ν =.,( ) -ν =..,α -ν =.,α 0 =.. β

Transcript

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α μ. α ν =., α μ :α ν =,(α μ ) ν =,α ν.β ν =, ν α α ν =.,( ) -ν =..,α -ν =.,α 0 =.. β β β) Τι πρόσημο έχει μια δύναμη με βάση i) αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο ii)αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό; ΘΕΜΑ ο : α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του. β) Στο διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις ισότητες: α = β = γ =. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να υπολογίσετε την τιμή του χ=(-3) +(-)(+5)-1 Β) Για την τιμή του χ που βρήκατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= χ + χ+1 + χ+ + χ ΘΕΜΑ ο :Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων Χ 5 Χ Χ +1 < (3χ+5)<7(χ+3) ΘΕΜΑ 3 ο :Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΔΒΓ=30 ο και η ΔΓ=5cm.Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΑΓ και το μήκος του τόξου ΒΓ.

2 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, να γίνει το σχήμα και να γραφεί η σχέση του. β) Δώστε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού α. γ) Αν δικαιολογήσετε). a = β τι συμπεραίνετε για τους αριθμούς α και β; (Να το ΘΕΜΑ ο : α) Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων β) Αν ισχύει a = β τι συμπεραίνετε για τους α και β; (Να το δικαιολογήσετε). ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) 1 0 =... iii) ( 7) 0 =... ii) 0 =... iv) 0 =... 1 η : Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β: ( 10) Α = ( 3 ) *( 3 ) 1 ( ) 3 * 4 3 Β = [( 3) ] 8 1 : ( ) 3 14 και να υπολογίσετε το γινόμενο: Γ = Α ( 1 ) Β 1 η x x 1 : Να λύσετε την εξίσωση: 1 + x = η : Στο διπλανό σχήμα η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου και ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm. Να υπολογίσετε:

3 α) Τη διάμετρο ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. β) Το εμβαδόν και την περίμετρο του κύκλου. Β Α Γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις κατ επιλογή δική σας.

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Β Τάξη Θ Ε Μ Α Τ Α: Α. ΘΕΩΡΙΑ 1.α. Πότε δύο αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι; β. Πως προσθέτουμε ετερόσημους και πως ομόσημους; γ. Πως πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πως ετερόσημους; (με παραδείγματα).α. Πότε δύο ποσά ονομάζονται ανάλογα; β. Ποιες ιδιότητες έχουν τα ανάλογα ποσά: (αντίστροφα) αναφέρατε δύο ανάλογα ποσά παράδειγμα Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση 5χ+4 = - 3 και με την τιμή του χ που βρήκατε Να υπολογισθεί η παράσταση Α= (- 1 / ) 3χ+ +3(- 1 / 3 ) χ+1-10(- 1 / 5 ) χ+. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ ΑΓ=5, η γωνία Β = 30

5 Α Γ.30 Ο Β α) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. β) το εμβαδόν του κύκλου γ) το μήκος του τόξου ΑΓ και δ) το εμβαδόν του κ.τ. (ΑΟΒ) Γ) Μια σφαίρα βρίσκεται μέσα σε ένα κύβο και εφάπτεται των εδρών του κύβου, η ακμή του κύβου είναι 10 cm α) Να βρείτε τον όγκο μεταξύ σφαίρας και κύβου β) την επιφάνεια της σφαίρας γ) την ολική επιφάνεια του κύβου.

6 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Πώς υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων διαφόρων του μηδενός ; β) Τι πρόσημο έχει η δύναμη όταν η βάση είναι αρνητικός και ο εκθέτης φυσικός ; ΘΕΜΑ ο : α) Πότε μια γωνία λέγεται επίκεντρη και πότε εγγεγραμμένη ; β) Ποια είναι η σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο ; γ) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό ; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο 4x 3 x : Δίνεται η ανίσωση : x > α) Να λυθεί η ανίσωση και οι λύσεις να παρασταθούν στον άξονα β) Αν χ η μεγαλύτερη ακέραια λύση του ερωτήματος (α) να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 1 x 1 x x+ 1 x ( 1) + ( 007) + ( 49) ΘΕΜΑ ο : Τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 40 cm και η πλευρά του ΒΓ είναι 17 cm Αν η πλευρά ΑΒ είναι 15 8 της ΑΓ τότε : α) Να υπολογιστούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ. β) Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. γ) Να βρεθούν : ημβ, εφγ, συνβ. ΘΕΜΑ 3 ο : Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ =. (Διπλανό σχήμα ) Αν ΟΑ και ΟΒ είναι δύο ακτίνες κάθετες μεταξύ τους και Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΒ τότε : α) Να υπολογιστεί το μήκος της χορδής ΑΒ β) Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος γ) Να βρεθεί η γωνία Β Μ A (Διπλανό σχήμα )

7 Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο :α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφο του. β) Για το παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) α = ii) β = β α γ Θέμα ο α) Να δώσετε τους ορισμούς της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας. β) Τι σχέση έχει η εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη γωνία που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 ο : Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων x x + 1 x 5 7(χ+3) (3χ+5)+9 και > 3 6 Θέμα ο : Δίνονται οι παραστάσεις : Α=(3-3 ) και Β= 15 : (-) α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β. x 1 β) Να λύσετε την εξίσωση Αχ=Β+ Θέμα 3 ο : Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ και ένα σημείο Α του κύκλου τέτοιο ώστε ΑΒ=8cm και ΑΓ=6 cm. Να υπολογίσετε: α) το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κύκλου. Β) το εμβαδό μέρους του κυκλικού δίσκου που βρίσκεται έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ

8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να γράψετε το πυθαγόρειο θεώρημα και να κάνετε σχήμα. Β. Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.. Α. Τι ονομάζουμε επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία; Ποια σχέση τις συνδέει; Β. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιος είναι ο τύπος υπολογισμού της κεντρικής του γωνίας; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5χ (χ-1) = 3χ β) x x x = x 3 6 Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: χ 4 > 3χ - 8 και 3(χ-1) (1-χ) 5-4(χ-). Η διάμετρος ενός κύκλου είναι 8 cm. Να βρείτε: Α. Την ακτίνα του κύκλου και την περίμετρο του. Β. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 ο και πλευρά ΒΓ=0cm. Αν ημβ= 10 8, να βρείτε: Α. Το συνγ. Β. Την εφγ. (Να απαντήσετε σ ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων) Καλή Επιτυχία

9 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Θεωρία 1 η α.) Να γράψετε πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας (και σχήμα) β.) Να γράψετε πως μεταβάλλεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτόμενη οξείας γωνίας όταν μεταβάλλεται η οξεία γωνία. Θεωρία η α.) Να γράψετε πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα. β.)να γράψετε την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι ανάλογα και την συνάρτηση με την οποία εκφράζονται δύο ποσά που είναι αντιστρόφως ανάλογα καθώς και τι ξέρετε για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών. Άσκηση 1 η 1 y y + 4 α.) Να λυθούν οι εξισώσεις: x ( 1 x) + 13 = 0, = y. 3 6 β.) Για x = 3 και y = να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων: A = 1 y ( x + y) ( x + y) + 4 x, B = 6 4 x y + 3( x + 3 y ) Άσκηση η Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες Â, Bˆ, Γˆ είναι ανάλογες με τους αριθμούς 9, 6, 3 αντίστοιχα. α.) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με Â = 90. β.) Αν AB = 4 cm και ημ30 0 = 0, 5 να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Άσκηση 3 η Γ Έστω κύκλος ( O,ρ ) και AB διάμετρος αυτού Αν Γ ένα σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ) ο o το τόξο A Γ = 74, η χορδή ΑΓ = 6m 74 6m 8m και η χορδή B Γ = 8m. α.) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABΓ και να δικαιολογήσετε την Α 0 Β απάντησή σας. β.) Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του. 0 Από τις δύο θεωρίες θα διαλέξετε να γράψετε την μία και από τις τρεις ασκήσεις θα διαλέξετε να γράψετε τις δύο. Οι απαντήσεις να γραφούν στα φύλλα απάντησης. Διάρκεια εξέτασης ώρες.

10 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΘΕΜΑ 1 ο Α ΘΕΩΡΙΑ α). Να διατυπώσετε την πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο θεώρημα. β).να συμπληρώσετε (στο γραπτό σας ) τις παρακάτω ισότητες που προκύπτουν από το Πυθαγόρειο θεώρημα από το διπλανό σχήμα ΑΔ =ΑΒ. ΓΔ =. ΒΓ =.. ΘΕΜΑ ο 1. Πότε μια γωνία λέγεται: Εγγεγραμμένη Επίκεντρη. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μιας εγγεγραμμένης γωνίας και της αντίστοιχης επίκεντρης Δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες Δυο Κατακορυφήν γωνίες 3.Πότε δύο τόξα των 60 ο είναι ίσα Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η x = ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) ( 1) Αν να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων x x 3 Α = 3 3 +, x x 3 Β = ( ) + x ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε τις ανισώσεις 7(x + 3) (3x + 5 )+ 9 x x+ 1 x 5 > 3 6 και και στη συνεχεία να βρείτε τις κοινές λύσεις τους

11 Ποιοι από του αριθμούς 3, -, 5 είναι κοινές λύσεις; ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται o κύκλος (του διπλανού σχήματος) με κέντρο Ο και ακτίνα cm Να υπολογίσετε τις γωνίες x, ψ, ω, Το μήκος του κύκλου Το εμβαδόν του κύκλου ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε: σε ένα (1) από τα δυο () θέματα θεωρίας και σε δυο () από τις τρεις (3) ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

12 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο I. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. II. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με αυτό το Πυθαγόρειο θεώρημα ΘΕΜΑ ο 0 Γ = 90 και να γράψετε γι I. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο και ω μια οξεία γωνία του, να γράψετε με τι ισούται το ημω, συνω και εφω II. Αφού σχεδιάσετε το κατάλληλο σχήμα, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 45 ο. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ I. Να λύσετε την εξίσωση x 3 4x 1 = 5 10 (x + 1) 5 1 II. Για χ=-1, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x x 0 4 K = x + x ( 4) x 4 ΑΣΚΗΣΗ η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ=10cm.BO=OΓ και τόξο. Να βρείτε: 0 ΑΓ = 60 I. Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ II. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ III. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται κύκλος (Κ,6cm) και μια εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ=60 ο. Να υπολογίσετε I. :το μήκος του τόξου ΑΒ II. Το μήκος του κύκλου III. Το εμβαδόν του κύκλου ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε σε ένα (1) από τα δυο () θέματα θεωρίας και σε δυο () από τις τρεις (3) ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

13 Γραπτές ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Ονομ/μο μαθητή :.. Θεωρία να επιλέξετε ένα από τα δύο θέματα Θεωρίας. Θέμα 1 ο Α) Σε τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα αφού κάνετε και το αντίστοιχο σχήμα. Β) Όταν το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Γ) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; Να δώσετε ένα παράδειγμα. Θέμα ο Α) Πότε δύο ποσά θα λέγονται ανάλογα; Β) Πότε δύο ποσά θα λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; Γ) Τα ποσά χ.ψ συνδέονται με τον αριθμό α με τη σχέση α) ψ = α χ ή β) α ψ = χ σε ποια από τις δύο περιπτώσεις θα τα ονομάζουμε ανάλογα και σε ποια αντιστρόφως ανάλογα; Ασκήσεις να επιλέξετε δύο από τα τρία θέματα Ασκήσεων. Άσκηση 1 η Α Στο διπλανό σχήμα οι ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετες, ακόμη ΑΟ=40cm ΟΔ=80cm,ΔΒ=100cm, και ΟΓ=30cm. Να υπολογίσετε τις ΑΓ και ΟΒ Καθώς και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημχ= ; συνz= ; Γ x Ο 80 z Να λύσετε την εξίσωση: Άσκηση η 0 χ 7 + χ = 30 + χ 6 Β 100 Άσκηση 3η Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α.Β.Γ.Δ ορίζουν τα τόξα ΑΒ =40 0 ΒΓ =800. Να υπολογίσετε την εγγεγραμμένη γωνία X, και την επίκεντρη γωνία W. Να δικαιολογίσετε την απάντησή σας. x Κ Α w 40 Β Γ

14 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που αναφέρονται στους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων με βάση ρητό και εκθέτη ακέραιο ( κ και α,β 0 όπου απαιτείται ) : Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ α 0 = α ν α μ = α 1 = α ν :α μ = α κ = α ν β ν = α κ = α ν = β ν ( α μ ) ν = Να διατυπώσετε λεκτικά α) Το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Να λύσετε την εξίσωση: χ + 1 χ + = χ Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το ύψος υ του δένδρου. Γ Α 30 o 1 m Β υ Να υπολογίσετε α) το εμβαδόν των κυκλικών δίσκων του σχήματος. β) το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος. Δίνεται η ακτίνα του εξωτερικού και διάμετρος του εσωτερικού κύκλου ΚΒ = 4 cm

15 Α Κ Β Παρατήρηση: Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων.

16 Γραπτές ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις περιόδου Ιουνίου 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Δώστε τον ορισμό του ημίτονου και του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Â =90 o ) β)με τη βοήθεια κατάλληλου τριγώνου να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ60 o, συν60 o, εφ60 o ΘΕΜΑ ο α) Τι ονομάζεται επίκεντρη και τι εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο; β) Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό; ο πρμ γ) Να αποδείξετε ότι το μήκος τόξου μ μοιρών δίνεται από τον τύπο S=. ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η : 1 x x+ 1 + < 3 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και (4 x ) 3( x 7) x ΑΣΚΗΣΗ η Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΔ είναι υψος. να υπολογίσετε τα μήκη x, y και ω. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό σχήμα το Ο είναι το κέντρο του κύκλου, o OA=4cm και η γωνία ΓΔΒ=30. Να βρείτε: α) Το εμβαδον του κύκλου β) το μήκος του τόξου ΓΒ γ) το εμβαδο του κυκλικού τομέα ΑΟΓ

17 ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ον α) Αν το γινόμενο δυο αριθμών είναι αρνητικός αριθμός και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή τι έχετε να πείτε γι το άθροισμα τους και το πηλίκο τους ;.Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες ι) α ν α μ = ιι) α ν :α μ = ιιι) (α ν ) μ = με ν,μ φυσικούς αριθμούς ΘΕΜΑ ον Για οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ α)δώστε τον ορισμό του ημίτονου β)πως μεταβάλετε το ημίτονο γ)μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκετε το ημίτονο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ον α) Να λύσετε την εξίσωση 3 Χ=- 4 β) Για την τιμή του χ που βρήκατε στο α ) ερώτημα να υπολογίστε την παράσταση 8χ χ-1 +4χ χ +χ χ-1 ΘΕΜΑ ον Να λύσετε τις εξισώσεις α) (χ+8)-4=3(3-χ)+8 x 3 ( x) ( x 3) β) - = ΘΕΜΑ 3 ον Δίδεται κύκλος (Ο,3cm) και εγγεγραμμένη γωνία ΑΚΒ=30 Ο.Να υπολογίσετε α) το τμήμα ΑΒ β)το μήκος του τόξου ΑΒ Από τα δυο θέματα θεωρεία να γράψετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις τις δυο ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

18 ΤΑΞΗ Β ΔΕΥΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α) Θ Ε Ω Ρ Ι Α 1 ο ΘΕΜΑ α)πώς προσθέτουμε δύο ρητούς; β)πώς πολ/με δύο ρητούς; γ)δύο αριθμοί έχουν γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό. Τι συμπεραίνετε για τα πρόσημά τους; ο ΘΕΜΑ α)τι είναι το ακτίνιο (rad); β)πόσα ακτίνια έχει ένας κύκλος; γ) Αν S=πρμ/180 και Εκ τομέα= πρ μ/360 να αποδείξετε ότι Ε κ.τομέα = ½ S.ρ Β)ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η ) Αν α=5[7-(-1)]+[6:(-4)](-8)-[(-6) 4-4]: (-7) [( ) ( )] και β = να βρεθεί το α-β η ο ) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) οι κάθετες πλευρές του β, γ είναι ανάλογες των αριθμών 3 και 4 αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 36cm, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. 3 η ) Να λυθεί η ανίσωση: ( χ 1) 1 χ 3χ + 4 χ + > Α

19 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α/ Πότε μια γωνία λέγεται i/ Επίκεντρη, ii/ Εγγεγραμμένη; β/ Ποια η σχέση επίκεντρης και εγγεγραμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο; ΘΕΜΑ ο α/σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γων Α=90 ο να ορίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β β/ Όταν μεγαλώνει μια γωνία, πως μεταβάλλονται το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο x 1 3x α/να λυθεί η εξίσωση: = x β/ Αν χ η λύση της εξίσωσης, να αποδειχθεί ότι : (χ ) 1-x = 1 5 ΘΕΜΑ ο Α Β Ο Γ Στο παραπάνω σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου. Δίνεται ότι ΟΑ=ρ=10 m, OB=ρ=0 m Αν είναι γνωστό ότι ημ30 ο = 1 και 3 συν30ο =, να υπολογίσεις α/ Τις γωνίες ΑΒΟ και ΑΟΒ β/ Το μήκος του τόξου ΑΓ γ/ Το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου μεταξύ του τόξου ΑΓ και των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ ΘΕΜΑ 3 ο Αν είναι α = (-1) +(-1) 3 + (-1) 4 + (-1) 5 + (-) 1 +(-1) β= +, και γ = α + β i/ Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή των α, β, γ. αβ + γ ( α + β ) + 7 ii/ Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = α + β + γ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψετε ένα από τα δύο θέματα της θεωρίας και δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων

20 ΘΕΩΡΙΑ 1. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και να γράψετε τη σχετική μαθηματική σχέση. (Σχήμα). Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x και τι για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x + b ( x πραγματικός αριθμός ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 α.) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: ( ) 3 ( ) 100 β.) Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος: ( ) ( 1) ( 3) ( ) ( 1) Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: 7 x + 1 > x x x 1 1 x > Στο τρίγωνο ΑΒΓ, Α είναι το ύψος του ( Δ =ορθή), ΑΒ=10cm, Β =8cm και είναι ΑΒΔ = ΔΑΓ = ω. Να υπολογιστούν : α.) η Α. β.) η Γ. B 10cm ω 8cm A Δ ω Γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα από τη θεωρία και σε δυο ασκήσεις.

21 Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων Περιόδου Ιουνίου 007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΘΕΩΡΙΑ 1 ο ΘΕΜΑ: α) Πως πολλαπλασιάζουμε: i) δύο ετερόσημους ακεραίους και ii) δυο αρνητικούς ακεραίους; β) Να συμπληρωθούν οι ιδιότητες του πολλ/σμού: i) α.β = ii) 0.α =.. iii) 1.α =. iv) ( α. β ).γ =.... v) α. (β+ γ) =. vi) α.β α.γ = γ) Πότε δύο ακέραιοι λέγονται: i) αντίστροφοι και ii) αντίθετοι ο ΘΕΜΑ: α) i) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; ii) Ποιος τύπος δίνει την κεντρική γωνία ^ω ενός κανονικού ν-γώνου; β) Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν: i) Το μήκος Γ κύκλου και ii) Το εμβαδόν Ε κυκλικού δίσκου, επεξηγώντας κάθε σύμβολο. γ) Γράψτε τους τύπους που μας δίνουν: i) Το μήκος S τόξου μ ο και ii) Το μήκος Ε κυκλικού τομέα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η : Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στον άξονα: x x 3 x η : 7x 3 > 3 (x - ) +.( 3 x ) Στο διπλανό ορθογώνιο τριγ. ΑΒΓ ( Α = 1 ) είναι: ΑΒ = 1 cm, ΒΓ = 13cm, ΑΔ: ύψος, ΔΑΓ = 4 ο. Γ Δ Να υπολογισθούν: i) Η πλευρά ΑΓ = ; ii) Το ύψος ΑΔ = ; Δίνονται: ημ 4 0 = 0,669 συν 4 ο = 0,743 εφ 4 ο = 0,900 Α Β 3 η : Στο διπλανό σχήμα είναι: ΒΔ = 40 ο και ΓΕ = 64 ο ^ ^ ^ Να υπολογισθούν οι γωνίες: i) χ = ; ii) ψ = ; iii) ω = ; Γ 64 ο Ε χ ψ ω Α Ο Β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντάτε σε 1 θέμα θεωρίας και λύνετε ασκήσεις. 40 Ο Δ

22 ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες του ορισμού δύναμης με βάση ρητό και 0 εκθέτη ακέραιο: i) α = ii) 1 ν ν α =... iii) α =... ιv) α =... β) Να συμπληρώσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων: i) μ. α ν μ α =... ii) α : α ν =... ν α iii) ν. β ν μ ν α =... iv) =... v) ( α ) =... ν β ΘΕΜΑ ο α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ( σχήμα και τύπος) β) Σημειώστε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) σε κάθε μια από τις παρακάτω ισότητες i) α + β = γ ii) α = β γ iii) γ = α + β iv) β v) β = = γ α γ α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης χ 3χ ψ χ ψ ψ χ αν χ= και ψ= -1 Α= ( ) [ ( )] ΘΕΜΑ ο Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων χ ( 3 χ ) < 5 ( χ 1) και χ 1 χ 3 11 χ + < ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΒ=6cm, ΒΓ=cm και ΑΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χώρου.

23

24 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1. ΤΑΞΗ Β Θέματα προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου στα Μαθηματικά α) Να διατυπώστε το πυθαγόρειο Θεώρημα και να γράψετε την μαθηματική σχέση αυτού για ένα τρίγωνο ΚΛΜ όταν Α = 90. β) Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 5cm, 13cm, 1cm. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πού στηριζόσαστε; Θέμα. α) Να δοθεί ο ορισμός της νιοστής δύναμης ενός ρητού αριθμού α για ν 1. Τι γίνεται για ν = 0 και ν = 1; ν β) Πώς μπορούμε να καθορίσουμε το πρόσημο της δύναμης α ; γ) Να συμπληρωθούν οι ισότητες : μ ν α α = K, α β μ μ = K ν, = K, μ α ( α ) = K ν ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι όταν a = 8 [ ]:( 5) 3 3 ( 3+ ) ( ) ( 1) 3 β = 3 4 ( 1) : + ( 13). Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων Χ Χ 3 Χ (Να δοθεί η λύση και στον άξονα) και ( 3 Χ + 1) Χ 3( Χ + 1) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=8cm, ΑΓ=6cm. Με διάμετρο την ΒΓ έχει γραφεί ημικύκλιο. Να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδό της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. Οι εισηγητές

25 Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: β Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Γράψτε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό. β) Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων: μ ν i. α.α = ii. α μ :α ν = iii. ( ) ν ν α μ = iv. ( α.β ) ν α = v. = β vi. α -ν = ΘΕΜΑ ο : Να διατυπώσετε και να γράψετε τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος για ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α =1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν x=4 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=4. x x x-5 + -x ( 8-3x )... Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: x-1 x 4- ( x-1 ) >x+3 και Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σχήματος έχει μήκος Γ=10πcm. Να υπολογίσετε: i) την ακτίνα του κύκλου ii) το μήκος της χορδής ΑΒ iii) το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. Ν Α κ Μ Β Γ Λ

26 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο i. Πώς υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων; ii. Αν οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι και γ, δ είναι αντίθετοι τι πρόσημο έχει το γινόμενο α*β*γ*δ; Θέμα ο i. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α; ii. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τα παρακάτω : Α) ( a ) = α Β) a = β τότε το α=β Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η : 1 x x 7x i. Να λυθεί η εξίσωση : = 3 6 ii. Το χ = 4 είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης; η : i. Αν Α=-3 +*[-3+(-+5)]-[- + (-3) 3 ] : (-) 0 και Β=(- ) -5 * ( ) -7 1 * (1-3 3 )-1 να υπολογιστούν οι παραστάσεις Α και Β. 3 η : Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΒΓ με Γ ^ =30 ο και ΑΒ = 5cm. Να βρεθεί : i. Η ακτίνα του κύκλου. ii. Το μήκος του τόξου ΑΓ. iii. Η παράσταση (ημβ) + 4*(συνΒ) -1 (εφβ) Α Β Ο Γ

27 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΤΑΞΗ Β ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; β) Αν δύο ποσά χ, ψ είναι ανάλογα τότε ποια είναι η συνάρτηση που τα συνδέει και τι παριστάνει η συνάρτηση αυτή στο σύστημα αξόνων; ΘΕΜΑ Ο : α) Γράψτε τον αριθμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό α ν β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες δυνάμεων: Ι) α ν.α μ = ΙΙ) = ΙΙΙ) (α ν ) μ = ΙV) (α.β) ν = V) α 0 = VΙ) α ν = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με =90 0 και ΑΓ= 4 cm, ΑΒ=3 cm και ΒΓ= 5 cm. α) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 007 ( εφβ) ) α) Να λυθεί η εξίσωση : Χ= + β) Για την τιμή του Χ που λύνει την προηγούμενη εξίσωση να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= Χ X 007 Χ

28 3) Στα παρακάτω σχήματα να βρεθεί η πλευρά Χ των τριγώνων ΑΒΓ και ΚΛΜ αν είναι γνωστό ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5cm Β Χ 6 Μ Χ A 3 Γ Κ ρ Ο ρ Λ 3

29 Θέματα Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου ΙΟΥΝΙΟΥ Στα Μαθηματικά τάξη Β Α ΘΕΩΡΙΑ 1 α) Δώστε τον ορισμό ημιτόνου συνημίτονου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου (σχήμα). β) Να δικαιολογήσετε γιατί το ημίτονο και το συνημίτονο είναι θετικοί αριθμοί μικρότεροι της μονάδας. α) Δώστε τον ορισμό της δύναμης α ν, με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν>1 β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α ν : α μ =, (α ν ) μ =, γ) Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω ισότητες τις παρακάτω ισότητες:,, Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να λυθεί η εξίσωση x Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον κύκλο, όπου η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου και Α σημείο του κύκλου, με ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm. Να βρεθούν το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. 3 Να υπολογισθεί η τομή της παράστασης: αν α=1 και β= 1 1

30 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α. Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; β. Αν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε οι τιμές ψ του ενός με ποια σχέση εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών χ του άλλου και ποια είναι η γραφική της παράσταση; γ. Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα σωστό (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή και λάθος (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i) Το μήκος ενός υφάσματος και η τιμή του δεν είναι ποσά ανάλογα ii) Η ηλικία ενός αγοριού σε έτη και το ύψος του σε cm είναι ανάλογα iii) Η περίμετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του είναι ανάλογα Θέμα ο α. Να γράψετε με πόσο ισούται το μήκος: i)κύκλου ακτίνας ρ ii) τόξου μ ο ενός κύκλου ακτίνας ρ β. Τι είναι το ακτίνιο; Με πόσο ισούται το μήκος S ενός τόξου α rad κύκλου ακτίνας ρ; Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1ο Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων χ + χ +1 3(χ-3) + χ > 7χ 13 - < χ χ +1 6 Θέμα ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ο ) είναι ΑΒ=3cm και ΒΓ=5cm. Να βρεθούν: i) Η πλευρά ΑΓ ii) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β(ημΒ, συνβ, εφβ) Θέμα 3 ο Να υπολογίσετε τον όγκο ενός κυλίνδρου του οποίου το ύψος είναι 10cm (υ=10cm) και η ακτίνα της βάσης του είναι το 5 1 του ύψους του. Παρατήρηση: από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τα τρία θέματα ασκήσεων στα δύο.

31 Τάξη: Μάθημα: Β Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1 α) Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θέμα α)να δοθεί ο ορισμός της επίκεντρης γωνίας και της εγγεγραμμένης γωνίας ; Ποια είναι η μεταξύ τους σχέση; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 A) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= (-1) -6 + (-1) -3 + (-1) 0 + (-1) 3 + (-1) 6 Β=(-+3) + 3(- 1 ) 3 + (-3-1) 4 B) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης Α= - (-8+ψ+χ) + [ χ - (1+χ) ] [- (χ +ψ)+ 10 +χ ] +χ+6 είναι ανεξάρτητη από τους αριθμούς χ, ψ. Θέμα A) Να λύσετε την εξίσωση χ χ χ + + = χ Θέμα 3 ο Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) είναι ΑΒ=8 cm και ΒΓ=10 cm. Να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη των οξειών γωνιών του.

32 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1o α)τι ονομάζουμε δύναμη με βάση τον ρητό αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν >1 ; β)με την βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με το ίσο του της Στήλης Β.Οι μ,ν είναι φυσικοί αριθμοί και οι α,β ρητοί διάφοροι του μηδενός. Στήλη Α Στήλη Β μ ν μ ν 1.α. α i. a μ μ +ν a ii.α. ν α μ ν 3. ( α ) iii.α μ.ν 4. α ν. β ν ν α iv. ν β ν α v.(α.β) ν 5. β 0 6. a Στην στήλη Α περισσεύει μια γραμμή. ΘΕΜΑ o α)να διατυπώσετε την πρόταση που λέγεται Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με την γωνία Β=90 ο να απαντήσετε Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις : I. ΑΒ =ΑΓ ΒΓ II. ΒΓ =ΑΒ + ΑΓ ΑΣΚΗΣΗ 1 η α)να λύσετε την ανίσωση: B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ x x x 1 + f x 3 3 β)να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό ο οποίος αποτελεί λύση της ανίσωσης.

33 ΑΣΚΗΣΗ η Μια κυλιόμενη σκάλα ΑΒ συνδέει το ισόγειο με τον 1 ο όροφο ενός καταστήματος.η κλίση της σκάλας είναι 44,5% και το μήκος της είναι 10m. Με την βοήθεια του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών καθώς και των τύπων οι οποίοι δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε: α) πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΒΓ β) την οριζόντια απόσταση ΓΒ των σημείων Γ και Β γ) το ύψος ΑΓ του 1 ου ορόφου του καταστήματος. Α Γ Β ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο παρακάτω σχήμα έχουμε μια μηχανή που κόβει (κουρεύει) το χόρτο σε κήπους.να βρείτε : α)πόση επιφάνεια χόρτου κόβει σε μια πλήρη περιστροφή β)πόσες περιστροφές θα κάνει για να κόψει το χόρτο ενός ορθογώνιου κήπου με διαστάσεις 30m και 0,41m. ΟΔΗΓΙΑ: Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα της θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων.

34 ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1 Ο α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος ΘΕΜΑ Ο α. Αν ω είναι οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, να δώσετε τον ορισμό των: ημω, συνω, εφω. β. Πως μεταβάλλεται το ημω και το συνω μιας γωνίας όταν αυτή ελαττώνεται; ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) Α= [-3-8 -( -3) 3 ]+ (-5) - 48 β) Β= - 5(α - 1) - (3 - α) + (4-3α). Να λυθεί η εξίσωση: 3 x 1 x 5 5x + 1 = Στο σχήμα η ΑΒ διάμετρος ΑΜ=6cm και ΜΒ=8cm. i) Τι είδους γωνία είναι η AMB και γιατί; ii) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. iii) Να βρείτε το μήκος του κύκλου. iv) Να βρείτε την εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

35 Θ Ε Μ Α Τ Α Θ Ε Ω Ρ Ι Α Θ Ε Μ Α 1 0 α) Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση ρητό αριθμό και εκθέτη φυσικό; β) Ποιο το πρόσημο δύναμης με βάση αρνητικό αριθμό; γ) Να συμπληρωθούν οι ισότητες : α μ α ν =, (α μ ) ν =, (α β) ν =, α 0 =, α -ν = Θ Ε Μ Α 0 α) Με την βοήθεια του πιο κάτω ορθογωνίου τριγώνου να ορισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημω, συνω, εφω. β) Πώς μεταβάλλεται το ημω και το συνω όταν η οξεία γωνία αυξάνεται ; Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α 1 0 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων ( αν υπάρχουν ) : χ 1 χ 1 3 και - χ χ Θ Ε Μ Α 0 Στο πιο κάτω σχήμα το τετράγωνο ΑΓΔΕ έχει εμβαδό 16τ.μ. και η πλευρά ΒΓ = 5μ. (i) Να υπολογισθούν οι πλευρές ΑΓ και ΑΒ. (ii) Να βρεθούν τα ημβ, συνβ, και εφβ. Θ Ε Μ Α 3 0 Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται : ΑΓ διάμετρος, γωνία ΒΑΓ = 50 0, ΑΕ = ΔΓ τόξο ΔΓ = Να υπολογισθούν : (i) Οι γωνίες : χ και ψ. (ii) Τα τόξα : ΑΕ και ΔΕ. (iii) Οι γωνίες : ω και ρ. (Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις )

36 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΗΜ/ΝΙΑ: 6/6/07 ΘΕΩΡΙΑ 1. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα με λόγια και με μαθηματική σχέση, επεξηγώντας με σχήμα.. α) Με ποιον τρόπο υπολογίζουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων; β) Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη ακέραιο. 0 ν μ ν μ α = α =... α α =.. α : α ν =... ν α =... =... β ( β ) ν α μ ν ( α ) =... ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων: ( ) Α = και Β = ( ) + ( 007) Να λύσετε την εξίσωση: x 3 x 1 3x 4 x + = Έστω ένας κυκλικός τομέας 45 ο ακτίνας ρ=10 cm. α) Να βρείτε το μήκος του τόξου και το εμβαδό του κυκλικού τομέα. β) Αν θέλαμε να φτιάξουμε αυτό το σχήμα από χαρτόνι και χρησιμοποιούσαμε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς 10 cm, πόσο χαρτόνι θα μας περίσσευε; 6 Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα. Να απαντήσετε σε 1 από τα θέματα θεωρίας και σε από τις 3 ασκήσεις. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Η ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ

37 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ν ΘΕΩΡΙΑ 1: α)τι ονομάζεται δύναμη α με α ρητό και ν φυσικό αριθμό ; β)να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: μ μ ν α μ ν ι) α α =... ιι) =... ιιι) ( α ) =... ν α ν ν ν v ι ) α =...,( α 0) v) α β =.... ΘΕΩΡΙΑ:α)Τι ονομάζεται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; β)πώς μεταβάλλονται το ημίτονο,το συνημίτονο και η εφαπτομένη όταν η οξεία γωνία αυξάνεται; ΑΣΚΗΣΗ 1: Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: χ + χ + 10 χ 1 5 χ + 7 3χ + 11 και < ΑΣΚΗΣΗ :Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο(α=90 0 ). και το εικονιζόμενο ημικύκλιο έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ: Αν ΑΓ=16cm, AΒ=1cm. ι) Nα υπολογίσετε την ΒΓ ιι) την περίμετρο και ιιι) το εμβαδό της γρομμοσκιασμένου σχήματος. Γ 16cm A 1cm 3 ΑΣΚΗΣΗ 3: Το ύψος ενός κώνου είναι 8dm και η ακτίνα της βάσης του είναι τα του ύψους του. 4 B Να υπολογίσετε :ι)τη γενέτειρα του ιι)το εμβαδό της ολικής του επιφάνειας ιιι) τον όγκο του. (Eπιλέγετε 1 θέμα θεωρίας και ασκήσεις)

38 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β. ΤΑΞΗΣ Α/ΘΕΩΡΙΑ 1α) Να δώσετε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό. 1β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες. (α ν ) μ =., (α/β) ν =, α ν.α μ =, α ν / α μ =, α 0 = Β /ΘΕΩΡΙΑ α) Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; β) Ποια συνάρτηση συνδέει δυο ανάλογα ποσά και ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Δίνονται οι ανισώσεις : 4x x 1 5 < χ χ -(5-χ) 3χ-1 4 α) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων. β) Η τιμή χ= 1 συναληθεύει τις ανισώσεις αυτές; ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ. ΑΒ=14cm, ΒΓ=ΑΔ=5cm και ΓΔ=0cm. α) Να βρεθεί το ύψος ΒΛ του τραπεζίου. β) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ) της γωνίας Γ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΛ. Α 14cm Β 5cm 5cm Δ Κ Λ Γ

39 Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε α) το εμβαδόν και β) την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου τμήματος ΑΟΓ. Δίνεται 0Α=ρ=4cm και ΟΒ=ΒΓ=cm. Α ρ=4 Ο Β Γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

40 ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Πώς βρίσκουμε την κεντρική του γωνία; β) Δώστε τους τύπους υπολογισμού του μήκους τόξου ενός κύκλου καθώς και του εμβαδού κυκλικού τομέα. γ) Τι είναι το ακτίνιο ή rad;. α) Πώς ορίζεται η δύναμη α ν ; β) Συμπληρώστε τις ισότητες: i) α μ.α ν = ii) (α.β) ν = iii) α 0 =.. iv) (α ν ) μ =. v) α -ν = vi) α 1 = γ) Πώς μπορούμε να απαλείψουμε μία παρένθεση που έχει μπροστά το και πώς όταν έχει μπροστά το +; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 1χ-1=5χ+6 και β) 3 x x 1 5 = + 3.Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση το χ: ε 1 //ε ΑΒ=ΑΓ 3. α) Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών του παρακάτω ορθογωνίου τριγώνου. Δίνονται: ΑΒ= 4mm, ΑΓ=7mm, ΒΓ=5mm Γ Α Β β) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του παρακάτω ορθογωνίου τριγώνου:

41 Δίνεται: εφ37 0 =0,75 ΑΒ=8cm Β ) =37 0 Β 8cm Α Γ ΝΑ ΓΡΑΨΕΤΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

42 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Διατυπώστε το αντίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Β) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; ΘΕΜΑ Ο Α) Τι λέγεται απόσταση ενός σημείου εκτός επιπέδου απ το επίπεδο; Β) Τι ονομάζουμε κανονική πυραμίδα; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να γίνει απαλοιφή παρενθέσεων στην παράσταση Α=3-[α-(β-χ)]-(y-α)-(β-1) Β) Να υπολογιστεί η αριθμητική της τιμή όταν x+y=-6 ΘΕΜΑ Ο Να λυθεί η εξίσωση: x = x x 3 ΘΕΜΑ 3 Ο Στο σχήμα να υπολογιστεί η γωνία χ όταν η ευθεία ε είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο Α.

43 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΩΡΙΑ 1. i) Πότε μια γωνία λέγεται επίκεντρη; ii) Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη; iii) Ποια η σχέση μεταξύ της εγγεγραμμένης και της αντίστοιχης επίκεντρης;. i) Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη ενός ρητού α σε εκθέτη φυσικό ν μεγαλύτερο του 1. ii) Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη ενός ρητού α 0 με εκθέτη αρνητικό ακέραιο και πως με εκθέτη μηδέν. iii) Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμενων: α) α μ α ν =. δ) (α β) ν =. μ α β) =... ν α ν μ γ) ( α ) =... ν α ε) =... β ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: x 8 x 4 x 4 = 3 4. Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΑΔ=1, Α ΒΔ=9, ΔΓ=16. i) Να υπολογισθούν οι ΑΒ, ΑΓ ii) Να υπολογισθεί το 1 ημίτονο, συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας Γ. iii) Να Β αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι 9 Δ 16 Γ ορθογώνιο Α α Β 3. Το μήκος του κύκλου είναι 1,56 cm. Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. i) Να υπολογισθεί η πλευρά α του τετραγώνου. ii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους α Ο Ζ iii) να υπολογισθεί το μήκος του τόξου ΕΖ και το Δ Γ Ε εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΕΖ. α α 1

44

45 ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών ανακεφαλαιωτικών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου Ιουνίου 007 στα Μαθηματικά. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. γ) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; ΘΕΜΑ Ο : α) Πότε μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη; β) Ποια είναι η σχέση της εγγεγραμμένης γωνίας προς την επίκεντρη που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο; γ) Πότε ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό; ΘΕΜΑ 1 Ο : Να λύσετε την εξίσωση ΑΣΚΗΣΕΙΣ x 8 x 5 x 4 7 =. 3 4 ΘΕΜΑ Ο : ΘΕΜΑ 3 Ο : Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ = 90 ) έχουμε ΑΒ=3cm και ΑΓ=4cm. α)να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β ημβ( συνβ) ( εφβ) 1 β)να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ=. 100 ( εφβ) 4 Στο παρακάτω σχήμα το ΒΓ είναι διάμετρος ΑΒ=8cm, ΑΓ=6cm. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

46 ΘΕΩΡΙΑ: ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. α) Να μεταφέρετε τις παρακάτω ισότητες στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τα κενά. α 1 =..., α 0 =..., α -ν =... β) Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω ισότητες: i) α = (-α) ii) α 3 = (-α) 3 iii) α 5 = -α 5. Δίνεται κύκλος ακτίνας R. Να αντιστοιχίσετε στην κόλα σας τους τύπους της ης γραμμής του παρακάτω πίνακα στην 1 η γραμμή. 1 η Μήκος κύκλου Εμβαδόν κύκλου Μήκος ημικυκλίου Εμβαδόν ημικυκλίου ης πr πr πr πr/ πr / ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 1. Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: α) β) χ 4 + χ 3 + χ + χ 1, όταν χ = 1. Τα σπίτια τριών φίλων έχουν τις θέσεις Α, Β, Γ του παρακάτω σχήματος. Να υπολογίσετε την απόσταση του σπιτιού του Α, από το σπίτι του Β. Α Β 150 m 170 m Γ 3. Όπως γνωρίζετε ο ετήσιος βαθμός κάθε μαθήματος υπολογίζεται από το μέσο όρο των τριών τριμήνων και του γραπτού του Ιουνίου. α. Αν μία μαθήτρια είχε στα μαθηματικά, στο Α τρίμηνο 16, στο Β 18, στο Γ 19 και γράψει 15, ποίος θα είναι ο βαθμός της; β. Να υπολογίσετε αν θα μπορούσε η παραπάνω μαθήτρια γράφοντας καλύτερα να βγάλει ετήσιο βαθμό ( Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις γράφετε τις δύο. Τα θέματα όλα είναι ισοδύναμα).

47 ΘΕΜΑ 1 Ο ΘΕΩΡΙΑ A Γράψτε τους ορισμούς της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο,ρ) Β. Ποία σχέση συνδέει την επίκεντρη και την εγγεγραμμένη πού έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο ; Γ. Ποία σχέση συνδέει την εγγεγραμμένη γωνία και το αντίστοιχο τόξο της; ΘΕΜΑ ο Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) α -ν =.. ii) α μ.α ν =. iii) α μ /α ν = μ>ν iv)(α.β) ν =. Β. Να διατυπώσετε με λόγια τις ιδιότητες: ii), iii), iv) του ερωτήματος Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1: Δίνονται οι ανισώσεις 3χ+(χ+)<7(χ+3)-5 και x +1 x 5 x >χ α.να λυθούν οι ανισώσεις β.να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. ΘΕΜΑ : Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΒΓ και ένα σημείο Α του κύκλου τέτοιο Ώστε ΑΒ=16cm καιαγ=1cm. Να υπολογίσετε: α. Το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κύκλου β. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β γ. Να υπολογίσετε το μέρος του κυκλικού δίσκου που βρίσκεται έξω από το τρίγωνο ΘΕΜΑ 3: Δίνεται η συνάρτηση ψ=αχ+3 η οποία παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α (1,1). α. Να βρεθεί η τιμή του α β. Για α= - i. Να βρεθούν τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες χ χ και ψ ψ ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. iii. Διέρχεται η παραπάνω ευθεία από το σημείο Β(, -1) ; ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

48 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Τι ονομάζουμε δύναμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη φυσικό ν>1 (α ν ); B) Ποιο είναι το πρόσημο δύναμης με βάση αρνητικό αριθμό; Γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α μ.α ν = (α.β) ν = α ο = (α μ ) ν = α -ν = ΘΕΜΑ Ο Α) Ποια γωνία ονομάζεται επίκεντρη και ποια εγγεγραμένη σε κύκλο (ο,ρ) ; Β) Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στην εγγεγραμμένη γωνία και την επίκεντρη που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο; Γ) Να γράψετε για ένα κύκλο (ο,ρ) τους τύπους για το μήκος κύκλου και το μήκος τόξου μ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ α + 1 α Α) Να λυθεί η εξίσωση: α = 4 3 χ χ Β) Αν η τιμή του α=1, να λυθεί η ανίσωση : < α 3 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α =90 ο δίνεται ότι ημ Β = και 5 η πλευρά ΑΓ=6cm Α) Να βρείτε την πλευρά ΑΒ του τριγώνου Β) Να βρεθούν το συν Β και η εφ Γ και να επαληθευθεί η σχέση (ημ Β ) + (συν Β ) = 1 3. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΒΓ και οι πλευρές ΑΒ = 8cm, ΑΓ= 6cm

49 Να βρείτε : Α) Την ακτίνα του κύκλου διαμέτρου ΑΒΓ Β) Το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου Γ)Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος

50 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Γράψτε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό Β. Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων: i) α μ α ν =.. ii) α μ / α ν =.. iii) (α μ ) ν =.. iv) (αβ) ν = v) (α/β) ν =. ΘΕΜΑ ο Α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Ποια συνάρτηση συνδέει δυο ποσά χ,y που είναι ανάλογα και τι παριστάνει αυτή στο σύστημα αξόνων; ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να λυθεί η ανίσωση 3(Χ+1) Χ -1 Χ > ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β. Να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις της ανίσωσης και να ελέγξετε αν ο αριθμός Χ= -1 αποτελεί λύση της παραπάνω ανίσωσης ΑΣΚΗΣΗ η Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ, Α=Δ=90 ο ισχύουν ΑΒ =1cm, ΒΓ=5cm, ΓΔ=8cm. Α Γ Δ E B Α. Να βρεθεί το ύψος ΓΕ του τραπεζίου Β. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας Β. ΑΣΚΗΣΗ 3 η

51 Να βρεθούν τρείς αριθμοί x,y,z που είναι ανάλογοι του 7 του 8 και του 1, αν το άθροισμά τους είναι 81. ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

52 ΤΑΞΗ Β ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 0 Α. α) Να συμπληρώσετε τα κενά : i) Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το. του αριθμού που έχει την.. απόλυτη τιμή ii) Αν ένα γινόμενο πολλών παραγόντων περιέχει.. πλήθος.. παραγόντων, τότε το γινό μενο είναι θετικό. β) i) Για τους αριθμούς α,β ισχύει α+β = 0. Από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι ή Α: α,β αντίστροφοι, Β: α=0 και β# 0, Γ: α,β αντίθετοι, Δ: α # 0 και β=0 Ε:α,β ομόσημοι ii) Για τους αριθμούς α,β ισχύει ότι α. β = 1. Από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι ή Α: α = 1 και β # 0, Β: α,β αντίθετοι, Γ: α = 0 και β # 0, Δ: α.β αντίστροφοι, Ε: α,β ετερόσημοι. Β. α) Ελέγξτε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή η λάθος. Βάλτε σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα Αν α.β > 0, τότε οι αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι Σ. Λ Αν β a < 0 με β # 0, τότε οι αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι Σ. Λ Αν α,β ομόσημοι αριθμοί και α.β.γ < 0, τότε γ > 0 Σ. Λ β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β το χαρακτηρισμό Σ (σωστό) η Λ (λάθος). Οπου βάλετε λάθος, να συμπληρώσετε στη στήλη Γ τη σωστή απάντηση ΣΤΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ (χ-ψ)-(α-β)=χ-ψ-α+β Σ.Λ -(χ-ω)-(-χ-ψ)=ω-ψ Σ. Λ α-β+γ= -(-α)-(β+γ) Σ. Λ -3(χ-5ψ)= -3χ+15ψ Σ. Λ -5χ+10ψ-15ω= -5(χ-ψ-3ω) Σ. Λ Γ. α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α ν.α μ =, α ν.β ν =.., α ν :α μ ν a =, ν =.., (α ν ) μ =..,α -ν = β β) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες να συμπληρώσετε τα κενά 4 ( ) = 0 1, (-) = - 8 ΘΕΜΑ = 3 14, 5. =10 3, 7 8 : 7 = 7 5, [ ] Α. α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και να το εφαρμόσετε σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Γ= 90 ο. β) Ενός ορθογωνίου τριγώνου η υποτείνουσα έχει μήκος 13cm και η μια κάθετη πλευρά του έχει μήκος 1cm. Να βρείτε το μήκος της άλλης κάθετης πλευράς. Β. α) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. β) Να ελέγξετε αν ένα τρίγωνο που έχει πλευρές cm, 13 cm,και 3cm μπορεί να είναι ορθογώνιο. Γ. α) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες που αναφέρονται στο σχήμα είναι σωστές και ποιες

53 Β Δ ΑΒ +ΒΔ =ΑΔ, ΑΔ +ΔΓ =ΑΓ, ΒΓ -ΑΓ =ΑΒ ΑΒ +ΑΓ =ΑΔ, ΑΒ -ΒΔ =ΑΔ, ΑΓ -ΑΔ =ΔΓ Α Γ (ΑΔ ύψος) β) Να αντιστοιχήσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 0 δεν υπάρχει ΘΕΜΑ 1 0 ΘΕΜΑ ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις : x x x 1- > + και 19- (χ+9) < 8 ( χ 1) α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνία Α=90 ο ), να δείξετε ότι : ημγ + συνβ i) = εφγ ii) ημβ +συνβ = ημγ + συν Γ. συνγ + ημβ β) Αν στο ορθογώνιο αυτό τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι ΑΒ=9cm και ΑΓ=1cm, να υπολογίσετε το ημβ και συνγ. Τι παρατηρείτε ; ΘΕΜΑ 3 Ο Β Μ Ο Μ Γ Στο σχήμα είναι γωνίαμ=30 Ο και ακτίνα ρ=6cm. α) Να βρείτε το μήκος του τόξου ΒΜΓ. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΒΜΓΒ

54 Α ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1 ο α) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ) και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας Β. γιατί; β) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου οξείας γωνίας και γ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 60. ΘΕΜΑ ο α) Να συμπληρώσετε τις παρούσες ισότητες : ν μ i) α α = ν μ ii) α : α = 0 iii) α = ν iv) (α ) μ ν 007 = v) α = vi) (-1) = 006 vii) -1 = β) Δυο αριθμοί έχουν γινόμενο αρνητικό και άθροισμα αρνητικό. Τι συμπεραίνετε για τα πρόσημα και τις απόλυτες τιμές τους; (Από τα θέματα της θεωρίας θα απαντήσετε στο 1) Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΣΚΗΣΗ 1 η 3 : Να δείξετε ότι οι τιμές των παραστάσεων α=(-) (+1)-10:(-), β=( ) +(-1) 4 - ( 3 4 ) είναι α=3 και β= Στη συνέχεια να υπολογίσετε την παράσταση (α+β) -(α β) 5 -α +β 0 1 ΑΣΚΗΣΗ η : Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων x x x > 5 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η και 3( x 1) x + +1>x- 3 : Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης 6 cm και παράπλευρο ύψος h=5 cm α) Να υπολογίσετε τον όγκο της. β) Αν η πλευρά της βάσης διπλασιαστεί ποια μεταβολή θα έχει ο όγκος της πυραμίδας; (Από τις 3 ασκήσεις θα λύσετε τις ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

55 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά.. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες των δυνάμεων: ν α) α = (με ν >1) 0 β) α =. (με α 0) 1 γ) α =. δ) α -ν =.. μ a στ) ν α =. (με α 0) ν ζ) (α β) =.. α ν η) ( ) =. (με β 0) β θ) (α μ ) ν = ε) α μ α ν =... α) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β) Γιατί δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1. 0 =... ( α ) =.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 5 + [(-3) -(-1)]-[-+(-8):(+4)]-6 (-7)+ Β = - (-5+7-1)+(3-5+8) (-+3)+5 (-5) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β και στην συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = Α Β -.. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, 8 Α 6 Γ

56 A με =90 0, ΑΒ=8 cm και ΑΓ=6cm, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.. α) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ β) Να υπολογίσετε το ημ Γ γ) Να υπολογίσετε το συν Γ δ) Να υπολογίσετε την εφ Γ ε) Να υπολογίσετε το άθροισμα: (ημ Γ ) + (συν Γ ). 3. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με AB=10 cm Α και ΒΓ=15 cm και έστω Ε το μέσο του ΑΒ. Στο εσωτερικό του ορθογωνίου γράφουμε το ημικύκλιο (Ε,5cm) και το τεταρτοκύκλιο (Γ,5cm) το οποίο τέμνει τις E H πλευρές ΒΓ και ΓΔ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Β Z Γ β) το εμβαδό του ημικυκλικού δίσκου (Ε,5cm) γ) το εμβαδό του κυκλικού τομέα (Γ.ΖΗ). δ) το μήκος του ημικυκλίου ΑΒ ε) το μήκος του τεταρτοκυκλίου ΖΗ στ) το εμβαδό και την περίμετρο της γραμμοσκιασμένης μεικτόγραμμης επιφάνειας ΑΒΖΗΔΑ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ.

57 Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 στα Μαθηματικά τάξη Β' Θεωρία 1 η ) α. Να γράψετε τον ορισμό της δύναμης ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ι) ( α ^ν )^μ=. ΙΙ) α^μ/α^ν=. ΙΙΙ) ( αβ )^ν=. η ) Αν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ο ) τότε Ι) να συμπληρώσετε τις ισότητες ημγ=. συνγ=. εφγ=.. ΙΙ)να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο στα παρακάτω (<, >, =) ημ60 ημ70, συν30.συν40, εφ50..εφ40 Ασκήσεις 1 η ) Δίνονται οι παραστάσεις Α=(-)^x + (-1)^x+5 και Β=(x-)^5 + (5-x)^ Αν x= τότε Ι) να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β ΙΙ) να υπολογίσετε την παράσταση Α^-Β+ΑΒ η ) Να λυθεί η εξίσωση 3 η ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χώρου αν γνωρίζετε ότι τα τις τιμές των τόξων ΑΒ=90 o, ΒΓ=50 o, ΓΔ=100 o και η ακτίνα ρ=cm

58 ΘΕΜΑΤΑ Θεωρία Θέμα 1 ο Να συμπληρώσετε τους παρακάτω ορισμούς και ιδιότητες των δυνάμεων : α ν =. α 0 = α 1 =. α -ν =. α ν *α μ =. (α*β) μ =. (α ν ) μ =. α μ :α ν =. Θέμα ο Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ασκήσεις Άσκηση 1 η : Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων : Α= (+1) 1 -(+1) +(+1) 3 -(+1) 4 Β= (-1) 100 +(-1) 101 +(-1) 00 +(-1) 01 Άσκηση η : Να λυθεί η εξίσωση : 3(χ-5)=(χ+7)-14 Άσκηση 3 η :Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90 ο ). Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω σχέσεις : α) ημβ=συνγ Β) ημ Β+ημ Γ=1 Να απαντήσετε σ ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

59 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1) Α) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα. ( να γίνει και σχήμα ) B) Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων ενός ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό. ) A) Ποια γωνία ονομάζεται επίκεντρη, ποια εγγεγραμμένη. Υπάρχει σχέση μεταξύ τους και πότε ; Β) Να ορίσετε σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â= 90 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να γίνουν οι πράξεις και να υπολογιστεί η παράσταση : A= 1 + ( ) : Γ 1 ) ) Να λυθεί η εξίσωση : 1 x x x = ) Να βρείτε το εμβαδόν και τη περίμετρο του κυκλικού δακτυλίου στο σχήμα. ( δίνονται OA= 10 cm, OB= 0 cm και π = 3,14 ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντηθεί μόνο το ένα και από τις τρεις ασκήσεις μόνο οι δύο

60 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; ΘΕΜΑ Ο Α) Πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα; Β)Τι είναι κλίμακα ; Πότε έχουμε σμίκρυνση και πότε μεγέθυνση; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων i) Α= 5 [1+ 8 : ( - )] 3 (6 4 3) ii) Β= (04-x) x- (- x) x + 5 x-1 + x -1 +(1-x) 007, όταν x= iii) 3 B -1 - A 3 A, B οι τιμές των παραστάσεων των ερωτημάτων i),ii) αντίστοιχα. ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση : x + 1 x + 3 x = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο παρακάτω σχήμα ΑΒ = ΑΓ και ΒΓ=10cm διάμετρος του κύκλου.nα βρείτε: i) Πόσων μοιρών είναι κάθε ένα από Α τα τόξα ΑΒ, ΑΓΒΓ, ii) Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ iii) Την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ Δίνονται: ημ30 ο =0,5 συν30 ο 0,866 Β Ο Γ εφ30 ο 0,577 Nα απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

61 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Α) α)δώσατε τον ορισμό ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. β)όταν η γωνία αυξάνεται η εφαπτομένη τι κάνει; Β) α)ποια ποσά λέγονται ανάλογα; β)ποια ποσά λέγονται αντίστροφα; γ)ποια σχέση συνδέει δύο ανάλογα ποσά x,y; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) α)να λυθεί η εξίσωση: x 11 x 1 = β)αληθεύει η λύση της παραπάνω εξίσωσης την ανίσωση x + 1 x < + ; 3 ) ^ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία Α=90 και ΑΒ=1cm, ΒΓ=13cm. α)να βρεθεί η πλευρά ΑΓ ^ β)να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β. 3) Ένας κύκλος έχει διάμετρο 1m. α)να βρείτε το μήκος του και το εμβαδόν του. β)να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί σε γωνία 60.

62 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν ω είναι μια (οξεία) γωνία του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος. Απέναντι κάθετη υποτείνουσα ω Προσκείμενη κάθετη Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς εφω, ημω, συνω β) Να συμπληρωθει η παρακάτω πρόταση, στο γραπτό σας,βάζοντας μια από τις δυο λέξεις των παρενθέσεων : Όσο αυξάνεται η οξεία γωνία ω ( αυξάνεται, ελαττώνεται )το ημίτονο και ( αυξάνεται, ελαττώνεται )το συνημίτονο και ( αυξάνεται, ελαττώνεται ) η εφαπτομένη της.. γ) Να αιτολογίσετε ότι για το ημω και το συνω οξείας γωνίας ισχύει 0<ημω<1 και 0<συνω<1. ΘΕΜΑ ο Να γράψετε τον ορισμό της: α) Eπίκεντρης γωνίας β)της εγγεγραμμένης γωνίας. γ) Ποια η σχέση εγγεγραμμένης επίκεντρης γωνίας,που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο;

63 ΘΕΜΑ 1 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Να υπολογιστούν: -8+(-4)= [ ( 10) ] ( 007) 3,14 ( 5 + 5) 181 = :(-4)= ( 1 ) + ( 1) 1 + ( 1) = β) Να γίνουν οι πράξεις. (3χ-5)= γ) Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων 9 χ χ 4 ( χ ) 5 13 = = :1003 = ΘΕΜΑ 0 Α) Να λυθούν οι ανισώσεις: 5χ-4 11 και x + 3 x + 1 x + 3 x < Β) ι) Να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις των δυο ανισώσεων σε κοινό άξονα και να βρείτε τις κοινές λύσεις των δυο ανισώσεων. ιι) Να ελέγξετε αν ο αριθμός χ=3 αποτελεί λύση και των δυο παραπάνω ανισώσεων. ΘΕΜΑ 3 ο Αν ΒΓ διάμετρος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα και ΑΒ=8cm,ΑΓ=6cm. α) Να αιτιολογίσετε ότι η Α είναι ορθή. β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου γ) Να υπολογιστούν το ημβ,το συνβ και η εφβ. A 8 6 B Γ Διευκρινήσεις: Από τα δυο θέματα θεωρίας να κάνετε ένα και από τις τρεις ασκήσεις τις δυο. Όλες οι απαντήσεις να δίνονται στην κόλλα διαγωνίσματος. Τα σχήματα μπορεί να τα σχεδιάσετε και με μολύβι.