εσµευµένες Πιθανότητες-Λυµένα Παραδείγµατα 3. Επιλέγουµε έναν που δεν είναι άνεργος. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι πτυχιούχος; = 0.

Transcript

1 Τµήµα Επιστήµης των Υλικών Μάθηµα: Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ιδάσκων: Κ. Πετρόπουλος εσµευµένες Πιθανότητες-Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα. Το 0% του ενεργού πληθυσµού (εργαζόµενοι και άνεργοι 5 ετών και άνω είναι πτυχιούχοι, το 0% είναι απόφοιτοι λυκείου και το 70% µη απόφοιτοι λυκείου. Άνεργοι είναι το 7% των πτυχιούχων, το 4% των αποφοίτων λυκείου και το 5% των µη αποφοίτων λυκείου.. Επιλέγουµε ένα ενεργό άτοµο. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι άνεργο;. Να ελεγχθεί αν τα ενδεχόµενα {ένα άτοµο είναι άνεργο} και {ένα άτοµο είναι πτυχιούχος} είναι ανεξάρτητα. 3. Επιλέγουµε έναν που δεν είναι άνεργος. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι πτυχιούχος; Απόδειξη. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα, Π = {το άτοµο είναι πτυχιούχος} Λ = {το άτοµο είναι απόφοιτος λυκείου} Μ = {το άτοµο είναι µη απόφοιτος λυκείου} Α = {το άτοµο είναι άνεργο}. P(A = P(A ΠP(Π+P(A ΛP(Λ+P(A MP(M = = P(A = 0.07 = P(A Π, εποµένως τα ενδεχόµενα Α και Π είναι ανεξάρτητα. 3. P(Π A c = P(Ac ΠP(Π P(A c = = 0. Παράδειγµα. Θεωρούµε δύο δοχεία U και U, όπου το U περιέχει 8 µαύρα και 5 άσπρα σφαιρίδια και τοu περιέχει 4 µαύρα και 0 άσπρα σφαιρίδια. Ενα τίµιο Ϲάρι αναρίπτεται και εάν ο εµφανιζόµενος αριθµός είναι περιττός, ένα σφαιρίδιο επιλέγεται από το U και τοποθετείται στο U, ενώ αν εµφανιστεί άρτιος ένα σφαιρίδιο επιλέγεται από το U και τοποθετείται στο U. Ποια είναι η πιθανότητα, ώστε όταν το παραπάνω πείραµα εκτελεστεί δύο ϕορές, ο αριθµός των λευκών σφαιριδίων στο U να παραµένει σταθερός; Απόδειξη. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα, Λ = {ο αριθµός άσπρων σφαιριδίων στο U } A i = {άρτιος αριθµός κατά την i ϱίψη του Ϲαριού}, i =,. Π i = {περιττός αριθµός κατά την i ϱίψη του Ϲαριού}, i =,. P(Λ = 0 = P(Λ = 0 A A P(A A +P(Λ = 0 A Π P(A Π +P(Λ = 0 Π A P(Π A +P(Λ = 0 Π Π P(Π Π. Προφανώς οι ϱίψεις είναι ανεξάρτητες, εποµένως ϑα χρειαστεί να δώσουµε ιδιαίτερη προσοχή στον υπολογισµό των δεσµευµένων πιθανοτήτων. Οπότε,

2 Πανεπιστήµιο Πατρών P(Λ = 0 = P(µεταφέρω µαύρα σφαιρίδια από το U P(A P(A = ( 4 +P ((µεταφέρω µαύρο σφαιρίδιο από το U και µαύρο σφαιρίδιο από το U ή (µεταφέρω άσπρο σφαιρίδιο από το U και άσπρο σφαιρίδιο από το U P(A P(Π +P ((µεταφέρω µαύρο σφαιρίδιο από το U και µαύρο σφαιρίδιο από το U ή (µεταφέρω άσπρο σφαιρίδιο από το U και άσπρο σφαιρίδιο από το U P(Π P(A +P(µεταφέρω µαύρα σφαιρίδια από το U P(Π P(Π ( 4 ( ( ( 8 ( 4 Παράδειγµα 3. Μετά τον σεισµό των 6,5 ϱίχτερ στις 8/6 στην περιοχή της Ανδραβίδας, η πιθανότητα στους επόµενους µήνες να γίνει ένας µετασεισµός άνω των 6 ϱίχτερ είναι 0%. Στην περίπτωση που γίνει αυτός ο µετασεισµός, εκτιµάται ότι το ποσοστό των σπιτιών στην περιοχή που έχουν κατασκευαστεί πριν το 940 και πρόκειται να χαρακτηριστούν ως µη κατοικήσιµα είναι 0%, ενώ αν δεν γίνει ένας τέτοιος µετασεισµός, τότε το ποσοστό αυτών των σπιτιών εκτιµάται ότι ϑα είναι µόλις 5%.. Ποια είναι η πιθανότητα για ένα σπίτι, που έχει κατασκευαστεί πριν το 940, να χαρακτηριστεί ως µη κατοικήσιµο µέχρι τις 8/8;. Αν γνωρίζουµε ότι κανένα σπίτι που έχει κατασκευαστεί πριν το 940 δεν πρόκειται να ϑεωρηθεί Απόδειξη. µη κατοικήσιµο εώς τις 8/8, ποια είναι η πιθανότητα για µετασεισµό µικρότερο των 6 ϱίχτερ;. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα, Α = {γίνεται µετασεισµός µεγαλύτερος των 6 ϱίχτερ µέχρι τις 8/8.} Β = {το σπίτι που έχει κατασκευαστεί πριν το 940 ϑεωρείται µη κατοικήσιµο ως τις 8/8.} Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της Άσκησης, P(A = 0. P(A c = 0.9 P(B A = 0. και P(B A c = 0.05 Εποµένως από το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας προκύπτει ότι, P(B = P(B AP(A+P(B A c P(A c = = ηλαδή η πιθανότητα για ένα σπίτι, που έχει κατασκευαστεί πριν το 940, να χαρακτηριστεί ως µη κατοικήσιµο µέχρι τις 8/8 είναι 6.5%.. Η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ηp(a c B c η οποία µπορεί να υπολογιστεί από το Θεώρηµα Bayes, P(A c B c = P(Bc A c P(A c P(B c. Επειδή, P(B A c = 0.05 P(B c A c = P(B A c = Επίσης, επειδή P(B = P(B c = Τελικά, P(A c B c = =

3 Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 3 Παράδειγµα 4. Κατά την εξέταση ενός ασθενούς υπάρχει η υποψία ότι αυτός πάσχει από µία από τις 3 ασθένειες A ή A ή A 3. Υποθέτουµε ότι, υπό ορισµένες συνθήκες, το 50% του πληθυσµού πάσχουν από την ασθένεια A, 5% από την ασθένεια A και 5% από την ασθένεια A 3. Για καλύτερη διάγνωση ο ασθενής υποβάλλεται σε ορισµένο τεστ του οποίου το αποτέλεσµα είναι ϑετικό µε 5% στην περίπτωση της ασθένειας A, 50% στην περίπτωση της ασθένειας A και 90% στην περίπτωση της ασθένειας A 3. Ποια είναι η πιθανότητα ο ασθενής να µην έχει την ασθένεια A, παρ όλο ότι το παραπάνω τεστ είναι ϑετικό. Απόδειξη. B = {το τεστ είναι ϑετικό} A = { το άτοµο πάσχει από την ασθένεια A } A = { το άτοµο πάσχει από την ασθένεια A } A 3 = { το άτοµο πάσχει από την ασθένεια A 3 } P(B = P(B A P(A +P(B A P(A +P(B A 3 P(A 3 = = P(A B = P(B A P(A = = 0.63 P(B P(A c B = P(A B = 0.63 = Παράδειγµα 5. Από ης Ιουλίου έχει τεθεί σε ισχύ ο αντικαπνιστικός νόµος 3730/008, ο οποίος απαγορεύει το κάπνισµα σε κλειστούς δηµόσιους ή ιδιωτικούς χώρους. Σ ένα δείγµα 00 ϕοιτητών του Πανεπιστηµίου Πατρών, οι 0 είναι καπνιστές (εκ των οποίων οι 40 είναι γυναίκες, ενώ οι υπόλοιποι 80, από το συνολικό δείγµα, είναι µη καπνιστές (εκ των οποίων οι 30 είναι γυναίκες. Ρωτήσαµε τα άτοµα αν ϑεωρούν ότι το παραπάνω µέτρο απαγόρευσης είναι προς τη σωστή κατεύθυνση, όσον αφορά την υγεία των ανθρώπων. Το 60%, των άρρενων ϕοιτητών που καπνίζουν, απάντησαν ϑετικά, αντίστοιχα απάντησαν (ϑετικά και το 75% των ϕοιτητριών που καπνίζουν, ενώ και το 90% των άρρενων ϕοιτητών που δεν καπνίζουν, όπως και το 95% των ϕοιτητριών που δεν καπνίζουν είχαν την ίδια άποψη (το µέτρο είναι προς την σωστή κατεύθυνση.. Ποιο ποσοστό από τον παραπάνω πληθυσµό ϑεωρεί ότι το µέτρο που αφορά την απαγόρευση του καπνίσµατος δεν είναι προς την σωστή κατεύθυνση;. Ποιο ποσοστό από τον παραπάνω ανδρικό πληθυσµό ϑεωρεί ότι το µέτρο που αφορά την απαγό- ϱευση του καπνίσµατος δεν είναι προς την σωστή κατεύθυνση; Απόδειξη. Θεωρούµε τα γεγονότα A = {άνδρας ϕοιτητής}, Γ = {γυναίκα ϕοιτήτρια} Κ = {ϕοιτητής που καπνίζει}, K c = { ϕοιτητής που δεν καπνίζει} Θ = {το άτοµο ϐλέπει το µέτρο ϑετικά}. P(A K = 80 40, P(Γ K = 00 00, P(A K c = 50 00, P(Γ Kc = P(Θ A K = 0.6, P(Θ Γ K = 0.75, P(Θ A K c = 0.9, P(Θ Γ K c = Από το Θ.Ο.Π. έχουµε,

4 4 Πανεπιστήµιο Πατρών P(Θ = P(Θ A KP(A K + P(Θ Γ KP(Γ K + P(Θ A K c P(A K c + P(Θ Γ K c P(Γ K c = = Εποµένως, P(Θ c = P(Θ = Εδώ παίρνουµε ΜΟΝΟ το δείγµα των ανδρών, το οποίο αποτελείται από 30 άτοµα. P(A K = 80 30, P(A Kc = Οπότε εφαρµόζοντας πάλι το Θ.Ο.Π. έχουµε, P(Θ = P(Θ A KP(A K+P(Θ A K c P(A K c = = Εποµένως, P(Θ c = P(Θ = Παράδειγµα 6. Από το συνολικό πλήθος των µεταναστών που Ϲουν στην Ελλάδα, το /6 εξ αυτών είναι υπήκοοι χωρών της Ευρώπης των 7, ενώ οι υπόλοιποι προέρχονται από κράτη εκτός της Ε.Ε.. Το ποσοστό των εργαζοµένων µεταναστών, που προέρχονται από την Ε.Ε., αγγίζει το 70%, ενώ το ποσοστό των µη εργαζόµενων µεταναστών που προέρχονται από χώρες εκτός της Ε.Ε., αγγίζει το 60%.. Ποια είναι η πιθανότητα ένας µετανάστης που Ϲει στην Ελλάδα, να εργάζεται;. Ποια είναι η πιθανότητα, ένας µετανάστης να προέρχεται από χώρα εκτός της Ε.Ε., όταν είναι γνωστό ότι αυτός δεν εργάζεται; (0 Απόδειξη. A = {ο µετανάστης εργάζεται} B = {ο µετανάστης προέρχεται από την Ε.Ε.}. P(A = P(A BP(B+P(A B c P(B c = = P(B c A c = P(Ac B c P(B c P(A c = = 0.9 Παράδειγµα 7. Θεωρούµε τρία δοχεία U, U και U 3 όπου καθ ένα από αυτά περιέχει 5 µαύρα και 5 άσπρα σφαιρίδια. Ανασύρουµε ένα σφαιρίδιο από το U και το τοποθετούµε στο U, στη συνέχεια ανασύρουµε δύο σφαιρίδια από το U και το τοποθετούµε στο U 3. Τέλος ανασύρουµε τρία σφαιρίδια από το U 3.. Ποια είναι η πιθανότητα τα να είναι µαύρα και το άσπρο;. Υπολογίστε την ίδια πιθανότητα όταν είναι γνωστό ότι το άσπρο προέρχεται από το U. Απόδειξη. Θεωρούµε τα γεγονότα M i = { ανασύρω µαύρο από το U i } και A i = { ανασύρω άσπρο από το U i }, i =,,3.

5 Τµήµα Επιστήµης των Υλικών 5. P(A 3 M 3 = P(A 3 M 3 A P(A +P(A 3 M 3 A M P(A M +P(A 3 M 3 M P(M = = P(A 3 M 3 A (P(A A P(A +P(A M P(M + +P(A 3 M 3 A M (P(A M A P(A +P(A M M P(M + +P(A 3 M 3 M (P(M A P(A +P(M M P(M = ( ( ( ( = ( ( + ( + 3 ( ( ( ( ( ( ( ( + ( + 3 ( ( ( ( ( ( + (. 3. Αυτό που πρέπει να γίνει σαφές σε αυτό το υποερώτηµα είναι ότι από τοu ϑα ϐγάλω αναγκαστικά ένα άσπρο σφαιρίδιο και από το U τουλάχιστον ένα άσπρο, για να έχω στο U 3 το σφαιρίδιο από το U. Εποµένως το πρόβληµα µπορεί να ξεκινήσει από το U το οποίο πλέον περιέχει 6 άσπρα και 5 µαύρα σφαιρίδια, ϐγάζω άσπρα ή ένα µαύρο και ένα άσπρο και στη συνέχεια ϐγάζω τα 3 σφαιρίδια από το U 3, δηλαδή, P(A 3 M 3 = P(A 3 M 3 A P(A +P(A 3 M 3 A M P(A M = ( ( ( ( ( ( ( = ( 3 ( + ( 3 ( Παράδειγµα 8. Σύµφωνα µε την τελευταία απογραφή του ελληνικού πληθυσµού (0, το 30% του πληθυσµού (5 ετών και άνω είναι µέχρι 9 ετών, το 30% του πληθυσµού είναι από 30 εώς 49 ετών και το υπόλοιπο 40% είναι πάνω από 50 ετών. Η πιθανότητα ένα άτοµο από τον παραπάνω πληθυσµό, ηλικίας µέχρι 9 ετών, να έχει προφίλ στο facebook είναι 60%, για άτοµα ηλικίας 30 εώς 49 ετών, αυτή η πιθανότητα είναι 40%, ενώ η πιθανότητα, για ένα άτοµο άνω των 50 ετών, να µπορούµε να το ϐρούµε στο facebook είναι 5%.. Ποια είναι η πιθανότητα, ένα άτοµο από τον παραπάνω πληθυσµό να έχει προφίλ στο facebook;. Αν διαλέξουµε ένα άτοµο από τον παραπάνω πληθυσµό και διαπιστώσουµε ότι δεν ϐρίσκεται στο facebook, ποια είναι η πιθανότητα να είναι άνω των 50 ετών; (5 Απόδειξη. Ορίζουµε τα γεγονότα, A = {το άτοµο έχει σελίδα στο facebook}

6 6 Πανεπιστήµιο Πατρών B = {το άτοµο είναι µέχρι 9 ετών} B = {το άτοµο είναι από 30 µέχρι 49 ετών} B 3 = {το άτοµο είναι από 50 ετών και πάνω}.. Αρχικά χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας για να υπολογίσουµε την P(A, P(A = P(A B P(B +P(A B P(B +P(A B 3 P(B 3 = = Εδώ, χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Bayes, δηλ. P(B 3 A c = P(Ac B 3 P(B 3 = = P(A c Προσοχή! P(A c = P(A = 0.4 = 0.6 και P(A c B 3 = P(A B 3 = 0.5 = 0.75