Στέφανος Ασωνίτης Μαθηματικός MSc στην Επιστήμη της Πληροφορίας

Transcript

1 Προβλήματα απεικονίσεων ευθείας και κωνικών τομών μέσω μετασχηματισμών Möbius. Παράσταση λύσεων με το λογισμικό GeoGebra Στέφανος Ασωνίτης Μαθηματικός MSc στην Επιστήμη της Πληροφορίας Παράρτημα ΕΜΕ Κέρκυρας 7η Διάλεξη 0-03 Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 03 Αμφιθέατρο τμήματος Αρχειονομίας Βιβλιοθηκονομίας Κέρκυρα

2 Η έννοια του Προβλήματος στη γεωμετρία Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία. Βιβλία Τόμος Ι Σταμάτη, Ε., 975 Πρόβλημα: η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού σχήματος «όπερ έδει ποιήσαι» Πάπυρος Rhind εμπειρική λύση δίχως απόδειξη Ahmes, 700 π.χ.

3 Εισαγωγή στη Γεωμετρία. Στεφανίδης, 989 Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη Έχω ένα αρχικό σύστημα σημείων. Επιτρεπτές πράξεις:. Φέρω ευθεία που ορίζεται από δύο σημεία.. Γράφω περιφέρεια κύκλου, όπως ορίζεται από δύο σημεία το ένα σημείο είναι κέντρο του κύκλου ο οποίος διέρχεται από το άλλο σημείο 3. Επιλέγω ένα ακριβώς νέο σημείο ως τομή ευθειών/κύκλων και το προσθέτω στο αρχικό σύστημα σημείων. Κατασκευή είναι η διεύρυνση του αρχικού συστήματος σημείων μέσω μια πεπερασμένης ακολουθίας κατασκευαστικών βημάτων με χρήση των ανωτέρω πράξεων.

4 Γεωμετρικοί τόποι στο ευκλείδειο επίπεδο E Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Διχοτόμος γωνίας «Κύκλος» Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή Κωνικές τομές Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

5 Κωνικές Τομές Πηγή: παραβολή έλλειψη, κύκλος 3 υπερβολή

6 Η αφορμή Παράδειγμα Elementar Mathematics. Dorofeev, Potapov and Roov, 976 Να προσδιορίσετε* το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν την ισότητα: Λύση β τρόπος Θέτουμε w -άρα επιπλέον μπορούμε w w ναθεωρήσουμε f w w w * λόγω της φύσης του μέσου πέραν του προσδιορισμού θα κάνουμε και παράσταση του γεωμετρικού τόπου. Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό GeoGebra

7 Το ταξίδι αρχίζει Μετασχηματισμοί f w w Μετασχηματισμός στο μιγαδικό επίπεδο C Μετασχηματισμοί Ως μετασχηματισμό του ορίζουμε μια ένα προς ένα και επί απεικόνιση f :

8 Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο που αποτελούν τα δομικά στοιχεία των μετασχηματισμών Möbius Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά Στροφή Ομοιοθεσία Ισομετρίες ή στέρεες κινήσεις Αντιστροφή

9 Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του det A 0 τότε: A det A Ορισμός f f Ένας μετασχηματισμός του επιπέδου της μορφής όπου ο πίνακας Α είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας, ονομάζεται αφφινικός μετασχηματισμός του επιπέδου. A b

10 Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο Αν f,g, h είναι αφφινικοί μετασχηματισμοί του επιπέδου τότε: Η σύνθεση δύο αφφινικών μετασχηματισμών είναι αφφινικός μετασχηματισμός. Πράγματι, Έστω: f A a και g B g f g f B A a Ba Όπου: και με Γ: αντιστρέψιμο. AB Είναι και ομοίως BA A B I άρα: BA A B

11 Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: f g h f g h 0 Ο αφφινικός μετασχηματισμός f I με πίνακα I 0 έχει την ιδιότητα: f f f f f για κάθε αφφινικό μετασχηματισμό f I I Προφανώς και κάθε αφφινικός μετασχηματισμός του επιπέδου με πίνακα Α έχει αντίστροφο μετασχηματισμό με πίνακα οποίος είναι και αυτός αφφινικός. A, ο Συνεπώς Το σύνολο όλων των αφφινικών μετασχηματισμών του επιπέδου σχηματίζουν ομάδα.

12 Τι είναι η γεωμετρία; Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο Feli Klein Erlangen Program Η μελέτη ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων που παραμένουν αναλλοίωτες ως προς μια ομάδα μετασχηματισμών Τι είναι ευκλείδεια γεωμετρία; Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των σχημάτων που παραμένουν αναλλοίωτες ως προς την ομάδα των αφφινικών μετασχηματισμών του επιπέδου όπου ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος Κάθε στοιχείο της ομάδας μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση μιας στροφής ή ανάκλασης και μιας μεταφοράς

13 . Μεταφορά Translation C a C, a, T : T Μια μεταφορά είναι ένας αφφινικός μετασχηματισμός της μορφής a a I f Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο 0 0 I 0 0 ' ' Η απεικόνιση Στο μιγαδικό επίπεδο: Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο

14 . Στροφή Rotation Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο Μια στροφή κατά τη θετική φορά γύρω από την αρχή Ο είναι ένας αφφινικός μετασχηματισμός της μορφής f R Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο R Η απεικόνιση ' ' Στο μιγαδικό επίπεδο: :Τ e i, C, θ Τύπος του Euler 740: e i i

15 3. Ομοιοθεσία Homothet Μια ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή Ο είναι ένας αφφινικός μετασχηματισμός της μορφής * λ, H f O Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο 0 0 H O Η απεικόνιση 0 0 ' ' Στο μιγαδικό επίπεδο: * λ C,, T : T Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο

16 Απεικονίσεις μέσω αφφινικών μετασχηματισμών στο The affine invariance and line smmetries of the conics. Villiers, M.,993 Oι αφφινικοί μετασχηματισμοί απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες και κάθε κωνική τομή σε κωνική τομή του ίδιου είδους: Σχήμα Ευθεία Εικόνα μέσω αφφινικού μετασχηματισμού Ευθεία Έλλειψη Έλλειψη * Παραβολή Υπερβολή Παραβολή Υπερβολή * ο κύκλος και η έλλειψη είναι σχήματα αφφινικά ισοδύναμα και λαμβάνουν την κανονική μορφή

17 Απεικονίσεις μέσω μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας στο Οι μετασχηματισμοί μεταφοράς, στροφής και ομοιοθεσίας, καθώς και οι συνθέσεις αυτών απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες και κάθε κωνική τομή σε κωνική τομή του ίδιου είδους: Σχήμα Ευθεία Κύκλο Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή Εικόνα Ευθεία Κύκλο Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή

18 Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [/6] Στροφή ευθείας Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται στην ευθεία = Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με w f i e i rotation_line Στροφή & μεταφορά ευθείας Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται στην ευθεία = Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με α β γ w i w i w i i rotation_translation_line

19 Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [/6] Στροφή & μεταφορά κύκλου Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται στον κύκλο με εξίσωση: 3 3 Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με α w i β w i i rotation_circle Στροφή & μεταφορά έλλειψης Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται έλλειψη με εξίσωση: 5 6 Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με α w i β w i i rotation_ellipse rotation_translation_ellipse

20 Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται στην ευθεία = Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με: α Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [3/6] Ομοιοθεσία ευθείας w β w Ομοιοθεσία κύκλου Αν για τους μιγαδικούς είναι: i Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με: α w 3 homothet_line β γ δ w 3 w 3 w 3 homothet_circle

21 Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [4/6] Ομοιοθεσία/στροφή κύκλου Αν για τους μιγαδικούς είναι: Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με α w i homothet_rotation_circle β w i w 3 i f e

22 Ομοιοθεσία/στροφή & μεταφορά κύκλου Αν για τους μιγαδικούς είναι: Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με: α Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [5/6] w β w homothet_rotation_translation_circle γ w δ w i

23 Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [6/6] Ομοιοθεσία έλλειψης Αν οι εικόνες του μιγαδικού κινούνται έλλειψη με εξίσωση: 5 6 Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με w homothet_ellipse

24 Γεωμετρική Αντιστροφή Η Γεωμετρία της Αντιστροφής: Ιστορική Αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές, Κακούρης, Μ.,008 Γεωμετρική αντιστροφή ως προς το μοναδιαίο κύκλο OAOA' r A,,, 0,0,,,, 0,0 Στο μιγαδικό επίπεδο: T : T, * C i i,, 0,0 Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Geogebra

25 Μιγαδική Αντιστροφή* στο C Γεωμετρική αντιστροφή ως προς το μοναδιαίο κύκλο και ανάκλαση ως προς τον -άξονα. -,,,,, 0,0 αντιστροφή A A' A'' ανάκλαση Στο μιγαδικό επίπεδο: T : T, * C i i,, 0,0 *Visual Comple Analsis. Tristan Needham, 997 Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Geogebra

26 A Ευθεία/Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων μπορεί να πάρει τη μορφή: 0, α 0 0 i i Τότε η γράφεται: Re 0 0 Έστω ότι ζητάμε την εικόνα του Έχουμε: Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99 w A, 0 Re 0 0 Re 0 0 w Re 0 0 w w w ww Re 0 0 Re 0 0 Re 0w 0 w w C

27 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο C A Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το οποίο σημαίνει ότι κατά την μιγαδική αντιστροφή αν οι εικόνες του 0 κινούνται σε ευθεία ε «διατρυπημένη»* στην αρχή Ο των αξόνων τότε και ο συζυγής μιγαδικός w της εικόνας w, w 0 Θα κινείται σε ευθεία «διατρυπημένη» στο Ο. Συνεπώς και ο μιγαδικός w λόγω συμμετρίας με τον συζυγή του ως προς τον άξονα αυτός σε ευθεία «διατρυπημένη» στην αρχή Ο. ' θα βρίσκεται και * Η Γεωμετρία της Αντιστροφής: Ιστορική Αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές, Κακούρης, Μ.,008

28 Το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο: Ĉ

29 3 Α Μιγαδική Αντιστροφή στο Ĉ Στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο: T Μια ευθεία «διατρυπημένη» στο Ο απεικονίζεται σε «διατρυπημένη» στο Ο ευθεία. 0 0 Ευθεία που διέρχεται από το Ο : T, 0, 0 0, Μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή Ο στο επεκτεταμένο μιγαδικό απεικονίζεται σε ευθεία που διέρχεται από το Ο Επομένως για το μετασχηματισμό της μιγαδικής αντιστροφής στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, ισχύει ότι: Απεικονίζεται σε Ευθεία που διέρχεται από το Ο

30 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Ĉ Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99 Αποδεικνύεται ότι για τον μετασχηματισμό της μιγαδικής αντιστροφής στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, ισχύει ότι: Β Γ Δ Ευθεία που δεν διέρχεται από το Ο Κύκλος που διέρχεται από το Ο Κύκλος που δεν διέρχεται από το Ο Απεικονίζεται σε Κύκλος που διέρχεται από το Ο Ευθεία Κύκλο

31 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Ĉ Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99 Επομένως: Το σύνολο των ευθειών και κύκλων στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζεται μέσω της μιγαδικής αντιστροφής στον εαυτό του. Γενικεύοντας: Αν θεωρήσουμε την ευθεία ως κύκλο γενικευμένος κύκλος που διέρχεται από το απ άπειρο σημείο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, τότε μέσω της μιγαδικής αντιστροφής : Απεικονίζεται σε Γενικευμένος Κύκλος Circline Γενικευμένο Κύκλο Circline

32 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Ĉ Μεθοδολογία για τη λύση ασκήσεων Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99 ΝΑΙ εξετάζουμε αν υπάρχει / K με Τ ΌΧΙ* Η εικόνα περιλαμβάνει το επ άπειρο σημείο του μιγαδικού επιπέδου και αναγκαστικά θα είναι ευθεία. Η εικόνα είναι κύκλος. * T, ή K

33 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Παράδειγμα A Να βρείτε την εικόνα της ευθείας μιγαδικής αντιστροφής. Παραδείγματα : μέσω της Ĉ Παρατηρώ ότι για Άρα η εικόνα T Αρκεί να προσδιορίσω ένα ακόμη σημείο. i T i i i,, Συνεπώς η εικόνα είναι η ευθεία: 0 είναι T είναι ευθεία που διέρχεται από Ο inversion_line_origin

34 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Παράδειγμα B Παραδείγματα : Να βρείτε την εικόνα της ευθείας μέσω της μιγαδικής αντιστροφής. Παρατηρώ ότι για κάθε είναι T Άρα η εικόνα T είναι κύκλος Για να προσδιορίσω τον κύκλο, αρκεί να προσδιορίσω τρία σημεία από τα οποία διέρχεται. T T i i T 0 i Το κέντρο του κύκλου προσδιορίζεται ως η τομή των δύο μεσοκαθέτων των χορδών. Η ακτίνα ως η απόσταση του κέντρου από ένα από τα σημεία. Τελικά η εικόνα είναι ο κύκλος: inversion_line_no_origin Ĉ

35 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Παράδειγμα Γ Παραδείγματα K : Να βρείτε την εικόνα του κύκλου μέσω της μιγαδικής αντιστροφής. Παρατηρώ ότι για 0 είναι T Άρα η εικόνα TK είναι ευθεία. Παρατηρώ ότι ο κύκλος Κ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα, άρα: K Επιπλέον αν : w f T K Είναι και : w f f T K Συνεπώς και η εικόνα είναι η εικόνα ΤΚ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον -άξονα. Επομένως για να προσδιορίσω την ευθεία TK χρειάζομαι μόνο ένα σημείο από το οποίο διέρχεται. T,0,0 Ĉ inversion_circle_origin Συνεπώς η εικόνα είναι η ευθεία: Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99

36 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Παραδείγματα Παράδειγμα Δ Να βρείτε την εικόνα του κύκλου K : μέσω της μιγαδικής αντιστροφής. Παρατηρώ ότι για κάθε K είναι T Άρα η εικόνα TK είναι κύκλος Παρατηρώ ότι ο κύκλος Κ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα, άρα: Ĉ K Επιπλέον αν : w f T K Είναι και : w f f T K Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων, Δανίκας, Ν., 99 Συνεπώς και η εικόνα είναι η εικόνα ΤΚ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον -άξονα. Επομένως για να προσδιορίσω τον κύκλο TK χρειάζομαι μόνο τα δύο σημεία στα οποία τέμνει τον χ-άξονα. T T 3 3 Συνεπώς η εικόνα είναι ο κύκλος: inversion_circle_no_origin 3 9

37 Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Παράδειγμα E Παραδείγματα Να βρείτε την εικόνα του μοναδιαίου τετραγώνου μέσω της μιγαδικής αντιστροφής. Ĉ inversion_unit_square

38 Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/3] Να βρεθεί η εικόνα της παραβολής 0 p, p Μέσω της μιγαδικής αντιστροφής 0,0,,, -,, f Y Y Y Y Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε: p p Y Ισχυριζόμαστε ότι: p p 0 p, p Ĉ 0, 0, 0, : T T

39 που ισχύει. - p p p p συνεπώς η γράφεται: Y p p Y Για την παραβολή έχουμε άρα και επομένως και 0 p 0 0 Από τη σχέση προκύπτει ότι: 0 p συνεπώς: p Y Η εξίσωση αυτή περιγράφει την κισσοειδή του Διοκλή Cissoid of Diocles 0 p, p Ĉ Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/3] 0 0

40 Εικόνα της p, p 0 μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [3/3] Ĉ inversion_parabola

41 Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/3] Να μελετηθεί η εικόνα της έλλειψης: Μέσω της μιγαδικής αντιστροφής T : T Ellipses in the Inversive Plane, Coffman, A. & Frant, M., Ĉ, 0, 0 0, Θεώρημα: Αν Ε είναι μια έλλειψη με κέντρο Τότε η εικόνα ΤΕ δεν είναι έλλειψη. 0C και T

42 Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/3] Ellipses in the Inversive Plane, Coffman, A. & Frant, M., Ĉ Η απόδειξη είναι στοιχειώδης όταν η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μεγάλη. Δηλαδή όταν π.χ. για α > β είναι: inversion_ellipse a Τότε ο κύκλος K, με κέντρο,0 τέμνει την έλλειψη σε τρία σημεία, προφανώς το ένα από αυτά είναι το Aa,0. Ο κύκλος αυτός διέρχεται από την αρχή Ο, άρα η εικόνα του μέσω της μιγαδικής αντιστροφής είναι ευθεία. Στην εικόνα αυτή ευθεία ανήκουν και οι εικόνες των τριών κοινών σημείων της έλλειψης με τον κύκλο. Άρα η εικόνα της έλλειψης είναι ένα σχήμα το οποίο έχει τρία κοινά σημεία με μία ευθεία και συνεπώς δεν μπορεί να είναι έλλειψη. K a

43 Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/3] 0,0,,, -,, f Y a a Y Y Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: Y Ellipses in the Inversive Plane, Coffman, A. & Frant, M., Η γενική απόδειξη, μας οδηγεί σε μελέτη καμπύλης 4 ου βαθμού Ĉ

44 Παρατηρούμε ότι: Y Από τις και έχουμε: Y Y 0 - Y Y Ellipses in the Inversive Plane, Coffman, A. & Frant, M., Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [3/3] Ĉ Η εικόνα δεν είναι έλλειψη, αλλά ένα «οβάλ» oval σχήμα. inversion_ellipse_

45 Να βρεθεί η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής Μέσω της μιγαδικής αντιστροφής 0,0,,, -,, f Y Y Y προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: Y 0, 0, 0, : T T a Εικόνα της μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/] Ĉ a αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: a Y

46 Εικόνα της a μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [/] Y a Y O λημνίσκος lemniscate του Bernoulli, σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχει εξίσωση Finne, Weir, Giordano. Thomas calculus: earl Transcendentals 0 th ed. 003: a Με εστίες: F' a,0, Fa,0 Ĉ Συνεπώς η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής μέσω της μιγαδικής αντιστροφής είναι λημνίσκος του a Bernoulli με εστίες: F ',0, F,0 a a inversion_hperbola

47 Μετασχηματισμοί Möbius Ομογραφικοί μετασχηματισμοί Διπλογραμμικοί μετασχηματισμοί Ρητογραμμικοί μετασχηματισμοί Της μορφής: Ένας μετασχηματισμός Möbius είναι μια απεικόνιση: T : Cˆ Cˆ a b T με : a, b, c, d C, ad cb 0 c d Ορίζουμε:, c 0 d T a, T, c 0, c 0 c c

48 c 0 εκτελώντας τη διαίρεση: Μετασχηματισμοί Möbius a b c d a b a bc ad T c d c c καταλήγουμε στη μορφή: d c t Τότε ο μετασχηματισμός γράφεται ως σύνθεση : T h r i t όπου: t i r h t a, b, c, d C, ad cb μια μεταφορά κατά: μια αλγεβρική αντιστροφή bc ad μια στροφή κατά: arg c bc ad μια ομοιοθεσία με: k 0 c a μια μεταφορά κατά: d c c 0

49 c 0 Μετασχηματισμοί Möbius a, b, c, d C, ad cb 0 a 0 d 0 εκτελώντας τη διαίρεση: καταλήγουμε στη μορφή: a c b d T a d Τότε ο μετασχηματισμός γράφεται ως σύνθεση : T t h r όπου: r μια στροφή κατά: b d arg d a h t μια ομοιοθεσία με: μια μεταφορά κατά: k d a b d 0,

50 Γενικά για τους μετασχηματισμούς Möbius Carathéodor, C. Conformal Representation. 998 Republication of 95 edition Sndies of the Cambridge Universit Press Το σύνολο των μετασχηματισμών Möbius είναι κλειστό με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων dw b Αντίστροφος μετασχηματισμός:, -d-a- bc 0 cw a Το σύνολο όλων των μετασχηματισμών Möbius σχηματίζει ομάδα Κάθε Möbius μετασχηματισμός είναι μια - σύμμορφη* conformal απεικόνιση του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου στον εαυτό του *διατηρεί το μέτρο και τον προσανατολισμό της γωνίας τομής δύο καμπυλών

51 Γενικά για τους μετασχηματισμούς Möbius Κράλλης, Ι. Μετασχηματισμοί Möbius και η αναλυτική προσέγγιση της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωμετρίας. 009 ˆ, Το ζεύγος C M όπου Μ η ομάδα των μετασχηματισμών Mobius ορίζεται ως η Γεωμετρία Möbius H γεωμετρία Möbius είναι υπερσύνολο των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών

52 Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius ο Παράδειγμα. Να βρείτε την εικόνα του κύκλου στο Ĉ w T Είναι: ab cd 0 Άρα πρόκειται για μετασχηματισμό Möbius Παρατηρούμε ότι για κάθε K είναι: T w Άρα οι εικόνες του βρίσκονται σε κύκλο Ο κύκλος K είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα. Άρα αν: K K Είναι: T K f f w w TK w TK Συνεπώς αν τότε και αντιστρόφως. μέσω της απεικόνισης: Επομένως οι εικόνες του w ανήκουν σε σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα και επειδή το σχήμα είναι κύκλος, για να τον προσδιορίσω αρκεί να βρω τα σημεία τομής του με τον πραγματικό άξονα.

53 Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius 3 5 f 3 3 f,0 3 7 K mobius_circle_to_circle

54 Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius ο Παράδειγμα. Να βρείτε την εικόνα του κύκλου στο Ĉ w T Είναι: ab cd 0 Άρα πρόκειται για μετασχηματισμό Möbius Παρατηρούμε ότι μέσω της απεικόνισης: T Επομένως οι εικόνες του βρίσκονται σε ευθεία Ο κύκλος K είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα. Άρα αν: K K Είναι: T K f f w Συνεπώς αν w TK τότε w TK και αντιστρόφως. Επομένως οι εικόνες του w ανήκουν σε σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα και επειδή το σχήμα είναι ευθεία, για να την προσδιορίσω αρκεί να βρω ένα σημείο από το οποίο διέρχεται. w

55 Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius K : f Άρα η εικόνα είναι η ευθεία: 3 3 mobius_circle_to_line Παρατήρηση Αν το αρχέτυπο δεν είναι σχήμα συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων ή αν δεν ισχύει για τη συνάρτηση μετασχηματισμού η ιδιότητα f f τότε: Αν η εικόνα είναι ευθεία θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο σημεία από τα οποία διέρχεται, ενώ αν η εικόνα είναι κύκλος τρία σημεία.

56 3 ο Παράδειγμα Η αφίσα της Διάλεξης Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius Να βρεθεί η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής Μέσω του μετασχηματισμού: 0, 0, 0, : i T T poster_image_inversion_hperbola

57 Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius 4 ο Παράδειγμα Κωνικές σε μη τυπική θέση μέσω μιγαδικής αντιστροφής Παραβολή: inversion_parabola_no_tpical Έλλειψη: inversion_ellipse_no_tpical Υπερβολή: inversion_hperbola_no_tpical