ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Πολλές φορές η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου επηρεάζεται από την πληροφορία ότι ένα άλλο ενδεχόμενο του ίδιου δειγματοχώρου έχει πραγματοποιηθεί. Η πιθανότητα να έχουμε πτώση στο Χρηματιστήριο Αθηνών επηρεάζεται σημαντικά αν έχουμε την πληροφορία ότι στο Χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης είχαμε σημαντική πτώση. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 2

2 Παράδειγμα Ο ακόλουθος πίνακας αναφέρεται στο βάρος και την υπέρταση 200 ατόμων. Υπέρβαρα Μη Υπέρβαρα Σύνολο Υπερτασικά Μη Υπερτασικά Σύνολο Ένα άτομο επιλέγεται τυχαία. Αν Α είναι το ενδεχόμενο το άτομο να είναι υπέρβαρο και Β το ενδεχόμενο το άτομο να είναι υπερτασικό να βρεθούν οι πιθανότητες:.p(a) και Ρ(Β). 2.Αν γνωρίζουμε ότι το άτομο που επιλέχθηκε είναι υπέρβαρο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι υπερτασικό. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 3 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με Ρ(Α) 0. Δεσμευμένη Πιθανότητα του ενδεχομένου Β με δεδομένο το Α λέγεται το πηλίκο: P(B A) = P(A B) P(A) Ανάλογα ορίζεται και η δεσμευμένη πιθανότητα P(A B) P(A B) P(B) =, Ρ(Β) 0 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 4 2

3 Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ο πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων που δίνεται από τις σχέσεις: P(A B) = P(A) P(B A) και P(A B) = P(B) P(A B) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 5 Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματοχώρου Ω, με Ρ(Α) 0 0 και Ρ(Β) 0. Τα ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα αν P(A B) = P(A) P(B) Τρία ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματοχώρου Ω θα λέγονται ανεξάρτητα αν Ρ(Α Β)=Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(Β Γ)=Ρ(Β)Ρ(Γ), Ρ(Β)Ρ(Γ), Ρ(Γ Α)=Ρ(Γ)Ρ(Α), Ρ(Α Β Γ)=Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 6 3

4 Θεώρημα ολικής πιθανότητας: Αν τα γεγονότα Α, Α 2,, Α n είναι ξένα μεταξύ τους ανά δύο και Α Α 2 Α n =Ω, τότε για κάθε γεγονός γγ Β: n PB ( ) = PB ( / Ai) PA ( i). i= Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 7 Θεώρημα Bayes: Έστω ότι τα γεγονότα Α, Α 2,, Α n είναι ξένα μεταξύ τους ανά δύο, η ένωση τους δίνει το δειγματοχώρο Ω (Α Α 2 Α n =Ω) και ισχύει P(Α κ ) > 0 για όλα τα k =,2,, n. Έστω επίσης το γεγονός Β με P(Β) > 0. Τότε: P(B A ) P(A ) P(A B) i i i = P(B A ) P(A ) + K+ P(B A n ) P(A n ) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 8 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Μία επιχείρηση παράγει όμοιες λάμπες σε τρία διαφορετικά εργοστάσιά της. Το πρώτο παράγει το 20%, το δεύτερο το 30% και το τρίτο το 50% του συνόλου της παραγωγής. Το ποσοστό των ελαττωματικών από το πρώτο εργοστάσιο είναι 2%, από το δεύτερο % και από το τρίτο 3%. α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να παραχθεί μία ελαττωματική λάμπα στο σύνολο της παραγωγής της επιχείρησης. β) Αν πάρουμε μία λάμπα και είναι ελαττωματική ποια η πιθανότητα να είχε παραχθεί στο δεύτερο εργοστάσιο? Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 9 2) Υπάρχουν 50 γραπτά, 40 της τάξης Τ, 50 της τάξης Τ2 και 60 της τάξης Τ3 και βρίσκονται ανακατεμένα σ ένα συρτάρι. Η βαθμολογία είναι κάτω από τη βάση στα 5% των γραπτών της Τ, στα 20% της Τ2 και στα 0% της Τ3. Παίρνουμε ένα γραπτό κατά τύχη από το συρτάρι. α) Ποια η πιθανότητα το γραπτό να έχει βαθμό κάτω από τη βάση? β) Αν το γραπτό που πήραμε είχε βαθμό κάτω από τη βάση, ποια η πιθανότητα να είναι από την τάξη Τ. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 0 5

6 3) 0 άτομα από τα 00 έχουν γρίπη. Ο γιατρός έκανε σωστή διάγνωση στο 92% εφόσον έχουν γρίπη και λάθος διάγνωση στο 2% των ατόμων που δεν έχουν γρίπη. Ποια η πιθανότητα να διαγνώσει ο γιατρός γρίπη. 4) Υποθέτουμε ότι η βραδινή μας έξοδος εξαρτάται από το ενδεχόμενο να βρέξει. Η πιθανότητα εξόδου αν βρέξει είναι 0,20 και αν δεν βρέξει 0,80. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να βρέξει είναι 0,70. Ποια είναι η πιθανότητα να γίνει η βραδινή μας έξοδος. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 5) Για τη διάγνωση ενός ιού τρέχουμε ένα διαγνωστικό το οποίο είναι παλιό και στο 80% των περιπτώσεων βγάζει ότι υπάρχει ιός δεδομένου ότι ο υπολογιστής έχει ιό, ενώ στο 0% των περιπτώσεων προκύπτει ότι ο υπολογιστής έχει ιό δεδομένου ότι ο υπολογιστής δεν έχει ιό. Υποθέτουμε ότι το % των υπολογιστών του τμήματος Πληροφορικής έχει ιό. Επιλέγουμε ένα υπολογιστή στην τύχη και τρέχουμε το διαγνωστικό. Α) Ποια είναι η πιθανότητα το διαγνωστικό να βγάλει ότι υπάρχει ιός; Β) Ποια είναι η πιθανότητα ο υπολογιστής να έχει ιό δεδομένου ότι το διαγνωστικό έβγαλε θετικό αποτέλεσμα; Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 2 6