Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Transcript

1 ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Περιλαμβάνει Αναλυτική Θεωρία Λυμένες Ασκήσεις Μεθοδολογία Ασκήσεις (Α. Κατανοώ, Β. Εμπεδώνω Γ. Προτεινόμενες Ασκήσεις Ερωτήσεις αντικειμενικού Τύπου Τέστ-Διαγωνίσματα Επαναλήψεις: Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις Σχολικό Έτος: 05-06

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ενότητα -Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ ο : Βασικές γνώσεις-επαναλήψεις 5 ΜΑΘΗΜΑ ο : Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης.0 ΜΑΘΗΜΑ 3ο : Γραφικές Παραστάσεις.6 ΜΑΘΗΜΑ 4ο : Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων...4 ΜΑΘΗΜΑ 5ο : Σύνθεση συναρτήσεων...30 ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Ασκήσεις-Προβλήματα (Επανάληψη ενότητας)...36 Διαγώνισμα (Από στα μαθήματα -6)...40 Ενότητα -Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ 7ο : Μονοτονία συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ 8ο : Ακρότατα συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ 9ο : Συνάρτηση...5 ΜΑΘΗΜΑ 0ο : Αντίστροφη συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ ο : Επανάληψη Ενότητας -Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις...75 Διαγώνισμα Θεωρίας (Από στα μαθήματα 7-)...86 Επαναληπτικό Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις...88

3 Ενότητα 3-Ορια ΜΑΘΗΜΑ ο : Όριο συνάρτησης στο ΜΑΘΗΜΑ 3ο : Ιδιότητες ορίων...0 ΜΑΘΗΜΑ 4ο : Μη πεπερασμένο όριο στο ΜΑΘΗΜΑ 5ο : Όριο συνάρτησης στο άπειρο...35 ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Επανάληψη στην ενότητα Τέστ Θεωρίας...54 Διαγώνισμα Επαναληπτικό στην ενότητα

4 ΕΝΟΤΗΤΑ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Έννοια Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Γραφικές Παραστάσεις Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων 4

5 ΜΑΘΗΜΑ ο Βασικές γνώσεις-επαναλήψεις Τα βασικά σύνολα είναι: Το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν = {0,,, 3,...}, Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Ζ = {..., 3,,, 0,,, 3,...}, Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q και είναι όλιο οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή, όπου α, β ακέραιοι με β 0. Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, τ ο υ ά ξ ο ν α τ ω ν π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν. Για τα σύνολα Ν, Ζ, Q και R ισχύει: Σχηματικά έχουμε: Πράξεις και διάταξη στο R Οι σπουδαιότερες ιδιότητες της διάταξης των πραγματικών αριθμών είναι οι: 5

6 Αν α β και β γ, τότε α γ Αν α, β 0 και ν ϵ N *, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Aν αβ > 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α, β ϵ R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, β) = { ϵ R α < < β } : ανοικτό διάστημα [α, β] = { ϵ R α β } : κλειστό διάστημα [α, β) = { ϵ R α < β } : κλειστό-ανοικτό διάστημα (α, β] = { ϵ R α < β } : ανοικτό-κλειστό διάστημα. (Σχ. 3) 6

7 Αν α ϵ R, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, + ) = { ϵ R > α} [α, + ) = { ϵ R α} (, α) = { ϵ R < α} (, α] = { ϵ R α} (Σχ. 4) Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο R το συμβολίζουμε με (,+ ). Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής:, 0, 0 Οι βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: 7

8 3 4 ( 0) 5 6 ( 0) 7 ή ( 0) ή Α. Κατανοώ. Να γράψετε σε ποια σύνολα ανήκουν οι επόμενοι αριθμοί: 3, 4,, 3. Αν και να βρείτε σε ποιο διάστημα ανήκουν οι παραστάσεις: 3 και Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: ( 0)

9 4. Να γράψετε σε μορφή διαστήματατος τις επόμενες ανισώσεις: Ανίσωση Διάστημα 5. Να γράψετε τα επόμενα διαστήματα σε μορφή ανισώσεων: Διάστημα (, ) Ανίσωση [, ) ( 3,7] [0, ] 5 3, Β. Εμπεδώνω. Να γράψετε τα παρακάτω σύνολα σε μορφή διαστήματος / 3 B / 9

10 ΜΑΘΗΜΑ ο Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με (). Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: Χρήσιμες παρατηρήσεις : A R () Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα ϵ A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A. Είναι δηλαδή: / ( ) A y y ά A ΜΕΘΟΔΟΣ- Εύρεσης του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης Για να βρούμε το πεδίο ορισμού περιπτώσεις: D μίας συνάρτησης διακρίνουμε τις επόμενες η περίπτωση: A( ) Αν ( ), τότε λύνουμε την εξίσωση B( ) 0 και εξαιρούμε από το τα που B( ) μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / B( ) 0 0

11 η περίπτωση: Αν ( ) A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 3 η περίπτωση: Αν ( ) ln A( ) ή ( ) log A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 Προφανώς η εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί να αποτελεί και συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Παραδείγματα- Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) ( ) 4 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει: 3 β) g( ) Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, 3 40 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Dg. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:, 3 α) ( ) 3 β) g ( ) 4 3 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει:

12 3 0 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, ή 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: g, 3, D 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ΛΥΣΗ (3 η περίπτωση) α) Πρέπει: α) ( ) ln β) g( ) log 3 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει:,, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: g,, D 4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 9 α) ( ) ln 5 4 ΛΥΣΗ (συνδυαστική περίπτωση) g( ) ln( ) β) 3 3

13 α) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: ή Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: 0 ή, 3 3, 4, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D, Α. Κατανοώ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) 9. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) ln Α) ( ) 5 5 Β) g( ) 5 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 3 Α) ( ) Β) g( ) Ασκήσεις από το Σχολικό Βιβλίο /Α. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; 3

14 Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) Α) ( ) 3 3 ln 8 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) 3 ( ) ln 6 5 Β) g( ) g( ) 4 3 ln 4 4 ln( ) Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α), ( ) 0,, 0 Β) g( ), 0, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: e ( ) e ln g( ) ln e 6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) + g( ) (Πεδία Ορισμού με παράμετρο) 7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ), για κάθε 3 8. Να βρείτε την τιμή του, ώστε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων να είναι το 9. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) ( ) ln β) ( ) 3 log a, g( ) ln () 0 g ( ) 3, με a 4

15 Αν η C διέρχεται από το σημείο, 3 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 A : i) Να βρείτε το a. i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 0. Δίνεται η συνάρτηση: με 5 και 5 4 a, a 6 ( ), 7 i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμου της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές του α και του β iii), 3 iv) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 3 (Συναρτησιακές σχέσεις). Έστω μια συνάρτηση : 0, με: ln e για κάθε 0 i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές:,,. Έστω μια συνάρτηση : με: ( ) ( ) i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, για κάθε ii) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g( ) ( ) 5

16 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο Γραφικές Παραστάσεις Γραφική παράσταση: Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(, y) για τα οποία ισχύει των σημείων, ( ) συνήθως με Επομένως, η y, δηλαδή το σύνολο M, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται C. Η εξίσωση, λοιπόν, y = () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της. C. Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. 7α). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης, αφού υπάρχουν κατακόρυφες ευθείες που έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική του παράσταση. (Σχ. 7β). Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C. β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C. γ) Η τιμή της στο 0 C (Σχ. 8). A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0 και της 6

17 Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και όπως στα επόεμνα παραδείγματα: α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης - είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (, ()) που είναι συμμετρικά των M(, άξονα. (Σχ. 9). ()), ως προς τον β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα τηςc που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 0). Μερικές βασικές συναρτήσεις Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α + β Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α, α 0. 7

18 Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α 3, α 0. Η ρητή συνάρτηση a, α 0. Οι συναρτήσεις ( ) και g( ). 8

19 Επειδή, 0 g( ), η γραφική παράσταση της αποτελείται απο δύο, 0 κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y προς τον άξονα y y. και ο άλλος η συμμετρική της ως Οι τριγωνικές συναρτήσεις : () = ημ, () = συν, () = εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις () = ημ και () = συν είναι περιοδικές με περίοδο T = π, ενώ η συνάρτηση () = εφ είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η εκθετική συνάρτηση () = α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: 9

20 y y a a a 3 y a a a a y a 4 y y a a a ( a 0 ),,, 7 ( ) 8 Αν a, τότε a a 9 Αν 0 a, τότε a a Η λογαριθμική συνάρτηση () = log α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: y log ya a log a a 3 log a a 4 loga 0 5 log log log a a a 6 7 log log log a log a loga 8 lna e 9 Αν a, τότε loga loga 0 Αν 0 a, τότε loga loga a a 0

21 ΜΕΘΟΔΟΣ Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 Αν ζητείται να βρούμε τις τιμές του ώστε: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g, τότε Χρήσιμα: λύνουμε την εξίσωση ( ) g( ). Αν μία συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε σημαίνει ότι 0 0 Αν μία συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A, 0 y o, τότε σημαίνει ότι y 0 o Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 6/Α. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε τα κοινά σημεία ων συναρτήσεων: i) και g( ) ii) ( ) και g( ) ( )

22 . Δίνεται η συνάρτηση:, ( ), a i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 3. Δίνεται η συνάρτηση:, g( ), ln, i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο /Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: 3/Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: 5/Β. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

23 Aπό τη γραφική παράσταση της να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. /Β. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι : 3

24 ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Ισότητα συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις: ( ) 3 και g( ) Παρατηρούμε ότι: οι συναρτήσεις, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α = R και για κάθε A ισχύει ( ) g( ), αφού 3 ( ) g( ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις, g είναι ίσες Γενικά: OΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g. Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε ϵ Γ ισχύει ( ) g( ), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. (Σχ. ) 4

25 Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις ( ) και g( ) που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A = R {} και B = R {0} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ = R {0,}, αφού για κάθε ισχύει ( ) g( ). Παράδειγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) 7/Α. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g. Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) g( ). ΛΥΣΗ i) ii) iii) ( ) ( ) ( ) και g( ) και g( ) και g( ) i) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Επομένως ( ) g( ) D και Dg 0, ( ), για κάθε 0, g( ) και. ii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: D,0 και ( ) και Επομένως ( ) g( ), για κάθε 0. D g *, 0 g( ), 0 5

26 iii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: Επομένως Επομένως ( ) g( ) D 0,, και Dg 0, ( ), για κάθε 0,,. Πράξεις με συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Το πεδίο ορισμού της είναι A, και της g το B, ορισμού τους, ορίζουμε τις συναρτήσεις:. Στο κοινό πεδίο Άθροισμα των, g : g( ) ( ) g( ) Διαφορά των, g : g( ) ( ) g( ) Γινόμενο των, g : g( ) ( ) g( ) Ειδικά για το πηλίκο των, g ορίζουμε στο κοινό πεδίο ορισμού: ( ) ( ), g( ) 0 g,δηλαδή g( ) ( ), g Το πεδίο ορισμού των g, g, g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο: / A B, g( ) 0 / A B, g( ) 0 6

27 Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g ΛΥΣΗ Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και g. Έχουμε: Άρα D,. Ακόμα, 0, άρα Dg, 0 Επομένως για την εύρεση των συναρτήσεων g, g, g, εργαζόμαστε για κάθε,. Έχουμε: Για τη συνάρτηση g,, g( ),, g,, g ισχύει αν, πρέπει επιπλέον να είναι g ( ) 0 0, το οποίο. Οπότε:. Δίνονται οι συναρτήσεις:, g,, 0 ( ) και, 0, 0 g( ), 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g. 7

28 ΛΥΣΗ Στην περίπτωση αυτή το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το,0 0,. Για 0 έχουμε: Για 0 έχουμε: g ( ) g Για 0 είναι (0), g(0) και άρα: Επομένως: g ( ) g g(0) 3 και g(0), 0 g( ), 0 3, 0, 0 g, 0, 0 και Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 8/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g 9/Α. Ομοίως για τις συναρτήσεις: και g( ) και g( ) 8

29 . Δίνονται οι συναρτήσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 Β. Εμπεδώνω Να βρείτε τις συναρτήσεις. Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0 ( ), 0, 0 g και g. και, 0 g( ), 0 ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις,, g και g. και g( ), 0, 0 3. Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με: g ( ) g ( ) 6 5 g ( ) ( ), για κάθε i) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων, g ii) Να υπολογίσετε την παράσταση: A ( ) g( ) ( ) 8 9

30 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο Σύνθεση συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση ( ). Η τιμή της φ στο μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο ϵ R αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y = και στη συνέχεια β) στο y = αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y, εφόσον y = 0. η g( y) y, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Β = [0, + ) (β φάση). Έτσι, η τιμή της φ στο γράφεται τελικά: ( ) g ( ) Η συνάρτηση λέγεται σύνθεση της με την g και συμβολίζεται με go. Το πεδίο ορισμού της δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της, αλλά περιορίζεται στα A για τα οποία η τιμή ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο A = [, + ). Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο go g ( ) ( ). Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο : 30

31 A A / ( ) B Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A Ø, δηλαδή αν (A) B Ø. Ερώτηση: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της og ; ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. ΣΧΟΛΙΑ Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι go og. Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες. Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει: ho go hog o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g, h και τη συμβολίζουμε με hogo. Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις. Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og αν: ( ) e και g( ) ln( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα πεδίο ορισμού της og είναι: D και Dg,. Το og, / ( ), D g. 3

32 Για κάθε, έχουμε: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 og g e ln( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) Σημαντική παρατήρηση: Για να βρούμε τη og (ή τη go ) βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της og (ή της go ) με D og (ή Dgo ) και έπειτα τον τύπο της. Δεν είναι σωστό (και ούτε πάντα το ίδιο) να βρούμε τον τελικό τύπο της og (ή της go ) και από αυτόν να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της og (ή της go ).. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og και την go αν: ( ) και g( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα, D και Dg. Το πεδίο ορισμού της og είναι: og / ( ), / / 0 0, D g Για κάθε 0, έχουμε: og ( ) g( ) Το πεδίο ορισμού της go είναι: Για κάθε, go έχουμε:, / ( ), D go ( ) g( ( )) g( ) 3 3

33 3. Έστω η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A 0,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ( 4) ii) ( e ) iii) (ln ) iv) ( 4 4) ΛΥΣΗ i) Πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A 4,6 4 0, ii) Πρέπει: e e e 0, 0 ln ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A, ln iii) Πρέπει: ln 0, 0 ln ln 0 ln e Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A3, e iv) Πρέπει: 4 4 0, ( ) 0 4 0,,0 0, Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A4,0 0, 33

34 Α. Κατανοώ Άσκηση από το σχολικό βιβλίο: 0/Α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν /Α. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g( ). Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις go και og. Β. Εμπεδώνω Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 7/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις () = + και g() = α +. Για ποια τιμή του α ϵ R ισχύει og go ; /Α. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν. Δίνεται η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: με: Προτεινόμενες Ασκήσεις o ( ), για κάθε i) () ii) ( ) ( ) iii) (0) () 0. Δίνεται η συνάρτηση : με: o ( ) 3, για κάθε Να αποδείξετε ότι: i) () ( ) (3 ) 3 ii) 34

35 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 ( ) e, g( ) ln( ), h( ) Να βρεθεί η σύνθεση ogoh 35

36 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Ασκήσεις-Προβλήματα (Επανάληψη) Α. Από το σχολικό βιβλίο 6/Β. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει : 8/Β. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) (()) =, για κάθε ϵ R {α} και β) g(g()) =, για κάθε ϵ [0, ]. 3/Β. Στο επόμενο σχήμα είναι AB =, AΓ = 3 και ΓΔ =. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του = ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. /Β. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm 3. Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 δρχ. ανά 36

37 cm. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm; 4/Β. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ = 0cm και ύψους ΑΔ = 5cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. ΕΡΓΑΣΙΑ: 4/Α. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: A() =, ,64 (για τους άνδρες) και Γ() =,75 + 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m. α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5/Α. Σύρμα μήκους l = 0cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και (0 ) cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του. 9/Β. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα. i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συ-νάρτηση του t. 37

38 ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 0 χιλιάδες αυτοκίνητα.; Β. Προτεινόμενες Ασκήσεις. Δίνονται οι συναρτήσεις: ln και g( ) e α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. γ) Να βρείτε τα σημείο τομής των συναρτήσεων και g (αν υπάρχουν). δ) Να βρείτε τα σημείο τομής των και g με τους άξονες.. Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) α) Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: και α) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. g( ) β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης og βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης go βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων go, και g. 4. Δίνεναι η συνάρτηση : 0, με: 38

39 Να αποδείξετε ότι: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 y y, για κάθε, y 0 i) () 0 ii) ( ), 0 iii) ( ) ( y) y,, y 0 5. Δίνεναι η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: με: i) (0) 0, (), ( ) y y, για κάθε, y ii) H είναι άρτια iii), 39

40 Διαγώνισμα στην ενότητα ΘΕΜΑ ο Α. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: Α. Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; Α. Πως ορίζεται η σύνθεση og ; (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε είναι υποχρεωτικά ίσες. Ισχύει: ho og ho og 3. Αν A είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και B το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι A B. 4. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B με A B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι το B. 5. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι πάντα το A B. (Μονάδες 5Χ3=5) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ln( ) και ( ) g e Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g (Μονάδες ) Β. Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g (Μονάδες 0) Γ. Να ορίσετε τις συναρτήσεις og και go (Μονάδες 8) 40

41 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) Α. Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. (Μονάδες ) Γ. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. (Μονάδες 0) 4

42 ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Συνάρτηση «-» Αντίστροφη Συνάρτησης 4

43 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο Μονοτονία συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται : γνησίως αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. α) γνησίως φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. β) Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίχως Δ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) : είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ), αφού για 0 έχουμε ( ) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0], αφού για 0 έχουμε 0, οπότε 0 ( ) ( ), δηλαδή, δηλαδή 43

44 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Σημείωση: Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς: αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) ΜΕΘΟΔΟΣ: Πως αποδεικνύουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Όταν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) τότε βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α και λέμε: «Έστω, A...και κατασκευάζουμε την ανισότητα ( ) ( ) (ή ( ) ( ) αντίστοιχα). ΜΕΘΟΔΟΣ-«Δυσεπίλυτης» ανίσωσης Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( g( )) ( h( )) ή ( g( )) ( h( )) στο Δ αν γνωρίζουμε (ή έχουμε αποδείξει) ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε: Α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ έχουμε: 44

45 ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Β) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ έχουμε: ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Γ) Αν έχουμε να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( ) προσπαθούμε να βρούμε με παρατήρηση, τέτοιο ώστε ( a) a ή ( ) και έχουμε: a στο Α, ( ) a ( ) ( ), a ή, ( ) a ( ) ( ), a Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) /Α. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες ΛΥΣΗ i) ( ) ii) ( ) ln( ) iii) ( ) 3e i) Πρέπει 0 ( ) iv), επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,,, με. Έχουμε:. Έστω ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο D. 45

46 ii) Πρέπει 0,, με Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,. Έχουμε:. Έστω ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο D. iii) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Έχουμε: e e e e 3 3 3e 3e ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. iv) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,.,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,. 4/Α. Να δείξετε ότι: i) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 46

47 iii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( ) 0 και g( ) 0 για κάθε, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Α. Κατανοώ. Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: i) ( ) e 3 3 ii) g( ). Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: i) ( ) log(3 ) ii) g Β. Εμπεδώνω ( ) 3ln. Δίνεται η συνάρτηση: 5 3 ( ) 3 6 i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να λύσετε την ανίσωση e 3e e 6. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) a, a i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 a 3. Δίνεται η συνάρτηση: i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 3 iii) Να λύσετε την ανίσωση: 3 ( ) e e e 3 47

48 4. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης og. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 5. Δίνεται η συνάρτηση : og ( 4 ) og 4 με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 6. Δίνεται η συνάρτηση e e 3 ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 ln Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : γνησίως αύξουσα: i) ii) e 4 e 5 iii) ln είναι 48

49 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι : Παρουσιάζει στο 0 A (Σχ. 7α) A (ολικό) μέγιστο, το ( 0), όταν ( ) ( 0 ) για κάθε Παρουσιάζει στο 0 (Σχ. 7β) A (ολικό) ελάχιστο, το το ( 0), όταν το ( 0) για κάθε ϵ A Για παράδειγμα: Η συνάρτηση () = + (Σχ. 8α) παρουσιάζει μέγιστο στο 0 = 0, το (0) =, αφού () (0) για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = (Σχ. 8β) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 =, το () = 0, αφού () () για κάθε ϵ R. 49

50 Η συνάρτηση () = ημ (Σχ. 9α) παρουσιάζει μέγιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ + π/, κ ϵ Z και ελάχιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ π/, κ ϵ Z, αφού ημ για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = 3 (Σχ. 9β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 3 ii) g( ) 4. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 5 3 ii) Α. Κατανοώ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: 3 i) ( ) ii) ( ) 50

51 . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 3 ii) g( ). Έστω οι συναρτήσεις, g :. Β. Εμπεδώνω i) Αν η έχει μέγιστο στο o και η g είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o και η g είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει μέγιστο στο o.. Έστω οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η έχει μέγιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με 0 έχει μέγιστο στο o. Οι ασκήσεις με τα ακρότατα λύνονται ευκολότερα με όσα θα μάθουμε στο ο Κεφάλαιο. Για το λόγο αυτό μας αρκεί να καταλάβουμε τις έννοιες τώρα. 5

52 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Aν, τότε ( ) ( )» που σημαίνει ότι: "Τα διαφορετικά στοιχεία, D έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες Εναλλακτικά: Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Αν ( ) ( ), τότε» Έστω η συνάρτηση ( ) συνεπαγωγή αν, ( ) ( ).. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε, 0 ισχύει η ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν: 5

53 Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ''-'' Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση: Μια συνάρτηση που είναι άρτια στο Α δεν είναι και «-» αφού ισχύει ( ) ( ) για κάθε A. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: ΛΥΣΗ i) ( ) e ii) i) Το πεδίο ορισμού της είναι D. Για κάθε, g( ) ln με έχουμε: e e e e Επομένως η είναι «-» στο. ii) Πρέπει αρχικά να έχουμε: και 53

54 0 0 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) Για κάθε,, με g g g g g είναι g, έχουμε: D. ln ln ln ln Επομένως η είναι «-» στο,.. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» ΛΥΣΗ 3 i) ( ) 3 ii) g( ) 4 Μπορούμε, εκτός από τη γενικότητα, να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις δεν είναι «-» βρίσκοντας ένα αντιπαράδειγμα, δηλαδή ένα ζεύγος,, με αλλά με ίσες εικόνες. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το. i) Αν, 4 έχουμε: Επομένως η είναι «-» στο. ii) Αν 0 ( ) ( ) 0 ( 4) ( ) έχουμε: g( ) g g Επομένως η είναι «-» στο. 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι η είναι: i) περιττή ii) «-» ΛΥΣΗ με o ( ), για κάθε. i) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε, ισχύει ( ) ( ). 54

55 ΜΕΘΟΔΟΣ-Πως αποδεικνύουμε ότι μία συνάρτηση (δεν) είναι «-» Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ).... Αν η παραπάνω διαδικασία οδηγεί σε αδιέξοδο, τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε να αποδείξουμε ότι η φθινουσα). είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε ένα τουλάχιστον αντιπαράδειγμα, δηλαδή δύο σημεία, του πεδίου ορισμού της με και ( ) ( ). Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ). Καταλήγουμε σε σχέση από την οποία αν δεν μπορούμε οπωσδήποτε να έχουμε μόνο, αλλά και κάτι εναλλακτικό, τότε η δεν είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση «δυσεπίλυτης» εξίσωσης Αν έχουμε να λύσουμε μία εξίσωση: Α) Της μορφής ( ) a () με a, τότε αν η συνάρτηση είναι «-» η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα. Ειδικότερα αν Α είναι το πεδίο ορισμού της και a A η εξίσωση () έχει ακριβώς μία λύση η οποία μορεί να βρεθεί με παρατήρηση ή να αποδειχθεί η ύπαρξη της, όπως θα μάθουμε παρακάτω. Αν a A, τότε η εξίσωση () δεν έχει λύση στο Α. Β) Της μορφής ( g( )) ( h( )) με την να είναι «-» στο Α, τότε έχουμε να λύσουμε την ευκολότερη εξίσωση g( ) h( ). Α. Κατανοώ. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: i) ( ) e ii) g( ) ln. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» 3 i) ( ) 5 ii) g( ) 0 55

56 3. Να εξετάσετε αν οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» 3, 0 i) ( ), 3, 3 ii) g( ), 0 Β. Εμπεδώνω. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) e. Δίνεται η συνάρτηση 7 ii) ln( ) ( ), iii) e 8 i) Να βρείτε το () ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι «-» iii) Να λύσετε την εξίσωση 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: i) H είναι «-» με o ( ) ( ) 3, για κάθε. ii) Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :. i) Να αποδείξετε ότι η σνάρτηση g ( ) 06 δεν είναι «-». ii) Να λύσετε στο, την ανίσωση: 04 ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : i) ii) e 4 e 5 6. Δίνεται η συνάρτηση είναι «-» iii) ln ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: 56

57 4 ln Δίνεται η συνάρτηση : με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: e e 3 57

58 ΜΑΘΗΜΑ 0 ο Αντίστροφη συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση : A R. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι -, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Αγια το οποίο ισχύει () = y. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : (A) R με την οποία κάθε y ϵ (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό ϵ A για το οποίο ισχύει () =y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: ( ) y g( y) 58

59 Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με. Επομένως έχουμε ( ) y ( y) ( ), A και ( y) y, y A Λόγω του παραπάνω συμπεράσματος έχουμε: Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο Μ (α,β) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. 59

60 Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = α και g() = log α, 0< α, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =. Προφανώς ισχύει. ΜΕΘΟΔΟΣ-Εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης και του συνόλου τιμών της Έστω : Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση της Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται). Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση που δόθηκε είναι «-» στο Α και επομένως υπάρχει η αντίστροφη της στο Α. Θέτουμε: y ( ) και λύνουμε ως προς [με ( ) ], θέτοντας όλους τους περιορισμούς που προκύπτουν ως προς y και με A. Τέλος εναλλάσουμε τα, y και έχουμε τον τύπο της ). με το πεδίο ορισμού της (δηλαδή το σύνολο τιμών της Με την παραπάνω διαδικασία και θέτοντας όλους τους περιορισμούς ως προς y βρίσκουμε το σύνολο τιμών της ( ή D D ). ΒΑΣΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ Αν λύνοντας την εξίσωση y ( ) ως προς A διαπιστώσουμε ότι έχει: Το πολύ μία ρίζα στο Α για κάθε y ή Μία ακριβώς ρίζα στο Α για κάθε y, τότε η συνάρτηση είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση εξισώσεων και Οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες μόνο όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Ο ισχυρισμός αυτός, όταν χρσιμοποιείται, χρειάζεται απόδειξη αφού δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Στην περίπτωση αυτή λύνουμε την πιο εύκολη από τις δύο εξισώσεις. 60

61 Δηλαδή τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C της και, όταν υπάρχουν, βρίσκονται πάνω στην ευθεία y γνησίως αύξουσα., μόνο όταν η είναι Στη λύση εξισώσεων που περιέχουν όρους της μορφής g( ) απαιτούμε η g( ) D πρέπει να, δηλαδή η g( ) να ανήκει στο σύνολο τιμών της. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η στο A.» έχει το ίδιο είδος μονοτονίας Απόδειξη: Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Έστω y, y A αποδείξουμε ότι y y. Εχουμε y, y, A. Τότε y, y και άρα: με y y. Θα για κάποια y y y y Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο A. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η περίπτωση που η : είναι γνησίως φθίνουσα στο Α (τότε και η είναι γνησίως φθίνουσα στο A. Η πρόταση αυτή ενδεχομένως να μας χρειαστεί όταν μας ζητείται η μονοτονία της στο Α και είναι δύσκολη (ή και αδύνατη) η κατασκευή με τις ανισότητες. Τότε πιθανόν η εύρεση της μονοτονίας της αντίστροφης στο A να είναι ευκολότερη. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως αύξουσα και οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων ευθεία y., τέμνονται, τότε τα κοινά τους σημεία βρίσκονται πάνω στην 6

62 Απόδειξη Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων σημείο M, το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία y έχουμε (), ( ) (), τέμνονται στο, δηλαδή. Ακόμα, αφού το σημείο Μ είναι κοινό σημείο της C, C. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν, τότε έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ), που είναι άτοπο. Αν ( ) ( ), που είναι άτοπο. Επομένως και άρα το κοινό σημείο Μ των C, C ανήκει στην ευθεία y. Άρα αν μας ζητείται να βρούμε τα κοινά σημεία των C, C μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση (Ι) (αν έχουμε βρει την ). Αν όμως έχουμε (ή μπορούμε να αποδείξουμε) ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,τότε μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση, ( D D ) που πιθανόν να είναι πιο εύκολη από την (Ι) για να βρούμε τα κοινά σημεία τωνc, C χωρίς να βρούμε την επόμενα). Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση 5 στα /Α. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) v) ( ) ln ΛΥΣΗ vi) ( ) e vii) iii) 3 ( ) iv) ( ) e ( ) e viii) ( ) Θα εξετάσουμε αρχικά ποιες από αυτές τις συναρτήσεις είναι «-». i) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ).Έχουμε: ( ) ( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. 6

63 Εύρεση: y ( ) y3 y ή 3 y. 3 Επομένως η αντίστροφή της είναι: ( ), 3 ii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () ( ) 5 iii) To πεδίο ορισμού της ( ) ( ). ( ) είναι το. Έστω, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 3( ) 0 ( ) 3 0 ή 3 Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () () ). 3 iv) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το ( ) ( ).,. Έστω,, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. 63

64 Εύρεση: ( ) y y y y ή y 3 Πρέπει όμως : y y y y y , Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) 3,,0 v) To πεδίο ορισμού της ( ) ln( ) ( ) ( ). Έχουμε:. είναι το, D. Έστω, με ( ) ( ) ln( ) ln( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: y y ( ) yln( ) y e e ή y e Πρέπει όμως : e y, e y e y 0 y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) e,. vi) To πεδίο ορισμού της ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: ( ) ye y e y ln y ln y, με y 0 y ή y ln,. 64

65 Επομένως η αντίστροφή της είναι: ln, vii) To πεδίο ορισμού της Έχουμε: e ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). e e ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: e ( ) y ye y e e y y e e y e y e ή y y e ln y y y ln Πρέπει: Επομένως η αντίστροφη της είναι: y 0 0 y y y y ή y ln,,, viii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση. 65

66 . Δίνεται η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A ln, ln 3. ( ) ln ae, a η γραφική παράσταση της οποίας i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. iii) Να βρείτε την αντίστροφη της. iv) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ln 7. ΛΥΣΗ i) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της από το σημείο Α πρέπει: ln ln ln 3ln ae ln 3ln a ln 9a 9a 4 ii) D. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln 4e ln 4e 4e 4e 4e 4e Άρα η είναι συνάρτηση «-» και επομένως είναι αντιστρέψιμη. iii) Θέτουμε: y y y e e y ( ) y ln4e 4e e e ln 4 4 Πρέπει: y e 0 y 0 y e e y 0 4 Άρα e n, 0 4. iv) H συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (αυτό θα μπορούσαμε να το έχουμε ήδη αποδείξει στο (ii) ερώτημα και να εξασφαλίζαμε το «-»). Έστω, με. Έχουμε διαδοχικά: 66

67 e e 4e 4e 4e 4e ln 4e ln 4e ( ) ( ) Η ανίσωση γίνεται: 3. Δίνεται η συνάρτηση: i) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-». ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. ( ) ln 7 ln 7 ( ) ln ln iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της με την ευθεία y 3. ΛΥΣΗ i) To πεδίο ορισμού της είναι, Έστω,, D. με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln ln ii) Θέτουμε: y y y y y y y e y ( ) y ln e e e e e e y e Πρέπει: e y 0 y 0 y y e e y y 0 0e 0e y 0 y y y e e e Άρα: e, 0 e iii) Έχουμε: 67

68 e 3 e 3e 3e 3 ln 3 e Επομένως το κοινό σημείο είναι A ln 3, ln 3 ή το ln 3,3 A. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ( ) 4. Να βρεθεί η συνάρτηση go ( ). ΛΥΣΗ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D, και η g το g,, D. Η go έχει πεδίο ορισμού το: go, / ( ),, / ( ) ( ) D ή Έχουμε: ( ) το οποίο προφανώς ισχύει ή ( ) 4 6 Επομένως το πεδίο ορισμού της go είναι: go, 6 6, D. Για κάθε go ( ) g ( ) g 4 6 Έστω go ( ) h( ) 6. Θα βρούμε την αντίστροφη της ( ) h, δηλαδή την go. Έχουμε: h( ) y 6 y 6 y y 6, με y 0 και y 6 6 y 0 (αληθής για κάθε y ) 68

69 Επομένως y 6 ή go 6, Δίνεται η συνάρτηση 5 3, i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικων παραστάσεων της και ΛΥΣΗ i) Έστω, με () () (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), (), (3) έχουμε.επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. ή ισοδύναμα ii) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (άρα και «-» οπότε υπάρχει η θα είναι ισοδύναμη με την, δηλαδή έχουμε: ) η εξίσωση iii) Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και, αν υπάρχουν, θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y, δηλαδή θα αποτελούν λύση της εξίσωσης (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα). Επομένως είναι το σημείο O0, (0) ή το 0,0 O. 6. Δίνεται η συνάρτηση ln, 0. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να λύσετε την ανίσωση. 69

70 Σημαντική παρατήρηση για τη λύση ανισώσεων της μορφής ( ) ( ) () Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού D, D Βρίσκουμε το A. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: των συναρτήσεων και. ( ) A και εξετάζουμε αν υπάρχουν λύσεις της () ή ( ) A και τότε έχουμε: ( ) ( ), ί. ύ ( ) ( ) ( ) ( ), ί. φθίνουσα και λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει (που πιθανόν είναι ευκολότερη) στην οποία δεν εμφανίζεται η. ΛΥΣΗ i) D 0,. Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (άρα θα είναι και «-» επομένως θα αντιστρέφεται). Έστω, 0, με. Έχουμε: ln ln () () Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη έχουμε: ln ln + ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, άρα αντιστρέφεται. ii) Έχουμε: 0, ό 0, 0 ί ή ό ( ) ln ln 0 0, 0 Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε,0 0,, 70

71 7. Δίνεται η συνάρτηση : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. 3 για την οποία ισχύει, για κάθε. ii) Να βρείτε την αντίστροφή της (προσέξτε το σημείο αυτό στη λύση). ΛΥΣΗ i) Έστω, με (). Είναι 3 3 μέλη των σχέσεων () και () έχουμε: 3 3 Άρα η είναι «-» και επομένως η αντιστρέφεται. () και με πρόσθεση κατά ii) Αφού η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε, θέτουμε όπου το και έχουμε: 3 3 (3) Άρα η συνάρτηση ισχύει μόνο για κάθε 3, (I) είναι η αντίστροφη της ; Όχι διότι η σχέση (3) A και όχι για κάθε (είναι πιθανή αντίστροφη της ). Άρα οφείλουμε να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το, ώστε η συνάρτηση 3 g( ) να αποτελεί την αντίστροφη της. Αν yo, τότε αν y y έχουμε διαδοχικά: ( 0) y y 3 3 ( ) y y 0 ( ) y y y ( ) y 0 0 Επομένως 3, (I) είναι η αντίστροφη της. Α. Κατανοώ. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) 3 iii) 5 ( ) iv) ( ) 3 7

72 v) ( ) ln3 5 3 vi) ( ) e 5 vii) e ( ) e. Να βρείτε το σύνολο τιμών των επόμενων συναρτήσεων 3 i) ( ) ln ii) 3 g( ) e viii) ( ) 3 Β. Εμπεδώνω 3 (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ. Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g,, έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.. Δίνεται η συνάρτηση: ln, 0 ( ), Να αποδείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της 7

73 3. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστέψιμη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 με () 0 και o ( ) 3 5, για κάθε ii) Να βρείτε το iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) 5 4. Δίνεται η συνάρτηση: e ( ), e Να αποδείξετε ότι: i) H αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της ii) Η εξίσωση ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα 5. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) e, για κάθε. i) Nα αποδείξετε ότι ( ) 0, για κάθε. ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα y y. iii) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-» iv) Να λύσετε την εξίσωση: e ln 3 ln e a e 6. Δίνεται η συνάρτηση ( ), e το σημείο M ln 3,. a της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Να αποείξετε ότι η είναι «-» 73

74 iii) Να βρείτε την iv) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις e ( ) e, g( ) e i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» ii) Να βρείτε την iii) Να βρείτε την go 8. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) 0, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii) Να βρείτε την 9. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, να αποδείξετε ότι και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στο πεδίο ορισμού της. 0. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. 3 με 3 3 για κάθε.. Δίνονται οι αντιστρέψιμες συναρτήσεις, g : g ( ) ( ). Να βρείτε την συνάρτηση g. με ( ) 4 και 74

75 ΜΑΘΗΜΑ ο Γενική επανάληψη Α. Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους. Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.. Μια συνάρτηση : είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. 3. Μία συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ). 4. Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 5. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση και ( ), A Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις y y, y ( A) ισχύει: 6. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε υπάρχουν σημεία της με την ίδια τεταγμένη. 7. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. 8. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. 9. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. 0. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.. Κάθε συνάρτηση, που είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, είναι και -.. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0 A, όταν ( ) ( 0 ), για κάθε A. 3. Δύο συναρτήσεις που έχουν τον ίδιο τύπο εναι πάντα ίσες. 4. Οι συναρτήσεις o και o, όταν ορίζονται, είναι πάντα ίσες. 75

76 Β. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Στις επόμενες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. Το β. Το Β γ. Το A B δ. A B. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. A B β. A B / g( ) 0 γ. A B / ( ) 0 δ. Το Α 3. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης go α. A / ( ) B β. B / ( ) A 4. Η εξίσωση y = () επαληθεύεται γ. A B δ. A B α. μόνο από τα σημεία της C β. Από όλα τα σημεία του επιπέδου Oy γ. Μόνο από τα σημεία με 0 δ. Τίποτα από τα προηγούμενα 5. Η συνάρτηση ( ) 4 είναι : α. Γνησίως αύξουσα στο β. Γνησίως φθίνουσα στο γ. «-» δ. Γνησίως αύξουσα στο, 0 Γ. Ασκήσεις Λυμένες ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες και y y. Δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης