ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

Transcript

1 Τµ. Επιστήµης των Υλικών

2 Βασικές Αρχές Αρχή της Απαρίθµησης Εστω ότι ϑέλουµε να εκτελέσουµε ένα έργο Τ και το έργο εκτελείται σε κάποιες ϐαθµίδες, οι οποίες ϐαθµίδες εκτελούνται σε υποέργα, T j, j = 1, 2,...,k και κάθε υποέργο µπορεί να εκτελεστεί κατά n j τρόπους j = 1, 2,...,k. Ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών τρόπων εκτέλεσης είναι, n 1 n 2... n k. Αρχή της Προσθετικότητας Εστω ένα γεγονός A 1 µε r 1 επιλογές για την εκτέλεση του γεγονότος. Οµοίως, ένα γεγονός A 2 µε r 2 επιλογές. ένα γεγονός A 3 µε r 3 επιλογές. ένα γεγονός A k µε r k επιλογές. Τότε ο συνολικός αριθµός εκτέλεσης του A 1 ή A 2 ή... ή A k είναι r 1 + r r k.

3 ειγµατοληψία Ορισµός ιαθέτουµε µία κάλπη, η οποία περιέχει n πανοµοιότυπα σφαιρίδια και κάθε σφαιρίδιο ϕέρει έναν αριθµό από το 1, 2,...,n. Θέλουµε να πάρουµε k σφαιρίδια για να δούµε πόσες οµάδες µπορούµε να σχηµατίσουµε. Η λήψη σφαιριδίων από την κάλπη ονοµάζεται δειγµατοληψία. Τα k σφαιρίδια που πήραµε σχηµατίζουν ένα δείγµα µεγέθους k. Χωρίς Επανατοποθέτηση (nk ειγµατοληψία Με ιάταξη Χωρίς ιάταξη n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k ( n+k 1 k

4 Επαναληπτική ειγµατοληψία Ορισµός Εστω ότι έχουµε n σφαιρίδια τα οποία ϑέλουµε να τα τοποθετήσουµε σε k κάλπες. Μας ενδιαφέρει µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε τα σφαιρίδια στις κάλπες. Αυτό το τυχαίο πείραµα ονοµάζεται Επαναληπτική δειγµατοληψία. Με Περιορισµούς Επ. ειγµατοληψία ιακεκρ. Σφαιρίδια Μη ιακεκρ. Σφαιρίδια Χωρίς Περιορισµούς Με Περιορισµούς Χωρίς Περιορισµούς

5 Επαναληπτική ειγµατοληψία Θεώρηµα 1 ( ιακεκριµένα Σφαιρίδια Εστω ότι έχουµε n σφαιρίδια και ϑέλουµε να τα τοποθετήσουµε σε k κάλπες, τότε 1 Τα n διακεκριµένα σφαιρίδια τοποθετούνται στις k κάλπες χωρίς περιορισµούς κατά k n τρόπους. 2 Τα n διακεκριµένα σφαιρίδια τοποθετούνται στις k κάλπες µε περιορισµούς, Η 1η κάλπη περιέχει n 1 σφαιρίδια. Η 2η κάλπη περιέχει n 2 σφαιρίδια. Η kη κάλπη περιέχει n k σφαιρίδια, n! όπου n 1 + n n k = n κατά n 1!n 2!...n k! τρόπους. Παράδειγµα 1 Στο αµφιθέατρο 60 ϕοιτητές δίνουν το µάθηµα «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες». Ποια είναι η πιθανότητα 35 άτοµα να µην περάσουν το µάθηµα, 15 άτοµα να πάρουν ϐαθµό 5 και 10 άτοµα ϐαθµό µεγαλύτερο (> του 5.

6 Επαναληπτική ειγµατοληψία Θεώρηµα 2 (Μη ιακεκριµένα Σφαιρίδια Εστω ότι έχουµε n σφαιρίδια και ϑέλουµε να τα τοποθετήσουµε σε k κάλπες, τότε 1 Τα n µη διακεκριµένα σφαιρίδια ( τοποθετούνται στις k κάλπες n+k 1 χωρίς περιορισµούς κατά n τρόπους. 2 Τα n µη διακεκριµένα σφαιρίδια τοποθετούνται στις k κάλπες ( µε n 1 τον περιορισµό, ότι ϑέλω να γεµίσουν όλες οι κάλπες κατά k 1 τρόπους. Παράδειγµα 2 Σε ένα χωράφι υπάρχουν 30 στήλοι, όπου κάθε στήλος έχει και από ένα τενεκεδάκι. Οι 10 από τους στήλους είναι ϐαµµένοι κόκκινοι, οι 10 πράσινοι και οι υπόλοιποι 10 µπλε. Με µια σφεντόνα ϱίχνουµε από µια πέτρα σε κάθε στήλο. Ποια είναι η πιθανότητα να ϱίξουµε 5 τενεκεδάκια, όταν γνωρίζουµε ότι ϑα ϱίξουµε τενεκεδάκια από στήλους και των τριών χρωµάτων;

7 ειγµατοληψία Με ιάταξη Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (nk n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k ( n+k 1 k Επ. ειγµατοληψία ιακεκριµένα Σφαιρίδια Μη ιακεκριµένα Σφαιρίδια Με Περιορισµούς n! Χωρίς Περιορισµούς n 1!n 2!...n k! k n ( n 1 Με Περιορισµούς k 1 ( n+k 1 Χωρίς Περιορισµούς n