Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο
|
|
|
- Ναζωραῖος Παπαντωνίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο Σύλνςε Η έλλνηα ηεο αζύκπηωηεο επζείαο έρεη ήδε ρξεζηκνπνηεζεί ζηε κειέηε ηεο κνλνηνλίαο ζπλαξηήζεωλ ηνπ πξνεγνύκελνπ θεθαιαίνπ. Σην θεθάιαην απηό παξνπζηάδεηαη κηα πεξηζζόηεξν ζπζηεκαηηθή κειέηε ηεο έλλνηαο ηωλ αζύκπηωηωλ επζεηώλ, κε ηδηαίηεξε έκθαζε ζηνλ ηξόπν ππνινγηζκνύ ηνπο, ζε κηα ζεηξά καζεκαηηθώλ πξνβιεκάηωλ. Η απόθηεζε ηθαλόηεηαο ππνινγηζκνύ αζύκπηωηωλ είλαη πνιύ ζεκαληηθή γηα ηνλ ππνινγηζκό θαη ζρεδίαζε ηεο ζπκπεξηθνξάο (γξαθηθήο παξάζηαζεο) ηωλ ζπλαξηήζεωλ. Σηόρνο Απόθηεζε ηθαλόηεηαο ππνινγηζκνύ αζύκπηωηωλ επζεηώλ ζπλάξηεζεο ζηε γεληθή πεξίπηωζε. Πξναπαηηνύκελε γλώζε Τν θεθάιαην απηό πξνϋπνζέηεη ηε βαζηθή θαηαλόεζε ηεο ζεωξίαο εμηζώζεωλ θαη ηεο ζεωξίαο πνιπωλύκωλ. Επίζεο απαηηείηαη επρέξεηα ζηελ κειέηε θαη ηε ρξήζε ζπλαξηήζεωλ, όπωο απηέο πεξηγξάθνληαη ζην ν θεθάιαην απηνύ ηνπ ζπγγξάκκαηνο, θαηαλόεζε ηεο έλλνηαο ηνπ νξίνπ θαη ηθαλόηεηα ππνινγηζκνύ νξίωλ ζηε γεληθή πεξίπηωζε ( ν θεθάιαην).
2 3. Οξηζκόο ηεο Αζύκπησηεο Επζείαο Γηα νξηζκέλεο θακπύιεο (γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπλαξηήζεσλ θαη όρη κόλν), θαζώο ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ή ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή y, ηείλεη πξνο ην άπεηξν, ε κνξθή ηνπο πξνζεγγίδεη ηε κνξθή κηαο επζείαο. Τέηνηεο επζείεο νλνκάδνληαη επζείεο αζύκπησηεο. Αλάινγα κε ην πνηα κεηαβιεηή ηείλεη πξνο ην άπεηξν, θαη αλάινγα κε ην πξόζεκν ηνπ απείξνπ, δηαθξίλνληαη δηάθνξεο πεξηπηώζεηο επζεηώλ αζύκπησησλ. Ο πξνζδηνξηζκόο ηνπο, βνεζάεη ζηελ αθξηβή πξόβιεςε ηεο ζπκπεξηθνξάο κηαο ζπλάξηεζεο θαη, ζε ζπλδπαζκό κε ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα, επηηξέπεη ηε ζσζηή ζρεδίαζε ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο. Έλαο καζεκαηηθόο νξηζκόο ηεο αζύκπησηεο επζείαο δίλεηαη παξαθάησ Οι αςφμπτωτεσ ευθείεσ μιασ καμπφλησ είναι ευθείεσ που αποτελοφν οριακέσ θέςεισ τησ καμπφλησ ςτισ παρακάτω τρεισ περιπτώςεισ: y ± και πεπεραςμένο ± και πεπεραςμένοy Υπάξρνπλ ηξηώλ εηδώλ επζείεο αζύκπησηνη: Μηα γεσκεηξηθή αλαπαξάζηαζε ησλ ηξηώλ εηδώλ αζύκπησησλ επζεηώλ παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.. Σηε ζπλέρεηα ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ, κειεηώληαη θαηά πεξίπησζε νη ηξείο ηύπνη ησλ αζύκπησησλ επζεηώλ: Οη θαηαθόξπθεο (y ± ), νη νξηδόληηεο ( ± ) θαη νη πιάγηεο ( ± θαη y ± ) αζύκπησηεο επζείεο. ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗ ΑΤΜΠΣΩΣΗ = - ΠΛΑΓΙΑ ΑΤΜΠΣΩΣΗ y =. y = / -3 ΟΡΙΖΟΝΣΙΑ 3 ΑΤΜΠΣΩΣΗ y = y = / +. ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗ ΑΤΜΠΣΩΣΗ = + - Σρήκα 3.: Γεωκεηξηθή αλαπαξάζηαζε νξηδόληηωλ, θαηαθόξπθωλ θαη πιάγηωλ αζύκπηωηωλ επζεηώλ.
3 3. Καηαθόξπθεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Η επζεία α, ζα ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f ηεο f: αλ έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα πιεπξηθά όξηα ηεο f: ζην α είλαη ην ή. Παξάδεηγκα 3. Η f(), αν limf(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη α απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.. y =a y Σρήκα 3.: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην +, όηαλ a. Παξάδεηγκα 3. Η f(), αν limf(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη α απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.3.
4 y =a y Σρήκα 3.3: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην -, όηαλ a. Παξάδεηγκα 3.3 Η f(), αν lim f() και lim f(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή α α παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.4. y =a y Σρήκα 3.4: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην -, όηαλ a - θαη ην +, όηαλ a +.
5 Παξάδεηγκα 3.4 Η f(), αν lim f() και lim f() λ, έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε α α πνπ πεξηγξάθεη απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.5. y λ y Σρήκα 3.5: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην +, όηαλ a - θαη ην ι όηαλ a +. Οδεγία γηα ηελ εύξεζε θαηαθόξπθσλ αζύκπησησλ Γηα λα βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο κηαο ζπλάξηεζεο, αλαδεηνύληαη ηα όξηα:. Σηα αλνηρηά πεπεξαζκέλα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ.. Σηα ζεκεία δηακέξηζεο. Σηε ζπλέρεηα, εξκελεύεηαη γεσκεηξηθά ην απνηέιεζκα ηνπ νξίνπ.
6 Παξάδεηγκα 3.5 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f: κε f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ: Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε επζεία έρεη ζεκεία δηακέξηζεο.. Αλαδεηείηαη ην όξην ηεο f: ζην. Η ζπλάξηεζε απηή δελ lim και άξα: αλ ηεζεί t τότε lim t - όταν Δπνκέλσο: lim f() lim ln lim ln t t Οπόηε, ε είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f. Παξάδεηγκα 3.6 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f: κε f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ: και Άξα πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \,.
7 Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη επζείεο = θαη = -. Αλαδεηνύληαη ηα όξηα ηεο ζπλάξηεζεο ζηα αλνηρηά πεπεξαζκέλα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ. Η ζπλάξηεζε απηή δελ έρεη ζεκεία δηακέξηζεο. Σπκπεξηθνξά ζην : Δίλαη: f() Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην : αν lim lim lim f() Ακόμη lim αν lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f:. Σπκπεξηθνξά ζην -: Δίλαη: f() Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην -: αν lim lim lim f() Ακόμη lim
8 αν lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε = -είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f Σρήκα 3.6: Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.6. Γεληθέο παξαηεξήζεηο α. Οη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο κπνξεί λα είλαη άπεηξεο. α β. Αλ είλαη,α, ηόηε είλαη βέβαην όηη ππάξρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε. γ. Αλ ππάξρεη απξνζδηνξηζηία /, πηζαλόλ λα ππάξρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε, αιιά κπνξεί θαη λα ζεκαίλεη απιά απνπζία κηαο πεπεξαζκέλεο ηηκήο (νπή) ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο. Σηελ πεξίπησζε ηεο νπήο, ε ζπλάξηεζε νξίδεηαη από ηελ Μηά πιεπξά ή εθαηέξσζελ ελόο ζεκείνπ αιιά όρη ζην ζεκείν απηό. Τνπιάρηζηνλ έλα από ηα πιεπξηθά όξηα ηεο ζπλάξηεζεο ζε Μηά νπή είλαη πεπεξαζκέλν. δ. Σηηο ξεηέο ζπλαξηήζεηο, πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο είλαη νη ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή. Μάιηζηα, αλ ν βαζκόο πνιιαπιόηεηαο θάπνηαο ξίδαο ηνπ παξνλνκαζηή είλαη κεγαιύηεξνο από ηνλ βαζκό πνιιαπιόηεηαο ηεο ίδηαο ξίδαο ηνπ αξηζκεηή, είλαη ζίγνπξα ε ξίδα απηή θαηαθόξπθε αζύκπησηε.
9 Γλσζηέο ζπλαξηήζεηο κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο Κάπνηεο ζπλεζηζκέλεο ζπλαξηήζεηο κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ζπλνςίδνληαη παξαθάησ: α α) f : f(),α, κε θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηε β)f:f() = ln, κε θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηε γ)f: f() = tan, κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηηο δ)f: f() = cot, κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηηο Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ απηώλ, κε ηηο αζύκπησηέο ηνπο πεξηγξάθνληαη ζην Σρήκα 3.7. y y y y y y -π/ π/ 3π/ -π π 3π y y Σρήκα 3.7: Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο ηωλ ζπλαξηήζεωλ f()=a/, a>, f()=ln, f()=tan() θαη f()=cot(). Παξάδεηγκα 3.7
10 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 Η f: νξίδεηαη όηαλ 3 3 Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \ 3 Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε 3 αν 3 3 lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 7 3 αν 3 3 lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 7 3 Άξα, ε 3 είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f:. H γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.88 αξηζηεξά Σρήκα 3.8: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.7 (αξηζηεξά) θαη ηνπ παξαδείγκαηνο 3.8 (δεμηά).
11 Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 Λύζε Η f: νξίδεηαη όηαλ 3, Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \, Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη και. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην : f() limf() lim Η f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ζην, αιιά ηξύπα ην ζεκείν,. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην. lim f() lim lim f() lim Δπνκέλσο, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.88 δεμηά.
12 Παξάδεηγκα 3.9 ln Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). ln Η f: νξίδεηαη όηαλ ln ln lne e Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,e e, Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη και e. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην : ln f() ln ln ln lim f() lim Ακόμη lim ln lim ln ln Η f: δελ έρεη αζύκπησηε ζην, αιιά νξηαθό ζεκείν ην,. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην e: Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην e. αν e ln ln lim lim ln e ln e lim f() e Ακόμη lim ln e
13 αν e ln ln lim lim ln e ln e lim f() e Ακόμη lim ln e Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ e. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα e Σρήκα 3.9: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.9.
14 3. Οξηδόληηεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Η επζεία y = ι, ζα ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f κηαο ζπλάξηεζεοf: αλ ηζρύεη: lim f() λ ή lim f() λ ή θαη ηα δύν. Οδεγία γηα ηελ εύξεζε νξηδνληίσλ αζύκπησησλ Γηα λα βξεζνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηεο κηαο ζπλάξηεζεο: α) Βξίζθεηαη ην πεδίν νξηζκνύ θαη εμεηάδεηαη αλ έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε νξηδόληησλ αζύκπησησλ. β) Βξίζθνληαη ηα όξηα ζην θαη ζην μερσξηζηά. Αλ είλαη πεπεξαζκέλα, έρνπκε νξηδόληηεο αζύκπησηεο, αιιηώο δελ έρνπκε. Γεληθέο παξαηεξήζεηο α) Οη ξεηέο ζπλαξηήζεηο έρνπλ νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ ίδηα ζην θαη ζην, κόλν αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή n n είλαη κηθξόηεξνο ή ίζνο ηνπ βαζκνύ ηνπ παξνλνκαζηή n d, θαη κάιηζηα: αλ n n <n d : ε ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε y α αλ n n =n d : ε ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y β κεγαιύηεξσλ δπλάκεσλ αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή., όπνπ α θαη β νη ζπληειεζηέο ησλ Αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή είλαη κεγαιύηεξνο από ην βαζκό ηνπ παξνλνκαζηή, ε ξεηή ζπλάξηεζε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε. Αν y c φ() β) Η f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ και lim φ() y c γ) Δίλαη πηζαλό λα έρνπκε νξηδόληηεο αζύκπησηεο ζηηο απξνζδηνξηζηίεο,, λ λ δ) Γελ έρνπκε ζίγνπξα νξηδόληηεο αζύκπησηεο ζηηο απξνζδηνξηζηίεο, θαη ζηηο άιιεο εθηειέζηκεο πξάμεηο ησλ νξίσλ.
15 Παξάδεηγκα 3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν. Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηέο ηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. * Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δίλαη: ( ) } Δπνκέλσο, ε y είλαη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην και. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3., αξηζηεξά. y= Σρήκα 3.:Οξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.(αξηζηεξά) θαη ηνπ 3.(δεμηά).
16 Παξάδεηγκα 3. 3 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν f : f(). Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηέο ηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Δίλαη: ρητή 3 lim f() lim 3 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3 Καηόπηλ, ππνινγίδεηαη ε ζρεηηθή ζέζε κεηαμύ γξαθηθήο παξάζηαζεο θαη αζύκπησηεο: Δμεηάδεηαη πόηε f() 3 Όηαλ, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη 3 Οπόηε: f() , αδύλαην. Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη θάησ απ ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε γηα. Όηαλ, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη 3 Οπόηε: f() , ηζρύεη! Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη πάλσ από ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε γηα. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3., αξηζηεξά. Σεκείσζε: Η ζρεηηθή ζέζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο σο πξνο ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε βξίζθεηαη: α) Λύλνληαο ηελ αλίζσζε f() >ι β) Βξίζθνληαο ην πξόζεκν ηεο δηαθνξάο f() λ γηα πνιύ κεγάιεο ή πνιύ κηθξέο ηηκέο ηνπ.
17 Παξάδεηγκα 3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν f : f(). Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ ή. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Η ζπλάξηεζε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην. Σην : Δίλαη: f() Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη νπόηε. f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην, ηελ y. Σρεηηθή ζέζε αζύκπησηεο θαη γξαθηθήο παξάζηαζεο: Δμεηάδεηαη πόηε f()
18 Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη. 4 4 αδύλαην. Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f: βξίζθεηαη θάησ από ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε ζην παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα Η γξαθηθή - y= Σρήκα 3.6:Οξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3..
19 3.3 Πιάγηεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Μία επζεία ηζρύεη: y α β lim f() α β, ιέγεηαη πιάγηα αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f κηαο ζπλάξηεζεο f: αλ Εύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ κε βάζε ηνλ νξηζκό. Αλ ε ζπλάξηεζε γξάθεηαη εύθνια ζηε κνξθή y α β φ(), όπνπ lim φ(), ηόηε πιάγηα αζύκπησηε είλαη ε y α β δηόηη y α β φ() θαη lim y α β lim φ(). Μπνξεί θαλείο λα θηάζεη εύθνια ζε απηή ηε κνξθή κε δηάζπαζε, όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη έλα κνλώλπκν ή κε δηαίξεζε πνιπσλύκσλ. Παξάδεηγκα 3.3 Να βξεζεί αλ ε ζπλάξηεζε f : f() έρεη πιάγηεο αζύκπησηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. * Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε πιάγηαο αζύκπησηεο. Δίλαη: f() Οπόηε: lim f() lim
20 Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3. αξηζηεξά. y= y=- - - Σρήκα 3.:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.3 (αξηζηεξά) θαη 3.4 (δεμηά). Παξάδεηγκα 3.4 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δίλαη: f() Οπόηε: lim f() lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 δεμηά.
21 Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. 5 5 Δίλαη: f() f() Οπόηε: 5 lim f() lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην θαη ζην, ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε 3 3 πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 αξηζηεξά. 5 "y=" "5" -5 5 y= Σρήκα 3.3:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.5 (αξηζηεξά) θαη 3.6 (δεμηά).
22 Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Δθηειώ ηε δηαίξεζε: Άξα: f() 4 f() 4 Οπόηε: lim f() 4 lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y 4. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 δεμηά. Εύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ παξακεηξηθά από ηε κνξθή y α β Καηά ηε κέζνδν απηή, γίλεηαη ε ππόζεζε όηη ππάξρεη πιάγηα αζύκπησηε ηεο κνξθήο θαηόπηλ, ππνινγίδνληαη νη ζπληειεζηέο α θαη β κε ηε βνήζεηα ησλ ηύπσλ: y α β θαη Η απόδεημε ησλ ηύπσλ απηώλ πξνθύπηεη άκεζα από ηνλ νξηζκό ηεο πιάγηαο αζύκπησηεο
23 Παξάδεηγκα 3.7 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() 3. Η f: νξίδεηαη όηαλ 3 3 ή 3. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A, 3,. Σην : Έζησ y α β ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο f: 3 3 f() Αιιά επεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. 3 Έηζη: f(). 3 α lim f() lim f() α Αιιά επεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε.
24 Έηζη: f() α β lim f() α lim 3 3 Δπνκέλσο, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y. 3 Δμεηάδεηαη αλ f() όηαλ. Δίλαη: Δπεηδή κπνξεί λα ππνηεζεί όηη. α α αδύλαην. 3 3 Άξα f(), νπόηε ε C f : βξίζθεηαη θάησ από ηελ y ζην. Σην : Αλαδεηείηαη νξηδόληηα αζύκπησηε f() Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. 3 3 f() 3 3 lim f() lim Δπνκέλσο, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην ηελ y.
25 3 Δμεηάδεηαη αλ f() ζην Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. α α αδύλαην. 3 3 Άξα f(), νπόηε ε C f : βξίζθεηαη θάησ απ ηελ y ζην. Η γξαθηθή παξάζηαζε, ε νξηδόληηα θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.4. "y=-" "3" /"" "y=" "3" /"" - - Σρήκα 3.4:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.7. Παξαηεξήζεηο
26 α) Μπνξεί λα πξνβιεθζεί ε ύπαξμε πιάγηαο αζύκπησηεο ζηηο ξεηέο ζπλαξηήζεηο. Μηα ξεηή ζπλάξηεζε, έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ ίδηα ζην,, κόλν αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή ππεξβαίλεη ηνλ βαζκό ηνπ παξνλνκαζηή θαηά κία κνλάδα, θαη κάιηζηα ε πιάγηα αζύκπησηε ζα είλαη ην πειίθν ηεο δηαίξεζεο. Αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή είλαη αθόκα κεγαιύηεξνο, δελ έρνπκε νύηε νξηδόληηα νύηε πιάγηα αζύκπησηε. Σεκείσζε: Σε κηα ξεηή ζπλάξηεζε ινηπόλ κπνξεί λα πξνβιεθζεί ακέζσο θάζε είδνο αζύκπησηεο. β) Πηζαλόλ λα έρνπκε πιάγηα αζύκπησηε ζε άξξεηεο ζπλαξηήζεηο, αλ ν βαζκόο ηνπο είλαη έλα. γ) Αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ή ζην, ηόηε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε. δ) Αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην ή ζην, ηόηε δελ έρεη πιάγηα αζύκπησηε θαη αληίζηξνθα.
27 3.4 Γεληθά Παξαδείγκαηα Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim για lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειείηαη ε δηαίξεζε: Άξα f() Αθόκε: lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y
28 Παξάδεηγκα 3.9 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y.
29 Παξάδεηγκα 3. sin Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). π Η f: νξίδεηαη όηαλ π π Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \ π. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε π. sin π sin sin π Άξα: f() π sin π lim f() lim π π π Η f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε, αιιά ηξύπα π, Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: ημ ημ f() π π π lim f() και : lim π Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y.
30 Παξάδεηγκα 3. 3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειείηαη ε δηαίξεζε:
31 Άξα, f() 3 6 f() 3 6 Οπόηε: lim f() 3 6 lim Δπνκέλσο, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y 3 6 Παξάδεηγκα 3. Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. lim Άξα: limf() lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ. f() Άξα: lim f() lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y.
32 Παξάδεηγκα 3.3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() 3. * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim Ακόμη lim 3 lim lim f() για lim Ακόμη lim 3 lim lim f() Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: f() 3 Άξα: lim f() 3 lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y 3.
33 Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 4 Η f: νξίδεηαη όηαλ 4 και Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη,. f() 3 Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. f() 3 για lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 4 για lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 4 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ.
34 Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. f() 3 για lim lim lim f() 3 5 Ακόμη lim 4 για lim lim lim f() 3 5 Ακόμη lim 4 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειώ ηε δηαίξεζε: Άξα, f() 3 4 Αθόκε: 3 lim 4 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3.
35 Παξάδεηγκα 3.5 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ ή Αξθεί: ή Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. f() lim lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() lim f() Δπνκέλσο, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y, στο.
36 Παξάδεηγκα 3.6 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Αξθεί: ισχύει IR Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y στο.
37 Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A, \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. f() 3 Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 3 για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 3 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ.
38 Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() 3 3 lim f() 3 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3στο. Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ ή Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. lim lim lim Ακόμη lim
39 Βάδσ: t lim t lim άρα t lim lnt άρα lim ln t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. lim lim lim Θέησ: t lim t lim άρα t lim ln t t άρα limf() Δπνκέλσο, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: lim lim
40 lim f() lim ln ln lim ln Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y στο. Παξάδεηγκα 3.9 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ Αξθεί: Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και. Γηα lim Βάδσ: t lim t lim άρα t
41 limlnt άρα lim ln t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Γηα : Τν ηείλεη ζην κε ηηκέο κηθξόηεξεο ηνπ. για lim lim lim Ακόμη lim Βάδσ: t lim t lim άρα t lim ln t άρα limf() lim ln t t t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Η f: δελ έρεη πιάγηεο αζύκπησηεο, θαζώο δελ έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε ηνπ νξίνπ ηεο ζην. Παξάδεηγκα 3.3 ln Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). ln Η f: νξίδεηαη όηαλ: ln ln e * Δπνκέλσο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: είλαη ην ζύλνιν A IR \ e.
42 Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και e. Γηα : Τν ηείλεη ζην κε ζεηηθέο ηηκέο. lim ln ln ln f() ln ln ln ln Άξα: limf(). Δπνκέλσο, ε f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ζην, αιιά ηξύπα. Γηα = e : Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα: e ln ln lim lim ln e ln lim f() e e Ακόμη lim ln e e ln ln lim lim ln e ln lim f() e e Ακόμη lim ln e Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ e. Δπίζεο: ln lim lim ln ln ln Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y.
43 3.5 Φύιιν απηναμηνιόγεζεο 5 6. Η ζπλάξηεζε f() 4 έρεη: α) Μία νξηδόληηα αζύκπησηε β) Μία θαηαθόξπθε αζύκπησηε γ) Γύν νξηδόληηεο αζύκπησηεο δ) Γύν θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο. Η ζπλάξηεζε f() ln έρεη: α) Μία νξηδόληηα αζύκπησηε β) Μία θαηαθόξπθε αζύκπησηε γ) Γύν νξηδόληηεο αζύκπησηεο δ) Γύν θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ln 3. Η ζπλάξηεζε f() ln 3 έρεη: α) Μία αζύκπησηε β) Γύν αζύκπησηεο γ) Τξείο αζύκπησηεο δ) Τέζζεξηο αζύκπησηεο 4 4. Η ζπλάξηεζε f() α) y = + 5 β) y = + 5 γ) y = + 4 δ) y = + έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ: sin 5. Η ζπλάξηεζε f : f() π έρεη: α) Καηαθόξπθε αζύκπησηε ζην = -π β) Καηαθόξπθε αζύκπησηε ζην = γ) Οξηδόληηα αζύκπησηε ζην = ± δ) Πιάγηα αζύκπησηε ζην = ± a a a 6. Η ζπλάξηεζε f : f() b b b α) a = b β) a > b γ) a = b + δ) a = θαη b 3 3 έρεη πιάγηα αζύκπησηε αλ:
44 7. Η ζπλάξηεζε f(), γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = + β) y = - γ) y = + δ) y = - 8. Η ζπλάξηεζε α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = + f() e, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: 9. Η ζπλάξηεζε f() e /, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = +. Η ζπλάξηεζε / f() e, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = +
f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
x x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο
Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016
Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε
x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.
ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.
B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα
Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ
Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην
ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο
ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2
ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δσξεά απνθιεηζηηθά από ην ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.
Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους
Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν
ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ
ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά
ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2
ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ
5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη
5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ
Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο
Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:
Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ
Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα
Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex
«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ
. Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ 006 010.. (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε
Constructors and Destructors in C++
Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ
ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplac Δηεπξύλεη ηε θιάζε ηωλ ζεκάηωλ γηα ηα νπνία κπνξεί λα επηηεπρζεί ε κεηάβαζε από ην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Παξέρεη ηε
Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)
Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα
1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ
1 Σ. Δ. Ι. ΓΤ Σ Ι Κ Η Μ Α Κ Δ Γ Ο Ν Ι Α ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ Σ Μ Η Μ Α Μ Η Υ Α Ν ΟΛΟ Γ Ι Α Δξγαζηήξην Μεραλνπξγηθώλ Καηεξγαζηώλ & CAD ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 2: Πνηόηεηα Δπηθάλεηαο Γξ. Βαξύηεο
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Έκδοζη /10/2014. Νέα λειηοσργικόηηηα - Βεληιώζεις
Έκδοζη 2.89.31 08/10/2014 Η έκδοζη 2.89.31, περιλαμβάνει : Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Αναγγελία πρόζληυης (Ε3) 08/10/2014 1 Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Επεηδή ζηελ ειεθηξνληθή ππνβνιή
ΓΗΜΟΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΟΜΟ Γ
1 ΓΗΜΟΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΟΜΟ Γ Μάθημα 19: Φόροι ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ: Προοδεσηικό, Αναλογικά και ανηίζηροθα προοδεσηικό θορολογικό ζύζηημα Μέζος και οριακός θορολογικός ζσνηελεζηής Ο κέζνο θνξνινγηθόο ζπληειεζηήο
ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..
ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη
Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ
Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο
Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ
Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε
Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.