ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

2 Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

3 . Ε ΙΣ Α Γ Ω Γ Η Στατιστικό Μέτρο Πληθυσμιακός Δειγματικός Μέσος Όρος Διακύμανση Συνδιακύμανση cv(, Y ) N x N = µ = σ µ N = ( x ) N = σ ( µ )( µ ) N xy = x x y y N = x = =, E( ) = µ, Var ( ) = σ / s 4 x, E( s ) = σ, Var ( s ) = σ /( ) = ( ) = s = ( x )( y Y ) xy = Ιδιότητες Μέσης τιμής, Διακύμανσης & Συνδιακύμανσης E( + Y) = E + EY, E( a) = ae( ), E( a + by+ γ ) = ae + bey + γ Var Y Var Var Y Y Var a a Var Var a by Var a by ( ± ) = ( ) + ( ) ± cv(, ), ( ) = ( ), ( + + γ ) = ( + ) cv( a + b, γy + δ ) = aγ cv(, Y ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα,..., ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές και 3 : µ ~ N ( µ, σ ), τότε ~ N (,) σ / Κανονική Χ ~ N ( µ, σ ) µ Τυποποιημένη = Z ~ N (,) σ + Y ~ N ( µ + µ, σ + σ ) x y x y ( ) a ~ N aµ, a σ Χι Τετράγωνο Z ~, = Z ~ Θετικά Ασύμμετρη { Συμμετρική E( ) =, Var ( ) = W ~, Y ~ W + Y ~ + m m Studet Y Z Y t ~, ~, Συμμετρική E( t ) =, Var ( t ) = { t 3 > { Z, ( t ) F, θ : παράμετρος θ : αμερόληπτος εκτιμητής~ E ( θ ) = θ Αν θ :, υπερεκτίμηση μεροληπτικός εκτιμητής, ( ) ( < Bas θ = E θ ) θ = >, υποεκτίμηση Mea Squared Errr MSE = ( Bas θ ) θ, θ : αμερόληπτοι εκτιμητές & θ ( ) ( ) ~ Var θ < Var θ Συνέπεια: P ( θ θ ε ) E ( θ ) ( = θ Var θ ) = ( ) + Var ( θ ) : αποδοτικότερος εκτιμητής lm < =, όπου το μέγεθος του δείγματος. lm, lm Fsher ~ / / ~ E( F ) = { Var ( F ) > = F ~ F = { > 4, ( + ) ( ) ( 4) Κατανομή του δειγματικού μέσου και δειγματικής διακύμανσης σ ~ N ( µ, ) σ s ~ N ( σ, ) Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

4 . Συνδιακύμανση & Συσχέτιση μεταξύ μεταβλητών Χ, Υ Συνδιακύμανση μεταξύ μεταβλητών Χ,Υ Ορισμός Στον πληθυσμό, ( x µ )( y µ Y) x y,, συμεταβάλλονται θετικά < Y σ ΧΥ = cv(, Y ) = = µ µ Y v v >,, Y συμεταβάλλονται αρνητικά Στο δείγμα, s = cv(, Y) = ( x )( y Y ) xy = Βασικές Ιδιότητες ) cv(, ) = σ ή cv(, ) = s ) cv( a + b, γ + δy) = bδ cv(, Y ) Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

5 Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης μεταξύ μεταβλητών Χ,Υ ή Δείκτης του Pears ρ = Crr (, Y ) Crr(, Y ) Στον πληθυσμό, Στο δείγμα, cv(, Y ) Crr(, Y ) =. σ σ cv(, Y ) Crr(, Y ) = s s Y Y ρ = < ρ < ρ = < ρ < ρ = Βασική Ιδιότητα Crr ( a + b, γ + δ Y) = Crr (, Y ). Το πρόσημο είναι αυτό του πολλαπλασιασμού aγ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

6 Παράδειγμα Y Y Y ( ) ( Y Y ) ( )( Y Y ) Σ = = = Y = = s = = s = = Cv(, Y) = = 9.83, Crr (, Y ) = = , 3, 6.43, 4.67, y 5.3, Παράδειγμα Y Y Y ( ) ( Y Y ) ( )( Y Y ) Σ = 7, = = 3, Y = = 4, s = = 4.67, s y = = 4.33, Cv(, Y) = = 3.83, Crr (, Y ) = = Y Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

7 3. Ανάλυση Παλινδρόμησης: Απλό γραμμικό υπόδειγμα Εξίσωση Παλινδρόμησης Y = b + b + u, όπου είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και Y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. u είναι το τυχαίο σφάλμα για το οποίο θεωρούμε τα εξής (υποθέσεις). Cv( u, u ) =. u ~ N (, σ ) 3. Cv(, u ) = j Παράμετροι Παλινδρόμησης. Υπολογισμός με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων Ζητούμε να βρούμε τους συντελεστές b, b που προβλέπουν την ευθεία Y b b Οι παραπάνω συντελεστές προκύπτουν από την επίλυση του προβλήματος m ε όπου ε = Y Y = Y b b. = +. Η ΜΕΤ υπολογίζει τα κάτωθι cv(, Y ) b, b Y b Var ( ) = =, όπου Y, είναι οι μέσες τιμές των μεταβλητών Y, αντίστοιχα Ο συντελεστής b είναι η υπο συνθήκη αναμενόμενη τιμή του Υ όταν η Χ λάβει την τιμή. Ο συντελεστής b δείχνει το κατά πόσο αναμένεται να μεταβληθεί το Υ αν το Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα. Ισοδύναμοι τύποι προσδιορισμού του συντελεστή b ( )( ) ( ) ( ) Y Y Y Y = = Πρόβλεψη Ευθείας παλινδρόμησης Y b b E( Y/ ) = + =, και Var Y = σ ( / ) u Συντελεστής Προσδιορισμού Προσδιορίζει το βαθμό προσαρμογής της ευθείας στα δεδομένα. R = Μηδενική Προσαρμογή R < < R = Μερική Προσαρμογή Τέλεια Προσαρμογή SSR R =, SST=SSR+SSE. Όταν έχουμε μια ανεξάρτητη μεταβλητή, SST τότε R = Crr (, Y ) Y SST = ( Y Y), SSR = ( Y Y), SSE = ( Y Y ) SST: Sum f Ttal Squares SSR: Sum f Ttal Regress SSE: Sum f Ttal Errrs Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

8 Παράδειγμα Χ Υ Y Y ( ) ( Y Y ) ( )( Y Y ) Y ( Y Y ) ( Y Y ) Σ = 6, 7 64 = 5, Y = 3, σ = =.67, σ Y = =.67, Cv(, Y) = =, Crr (, Y ) = = Y = a + b, b = =.94, a = =.3.67 SST = 64, SSR = 6.3, SSE =.77, R =.97 Παράδειγμα y 5 5 y y^ x Χ Υ Y Y ( ) ( Y Y ) ( )( Y Y ) Y ( Y Y ) ( Y Y ) Σ = 7, 8 = 3, Y = 4, σ = = 4, σ Y = =.86, Cv(, Y) = =.7, Crr (, Y ) = = Y = a + b, b = =.4, a = =.74 4 SST =, SSR = 5., SSE = 4.86, R =.57 y y y^ x Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

9 4. Ανάλυση Παλινδρόμησης: Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Στατιστική Αναφορά & Πρόβλεψη S = xx ( ) SST S yy = S Y Y SSR b S bs SSE = S yy bs xy Sxy = ( )( Y Y ) yy = ( ) = xx = xy AΣΚΗΣΗ = σ + ( ) Γραμμικότητα: a = dy, d = Sxx Αμεροληψία: E( a ) = a,, Αποδοτικότητα: Var ( a ) Sxx Γρ αμμικότητα: b = cy, c = Sxx ( ) cv(, a Var a a b ) Αμεροληψία: E( b) = b,, Var = b cv( b, a ) Var ( b ) Αποδοτικότητα: Var ( b σ ) = Sxx Θεώρημα Gauss Markv: Οι εκτιμητές του Απλού Γραμμικού Υποδείγματος είναι Best Lear Ubased Estmatrs (BLUE) ~ Γραμμικοί, Αμερόληπτοι Ελάχιστης Διακύμανσης. Τυπικό Σφάλμα Παλινδρόμησης s s E s σ se b Κατανομές, ( ) s se( b ) ~ σ : SSE =, ( ) =, ( ) = b b ~ t a a ~ t se( a ) Εκτιμητική Αν γ ορίσουμε το επίπεδο σημαντικότητας, τότε ( γ)% είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. s Sxx b b P t γ, b b ± se( b ) t se( b ), γ /, γ / a a P t γ, a a ± se( a ) t se( a ), γ /, γ / ( ) s ( ) s ( ) s P, γ /, γ / γ, σ σ, γ /, γ / Έλεγχος Υποθέσεων: Αποδοχή της εναλλακτικής υπόθεσης H ~ Απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης H. Δυνατές αποφάσεις κατά τη διαδικασία παραμετρικού ελέγχου αποφάσεων. () Απορρίπτουμε την Ηο όταν είναι σωστή = Σφάλμα Τύπου Ι () Δεν απορρίπτουμε την Ηο όταν είναι λάθος = Σφάλμα Τύπου ΙΙ Εκτιμητή Διακύμανσης Τυχαίου Σφάλματος b b t = se( b ) H : b = b, H : b b ~ t > t, a / H : b < b ~ t < t, a αποδοχή της H H : b > b ~ t > t, a Σημείωση. Ο έλεγχος b = αφορά στατιστική σημαντικότητα του εκτιμητή. ( ) s χ = σ H : σ = σ H : σ σ ~ χ > χ, a /,ή χ < χ, a / H : σ < σ ~ χ < χ αποδοχή της H H : σ > σ ~ χ > χ, a, a H : σ < σ ~ χ < χ, H : σ > σ ~ χ > χ, a a Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

10 Παράδειγμα Διάστημα Εμπιστοσύνης (95%) των εκτιμητών του Απλού Γραμμικού Υποδείγματος με σταθερό συντελεστή x y x μx y μy (x μx) (y μy) (x μx)(y μy) y^ (y y^) (y^ μy) Σ E σ =6 Cv(,Y)=. Crr(,Y) =.99 b^=.94 a^=.4 SST=64. SSR= 6. SSE=.77 R =.97 s =.44 se(b^)=.8 Var(a^)=.5 se(a^)=. b t se( b ) b b + t se( b ) 4,.5 4, b b.6 a t se( a ) a a + t se( a ) 4,.5 4, a a.4 4s 4 s σ 4,.5 4,.975 ~ σ.44 ~.6 σ Σαν άσκηση μπορείτε να επαναλάβετε αλλά στο απλό γραμμικό υπόδειγμα χωρίς σταθερό συντελεστή. Θα πρέπει να βρείτε b^=.87 SST=64. SSR=53. SSE=.6 R =.97 s =.54 se(b^)=.88 και.63 b. Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

11 5. Συμπληρωματικό Παράρτημα Απλού Γραμμικού Υποδείγματος Έλεγχος Υποθέσεων= Ανάλυση Διακύμανσης Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ Αποδοχή της εναλλακτικής υπόθεσης H ~ Απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης H. Δυνατές αποφάσεις κατά τη διαδικασία παραμετρικού ελέγχου αποφάσεων. () Απορρίπτουμε την Ηο όταν είναι σωστή = Σφάλμα Τύπου Ι () Δεν απορρίπτουμε την Ηο όταν είναι λάθος = Σφάλμα Τύπου ΙΙ H : b = b SS x SSR R F = = = ~ F, SSE /( ) SSE /( ) ( R ) /( ) Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Mέσο Άθροισμα Στατιστική F Διακύμανσης Τετραγώνων Ελευθερίας Τετραγώνων Παλινδρόμηση SSR MSR=SSR F=MSR/MSE Κατάλοιπα SSE MSE=SSE/( ) Σύνολο SST Ικανή Συνθήκη Απόρριψης της Μηδενικής Υπόθεσης (~ο συντελεστής b είναι στατιστικά μη σημαντικός) σε επίπεδο σημαντικότητας α: F > F,, a Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας του συντελεστή συσχέτισης μεταξύ εξαρτημένης, ανεξάρτητης μεταβλητής ρ t = ρ H : ρ = H : ρ < ~ t < t H : ρ ~ t > t H : ρ > ~ t > t, a, a /, a Διάστημα Εμπιστοσύνης (~επίπεδο σημαντικότητας α) μέσης ( E( Y / ) ) και ατομικής πρόβλεψης ( Y ) ( ) E( Y / ) Y t, a / se( Y ), Y t, a / se( Y ), όπου se( Y ) s + = + S xx ( ) Y Y t, a / se( ε ), Y t, a / se( ε ), όπου se( ε ) s + = + + S xx Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

12 . Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα.. = [ ] [ ]... [ k ], =, =,..., k.., k,, Y ε b Y =, ε =, b = Y = b + ε Y ε b,, k k, Υποθέσεις: ) E( ε ) =, ) E( ε ) = σ ( ομοσκεδαστικότητα), ) E( ε ) = Υπολογισμός εκτιμητών b Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης m ε, όπου ε = Y Y, Y = b Ισοδύναμα, m ( Y' Y b ' ' Y + b ' ' b ) Συνθήκη ης τάξης Συνθήκη ης τάξης Εφαρμογές d ε = b = ( ' ) ( ' Y ) db d ε = ( ' ) > db ( Y % % ) % ( Y % % ) ( % % ) % % ( % % ) ( Y % % ) % ( Y % % ) ( % % ) % % ( % % ) b =, cv(, Y ) k = b =, b = Y b, k = b = Var ( ) b = Y b b Y% = Y Y, % = Ιδιότητες της εκτιμηθείσας μορφής του υποδείγματος ) Y = Y, ) = ε =, ) = ε = j, v) = Yε = SSR Συντελεστής προσδιορισμού, R =, SST=SSR+SSE SST /( ) Διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού R = SSE k = ( R ) SST /( ) k Κριτήριο Akake, Κριτήριο Schwarz, SSE ( k + ) AIC = l + SSE k + SC = l + l( ) Κριτήρια Επιλογής Υποδείγματος Μεγαλύτερος Διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού, Μικρότερη τιμή AIC, Μικρότερη τιμή SC. Προτιμάται το κριτήριο AIC, SC. Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

13 7. Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα : Στατιστική αναφορά & Πρόβλεψη Τυπικό Σφάλμα Παλινδρόμησης 4 SSE σ s : s =, E( s ) = σ, Var ( s ) = k k Κατανομή ( k ) s σ b b se( b ) ~ k ~ t k Συντελεστής μερικής συσχέτισης t b = ± = t + ( k ) se( b ) Y,,..., +,... k, t r Εκτιμητική = Διάστημα Εμπιστοσύνης α συντελεστών b και διασποράς σ σφάλματος b b ± se( b ) t k, a / ( k ) s ( k ) s σ k, a / k, a / τυχαίου Έλεγχος Υποθέσεων b b t = se( b ) Συντελεστών Υποδείγματος H : b = b, H : b b ~ t > t k, a / H : b < b ~ t < t αποδοχή της H H : b > b ~ t > t k, a k, a Σημείωση. Ο έλεγχος b = στατιστική σημαντικότητα του εκτιμητή. αφορά ( k ) s χ = σ Διακύμανσης Τυχαίου Σφάλματος H : σ = σ H : σ σ ~ χ > χ k, a /,ή χ < χ k, a / H : σ < σ ~ χ < χ αποδοχή της H H : σ > σ ~ χ > χ k, a k, a Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

14 Ταυτόχρονη στατιστική σημαντικότητα όλων των συντελεστών = Ανάλυση Διακύμανσης SSR k R k F = = SSE /( k ) R k H : b =, για κάθε H τουλάχιστον ένα b ~ : / ~ F > F k, k, a j F k, k, a Στατιστική σημαντικότητα μέρους των συντελεστών ( SSE * SSE ) / λ F = = ~ F SSE /( k ) H : b =, λ για κάθε λ, k, a H : τουλάχιστον ένα b ~ F > F λ, k, a Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

15 Παράδειγμα = Πλήρης μελέτης του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος Y = (4.) (.95) (3.33) (.6), = 5, SSR = 485, SST = 565 όπου οι αριθμοί σε παρένθεση υποδηλώνουν τις τιμές της στατιστικής t για αντίστοιχο συντελεστή. ) R, R : R SSR = =.96, φανερώνει ότι το 9.6% της μεταβλητότητας της εξαρτημένης SST μεταβλητής ερμηνεύεται από την ταυτόχρονη μεταβλητότητα των ανεξάρτητων μεταβλητών, ενώ το υπόλοιπο 7.84% από άλλους παράγοντες. R = ( R ) { =.94 k k = 3 SSE SST SSR s = = = 9.67, s = 4.44 k k ) ) συντελεστές μερικής συσχέτισης t b = ± = t ( k ) se( b ) Y,,..., +,... k, t + r r =.54, r =.59, r =.3 Y,... k Y,3... k Y3,,4... k v) ΔΕ (95%) των συντελεστών b, =,,,3 : ( ) b b b ± se b t = b ± t, t = t =.8 k, a / k, a / k, a /,.5 t b :[3.7,376.83], b :[.8,.44], b :[ ,.63], b :[.6,.9] 3 k k σ s, s [.64, 4.8], 3.4,6.34 = σ k, a / k, a /, σ [ ] : b = v) Στατιστική σημαντικότητα των b. b b b b 3 v) Άλλοι έλεγχοι, t,.5,.5 H =.7, = 3.67, H : b,,, = H b = = H b = : =, H : b, H : b, : 3 =., H : σ, : <, H : b >, H : b, : 3 <., H : σ >, H b H b v) Ανάλυση διακύμανσης, F 3,,.5 = 3.7 SSR / k R k F = = = 8. SSE /( k ) R k H : b =, για κάθε : H τουλάχιστον ένα b j ~ F F k, k, a >, αληθές άρα απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. v) Το αρχικό γραμμικό υπόδειγμα εκτιμήθηκε χωρίς τις μεταβλητές, 3 και βρέθηκε ότι * SSE = 43 και R SSR * SST SSE * = = =.983, R =.99, φανερώνει ότι το 9.83% (9.9%, προσαρμοσμένης SST SST * * στους βαθμούς ελευθερίας) της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής ερμηνεύεται από την μεταβλητότητα της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ, ενώ το υπόλοιπο 8.7% (9.8%) από άλλους παράγοντες. Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

16 v) Μελέτη ταυτόχρονη μη στατιστικής σημαντικότητας των ανεξάρτητων μεταβλητών, 3 στο αρχικό υπόδειγμα. F,,.5 = 3.47 H : b = b 3 = ( SSE * SSE ) / λ, F = = {.47 < 3.47 H : b ή b SSE /( k ) λ = 3, άρα αποδεχόμαστε την Ηο. Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

17 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Μαθήματα για : Πανεπιστήμιο Πειραιώς Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήμιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς, Σεμινάρια για Διαγωνισμούς Δημοσίου Προετοιμασία για : Εθνική Σχολή Δημόσιας Διοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονομικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο Δικαιοσύνης Διαγωνισμός Εκπαιδευτικών Διαγωνισμός Ευρύτερου Δημόσιου Τομέα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Επίσημο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr

18 Εξειδικευμένα Σεμινάρια Στατιστικά Προγράμματα (SPSS, StatVew, ) Matlab Mathematca Autcad Μηχανογραφημένη Λογιστική Γλώσσες Προγραμματισμού (C, C++, Java, Php, ) Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρημένο Επίπεδο Εξειδικευμένο Επίπεδο Πιστοποιημένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιημένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα μας και ενημερωθείτε για τα προγράμματά μας. Διευθυντής Εκπαίδευσης Δρ. Χόντας Στυλιανός Διδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : URL : emal: f@vtal.gr