Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

2 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n r C(n, r) = ( ) n+r 1 r n! Ομάδες μη διακεκριμένων στοιχείων q 1!q 2!...q t! 2 / 13

3 Επανάληψη Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές n διακεκριμένες υποδοχές r Διαφορετικά αντικείμενα: Δε μετράει η σειρά: } n n {{... n } = n r r (n + r 1)! Μετράει η σειρά: (n 1)! r Ιδια αντικείμενα: (n + r 1)! r!(n 1)! ( ) n + r 1 = r 3 / 13

4 Πόσες ζαριές υπάρχουν στο τάβλι ; 4 / 13

5 Πόσες ζαριές υπάρχουν στο τάβλι ; Ο αριθμός των ζαριών στο τάβλι είναι ο συνδυασμός, (επειδή δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, που πέφτουν τα ζάρια), 2 αντικειμένων (ζάρια) από 6 (αριθμοί ζαριάς): Άρα, υπάρχουν διαφορετικοί συνδυασμοί. C ( , 2) = C (7, 2) = 21 4 / 13

6 Να βρεθεί το πλήθος των πενταψήφιων, που δεν έχουν δύο ψηφία ίδια. 5 / 13

7 Να βρεθεί το πλήθος των πενταψήφιων, που δεν έχουν δύο ψηφία ίδια. Για να είναι πενταψήφιος ο αριθμός η 1η θέση του δεν πρέπει να έχει το ψηφίο 0 επιλέγεται από τα (1-9). Άρα υπάρχουν 9 επιλογές. Για τη 2η θέση επιλέγεται κάποιο από τα (0-9) πλήν εκείνου, που επιλέχτηκε στην 1η θέση. Άρα, υπάρχουν 9 επιλογές. Για τη 3η θέση επιλέγεται κάποιο από τα (0-9) πλήν εκείνου, που επιλέχτηκαν στην 1η και την 2η θέση. Άρα, υπάρχουν 8 επιλογές. Για τη 4η θέση επιλέγεται κάποιο από τα (0-9) πλήν εκείνου, που επιλέχτηκαν στην 1η, 2η και 3η θέση. Άρα, υπάρχουν 7 επιλογές. Για τη 5η θέση επιλέγεται κάποιο από τα (0-9) πλήν εκείνων, που επιλέχτηκαν στην 1η, 2η, 3η και 4η θέση. Άρα, υπάρχουν 6 επιλογές. 5 / 13

8 Από τον κανόνα γινομένου συνολικά: 9*9*8*7*6= αριθμοί με διαφορετικά ψηφία. 6 / 13

9 Θέμα 1-Ιούνιος 2013: Να υπολογίσετε με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά. Επίσης, να βρείτε σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί. 7 / 13

10 Θέμα 1-Ιούνιος 2013: Να υπολογίσετε με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 4 ίδια πορτοκάλια και 6 διαφορετικά μήλα σε 5 διαφορετικά κουτιά. Επίσης, να βρείτε σε ποιο ποσοστό αυτών των τρόπων τοποθετούνται 2 ακριβώς φρούτα σε κάθε κουτί. Υπάρχουν κατά τα γνωστά ( ) = 70 τρόποι για να τοποθετηθούν τέσσερα όμοια αντικείμενα σε πέντε διακεκριμένα κουτιά και 5 6 = τρόποι για να τοποθετηθούν έξι διαφορετικά μήλα σε πέντε διαφορετικά κουτιά. Επειδή οι τοποθετήσεις αυτές είναι ανεξάρτητες, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, υπάρχουν συνολικά = τρόποι για να μοιραστούν τα τέσσερα όμοια και τα έξι διαφορετικά φρούτα στα πέντε διακεκριμένα κουτιά. 7 / 13

11 Για να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα σκεφτόμαστε ως εξής: Ξεκινούμε τη διαδικασία της μοιρασιάς από τα τέσσερα όμοια πορτοκάλια και διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Εστω ότι τοποθετούνται από δύο πορτοκάλια σε δύο από τα πέντε κουτιά και κανένα πορτοκάλι στα υπόλοιπα κουτιά. Τα δύο κουτιά μπορεί να επιλεγούν κατά ( 5 2) = 10 τρόπους και τα έξι διαφορετικά μήλα μπορούν να μοιραστούν στα υπόλοιπα τρία κουτιά κατά 6! 2!2!2! = 90 τρόπους. Ετσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, σ αυτήν την κατηγορία υπάρχουν = 900 τρόποι τοποθέτησης. 8 / 13

12 Εστω ότι τοποθετούνται δύο όμοια πορτοκάλια σ ένα από τα κουτιά, από ένα πορτοκάλι σε δύο από τα υπόλοιπα τέσσερα κουτιά και τα άλλα δύο κουτιά μένουν χωρίς πορτοκάλι. Το κουτί με τα δύο πορτοκάλια μπορεί να επιλεγεί κατά 5 τρόπους, τα δύο κουτιά που θα πάρουν από ένα πορτοκάλι μπορεί να επιλεγούν κατά ( 4 2) = 6 τρόπους και τέλος τα έξι διαφορετικά μήλα μπορούν να μοιραστούν στις θέσεις, που περισσεύουν κατά 6! 2!2! = 180 τρόπους. Συνεπώς, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, η κατηγορία αυτή περιλαμβάνει = 5400 τρόπους τοποθέτησης. 9 / 13

13 Εστω, τέλος, ότι τοποθετείται από ένα πορτοκάλι σε καθένα από ( τέσσερα διακεκριμένα κουτιά. Αυτό μπορεί να γίνει με 5 ) 4 = 5 τρόπους και τα έξι διαφορετικά μήλα θα μοιραστούν στις θέσεις που περισσεύουν κατά 6! 2! = 360 τρόπους. Ετσι η κατηγορία αυτή περιλαμβάνει = 1800 τρόπους τοποθέτησης. Από τα παραπάνω και αφού έχουμε εξαντλήσει κάθε δυνατό τρόπο τοποθέτησης δύο φρούτων σε κάθε διακεκριμένο κουτί γίνεται φανερό ότι έχουμε συνολικά = 8100 τρόπους τοποθέτησης. Το κλάσμα των τρόπων αυτών ως προς το συνολικό αριθμό των τρόπων που 8100 υπολογίστηκε παραπάνω είναι: = / 13

14 Θέμα 1ο-Ιούλιος 2014: Με πόσους τρόπους r ίδιες μπάλες μπορούν να τοποθετηθούν σε n διαφορετικά κουτιά έτσι ώστε κάθε κουτί να περιέχει τουλάχιστον 9 μπάλες; 11 / 13

15 Θέμα 1ο-Ιούλιος 2014: Με πόσους τρόπους r ίδιες μπάλες μπορούν να τοποθετηθούν σε n διαφορετικά κουτιά έτσι ώστε κάθε κουτί να περιέχει τουλάχιστον 9 μπάλες; Αφού θέλουμε τουλάχιστον 9 μπάλες σε κάθε κουτί δεσμεύουμε 9n μπάλες. Συνεπώς, μένουν r 9n ίδιες μπάλες τις οποίες μπορούμε να τοποθετήσουμε στα n διαφορετικά κουτιά με όλους τους δυνατούς τρόπους (r 9n+n 1)! (n 1)!(r 9n)! = ( ) r 9n+n 1 r 9n 11 / 13

16 Θέμα 1ο- Σεπτέμβριος 2015: Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι να περάσουν k (διαφορετικά) αυτοκίνητα από n διαφορετικούς υπαλλήλους διοδίων όταν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία κάθε υπάλληλος εξυπηρετεί τα αυτοκίνητα; 12 / 13

17 Θέμα 1ο- Σεπτέμβριος 2015: Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι να περάσουν k (διαφορετικά) αυτοκίνητα από n διαφορετικούς υπαλλήλους διοδίων όταν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία κάθε υπάλληλος εξυπηρετεί τα αυτοκίνητα; Το πρώτο αυτοκίνητο έχει n επιλογές, όσοι και οι υπάλληλοι. Το δεύτερο αυτοκίνητο έχει n + 1 επιλογές: αν πάει στον υπάλληλο που πήγε και το πρώτο αυτοκίνητο να πάει πριν ή μετά από αυτό. Το τρίτο αυτοκίνητο έχει n + 2 επιλογές: αν πάει στον υπάλληλο που πήγε το πρώτο αυτοκίνητο, να πάει πριν ή μετά από αυτό, αν πάει στον υπάλληλο που πήγε και το δεύτερο να παέι πριν ή μετά από αυτό. Το k αυτοκίνητο έχει n + k 1 επιλογές: όμοια όπως προηγουμένως. 12 / 13

18 Άρα συνολικά (από κανόνα γινομένου) υπάρχουν n(n + 1)...(n + k 1) = (n+k 1)! (n 1)! διαφορετικοί τρόποι. 13 / 13