Αρκεί να μελετήσουμε την κίνηση των dm 1 που τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκονται σε χαρακτηριστικά σημεία στις περιφέρειες των κηλίδων. Όπως προκύπτει για το συγκεκριμένο πεδίο ως χαρακτηριστικά σημεία μπορούν να οριστούν τα : Σημείο Συντεταγμένες 1 Α1 ( , ) 2 Α2 ( , ) 3 Α3 ( , ) 4 Α4 ( , ) 5 Α5 ( , ) 6 Β1 ( , ) 7 Β2 ( , ) 8 Β3 ( , ) 9 Β4 ( ,738.49) 10 Β5 ( , ) 1 Χάριν ευκολίας στο εξής όταν θα αναφερόμαστε σε "κίνηση π.χ. του σημείου ένα" θα εννοούμε την κίνηση απειροστής μάζας dm του ρύπου που την χρονική στιγμή t=0 βρισκόταν στο χαρακτηριστικό σημείο 1. 26

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΗΛΙΔΑ Α ΠΗΓΑΔΙ 1 Κ1( , ) ΠΗΓΑΔΙ 2 Κ2( , ) ΚΗΛΙΔΑ Β Για δεδομένες παροχές των πηγαδιών άντλησης είναι δυνατόν να υπολογίσουμε ανά πάσα χρονική στιγμή την διανυσματική ταχύτητα ενός σημείου με τη βοήθεια του τύπου: V x n 1 x x i = Qi π n H 1 ( x xi) + ( y yi) V y n 1 y y i = Qi π n H 1 ( x xi) + ( y yi) όπου n : το πορώδες (POR) Η : το πλάτος του υδροφορέα (Α1) Q : η παροχή του πηγαδιού άντλησης 27

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ x,y : οι συντεταγμένες του σημείου x i,y i : οι συντεταγμένες του πηγαδιού Για να υπολογίσουμε την τροχιά της κίνησης ενός σημείου θεωρούμε πως για ένα απειροστό χρονικό διάστημα dt η κίνηση του σημείου (dm) είναι ευθύγραμμη ομαλή (σταθερά V x, V y ). Άρα, για κάθε χρονικό διάστημα dt μπορούμε να υπολογίσουμε τις κατά x και y συνιστώσες της μετατόπισης dx, dy του σημείου από τους τύπους : dx = V dt x dy = V dt y Προφανώς, όσο μικρότερο είναι το απειροστό χρονικό διάστημα dt, τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια έχουμε στον υπολογισμό της τροχιάς. Έτσι, για να εξασφαλισθεί η ακρίβεια των υπολογισμών αλλά και η σχετικά σύντομη εκτέλεση του προγράμματος επιλέγεται να κατατμηθεί το χρονικό διάστημα των 3 ετών σε 100 χρονικά βήματα (TP=100) των 10 ημερών (dt=ts=10). Με τον τρόπο αυτό, τελικά, η τροχιά κάθε σημείου θα προκύπτει σαν μια τεθλασμένη γραμμή κάθε κλάδος της οποίας θα αντιπροσωπεύει ένα χρονικό διάστημα dt = 10 ημερών, κατά το οποίο ο ρύπος dm κινείται ευθύγραμμα ομαλά. Άλλο ένα ζήτημα που πρέπει να αντιμετωπισθεί είναι και το πώς ορίζουμε το πότε "φθάνει" ο ρύπος σε ένα πηγάδι άντλησης. Στόχος είναι να οριοθετηθεί η "επικίνδυνη" περιοχή μέσα στην οποία αν διεισδύσει ο ρύπος θεωρούμε ότι πρακτικά το πηγάδι έχει μολυνθεί. Ορίζοντας, λοιπόν, σαν τέτοια μια κυκλική περιοχή ακτίνας 50m με κέντρο το κέντρο κάθε πηγαδιού, θεωρούμε ότι βρισκόμαστε από τη μεριά της ασφάλειας εξαλείφοντας τυχόν σφάλμα από τον προσεγγιστικό τρόπο υπολογισμού της τροχιάς κίνησης του ρύπου. Επιπροσθέτως για μεγαλύτερη ασφάλεια, αν η απόσταση του ρύπου από την "επικίνδυνη" περιοχή είναι μικρότερη από την διαδρομή ds που διήνυσε κατά το τελευταίο χρονικό βήμα θεωρείται ότι ο ρύπος έχει ήδη φθάσει στο πηγάδι. Οι πληροφορίες που αντλούμε, τελικά, από το πρόγραμμα ΑΚ0EXE.BAS είναι : Αν "φθάνει" κάθε σημείο (ρύπος) στα πηγάδια άντλησης Σε ποιο πηγάδι άντλησης "φθάνει" Ο χρόνος σε μέρες που χρειάζεται ο ρύπος για να "φθάσει" σε κάποιο πηγάδι. 28

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η τροχιά που ακολούθησε κάθε σημείο από την χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή που φθάνει σε κάποιο πηγάδι άντλησης, ή αν δε φθάνει, έως τη χρονική στιγμή t = TP = 1000 days Τα αποτελέσματα, λοιπόν, όπως προκύπτουν μετά την εκτέλεση του προγράμματος παρατίθενται στο παράρτημα Β (σελ.101),ενώ γραφικά αποτυπώνονται στο σχήμα που ακολουθεί. 29

31 ΚΗΛΙΔΑ Α

32 ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΗ ΖΩΝΗ 2 ΚΗΛΙΔΑ Β

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 5.3 Βήμα προς βήμα ανάλυση του κώδικα AK32EXE1.BAS Η κατανόηση της διαδικασίας επίλυσης μέσω του κώδικα AK32EXE.BAS προϋποθέτει την εξοικείωση με τη γλώσσα προγραμματισμού QBasicX καθώς και με τη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων. Κρίνεται, έτσι, απαραίτητη η βήμα προς βήμα ανάλυση του κώδικα με παράθεση παρατηρήσεων πάνω στη γλώσσα προγραμματισμού, στους γενετικούς αλγορίθμους και καταγραφή του σκεπτικού το οποίο οδήγησε στην τελική μορφοποίηση του προγράμματος. ' DATA INPUT DEFDBL A-Z DEFINT I-J READ PS, NG, KK, CRP, MP, RW 'PS=POPULATION SIZE,NG=NUMBER OF GENERATIONS,KK=SELECTION CONSTANT,CRP=CROSSOVER PROPABILITY 'MP=MUTATION PROPABILITY,RW=RADIUS OF EX. WELLS DIM B$(PS), BN$(PS), VB(PS), VB1(PS) 'B$,BN$=BINARY CHROMOSOMES, VB=VB1=PUMPING COST ' CALCULATE SL=STRING LENGTH READ TNW, NEXW, NP, MAXX, MAXQ, MAXQ1 'TNW=TOTAL NUMBER of WELLS,NEXW=NUMBER of EXISTING WELLS,NP=NUMBER OF CALCULATION POINTS 'MAXQ=MAX FLOW RATE OF EACH ADDITIONAL WELL 'MAXQ1=TOTAL REQUIRED FLOW RATE FOR THE EXISTING WELLS DIM B1$((TNW - NEXW) * 2), B2$(TNW-NEXW), B3$(TNW-NEXW), QQ(PS, TNW), XX(PS, (TNW - NEXW)), YY(PS, (TNW - NEXW)),XTEL(TNW-NEXW),YTEL(TNW- NEXW),QTEL(TNW) DIM X(TNW), Y(TNW), Q(TNW), XT(TNW), YT(TNW), S(TNW) 'X,Y=WELL COORDINATES, Q(I)=FLOWRATES OF WELLS READ TS, TP 'TS=TIME STEP(days) TS = 24! * 3600! * TS DIM XP(NP, TP + 1), YP(NP, TP + 1), VX(NP), VY(NP), XNP(NP), YNP(NP), N1(NP) 'XP,YP=COORDINATES OF CALCULATION POINTS(m), VX,VY=VELOCITIES AT CALCULATION POINTS(M / S) Στο πρώτο αυτό τμήμα του κώδικα, αρχικά, ορίζονται οι μεταβλητές με πρώτο γράμμα A-Z ως πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας (δυνατότητα μεγάλης ακρίβειας δεκαδικών ψηφίων), ενώ αμέσως μετά, ειδικά οι μεταβλητές με πρώτο γράμμα I-J, ορίζονται ως ακέραιοι αριθμοί. 32

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στη συνέχεια το πρόγραμμα "διαβάζει" τις τιμές μεταβλητών και τις διαστάσεις των μητρωικών μεταβλητών (πίνακες). Ειδικά για τη μεταβλητή TS (Time Step- χρονικό βήμα) γίνεται μετατροπή μονάδων από μέρες, που εισάγεται στα δεδομένα, σε δευτερόλεπτα (SI). I1 = 1 5 IF MAXX > 2 ^ (I1) THEN I1 = I1 + 1: GOTO 5 ELSE SLX = I1 SL1 = SLX * 2 * (TNW - NEXW) MAXD = (2 ^ (I1)) - 1: RATX = MAXX / MAXD END IF Εδώ το πρόγραμμα υπολογίζει πόσα ψηφία απαρτίζουν το δυαδικό αριθμό που ισούται με MAXX στο δεκαδικό σύστημα. Το πλήθος των ψηφίων αυτών θα είναι ίσο με το μήκος (SLX) του τμήματος εκείνου του χρωμοσώματος, που αναπαριστά την κάθε συντεταγμένη των πρόσθετων πηγαδιών. Το συνολικό, λοιπόν, μήκος (SL1) του τμήματος του χρωμοσώματος, που αναπαριστά τις συντεταγμένες των πρόσθετων πηγαδιών, ισούται με το διπλάσιο του γινομένου (αφού προβλέπεται θέση και για τετμημένη και για τεταγμένη) του SLX επί τον αριθμό των πρόσθετων πηγαδιών. Δηλαδή το πρώτο τμήμα του κάθε χρωμοσώματος αποτελείται από τις τέσσερις συντεταγμένες των δυο πρόσθετων πηγαδιών. Έτσι, με δεδομένο ότι MAXX = 2500 m που στο δυαδικό σύστημα παριστάνεται με 12 ψηφία το πρόγραμμα θα κρατήσει 12 θέσεις για κάθε συντεταγμένη κάθε πηγαδιού. Όμως ένας δυαδικός αριθμός με δώδεκα ψηφία μπορεί να πάρει τιμές από 0 έως 4095 στο δεκαδικό σύστημα οπότε μέσα στο πρόγραμμα κάποια στιγμή μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από 2500 κάτι που πρέπει να αποφευχθεί. Γι' αυτό υπολογίζουμε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ένας δυαδικός αριθμός με δώδεκα ψηφία (MAXD = 4095) και στη συνέχεια ένα διορθωτικό συντελεστή (RATX = MAXX / MAXD) με τον οποίο θα πολλαπλασιάζονται οι τιμές των συντεταγμένων μετά την μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα. Προφανώς, 0 < RATX <1. 33