ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ: ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ
|
|
- Γάννης Λόντος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2004), σελ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ: ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ Ελευθέριος Αγγελής και Μαρκέλλα Μούτσα Τµήµα Πληροφορικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εκτίµηση του κόστους λογισµικού είναι µια κρίσιµη δραστηριότητα στα πρώτα στάδια της διαδικασίας παραγωγής λογισµικού και αφορά την πρόβλεψη είτε της προσπάθειας που καταβάλλεται είτε του χρηµατικού κόστους που απαιτείται για την ολοκλήρωση του έργου. Η διαδικασία πρόβλεψης κόστους είναι ιδιαίτερα δύσκολη, λόγω της αβεβαιότητας των διαθέσιµων δεδοµένων στην έναρξη του έργου και της ακρίβειας της µεθόδου που χρησιµοποιείται. Η µέθοδος των αναλογιών είναι µια από τις πλέον γνωστές µεθόδους εκτίµησης κόστους λογισµικού. Αν και πρόκειται για απλή και εύκολα εφαρµόσιµη µέθοδο, το θεωρητικό της µέρος είναι αρκετά περίπλοκο. Η εργασία αυτή αποτελεί µέρος µιας προκαταρκτικής µελέτης που έχει στόχο την διερεύνηση της σχέσης της µεθόδου των αναλογιών µε τη µη-παραµετρική παλινδρόµηση κοντινότερων γειτόνων. Σκοπός µας είναι η εµβάθυνση στη µελέτη της µεθόδου και ο έλεγχος του σφάλµατος πρόβλεψης µε τεχνικές επαναληπτικής δειγµατοληψίας που είναι γνωστό ότι έχουν αποτελέσµατα στη µη-παραµετρική παλινδρόµηση.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εκτίµηση του κόστους λογισµικού (Sofware Cos Esmao) είναι µια ιδιαίτερα κρίσιµη δραστηριότητα που πρέπει να ολοκληρωθεί στα πρώτα στάδια της διαδικασίας παραγωγής λογισµικού. Το αντικείµενό της είναι η πρόβλεψη είτε της ανθρώπινης προσπάθειας που καταβάλλεται (effor) είτε του χρηµατικού κόστους που απαιτείται για την ολοκλήρωση του έργου (projec). Σε πολλές περιπτώσεις υπάρχει ενδιαφέρον και για την πρόβλεψη της παραγωγικότητας (producvy), δηλαδή του λόγου του µεγέθους του παραγόµενου κώδικα προς την προσπάθεια που καταβάλλεται (sze/effor). Η πρόβλεψη του κόστους, από τις προδιαγραφές του λογισµικού που πρόκειται να αναπτυχθεί, είναι ιδιαίτερα δύσκολη διαδικασία κυρίως λόγω της 5
2 αβεβαιότητας των διαθέσιµων δεδοµένων κατά την έναρξη του έργου αλλά και της ακρίβειας της µεθόδου που χρησιµοποιείται. Η διεθνής εµπειρία έχει δείξει ότι τα περισσότερα έργα εφαρµογής πληροφορικής τεχνολογίας, σε επιχειρήσεις και οργανισµούς, που περιλαµβάνουν ανάπτυξη λογισµικού πάσχουν από υπερβάσεις στον προϋπολογισµό και στον χρονοπρογραµµατισµό (βλ. Charee, 989 και Pfleeger, 200). Οι υπερβάσεις αυτές οφείλονται σε µεγάλο βαθµό στις ανεπαρκείς αρχικές εκτιµήσεις. Η σωστή πρόβλεψη βοηθά τον οργανισµό που αναλαµβάνει την ανάπτυξη αλλά και τον πελάτη να καταρτίσει ακριβείς προϋπολογισµούς, να παρακολουθεί την πορεία του έργου και να λαµβάνει σωστές διοικητικές αποφάσεις. Η εκτίµηση κόστους αποτελεί ερευνητικό αντικείµενο που εντάσσεται στην ευρύτερη περιοχή της Στατιστικής Τεχνολογίας Λογισµικού (Sascal Sofware Egeerg). Οι διάφορες µέθοδοι που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία κατατάσσονται σε τρεις µεγάλες κατηγορίες (Boehm, 98): Η κρίση των ειδικών (Exper Judgme) Τα αλγοριθµικά µοντέλα (Algorhmc models) Η εκτίµηση µε αναλογίες (Esmao by Aalogy - EbA) 2. Η ΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΕΙ ΙΚΩΝ Πρόκειται για την πλέον συνηθισµένη προσέγγιση και βασίζεται στην εµπειρία οµάδας εµπειρογνωµόνων οι οποίοι γνωµοδοτούν σχετικά µε το κόστος του έργου. Αποτελεί τη µόνη λύση σε περιπτώσεις όπου είτε έχουµε εφαρµογή νέων τεχνολογιών είτε δεν υπάρχουν καθόλου ιστορικά δεδοµένα από µετρήσεις ολοκληρωµένων έργων. Για περιγραφή και µελέτη της ακρίβειας της µεθόδου αναφερόµαστε στους Jørgese, Tege ad Moløkke (2004). Η έρευνα στην περιοχή αυτή εστιάζεται στην κατασκευή αυτοµατοποιηµένων εργαλείων υποστήριξης των εµπειρογνωµόνων στη λήψη αποφάσεων. Για παράδειγµα, τα µοντέλα που συνδυάζουν γραφήµατα και πιθανότητες για την περιγραφή των σχέσεων ανάµεσα στις µεταβλητές και είναι γνωστά ως Bayesa Belef Neworks (BBNs) µπορούν να βοηθήσουν στη λήψη αποφάσεων (Samelos, Agels, Dmou & Sakellars, 2003). 3. ΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Πρόκειται για στατιστικές µεθόδους οι οποίες προϋποθέτουν την ύπαρξη διαθέσιµης βάσης δεδοµένων µε ολοκληρωµένα έργα. Η εφαρµογή µιας τέτοιας µεθόδου περιλαµβάνει την κατασκευή και εφαρµογή ενός ή περισσότερων µαθηµατικών µοντέλων τα οποία προκύπτουν από στατιστική ανάλυση των δεδοµένων (Boehm, 98, Boehm e al, 995). Τυπική µέθοδος πρόβλεψης σε αυτή την κατηγορία είναι η γραµµική παλινδρόµηση (Maxwell, 2002). 52
3 Η έρευνα στην περιοχή αυτή ασχολείται κυρίως µε την κατασκευή αποδοτικών µοντέλων πρόβλεψης. Ένα σηµαντικό πρόβληµα είναι η ύπαρξη πολλών ποιοτικών µεταβλητών (χαρακτηριστικά των έργων λογισµικού) οπότε τα µοντέλα πρέπει να είναι προσαρµοσµένα στο γεγονός αυτό. Ως παραδείγµατα διαδικασιών που έχουν προταθεί µπορούµε να αναφέρουµε την επαναληπτική εφαρµογή µοντέλων ανάλυσης διασποράς (Kcheham, 998) και τη µετατροπή των ποιοτικών µεταβλητών σε ποσοτικές µε τη µέθοδο της κατηγορικής παλινδρόµησης (Agels, Samelos & Morso, 200). 4. Η ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ (EbA) Θεωρείται τεχνική «ενδιάµεση» στην κρίση των ειδικών και στα αλγοριθµικά µοντέλα. Είναι από τις πλέον συνήθεις µεθόδους εκτίµησης κόστους µε ολοκληρωµένη µεθοδολογία και διαθέσιµα εργαλεία αυτοµατοποίησής της. Έχει εφαρµοστεί και αξιολογηθεί σε γνωστά σύνολα δεδοµένων µε πολύ καλά αποτελέσµατα (Shepperd & Schofeld, 997). Τα κύρια χαρακτηριστικά της µεθόδου είναι: Η χρήση βάσης δεδοµένων που αποτελείται από ολοκληρωµένα έργα µε γνωστό κόστος. Η περιγραφή του νέου έργου µε χαρακτηριστικά παρόµοια των ολοκληρωµένων έργων (π.χ. µετρικές κώδικα, γλώσσα προγραµµατισµού, εµπειρία των προγραµµατιστών, πεδίο εφαρµογής). Ο ορισµός της έννοιας της απόστασης ανάµεσα σε δύο έργα και η χρήση µέτρων απόστασης και ανοµοιότητας που υπολογίζονται από τα χαρακτηριστικά των έργων. Ο υπολογισµός της απόστασης του νέου έργου από κάθε έργο της βάσης. Ο εντοπισµός των κοντινότερων έργων (γειτονικά ή ανάλογα). Η πρόβλεψη του κόστους συνδυάζοντας τα κόστη των γειτονικών έργων (συνήθως παίρνουµε το µέσο όρο τους, αλλά η επιλογή αυτή δεν είναι πάντα η καλύτερη δυνατή). Ένα σηµαντικό θέµα στην εφαρµογή της µεθόδου είναι η ρύθµιση (calbrao) των διαφόρων παραµέτρων (αριθµός γειτόνων, µέτρο απόστασης κλπ) στα τοπικά δεδοµένα. Γενικά η µέθοδος είναι πολύ δηµοφιλής (Heemsra, 992) γιατί συνδυάζει ποικίλα πλεονεκτήµατα: Είναι εύκολη στην εφαρµογή. Η διαδικασία και τα αποτελέσµατά της ερµηνεύονται εύκολα αφού ουσιαστικά προσοµοιώνει τη λήψη αποφάσεων µε αναζήτηση όµοιων καταστάσεων. Είναι εφαρµόσιµη σε όλους τους τύπους δεδοµένων. 53
4 εν βασίζεται σε υποθέσεις για την κατανοµή των δεδοµένων. Το πρόβληµα της µεθόδου είναι ότι παρουσιάζει δυσκολίες στη θεωρητική µελέτη του σφάλµατος πρόβλεψης (predco error). Σχετικά µε την έρευνα στην περιοχή αυτή, αξίζει να αναφέρουµε την εκτεταµένη εφαρµογή της µεθόδου των αναλογιών σε πραγµατικά δεδοµένα, τη σύγκρισή της µε τη γραµµική παλινδρόµηση και την ανάπτυξη σχετικού λογισµικού (Shepperd & Schofeld, 997). Επίσης, µεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η έρευνα για τη µελέτη του σφάλµατος και τη βελτίωση της µεθόδου έτσι ώστε να δίνει ακριβέστερες προβλέψεις. Συγκεκριµένα, έχει προταθεί η χρήση boosrap τεχνικών για την ρύθµιση της µεθόδου και για την εύρεση διαστηµάτων εµπιστοσύνης των προβλέψεων (Agels & Samelos, 2000) και η διόρθωση του σφάλµατος εκτίµησης για ακραίες αναλογίες (Jorgese, Idahl & Sjoberg, 2003). 5. ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ EbA ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Παρόλο που η µέθοδος EbA διαφοροποιείται γενικά στη βιβλιογραφία από την παλινδρόµηση, έχει µεγάλη σχέση µε το στατιστικό µοντέλο που είναι γνωστό ως µη-παραµετρική παλινδρόµηση κοντινότερων γειτόνων (eares eghbor oparamerc regresso). Πράγµατι, αν συµβολίσουµε µε Υ την τυχαία µεταβλητή που παριστά το κόστος (εκφρασµένο σε προσπάθεια ή παραγωγικότητα) και µε Χ το τυχαίο d-διάστατο διάνυσµα µε συνιστώσες τις µεταβλητές που παριστούν τα χαρακτηριστικά των έργων λογισµικού, τα δεδοµένα που θα χρησιµοποιήσουµε για την εκτίµηση (rag daa) έχουν τη µορφή: D = {( X, Y ),( X2, Y2 ),...,( X, Y )} Υποθέτουµε ότι η σχέση ανάµεσα στις µεταβλητές είναι της µορφής Y = f (X) + ε όπου f είναι άγνωστη συνάρτηση, η κατανοµή των σφαλµάτων είναι επίσης άγνωστη και ισχύει: f ( x ) = E{ Y / X = x} Στην περίπτωση των µη-παραµετρικών µοντέλων δεν υποθέτουµε καµία µορφή για την άγνωστη συνάρτηση και προσπαθούµε να την προσεγγίσουµε µε διάφορες µεθόδους (parog esmae, kerel esmae, k-eares eghbor esmae, κλπ) (Hardle, 990). Η εκτίµηση της συνάρτησης δίνεται από τον γενικό τύπο f ( x) = W ( x) Y όπου W (x) συναρτήσεις στάθµισης των παρατηρήσεων. Ειδικά για τη µέθοδο εκτίµησης των k-κοντινότερων γειτόνων (k-eares eghbor esmae) η οποία = 54
5 σχετίζεται µε τη µέθοδο των αναλογιών, ισχύει: W ( x ) = / k αν X είναι ένα από τα k γειτονικά διανύσµατα του x και W ( x) = 0 για τα µη-γειτονικά. Η ειδική περίπτωση k =, ονοµάζεται εκτίµηση του πρώτου κοντινότερου γείτονα ή της πρώτης αναλογίας (frs eares eghbor esmao -closes aalogy). Η σχέση αυτή της EbA µε τη µη-παραµετρική παλινδρόµηση µας βοηθά να εφαρµόσουµε µεθόδους που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία για τη βελτίωση της ακρίβειας πρόβλεψης. Οι προτεινόµενες µέθοδοι χρησιµοποιούν τεχνικές boosrap (Efro & Tbshra, 993). Συγκεκριµένα, η µη-παραµετρική boosrap διαδικασία περιλαµβάνει δειγµατοληψία µε επανάθεση από το σύνολο D. Οι δύο µέθοδοι βελτίωσης του σφάλµατος πρόβλεψης που βασίζονται σε παραλλαγές της µη-παραµετρικής boosrap ονοµάζονται Baggg και Boosg και έχουν εφαρµοστεί µε επιτυχία τόσο σε προβλήµατα ταξινόµησης στη µηχανική µάθηση (Brema, 996) όσο και σε άλλα µοντέλα µη-παραµετρικής παλινδρόµησης (Borra & D Cacco, 2002). Baggg Αν υποθέσουµε ότι x είναι ένα διάνυσµα µε τα χαρακτηριστικά του νέου έργου που θέλουµε να εκτιµήσουµε, η µέθοδος περιλαµβάνει εξαγωγή µεγάλου αριθµού (Τ) boosrap δειγµάτων από το αρχικό σύνολο δεδοµένων και στη συνέχεια εκτίµηση του f(x) από κάθε δείγµα µε EbA. Αν οι εκτιµήσεις αυτές ( ) είναι f ( x), =,, T, τότε ο Baggg εκτιµητής του x είναι: f ( ( x) T ( ) bagg x) = f T = Boosg Συµβολίζοντας και πάλι µε x το διάνυσµα µε τα χαρακτηριστικά του νέου έργου, ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία: Σε κάθε έργο του D αντιστοιχεί το ίδιο αρχικό «βάρος» 0 w =, =,..., Για =,,T εκτελούνται τα βήµατα:. ειγµατοληψία µε επανάθεση από το D. Κάθε έργο έχει πιθανότητα επιλογής p = w / j= 2. Εκτίµηση του f(x) από κάθε boosrap δείγµα µε EbA. Συµβολίζουµε: f (x) y 3. Εκτίµηση όλων των έργων του D από το boosrap δείγµα και υπολογισµός των σχετικών απόλυτων υπολοίπων 55 w j
6 Y f ( X ) r = =,..., max Y f ( X ) 4. Υπολογισµός τιµών της συνάρτησης απώλειας (loss fuco - δίνονται 3 τύποι) και της «µέσης απώλειας»: r 2 L = L( r ) = ( r ) και L = p L = exp( r ) 5. Υπολογισµός του συντελστή για την τιµή f (x) (cofdece coeffce): L β = L 6. Ανανέωση των βαρών: w + = w β L 7. Υπολογισµός boosg εκτιµητή του x ως σταθµισµένη διάµεσο των Τ προβλέψεων: f boos ( x) = f y { y,..., yt }: log(/ β ) log(/ β ) : f ( x) y 2 6. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Για να µπορέσουµε να διερευνήσουµε την αποτελεσµατικότητα των µεθόδων baggg και boosg, χρησιµοποιούµε τη διαδικασία jackkfe, δηλαδή από τα δεδοµένα αφαιρούµε κάθε φορά ένα έργο και προβλέπουµε το κόστος του από τα υπόλοιπα. Στο τέλος της διαδικασίας µπορούµε να υπολογίσουµε διάφορα µέτρα που εκφράζουν το συνολικό σφάλµα πρόβλεψης, όπως: Y Yˆ Y Yˆ MMRE =, MdMRE = meda, =,, = Y Y Y Yˆ PRED( 25) = * < 0.25, =,,, Y MMER = Y Yˆ, = Yˆ SD = = ( Y Yˆ ) 2 Εφαρµόζοντας τις τεχνικές σε µερικά µικρά σύνολα δεδοµένων από τη βιβλιογραφία (για παράδειγµα από Albrech & Gaffey, 983 και Maxwell, 2002), διαπιστώθηκαν βελτιώσεις όλων των µέτρων ιδίως σε περιπτώσεις όπου η 56
7 απλή EbA δίνει µεγάλα σφάλµατα. Συγκεκριµένα, από τη µέθοδο baggg προέκυψε βελτίωση έως και 25% ενώ από τη µέθοδο boosg βελτίωση έως 50%. Μια γενική παρατήρηση που αξίζει να διερευνηθεί περαιτέρω είναι ότι η απόδοση των µεθόδων εξαρτάται από τις τιµές των παραµέτρων των µεθόδων. Το συµπέρασµα που εξάγεται από την αρχική αυτή έρευνα είναι ότι µπορούµε να επωφεληθούµε από την σχέση της EbA µε τη µη-παραµετρική παλινδρόµηση και να χρησιµοποιήσουµε διάφορες αλγοριθµικές µεθόδους για τη βελτίωση της απόδοσής της. Στο µέλλον οπωσδήποτε απαιτείται συστηµατική µελέτη των τεχνικών και ιδιαίτερα της boosg για τον καθορισµό των παραµέτρων και συναρτήσεων που χρησιµοποιεί. Είναι επίσης αναγκαία η εφαρµογή και η µελέτη των µεθόδων σε µεγάλα σύνολα δεδοµένων, προσοµοιώσεις µε τεχνητά δεδοµένα για εξαγωγή συµπερασµάτων σχετικά µε την αποδοτικότητα των µεθόδων και ακόµα τροποποίηση των µεθόδων και τρόποι ρύθµισης στα διαθέσιµα δεδοµένα (local daa). Τέλος, ένα άλλο σηµαντικό θέµα είναι η αυτοµατοποίηση των µεθόδων αυτών και η ενσωµάτωσή τους στο υπάρχον λογισµικό. ABSTRACT Sofware cos esmao s a crcal acvy durg he frs sages of he sofware produco process ad s cocered wh he predco of he effor or he moeary cos requred for he compleo of a sofware projec. The process of cos predco s especally dffcul due o he uceray of he avalable daa ad he precso of he mehod used. The mehod of aaloges s oe of he mos kow for sofware cos esmao. Alhough he mehod s smple, he heorecal sudy s complcaed. Ths paper s a par of a prelmary sudy amg o explore he relao of esmao by aalogy wh he eares eghbor oparamerc regresso. Our purpose s o sudy deph he mehod ad o corol he predco error wh resamplg echques ha have already bee used wh success o-paramerc regresso. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Albrech, A.J. ad Gaffey, J.E. (983): Sofware fuco, source les of code, ad developme effor predco: a sofware scece valdao. IEEE Tras. 6, Agels, L. ad Samelos, I. (2000): A smulao ool for effce aalogy based cos esmao. Emprcal Sofware Egeerg, 5, Agels, L., Samelos, I. ad Morso, M. (200): Buldg a Sofware Cos Esmao Model Based o Caegorcal Daa. Proc. of he 8 h IEEE Ieraoal Symposum o Sofware Mercs, 4-5 Boehm, B (98): Sofware Egeerg Ecoomcs, Prece-Hall Boehm, B., Clark, B., Horowz, E., Weslad, C., Madachy R. ad Selby R. (995). Cos Models for Fuure Sofware Lfe Cycle Processes: COCOMO 2.0. Aals of Sofware Egeerg, Specal Volume o Sofware Process ad Produc 57
8 Measureme, J. D. Arhur ad S.M. Hery (Eds.) J.C. Balzer AG, Scece Publshers, Amserdam, The Neherlads, Vol. pp Borra, S. ad D Cacco, A. (2002): Improvg oparamerc regresso mehods by baggg ad boosg. Compuaoal Sascs ad Daa Aalyss 38, Brema, L. (996): Baggg predcors. Mache Learg 24, Charee, R. (989). Sofware Egeerg Rsk Aalyss ad Maageme. McGraw- Hll, New York. Efro, B., ad Tbshra, R. (993): A Iroduco o he Boosrap. Chapma ad Hall, New York. Hardle, W. (990): Appled oparamerc regresso. Cambrdge Uversy Press. Heemsra, F. J. (992): Sofware cos esmao. Iformao ad Sofware Techology, 34 (0), Jorgese, M., Idahl, U. ad Sjoberg D. (2003): A Sofware effor esmao by aalogy ad "regresso oward he mea". Joural of Sysems ad Sofware, Vol. 68, 3, Jørgese M, Tege, K.H. ad Moløkke K. (2004). Beer sure ha safe? Overcofdece judgeme based sofware developme effor predco ervals. Joural of Sysems ad Sofware, 70, Kcheham, B. (998): A Procedure for Aalyzg Ubalaced Daases. IEEE Tras. o Sofware Egeerg, Vol. 24, No 4., Maxwell, K. (2002): Appled Sascs for Sofware Maagers. Prece-Hall. Pfleeger, S. (200). Sofware Egeerg, Theory ad Pracce. Prece-Hall, Upper Saddle Rver, NJ,. Shepperd, M. J. & Schofeld, C. (997): Esmag sofware projec effor usg aaloges. IEEE Trasacos o Sofware Egeerg 23 (2): Samelos, I., Agels, L., Dmou, P., Sakellars, E. (2003). O he use of Bayesa belef eworks for he predco of sofware developme producvy. Iformao ad Sofware Techology, 45,,
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος
Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο
Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:
Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας
x y max(x))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα
Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.
Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία
ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ
ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές
στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας
στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων
Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων
Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Κύρια σημεία. Η έννοια του μοντέλου. Έρευνα στην εφαρμοσμένη Στατιστική. ΈρευναστηΜαθηματικήΣτατιστική. Αντικείμενο της Μαθηματικής Στατιστικής
Κύρια σημεία Ερευνητική Μεθοδολογία και Μαθηματική Στατιστική Απόστολος Μπουρνέτας Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Αναζήτηση ερευνητικού θέματος Εισαγωγή στην έρευνα Ολοκλήρωση ερευνητικής εργασίας Ο ρόλος των
2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη
ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι
Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Εξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
2. Missing Data mechanisms
Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί
Περιεχόμενα. Πρόλογος... 15
Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Κεφάλαιο 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΟΝΤΟΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΚΟΣΜΟΥ... 17 Το θεμελιώδες πρόβλημα των κοινωνικών επιστημών...
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μέρος Α. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θεωρία και Εφαρµογές Υπολογιστικοί αλγόριθµοι στον MS-Excel: υπολογισµός και ερµηνεία στατιστικών ευρηµάτων
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... vii Μέρος Α ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θεωρία και Εφαρµογές Υπολογιστικοί αλγόριθµοι στον MS-Excel: υπολογισµός και ερµηνεία στατιστικών ευρηµάτων Πρόλογος Α Μέρους... 3 Αρχικές πληροφορίες και
Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ
4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα).
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα). Στην Στατιστική Εξειδίκευση ένα Σχήµα Αλληλεξάρτησης εξειδικεύεται στον Πληθυσµό και το
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ Ενότητα # 7: Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που
ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος
Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο )
ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 1: Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Λαμία, 2017 1.1. Σκοπός και
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
Στατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)
ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το
ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της
Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.
ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις
ΜΕΡΟΣ Α Κάθε µια από τις παρακάτω φράσεις (1α, 1β, 1γ, 2α κτλ) µπορεί να είναι σωστή ή λανθασµένη. Ποιες είναι σωστές και ποιες όχι;
2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. ΣΚΟΠΟΣ στο τέλος της ενότητας είναι να γνωρίζετε - Τι είναι η «δειγµατοληπτική κατανοµή» π.χ. της µέσης τιµής - τι είναι και σε τι χρησιµεύει το «τυπικό σφάλµα της µέσης
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά
Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;
Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:
ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 o ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 o ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Εισαγωγή Η προσέγγιση του προβλήµατος της ατµοσφαιρικής ρύπανσης έγινε µε βάση την εµπειρία από χώρες που µελετούν το πρόβληµα αυτό συστηµατικά επί χρόνια. Τα συµπεράσµατα που
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ
Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας
1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική
ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson
ΘΕΜΑ 2ο Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson Θέµα 2: Η ακόλουθη αντίδραση πραγµατοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστηµα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά
Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω
Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Συνοπτικά περιεχόμενα
b Συνοπτικά περιεχόμενα 1 Τι είναι η στατιστική;... 25 2 Περιγραφικές τεχνικές... 37 3 Επιστήμη και τέχνη των διαγραμματικών παρουσιάσεων... 119 4 Αριθμητικές μέθοδοι της περιγραφικής στατιστικής... 141
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Στατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής
Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης
Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση των εισαγωγικών εννοιών που
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Εκτίµηση της ζήτησης. Ανάλυση. Μέθοδοι έρευνας µάρκετινγκ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
Εκτίµηση της ζήτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ανάλυση Παλινδρόµησης και Μέθοδοι έρευνας µάρκετινγκ Το πρόβληµα του προσδιορισµού της (πραγµατικής) καµπύλης ζήτησης Η απλή συνένωση στα πλαίσια ενός διαγράµµατος των παρατηρήσεων
Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων
Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι
Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι
Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα
Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων
Αναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2
Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση
Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις
ΕΕΟ 11. Η χρήση στατιστικών εργαλείων στην εκτιμητική
ΕΕΟ 11 Η χρήση στατιστικών εργαλείων στην εκτιμητική 1. Εισαγωγή 2. Προϋποθέσεις χρήσης των Αυτοματοποιημένων Εκτιμητικών Μοντέλων (ΑΕΜ) 3. Περιορισμοί στη χρήση των ΑΕΜ εφόσον έχουν πληρωθεί οι προϋποθέσεις
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών
ΠΕ3 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ.
ΠΕ3 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. CCSEWAVS : Επίδραση της κλιματικής αλλαγής στη στάθμη και το κυματικό κλίμα των ελληνικών θαλασσών, στην τρωτότητα
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης
Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης ηµήτρης Λέκκας 3 η διάλεξη Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Περιγραφή Πρόγνωση Μέθοδοι Πρόγνωση µε Συναρτήσεις Μεταφοράς
Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.
Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
Κώστας Βελέντζας, Ρωξάνη Καραγιάννη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ
ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ AIDS ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 960-995 Κώστας Βελέντζας, Ρωξάνη Καραγιάννη Τμήμα
4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου
4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18 14 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ
Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 1: Πληθυσμός
CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ
CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X
Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές
ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2
1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο