HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός 1

2 Συνδυαστική 2

3 Πείραµα Πείραµα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων αποτελεσµάτων. Ένα σύνθετοπείραµα που µπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιµέρους απλούστερων πειραµάτων Συνδυαστική: Η µελέτη στρατηγικών προκειµένου να µπορούµε να εκτιµήσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων ενός πειράµατος (απλού ή σύνθετου). 3

4 Που το πάµε Θα προσπαθούµε να «διασπάµε» ένα σύνθετο πείραµα σε απλούστερα. Στόχος είναι,για τα απλούστερα πειράµατα, να µπορούµε πολύ εύκολα να προσδιορίσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων τους Επίσης, θα διατυπώσουµε κανόνεςγια το πώς εξαρτάται το πλήθος των αποτελεσµάτων των σύνθετων πειραµάτων από το πλήθος των απλούστερων. ιαίρει και βασίλευε (divide and conquer) 4

5 Κανόνες αθροίσµατος και γινοµένου Έστω πείραµα 1 µε σύνολο αποτελεσµάτων Α και πείραµα 2 µε σύνολο αποτελεσµάτων Β Κανόνας του αθροίσµατος: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 Ήπείραµα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόµενα αποτελέσµατα Κανόνας του γινοµένου: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 ΚΑΙπείραµα 2 έχει AxB = A B ενδεχόµενα αποτελέσµατα. 5

6 Μεταθέσεις 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k=n (δηλαδή όλα) τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μπορούµε εκτελέσουµε αυτό το πείραµα µε n!= (n-1) n διαφορετικούς τρόπους. 6

7 ιατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k<=n τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μπορούµε εκτελέσουµε αυτό το πείραµα µε n! P( n, k) = ( n k)! διαφορετικούς τρόπους. 7

8 Μεταθέσειςκαι ιατάξεις Μία µετάθεση nαντικειµένων δεν είναι τίποτε άλλο από µία διάταξη n από n αντικείµενων: Πλήθος διατάξεων n από n αντικειµένων = P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n! = πλήθος µεταθέσεων nαντικειµένων 8

9 Παράδειγµα Παράδειγµα: Πόσες συµβολοσειρές µήκους 4 µπορούµε να σχηµατίσουµε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουµε οι χαρακτήρες της συµβολοσειράς να είναι διαφορετικοί µεταξύ τους; υνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συµβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειµένων (γράµµατα). Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µε τέσσερα διαφορετικά γράµµατα είναι P(24,4)= =255,024. 9

10 Παράδειγµα διατάξεων (α) Πόσοι τετραψήφιοι αριθµοί είναι δυνατόν να σχηµατιστούναπόταψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8µε την προϋπόθεση ότι τα ψηφία των αριθµών αυτών είναι διαφορετικά µεταξύ τους; Επιλογή k=4 διαφορετικών ψηφίων από n=6 ψηφία. Εποµένως: P(n,k)=P(6,4)= =360 10

11 Παράδειγµα διατάξεων (β) Πόσοι από τους παραπάνω αριθµούς είναι < 4000; Ένας τετραψήφιος αριθµός είναι < 4000 όταν το 1ο ψηφίο του είναι < 4. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουµε στη θέση του πρώτουψηφίουέναναπότους 1, 2, και 3 καιµετάνα τοποθετήσουµετουςυπόλοιπουςαριθµούςστιςυπόλοιπες θέσεις. Θα λύσουµε το πρόβληµα θεωρώντας 2 «πειράµατα. 1ο πείραµα: "Μεπόσουςτρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε έναν από τους αριθµούς 1, 2, 3 στη 1η θέση;" P(3,1)=3. 2ο πείραµα: "Μεπόσουςτρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" P(5,3)=5 4 3=60. Από το κανόνα του γινοµένου υπάρχουν 3x60=180 αριθµοί <

12 Παράδειγµα διατάξεων (γ) Πόσοι από τους αριθµούς του (α) είναι άρτιοι; Ένας αριθµός είναι άρτιος όταν το τελευταίο ψηφίο του διαιρείται µε το 2. Άραθαπρέπειπρώτανατοποθετήσουµεστηθέσητου τελευταίου ψηφίου ένα από τους αριθµούς 2, και 8 και στη συνέχεια να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Θα λύσουµε το πρόβληµα σε δύο πειράµατα: 1ο πείραµα: "Μεπόσουςτρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε έναν από τους αριθµούς 2 και 8 στη µία θέση;" P(2,1)=2. 2 ο πείραµα: "Μεπόσουςτρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. Σύµφωνα µε το κανόνα του γινοµένου υπάρχουν 2 60=120 άρτιοι αριθµοί (πάντα µε βάση τις προϋποθέσεις του προβλήµατος). 12

13 Παράδειγµα διατάξεων (δ) Πόσοι από τους αριθµούς του (α) διαιρούνται µε το 5; Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο τουείναι 0 ή 5. Άρα θα πρέπει υποχρεωτικά να τοποθετήσουµε στη θέση του τελευταίου ψηφίου τον αριθµό 5 και στη συνέχεια να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπους αριθµούς στις θέσεις των υπόλοιπωνψηφίων. Συνεπώς το πρόβληµα ανάγεται στο παρακάτω: "Με πόσους τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τους υπόλοιπουςαριθµούςστιςτρειςυπόλοιπεςθέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. 13

14 Παράδειγµα διατάξεων Ένας τροµοκράτης έχει τοποθετήσει µία πυρηνική βόµβα και εσείς πρέπει να την απενεργοποιήσετε κόβoνταςτρία συγκεκριµένα από τα 10 καλώδιά της, και µάλιστα µε τη σωστή σειρά! Αλλιώς... Πόσα διαφορετικά κοψίµατα υπάρχουν; Επιλογή διαφορετικών τριάδων (καλώδια) από 10 διαφορετικά αντικείµενα (καλώδια): P(10,3) = =

15 ιατάξεις µε επανάληψη 3 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε kαντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσουςτρόπουςµπορούµενα εκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ότι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 15

16 ιατάξεις µε επανάληψη kπειράµατα i-πείραµα : «επέλεξε τo i αντικείµενο» Με βάση τον κανόνα του γινοµένου έχουµε: Γιατην 1ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε n ενδεχόµενα, Γιατην 2ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε nενδεχόµενα, (λόγω της επανάθεσης) Γιατην 3ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε nενδεχόµενα, (λόγω της επανάθεσης), καιγιατην k-οστή επιλογή αντικειµένου έχουµε nενδεχόµενα. Συνεπώςυπάρχουν n n n = n k διαφορετικά ενδεχόµενα. 16

17 Παράδειγµα Έστω ένας δυαδικός αριθµός µε k bits. Πόσους διαφορετικούς αριθµούς µπορώ να αναπαραστήσω µε αυτόν; Κάθε ψηφίο του δυαδικού αριθµού µπορεί να πάρει n=2 τιµές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το 1ο ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Για το 2ο ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Για το k ψηφίο του αριθµού έχω n=2 επιλογές. Άρα,µπορώ να αναπαραστήσω = 2 k αριθµούς 17

18 Παράδειγµα Έστω ένα σύνολο Α µε kστοιχεία. Πόσες διαφορετικές σχέσεις µπορώ να ορίσω επί του Α; Η αναπαράσταση της σχέσης ως πίνακας έχει k kστοιχεία. Καθένα από αυτά µπορεί να πάρει µία από 2 τιµές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το (1,1) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (1,2) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (k,k) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών σχέσεων είναι = 2 k k 18

19 Παράδειγµα Μεπόσουςτρόπουςείναιδυνατόνναπρογραµµατιστούν 3 διαγωνίσµατα σε µία περίοδο 5 ηµερών, χωρίς περιορισµό στον αριθµό των διαγωνισµάτων που προγραµµατίζονται για την ίδια ηµέρα; Έχω στο «σακούλι» τις 5 ηµέρες Επιλέγω την ηµέρα του 1 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Επιλέγω την ηµέρα του 2 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Επιλέγω την ηµέρα του 3 ου διαγωνίσµατος. Αυτό µπορεί να προγραµµατιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ηµέρες. Άρα υπάρχουν 5 3 =125 διαφορετικοί τρόποι 19

20 Παράδειγµα Μεπόσουςτρόπους είναι δυνατόν να προγραµµατιστούν τρία διαγωνίσµατα σε µία περίοδο πέντε ηµερών, έτσι ώστε να µην έχουν προγραµµατιστεί περισσότερα από ένα διαγωνίσµατα για την ίδια ηµέρα; υνατές τοποθετήσεις 3 διαφορετικών διαγωνισµάτων σε 5 διαφορετικές ηµέρες P(5,3)=5 4 3=60. 20

21 Παράδειγµα Με πόσους τρόπους µπορούµε να σχηµατίσουµε συµβολοσειρές από τέσσερα γράµµατα; Το «σακούλι» έχει τα 24 γράµµατα. Κάθε φορά επιλέγουµε το γράµµα που θα µπει σε καθεµία από τις 4 θέσεις της συµβολοσειράς και µετά ξαναρίχνουµε το γράµµα στο «σακούλι» Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µε τέσσερα γράµµατα είναι = (Θυµηθείτε, στο ίδιο παράδειγµα, όταν δεν επιτρέπαµε την επανάληψη ενός χαρακτήρα στη συµβολοσειρά, είχαµε βρει ότι υπάρχουν P(24,4) = συµβολοσειρές) 21

22 Συνδυασµοί 4 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k nαντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, δεν το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΧΩΡΙΣ επανάθεση) ΕΝ µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσουςτρόπουςµπορούµενα εκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ότι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3. Ωστόσο, σε σχέση µε την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2, η µόνη διαφοροποίηση είναι η αδιαφορία για τη σειρά) 22

23 Συνδυασµοί Αν µας ενδιέφερε η σειρά, ξέρουµε ήδη την απάντηση (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2): Οι διαφορετικές διατάξεις k αντικειµένων από n διαφορετικά αντικείµενα είναι: P( n, k) = n! ( n k)! Ωστόσο, εφόσον δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα, όλες οι k! µεταθέσεις kαντικειµένων είναι ισοδύναµες Άρα οι δυνατοί συνδυασµοί είναι: P( n, k) n! n C( n, k) = = = k! k!( n k)! k 23

24 Συνδυασµοί Προσέξτε ότι εφόσον δεν µας ενδιαφέρει η διάταξη, ουσιαστικά δεν ζητάµε να βρούµε πόσες διαφορετικές διατεταγµένες k-άδεςµπορούµε να φτιάξουµε από αυτό αλλά πόσα υποσύνολα πληθικού αριθµού k. Συνεπώς, σε ένα σύνολο µε πληθικό αριθµό n υπάρχουν C(n, k) υποσύνολα πληθικού αριθµού k. 24

25 Παράδειγµα συνδυασµών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών µπορoύµε να τραβήξουµε από µία τυπική τράπουλα µε 52 χαρτιά; υπονοώντας ότι σε ένα τυπικό παιχνίδι, δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία µας µοιράστηκαν τα χαρτιά, αλλά το ποια χαρτιά τελικά έχουµε στα χέρια µας 25

26 Παράδειγµα συνδυασµών Πόσα διαφορετικές 7-άδεςχαρτιώνµπορoύµε να τραβήξουµε από µία τυπική τράπουλα µε 52 χαρτιά; Εφόσον η σειρά (διάταξη) των χαρτιών σε µία 7-άδα δεν έχει σηµασία, το ζητούµενο πλήθος είναι 52 52! 52! C(52, 7) = = = = 7 7!(52 7)! 7!45! 45! = = 133,784,560 7!45! 26

27 ιαφορά µεταξύ διατάξεων και συνδυασµών Πόσα passwords τριώνδιαφορετικών χαρακτήρων µπορούν να φτιαχτούν από δέκα χαρακτήρες; P(10, 3) = =720. Η σειρά των χαρακτήρων έχει σηµασία! Σε ένα σύνολο δέκα ανθρώπων, πόσες τριµελείς επιτροπές µπορούµε να ορίσουµεαν δεν υπάρχει διάκριση των µελών της επιτροπής; C(10, 3) = 10!/(7!3!)=120 27

28 Παράδειγµα συνδυασµών Παράδειγµα : Έστω ότι θέλουµε τις τρεις από τις επτά ηµέρες της εβδοµάδας να φάµε κρέας. Με πόσους τρόπους µπορούµε να προγραµµατίσουµε το εβδοµαδιαίο µενού; Πρέπει να προγραµµατίσουµε κρέας ως το φαγητό που θα πρέπει να φάµε σε 3 από τις 7 ηµέρες. Εποµένως, µας ενδιαφέρει ουσιαστικά πόσα διαφορετικά υποσύνολα 3 ηµερών µπορούµε να δηµιουργήσουµε από τις 7 διαφορετικές ηµέρες. Άρα υπάρχουν C(7, 3)=7!/(3!4!)διαφορετικοί προγραµµατισµοί του µενού. 28

29 Συνδυασµοί Σηµειώστε ότι n n! n! n C( n, k) = = = = = C( n, n k) k k!( n k)! ( n k)! k! n k...γιατί κάθε επιλογή kστοιχείων που ανήκουν σε ένα υποσύνολο των nστοιχείων υπάρχει µία αντίστοιχη επιλογή n-kστοιχείων που δεν ανήκουν σε αυτό! 29

30 Συνδυασµοί µε επανάθεση 5 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε kαντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) ΕΝ µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεεκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ό,τιείναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 30

31 Συνδυασµοί µε επανάθεση Έστω ότι έχουµε n=5 είδη παγωτού, µπανάνα, σοκολάτα, λεµόνι, φράουλακαι βανίλια και ότι µπορείτε να παραγγείλετε k=3 µπάλες. Πόσες εναλλακτικές παραγγελίες υπάρχουν; Έστω ότι αναπαριστούµε τις γεύσεις µε γράµµατα: {µ, σ, λ, φ, β}. Παραδείγµατα επιλογών θα ήταν τα ακόλουθα {σ, σ, σ} (3 µπάλες σοκολάτα) {µ, λ, β} (µπανάνα, λεµόνι, βανίλια) {µ, β, β} (µπανάνα, βανίλια, βανίλια) Η διάταξη δεν έχει σηµασία, και η επανάληψη επιτρέπεται! 31

32 Συνδυασµοί µε επανάθεση Μία διαφορετική αναπαράσταση: Θεωρείστε ότι οι γεύσεις είναι σε δοχεία και ότι O = «επιλέγω από το τρέχον δοχείο» Χ = «µετακινούµαι στο επόµενο δοχείο» εδοµένου ότι ξεκινάµε από το 1 ο δοχείο, πρέπει να κάνουµε 4 µετακινήσεις και 3 επιλογές παγωτού εδοµένων των γεύσεων/δοχείων {µ, σ, λ, φ, β}, έχουµε: {σ, σ, σ} :ΧΟΟΟΧΧΧ {µ, λ, β} :ΟΧΧΟΧΧΟ {µ, β, β} :ΟΧΧΧΧΟΟ Το πρόβληµα τώρα ανάγεται στην εύρεση των υποσυνόλων πληθικού αριθµού kενός συνόλου που έχει n+k-1αντικείµενα 32

33 Συνδυασµοί µε επανάθεση Εποµένως, το πλήθος των επιλογών του νέου προβλήµατος είναι: n+ k 1 ( n+ k 1)! C( n+ k 1, k) = = k k!( n 1)! 33

34 Η συνολική εικόνα µέχρι τώρα... Π3 Π1, Π2 Π5 Π4 34

35 Παράδειγµα Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεναβάψουµε 12 γραφεία, έτσιώστε 3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωµπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; 35

36 Παράδειγµα Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεναβάψουµε 12 γραφεία, έτσιώστε 3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; C(12, 3) Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωµπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; C(9, 2) Με πόσους τρόπους µπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; C(7, 4). Από τον κανόνα του γινοµένου, προκύπτουν C(12, 3) C(9, 2) C(7, 4) τρόποι 36

37 Για να δούµε πόσοι είναι αυτοί Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεναβάψουµε 12 γραφεία, έτσιώστε 3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; C(12,3) C(9, 2) C(7, 4) = = ! 9! 7! 12! P(12,9) = = = 3!9! 2!7! 4!3! 3!2!4!3! 3!2!4! 37

38 Ερµηνεία Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεναβάψουµε 12 γραφεία, έτσιώστε 3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Υπάρχουν P(12, 9)=12!/3! τρόποι να βάψουµε µε 9 διαφορετικάχρώµατα, 9 από τα 12 γραφεία. Επειδή 3 από αυτά θα είναι κόκκινα, 2 από αυτά µπλε, και 4 απόαυτάπράσινα, θα πρέπει να διαιρέσουµε αυτό το πλήθος, µε το πλήθος των µεταθέσεων των διαφορετικών οµοίων χρωµάτων 12!/(3!3!2!4!)= /(6x6x2x24)= /864=554400τρόποι 38

39 Γενικά Επιλέγουµε kαπό nαντικείµενα Τα nαντικείµενα δεν είναι όλα ίδια µεταξύ τους, αλλά χωρίζονται σε t οµάδες ίδιων αντικειµένων Οµάδα 1 q 1 ίδια αντικείµενα Οµάδα 2q 2 ίδια αντικείµενα Οµάδα tq t ίδια αντικείµενα Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής: P( n, q ) P( n, k)!!...!!!...! t 1 i i= i t = = i= 1 q1 q2 qt q1 q2 qt C( n, q ) C( n q, q )... C( n q, q ) t 39

40 40