ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 14.1 Γενικά Στη συνοπτική ανάλυση του παρόντος κεφαλαίου εξετάζονται µερικά χαρακτηριστικά προβλήµατα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας και διατυπώνονται οι βασικές σχέσεις που συνδέουν τα αντίστοιχα πεδιακά µεγέη. Η σχετική ανάλυση διευκολύνεται σηµαντικά µε τη χρησιµοποίηση των δυναµικών καυστέρησης A και φ που, όπως είδαµε, δίνονται από τις σχέσεις (1.63) και (1.64), αντίστοιχα. Ειδικά, για τη διάδοση στον αέρα και ηµιτονοειδείς χρονικές µεταβολές, οπότε β = ω/c = ω µ ε, από τις (1.68) και (1.69) προκύπτουν οι εκφράσεις και jβr µ e A () = J ( ) dv (14.1) 4π R jβr 1 e φ () = ρ( ) dv 4πε R (14.) V Επίσης, από τις (1.51) και (1.5), επειδή η συνήκη Loentz (1.59) και οι εξισώσεις Helmholtz (1.6) και (1.61) για την ηµιτονοειδή κατάσταση γράφονται, αντίστοιχα A = jωµ εφ, (14.3) 79

2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ω µ ε µ J, (14.4) A+ = ρ φ+ ω µ εφ =, (14.5) ε προκύπτουν οι εκφράσεις των E και H συναρτήσει µόνον του A : 1 j ω A E = A + = ( A ) jωµ ε jωµ ε µ J (14.6) και 1 H = A (14.7) µ 14. Ακτινοβολία βραχέος διπόλου (δίπολο Hetz) Με τον όρο βραχύ (ή στοιχειώδες) δίπολο, εννοούµε έναν ευύγραµµο αγωγό πολύ µικρού µήκους, που διαρρέεται από εναλλασσόµενο ηµιτονοειδές ρεύµα. Η µελέτη του η- λεκτροµαγνητικού πεδίου του βραχέος διπόλου παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, επειδή µπορούµε να εωρήσουµε ότι τα περισσότερα συστήµατα ακτινοβολίας αποτελούνται από έναν µεγάλο αριµό τέτοιων µικρών διπόλων και εποµένως, το πεδίο τους προκύπτει από την υπέρεση των πεδίων των επί µέρους διπόλων. Στο σχήµα 14-1, εικονίζεται ένα βραχύ δίπολο µήκους l (l ) που είναι τοποετηµένο στην αρχή ενός συστήµατος σφαιρικών συντεταγµένων. z λ +Q E l Ι H φ -Q ίπολο P E l I ϕ y x Σχήµα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Αν I = I cos ωt είναι το ρεύµα του διπόλου, τότε, το φορτίο Q του διπόλου, επειδή I = dq/ dt, είναι ή, σε µιγαδική µορφή I sin ωt Q =, (14.8) ω I Q = j (14.9) ω Το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό καυστέρησης A, σ ένα σηµείο P(, ϕ, ) που απέχει από το δίπολο απόσταση l υπολογίζεται µε βάση τη σχέση (14.1) και δίνεται από την µ Il jβ A = A zz = e z (14.1) 4π ή, σε σφαιρικές συντεταγµένες, από τις Il j A µ β = cos e, (14.11) 4π Il j A µ β = sin e, (14.1) 4π A ϕ = (14.13) Από τις (14.11), (14.1), (14.13) και (14.7), προκύπτει η µόνη µη µηδενική συνιστώσα H της έντασης του µαγνητικού πεδίου ( ϕ H = H = ) Il 1 j j H β β ϕ = + sin e 4π (14.14) Επίσης, από την (14.3) και την (14.1) προκύπτει το βαµωτό ηλεκτρικό δυναµικό καυστέρησης Ilcos β j jβ ϕ e (14.15) = 4πεω Οι τρεις συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E, υπολογίζονται από τις (14.11), (14.1), (14.13) και (14.6), και έχουν τις εκφράσεις ji l cos j 1 j E β β e, (14.16) = + 3 πεω 731

4 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ji l jβ E = + + e 4, (14.17) sin β jβ 1 3 πεω E ϕ = (14.18) Επειδή, όµως, η απόσταση είναι, συνήως, αρκετά µεγάλη, από τις (14.14), (14.16), 1 1 (14.17) και (14.18), αν παραλειφούν οι όροι που περιέχουν τα και, προκύπτουν 3 τελικά οι σχέσεις και ji l sin j E µ β H H ωµ = η = e (14.19) ϕ ϕ ε 4π E E H = H =, (14.) ϕ όπου η = µ / ε 1π 377 Ω, είναι η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού. Από τις (14.19) και (14.) (αλλά και από τις (1.14), (1.16), (1.17), (1.18)), προκύπτει ότι, η µοναδική συνιστώσα του διανύσµατος Poynting που έχει µέση χρονική τιµή διάφορη του µηδενός είναι η P. Για τη µέση αυτή τιµή έχουµε 1 Il ω µ sin η( βil ) Pav = Re = = sin E H 3π c 3π, (14.1) π ω 1 όπου β = ω µ ε = = είναι η φασική σταερά διάδοσης και c = η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στο κενό (ίση µε την ταχύτητα του φωτός). λ c µ ε Η συνολική ακτινοβολούµενη ισχύς P α, υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της πάνω στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας, ή, µετά την ολοκλήρωση, π π Pα = Pav sin d d ϕ Il ( Il ) P = βω µ β α η 1π = 1π (14.) Από την ακτινοβολούµενη ισχύ P α µπορούµε να υπολογίσουµε την αντίσταση ακτινοβολίας R α, που ορίζεται από τη σχέση P av I Pα = RαI = R α (14.3) 73

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 όπου I = I / είναι η ενεργός τιµή του ρεύµατος. Έτσι, από τις (14.) και (14.3) έχουµε R α β η µ l π l 8π l = = 6π ε 3 = λ λ (14.4) Στο ίδιο αποτέλεσµα, µπορούµε να καταλήξουµε και από την εξέταση του πεδίου πολύ κοντά ( πολύ µικρό) στο δίπολο. Πράγµατι, από τη (14.16), µε ανάπτυξη σε σειρά του εκετικού όρου e j β, έχουµε 3 3 Il cos j 1 E β β β = j 1 jβ j 3 πεω Ilcos β 1 β β 3 4 j 3 πωε Από τη (14.5) παρατηρούµε ότι ο κυρίαρχος πραγµατικός όρος (14.5) E Ilcos β 3 = πεω 3, (1.6) είναι αυτός που αντιστοιχίζεται στην αντίσταση, ενώ ο φανταστικός όρος, που απειρίζεται για, αντιστοιχίζεται στην επαγωγική αντίσταση (αντίδραση). Η πτώση τάσης κατά µήκος του διπόλου, όπου cos = 1, είναι συνεπώς οπότε, η αντίσταση R α δίνεται από την δηλαδή, επαληεύεται το αποτέλεσµα της (14.4). R α V l β I 3 = E l =, (14.7) 6πεω V l 3 β 8 l = = = π I 6πε ω λ, (14.8) 14.3 Ένταση ακτινοβολίας. Κατευυντικότητα. Κέρδος κεραίας Η ένταση ακτινοβολίας p(, ϕ ) µιας κεραίας, ορίζεται ως το γινόµενο της ακτινικής συνιστώσας του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού διανύσµατος Poynting, επί το τετράγωνο της απόστασης, δηλαδή 733

6 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 1 p(, ϕ) = Re( ) E H (14.9) Η ένταση ακτινοβολίας p(, ϕ ) παριστάνει την ακτινοβολούµενη µέση ισχύ (ανά µονάδα στερεάς γωνίας) κατά την ακτινική διεύυνση. p max, προς τη µέση ένταση ακτινοβολίας p av Ο λόγος D της µέγιστης έντασης ακτινοβολίας, ονοµάζεται κατευυντικότητα D p max = (14.3) pav Αν P α είναι η συνολική ακτινοβολούµενη ισχύς της κεραίας, επειδή ισχύει η από την (14.3) έχουµε P α = p, (14.31) 4π av 4πp D = max (14.3) Σε µια ιδεατή ισοτροπική κεραία χωρίς απώλειες µε την ίδια ισχύ εισόδου P in, η ένταση ακτινοβολίας είναι σταερή ( p(, ϕ ) = p ) προς όλες τις κατευύνσεις, δηλαδή ι- σχύει η max P α Pin = 4 πp(, ϕ) = 4πpav = 4πp (14.33) Το κέρδος G µιας κεραίας ορίζεται ως ο λόγος της µέγιστης έντασης ακτινοβολίας p της κεραίας, προς τη µέγιστη ένταση ακτινοβολίας ( p ) µιας κεραίας αναφοράς µε την ίδια ισχύ εισόδου G p max max = (14.34) ( pmax) Ως κεραία αναφοράς, συνήως, χρησιµοποιείται η κεραία λ / (γραµµικό δίπολο) ή η ισοτροπική κεραία. Στη δεύτερη περίπτωση (ισοτροπική κεραία χωρίς απώλειες) χρησι- µοποιούµε το ειδικό σύµβολο G, και από την (14.34) έχουµε pmax G =, (14.35) p όπου p είναι η σταερή ένταση ακτινοβολίας της ισοτροπικής κεραίας µε την ίδια ι- σχύ εισόδου, δηλαδή το κέρδος G ταυτίζεται πρακτικά µε την κατευυντικότητα D. Η ισότητα D = G, µπορεί να γίνει αιτία σύγχυσης των όρων της κατευυντικότητας D και 734

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 του κέρδους G, αφού, συνήως, οι απώλειες σε µια καλοσχεδιασµένη κεραία είναι πολύ µικρές. Οι έννοιες της κατευυντικότητας D και του κέρδους G, γενικεύονται µε αναφορά στη εωρούµενη κατεύυνση (, ϕ ). Έτσι, η συνάρτηση κατευυντικότητας D(, ϕ ) ορίζεται ως ο λόγος της έντασης ακτινοβολίας p(, ϕ ) κατά την κατεύυνση (, ϕ ) προς τη µέση ένταση ακτινοβολίας, δηλαδή p(, ϕ) 4 πp(, ϕ) D(, ϕ ) = = (14.36) p Αντίστοιχα, η συνάρτηση κέρδους G( ϕ, ) ορίζεται από την av P α p(, ϕ) 4 πp(, ϕ) G(, ϕ ) = = (14.37) p P Από τις σχέσεις (14.36) και (14.37), καορίζονται τα ανηγµένα (κανονικοποιηµένα) διαγράµµατα ακτινοβολίας. Για το βραχύ δίπολο, που εξετάστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, από τις σχέσεις (14.1) και (14.9) προκύπτει ( βil ) p(, ϕ) = sin η (14.38) 3π και ( βil ) pmax = η (14.39) 3π Η κατευυντικότητα D του βραχέος διπόλου, υπολογίζεται από τις (14.), (14.3), (14.39) και είναι 3 D = (14.4) Επίσης, η συνάρτηση κατευυντικότητας D(, ϕ ), υπολογίζεται από τις (14.3), (14.36), (14.38), και δίνεται από την 3 sin D = (14.41) Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι η συνάρτηση κατευυντικότητας D(, ϕ ) εξαρτάται µόνο από την τιµή της γωνίας και παίρνει τη µέγιστη τιµή ( Dmax = D = 3/) για = π/. in 735

8 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ z ίπολο D(, φ) D D max = = 3/ = π/ Σχήµα 14- Στο σχήµα 14-, φαίνεται το διάγραµµα της ακτινοβολούµενης (ανηγµένης) ισχύος προς κάε κατεύυνση Ακτινοβολία µικρού κυκλικού βρόχου Έστω ένας µικρός κυκλικός βρόχος (σχήµα 14-3), που η ακτίνα του a είναι πολύ µικρότερη από το µήκος κύµατος λ και από τις αποστάσεις των εωρουµένων σηµείων του χώρου (a λ και a ). z P I R O ϕ a dl = ad ϕ y x Σχήµα

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Πριν προχωρήσουµε στον υπολογισµό του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A, παρατηρούµε λόγω συµµετρίας, ότι η µόνη µη µηδενική συνιστώσα του A (σύστηµα κυλινδρικών συντεταγµένων) είναι η A ϕ. Επίσης, και χωρίς να παραβλέπεται η γενικότητα του προβλήµατος, εωρούµε ότι το σηµείο P του χώρου στο οποίο υπολογίζεται το πεδίο βρίσκεται πάνω στο επίπεδο yoz, ενώ ο κυκλικός βρόχος είναι τοποετηµένος πάνω στο επίπεδο xoy µε το κέντρο του O πάνω στον άξονα z. Αν εωρήσουµε το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό που οφείλεται στο στοιχείο dl του σχήµατος και ολοκληρώσουµε πάνω σ όλο το µήκος του βρόχου, τότε, σύµφωνα µε τη (14.1) έχουµε π I a sin j R A µ ϕ β ϕ = e dϕ (14.4) 4π R Η απόσταση R, επειδή R a και a, µπορεί ν αντικατασταεί στην (14.4), στον µεν εκετικό όρο από την έκφραση R asinϕ sin, (14.43) στον δε παρονοµαστή από την απόσταση, οπότε η (14.4) γράφεται Ia π j R j sin sin A µ β βα ϕ ϕ = e sinϕe dϕ 4π (14.44) πa Επίσης, επειδή και βa = 1, η (14.44) καταλήγει στην λ Ia j A µ π β ϕ = e sinϕ + jβasin (sin ϕ ) dϕ 4π (14.45) Από την ολοκλήρωση της (14.45), και επειδή η A ϕ είναι η µόνη µη µηδενική συνιστώσα του A, έχουµε και j j A µ β β ϕ = e (14.46) 4 Ia sin A = A = (14.47) Από τις (14.6), (14.7), (14.46) και (14.47) προκύπτουν οι συνιστώσες της ηλεκτρικής και µαγνητικής πεδιακής έντασης E = E =, (14.48) 737

10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Ia sin j E ωµ β β ϕ = e, (14.49) 4 ji a βcos jβ = e, (14.5) H β sin jβ Ia H = e, (14.51) 4 H ϕ = (14.5) Η συνιστώσα H του µαγνητικού πεδίου, στα σηµεία του χώρου που είναι πολύ απο- µακρυσµένα από το βρόχο είναι πάρα πολύ µικρή ( H ), όπως εύκολα φαίνεται από την (14.5) όπου ο όρος εµφανίζεται στον παρανοµαστή. Επίσης, από τις (14.49) και (14.51) προκύπτει η µ ωµ β ε 4 Ia sin j E β = H = e (14.53) ϕ Η µέση χρονική τιµή της επιφανειακής πυκνότητας της ακτινοβολούµενης ισχύος υ- πολογίζεται από το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Poynting P = Re { S c} = Re { E H } = Re{ EH ϕ ϕ } = Re{ EH ϕ } ή, λόγω της (14.53) 4 1 E 1 E ϕ ϕ 1 ω µ Iβ a sin P = E ϕ η H η = = = (14.54) η 3η 14.5 Ακτινοβολία γραµµικής πηγής Ας ζητήσουµε, στη συνέχεια, να υπολογίσουµε το πεδίο γραµµικής κεραίας µήκους H σ ένα τυχόν αποµακρυσµένο σηµείο P του χώρου (σχήµα 14-4). Επειδή το πεδίο µπορεί να εωρηεί ότι προκύπτει από την υπέρεση των πεδίων ό- λων των βραχέων διπόλων µήκους dh που απαρτίζουν την κεραία, µε ολοκλήρωση της (14.19) έχουµε H I sin j R E ωµ β = e dh (14.55) H 4πR 738

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 z P dh R H h z = Σχήµα 14-4 Αν η απόσταση R ( R, H) αντικατασταεί στην (14.55), στον µεν εκετικό όρο από την έκφραση R hcos, (14.56) π ω στον δε παρανοµαστή από την απόσταση, και ληφούν υπόψη οι β = = και λ c µ η =, η (14.55) γράφεται ε j sin H j j h cos E η β β = e I( h) e dh λ (14.57) H Στην περίπτωση όπου το ρεύµα πάνω στην κεραία δίνεται από τη σχέση Ih () = I cosβh, (14.58) και το µήκος της κεραίας H είναι περιττό πολλαπλάσιο του µισού µήκους κύµατος: H = n λ ( n = 1,3,5, ), (14.59) το ολοκλήρωµα στην (14.57), αν λάβουµε υπόψη ότι γράφεται e a + b ah ah e cos bhdh = ( acosbh + bsin bh), (14.6) cos( n( π/)cos ) βsin nλ /4 jβh cos I cos βhe dh = I, (14.61) nλ /4 739

12 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ οπότε jη I cos( n( π/)cos ) π sin jβ = e (14.6) E Από την (14.6) προκύπτει η ένταση του µαγνητικού πεδίου και το διάνυσµα Poynting E ji cos [ n( π/)cos ] jβ ϕ = = e (14.63) η π sin H P 1 E = = η 8π sin ηi cos π [ n( /)cos ] (14.64) 14.6 ιπολική κεραία λ / Στην ειδική περίπτωση όπου το µήκος H της κεραίας είναι ίσο µε µισό µήκος κύµατος ( H = λ /4), από τις (14.6), (14.63) και (14.64), για n = 1, προκύπτει, αντίστοιχα π cos cos jη I π sin jβ = e, (14.65) E π cos cos ji π sin jβ ϕ = e (14.66) H και π cos cos ηi P = (14.67) 8π sin Επίσης, η ολοκλήρωση της (14.1) σ όλο το µήκος της κεραίας δίνει, µετά από µερικές πράξεις, την ακόλουη έκφραση του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού π cos cos µ I πβ sin jβ z = e (14.68) A Ο προσδιορισµός της ακτινοβολούµενης ισχύος γίνεται µε ολοκλήρωση της (14.67) πάνω στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας 74

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 P α π π cos cos ηi = d 4π sin (14.69) Η αριµητική ολοκλήρωση της (14.69) δίνει ηi P α =, 345 π (14.7) Τέλος, από την (14.7), επειδή η ενεργός τιµή I του ρεύµατος είναι I = I / και η = 1π, προκύπτει η αντίσταση ακτινοβολίας του γραµµικού διπόλου R α = 73, 8 Ω (14.71) Στα σχήµατα 14-5 και 14-6, φαίνεται η µεταβολή της E, συναρτήσει της γωνίας, για n = 1 (κεραία λ /) και n = 3 (κεραία 3 λ /), E n=1 κεραία λ / Σχήµα

14 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ E n=3 κεραία 3 λ / Σχηµα Το πεδίο κοντά στην κεραία Έστω γραµµική κεραία µήκους H (σχήµα 14-7) και σηµείο P στο επίπεδο yoz του σχήµατος. Αν η τιµή του ρεύµατος πάνω στην κεραία δίνεται από την και I = I sin β( H h), όταν h > (14.7) I = I sin β( H + h), όταν h <, (14.73) το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό A, σύµφωνα µε την (14.1), υπολογίζεται από το ο- λοκλήρωµα H jβr µ e z () 4π H R A = A z = I h dhz, (14.74) Οι µη µηδενικές συνιστώσες H ϕ, E z και E y των διανυσµάτων E και H που υπολογίζονται από την πιο πάνω έκφραση του µαγνητικού διανυσµατικού δυναµικού A και τις (14.6), (14.7), δίνονται από τις σχέσεις 74

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 z R 1 P H dh h R z Ο y H R Σχηµα 14-7 ji j R1 j R j H β β β ϕ = e + e cos( βh) e 4πy, (14.75) και jβr1 jβr jβ jβi e e e E z = + cos( βh) 4πωε R1 R (14.76) jβr1 jβr jβ jβi ( z H) e ( z H) e z cos( βh) e E + y = + + 4πωεy R1 R (14.77) 14.8 Στοιχειοκεραίες Για να εξασφαλιστεί η µετάδοση ισχυρών σηµάτων προς ορισµένες κατευύνσεις συχνά χρησιµοποιούνται συστήµατα περισσοτέρων κεραιών. Οι στοιχειοκεραίες είναι διατάξεις που αποτελούνται από πολλές όµοιες κεραίες µε τον ίδιο προσανατολισµό. Ας εωρήσουµε, αρχικά, δύο παράλληλα βραχέα δίπολα διαρρεόµενα από το ίδιο ρεύµα και τοποετηµένα πάνω στον άξονα x σε απόσταση g (σχήµα 14-8). Σε µεγάλες αποστάσεις, κατά τα γνωστά, η µόνη µη µηδενική συνιστώσα E του ηλεκτρικού πεδίου, µπορεί να προκύψει από την υπέρεση των πεδίων των δύο κεραιών. Έτσι, σύµφωνα µε την (14.19) έχουµε 743

16 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ z g O l 1 P y ϕ l x Σχήµα 14-8 όπου jβ1 jβ e e E = E = Em sin +, (14.78) E ji lωµ 4π 1 m = (14.79) Από την (14.78), αν οι αποστάσεις 1 και αντικατασταούν στους εκετικούς ό- ρους από τις εκφράσεις και στους παρονοµαστές από την προκύπτει όπου g 1 + cosϕ, (14.8) g cosϕ (14.81) 1, (14.8) jβ Em sin e j / j / E ψ ψ = ( e + e ), (14.83) 744

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ψ = βg cosϕ (14.84) Η (14.83), αφού είναι το πεδίο του κάε διπόλου, µπορεί επίσης να γραφεί ως E jβ Em sin e =, (14.85) = [ cos( ψ/) ] = cos( π cos ϕ/ λ) (14.86) E E E g φ E E E Σχήµα 14-9 Στο σχήµα 14-9, φαίνεται η µεταβολή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης συναρτήσει της γωνίας ϕ για g = λ /. Παρά την οµοιότητα που εµφανίζουν τα διαγράµµατα των σχηµάτων 14-5 και 14-9, η σηµασία τους είναι τελείως διαφορετική, αφού το ένα αναφέρεται στη γωνία ενώ το άλλο στη γωνία ϕ. Πράγµατι, όπως είναι προφανές, το διάγραµµα ακτινοβολίας µιας µόνο γραµµικής κεραίας συναρτήσει της γωνίας ϕ ( και σταερά) είναι κυκλικό. Η προσήκη, όµως, δεύτερης κεραίας δίνει διάγραµµα ακτινοβολίας που εµφανίζει δύο λοβούς. Στην περίπτωση αυτή, για g = λ /, η ακτινοβολούµενη ενέργεια 745

18 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ είναι µηδενική κατά τις διευύνσεις ϕ = και ϕ = π. Αυτό συµβαίνει γιατί η απόσταση g = λ / των δύο στοιχείων, αντιστοιχίζεται σε διαφορά φάσης 18 πάνω στον άξονα x, µε αποτέλεσµα το πεδίο της µιας κεραίας ν αναιρεί το πεδίο της άλλης. φ E Σχήµα 14-1 Όταν αυξάνει η απόσταση g των δύο στοιχείων, τότε, αυξάνει και ο αριµός των λοβών που εµφανίζονται στο διάγραµµα ακτινοβολίας. Έτσι, για g = λ, προκύπτει το τυπικό διάγραµµα του σχήµατος Επίσης, η µορφή του διαγράµµατος είναι διαφορετική αν τα ρεύµατα των στοιχείων δεν έχουν την ίδια φάση. Θεωρούµε, στη συνέχεια, µια γραµµική στοιχειοκεραία, δηλαδή µια διάταξη n παράλληλων στοιχείων που απέχουν µεταξύ τους απόσταση g, ενώ διαρρέονται από n ίσα κατά µέτρο ρεύµατα µε σχετική όµως διαφορά φάσης µεταξύ δύο γειτονικών στοιχείων δ (σχήµα 14-11). 746

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 g cosϕ g cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ I I I I I g g g φάση: δ δ 3δ ( n 1) δ Σχήµα Η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου της στοιχειοκεραίας σ ένα σηµείο P πολύ απο- µακρυσµένο, που απέχει απόσταση από τη στοιχειοκεραία, δίνεται, κατά τα γνωστά, από την ψ ψ ( 1) ψ = , (14.87) (1 j j j n E E e e e όπου E είναι το πεδίο του κάε στοιχείου και π ψ = βgcosϕ+ δ = gcosϕ+ δ (14.88) λ Η (14.87), µετά τον υπολογισµό του αροίσµατος των όρων της γεωµετρικής σειράς µε λόγο j e ψ, δίνει την ακόλουη έκφραση του παράγοντα στοιχειοκεραίας E jnψ 1 e sin( nψ /) f = = = jψ E 1 e sin( ψ /) (14.89) Από τη (14.89) διαπιστώνεται ότι η µέγιστη τιµή του πεδίου παρατηρείται για ψ =, ενώ µε εφαρµογή του κανόνα του L Hospital βρίσκεται ότι η κύρια αυτή µέγιστη τιµή είναι fo,max = n (14.9) Οι δευτερεύουσες µέγιστες τιµές σε στοιχειοκεράιες µε µεγάλο αριµό στοιχείων προκύπτουν, µε καλή προσέγγιση, από την 747

20 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ nψ sin = 1, (14.91) οπότε nψ π =± (κ + 1) ( κ = 1,,3, ) (14.9) Έτσι, η πρώτη δευτερεύουσα µέγιστη τιµή παρατηρείται για η δε τιµή της είναι ψ 3π =, (14.93) n f 1,max = 1 3π sin n (14.94) Όταν ο αριµός n των στοιχείων είναι αρκετά µεγάλος, η µέγιστη τιµή του παράγοντα της στοιχειοκεραίας του πρώτου πλευρικού λοβού, όπως φαίνεται από την (14.94), είναι f 1, l,max n =, 1n (14.95) 3π Από τις (14.9) και (14.95) προκύπτει ότι ο λόγος της δευτερεύουσας µέγιστης τιµής προς την κύρια µέγιστη τιµή είναι ανεξάρτητος του αριµού των στοιχείων n και µικρότερος του, 1. f f,max 1 n 3π 1π 8π 6π 4π π π 3π 4π 6π 8π 1π n n n n n n n n n n n ψ Σχήµα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Επίσης, από την (14.89) παρατηρούµε ότι το πεδίο έχει µηδενική τιµή για nψ =± κπ ( κ = 1,,3, ) (14.96) Τέλος, αναφέρουµε τις εξής δύο ενδιαφέρουσες ειδικές περιπτώσεις: α) Μετωπική (ή ευρύπλευρη) στοιχειοκεραία ( δ = ) Στην περίπτωση αυτή, η κύρια µέγιστη τιµή παρατηρείται για ψ = βg cosϕ =, (14.97) ή π ϕ =±, (14.98) δηλαδή, κατά διεύυνση κάετη προς τη γραµµή της στοιχειοκεραίας. β) Ακροπυροδοτική στοιχειοκεραία ( δ = βg ) Στην ακροπυροδοτική στοιχειοκεραία, από την ψ = βgcos ϕ+ δ = βg(cosϕ 1) =, (14.99) προκύπτει ϕ =, (14.1) δηλαδή, η κύρια µέγιστη τιµή παρατηρείται κατά τη διεύυνση της γραµµής της στοιχειοκεραίας 749

22 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 14.9 Παραδείγµατα 14.1 Το µαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό, του πεδίου µιας µικρής κεραίας τοποετηµένης στην αρχή των αξόνων ενός συστήµατος συντεταγµένων, σ ένα σηµείο τυχόν Pϕ (,, ) του χώρου δίνεται από τη σχέση A = 5 j β e x όπου = xx + yy + zz είναι το διάνυσµα έσης του σηµείου P. Να βρεούν οι στιγµιαίες εκφράσεις των διανυσµάτων E (, ϕ,,) t και H (, ϕ,,) t της ηλεκτρικής και µαγνητικής πεδιακής έντασης στις αποµακρυσµένες έσεις του πεδίου. Η δοείσα έκφραση του µαγνητικού διανυσµατικού δυναµικού, επειδή γράφεται, σε σφαιρικές συντεταγµένες, x = sin cosϕ + cos cos sinϕϕ (1) A = A + A + A ϕ, () ϕ όπου jβ 5e A = A x sin cosϕ = sin cosϕ (3) jβ 5e A = A x cos cosϕ = cos cosϕ (4) jβ 5e A ϕ = A x sinϕ = sinϕ (5) Η µαγνητική πεδιακή ένταση H, λόγω των (3), (4) και (5), είναι ή B A 1 (sin Aϕ) A ϕ H = = = µ µ µ sin 1 1 A ( A ) ϕ 1 ( A ) A + + ϕ, sin ϕ 75

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 1 cos sinϕ 5 sin e H = + µ sin µ jβ jβ e (sin jβ) jβ 5 cos cosϕe (1 + jβ) ϕ µ Η (6), για τα αποµακρυσµένα σηµεία, όπου 1 1, γράφεται (6) jβ j5βe H = (sinϕ + cos cos ϕϕ) µ (7) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση, λόγω της (7), δίνεται από την jβ j5βηe E = η H = (sinϕϕ cos cos ϕ) µ (8) Οι αντίστοιχες στιγµιαίες εκφράσεις δίνονται από τις jωt 5 H(, ϕ,, t) = Re{ H e } = βsin( ωt β)(sinϕ + cos cos ϕϕ) µ (9) jωt 5ηβ E(, ϕ,,) t = Re{ E e } = sin( ωt β)( sinϕϕ + coscos ϕ) µ (1) 14. Μια κεραία µε ισχύ εισόδου Pin = 4π W και βαµό απόδοσης n = P / P in =,98, ακτινοβολεί στον περιβάλλοντα κενό χώρο ισχύ P α. Ζητείται ο υπολογισµός της κατευυντικότητας D και του κέρδους G της κεραίας, αν δίνεται ότι η µέγιστη ένταση ακτινοβολίας p max είναι ίση µε W/st.ad. α Η µέση ένταση ακτινοβολίας p av είναι Pα npin, 98 4π pav = = = = 9, 8 W/st.ad (1) 4π 4π 4π Η κατευυντικότητα D της κεραίας υπολογίζεται από την (14.3) και την (1) pmax D = = =, 4 () p 9, 8 av Η σταερή ένταση ακτινοβολίας p µιας ισοτροπικής κεραίας χωρίς απώλειες µε την ίδια ισχύ εισόδου είναι 751

24 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ P in 4 p = π 1 4π = 4π = W/st.ad (3) Από την (14.35) και την (3) υπολογίζεται το κέρδος G της κεραίας pmax G = = = (4) p ιπολική κεραία µισού µήκους κύµατος, χωρίς απώλειες, και µε αντίσταση εισόδου 73 Ω συνδέεται µε γραµµή µεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης 5 Ω. Αν δίνεται ότι το διάγραµµα της έντασης ακτινοβολίας της κεραίας είναι της µορφής 3 p() = B sin όπου B γνωστή σταερά, να υπολογισεί το συνολικό-τελικό- κέρδος της κεραίας. Ας υπολογίσουµε, αρχικά, τη µέγιστη ένταση ακτινοβολίας της κεραίας. Αυτή, προφανώς, παρατηρείται για = π/ και έχει τιµή p = B (1) max Η ακτινοβολούµενη από την κεραία ισχύς P α δίνεται από την π π π 4 3π Pα = p(, ϕ)sinddϕ= πb sin d= B 4 () Η κατευυντικότητα, συνεπώς, της κεραίας είναι D p 4πp 4πB 16 p P B π 3π max max = = = = = 1,697 (3) av α 3 ( 4 ) Επειδή η κεραία, όπως διευκρινίζεται στην εκφώνηση, είναι άνευ απωλειών, ο βαµός α- πόδοσής της είναι ίσος µε τη µονάδα και το κέρδος της ισούται µε την κατευυντικότητα ή G = D = 1,697, (4) G = D = 1 log (1, 697) =, 97 db (5) 1 75

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Υπάρχει, όµως, και ένας άλλος παράγοντας που πρέπει να ληφεί υπόψη κατά τον υπολογισµό της τελικής τιµής του κέρδους. Ο παράγοντας αυτός αναφέρεται στις απώλειες που οφείλονται στην ανάκλαση (ή µη προσαρµογή) ανάµεσα στην κεραία (φορτίο) και τη γραµµή µεταφοράς. Η τελική ισχύς στην κεραία, όπως είναι γνωστό από τη εωρία των γραµµών µεταφοράς, εκφράζεται ως ποσοστό του προσπίπτοντος κύµατος από το συντελεστή e Z Z 73 5 = 1 Γ = 1 = 1 =, L ZL Z (6) Συνεπώς, το ζητούµενο τελικό κέρδος είναι G =,965D = 1,638, ή G =,14 db 14.4 Να βρεεί η συνάρτηση κατευυντικότητας D() ευύγραµµης διπολικής κεραίας λ /. Επίσης, να υπολογιστεί η κατευυντικότητα D της κεραίας και να συγκριεί µε την κατευυντικότητα του βραχέος διπόλου. είναι Η ένταση ακτινοβολίας p() του γραµµικού διπόλου λ /, σύµφωνα µε την (14.67) π cos cos ηi p() P = = (1) 8π sin Η συνάρτηση, συνεπώς, κατευυντικότητας D() λόγω των (14.36), (14.69) και (1), δίνεται από την π π cos cos cos cos ηi 4 π p() 4 πp() D() = = = 8π sin = sin pav P π π α cos cos cos cos η d π/ π/ I d 4π sin sin () 753

26 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Μετά την αριµητική ολοκλήρωση στον παρονοµαστή της (), προκύπτει η έκφραση της συνάρτησης κατευυντικότητας D() π cos cos D() 1,64 = (3) sin Η κατευυντικότητα D υπολογίζεται από τη (µέγιστη) τιµή της (3) για = π/ D Dmax( ) D π = = = 1,64 (4) Από τη σύγκριση των (4) και (14.4) παρατηρούµε ότι η κατευυντικότητα της κεραίας λ / ( D = 1,64) είναι µεγαλύτερη από την κατευυντικότητα του βραχέος διπόλου ( D = 1,5) Η ένταση ακτινοβολίας κάποιας κεραίας, χωρίς απώλειες, δίνεται από τη συνάρτηση 3 K sin sin ϕ p(, ϕ), ϕ π =, π ϕ π, όπου K σταερά. Αν η συνολική ακτινοβολούµενη ισχύς της κεραίας είναι KW, ζητούνται α) Να προσδιοριστεί η τιµή της σταεράς K. β) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση κατευυντικότητας και η κατευυντικότητα της κεραίας γ) Να βρεεί η κατεύυνση (γωνία ), πάνω στο επίπεδο ϕ = 45, για την οποία η τιµή της συνάρτησης κέρδους είναι 5 db. Ποιο είναι το µέτρο της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης σε α- πόσταση 1 km κατά την κατεύυνση αυτή; α) Η ακτινοβολούµενη ισχύς της κεραίας είναι 754

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 π π π π 3 3 sin sin sin sin sin ϕ= = π π (1 cos ) d (1 cos ϕ) d( cos ϕ) π π 3 P = pdω = K ϕ ddϕ = K d ϕdϕ α K = K cos cos ϕ 4K π π = cosϕ K = = (1) Από την (1), επειδή η κεραία είναι άνευ απωλειών ( Pα = P in = kw), προκύπτει η ζητούµενη τιµή της σταεράς K 3P 3. K = α π = π W () β) Η συνάρτηση κατευυντικότητας D(, ϕ ) δίνεται από την ή p(, ) 4 p(, ) 4 K sin sin D(, ϕ ) = = =, 3 ϕ π ϕ π ϕ pav P π α 3 K = (3) 3 D(, ϕ) 6sinsin ϕ Η κατευυντικότητα, όπως αµέσως φαίνεται από την (3), είναι ή D = D = D π π =, (4) max (, ) 6 D = 7, 78 db. γ) Η συνάρτηση κέρδους, επειδή σύµφωνα µε την εκφώνηση η κεραία εωρείται χωρίς α- πώλειες, είναι ίδια µε τη συνάρτηση κατευυντικότητας, δηλαδή ίνεται, ότι 4 πp(, ϕ) 4 πp(, ϕ) G (, ) = = = D(, ) = 6sin sin (5) 3 ϕ ϕ ϕ Pin P α ή 5 = G db = 1logG, d d Από την (5) και την (4) για ϕ = 54,5,5 loggd Gd 1 3,16 = = = (6), έχουµε G d 3, sin = = =, 995 6sin ϕ 6 (sin54 ) 755

28 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ή = 84, 47 (7) Η πυκνότητα της ακτινοβολούµενης ισχύος P av σε απόσταση = 1 km κατά τη πιο πάνω κατεύυνση ( = 84, 47, ϕ = 54 ) όπου G d = 3,16, είναι GP d α Pav = (8) 4π Από το πραγµατικό, όµως, µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Poynting και την (8), έχουµε P av E GP d = = η 4π α, ή 3 GP d 1 (3,16) ( 1 ) E η α π = =, 3 4π π (1 1 ) δηλαδή E =,1948 V/m 14.6 Ένα βραχύ δίπολο µήκους l, δεν διαρρέετε από σταερό οµοιόµορφα διανεµηµένο ρεύµα, αλλά από ένα ρεύµα που διανέµεται τριγωνικά, όπως φαίνεται στο σχήµα 14-13, I z l = I 1 Να αποδειχεί ότι η αντίσταση ακτινοβολίας του διπόλου δίνεται από τη σχέση l =, R α π λ δηλαδή είναι ίση µε το ένα τέταρτο της αντίστοιχης αντίστασης ακτινοβολίας του διπόλου για οµοιόµορφα διανεµηµένο ρεύµα. Επίσης, να υπολογισεί το µήκος του διπόλου στο οποίο α- ντιστοιχεί αντίσταση ακτινοβολίας ίση προς,5 Ω. 756

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 z l z= I I Σχήµα Το µαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό A στο αποµακρυσµένο από την κεραία σηµείο P (σχήµα 14-14), σύµφωνα µε την (14.1), δίνεται από τη σχέση z Ρ(, ϕ, ) l/ z R y x l/ Σχήµα ή jβr µ e µ z e A dv I z dz, R jβr l / () = J ( ) = () 4π 4 l / V R π l / µ z () I 1 4π l / Η (1) υιοετώντας τη συνήη αντικατάσταση jβr z e A = dz l (1) R 757

30 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ στον εκετικό όρο e j β R, και στον παρονοµαστή, γράφεται R z cos () R (3) ή µ µ A () = 1 = l / jβ( z cos ) jβ l / z z e Ie z jβz cos I dz e dz π l / l π l / l z, jβ l / Ie z µ A () = 1 cos( βz cos ) dz 4π l / l l / z + j 1 sin( βz cos ) dz l / l z (4) Επειδή οι υπό ολοκλήρωση συναρτήσεις στα δύο ολοκληρώµατα του δεξιού µέλους της (4) είναι, για µεν το πρώτο άρτια συνάρτηση του z, στο δε δεύτερο περιττή συνάρτηση του z, το δεύτερο ολοκλήρωµα, προφανώς, έχει µηδενική τιµή και η (4) καταλήγει στην jβ l / Ie z βz dz 4π l z µ A ( ) = 1 cos( cos ), ή, µετά την εκτέλεση της ολοκλήρωσης, στην jβ µ Ie βl A () = 1 cos cos πβ l cos z, (5) που, µε αντικατάσταση του µοναδιαίου διανύσµατος z από την z = cos sin, (6) γράφεται όπου και A () = A + A, (7) jβ jβ I e l e A µ β = 1 cos cos f = 1( ) πβ l cos, (8) jβ jβ I e sin l e A µ β = 1 cos cos = f ( ) πβ l cos, (9) 758

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Από τις (7), (8), (9) και την έκφραση της στροφής A σε σφαιρικές συντεταγµένες, έ- χουµε 1 1 (sin A ϕ) A H = A = µ µ sin ϕ 1 1 A ( A ) ϕ 1 ( A ) A + +, sin ϕ ϕ ή 1 1 ( A ) A H = = Hϕ µ ϕ ϕ (1) Η (1), λόγω των (8), (9), γράφεται jβ j j j e 1 β β β jβe f() e H ϕ = e f() f1() = f 1() µ, µ 1 1 ή, επειδή για τα αποµακρυσµένα σηµεία ισχύει η, και, λόγω της (9), 1 jβ jβe H ϕ f(), µ jβ ji e βl H sin 1 cos cos πβ l cos ϕ (11) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση προκύπτει, εύκολα, από την E = E = ηh, που, λόγω της (11), γράφεται jβ jηi e βl E sin 1 cos cos πβ l cos (1) όπου η = µ ε = 1π Ω ϕ Οι πιο πάνω εκφράσεις των E και H απλουστεύονται, ακόµη περισσότερο, αν λάβουµε υπόψη ότι στο εξεταζόµενο πρόβληµα το δίπολό µας είναι βραχύ, οπότε l / λ 1. βl Έτσι, από το ανάπτυγµα σε σειρά της cos cos, επειδή βl 1, έχουµε 759

32 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ βl βl ( cos ) cos cos = 1 + (13)! Οι (11) και (1), λόγω της (13), καταλήγουν στις ακόλουες εκφράσεις των H και E και ji βl e 8π jβ sin ϕ (14) H jβ jηiβl e E sin 8π (15) Η µέση επιφανειακή πυκνότητα της ακτινοβολούµενης ισχύος, προκύπτει από το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Poynting { } * P 1 1 η Iβl sin av = Re η Hϕ E H = = 8π (16) Η συνολική ακτινοβολούµενη ισχύς που προκύπτει από την ολοκλήρωση της στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας, δίνεται από την P av ή δηλαδή π π η Iβl sin Pα = Pav ds= PavdS sin d d S = S σφ σφ 8π ϕ, l 1 Pα = 1π I = IRα λ, (17) l = R α π λ (18) που είναι το ένα τέταρτο της τιµής για οµοιόµορφα διανεµηµένο ρεύµα. Από την (18), για R α =, 5, έχουµε δηλαδή l = π, 5 λ, l =, 5λ (19) 76

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Να υπολογισεί ο βαµός απόδοσης n = P / P in ενός διπόλου Hetz, το οποίο συνίσταται από ευύγραµµο µεταλλικό σύρµα µήκους l, ακτίνας a και αγωγιµότητας σ. ίνεται ότι η ωµική αντίσταση R l του διπόλου δίνεται από την α R l 1 a R δ όπου δ είναι το βάος διείσδυσης και R η αντίσταση στο συνεχές ρεύµα. Να γίνει αριµητική εφαρµογή για f = 5 MHz, a = 1, 8 mm, l = m, και 7 σ = 5, 8 1 S/m. Αν I είναι το πλάτος του ρεύµατος ( I = I cos ωt ) του στοιχειώδους διπόλου και R l η οµική του αντίσταση, οι οµικές απώλειες P l δίνονται από την 1 Pl = IRl (1) Παρόµοια, η ακτινοβολούµενη ισχύς P α, συναρτήσει της αντίστασης ακτινοβολίας R α, δίνεται από τη σχέση όπου P α 1 = IRα, () l R α = 8π λ (3) είναι η αντίσταση ακτινοβολίας του διπόλου. Η οµική αντίσταση απωλειών του µεταλλικού σύρµατος, επειδή το βάος διείσδυσης δ και η αντίσταση R στο συνεχές ρεύµα δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις δ = (4) µσω και είναι R 1 l = (5) σπα 761

34 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ή R l 1 α l µω = R = δ πα σ, (6) όπου R l l = RS (7) πα µω R S = (8) σ είναι η επιφανειακή αντίσταση του αγωγού. Από τις πιο πάνω σχέσεις προκύπτει ότι ο βαµός απόδοσης η της κεραίας δίνεται από τη σχέση ή Pα Pα Rα 1 η = = = = P P + P R + R 1 + ( R / R ) in α l α l l α, (9) 1 η = R 1 S λ π αl (1) Για τα αριµητικά δεδοµένα της άσκησης έχουµε 8 c 3 1 λ = = = 6 m 6 f 5 1 R S R l 7 6 4π 1 π 5 1 = = 5, ,8 1 = = π 1, , 83 1,13 3 Ω Ω και R α = 8π =, Ω, 877 η = = 89%, 877 +,13 76

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κατακόρυφη διπολική κεραία λ / = 5m, τροφοδοτείται στο µέσον της από ηµιτονοειδές ρεύµα I (µέγιστη τιµή). Το ηλεκτρικό πεδίο της κεραίας µετρήηκε σ ένα σηµείο P σε απόσταση = 3 km και διεύυνση = 9 και βρέηκε ίσο προς 8 µv/m (ενεργός τιµή). Η αντίσταση ακτινοβολίας της κεραίας είναι 73 Ω. Ζητούνται: α) Η συνολική ισχύς που εκπέµπεται από την κεραία. β) Η διαφορά φάσης µεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο P και του ηλεκτρικού πεδίου σ ένα σηµείο P του επιπέδου = π/που βρίσκεται 5 m µακρύτερα από το P. γ) Το διάνυσµα Poynting στο σηµείο P. Ποια είναι η τιµή του διανύσµατος Poynting σ ένα σηµείο P που απέχει την ίδια απόσταση = 3 km και έχει διεύυνση = 51 ; Τι παρατηρείτε; Ποια είναι η µορφή του διαγράµµατος ακτινοβολίας ισχύος; Ποια είναι η κατευυντικότητα της κεραίας; α) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E, σύµφωνα µε την (14.65), έχει µέτρο Η (1) για: E 6 = 8 1 V/m, π cos cos η I π sin E = E = (1) 3 = 3 1 m, π/ =, η = 1π, γράφεται 1π cos() I 8 1 = I = π 3 1 sin π/ () Από την () προκύπτει και I = 5, 657 A (3) I I ενδ. = = 4 A (4) όπου ο δείκτης ενδ υποδηλώνει την ενδεικνύµενη (ενεργό) τιµή. Η εκπεµπόµενη ισχύς P α, επειδή δίνεται ότι R α = 73 Ω, λόγω της (3) (ή (4)), είναι 1 Pα = RαI = RαIενδ. = 73 4 = 117 W (5) 763

36 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ β) Αν αποκλίσεις 3 3 = 5 1 m, = m είναι οι αποστάσεις και ψ, ψ οι φασικές ψ = β, (6) ψ = β = β( + 5) (7) των σηµείων P και P, αντίστοιχα, από τις (6) και (7) υπολογίζεται η διαφορά φάσης ψ ψ = ψ ψ = 5β (8) Η (8), επειδή η φασική σταερά β δίνεται από τη σχέση π β =, (9) λ όπου λ είναι το δοσµένο µήκος κύµατος ( λ = 1m), γράφεται π 5π π ψ = 5 = = = 9 (1) λ 1 γ) Το διάνυσµα Poynting στο σηµείο P (µέση χρονική τιµή) υπολογίζεται από τη σχέση (14.67) π cos cos I η P P = = (11) 8π sin 3 Η (11), για = 3 1 m και = 9, δίνει 4 1π 6 P = = 1, 7 1 8π 3 1 Η (1) δίνει, προφανώς, τη µέγιστη τιµή 9 W/m (1) P,max της ανά µονάδα επιφανείας ακτινοβολούµενης µέσης χρονικής ισχύος ( = π/), σε µια δοσµένη απόσταση = 3 km. Είναι δηλαδή 9 = W/m (13) P,max 1, 7 1 Η (11), για το σηµείο P, δηλαδή για = 51 3 και = 3 1 m, δίνει π P P P sin (51 ) cos cos(51 ) 1 9 =,max =,max =, 85 1 W/m (14) Από την (14) παρατηρούµε ότι η γωνία = 51 είναι η γωνία µισής ισχύος. 764

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Τέλος, η κατευυντικότητα D της κεραίας σύµφωνα µε την (14.) είναι 4πp 4πP max,max D = = (15) P P α Η (15) µε αντικατάσταση των P,max και P α από τις (13) και (5), αντίστοιχα, δίνει 6 9 4π 3 1 1,7 1 D = = 1, 643 (16) 117 α P 51 3 km λ / P P 3 km 5 m Σχήµα Η µορφή του διαγράµµατος ακτινοβολίας φαίνεται στο σχήµα

38 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 14.9 Οι συνιστώσες A, A, A ϕ (σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων) του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A του πεδίου ακτινοβολίας του µικρού κυκλικού βρόχου του σχήµατος (ο βρόχος βρίσκεται στο επίπεδο xoy µε το κέντρο του O πάνω στον άξονα z ), έχουν τις ακόλουες µιγαδικές εκφράσεις και A = A = (1) j I sin j A µ αβ β ϕ = e, () 4 όπου I είναι το πλάτος (µέγιστη τιµή) του ρεύµατος που διαρρέει το βρόχο. Ζητούνται: α) Να καοριστούν τα µιγαδικά διανύσµατα E και H των εντάσεων του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου. β) Η ακτινική συνιστώσα του P του διανύσµατος Poynting, η συνολική ακτινοβολούµενη ισχύς P α και η αντίσταση ακτινοβολίας R α. α) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E σύµφωνα µε την (14.7), δίνεται από τη σχέση A E = jωa + (3) jωµε Αν λάβουµε υπόψη τις (1) και () και εκφράσουµε την απόκλιση του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A σε σφαιρικές συντεταγµένες, έχουµε οπότε η (3) γράφεται ή, λόγω της (), 1 A ϕ A = sin =, (4) E = jωa (5) ωµ I αβsin jβ E = e ϕ 4 (6) 766

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 z P(, ϕ, ) I Ο a y x Σχήµα Η ένταση H του µαγνητικού πεδίου σύµφωνα µε την (14.8), δίνεται από τη σχέση 1 H = A (7) µ και οι συνιστώσες της H, H, H ϕ σε σφαιρικές συντεταγµένες, αν λάβουµε υπόψη τις (1), () και την έκφραση της στροφής του A σε σφαιρικές συντεταγµένες, είναι αµελητέα. 1 (sin A ) ji cos j H ϕ αβ β = e µ sin =, (8) 1 ( A ) I sin j H ϕ αβ β = = e, (9) µ 4 Από την (8) παρατηρούµε ότι η συνιστώσα H ϕ = (1) H σε πολύ µεγάλες αποστάσεις είναι β) Η µέση χρονική τιµή της ακτινικής συνιστώσας P του διανύσµατος Poynting, σύµφωνα µε την (14.54) δίνεται από την P 1 Eϕ =, (11) η 767

40 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ή, λόγω της (6), P ω µ I αβ sin = (1) 4 3η Η ακτινοβολούµενη ισχύς P α, λόγω της (1) είναι ω µ I αβ P = P d d = ddϕ α π π 4 π π 3 sin ϕ sin 3η, ή P α π 4 = ω µ I αβ (13) 1η Η αντίσταση ακτινοβολίας R α, σύµφωνα µε την (14.3), δίνεται από τη σχέση Αντικατάσταση της P α από την (13) στην (14) δίνει P Rα = (14) I α R α π 4 = ω µ αβ (15) 6η Η (15), αν λάβουµε υπόψη τις σχέσεις και π β = = ω µ ε (16) λ η µ = = 1π, (17) ε µπορεί, επίσης, να γραφεί ως = ηβα = 3π 6 λ π α R α 4 (18) 768

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κεραία λ / λειτουργεί στη συχνότητα των 1 MHz και τροφοδοτείται στο µέσο της µε ρεύµα πλάτους A. α) Να υπολογιστεί το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και το διάνυσµα Poynting κατά τη διεύυνση µέγιστης ακτινοβολίας της κεραίας σε απόσταση 1 km από αυτήν. Επίσης, να υπολογιστεί το κέρδος ως προς ισοτροπική κεραία που ακτινοβολεί την ίδια ισχύ. β) Aπό N στοιχεία µε τα χαρακτηριστικά της κεραίας του προηγούµενου ερωτήµατος σχηµατίζεται η στοιχειοκεραία του σχήµατος Τα στοιχεία τροφοδοτούνται µε ρεύµα ίδιου πλάτους και φάσης, ενώ έχουν τοποετηεί σε απόσταση d το ένα από το άλλο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριµός στοιχείων N που απαιτούνται, ώστε η ένταση ακτινοβολίας της στοιχειοκεραίας κατά τη διεύυνση µέγιστης ακτινοβολίας να είναι τουλάχιστον 17 φορές µεγαλύτερη από αυτήν της διπολικής κεραίας του ερωτήµατος (α); Να υπολογισεί, επίσης, το µέγεος d ώστε το εύρος ζώνης του κύριου λοβού ανάµεσα στους δύο µηδενισµούς να είναι 47,16. γ) Ποια είναι η απαιτούµενη διαφορά φάσης των ρευµάτων τροφοδοσίας των στοιχείων ώστε η µέγιστη ακτινοβολία να επιτυγχάνεται σε γωνία 3 ως προς τον άξονα της στοιχειοκεραίας; Να γίνει, επίσης, πρόχειρη σχεδίαση του οριζόντιου διαγράµµατος ακτινοβολίας. z N 3 1 d y x Σχήµα

42 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ α) Από τους γνωστούς τύπους της γραµµικής διπολικής κεραίας λ /, προκύπτουν οι ακόλουες τιµές για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E, το διάνυσµα Poynting P και το κέρδος G της κεραίας jβ π j Ie cos( cos ) E η E = π sin ή, για την διεύυνση µέγιστης ακτινοβολίας = π/, π π Icos( cos ) I 1 E η η π = = = π 3 π sin π π 1 1 = 1, mv/m, (1) ή, για = π/, I cos ( cos ) P = P = π η 8π sin, P η I 1π = = = 1, 9 nw/m () 8π 8 π (1 1 ) max 3 και max 4π p max 4π P 8π π 1, 641 P α 36,56I 36,56I 36,56 4π η I G = = = = = (3) β) Το µέτρο E της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης του πεδίου ακτινοβολίας της στοιχειοκεραίας κατά τη διεύυνση µέγιστης ακτινοβολίας είναι E = N E (4) max όπου E είναι η ένταση του κάε µεµονωµένου στοιχείου λ /. Επειδή δίνεται ότι τα στοιχεία τροφοδοτούνται µε ρεύµατα ίσου πλάτους και φάσης ( δ = ), η κεραία είναι µετωπική και η µέγιστη ακτινοβολία παρατηρείται για ψ =, δηλαδή κατά τη διεύυνση την κάετη στον άξονα της στοιχειοκεραίας ( ϕ = π/). Η µέγιστη ένταση ακτινοβολίας p max της στοιχειοκεραίας είναι η p = P = = = N P = N p max E max N E max max,max η η (5) όπου max p η µέγιστη ένταση ακτινοβολίας του κάε στοιχείου λ /. Από την (5), επειδή, σύµφωνα µε την εκφώνηση, πρέπει 77

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 προκύπτει ότι p max max 17p, (6) δηλαδή ,13, max max N p p N N N = 5 (7) Το εύρος ζώνης του κύριου λοβού (σχήµα 14-18) ανάµεσα στους δύο µηδενισµούς 9 66,4 3,58 Σχήµα είναι ϕ = 47,16. Ο πρώτος µηδενισµός παρατηρείται σε διεύυνση που σχηµατίζει µε την κάετη στον άξονα της στοιχειοκεραίας ( ϕ = 9 ) γωνία ϕ1 = ϕ/ = 3,58. Συνεπώς, η γωνία ϕ της διεύυνσης του πρώτου µηδενισµού µε τον άξονα της στοιχειοκεραίας είναι ϕ = 9 3, 58 = 66, 4 (8) Οι έσεις, όµως, µηδενισµού προσδιορίζονται από την N ψ = kπ ( k = ± 1, ±, ) (9) Άρα, στη έση του πρώτου µηδενισµού ( k = 1 ), επειδή ψ = βd cosϕ και N = 5, ισχύει η 771

44 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ή 5 ψ 5 cos = d π β ϕ π d π = = 5βcosϕ, π λ d = = (1) π 5 λ cos 66, 4 γ) Στην περίπτωση αυτή, η µέγιστη ακτινοβολία επιτυγχάνεται για ϕ = 3. Επειδή για τη γωνία αυτή πρέπει να µηδενίζεται ο όρος ψ, έχουµε π λ ψ = βd cosϕ+ δ = cos 3 + δ =, λ δηλαδή δ =, 866π (11) Για τη σχεδίαση του οριζόντιου διαγράµµατος ακτινοβολίας ( = π/), λαµβάνονται υπόψη οι έσεις των διαδοχικών µηδενισµών (σχήµα 14-19) ή Επίσης, επειδή nψ =± kπ ( k = 1,,3, ), kπ ψ =± ( k = 1,,3, ) (1) 5 ψ = πcosϕ, 866π, (13) οι τιµές του ψ κυµαίνονται στο διάστηµα ψ = 1, 866π ψ,134π = ψ (14) min max 77

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 E π 1, 866π 8π 5 6π 5 4π 5 π 5 π 4π 6π 8π ,134π π ψ Σχήµα Τέλος, η µέγιστη ένταση ακτινοβολίας παρατηρείται για ϕ =± 3 (σχήµα 14-). 3 3 x Σχήµα

46 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 14.1 Ασκήσεις 14/1 Βραχύ δίπολο µήκους l = λ /1 εκπέµπει ισχύ P α ίση προς 1 W. Να βρεεί η ενδεικνύµενη (ενεργός) τιµή I του ρεύµατος µε το οποίο τροφοδοτείται το δίπολο και η αντίσταση ακτινοβολίας του R α. 14/ Η µέγιστη τιµή της έντασης ακτινοβολίας µιας κεραίας µε βαµό απόδοσης 95% είναι,5 W/s. Να υπολογισεί η κατευυντικότητα της κεραίας, όταν (α) Η ισχύς εισόδου της κεραίας είναι,4 W (β) Η ακτινοβολούµενη ισχύς είναι,3 W 14/3 Η αντίσταση απωλειών R απ. ενός βραχέος διπόλου µήκους l = λ /15, είναι 1, 5 (Ω). Ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η κατευυντικότητα D του διπόλου. (β) Το κέρδος G. (γ) Η αντίσταση ακτινοβολίας R α. (δ) Η συνολική αντίσταση R ολ. στους ακροδέκτες του διπόλου. 14/4 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στο πεδίο που ακτινοβολεί ένα βραχύ δίπολο έχει µέτρο που δίνεται από τη σχέση E = 3 li sin β, όπου l είναι το µήκος του διπόλου, η απόσταση του σηµείου παρατήρησης από το δίπολο, β η φασική σταερά, I το ρεύµα του διπόλου και η γωνία του διανύσµατος έσης µε τη διεύυνση του διπόλου. Να υπολογιστεί, µε ολοκλήρωση του διανύσµατος Poynting στην επιφάνεια σφαίρας πολύ µεγάλης ακτίνας και εξίσωση της τιµής P α του ολοκληρώµατος µε IR α, η αντίσταση ακτινοβολίας R α. 774

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 14/5 Η ωµική αντίσταση µιας ευύγραµµης κεραίας µήκους l, που διαρρέεται από ο- l µοιόµορφο ρεύµα δίνεται, από τη σχέση R = ( l πα) R, όπου R = 1/( σδ) είναι η επιφανειακή (επιδερµική) αντίσταση, α η ακτίνα του κυλινδρικού αγωγού της κεραίας, δ το βάος διείσδυσης και σ η ειδική αγωγιµότητα. Να υπολογισεί ο βαµός απόδοσης στοιχειώδους κεραίας (διπόλου Hetz) µήκους λ 8 για συχνότητα λειτουργίας f = 3 MHz. ίνεται η ακτίνα του χάλκινου συρµάτινου αγωγού α = 1, 4 mm και η ειδική αγωγιµότητα του 7 σ = 5, 7 1 S/m. S S 14/6 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση του πεδίου ακτινοβολίας κάποιας κεραίας δίνεται από τη σχέση jβ jβ IAe 1 IAe E = jωµ βsin + ωµ sin ϕ 4π π, όπου οι τιµές των σταερών A1, A εξαρτώνται από τη γεωµετρία της συγκεκριµένης κεραίας. Να βρεεί η έκφραση της αντίστασης ακτινοβολίας και το είδος της πόλωσης της κεραίας. 14/7 ίνεται κεραία µήκους λ / = m που τροφοδοτείται στο µέσον της µε ρεύµα I. Μετρήσεις που έγιναν σε απόσταση 3 km, στο µεσοκάετο στην κεραία επίπεδο, έδωσαν ένταση ηλεκτρικού πεδίου ίση προς 4 µv/m. Ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η ισχύς που εκπέµπεται από την κεραία. (β) Το διάνυσµα Poynting σ ένα σηµείο που οι σφαιρικές συντεταγµένες του, είναι, αντίστοιχα, = 3 km, = 3. (γ) Η γωνία µισής ισχύος και η κατευυντικότητα της κεραίας. 14/8 Γραµµικό δίπολο µήκους l τοποετείται πάνω στον άξονα z, συµµετρικά ως προς το επίπεδο xy. Να υπολογισούν οι συνιστώσες σε σφαιρικές συντεταγµένες- της ηλε- 775

48 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ κτρικής και της µαγνητικής πεδιακής έντασης του ακτινοβολούµενου πεδίου στα αποµακρυσµένα σηµεία του χώρου, στις ακόλουες δύο περιπτώσεις, όπου η κατανοµή του ρεύ- µατος κατά µήκος του διπόλου δίνεται από τις εκφράσεις (α) (β) I 1 + z, l/ z l Iz ( z ) = I 1 z, z l/ l π I z I z l z l l z( ) = cos, / / 14/9 Η µαγνητική πεδιακή ένταση του πεδίου ακτινοβολίας µιας κεραίας, που είναι τοποετηµένη πάνω στον άξονα z µε το µέσο της στην αρχή των αξόνων, σ ένα σηµείο µε συντεταγµένες = π/ και = km, ζητείται να έχει τιµή 5 µa/m. Αν αγνοηούν οι ωµικές απώλειες, ποια πρέπει να είναι η ισχύς εκποµπής στις ακόλουες περιπτώσεις κεραιών (α) Βραχύ δίπολο Hetz µήκους λ 5. (β) ιπολική κεραία λ. (γ) Μονοπολική κεραία λ 4. (δ) Κυκλικός βρόχος ακτίνας α = λ/ και 1 ελιγµάτων. 14/1 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση του πεδίου ακτινοβολίας γραµµικής διπολικής κεραίας λ /, τοποετηµένης στον άξονα z µε το µέσο της στην αρχή των αξόνων, στο ση- µείο παρατήρησης µε συντεταγµένες = π/ και = 5 km είναι 1 µv/m. Αν η συχνότητα λειτουργίας της κεραίας είναι 5 MHz, ζητούνται (α) Το µήκος της κεραίας (β) Το ρεύµα που τροφοδοτεί την κεραία (γ) Η µέση ακτινοβολούµενη ισχύς της κεραίας 776

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 (δ) Αν η κεραία συνδέεται µε γραµµή µεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης Z = 75 Ω, να υπολογισεί ο λόγος στάσιµου κύµατος 14/11 ύο όµοια ευύγραµµα στοιχεία µήκους z = λ /1 λειτουργούν στην ίδια συχνότητα και είναι τοποετηµένα σε απόσταση µισού µήκους κύµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα z O Ι 1 y λ / Ι 6 x P Σχήµα 14-1 Όταν τα επιβαλλόµενα ρεύµατα είναι I1 = I = 1 A, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σ ένα σηµείο P του επιπέδου xoy, που απέχει πολύ µεγάλη απόσταση από τα στοιχεία, έχει µέτρο µv/m. Ζητείται να βρεεί η τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στο ίδιο σηµείο P, όταν τα επιβαλλόµενα ρεύµατα είναι = A και I = A. Να προσδιοριστεί, επίσης, η απόσταση του σηµείου P. I 1 j / e π 14/1 Στοιχειοκεραία N παράλληλων διπόλων µήκους l = 4 cm λειτουργεί στη συχνότητα των 375 MHz. Τα δίπολα απέχουν µεταξύ τους (σχήµα 14-) απόσταση d = 9 777

50 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ cm και τροφοδοτούνται µε ρεύµατα ίσου πλάτους I = ma και διαφοράς φάσης ( jn δ δ I = I e, n =,1,,, N 1). n (α) Να προσδιοριστεί το ελάχιστο απαιτούµενο πλήος διπόλων και η διαφορά φάσης των ρευµάτων, ώστε να επιτυγχάνεται µέγιστη εκποµπή σ ένα σηµείο M που βρίσκεται σε διεύυνση ϕ M = 6 ως προς τον άξονα της στοιχειοκεραίας και σε απόσταση = 4 km από αυτήν, αν η ελάχιστη τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης για ικανοποιητική λήψη είναι E = 1 µv/m. z x N 3 d 1 φ M y Σχήµα 14- (β) Να υπολογιστούν οι γωνίες µηδενισµού του πεδίου στο οριζόντιο επίπεδο και να γίνει πρόχειρη σχεδίαση του διαγράµµατος ακτινοβολίας. Σε ποια άλλη διεύυνση παρατηρείται µέγιστη εκποµπή; 778