Κεθάιαην 2: Τν λενθιαζηθό ππόδεηγκα κεγεζύλζεωο κε αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ λνηθνθπξηνύ

Transcript

1 Παλεπηζηήκην Ισαλλίλσλ, Τκήκα Οηθνλνκηθψλ Δπηζηεκψλ Μεηαπηπρηαθφ Πξφγξακκα Σπνπδψλ, Μάζεκα: Μαθξννηθνλνκηθή Γηδάζθσλ: Γεκήηξηνο Φαηδεληθνιάνπ α/α 5 Κεθάιαην 2: Τν λενθιαζηθό ππόδεηγκα κεγεζύλζεωο κε αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ λνηθνθπξηνύ 2. Εηζαγωγή Αθνινπζψληαο θαη πάιη ηνλ Romer (2006), ζ απηφ ην θεθάιαην ζα εμεηάζνπκε δχν ππνδείγκαηα δπλακηθήο ηζνξξνπίαο ηεο θαηαλαιψζεσο θαη ηεο ζπζζσξεχζεσο θεθαιαίνπ, ηα νπνία αγλννχλ ηελ χπαξμε ρξήκαηνο θαη ηα νπνία αίξνπλ ηελ ππφζεζε ηνπ ππνδείγκαηνο Solow- Swan, φηη ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε είλαη κία εμσγελήο ζηαζεξά (s). Σηα δχν ππνδείγκαηα απηνχ ηνπ θεθαιαίνπ, ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε αθελφο κεηαβάιιεηαη, νπφηε ζπκθσλεί κε ηα εκπεηξηθά δεδνκέλα, θαη αθεηέξνπ πξνζδηνξίδεηαη κέζα απφ ην ππφδεηγκα, δειαδή είλαη κία ελδνγελήο κεηαβιεηή εηδηθψηεξα, πξνζδηνξίδεηαη απφ κία αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ λνηθνθπξηνχ. Θα εμαθνινπζήζνπκε λα ππνζέηνπκε, σζηφζν, φηη ην επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο (Α) είλαη κία εμσγελήο κεηαβιεηή, ε νπνία απμάλεηαη κ έλα ζηαζεξφ ξπζκφ g. Τν πξψην απφ ηα δχν απηά ππνδείγκαηα είλαη ην ππφδεηγκα ησλ Ramsey (928), Cass (965) θαη Koopmans (965), ην νπνίν ππνζέηεη έλα αληηπξνζωπεπηηθό θαηαλαιωηή (represenaive onsumer) πνπ δε γηα πάληα, νπφηε ζρεδηάδεη γηα ην κέιινλ έρνληαο θαηά λνπ έλα άπεηξν ρξνληθφ νξίδνληα. Τν δεχηεξν είλαη ην ππόδεηγκα ηωλ επαιιήιωλ γελεώλ (overlapping generaions model, OGM) ηνπ Diamond (965), φπνπ δελ ππάξρεη ν αληηπξνζσπεπηηθφο θαηαλαισηήο πνπ δε γηα πάληα, αιιά εηζάγεηαη εηεξνγέλεηα θαηαλαισηψλ. Σπγθεθξηκέλα, έρνπκε δχν γελεέο θαηαλαισηψλ πνπ ζπλππάξρνπλ. Νέα άηνκα ζπλερψο γελληνχληαη θαη δνπλ γηα δχν πεξηφδνπο: κέρξηο ελφο ζεκείνπ αλήθνπλ ζηε λέα γελεά, κεηά ζηνπο ειηθησκέλνπο θαη κεηά πεζαίλνπλ. 2.2 Τν ππόδεηγκα Ramsey-Cass-Koopmans 2.2. Επηρεηξήζεηο Υπνζέηνπκε κία αληαγσληζηηθή νηθνλνκία κ έλα κεγάιν αξηζκφ επηρεηξήζεσλ, νη νπνίεο είλαη φιεο ίδηεο κεηαμχ ηνπο. Η ζπλάξηεζε παξαγσγήο ζε θάζε κία απφ απηέο ηηο επηρεηξήζεηο είλαη Υ = F(K, AL), ε νπνία έρεη ηηο ίδηεο ηδηφηεηεο κ εθείλε ηνπ Κεθαιαίνπ (βι. Τκήκα.2). Οη επηρεηξήζεηο πξνζιακβάλνπλ εξγαζία (L) θαη ελνηθηάδνπλ θεθάιαην (K) απφ ηα λνηθνθπξηά ζε αληαγσληζηηθέο αγνξέο ζπληειεζηψλ παξαγσγήο θαη παξάγνπλ έλα νκνγελέο πξντφλ (Υ), ην νπνίν πσινχλ ζε κία επίζεο αληαγσληζηηθή αγνξά πξντφληνο, κε ζθνπφ ηε κεγηζηνπνίεζε ησλ θεξδψλ ηνπο. Τα θέξδε απηά, αλ ππάξρνπλ, δηαλέκνληαη ζηνπο ηδηνθηήηεο ησλ επηρεηξήζεσλ, νη νπνίνη ηαπηφρξνλα απνηεινχλ θαη λνηθνθπξηά. Όπσο θαη ζην Κεθάιαην, ην επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο (A) είλαη κία εμσγελήο κεηαβιεηή, ε νπνία απμάλεηαη κ έλα ζηαζεξφ ξπζκφ g. Τν κεγαιχηεξν κέξνο απηνχ ηνπ θεθαιαίνπ βαζίδεηαη ζην βηβιίν ηνπ Romer (2006).

2 Δθφζνλ ε νηθνλνκία είλαη αληαγσληζηηθή, νη ζπληειεζηέο παξαγσγήο ακείβνληαη κε ηα νξηαθά ηνπο πξντφληα. Αο εμεηάζνπκε ηελ ακνηβή ηνπ θεθαιαίνπ. Η πξαγκαηηθή απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ (ην πξαγκαηηθφ επηηφθην, r) είλαη ίζε κε ην νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ (ΜΡΚ) κείνλ ην ξπζκφ απνζβέζεσο, δ. Καη επεηδή ΜΡΚ = f (), έπεηαη φηη ε πξαγκαηηθή απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ είλαη r = f () δ. Φάξηλ απιφηεηαο, ζα ππνζέζνπκε φηη δ = 0, νπφηε r = f (). (2.) Η ακνηβή ηεο εξγαζίαο είλαη ν πξαγκαηηθφο κηζζφο (W), νπφηε W = MPL. Απφ ηελ Δμ. (.55), φκσο, γλσξίδνπκε φηη ΜΡL = Αf() f () (Κ/L) = Α[f() f ()], νπφηε W = Α[f() f ()]. (2.2) Τν W ζπκβνιίδεη ηελ ακνηβή κίαο κνλάδαο εξγαζίαο. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε κηθξφ w ηελ ακνηβή κίαο κνλάδαο αποηελεζμαηικήρ εξγαζίαο, δειαδή w = W/Α, ηφηε απφ ηελ Δμ. (2.2) παίξλνπκε w = f() f (). (2.3) Αο ζεκεησζεί φηη, ππφ ζπλζήθεο πιήξνπο αληαγσληζκνχ θαη ζηαζεξψλ απνδφζεσλ θιίκαθαο, ηα θέξδε ησλ επηρεηξήζεσλ είλαη κεδέλ. Γηφηη, ππ απηέο ηηο ζπλζήθεο, αλ γηα κία επηρείξεζε ππάξμνπλ πνηέ ζεηηθά θέξδε, ηφηε απηά ζα ηείλνπλ λα γίλνπλ απεξηφξηζηα κεγάια θαη δελ ζα ππάξρεη έλα παξαγσγηθφ ζρέδην κεγηζηνπνηήζεσο ησλ θεξδψλ. Γειαδή, αλ γηα κία επηρείξεζε i ηζρχεη φηη π i = pf(k i, AL i ) rk i WL i > 0, φπνπ π i = θέξδε θαη p = ηηκή ηνπ πξντφληνο, ηφηε, εμ αηηίαο ησλ ζηαζεξψλ απνδφζεσλ θιίκαθαο, γηα λ >, ζα ηζρχεη θαη φηη pf(λk i, AλL i ) rλk i WλL i = pλf(k i, AL i ) rλk i WλL i = λ[pf(k i, AL i ) rk i WL i ] = λπ i > π i. (2.4) Ωζηφζν, ηα κεγάια θέξδε ηεο επηρεηξήζεσο i δελ ζα κείλνπλ απαξαηήξεηα. Θα δεκηνπξγεζνχλ λέεο επηρεηξήζεηο, εμαθαλίδνληαο έηζη θάζε επθαηξία θέξδνπο Ννηθνθπξηά Η ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκόηεηαο ηνπ λνηθνθπξηνύ Υπνζέηνπκε φηη ππάξρεη έλαο κεγάινο θαη ζηαζεξφο αξηζκφο (Η) λνηθνθπξηψλ, ηα νπνία είλαη φια ίδηα κεηαμχ ηνπο θαη ηα νπνία απαξηίδνπλ ηνλ πιεζπζκφ. Δθφζνλ ηα Η απηά λνηθνθπξηά είλαη φια ίδηα κεηαμχ ηνπο, ζα εμεηάζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ελφο κφλνλ «αληηπξνζσπεπηηθνχ» λνηθνθπξηνχ. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε L ην κέγεζνο ηνπ πιεζπζκνχ, ηφηε ν αξηζκφο ησλ κειψλ ηνπ λνηθνθπξηνχ είλαη L/Η. Υπνζέηνπκε φηη ν αξηζκφο L/Η απμάλεη κε ξπζκφ n, πνπ ζεκαίλεη φηη ην L απμάλεη κε ξπζκφ n, εθφζνλ ην Η είλαη ζηαζεξφ. Τα λνηθνθπξηά ελνηθηάδνπλ ζηηο επηρεηξήζεηο ην θεθάιαην πνπ θαηέρνπλ. Αλ ην αξρηθφ απφζεκα θεθαιαίνπ ζηελ νηθνλνκία σο ζχλνιν είλαη Κ(0), ηφηε ην αξρηθφ θεθάιαην θαηά λνηθνθπξηφ είλαη Κ(0)/Η. Κάζε κέινο ηνπ αληηπξνζσπεπηηθνχ λνηθνθπξηνχ πξνζθέξεη κία κνλάδα εξγαζίαο ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή, ε ακνηβή ηεο νπνίαο είλαη W(). (Υπνζέηνπκε ζπλερή ρξφλν.) Τν εηζφδεκα πνπ απνθηά ην θάζε λνηθνθπξηφ απφ ηελ εξγαζία, ην θεθάιαην θαη ηα θέξδε (ηα νπνία, φπσο πξναλαθέξζεθε, αλακέλνληαη λα είλαη κεδεληθά) είηε ην θαηαλαιψλεη είηε ην απνηακηεχεη, ζε κία πξνζπάζεηα λα κεγηζηνπνηήζεη ηε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηάο ηνπ. 2

3 Η ηειεπηαία δελ αλαθέξεηαη κφλν ζηελ παξνχζα ρξνληθή ζηηγκή (), αιιά θαη ζην κέιινλ, εθφζνλ ην λνηθνθπξηφ δε γηα πάληα θαη ζρεδηάδεη γηα έλα άπεηξν ρξνληθφ νξίδνληα. Απηή ε ζπκπεξηθνξά ζα κπνξνχζε λα εξκελεπζεί θαη σο ζπκπεξηθνξά ελφο λνηθνθπξηνχ-δπλαζηείαο, φπνπ ην λνηθνθπξηφ δελ δε γηα πάληα, αιιά λνηάδεηαη θαη γηα ηνπο απνγφλνπο ηνπ, ζηνπο νπνίνπο κεηαβηβάδεη ηνλ πινχην ηνπ φηαλ πεζαίλεη. Έζησ u(c()) ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο ελφο κέινπο ηνπ λνηθνθπξηνχ, φπνπ C() είλαη ε θαηαλάισζε απηνχ ηνπ αηφκνπ θαηά ηε ζηηγκή. Όπσο πξναλαθέξζεθε, ην θάζε λνηθνθπξηφ αξηζκεί L()/Η κέιε, νπφηε ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο (insananeous uiliy funion) ή ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο κίαο πεξηόδνπ (one-period uiliy funion) νινθιήξνπ ηνπ λνηθνθπξηνχ ζα είλαη u(c())l()/η. Σπλεπψο, εάλ ην αληηπξνζσπεπηηθφ λνηθνθπξηφ πξνεμνθιεί κειινληηθέο κνλάδεο ρξεζηκφηεηαο κε ξπζκφ π > 0, ηφηε ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηάο ηνπ γηα νιφθιεξν ην ρξνληθφ νξίδνληα, ηελ νπνία αο νλνκάζνπκε ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο δηάξθεηαο δωήο (lifeime uiliy funion) ή ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκόηεηαο (ineremporal uiliy funion), ζα είλαη U e 0 L( u( C( )) H ) d. (2.5) Η παξάκεηξνο π > 0 ζηελ Δμ. (2.5) είλαη ν ππνθεηκεληθόο ξπζκόο πξνεμνθιήζεωο (subjeive disoun rae) κίαο πξνζδνθσκέλεο κειινληηθήο αμίαο. Αληαλαθιά ηελ πξνηίκεζε ελφο αηφκνπ γηα θαηαλάισζε ζην παξφλ παξά ζην κέιινλ, γη απηφ θαη νλνκάδεηαη θαη ξπζκόο δηαρξνληθήο πξνηηκήζεωο (rae of ime preferene). Όζν κεγαιχηεξν είλαη ην π ελφο αηφκνπ ηφζν πην αλππόκνλν (impaien) είλαη απηφ ην άηνκν γηα θαηαλάισζε ζην παξφλ παξά ζην κέιινλ. Δίλαη ν ξπζκφο κε ηνλ νπνίν κία κειινληηθή αμία κεηαηξέπεηαη ζε παξνύζα αμία (presen value, PV). Γηα παξάδεηγκα, ζε δηαθξηηφ ρξφλν, αλ έλα άηνκν έρεη π = 0,0, ηφηε γη απηφ ην άηνκν ε παξνχζα αμία 000 πνπ αλακέλεη λα ιάβεη ζ έλα έηνο απφ ζήκεξα είλαη PV = 000/( + 0,0) = 909,09. Αλ π = 0,20, ηφηε ε ζεκεξηλή αμία 000 πνπ αλακέλνληαη λα ιεθζνχλ ζ έλα έηνο απφ ζήκεξα είλαη κφλν 833,33 = 000/( + 0,20). Σ απηφ ην παξάδεηγκα, ην θιάζκα /( + π) νλνκάδεηαη παξάγωλ πξνεμνθιήζεωο (disoun faor), δηφηη κεηαηξέπεη κία κνλάδα εηζνδήκαηνο πνπ ζ απνθηεζεί ζ έλα έηνο απφ ζήκεξα ζε κία ηζνδχλακε κνλάδα ζεκεξηλνχ εηζνδήκαηνο. Σε ζπλερή ρξφλν, θαηά ηε δηάξθεηα κίαο ρξνληθήο πεξηφδνπ απφ 0 κέρξη, ν παξάγσλ πξνεμνθιήζεσο είλαη e -π. Αλ π = 0, ηφηε ε ζεκεξηλή θαη ε κειινληηθή θαηαλάισζε έρνπλ ηελ ίδηα αμία. Δθφζνλ, φκσο, ππνζέηνπκε φηη π > 0, απφ ηελ (2.5) είλαη θαλεξφ φηη νη κειινληηθέο κνλάδεο ρξεζηκφηεηαο ζπκβάιινπλ ιηγψηεξν ζηε ζπλνιηθή ρξεζηκφηεηα, θαη κάιηζηα ηφζν ιηγψηεξν φζν πην απνκαθξπζκέλε είλαη ε κειινληηθή πεξίνδνο απφ ζήκεξα. Αλ αληί ηεο ππνζέζεσο φηη ην λνηθνθπξηφ δε γηα πάληα πηνζεηήζνπκε ηελ ππφζεζε ηνπ λνηθνθπξηνχδπλαζηείαο, ηελ νπνία πξναλαθέξακε, ηφηε ε εξκελεία ηνπ π > 0 είλαη φηη ε ρξεζηκφηεηα ησλ κειινληηθψλ γελεψλ έρεη κηθξφηεξε ζεκαζία απφ απηή ηνπ ζεκεξηλνχ λνηθνθπξηνχ. Απηφ ππνλνεί κία εγστζηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ ζεκεξηλνχ λνηθνθπξηνχ έλαληη ησλ απνγφλσλ ηνπ. Αο ζεκεησζεί φηη, ζε δηαθξηηφ ρξφλν, ε αληίζηνηρε ηεο (2.5) ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο ηνπ λνηθνθπξηνχ γξάθεηαη σο εμήο: L U ( ) u( C ) 0. (2.6) H Υπνζέηνπκε φηη ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο (ζε ζπλερή ρξφλν) έρεη ηε κνξθή u(c()) = C() -θ /( θ), θ > 0. (2.7) 3

4 Γηα ηε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο (2.7), ηζρχεη φηη u = C() -θ > 0 θαη u = θc() θ < 0. Τν γεγνλφο φηη u < 0 ζεκαίλεη φηη ην άηνκν ζα ζέιεη λα εμνκαιχλεη ηελ θαηαλάισζή ηνπ δηαρξνληθά. Θα πξνζπαζεί, δειαδή, λ απνθεχγεη κία δηαρξνληθή θαηαλνκή θαηαλαιψζεσλ πνπ πεξηέρεη πνιχ πςειά, αιιά θαη πνιχ ρακειά επίπεδα θαηαλαιψζεσο. Γηφηη, εθφζνλ u < 0, έπεηαη φηη γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ C, ε νξηαθή ρξεζηκφηεηα, u, είλαη ρακειή ελψ, γηα κηθξέο ηηκέο ηνπ C, ε u είλαη πςειή. Σπλεπψο, φηαλ ην επίπεδν θαηαλαιψζεσο είλαη ζρεηηθά ρακειφ, ην άηνκν ζα επηζπκεί λα ην απμήζεη θαη φρη λα ην κεηψζεη αθφκε πεξηζζφηεξν πξνθεηκέλνπ λ απνηακηεχζεη θαη λ απνιαχζεη έηζη πςειφηεξα επίπεδα θαηαλαιψζεσο ζε κία κειινληηθή ρξνληθή πεξίνδν φπνπ ην C ζα είλαη ζρεηηθά πςειφ. Γηφηη ηφηε ε u ζα είλαη ρακειή (ιφγσ ηνπ κεγαιπηέξνπ C) θαη άξα ε επηπιένλ θαηαλάισζε πνπ ζα ππάξρεη (εμ αηηίαο ηεο απνηακηεχζεσο πνπ πξνεγήζεθε) δελ ζ απμήζεη θαηά πνιχ ηε ρξεζηκφηεηά ηνπ. Γειαδή, ε ρξεζηκφηεηα δηάξθεηαο δσήο (U) είλαη ρακειφηεξε φηαλ ε δηαρξνληθή θαηαλνκή θαηαλαιψζεσλ πεξηέρεη πνιχ άληζα επίπεδα ηνπ C απ φ,ηη είλαη φηαλ ηα επίπεδα απηά είλαη ιηγψηεξν άληζα. Η ζπλαξηεζηαθή κνξθή (2.7) καο ρξεηάδεηαη γηα λα βξνχκε ζχγθιηζε ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο [βι. ηέινο ηνπ Τκήκαηνο , ακέζσο κεηά ηελ Δμ. (2.38γ)]. Η κνξθή απηή είλαη γλσζηή σο ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο CRRA (Consan Relaive Ris Aversion uiliy funion), επεηδή γη απηή ηε ζπλάξηεζε ν ζπληειεζηήο ζρεηηθήο απνζηξνθήο θηλδύλνπ (oeffiien of relaive ris aversion), ν νπνίνο νξίδεηαη σο 2 r R = Cu /u, (2.8) είλαη ζηαζεξφο θαη ίζνο κε θ. Σπλεπψο, φζν κεγαιχηεξε είλαη ε ηηκή ηνπ θ ηφζν πην επηθπιαθηηθφο είλαη ν θαηαλαισηήο-εξγαδφκελνο ζηελ αλάιεςε νηθνλνκηθψλ θηλδχλσλ. Δπεηδή, φκσο, εδψ ππνζέηνπκε φηη δελ ππάξρεη αβεβαηφηεηα, δελ καο ελδηαθέξεη ηφζν απηή ε εξκελεία ηνπ θ. Δδψ, ε ηηκή ηνπ θ καο ελδηαθέξεη θπξίσο επεηδή πξνζδηνξίδεη θαη έλα άιιν ρξήζηκν κέγεζνο, ηελ ειαζηηθόηεηα δηαρξνληθήο ππνθαηαζηάζεωο ζηελ θαηαλάιωζε (elasiiy of ineremporal subsiuion in onsumpion), ηελ νπνία αο ζπκβνιίζνπκε κε ζ. Η παξάκεηξνο ζ νξίδεηαη επθνιψηεξα ζε δηαθξηηφ ρξφλν, δειαδή φηαλ ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο δηάξθεηαο δσήο είλαη ε (2.6). Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ην ζ νξίδεηαη σο εμήο: C d ln( C C C d ln( MRS ), (2.9) ) C U / C φπνπ MRS C είλαη ν νξηαθφο ιφγνο ππνθαηαζηάζεσο κεηαμχ C θαη C +, ν νπνίνο U / C κεηξά ην νξηαθφ φθεινο πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ θαηαλάισζε κίαο επηπιένλ κνλάδαο ζηελ πεξίνδν. Σχκθσλα κε ηνλ νξηζκφ (2.9), ην ζ είλαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηνπ ιφγνπ C + /C C πξνο ηελ πνζνζηηαία κεηαβνιή ηνπ MRS. C Παξάδεηγκα. Όηαλ ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο έρεη ηε κνξθή CRRA, δειαδή u(c ) = C -θ /( θ), ηφηε ε ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.6) γξάθεηαη σο 2 Έζησ εu ', C ( du' / dc)( C / u' ) ε ειαζηηθόηεηα ηεο νξηαθήο ρξεζηκόηεηαο σο πξνο ηελ θαηαλάισζε, φπνπ ην αξλεηηθφ πξφζεκν ηίζεηαη γηα λα πξνθχςεη ζεηηθφο αξηζκφο, εθφζνλ du /dc = u < 0. Παξαηεξνχκε φηη ν ζπληειεζηήο r R ηζνχηαη κε απηή ηελ ειαζηηθφηεηα. 4

5 C L U ( ), (2.0) 0 H νπφηε C U / C ( ) C L / H C L ( ) C MRSC ( ). (2.) ( ) U / C ( ) C L / H C L ( n) C Τν ηειεπηαίν «ίζνλ» ζ απηή ηελ έθθξαζε νθείιεηαη ζην γεγνλφο φηη L + /L = + L + /L = + [(L + L )/L ] = + n, εθφζνλ ε αλαινγηθή αχμεζε ηνπ L είλαη n. Απφ ηελ (2.), έρνπκε φηη C C ln( MRS ) = ln( + π) ln( + n) + θln(c + /C ), νπφηε d ln( MRS ) = θdln(c + /C ), εθφζνλ ηα C π θαη n είλαη ζηαζεξά. Αληηθαζηζηψληαο ην απνηέιεζκα απηφ ζηελ (2.9), πξνθχπηεη φηη ζ = dln(c + /C )/[θdln(c + /C )] = /θ. Γειαδή, ζηελ πεξίπησζε πνπ ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο έρεη ηε κνξθή CRRA, ε ειαζηηθφηεηα δηαρξνληθήο ππνθαηαζηάζεσο (ζ) ηζνχηαη κε ην αληίζηξνθν ηνπ ζπληειεζηή ζρεηηθήο απνζηξνθήο θηλδχλνπ (r R ), ζ = /r R = /θ. (2.2) Απηφ ζεκαίλεη φηη, ζην ζπγθεθξηκέλν ππφδεηγκα πνπ έρνπκε πηνζεηήζεη, φζν πην επηθπιαθηηθφ είλαη έλα λνηθνθπξηφ ζηελ αλάιεςε νηθνλνκηθψλ θηλδχλσλ (δειαδή, φζν πην κεγάιε είλαη ε ηηκή ηνπ r R = θ) ηφζν πην απξφζπκν είλαη λα ππνθαηαζηήζεη ηξέρνπζα κε κειινληηθή θαηαλάισζε (δειαδή, ηφζν πην κηθξή είλαη ε ηηκή ηνπ ζ = /θ). Όπσο παξαηεξεί ν Hall (988, ζ. 343), ε ζηελή απηή ζρέζε κεηαμχ ηνπ r R θαη ηνπ ζ απνηειεί κεηνλέθηεκα ηνπ ππνδείγκαηνο, δηφηη δελ είλαη ζχκθσλε κε ηα εκπεηξηθά επξήκαηα. Σπγθεθξηκέλα, έρεη βξεζεί φηη ε ηηκή ηνπ ζ είλαη θνληά ζην κεδέλ. Αλ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα ππήξρε ε παξαπάλσ ζηελή ζρέζε, ηφηε ε ηηκή ηνπ r R ζα έπξεπε λα ηείλεη ζην άπεηξν, δειαδή νπδείο ζα ήηαλ πξφζπκνο λ αλαιάβεη νηθνλνκηθνχο θηλδχλνπο. Απηφ, φκσο, δελ ζπκβαίλεη, δηφηη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα πνιινί αλαιακβάλνπλ νηθνλνκηθνχο θηλδχλνπο. Αο ζεκεησζεί φηη ν ιφγνο γηα ηνλ νπνίν ζηελ Δμ. (2.7) δηαηξνχκε ην C -θ κε θ είλαη γηα λα θαηαζηήζνπκε ηελ νξηαθή ρξεζηκφηεηα ηεο θαηαλαιψζεσο ζεηηθή γηα θάζε ηηκή ηνπ θ. Γηφηη, αλ αληί ηεο (2.7) είρακε u(c()) = C() -θ, ηφηε u (C()) = ( θ)c() -θ, νπφηε, γηα θ >, u (C()) < 0. Σηε βηβιηνγξαθία βιέπνπκε ζπρλά θαη ηελ αθφινπζε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο: ε νπνία πξνθχπηεη απφ ηελ C u(c()) = lnc(), (2.3) u(c()) = [C() -θ ]/( θ), θ > 0, (2.4) γηα θ. Απηφ κπνξεί εχθνια λα επηβεβαησζεί κε κία εθαξκνγή ηνπ θαλφλα ηνπ l Hospial: lim u ( C( )) lim{[ ( C( ) ) / ]/[ ( ) / ]} lim[ C( ) ln C( ) /( )] ln C( ). 5

6 Βεβαίσο, νη ζπλαξηήζεηο (2.7) θαη (2.4) αληαλαθινχλ ηελ ίδηα ζπκπεξηθνξά, εθφζνλ δηαθέξνπλ κφλν θαηά έλα ζηαζεξφ αξηζκφ [ην - ζηνλ αξηζκεηή ηεο (2.4)], ν νπνίνο φκσο ράλεηαη φηαλ παξαγσγίδνπκε θαηά ηε δηαδηθαζία ηεο αξηζηνπνηήζεσο. Αο ζεκεησζεί φηη νη ζπλαξηήζεηο (2.7) θαη (2.4) είλαη απζηεξώο θνίιεο (srily onave) γηα θ > 0, εθφζνλ u (C()) = θc() -θ- < 0 γηα C() > 0. Σπλεπψο, γηα π > 0, ηφζν ε ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.5) φζν θαη ε ζπλάξηεζε (2.6) είλαη επίζεο απζηεξψο θνίιεο Ο δηαρξνληθόο εηζνδεκαηηθόο πεξηνξηζκόο ηνπ λνηθνθπξηνύ Όπσο πξναλαθέξακε, ην εηζφδεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ πξνέξρεηαη απφ εξγαζία θαη απφ ελνηθίαζε θεθαιαίνπ ζηηο επηρεηξήζεηο (θέξδε δελ ππάξρνπλ). Απφ ηελ Δμ. (2.3), γλσξίδνπκε φηη ε ακνηβή κίαο κνλάδαο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο είλαη w = f() f (), ελψ απφ ηελ Δμ. (2.) γλσξίδνπκε φηη ε ακνηβή κίαο κνλάδαο θεθαιαίνπ είλαη r = f (). Δθφζνλ ηφζν ην w φζν θαη ην r είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ, ην νπνίν κεηαβάιιεηαη δηαρξνληθά, ζα ζεσξήζνπκε φηη θαη ηα w θαη r κεηαβάιινληαη δηαρξνληθά, νπφηε ζα ηα γξάθνπκε σο w() θαη r(). Δάλ ην r ήηαλ ζηαζεξφ, ηφηε κία κνλάδα θεθαιαίνπ ελνηθηαδφκελε γηα ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη ζα απμαλφηαλ ζε e r κνλάδεο, ελψ, ζχκθσλα κε ηελ Δμ. (0.5), νη Κ(0) κνλάδεο θεθαιαίνπ ζα απμαλφηαλ ζε Κ() = Κ(0)e r κνλάδεο. Απφ ηελ ηειεπηαία απηή εμίζσζε, είλαη θαλεξφ φηη ε παξνχζα αμία ησλ Κ() κνλάδσλ θεθαιαίνπ ηεο πεξηφδνπ ηζνδπλακεί κε Κ(0) = Κ()e -r κνλάδεο ηεο πεξηφδνπ 0. Γειαδή, ν παξάγσλ πξνεμνθιήζεσο είλαη ηψξα e -r. Όπσο πξναλαθέξζεθε, φκσο, ην πξαγκαηηθφ επηηφθην δελ είλαη ζηαζεξφ δηαρξνληθά. Μπνξεί, σζηφζν, λα ζεσξεζεί σο ην κέζν πξαγκαηηθφ επηηφθην ( r ), ην νπνίν επεθξάηεζε θαηά ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη. Γειαδή, r( ) (/ ) r( ) d, (2.5) 0 νπφηε ν παξάγσλ πξνεμνθιήζεσο ζα είλαη e r ( ). Θέηνληαο R ( ) r( ), (2.6) κπνξνχκε λα ζπκβνιίζνπκε ηνλ παξάγνληα πξνεμνθιήζεσο σο εμήο: e -R(). Αο παξαηεξήζνπκε φηη, εθφζνλ r είλαη ην μέζο επηηφθην πνπ επεθξάηεζε θαηά ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη, έπεηαη φηη ε Δμ. (2.6) δίλεη ην ζςνολικό επηηφθην, R(), γηα νιφθιεξν ην ρξνληθφ απηφ δηάζηεκα. Τψξα, εθφζνλ: () C() είλαη ε θαηαλάισζε ελφο κέινπο ηνπ λνηθνθπξηνχ (2) ην θάζε κέινο πξνζθέξεη κία κνλάδα εξγαζίαο ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη ε ακνηβή απηήο ηεο εξγαζίαο είλαη W() (3) ην λνηθνθπξηφ αξηζκεί L()/Η κέιε θαη (4) ην αξρηθφ θεθάιαην ηνπ λνηθνθπξηνχ είλαη Κ(0)/Η έπεηαη φηη ν εηζνδεκαηηθόο πεξηνξηζκόο δηάξθεηαο δωήο (lifeime budge onsrain) ηνπ λνηθνθπξηνχ, ή δηαρξνληθόο εηζνδεκαηηθόο πεξηνξηζκόο (ineremporal budge onsrain), ζε φξνπο παξνχζαο αμίαο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή 0, είλαη 0 e L( ) C ) d H K(0) H L( W ( ) H R ( ) R( ) ) ( 0 e d. (2.7) 6

7 Όπσο ζε θάζε εηζνδεκαηηθφ πεξηνξηζκφ, ην δεμηφ ζθέινο ηεο (2.7) παξηζηάλεη ηηο πεγέο εηζνδήκαηνο, ελψ ην αξηζηεξφ ηηο ρξήζεηο ηνπ. Πην ζπγθεθξηκέλα, ην δεμηφ ζθέινο ηεο (2.7) είλαη ε παξνχζα αμία ηνπ εηζνδήκαηνο, ην νπνίν ην λνηθνθπξηφ αλακέλεη λ απνθηήζεη απφ ελνίθηα θαη κηζζνχο. [Όπσο είδακε ιίγν πην πάλσ, ε παξνχζα αμία ησλ Κ() κνλάδσλ θεθαιαίνπ ηεο πεξηφδνπ ηζνδπλακεί κε Κ(0) = Κ()e -r κνλάδεο ηεο πεξηφδνπ 0. Σπλεπψο, ν φξνο Κ(0)/Η παξηζηάλεη ηελ θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή 0 παξνχζα αμία φισλ ησλ κειινληηθψλ ελνηθίσλ πνπ ζα εηζπξάμεη ην λνηθνθπξηφ.] Τν αξηζηεξφ ζθέινο ηεο (2.7) είλαη ε παξνχζα αμία ηεο θαηαλαιψζεσο. Η Δμ. (2.7) κπνξεί λα γξαθεί θαη σο εμήο: K(0) H 0 e R( ) [ W ( ) L( ) C( )] d H 0. (2.8) Δίλαη ρξήζηκν λα κειεηήζνπκε ηελ νξηαθή ζπκπεξηθνξά ηεο νηθνλνκίαο θαζψο ην. Γη απηφ, μαλαγξάθνπκε ηελ (2.8) σο εμήο: lim s K(0) H s 0 e R( ) [ W ( ) L( ) C( )] d H 0. (2.9) Αο δνχκε ηψξα πφζν είλαη ην θεθάιαην πνπ θαηέρεη ην λνηθνθπξηφ ζην ρξφλν s, δειαδή ην Κ(s)/Η. Η ζπζζψξεπζε θεθαιαίνπ νθείιεηαη ζε δχν ιφγνπο. Πξψηνλ, νθείιεηαη ζηελ απφδνζε ηνπ αξρηθνχ θεθαιαίνπ πνπ θαηέρεη ην λνηθνθπξηφ ζην ρξφλν 0, Κ(0)/Η, ε αμία ηνπ νπνίνπ ζην ρξφλν s ζα είλαη e R(s) Κ(0)/Η, εθφζνλ R(s) είλαη ην επηηφθην γηα νιφθιεξν ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη s. Γεχηεξνλ, νθείιεηαη ζηελ απνηακίεπζε ηνπ λνηθνθπξηνχ θαηά ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη s. Η απνηακίεπζε ηνπ λνηθνθπξηνχ ζην ρξφλν είλαη [W() C()]L()/Η. Δμ αηηίαο ηνπ αλαηνθηζκνχ, φκσο, φζν κεγαιχηεξε είλαη ε απφζηαζε κεηαμχ θαη s ηφζν πεξηζζφηεξν ζπκβάιιεη ε απνηακίεπζε ηνπ ρξφλνπ ζηε ζπζζψξεπζε θεθαιαίνπ. Γηα ηελ αθξίβεηα, ζην ρξφλν s ε αμία ηεο απνηακηεχζεσο πνπ έγηλε ζην ρξφλν ζα είλαη e R(s) R() [W() C()]L()/Η. Μεηά απφ απηή ηε ζπδήηεζε, είλαη θαλεξφ φηη K( s) H e K(0) H e [ W ( ) L( C( )] H s R ( s) R( s) R( ) ) 0 d, (2.20) ε νπνία κπνξεί λα γξαθεί θαη σο εμήο: e K( s) H K(0) H e [ W ( ) L( C( )] H s R ( s) R( ) ) 0 d. (2.2) Τν δεμηφ ζθέινο ηεο (2.2) ηζνχηαη κε ηνλ φξν πνπ βξίζθεηαη κέζα ζηηο αγθχιεο ηεο (2.9), ν νπνίνο, ζπλεπψο, κπνξεί λ αληηθαηαζηαζεί κε ην αξηζηεξφ ζθέινο ηεο (2.2). Γειαδή, ε (2.9) γξάθεηαη θαη σο lim e s R( s) K( s) H 0. (2.22) Η (2.22) ιέγεη φηη ε θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή 0 παξνχζα αμία ηεο πεξηνπζίαο πνπ ζα έρεη ην λνηθνθπξηφ θαηά ην ρξφλν s είλαη κε αξλεηηθφο αξηζκφο. (Αξλεηηθή αμία πεξηνπζίαο ζεκαίλεη ρξένο.) Η (2.22) είλαη γλσζηή σο ζπλζήθε κε Ponzi παηγλίνπ (no-ponzi-game ondiion). Δάλ, 7

8 αληί ηνπ λνηθνθπξηνχ πνπ δε γηα πάληα, δερζνχκε ηελ εθδνρή ηνπ λνηθνθπξηνχ-δπλαζηεία πνπ λνηάδεηαη γηα ηνπο απνγφλνπο ηνπ, ηφηε ε εξκελεία ηεο (2.22) είλαη φηη φηαλ ζ έλα λνηθνθπξηφ πεζαίλνπλ νη γνλείο, δελ αθήλνπλ ρξένο ζηνπο απνγφλνπο ησλ. Η ζπλήζεο εξκελεία ηεο (2.22) είλαη φηη νη ρξεκαηνπηζησηηθέο αγνξέο δελ επηηξέπνπλ ζην λνηθνθπξηφ λα δηαηεξεί ρξένο ζην δηελεθέο, δαλεηδφκελν ζπλερψο γηα λα πιεξψλεη ρξέε πνπ νζνλνχπσ ιήγνπλ. Δάλ θάηη ηέηνην ήηαλ δπλαηφ, ηφηε ε παξνχζα αμία ηεο θαηαλαιψζεσο ηνπ λνηθνθπξηνχ ζα κπνξνχζε λα ππεξβαίλεη ηελ παξνχζα αμία ηνπ εηζνδήκαηφο ηνπ. Γηα λα ζπκβεί θάηη ηέηνην, φκσο, ζα πξέπεη λα ππάξρνπλ άιια λνηθνθπξηά ησλ νπνίσλ ε παξνχζα αμία ηεο θαηαλαιψζεψο ησλ λα ππνιείπεηαη ηεο παξνχζαο αμίαο ηνπ εηζνδήκαηφο ησλ. Δθφζνλ εδψ έρνπκε πεπεξαζκέλν αξηζκφ λνηθνθπξηψλ, ηα νπνία είλαη φια ίδηα κεηαμχ ηνπο, απνθιείνληαη παίγληα Ponzi. Αο ζεκεησζεί, σζηφζν, φηη αλ είρακε άπεηξν αξηζκφ λνηθνθπξηψλ, ηα νπνία δελ ήηαλ φια ίδηα κεηαμχ ηνπο, ηφηε ζα κπνξνχζε έλα απφ απηά λα δηαηεξήζεη ην ρξένο ηνπ γηα πάληα, δαλεηδφκελν θάζε θνξά πνπ ιήγεη ην ρξένο ηνπ απφ δηαθνξεηηθά άηνκα γηα λα πιεξψζεη ηνπο πξνεγνπκέλνπο δαλεηζηέο ηνπ. Γηα παξάδεηγκα, ζα κπνξνχζε ην λνηθνθπξηφ λα δαλεηζζεί θαηά ηελ ηξέρνπζα πεξίνδν (0) έλα πνζφ, π.ρ. Χ 0 = 000, θαη λ απμήζεη ηελ θαηαλάισζή ηνπ θαηά ην πνζφ απηφ. Καηά ηελ επνκέλε πεξίνδν, φηαλ ιήγεη ε πξνζεζκία απνπιεξσκήο ηνπ δαλείνπ, ζα κπνξνχζε θαη πάιη λα δαλεηζζεί ην πνζφ Χ = 000( + r), γηα λα πιεξψζεη ην αξρηθφ δάλεην ησλ 000 ζπλ ηνπο ηφθνπο, 000r, φπνπ r = πξαγκαηηθφ επηηφθην Σπλερίδνληαο απηή ηε δηαδηθαζία (ην παίγλην Ponzi), ην ρξένο (Χ) ηνπ λνηθνθπξηνχ ζ απμαλφηαλ ζπλερψο κε ξπζκφ r [εθφζνλ (Χ Χ 0 )/Χ 0 = r]. Δπεηδή, φκσο, ην λνηθνθπξηφ νπδέπνηε πξφθεηηαη λα πιεξψζεη θάηη απφ ηελ «ηζέπε» ηνπ, έπεηαη φηη ε επηπιένλ θαηαλάισζε ησλ 000, ηελ νπνία έθαλε θαηά ηελ πεξίνδν 0, ήηαλ νπζηαζηηθά δσξεάλ! Ο πεξηνξηζκφο (2.22) ζεκαίλεη φηη αλ ζηελ πεξίνδν s ην λνηθνθπξηφ είλαη ρξεσκέλν, δειαδή Κ(s) < 0, ηφηε ην ρξένο ηνπ δελ κπνξεί λ απμάλεη κε ξπζκφ r, αιιά κ έλα κηθξφηεξν ξπζκφ κ, φπνπ κ < r. Έηζη, ζηελ (2.22) ζα έρνπκε e R(s) Κ(s)/Η = e rs [Κ(0)e κs /Η] = e (r κ)s Κ(0)/Η. Καζψο ην s, ν ηειεπηαίνο απηφο φξνο ηείλεη ζην κεδέλ, εθφζνλ (r κ) < Τν πξόβιεκα ηεο αξηζηνπνηήζεωο ηνπ λνηθνθπξηνύ Τν πξφβιεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ είλαη λα κεγηζηνπνηήζεη ηε ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.5), φπνπ ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο είλαη ε (2.7), ππφ ηνλ δηαρξνληθφ εηζνδεκαηηθφ πεξηνξηζκφ (2.7). Πξηλ πξνρσξήζνπκε ζηε ιχζε απηνχ ηνπ πξνβιήκαηνο, αο εθθξάζνπκε θαη πάιη ηηο κεηαβιεηέο ζε φξνπο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Δθφζνλ C() είλαη θαηαλάισζε θαηά εξγαδφκελν, έπεηαη φηη () = C()/A() είλαη θαηαλάισζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Απφ ηνλ νξηζκφ απηφλ, θαη έρνληαο ππ φςε φηη A() = A(0)e g, πξνθχπηεη φηη C() = A()() = A(0)e g (). (2.23) Σπλεπψο, ε ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο (2.7) κπνξεί λα γξαθεί σο εμήο: u(c()) = [A(0)e g ()] -θ /( θ) = A(0) -θ e (-θ)g () -θ /( θ). (2.24) Αληηθαζηζηνχκε ηελ (2.24) θαζψο θαη ηελ L() = L(0)e n ζηελ (2.5), νπφηε πξνθχπηεη φηη U 0 e A(0) π θ A(0) L(0) H θ e 0 ( θ) g e ( θ) g θ n ( ) L(0) e d θ H. θ n π ( ) d θ 8

9 Γειαδή, ζε φξνπο (), ε ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο είλαη U B e 0 ( ) d, (2.25) φπνπ Β = A(0) -θ L(0)/Η θαη β = π n ( θ)g. (2.26) Γηα λα είλαη ην επίπεδν ηεο δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο πεπεξαζκέλνο αξηζκφο, ππνζέηνπκε φηη Γηφηη, αλ β 0, ηφηε, απφ ηελ (2.25) είλαη θαλεξφ φηη U. β > 0. (2.27) Αο γξάςνπκε ηψξα ηνλ εηζνδεκαηηθφ πεξηνξηζκφ (2.7) ζε φξνπο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Δμ νξηζκνχ, έρνπκε w() = W()/A() [βι. ακέζσο πξηλ απφ ηελ Δμ. (2.3)] θαη () = K()/A()L(). Δπνκέλσο, θαη αλαινγία θαη πξνο ηελ (2.23), έρνπκε φηη θαη W() = A()w() = A(0)e g w() (2.28) Κ(0) = (0)A(0)L(0). (2.29) Αληηθαζηζηψληαο ζηελ (2.7) φπνπ L() = L(0)e n, θαζψο θαη ηηο Δμ. (2.23), (2.28) θαη (2.29), πξνθχπηεη φηη A(0) L(0) H 0 e ( g n) R( ) ( ) d (0) A(0) L(0) H A(0) L(0) H 0 e ( g n) R( ) w( ) d. (2.30) Γηαηξψληαο ηελ (2.30) κε A(0)L(0)/Η, πξνθχπηεη ν δηαρξνληθφο εηζνδεκαηηθφο πεξηνξηζκφο 0 e ( g n) R( ) ( ) d (0) 0 e ( g n) R( ) w( ) d. (2.3) Τέινο, εθφζνλ (s) = K(s)/A(s)L(s), έπεηαη φηη K(s) = (s)a(s)l(s) = (s)a(0)l(0)e (g+n)s, νπφηε ε ζπλζήθε κε Ponzi παηγλίνπ (2.22) γξάθεηαη σο εμήο: A 0) L(0) lim e H s ( ( g n) s R( s) ( s) 0. (2.32) Γηαηξψληαο ηελ (2.32) κε A(0)L(0)/Η > 0, πξνθχπηεη ε αθφινπζε κνξθή ηεο ζπλζήθεο κε Ponzi παηγλίνπ: lim e s ( g n) s R( s) ( s) 0. (2.33) 9

10 Σπλνπηηθά, ην πξφβιεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ είλαη λα επηιέμεη κία ηξνρηά ηεο () πνπ λα κεγηζηνπνηεί ηε ζπλάξηεζε δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.25) ππφ ηνλ δηαρξνληθφ εηζνδεκαηηθφ πεξηνξηζκφ (2.3) θαη λα ηθαλνπνηεί ηε ζπλζήθε (2.33). Δπεηδή ε νξηαθή ρξεζηκφηεηα ηεο θαηαλαιψζεσο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, U/ () = Βe -β () -θ, είλαη ζεηηθφο αξηζκφο γηα () > 0, έπεηαη φηη ην λνηθνθπξηφ δελ ζα αθήζεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο, αιιά ζα ηνπο θαηαλαιψζεη φινπο. Σπλεπψο, ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ν εηζνδεκαηηθφο πεξηνξηζκφο (2.3) ζα ηθαλνπνηείηαη κε ην ζχκβνιν ηεο ηζφηεηαο θαη πνηέ κε απηφ ηεο αληζφηεηαο, εθφζνλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ην λνηθνθπξηφ κεγηζηνπνηεί ηελ (2.25) ππφ ηνπο πεξηνξηζκνχο (2.3) θαη (2.33). Ωο κία πξψηε πξνζέγγηζε, ην πξφβιεκα απηφ κπνξεί λα ιπζεί «αλεπηζήκσο» κε ηε κέζνδν ησλ πνιιαπιαζηαζηψλ ηνπ Lagrange. 3 Η ζπλάξηεζε ηνπ Lagrange είλαη θ β ( ) ( g n) R( ) ( g n) R( ) B e d + λ (0) e w( ) d e ( ) d. 0 θ 0 0 (2.34) Θέηνληαο ηελ πξψηε παξάγσγν ηεο (2.34) σο πξνο () ίζε κε κεδέλ, l/ () = 0, πξνθχπηεη φηη Β() -θ e -β = λe (g+n) R(). (2.35) Λνγαξηζκίδνληαο ηελ (2.35), παίξλνπκε lnb θln() β = lnλ + (g + n) R(). Απφ ηηο Δμ. (2.5)-(2.6), φκσο, γλσξίδνπκε φηη R( ) r( ) d. (2.36) 0 Αληηθαζηζηψληαο ηελ (2.36) ζηελ lnb θln() β = lnλ + (g + n) R(), πξνθχπηεη φηη lnb θln() β = lnλ + (g + n) r 0 ( ) d. (2.37) Παξαγσγίδνπκε ηελ (2.37) σο πξνο ην ρξφλν. Γηα ηελ παξάγσγν ηνπ ηειεπηαίνπ φξνπ ηεο (2.37), ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ θαλόλα ηνπ Leibniz, επεηδή ηα φξηα ηνπ νινθιεξψκαηνο είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ, θαη βξίζθνπκε φηη ε παξάγσγνο απηή είλαη ίζε κε r(). 4 Σπλεπψο, ε παξάγσγνο ηεο (2.37) σο πξνο είλαη 0 θ ()/() β = 0 + (g + n) r(). Αληηθαζηζηψληαο β = π n ( θ)g [Δμ. (2.26)], πξνθχπηεη φηη θ ()/() [π n ( θ)g] = g + n r() ή 3 Βι. Romer (2006, ζ. 54, ππνζεκείσζε 7). 4 Έζησ ε ζπλάξηεζε θ() = ( ) ( ) f (, ) d, ε νπνία νξίδεηαη ζην δηάζηεκα [, d]. Υπνζέηνπκε φηη ε ζπλάξηεζε εληφο ηνπ νινθιεξψκαηνο, f(η, ), θαη ε κεξηθή παξάγσγφο ηεο σο πξνο, f = f(η, )/, είλαη ζπλερείο θαη φηη νη ζπλαξηήζεηο α() θαη β() είλαη παξαγσγίζηκεο ζην δηάζηεκα [, d]. Τφηε, ζχκθσλα κε ηνλ θαλόλα ηνπ Leibniz, ε ζπλάξηεζε θ() έρεη παξάγσγν ζε θάζε ζεκείν ηνπ δηαζηήκαηνο, ε νπνία είλαη 0 ( ) ( ) f ( ( ), ) ( ) f ( ( ), ) ( ) f (, ) d. (2.40) Δδψ έρνπκε θ() = r( ) d, f(η, ) = r(η), f = r(η)/ = 0, α() = 0, β() =, α () = 0 θαη β () =. Σπλεπψο, 0 αληηθαζηζηψληαο ζηελ (2.40), ππνινγίδνπκε φηη θ () = r() - r(0) 0 + ( ) 0 0 d = r().

11 ( ) r( ) ( ) g. (2.38) Η Δμίζσζε (2.38) είλαη ε ζπλζήθε δηαρξνληθήο απνηειεζκαηηθόηεηαο (ineremporal effiieny ondiion) θαη είλαη γλσζηή σο εμίζωζε ηνπ Euler γηα ηελ θαηαλάισζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Λέγεη φηη, φηαλ ην λνηθνθπξηφ επηιέγεη ην άξηζην επίπεδν ηεο (), ηφηε δελ είλαη δπλαηή ε παξαπέξα αχμεζε ηεο δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηάο ηνπ κε ηε κεηαθνξά κνλάδσλ απφ ην ζεκείν ζην ζεκείν 2 (απνηακίεπζε) ή απφ ην ζεκείν 2 ζην ζεκείν (αξλεηηθή απνηακίεπζε). Η (2.38) είλαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ζπλαξηήζεσο (2.25) ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ (2.3). Δθφζνλ, φκσο, φπσο αλαθέξακε ζην ηέινο ηνπ Τκήκαηνο , ε ζπλάξηεζε (2.5) είλαη απζηεξψο θνίιε γηα π > 0, νπφηε θαη ε ζπλάξηεζε (2.25) είλαη απζηεξψο θνίιε, έπεηαη φηη ε (2.38) είλαη φρη κφλν αλαγθαία ζπλζήθε γηα κέγηζην, αιιά είλαη θαη ηθαλή. Ο Romer (2006, ζ. 56) παξαζέηεη θαη ην αθφινπζν ινγηθφ επηρείξεκα γηα ηελ απφδεημε ηεο Δμ. (2.38). Έζησ φηη θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή ην λνηθνθπξηφ κεηψλεη ην θαηά κία πνιχ κηθξή πνζφηεηα, Γ, ηελ νπνία απνηακηεχεη, πξνθεηκέλνπ λ απμήζεη ην θαηά ηε κειινληηθή πεξίνδν + Γ, αθήλνληαο αλέπαθα ηα φισλ ησλ άιισλ ρξνληθψλ πεξηφδσλ. Δθφζνλ ην πξαγκαηηθφ επηηφθην είλαη r(), έπεηαη φηη θαηά ην ρξνληθφ δηάζηεκα Γ ην επίπεδν απνηακηεχζεσο S() ζ απμεζεί ζε S(+Γ) = e r()γ S() [βι. Δμ. (0.5)]. Γηα λα κεηαηξέςνπκε ην S ζε απνηακίεπζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο (s), δηαηξνχκε ηελ ηειεπηαία εμίζσζε κε A(+Γ)L(+Γ) = A()L()e (g+n)γ, νπφηε πξνθχπηεη φηη S(+Γ)/A(+Γ)L(+Γ) = e [r() g n]γ S()/A()L() ή s(+γ) = e [r() g n]γ s(). (2.39) Σχκθσλα κε ηελ Δμ. (2.39), αλ ην s() απμεζεί θαηά Γ κνλάδεο, απφ s() ζε s() + Γ, ηφηε ην s(+γ) ζ απμεζεί θαηά e [r() g n]γ Γ κνλάδεο. Καηά ζπλέπεηα, ε (+Γ) κπνξεί λ απμεζεί θαηά e [r() g n]γ Γ κνλάδεο. Αο ππνινγίζνπκε ην θφζηνο θαη ην φθεινο ηεο απνηακηεχζεσο ησλ Γ κνλάδσλ. Δθφζνλ ε νξηαθή ρξεζηκφηεηα ηεο () είλαη U/ () = Β() -θ e -β [βι. Δμ. (2.25)], έπεηαη φηη ην νξηαθφ θφζηνο (ζε φξνπο ρξεζηκφηεηαο) ηεο κεηψζεσο ηεο () θαηά Γ είλαη Οξηαθφ θφζηνο = Β() -θ e -β Γ. (2.4) Γειαδή, απφ κφλε ηεο, ε κείσζε ηνπ () θαηά Γ θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή κεηψλεη ηε ρξεζηκφηεηα ηνπ λνηθνθπξηνχ θαηά Β() -θ e -β Γ. Δθφζνλ, φκσο, ε κείσζε απηή ηνπ () νδεγεί ζε αχμεζε ηνπ (+Γ) θαηά e [r() g n]γ Γ, έπεηαη φηη ην νξηαθφ φθεινο (πάιη ζε φξνπο ρξεζηκφηεηαο) απφ απηή ηελ ελέξγεηα είλαη ίζν κε ηελ νξηαθή ρξεζηκφηεηα ηεο (+Γ), ε νπνία είλαη Β(+Γ) -θ e -β(+γ), επί e [r() g n]γ Γ. Γειαδή, Οξηαθφ φθεινο = Β(+Γ) -θ e -β(+γ) e [r() g n]γ Γ. (2.42) Τψξα, εθφζνλ ην απμάλεηαη κε ξπζκφ ()/(), έπεηαη φηη (+Γ) = () e Αληηθαζηζηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ζηελ (2.42), πξνθχπηεη φηη Οξηαθφ φθεινο = Β[() e [ ( ) / ( )] [ ( ) / ( )] ] -θ e -β(+γ) e [r() g n]γ Γ. (2.43).

12 Ωο ζπλήζσο, γηα ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ρξεζηκφηεηαο, είλαη αλάγθε ην νξηαθφ θφζηνο λα ηζνχηαη κε ην νξηαθφ φθεινο. Δπνκέλσο, κε βάζε ηηο Δμ. (2.4) θαη (2.43), έρνπκε φηη Β() -θ e -β Γ = Β[() e [ ( ) / ( )] ] -θ e -β(+γ) e [r() g n]γ Γ. (2.44) [ ( ) / ( ) r( ) g n] Απινπνηψληαο ηελ (2.44), πξνθχπηεη φηη e =. Λνγαξηζκίδνληαο απηή ηελ εμίζσζε, πξνθχπηεη φηη [ θ ()/() β + r() g n]γ = 0. Γηαηξψληαο κε Γ θαη θαηφπηλ αληηθαζηζηψληαο ζ απηήλ ηελ εμίζσζε φπνπ β = π n ( θ)g [βι. Δμ. (2.26)], πξνθχπηεη φηη θ ()/() [π n ( θ)g] + r() g n = 0 ή θ () /() π θg + r() = 0. Λχλνληαο ηελ ηειεπηαία απηή εμίζσζε σο πξνο ()/(), πξνθχπηεη ε (2.38). Τέινο, αο γξάςνπκε ηελ (2.38) ζε φξνπο ηεο θαηαλαιψζεσο θαηά εξγαδφκελν (C). Δθφζνλ () = C()/Α() [βι. Δμ. (2.23)], έπεηαη φηη ()/() = C () /C() A () /Α() = C () /C() g. Αληηθαζηζηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ζηελ Δμ. (2.38), πξνθχπηεη φηη ε εμίζωζε ηνπ Euler γηα ηελ θαηαλάιωζε θαηά εξγαδόκελν είλαη C ( ) r( ). (2.38α) C( ) Απφ ηελ Δμ. (2.38α), είλαη θαλεξφ φηη φζν πην κεγάιε είλαη ε ηηκή ηνπ θ, ηφζν πην κηθξέο είλαη νη αληηδξάζεηο ηεο θαηαλαιψζεσο θαηά εξγαδφκελν (C) ζηηο κεηαβνιέο ηνπ πξαγκαηηθνχ επηηνθίνπ ζε ζσέζη κε ην ξπζκφ πξνεμνθιήζεσο, δειαδή ζηηο κεηαβνιέο ηεο δηαθνξάο r π. Η παξαηήξεζε απηή δελ πξέπεη λα καο εθπιήζζεη, εθφζνλ φζν πην κεγάιε είλαη ε ηηκή ηνπ θ, ηφζν πην κηθξή είλαη ε ειαζηηθφηεηα δηαρξνληθήο ππνθαηαζηάζεσο, ζ = /θ [βι. Δμ. (2.2)]. Μηθξή ηηκή ηνπ ζ αθξηβψο ζεκαίλεη κηθξέο αληηδξάζεηο ηεο C ζηηο κεηαβνιέο ηνπ r. Τέινο, αο ιχζνπκε ην ίδην πξφβιεκα θαη κ έλα ηξίην ηξφπν, πνπ είλαη ν πην ζπλεζηζκέλνο θαη πνπ ρξεζηκνπνηεί ηε ζπλάξηεζε ηνπ Hamilon. Καη γηα λα δείμνπκε απηφ πνπ αλαθέξακε ιίγν πξηλ ηελ Δμ. (2.8), φηη δειαδή ε ζπλαξηεζηαθή κνξθή CRRA, Δμ. (2.7), καο ρξεηάδεηαη γηα λα βξνχκε ζχγθιηζε ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, αο ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε γεληθή κνξθή ηεο ζηηγκηαίαο ζπλαξηήζεσο ρξεζηκφηεηαο, u(c()), αληί ηεο κνξθήο CRRA. Τν πξφβιεκα ζπλίζηαηαη ζηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ζπλαξηήζεσο (2.5) ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ πνπ δείρλεη πψο εμειίζζνληαη ηα πεξηνπζηαθά ζηνηρεία (δειαδή ην θεθάιαην) ηνπ λνηθνθπξηνχ απφ ζηηγκή ζε ζηηγκή. Ο πεξηνξηζκφο απηφο δίλεηαη ιίγν παξαθάησ απφ ηελ Δμ. (2.5) θαη είλαη εθθξαζκέλνο ζε κνλάδεο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Δπνκέλσο, αο γξάςνπκε θαη ηελ (2.5) ζε φξνπο ηεο κεηαβιεηήο (), ρξεζηκνπνηψληαο ηελ (2.23). Γξάθνπκε επίζεο L()/H = L(0)e n /H. Έηζη, έρνπκε λα κεγηζηνπνηήζνπκε ηε ζπλάξηεζε U L(0) H 0 e ( π n) u( A(0) e g ( )) d ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ [βι. Δμ. (2.5) παξαθάησ] () = f(()) () (g + n)(). Υπνζέηνπκε φηη ε νηθνλνκία αξρίδεη κε κία ζεηηθή πνζφηεηα θεθαιαίνπ αλά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, (0) > 0, έηζη ψζηε λα είλαη δπλαηή ε παξαγσγή επζχο εμ αξρήο. 2

13 Σηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, ε ζπλάξηεζε ηνπ Hamilon νξίδεηαη σο εμήο: J = e (π n) u(a(0)e g ())L(0)/H + μ()[f(()) () (g + n)()], φπνπ ν πνιιαπιαζηαζηήο μ() είλαη ε θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή 0 νξηαθή αμία (ζε φξνπο κνλάδσλ ρξεζηκφηεηαο) κίαο επηπιένλ κνλάδαο θεθαιαίνπ πνπ απνθηάηαη θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή. Γειαδή, μ() είλαη ε παξνχζα αμία ηεο ζθηώδνπο ηηκήο (shadow prie) κίαο κνλάδαο θεθαιαίνπ. Υπφ ηηο ππνζέζεηο πνπ έρνπκε θάλεη γηα ηε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο θαη ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο, νη αλαγθαίεο θαη ηθαλέο ζπλζήθεο γηα κία άξηζηε πνξεία ησλ κεηαβιεηψλ είλαη: J/ = 0, θαη μ () = J/, lim[ μ( ) ( )] 0 [βι. Barro θαη Sala-i-Marin (995, ζ ), θαζψο θαη Blanhard θαη Fisher (989, ζ )]. Η δεχηεξε ζπλζήθε είλαη ε εμίζωζε ηνπ Euler ή θαλόλαο ηνπ Ramsey, πνπ πξέπεη λα ηθαλνπνηείηαη γηα λα είλαη άξηζηε ε ζπκπεξηθνξά ηνπ λνηθνθπξηνχ δηαρξνληθά. Η ηξίηε ζπλζήθε νλνκάδεηαη ηεξκαηηθή ζπλζήθε (ransversaliy ondiion) θαη απαηηεί ε αμία ησλ πεξηνπζηαθψλ ζηνηρείσλ ηνπ λνηθνθπξηνχ, ε νπνία ηζνχηαη κε ηελ ζθηψδε ηηκή, μ(), επί ηελ πνζφηεηα, (), λα ηείλεη ζην κεδέλ θαζψο. Αλ ζεσξήζνπκε ην άπεηξν σο ην ηέινο ηνπ ρξνληθνχ νξίδνληα γηα ηνλ νπνίν ζρεδηάδεη ην λνηθνθπξηφ, ηφηε ε ηεξκαηηθή ζπλζήθε εξκελεχεηαη ζπλήζσο σο εμήο: έλα λνηθνθπξηφ κε αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά δελ ζ αθήζεη ηίπνηε πνιχηηκν κεηά ην ηέινο ηνπ, δηφηη ζα κπνξνχζε λα ρξεζηκνπνηήζεη φια ηα πεξηνπζηαθά ηνπ ζηνηρεία εθφζνλ δε, απμάλνληαο έηζη ηελ επεκεξία ηνπ. Γηα ηα ππνδείγκαηα πνπ εμεηάδνπκε εδψ, φπνπ νη κειινληηθέο αμίεο πξνεμνθινχληαη (βι. Τκήκα ) θαη ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο δηάξθεηαο δσήο ζπγθιίλεη ζ έλα πεπεξαζκέλν αξηζκφ [βι. π.ρ. ηε ζπδήηεζε θάησ απφ ηελ Δμ. (2.25)], ε εξκελεία απηή είλαη ζσζηή. Ωζηφζν, ζε ππνδείγκαηα ηα νπνία δελ πιεξνχλ απηέο ηηο πξνυπνζέζεηο, ε ηεξκαηηθή ζπλζήθε δελ είλαη νπσζδήπνηε αλαγθαία γηα άξηζηε ζπκπεξηθνξά [βι. Barro θαη Sala-i-Marin (995, ζ. 65, ππνζεκείσζε 8, θαζψο θαη ζ. 504, ηδίσο δε ζ )]. θαη Οη δχν πξψηεο ζπλζήθεο αξηζηνπνηήζεσο δίλνπλ ηα εμήο απνηειέζκαηα: u e (π n g) A(0)L(0)/H = μ() μ () = μ()[f (()) g n] = μ()[r() g n], εθφζνλ f (()) = r() [Δμ. (2.)]. Λνγαξηζκίδνληαο ηελ πξψηε απφ ηηο δχν απηέο εμηζψζεηο, πξνθχπηεη φηη ln(u ) (π n g) + ln[a(0)l(0)/h] = ln[μ()]. Παξαγσγίδνληαο απηή ηελ εμίζσζε σο πξνο ην ρξφλν, πξνθχπηεη φηη 3

14 du' u' d ( π n g) μ. μ (2.38β) Αιιά, εθφζνλ u' = u'(a(0)e g ()), έπεηαη φηη du' u' d u'' [ A(0) ge u' g g ( ) u'' A(0) e ( ) [ g u' u'' C( ) ( ) [ g ] u' ( ) ( ) rr [ g ], ( ) A(0) e ( ) ] ( ) g ( )] φπνπ ζηελ πξνηειεπηαία γξακκή έρεη γίλεη ρξήζε ηεο Δμ. (2.23), ελψ ζηελ ηειεπηαία γξακκή έρεη γίλεη ρξήζε ηεο (2.8). Αληηθαζηζηνχκε ζηελ Δμ. (2.38β) απηφ ην απνηέιεζκα, θαζψο θαη ην απνηέιεζκα μ () = μ()[r() g n], πνπ βξήθακε ιίγν πην πάλσ, νπφηε πξνθχπηεη φηη απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη φηη r R ( ) [ g ] ( π n g) [ r( ) g n] ( ) ( ) r( ) ( ) π r R rr g. (2.38γ) Καη αξρήλ, παξαηεξνχκε φηη γηα r R = θ, ε (2.38γ) είλαη ίδηα κε ηελ (2.38). Τψξα, απφ ηελ (2.38γ) είλαη θαλεξφ φηη, γηα λα ππάξρεη κία ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο φπνπ ( ) / ( ) θαη r() ζα είλαη ζηαζεξά, ζα πξέπεη ν ζπληειεζηήο ζρεηηθήο απνζηξνθήο θηλδχλνπ, r R, λα είλαη ζηαζεξφο. Απηφο είλαη ν ιφγνο γηα ηνλ νπνίν επηιέμακε ηε ζπλαξηεζηαθή κνξθή CRRA, Δμ. (2.7), φπνπ r R = θ (ζηαζεξφ). Η επηινγή απηή απνηειεί θνηλή πξαθηηθή [βι. Barro θαη Sala-i- Marin (995, ζ. 64)]. 2.3 Η δπλακηθή ηνπ ππνδείγκαηνο Θα πεξηγξάςνπκε ηε δπλακηθή ηνπ ππνδείγκαηνο ζε φξνπο εμειίμεσο ησλ κεηαβιεηψλ θαη. Σην ππφδεηγκα Solow-Swan είρακε κία κφλν ζεκειηψδε δηαθνξηθή εμίζσζε, ηελ (.22), ε νπνία πεξηέγξαθε ηελ εμέιημε ηνπ. Δδψ έρνπκε κία αθφκε ηέηνηα εμίζσζε, ηελ (2.38), ε νπνία πεξηγξάθεη ηελ εμέιημε ηνπ. Με ηε βνήζεηα ησλ δχν απηψλ εμηζψζεσλ, ζα πξνζπαζήζνπκε ηψξα λα βξνχκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο. 4

15 2.3. Η δπλακηθή ηνπ Αληηθαζηζηψληαο ηελ r() = f (()) [Δμ. (2.)] ζηελ (2.38), πξνθχπηεη φηη ( ) f ( ( )) ( ) g. (2.45) Απφ ηελ (2.45) είλαη θαλεξφ φηη γηα f (()) = π + θg, () = 0. Αο ζπκβνιίζνπκε κε ην επίπεδν ηνπ φπνπ f (()) = π + θg. Η ζρέζε απηή δελ εμαξηάηαη απφ, νπφηε ζην Γηάγξακκα 2. (βι. παξαθάησ) παξηζηάλεηαη κε κία επζεία θάζεηε ζην ζεκείν. Γηα >, ηζρχεη φηη f (()) < π + θg (εμ αηηίαο ηνπ θζίλνληνο νξηαθνχ πξντφληνο ηνπ θεθαιαίνπ), νπφηε () < 0, δειαδή ην κεηψλεηαη ελψ, γηα <, ηζρχεη φηη f (()) > π + θg, νπφηε () > 0, δειαδή ην απμάλεηαη Η δπλακηθή ηνπ Γηα λα δνχκε πψο εμειίζζεηαη ην, αο μεθηλήζνπκε απφ ηελ Δμ. (.3), Ι = K + δκ, ε νπνία, εθφζνλ εδψ ππνζέηνπκε φηη δ = 0, γξάθεηαη σο εμήο: Γηαηξψληαο ηελ (2.46) κε ΑL, πξνθχπηεη Ι = K, (2.46) i = K / AL, (2.47) φπνπ i = Ι/ΑL. Γηα λα εηζαγάγνπκε ην ζηελ (2.47), αο ζπκεζνχκε απφ ηελ (.20) φηη K / AL ( A / A L / L) ( g n). (2.48) Αληηθαζηζηψληαο ηελ (2.48) ζηελ (2.47) θαη αλαδηαηάζζνληαο ηνπο φξνπο, πξνθχπηεη φηη = i (g + n). (2.49) Η Δμ. (2.49) αληηζηνηρεί ζηελ Δμ. (.22). Δδψ, απιψο έρνπκε ζέζεη δ = 0 (ράξηλ απιφηεηαο) θαη έρνπκε απνθχγεη λα εκθαλίζνπκε ηελ νξηαθή ξνπή πξνο απνηακίεπζε (s) σο ζηαζεξφ πνζνζηφ ηνπ εηζνδήκαηνο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Απφ ηελ (.4) έρνπκε φηη I = Υ C ή, αλ δηαηξέζνπκε κε ΑL, i = y, ε νπνία γξάθεηαη θαη σο Αληηθαζηζηψληαο ηελ (2.50) ζηελ (2.49), πξνθχπηεη φηη i() = f(()) (). (2.50) () = f(()) () (g + n)(). (2.5) Η εμίζσζε απηή ιέγεη φηη, γηα λ απμεζεί ην, ζα πξέπεη ην πξντφλ, f(()), λα ππεξβαίλεη ηηο δαπάλεο γηα θαηαλάισζε, (), θαη εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε, (g + n)(). Απφ ηελ (2.5), είλαη θαλεξφ φηη φηαλ = f() (g + n), (2.52) 5

16 δειαδή φηαλ νιφθιεξν ην πξντφλ θαηαλαιψλεηαη, κεηά ηελ αθαίξεζε ηεο εμηζνξξνπεηηθήο επελδχζεσο, ηφηε = 0. Τψξα, γηα λα έρεη κέγηζην ε ζπλάξηεζε (2.52) ζα πξέπεη λα ηζρχεη φηη / = 0 ή f () = g + n. (2.53) Αο ζπκβνιίζνπκε κε GR ην επίπεδν ηνπ πνπ ηθαλνπνηεί ηελ (2.53). Σην Γηάγξακκα 2., ην νπνίν αθνινπζεί, ην GR αληηζηνηρεί ζηελ θνξπθή ηεο θακπχιεο = 0. Δθφζνλ 2 / 2 = f () < 0, έπεηαη φηη ε ζπλάξηεζε (2.52) είλαη απζηεξψο θνίιε θαη φηη ην GR κεγηζηνπνηεί ηε ζπλάξηεζε (2.52), είλαη δειαδή ην επίπεδν ηνπ «ρξπζνύ θαλόλα» (golden rule) ζπζζσξεχζεσο θεθαιαίνπ. Αο ζεκεησζεί φηη ζην παξφλ ππφδεηγκα ε νηθνλνκία δελ ζα ηζνξξνπήζεη ζην ζεκείν ηνπ «ρξπζνχ θαλφλα», αιιά ζην ζεκείν ηνπ «ηξνπνπνηεκέλνπ ρξπζνύ θαλόλα» (modified golden rule). Σην ππφδεηγκα Solow-Swan ήηαλ δπλαηφ ηζνξξνπία θαη «ρξπζφο θαλφλαο» λα ζπκπέζνπλ, αλ ην s πάξεη ηε ζπγθεθξηκέλε ηηκή s = s GR. Βι. ηέινο ηνπ Τκήκαηνο 2.3.3, θαζψο θαη Τκήκα Τν δηάγξακκα θάζεωο Η ζπλάξηεζε (2.52) παξηζηάλεηαη γξαθηθά κε κία θακπχιε φπσο απηή ηνπ Γηαγξάκκαηνο 2.. Η θακπχιε απηή είλαη ν γεσκεηξηθφο ηφπνο (γ.η.) ησλ ζεκείσλ φπνπ = 0, επεηδή, φπσο είδακε παξαπάλσ, ε (2.52) πξνθχπηεη απφ ηελ (2.5) γηα = 0. Απφ ηελ (2.5) είλαη θαλεξφ φηη γηα > f() (g + n), δειαδή γηα φια ηα ζεκεία πνπ είλαη πάλσ απφ ηνλ γ.η. = 0, ηζρχεη φηη < 0, νπφηε ην κεηψλεηαη ελψ, γηα < f() (g + n), δειαδή γηα φια ηα ζεκεία πνπ είλαη θάησ απφ ηνλ γ.η. = 0, ηζρχεη φηη > 0, νπφηε ην απμάλεηαη. 0 E 0 GR Γηάγξακκα 2.. Η δπλακηθή ησλ θαη 6

17 Σην Γηάγξακκα 2., νη θαηεπζχλζεηο ησλ κεηαβνιψλ ηνπ, φηαλ ε αθεηεξία είλαη έλα ζεκείν εθηφο ηνπ γ.η. = 0, ζεκεηψλνληαη κε βέιε. Δπίζεο, ππάξρνπλ θαη βέιε πνπ δείρλνπλ ηηο θαηεπζχλζεηο ησλ κεηαβνιψλ ηνπ, ηηο νπνίεο αλαθέξακε ζην Τκήκα 2.3., φηη δειαδή, γηα <, ην απμάλεηαη, ελψ γηα >, ην κεηψλεηαη. Σην ζεκείν Ε ηνπ Γηαγξάκκαηνο, ηζρχεη φηη 0. Σπλεπψο, αλ ε νηθνλνκία θζάζεη ζην ζεκείν Ε, ηφηε ηείλεη λα παξακείλεη εθεί, εθφζνλ ηα θαη δελ κεηαβάιινληαη. Σε φια ηα άιια ζεκεία ηνπ Γηαγξάκκαηνο ππάξρεη ηάζε γηα κεηαβνιή, φπσο δείρλνπλ ηα βέιε, νπφηε θαίλεηαη ζε πνηα θάζε ηεο δπλακηθήο ηεο βξίζθεηαη ε νηθνλνκία. Γη απηφ ην ιφγν, ην Γηάγξακκα 2. νλνκάδεηαη δηάγξακκα θάζεωο (phase diagram). Τν γεγνλφο φηη ζην Γηάγξακκα 2. ηζρχεη φηη < GR δελ είλαη ηπραίν. Όπσο είδακε πην πάλσ, ην νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε f () = π + θg, ε νπνία ζεκαίλεη φηη = 0 [βι. Δμ. (2.45) θαη ηε ζπδήηεζε ακέζσο κεηά απφ απηήλ] ελψ, ην GR νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε f () = g + n, ε νπνία δίλεη ην κέγηζην [βι. Δμ. (2.53) θαη ηε ζπδήηεζε ακέζσο κεηά απφ απηήλ]. Γειαδή, έρνπκε φηη θαη f ( ) = π + θg (2.54) f ( GR ) = g + n. (2.55) Απφ ηε ζπλζήθε (2.27), φκσο, έρνπκε φηη β > 0 ή π n ( θ)g > 0, πνπ γξάθεηαη θαη σο π + θg > g + n. (2.56) Απφ ηηο Δμ. (2.54)-(2.55), είλαη θαλεξφ φηη ε ζπλζήθε π + θg > g + n ζεκαίλεη φηη f ( ) > f ( GR ). Απφ ηελ αληζφηεηα απηή, φκσο, πξνθχπηεη φηη < GR, επεηδή f () < Η αξρηθή ηηκή ηνπ Έζησ ((0), (0)) ην ζεκείν φπνπ βξίζθεηαη αξρηθά ε νηθνλνκία. Άξαγε, απφ νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ Γηαγξάκκαηνο 2. θαη αλ μεθηλήζεη ε νηθνλνκία ζα θζάζεη ηειηθά ζην ζεκείν Ε; Με ηε βνήζεηα ηνπ Γηαγξάκκαηνο 2.2, ζα δνχκε φηη ε απάληεζε ζ απηφ ην εξψηεκα είλαη αξλεηηθή. Φάξηλ παξαδείγκαηνο, έζησ φηη ε νηθνλνκία βξίζθεηαη αξρηθά ζην ζεκείν (0, 0), αλ θαη απηφ παξαβηάδεη ηελ ππφζεζε (0) > 0, ηελ νπνία έρνπκε ήδε πηνζεηήζεη (βι. Τκήκα , ακέζσο πξηλ απφ ηε ζπλάξηεζε ηνπ Hamilon). Δθφζνλ ε (2.45) γξάθεηαη θαη σο () = ()[f (()) π θg]/θ, (2.57) είλαη θαλεξφ φηη αλ () = 0, ηφηε () = 0, νπφηε ην () ζα παξακείλεη ζην κεδέλ. Δπίζεο, εθφζνλ () = f(()) () (g + n)() [Δμ. (2.5)], έπεηαη φηη γηα = 0 θαη = 0, ηζρχεη φηη () = 0, νπφηε θαη ην ζα παξακείλεη ζην κεδέλ. Γειαδή, αλ ε νηθνλνκία μεθηλήζεη απφ ην ζεκείν (0, 0), ζα παξακείλεη εθεί, δηφηη, εθφζνλ (0) = 0, ηα λνηθνθπξηά δελ έρνπλ άιιε επηινγή απφ ηελ (0) = 0. Ωο έλα άιιν παξάδεηγκα, έζησ φηη ε νηθνλνκία βξίζθεηαη αξρηθά ζην ζεκείν φπνπ ν γ.η. = 0 ηέκλεη ηνλ νξηδφληην άμνλα. Σ απηφ ην ζεκείν, ηζρχεη φηη (0) = 0, νπφηε, κε βάζε ηελ (2.57), ζα ηζρχεη θαη φηη = 0. Καη εθφζνλ ζ απηφ ην ζεκείν έρνπκε = 0 θαη = 0, έπεηαη φηη ε νηθνλνκία ζα παξακείλεη εθεί. Ωζηφζν, ην λνηθνθπξηφ πνηέ δελ ζα επηιέμεη απηφ ην ζεκείν: 7

18 εθφζνλ εθεί ηζρχεη φηη (0) > 0, έπεηαη φηη y(0) > 0, νπφηε είλαη εθηθηφ γηα ην λνηθνθπξηφ λα έρεη (0) > 0. Γειαδή, δελ ζα αθήζεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο. 0 Α E Β C F. 0 D (0) Γηάγξακκα 2.2. Η δπλακηθή ησλ θαη γηα δηάθνξεο αξρηθέο ηηκέο ηνπ, δεδνκέλνπ φηη (0) < Τα δχν παξαπάλσ παξαδείγκαηα δείρλνπλ φηη ε αξρηθή ζέζε ηεο νηθνλνκίαο έρεη ζεκαζία γηα ηε δπλακηθή ηεο. Σην Γηάγξακκα 2.2, εμεηάδνπκε ηε δπλακηθή ζηελ νπνία νδεγνχλ δηάθνξεο αξρηθέο ηηκέο ηνπ, δεδνκέλεο κίαο αξρηθήο ηηκήο ηνπ, (0), γηα ηελ νπνία ππνηίζεηαη φηη (0) <. Αλ ην (0) είλαη πάλσ απφ ηνλ γ.η. = 0, ζ έλα ζεκείν φπσο ην Α, ηφηε, φπσο δείρλνπλ ηα βέιε, ην απμάλεηαη θαη ην κεηψλεηαη, δειαδή ε νηθνλνκία πεγαίλεη πξνο ηα πάλσ θαη αξηζηεξά, φπσο δείρλεη ην βέινο πνπ μεθηλά απφ ην ζεκείν Α. Τν ίδην ζα ζπκβεί θαη αλ ην (0) είλαη επί ηνπ γ.η. = 0, ζ έλα ζεκείν φπσο ην Β. Αλ ην (0) είλαη ειαθξψο πην θάησ απφ ηνλ γ.η. = 0, ζ έλα ζεκείν φπσο ην C, ηφηε ηφζν ην φζν θαη ην θαη αξρήλ απμάλνληαη. Δπεηδή, φκσο, ππνζέζακε φηη ην (0) είλαη ειαθξψο κφλν θάησ απφ ηνλ γ.η. = 0, απφ ηελ Δμ. (2.5) είλαη θαλεξφ φηη ε αχμεζε ηνπ είλαη κηθξή. Αληίζεηα, ε αχμεζε ηνπ είλαη κεγάιε, δηφηη ζην ζεκείν C ην (0) είλαη πςειφ (ππελζπκίδεηαη φηη ζηνλ θάζεην άμνλα κεηξνχκε ην ) θαη άξα, κε βάζε ηελ (2.57), ην είλαη επίζεο πςειφ. Σπλεπψο, ε νηθνλνκία κεηαθηλείηαη θαη αξρήλ πξνο ηα πάλσ θαη δεμηά, αιιά πνιχ γξήγνξα (ππιν θζάζεη ην γ.η. = 0) ζα πεξάζεη πάλσ απφ ηνλ γ.η. = 0, νπφηε ην κελ ζα ζπλερίζεη λ απμάλεηαη ην δε ζ αξρίζεη λα κεηψλεηαη. Σηελ αληίζεηε πξνο ηελ ηειεπηαία πεξίπησζε, ππνζέηνπκε φηη ην (0) είλαη πνιχ κηθξφ, δειαδή πνιχ πην θάησ απφ ηνλ γ.η. = 0, ζ έλα ζεκείν φπσο ην D. Με βάζε ηελ (2.57), ην είλαη επίζεο πνιχ κηθξφ, ελψ, κε βάζε ηελ (2.5), ην ζα είλαη πςειφ. Σπλεπψο, ε νηθνλνκία κεηαθηλείηαη θαη αξρήλ πξνο ηα πάλσ θαη δεμηά, αιιά πνιχ γξήγνξα ζα πεξάζεη απέλαληη απφ ηε γξακκή = 0, νπφηε ην κελ ζ αξρίζεη λα κεηψλεηαη ην δε ζα ζπλερίζεη λ απμάλεηαη. 8

19 Δπεηδή θαη είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ησλ κεηαβιεηψλ θαη, έπεηαη φηη ππάξρεη θάπνην ζεκείν κεηαμχ C θαη D ηέηνην ψζηε, αλ ε νηθνλνκία μεθηλήζεη απφ απηφ ην ζεκείν, ηφηε ζα πεξάζεη απφ ην ζεκείν Ε, φπνπ = = 0, νπφηε ζα παξακείλεη εθεί. Σην Γηάγξακκα 2.2, ην ζεκείν απηφ ζεκεηψλεηαη κε F. Σηελ πξνεγεζείζα ζπδήηεζε επί ηνπ Γηαγξάκκαηνο 2.2, θάζε ηξνρηά πνπ εμεηάζακε ηθαλνπνηεί κελ ηηο ζπλζήθεο (2.5) θαη (2.57), αιιά φρη απαξαίηεηα θαη δχν αθφκε ζπλζήθεο, ηηο νπνίεο πξέπεη λα ιάβνπκε ππ φςε: ηε ζπλζήθε κε Ponzi παηγλίνπ (2.33) θαη ηνλ πεξηνξηζκφ 0. Λακβάλνληαο ππ φςε ηνπο δχν απηνχο πεξηνξηζκνχο, ζα δνχκε ηψξα φηη ε κφλε δπλαηή ηξνρηά ησλ κεηαβιεηψλ θαη είλαη απηή πνπ μεθηλά απφ ην ζεκείν F θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν Ε. Οη ππφινηπεο απνθιείνληαη, δηφηη παξαβηάδνπλ ηνπο ελ ιφγσ δχν πεξηνξηζκνχο. Καη αξρήλ, αο εμεηάζνπκε ηξνρηέο πνπ μεθηλνχλ πάλσ απφ ην ζεκείν F. Όπσο είδακε, ζ απηήλ ηελ πεξίπησζε, ην απμάλεηαη θαη ην κεηψλεηαη, είηε ακέζσο (φηαλ ε αθεηεξία είλαη πάλσ απφ ηνλ γ.η. = 0), είηε κεηά απφ ιίγν (φηαλ ε αθεηεξία είλαη θάησ απφ ηνλ γ.η. = 0, αιιά, φπσο είπακε, πάλσ απφ ην F). Απφ ηελ (2.5), φκσο, βιέπνπκε φηη ε ζπλερήο αχμεζε ηνπ θαη ε ζπλερήο κείσζε ηνπ ζα θαηαιήμεη ζην ζεκείν φπνπ = 0. Τψξα, γηα λα ζπλερίζεη ην λ απμάλεηαη, έηζη ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε (2.57), ην ζα πξέπεη λα κεησζεί αθφκε πεξηζζφηεξν, δειαδή λα γίλεη αξλεηηθφο αξηζκφο. Απηφ, φκσο, δελ είλαη δπλαηφ. Μφιηο ε νηθνλνκία θζάζεη ζην ζεκείν φπνπ = 0, εθεί ζα ηζρχεη θαη φηη y = 0, νπφηε = 0. Σπλεπψο, ε (2.57), ε νπνία ζέιεη ην λ απμάλεηαη, δελ ζα ηθαλνπνηείηαη. [Ση αξηζηεξά ηνπ ηζρχεη φηη f () > f ( ) = π + θg, νπφηε, ζχκθσλα κε ηελ (2.57), ην απμάλεηαη.] Αιιά, ε (2.57) είλαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα ηε κεγηζηνπνίεζε ρξεζηκφηεηαο, νπφηε, εθφζνλ θαηά κήθνο απηήο ηεο ηξνρηάο ε ζπλζήθε απηή δελ ηθαλνπνηείηαη, έπεηαη φηη ην λνηθνθπξηφ δελ ζα επηιέμεη κία ηέηνηα ηξνρηά. Αο εμεηάζνπκε ηψξα ηξνρηέο πνπ μεθηλνχλ θάησ απφ ην ζεκείν F, π.ρ. απφ ην ζεκείν D. Όπσο είδακε παξαπάλσ, ζ απηήλ ηελ πεξίπησζε, ην απμάλεηαη ζπλερψο, νπφηε ην f () κεηψλεηαη ζπλερψο. Όηαλ ην μεπεξάζεη ην επίπεδν ηνπ «ρξπζνχ θαλφλα», δειαδή γηα > GR, ηφηε, αληί ηεο (2.55), ηζρχεη φηη f () < g + n. Αιιά, κε βάζε ηελ (2.), f () = r. Σπλεπψο, γηα > GR, έρνπκε φηη r < g + n, νπφηε, κε βάζε ηελ (2.6), R(s) = r s < (g + n)s. Απηφ ζεκαίλεη φηη ζηελ ( g n) s R( s) (2.33), ε νπνία είλαη lim e ( s) 0, ν φξνο e (g+n)s R(s) απμάλεη. Όπσο πξναλαθέξζεθε, s φκσο, ην (s) επίζεο απμάλεη ζπλερψο, νπφηε ζηελ (2.33), θαζψο ην s, e (g+n)s R(s) (s). Αιι απφ ηελ απφδεημε ηεο (2.33) γλσξίδνπκε φηη απηφ ζπκβαίλεη φηαλ ε παξνχζα αμία ηνπ εηζνδήκαηνο ηνπ λνηθνθπξηνχ είλαη απείξσο κεγαιχηεξε ηεο παξνχζαο αμίαο ηεο θαηαλαιψζεσο. Αλ φκσο ζπλέβαηλε θάηη ηέηνην, ηφηε ην λνηθνθπξηφ ζα κπνξνχζε λ απμήζεη ηελ θαηαλάισζή ηνπ (θαη ηε ρξεζηκφηεηά ηνπ) ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή. Απηφ ζα ζήκαηλε φηη ην λνηθνθπξηφ δελ κεγηζηνπνηεί ηε ρξεζηκφηεηά ηνπ. Άξα απνθιείνπκε θαη φια ηα ζεκεία θάησ απφ ην ζεκείν F. Τέινο, αο εμεηάζνπκε ηελ ηξνρηά πνπ μεθηλά απφ ην ζεκείν F θαη θζάλεη ζην Ε, φπνπ ηζρχεη ε (2.54): f ( ) = π + θg ή r = π + θg. Σπλεπψο, ε (2.56), π + θg > g + n, γξάθεηαη σο r > g + n θαη άξα R(s) = r s > (g + n)s. Απηφ ζεκαίλεη φηη ζηελ (2.33), ν φξνο e (g+n)s R(s) κεηψλεηαη κε ξπζκφ r (g + n) = π + θg (g + n) = π n ( θ)g = β > 0. Όπσο πξναλαθέξζεθε, φκσο, ην (s) ζπγθιίλεη ζην επίπεδν, φπνπ θαη παξακέλεη ζηαζεξφ, νπφηε ζηελ (2.33), θαζψο ην s, e (g+n)s R(s) (s) 0. Απηφ ζεκαίλεη φηη ην λνηθνθπξηφ αθελφο ρξεζηκνπνηεί φινπο ηνπο πφξνπο ηνπ θαη αθεηέξνπ δελ είλαη ρξεσκέλν ζην δηελεθέο, δαλεηδφκελν ζπλερψο γηα λα πιεξψλεη ηα ρξέε ηνπ ιίγν πξηλ ιήμνπλ. Με άιια ιφγηα, ε ηξνρηά πνπ μεθηλά απφ ην ζεκείν F θαη θζάλεη ζην ζεκείν Ε ηθαλνπνηεί: () ηε ζπλζήθε κεγηζηνπνηήζεσο ηεο δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.57) (2) ηε ζπλζήθε εμειίμεσο ηνπ (2.5) θαη (3) ηελ ηεξκαηηθή ζπλζήθε (erminal ondiion) φηη ην λνηθνθπξηφ δελ αθήλεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο, αιιά νχηε θαη είλαη ρξεσκέλν ζην δηελεθέο. (Οη ηξεηο απηέο ζπλζήθεο ηθαλνπνηνχληαη κφλνλ επί ηνπ ζεκείνπ Ε.) Δθφζνλ ε ηξνρηά πνπ μεθηλά 9

20 απφ ην ζεκείν F θαη θζάλεη ζην ζεκείν Ε είλαη ε κφλε πνπ ηθαλνπνηεί φιεο απηέο ηηο ζπλζήθεο θαη ζην ζεκείν Ε ηα θαη παξακέλνπλ ζηαζεξά δηαρξνληθά έπεηαη φηη ε ελ ιφγσ ηξνρηά είλαη ε κφλε δπλαηή θαη ην ζεκείν Ε είλαη ην κφλν δπλαηφ ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεωο (seady-sae equilibrium) Η ζαγκαηηθή ηξνρηά Σηελ πξνεγεζείζα αλάιπζε, εμεηάζακε ηε δπλακηθή ηεο νηθνλνκίαο γηα κία ζπγθεθξηκέλε αξρηθή ηηκή ηνπ, (0) <. Ωζηφζν, φπσο δείρλεη ην Γηάγξακκα 2.3, ζε θάζε ζεηηθή αξρηθή ηηκή ηνπ, (0) > 0, αληηζηνηρεί κία αξρηθή ηηκή ηνπ, (0), πνπ ηθαλνπνηεί: () ηε ζπλζήθε κεγηζηνπνηήζεσο ηεο δηαρξνληθήο ρξεζηκφηεηαο (2.57) (2) ηε ζπλζήθε εμειίμεσο ηνπ (2.5) θαη (3) ηελ ηεξκαηηθή ζπλζήθε φηη ην λνηθνθπξηφ δελ αθήλεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο, νχηε είλαη ρξεσκέλν ζην δηελεθέο. Γειαδή, ην (0) είλαη κία ζπλάξηεζε ηνπ (0), ε νπνία ηθαλνπνηεί φιεο ηηο παξαπάλσ ηδηφηεηεο θαη ε νπνία παξάγεη ηε κνλαδηθή πνξεία πξνο ην ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο (Ε). Η πνξεία απηή νλνκάδεηαη ζαγκαηηθή ηξνρηά (saddle pah), απφ ηε ιέμε ζάγκα, πνπ ζεκαίλεη ζακάξη, επεηδή ην ζεκείν Ε είλαη ειάρηζην αλ μεθηλήζνπκε απφ επάλσ, αιιά κέγηζην αλ μεθηλήζνπκε θάησ απφ απηφ (βι. Γηάγξακκα 2.3). Ολνκάδεηαη θαη ηξνρηά ζπγθιίζεωο (onvergene pah). Γηα θάζε (0) > 0, ππάξρεη έλα (0) επί απηήο ηεο ηξνρηάο θαη ε νηθνλνκία κεηαθηλείηαη πξνο ην ζεκείν Ε. = 0 E = 0 Γηάγξακκα 2.3. Η ζαγκαηηθή ηξνρηά 2.4 Επεκεξία Σηα Γηαγξάκκαηα 2.2 θαη 2.3, είδακε φηη ε νηθνλνκία θαηαιήγεη ζην ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο (Ε). Τν εξψηεκα είλαη αλ ζ απηφ ην ζεκείν κεγηζηνπνηείηαη ε θνηλσληθή επεκεξία. Δθφζνλ ζ απηφ ην ζεκείν ην «αληηπξνζσπεπηηθφ λνηθνθπξηφ» κεγηζηνπνηεί ηελ επεκεξία ηνπ θαη εθφζνλ φια ηα λνηθνθπξηά ηεο νηθνλνκίαο είλαη ίδηα κεηαμχ ηνπο έπεηαη φηη ζην ζεκείν Ε κεγηζηνπνηείηαη ε κοινωνική επεκεξία. Σχκθσλα κε ην πξώην ζεκειηώδεο ζεώξεκα επεκεξίαο, ην απνηέιεζκα πνπ επηηπγράλεηαη ζην ζεκείν Ε είλαη άξηζην θαηά Pareo, δειαδή δελ είλαη δπλαηφ λ απμεζεί παξαπέξα ε επεκεξία ελφο λνηθνθπξηνχ ρσξίο λα κεησζεί ε επεκεξία θάπνηνπ άιινπ. Τν ελ ιφγσ ζεψξεκα ιέγεη φηη αλ () ηα αγαζά αληαιιάζζνληαη ζε αγνξέο φπνπ νη ηηκέο είλαη ζε φινπο γλσζηέο (2) ππάξρεη έλαο πεπεξαζκέλνο αξηζκφο λνηθνθπξηψλ θαη επηρεηξήζεσλ (νπφηε απνθιείνληαη παίγληα Ponzi, βι. ηέινο ηνπ Τκήκαηνο ), πνπ ζπκπεξηθέξνληαη 20

21 αληαγσληζηηθά, νπφηε ζεσξνχλ ηηο ηηκέο σο δεδνκέλεο θαη (3) δελ ππάξρνπλ εμσηεξηθέο επηδξάζεηο ηφηε ην απνηέιεζκα ηεο απνθεληξωκέλεο (deenralized) ή αληαγωληζηηθήο (ompeiive) απηήο νηθνλνκίαο είλαη άξηζην θαηά Pareo. Οη πξνυπνζέζεηο εθαξκνγήο απηνχ ηνπ ζεσξήκαηνο ππάξρνπλ ζηε ζπγθεθξηκέλε πεξίπησζε πνπ καο απαζρνιεί, νπφηε ηζρχεη θαη ην ζπκπέξαζκα. Σπλεπψο, αλ έλαο θνηλωληθόο ζρεδηαζηήο (soial planner) είρε ηελ εμνπζία λα θάλεη απηφο (αληί ηεο αγνξάο) ηελ θαηαλνκή ησλ νηθνλνκηθψλ πφξσλ, κε ζθνπφ ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο θνηλσληθήο επεκεξίαο, δελ ζα κπνξνχζε λα επηηχρεη θαιχηεξν απνηέιεζκα (κε ηελ έλλνηα ηνπ Pareo) απφ απηφ πνπ επηηπγράλεη ε αγνξά. 2.5 Τξνρηά ηζνξξόπνπ κεγεζύλζεωο Όπσο είδακε ζηα Γηαγξάκκαηα , ε νηθνλνκία ζπγθιίλεη ζην ζεκείν Ε, ην νπνίν είλαη ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο. Απφ ηε ζηηγκή πνπ ζα θζάζεη εθεί θαη κεηά, ε ζπκπεξηθνξά ηεο είλαη ίδηα κε απηή πνπ πξνβιέπεη ην ππφδεηγκα Solow-Swan. Αο εμεηάζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο θάζε κίαο κεηαβιεηήο μερσξηζηά. Πξψηνλ, εθφζνλ ζην ζεκείν Ε ην είλαη ζηαζεξφ, φπνπ = K/AL = (K/L)/A θαη εθφζνλ ηα A θαη L απμάλνληαη κε ξπζκφ g θαη n, αληίζηνηρα, έπεηαη φηη ην K απμάλεηαη κε ξπζκφ g + n, ελψ ην K/L απμάλεηαη κε ξπζκφ g. Γεχηεξνλ, εθφζνλ ην είλαη ζηαζεξφ θαη y = f(), έπεηαη φηη ην y είλαη επίζεο ζηαζεξφ, φπνπ y = Υ/AL = (Υ/L)/A. Σπλεπψο, ην Υ απμάλεηαη κε ξπζκφ g + n, ελψ ην Υ/L απμάλεηαη κε ξπζκφ g. Τξίηνλ, εθφζνλ ζην ζεκείν Ε ην είλαη ζηαζεξφ (φπνπ = C/A θαη C = θαηαλάισζε θαηά εξγαδφκελν, βι. Τκήκα ), έπεηαη φηη ην C απμάλεηαη κε ξπζκφ g. Τέηαξηνλ, ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε είλαη s = S/Y, φπνπ Y = ζπλνιηθφ πξντφλ θαη S = ζπλνιηθή απνηακίεπζε = Y C, φπνπ C = ζπλνιηθή θαηαλάισζε. Σπλεπψο, ε θαηαλάισζε θαηά εξγαδφκελν (C) γξάθεηαη σο C = C /L, απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη φηη C = LC. Απφ ηνπο νξηζκνχο απηνχο πξνθχπηεη φηη s = S/Y = (Y C )/Y = (Y LC)/Y. Γηαηξψληαο αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή κε AL, πξνθχπηεη φηη s = (y )/y, εθφζνλ = C/A. Σπλεπψο, εθφζνλ s = (y )/y θαη ζην ζεκείν Ε ηα y θαη είλαη ζηαζεξά, έπεηαη φηη ζην ζεκείν Ε είλαη θαη ην s ζηαζεξφ. Σπλεπψο, ην θεληξηθφ κήλπκα ηνπ ππνδείγκαηνο Solow-Swan παξακέλεη: ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηεο κέζεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο (Υ/L) ηζνχηαη κε ην ξπζκφ κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g. Αλ δελ ππάξρεη πξφνδνο ηεο ηερλνινγίαο (g = 0), ηφηε νχηε αχμεζε ηεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο ζα ππάξρεη. Τν γεγνλφο φηη ζην παξφλ ππφδεηγκα ην s δελ ζεσξήζεθε εμσγελψο δεδνκέλν (φπσο ζην ππφδεηγκα Solow-Swan), αιιά πξνζδησξίζζεθε απφ ηελ αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ λνηθνθπξηνχ, δελ κεηέβαιε ην θεληξηθφ απηφ ζπκπέξαζκα ηνπ ππνδείγκαηνο Solow-Swan. Δπίζεο, δελ κεηέβαιε θαη ηα ζπκπεξάζκαηα φηη ππάξρεη ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο θαη ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο. Η κφλε ζεκαληηθή δηαθνξά κεηαμχ ησλ δχν ππνδεηγκάησλ είλαη φηη ζην παξφλ ππφδεηγκα δελ είλαη δπλαηφ λα έρνπκε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο γηα > GR, ελψ απηφ ήηαλ δπλαηφ λα ζπκβεί ζην ππφδεηγκα Solow-Swan γηα s > s GR. Σην Γηάγξακκα.8, γηα s > s GR, ην < GR, νπφηε ηα λνηθνθπξηά ζα ήζειαλ λα κεηψζνπλ ην s, κεηαβαίλνληαο έηζη ζην ζεκείν = GR, φπνπ κεγηζηνπνηείηαη ην. Δπεηδή, φκσο, ζην ππφδεηγκα Solow-Swan ην s ζεσξείηαη εμσγελψο δεδνκέλν, έπεηαη φηη είλαη πηζαλφ ε νηθνλνκία λα θζάζεη ζε κία ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο φπνπ > GR. Σην ππφδεηγκα Ramsey-Cass-Koopmans, απηφ δελ είλαη δπλαηφ λα ζπκβεί, δηφηη ζα ζήκαηλε φηη ην λνηθνθπξηφ δελ κεγηζηνπνηεί ηε δηαρξνληθή ηνπ ρξεζηκφηεηα. Σην Γηάγξακκα 2.3, έζησ φηη ε αξρηθή ηηκή ηνπ είλαη (0) > GR. Η αξρηθή ηηκή ηνπ ζα πξέπεη λα είλαη πάλσ απφ ηελ θακπχιε = 0 θαη επί ηεο ηξνρηάο ζπγθιίζεσο, δηφηη, φπσο είδακε, φιεο νη άιιεο ηξνρηέο απνθιείνληαη. Δπνκέλσο, ην κεηψλεηαη θαη θζάλεη ηειηθά ζην < GR. 2