ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΚΟΚΚΩ Η ΥΛΙΚΑ

Transcript

1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΚΟΚΚΩ Η ΥΛΙΚΑ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υποβληθείσα στο Τμήμα Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Υπό Βασίλειου Μιχάλη του Κωνσταντίνου Για την απόκτηση του τίτλου του ιδάκτορα του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ, 2011

2

3 Ευχαριστίες Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Χημικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών, στο Ερευνητικό Ινστιτούτο Χημικής Μηχανικής και Χημικών ιεργασιών Υψηλής Θερμοκρασίας (ΕΙΧΗΜΥΘ/ΙΤΕ). Θα ήθελα πρωτίστως να ευχαριστήσω τον ρ. Β. Μπουργανό, ιευθυντή Ερευνών του Ε.Ι.ΧΗ.Μ.Υ.Θ., ο οποίος σε καιρούς δύσκολους με υποστήριξε και του οποίου η σταθερή επιστημονική καθοδήγηση επέτρεψε την περάτωση της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ, επίσης, τον αείμνηστο Α. Παγιατάκη, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, πρώην επιβλέποντα καθηγητή και μέλος της τριμελούς επιτροπής για την εμπιστοσύνη του και τις γνώσεις που μου μετέδωσε. Ευχαριστώ τον Πρόεδρο της Εξεταστικής Επιτροπής κ. Ι. Τσαμόπουλο, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για τις συμβουλές και τη βοήθεια που μου προσέφερε. Ευχαριστώ, επίσης, τους κ.κ. Β. Μαυραντζα, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Χ. Παρασκευά, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Π. Κουτσούκο, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Χ. Τσακίρογλου, ερευνητή του Ε.Ι.ΧΗ.Μ.Υ.Θ., Ε. Κικκινίδη, καθηγητή του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Πανεπιστημίου υτικής Μακεδονίας, για την προθυμία τους να συμμετέχουν στην Επταμελή Εξεταστική Επιτροπή και τη βοήθεια που μου προσέφεραν. Θα ήθελα ιδιαίτερα να ευχαριστήσω τους ρ. Ευγένιο Σκούρα και ρ. Αλέξανδρο Καλαράκη για τη συνεργασία τους και την υποστήριξη που μου προσέφεραν και τη φιλία τους. Επίσης, ενα μεγάλο ευχαριστώ προς την ρ. Αναστασία Πέτση και τον Παναγιώτη Κροκιδά για τη βοήθεια που μου

4 προσέφεραν, το κλίμα συνεργασίας, αλληλεγγύης, για τις επιστημονικές, και μη, συζητήσεις και τη φιλία τους. Τέλος ιδιαίτερη ευγνωμοσύνη οφείλω στους γονείς μου για τη συνεχή ηθική, και όχι μόνο, υποστήριξή τους και στη σύντροφό μου Κατερίνα Τουμπανάκη για την αγάπη και τη συμπαράστασή της όλα αυτά τα χρόνια. Μιχάλης Βασίλης

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο στόχος της παρούσας εργασίας ήταν η ανάπτυξη μεθοδολογίας για την περαιτέρω κατανόηση και ποσοτική σύνδεση φαινομένων μεταφοράς που λαμβάνουν χώρα σε πορώδη μέσα με τα αντίστοιχα φαινόμενα στην κλίμακα λίγων πόρων. Στη δεύτερη περίπτωση η ανάλυση διευκολύνεται από τις συνήθεις απλουστεύσεις στη γεωμετρία και τη γενικότερη περιγραφή των φαινομένων με βάση εμπεριστατωμένα πρότυπα και εξισώσεις μεταφοράς μάζας και ορμής. Η επέκταση των αποτελεσμάτων στην κλίμακα του πορώδους μέσου δεν είναι προφανής και περιπλέκεται τόσο από τη δαιδαλώδη τοπολογία και μορφολογία της πορώδους δομής όσο και από την εξάρτηση κάποιων συντελεστών μεταφοράς από τις τοπικές συνθήκες, όπως πίεση, συγκέντρωση κλπ. Η τοπολογία και μορφολογία της πορώδους δομής αντιμετωπίζονται εδώ με δίκτυα πόρων, με έμφαση στα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στις διασταυρώσεις, αλλά και με ψηφιακές αναπαραστάσεις της δομής με βάση μικροφωτογραφίες δείγματος του υλικού. Συγκεκριμένα, στην παρούσα εργασία εξετάζεται η διασπορά διαλυμένης ουσίας σε δίκτυα πόρων, παρουσιάζεται μία καινούργια τεχνική ανακατασκευής ανομοιογενών πορωδών υλικών και αναπτύσσεται μια μέθοδος προσομοίωσης της ροής αερίων δια μέσου ανακατασκευασμένων πορωδών υλικών στη μεταβατική περιοχή ροής όπου η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων ενός αερίου είναι συγκρίσιμη με το μέγεθος των πόρων οπότε και παύει να ισχύει η συνήθης παραδοχή του συνεχούς. Η επίδραση της ανάμειξης μέσα σε πόρους ή στις διασταυρώσεις πόρων/ρωγμών στη διασπορά διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα ερευνήθηκε μέσα από την ανάπτυξη και χρήση διαφορετικών τεχνικών προσομοίωσης με έμφαση στις λεπτομέρειες της ροής και της μεταφοράς μάζας στην περιοχή της διασταύρωσης. Το πρότυπο δικτύου Boltzmann χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του πεδίου ροής σε μία ορθογώνια διασταύρωση. Οι μοριακές τροχιές υπολογίστηκαν λαμβάνοντας υπ όψη τόσο τη συναγωγή όσο και τη μοριακή διάχυση και προσδιορίστηκαν οι παράλληλοι i

6 και εγκάρσιοι συντελεστές διασποράς σε ένα μεγάλο εύρος τιμών του αριθμού Peclet. Παράλληλα, υπολογίστηκε ο λόγος ανάμειξης στις διασταυρώσεις και χρησιμοποιήθηκε σε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς. Βρέθηκε ότι μία νέα μέθοδος τυχαίου περιπάτου αναπαράγει με καλή ακρίβεια το συντελεστή διασποράς σε χαμηλές και μεσαίες τιμές του Peclet, χάρη στο γεγονός ότι λαμβάνει υπ όψη την ανάντι της ροής κίνηση των σωματιδίων και τους διαφορετικούς χρόνους παραμονής μέσα σε κάθε κλάδο. Παράλληλα αναπτύχθηκε μία καινοτόμος μέθοδος ανακατασκευής πορωδών μέσων. Η τεχνική στηρίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann, το οποίο περιγράφει την εξέλιξη συστημάτων υγρού-αερίου υπό την επίδραση της διεπιφανειακής τάσης. Ο μηχανισμός αυτός οδηγεί στη δημιουργία συσχετισμένων δομών, όπου τόσο η μορφολογία του πορώδους μέσου όσο και ο βαθμός συσχέτισής του καθορίζονται από τις λειτουργικές παραμέτρους του προτύπου. Έτσι καθίσταται δυνατή η απόδοση ποικιλίας μορφολογικών και τοπολογικών χαρακτηριστικών των οποίων η διαδικασία δημιουργίας τους παρουσιάζει ομοιότητες με διαγενετικές διεργασίες. Η τεχνική είναι ιδιαίτερα συμφέρουσα από άποψη υπολογιστικού κόστους και σε συνδυασμό με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε μπορεί να ανακατασκευάσει τρισδιάστατες ανομοιογενείς δομές. Εφαρμόστηκε σε πραγματικό δείγμα εδάφους με αφετηρία την πληροφορία που δίνεται από μία μικροφωτογραφία μίας στατιστικά χαρακτηριστικής τομής του. Αναπαράχθηκε η κοκκώδης μορφολογία του υλικού καθώς και σημαντικά τοπολογικά του χαρακτηριστικά όπως το πορώδες, ο βαθμός συσχέτισής του, που εκφράζεται μέσω της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, και η μέση τιμή της κατανομής χορδών ανά κλίμακα μεγέθους κόκκων. Υπολογίστηκε, επίσης, η διαχυτότητα Knudsen σε τέτοιες δομές με την τεχνική του υπολογισμού μοριακών τροχιών. Η μελέτη της ροής αερίων σε πορώδη μέσα, των οποίων η μέση διάμετρος των πόρων είναι της ίδιας τάξης με τη μέση ελευθέρα διαδρομή των μορίων του αερίου, είναι ιδιαίτερα δύσκολη εφόσον υπό τις συνθήκες αυτές παύει να ισχύει η υπόθεση του συνεχούς και κατ επέκταση δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι κλασικές φαινομενολογικές εξισώσεις. Η μελέτη της ροής στη μεταβατική αυτή περιοχή ροής έγινε στην παρούσα εργασία με τη ii

7 μεσοσκοπική μέθοδο DSMC. Η αξιοπιστία της μεθόδου και της παρούσας υλοποίησής της έγινε μέσω της μελέτης της ισοθερμοκρασιακής ροής αερίου μεταξύ παραλλήλων πλακών όπου επιβεβαιώθηκε η δυνατότητά της να αποτυπώνει σωστά τα φαινόμενα που συναντώνται στη μεταβατική περιοχή της ροής. Επιπρόσθετα υπολογίστηκε το δυναμικό ιξώδες αερίου σε συνθήκες υψηλής αραίωσης και παρουσιάστηκε η εξάρτησή του από τον αριθμό Knudsen. Βρέθηκε ότι τα αποτελέσματα προσεγγίζονται ικανοποιητικά από μία αναλυτική έκφραση τύπου Bosanquet που συσχετίζει το αποτελεσματικό ιξώδες με την τιμή του στο όριο του συνεχούς και με τον αριθμό Knudsen. Στην εργασία αυτή μελετήθηκε για πρώτη φορά με τη μέθοδο DSMC η ροή αερίων σε υπολογιστικά ανακατασκευασμένες πορώδεις δομές. Επιβεβαιώθηκε το φαινόμενο του Klinkenberg και η γραμμική εξάρτηση του συντελεστή διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση. Τα αποτελέσματα για τον παράγοντα Klinkenberg προσεγγίστηκαν ικανοποιητικά και μέσω του προτύπου Dusty Gas, το οποίο τροποποιήθηκε για την μεταβατική περιοχή της ροής με την ενσωμάτωση της έκφρασης για το αποτελεσματικό ιξώδες και κατάλληλη ολοκλήρωση των εξισώσεων στο εσωτερικό του πορώδους μέσου. Προτείνεται εδώ μια αναλυτική έκφραση για τον υπολογισμό της διαπερατότητας στη μεταβατική περιοχή ροής από τη διαπερατότητα στο όριο του συνεχούς και το συντελεστή διάχυσης Knudsen. Τέλος χρησιμοποιήθηκε μια διαφορετική προσέγγιση στο πρόβλημα υπολογισμού της ροής στη μεταβατική περιοχή, η οποία είναι υπολογιστικά ταχύτερη της DSMC κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Η προσέγγιση έγινε μέσω ανάπτυξης προτύπου δικτύου Boltzmann, κατάλληλα τροποποιημένου για ροές σε συνθήκες αραίωσης, μέσω της σύνδεσης της τοπικής σταθεράς χαλάρωσης με το αποτελεσματικό ιξώδες και, παράλληλα με χρήση συνοριακών συνθηκών ολίσθησης. Το πρότυπο δοκιμάστηκε τόσο στην περίπτωση ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών όσο και σε ροή σε πορώδη μέσα όπου η συμφωνία με τη μέθοδο DSMC βρέθηκε πολύ ικανοποιητική. iii

8 iv

9 ABSTRACT The aim of the present study was the further understanding and quantification of transport phenomena in porous media and their connection with the phenomena in the scale of a few pores. The extension of the results from the pore-scale to the scale of the porous medium is not obvious and for this reason the representation of the porous medium was treated both with pore-networks and digital reconstruction. Specifically, in this study the dispersion of molecules of a solute substance in porous networks was examined, a new reconstruction technique was presented for heterogeneous granular materials and also a methodology was developed for the study of gas flow in reconstructed porous media in the transient regime, where the mean free path of the gas molecules is comparable with the characteristic length of the pores and thus the continuum description is no longer valid. The effect of the mixing in the pores or the junctions of the pores on the dispersion of molecules of a solute in porous media was examined through various simulation techniques with emphasis on the details of the flow and mass transport in the area of the junction. It was found that a new randomwalk technique is reproducing with good accuracy the dispersion coefficient for low and average values of the Peclet number, due to the fact that it takes into account the backwards, with respect to the main direction of the flow, movement of the molecules and the different residence time in each branch. Furthermore, a new reconstruction technique was developed for porous media. The technique is based on a 2-phase lattice Boltzmann model, which describes the evolution of a gas-liquid system under the influence of the surface tension. This mechanism leads to the creation of correlated structures, where the morphology of the porous medium and the correlation factor are determined by the operating parameters of the model. The technique was applied successfully for the reconstruction of a real soil sample, starting from the information that is solely given from a microphotograph of a statistically adequate section of the material. v

10 Finally, the gas flow through porous media was examined at moderate Knudsen numbers, where the mean diameter of the pores is of the same order of magnitude with the mean free path of the gas molecules. The study was done mainly with the mesoscopic DSMC technique. The credibility of the technique was examined through the study of the isothermal gas flow through parallel plates. Additionally, the dynamic viscosity of a gas under rarefaction conditions was calculated and its dependence on the Knudsen number was shown. It was found that the results are approximated satisfactorily with an analytical Bosanquet-type equation that relates the effective viscosity with its value at the continuum limit and with the Knudsen number. Furthermore, it was studied for the first time with the DSMC method the gas flow through reconstructed porous media. The Klinkenberg effect was confirmed and the linear dependence of the permeability coefficient on the inverse pressure was shown. Finally an alternative approach was used for the calculation of gas flow though porous media in the transient regime through the development of a lattice Boltzmann model suitably modified for rarefied gas flows. The model was tested for the case of flow through parallel plates as well as for the case of flow through porous media and the agreement with the DSMC method was very satisfactory. vi

11 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... i ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ... xi ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΠΟΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ ΓΙΑ ΥΨΗΛΟΥΣ Pe ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΙΚΤΥΑ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΠΟΡΩ ΩΝ ΚΑΙ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΠΟΚΤΗΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΤΟ ΙΦΑΣΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΩΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟ ΟΥ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΚΟΚΚΩ ΕΣ ΥΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΗ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ KNUDSEN ΤΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ vii

12 3.2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΡΟΗΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ KNUDSEN ΡΟΗ ΜΕ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΡΟΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ BOLTZMANN DIRECT SIMULATION MONTE CARLO ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ - ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΒΗΜΑ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Α ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Β ΜΟΡΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Γ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Α ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Β ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ MΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗΣ ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 1 (ΣΣ1) ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 2 (ΣΣ2) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΙΞΩ ΟΥΣ ΜΕ ΤΗ DSMC ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ DSMC ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ ΙΑΜΕΣΟΥ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΠΟΡΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ viii

13 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΧΡΟΝΟΣ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ix

14 x

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση της διασταύρωσης ορθογώνιων σχισμών με κλίση 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής (διακεκομμένα βέλη). Εισερχόμενα σωματίδια - γεμάτα βέλη, εξερχόμενα σωματίδια άδεια βέλη Πίνακας 1.1: Συντελεστές κατανομής ισορροπίας για τα πρότυπα D 2 Q 7 και D 2 Q 9 ιδανικού ρευστού Σχήμα 1.2: Τετραγωνικό δίκτυο σχισμών κεκλιμένο σε σχέση με τη μέση διεύθυνση της ροής κατά 45 ο. Σημειώνεται ο λόγος ανάμειξης για την αναλυτική μέθοδο για υψηλά Pe Σχήμα 1.3: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe= Σχήμα 1.4: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe= ιάγραμμα 1.1: Εξάρτηση του λόγου ανάμειξης από τον αριθμό Peclet για διάφορους λόγους πλάτους προς μήκος. Οι υπολογισμοί έχουν γίνει με τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων ιάγραμμα 1.2: Πιθανότητες μετάβασης από τον κλάδο 1 προς τους κλάδους 1-4 για τη διάταξη του Σχήματος ιάγραμμα 1.3: Συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων για τον αδιάστατο συντελεστή εγκάρσιας διασποράς μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων, της αναλυτικής σχέσης 1.37 και της τροποποιημένης μεθόδου τυχαίου περιπάτου ιάγραμμα 1.4: Εξάρτηση του παράλληλου και του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet και το λόγο πλάτους προς μήκος ιάγραμμα 1.5: Εξάρτηση του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet για τις περιπτώσεις ροής με συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης και πλήρους ολίσθησης Σχήμα 1.5: Παράδειγμα γραμμών ροής σε μία διασταύρωση σε υψηλό αριθμό Reynolds (Re=116), ενδεικτικό της ύπαρξης εκτενών περιοχών ανακυκλοφορίας. Λόγος πλάτους προς μήκος M w = xi

16 ιάγραμμα 1.6: Εξάρτηση του συντελεστή εγκάρσιας διασποράς από τον αριθμό Reynolds Σχήμα 2.1: Παράδειγμα ψηφιοποιημένου πορώδους μέσου Σχήμα 2.2: Στιγμιότυπα χρονικής εξέλιξης προσομοίωσης διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. Τα στιγμιότυπα δίνονται υπό τη μορφή κενούστερεού Σχήμα 2.3: Παράδειγμα σταδιακής ανακατασκευής ανομοιογενούς κοκκώδους δομής με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann Σχήμα 2.4: Φωτογραφία μικροσκοπίας σάρωσης οπισθοσκεδαζόμενων ηλεκτρονίων (Back-Scattered SEM) μίας τομής δείγματος εδάφους ετερογενούς σύστασης και με ευρεία κατανομή διαμέτρων κόκκων (Tsakiroglou et al 2008) Σχήμα 2.5: Υποκατηγορίες του ψηφιοποιημένου υλικού του Σχήματος 2.4 με βάση τη μέση διάμετρο κόκκων. Η τέταρτη υποκατηγορία αφορά όλο το δείγμα ιάγραμμα 2.1: Κατανομές διαμέτρου κόκκων των υποκατηγοριών του Σχήματος ιάγραμμα 2.2: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης των ανακατασκευασμένων δομων με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής Πίνακας 2.1: Aποτελέσματα υπολογισμού του αδιαστατοποιημένου συντελεστή διαχύσεως Knudsen για τη ψηφιοποιημένη μικροφωτογραφία της πραγματικής δομής και την ανακατασκευή της. Σύγκριση ανά στάδιο ανακατασκευής Σχήμα 2.6: Η ανακατασκευασμένη ανομοιογενής κοκκώδη δομή του Σχήματος 2.4 με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann ιάγραμμα 2.3: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τομής τρισδιάστατης ανακατασκευασμένης δομής με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής Σχήμα 3.8.1: Σχηματική απεικόνιση των διαφορών μεταξύ των συνοριακών συνθηκών εισόδου ΣΣ1και ΣΣ ιάγραμμα 3.8.1: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο Pr=3, Lr=4, Kn out =0.2 και χαρακτηριστικό μήκος m xii

17 ιάγραμμα 3.8.2: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =3, L r =4, Kn out =0.2 και και χαρακτηριστικό μήκος m ιάγραμμα 3.8.3: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r = ιάγραμμα 3.8.4: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm ιάγραμμα 3.8.5: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Παράδειγμα εφαρμογής της ΣΣ1.Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r = ιάγραμμα 3.8.6: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm ιάγραμμα 3.8.7: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Σύγκριση μεταξύ των περιπτώσεων με L r =25 και L r = ιάγραμμα α: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out = ιάγραμμα β: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out = ιάγραμμα 3.8.9: Μεταβολή του δp κατά μήκος της ροής για διάφορους αριθμούς Knudsen. Αποτελέσματα προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1. Σε όλες τις περιπτώσεις P r =2, L r = ιάγραμμα : Μεταβολή της ταχύτητας κατά μήκος της διατομής. Σύγκριση μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1 και ΣΣ2. Η ταχύτητα είναι αδιαστατοποιημένη με την μέση τιμή στη διατομή xiii

18 ιάγραμμα : Σύγκριση αποτελεσμάτων απόκλισης της πτώσης πίεσης από την γραμμικότητα μεταξύ των περιπτώσεων εφαρμογής της ΣΣ1 και ΣΣ2. Σε όλες τις περιπτώσεις L r =20, Kn out = ιάγραμμα : Μαζική παροχή στη διεύθυνση της ροής επιβεβαίωση αρχής διατήρησης της μάζας ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης πιέσης ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H= m, Kn out =2 για διαφορές τιμές τιμές P r και L r ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης ταχύτητας ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H=5 10-7m, Knout=2 για διάφορες τιμές τιμές Pr και Lr ιάγραμμα : Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, με προσομοίωση DSMC για ιδιαίτερα χαμηλό αριθμό Knudsen Kn= ιαγράμματα α-δ: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ2 της παρούσας εργασίας και ανάλογων προσομοιώσεων DSMC των Beskok et al (1999). Αποτελέσματα για αριθμούς Knudsen Kn=0.1 έως Kn= ιάγραμμα : Εξάρτηση της κανονικοποιημένης ογκομετρικής παροχής από τον αριθμό Knudsen. Φαινόμενο του ελαχίστου του Knudsen. Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων DSMC και αποτελεσμάτων των Beskok et al (1999) και Cercignani (1963) ιάγραμμα 4.1: Μεταβολή του αποτελεσματικού ιξώδους συναρτήσει του αριθμού Knudsen. Κάθε χρώμα (ή σχέδιο) αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC ιάγραμμα 4.2: Εξάρτηση του παράγοντα α από τον αριθμό Knudsen. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC ιάγραμμα 4.3: Εξάρτηση του αδιαστατοποιημένου με την τιμή του συνεχούς αποτελεσματικού ιξώδους από την απόσταση από το τοίχωμα. Σύγκριση μεταξύ των προβλέψεων της εξ. 4.9 και των αποτελεσμάτων DSMC με μ 0 = Pa s σε Kn= Σχήμα 5.1: Πεδίο ροής σε ανακατασκευασμένο πορώδες μέσο. Ο υπολογισμός της ροής έγινε με τη μέθοδο DSMC και η ανακατασκευή με τη μέθοδο fbm. Πορώδες ε=0.7, Η= xiv

19 ιάγραμμα 5.1: Εξάρτηση της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση για ανακατασκευασμένες fbm δομές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC. Μεταβολή με το πορώδες ιάγραμμα 5.2: Εξάρτηση της βαθμίδας πίεσης από τη φαινομενική ταχύτητα για ανακατασκευασμένη fbm δομή με πορώδες ε=0.7 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC Σχήμα 6.1: Σχηματική αναπαράσταση της συνοριακής συνθήκης ολίσθησης καθώς και της θεμελιώδους κυψελίδας του δικτύου D 2 Q ιαγράμματα 6.1.α-ε: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας για ροή μεταξύ παράλληλων πλακών, αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, μεταξύ προσομοιώσεων της τροποποιημένης μεθόδου δικτύου Boltzmann και της DSMC. Αποτελέσματα για αριθμούς Knudsen Kn=0.1 έως Kn= ιάγραμμα 6.2: Εξάρτηση της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση για δύο ανακατασκευασμένες δομές με την τεχνική fbm. Σύγκριση αποτελεσμάτων της μεθόδου DSMC και του τροποποιημένου προτύπου δικτύου Boltzmann για ροές υπό συνθήκες αραίωσης Σχήμα 7.1: ιάγραμμα ροής παραδείγματος αλγόριθμου ανακατασκευής xv

20 xvi

21 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα διατριβή εστιάζει την προσοχή της σε υπολογιστικές μεσοσκοπικές τεχνικές για τη μελέτη φαινομένων μεταφοράς μάζας και ροής μέσα από πορώδη υλικά. Η ποικιλία των φυσικών διεργασιών και τεχνολογικών εφαρμογών σε πορώδη μέσα είναι ιδιαίτερα μεγάλη και οπωσδήποτε η περιγραφή τους δεν είναι δυνατόν να γίνει μέσα από μία συνολική αντιμετώπιση. Κοινός όμως παρανομαστής των διεργασιών αποτελεί η ύπαρξη πορώδους μέσου, η παρουσία του οποίου επηρεάζει σημαντικά τις ιδιότητες μεταφοράς. Η κλίμακα και η μορφολογία του μέσου καθορίζει τον τρόπο υπολογιστικής αναπαράστασής του καθώς και την προσέγγιση της προσομοίωσης της διεργασίας μέσω χρήσης κατάλληλου προτύπου. Η παρούσα εργασία ξεκινάει με μία μελέτη του φαινομένου της διασποράς διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα. Η διεργασία αυτή έχει πολλές εφαρμογές τόσο στη βιομηχανία όσο και στο περιβάλλον και ειδικότερα στην εξάπλωση ρυπογόνων ουσιών στο υπέδαφος. Στην πλειονότητα των μελετών διασποράς, η απεικόνιση των πορωδών μέσων γίνεται με δίκτυα πόρων (Berkowitz 2002), εξιδανικευμένης μορφολογίας όπου η προσομοίωση της διεργασίας γίνεται εφικτή με τη χρήση διάφορων απλοποιητικών παραδοχών. Η παρούσα μελέτη εστιάζει το ενδιαφέρον της στην επίδραση τέτοιων παραδοχών σε ανάλογα εξιδανικευμένα δίκτυα και ειδικότερα στην επίδραση του βαθμού ανάμειξης στις διασταυρώσεις σχισμών ή ρωγμών στον συνολικό ρυθμό διασποράς. Η τεχνική της παρακολούθησης σωματιδίων χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του βαθμού ανάμειξης σε κλίμακα διασταύρωσης που ενσωματώνεται σε δύο μεθόδους τυχαίου περιπάτου για τον προσδιορισμό του συντελεστή διασποράς σε κλίμακα δικτύου. Η απλουστευτική προσέγγιση της απεικόνισης των πορωδών μέσων με δίκτυα πόρων δεν είναι πάντα επιθυμητή καθώς συχνά επιζητείται η ακριβής 1

22 επίδραση της μορφολογίας του μέσου στις λειτουργικές του ιδιότητες. Στον αντίποδα των εξιδανικευμένων προσεγγίσεων βρίσκεται η ψηφιακή ανακατασκευή των πορωδών μέσων, όπου η δομή αναπαριστάται υπολογιστικά όσο το δυνατόν πιο πιστά με βάση τις διαθέσιμες πληροφορίες. Ο ακριβής αυτός τρόπος περιγραφής των πορωδών μέσων κερδίζει συνεχώς έδαφος δεδομένης της αύξησης της υπολογιστικής ισχύος αλλά και της ανάπτυξης κατάλληλων τεχνικών ανακατασκευής. Η εργασία που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 2 αφορά μία καινοτόμο μέθοδο για την ανακατασκευή πορωδών μέσων. Η μέθοδος βασίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann, όπου με κατάλληλη ρύθμιση της επίδρασης της διεπιφανειακής τάσης καθορίζεται η εξέλιξη του διφασικού συστήματος και επιτρέπεται η ρύθμιση της μορφολογίας της τελικής δομής. Η διαγενετικής υφής αυτή τεχνική παρουσιάζει μειωμένο υπολογιστικό κόστος και αυξημένη δυνατότητα για περιγραφή ποικίλων μορφολογικών χαρακτηριστικών. Η μεθοδολογία που αναπτύχθηκε εστιάζει στην ανακατασκευή ανομοιογενών δομών και εφαρμόζεται επιτυχώς στην ανακατασκευή μίας πραγματικής ανομοιογενούς κοκκώδους δομής με μοναδική αρχική πληροφορία τη μικροφωτογραφία μιας τομής της. Μία από τις λιγότερο μελετημένες περιοχές αποτελεί η ροή αερίων διαμέσου πορωδών υλικών των οποίων η μέση διάμετρος των πόρων είναι της ιδίας τάξης μεγέθους με τη μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του αερίου, γεγονός που μπορεί να προκύψει είτε για πόρους πολύ μικρής διαμέτρου είτε για χαμηλές τιμές της πίεσης. Το εύρος εφαρμογών είναι τεράστιο καθώς περιλαμβάνονται όχι μόνο διεργασίες σε νανοπορώδη υλικά (μεμβράνες, καταλύτες, κλπ.) αλλά και διεργασίες υψηλού κενού (εξάτμιση από υποστρώματα, παρασκευή υμενίων, κλπ.). Η περιγραφή της ροής στην περίπτωση αυτή, γνωστή υπό τον ευρύ χαρακτηρισμό ως ροή υπό συνθήκες αραίωσης, δεν γίνεται να δοθεί από τις κλασικές μακροσκοπικές εξισώσεις καθώς αίρεται η ισχύς της υπόθεσης του συνεχούς μέσου (Hadjiconstantinou 2000). Η επίδραση στη ροή των συγκρούσεων των μορίων με τα τοιχώματα γίνεται συγκρίσιμη με αυτήν των ενδομοριακών συγκρούσεων και η συμπεριφορά των αερίων αποκλίνει από την αντίστοιχη στο όριο του συνεχούς. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται μία εισαγωγή στη ροή υπό συνθήκες 2

23 αραίωσης, καθώς και στη μέθοδο άμεσης προσομοίωσης Monte Carlo (Direct Simulation Monte Carlo) η οποία προσφέρει τη δυνατότητα προσομοίωσης της ροής σε πολύπλοκες γεωμετρίες στη μεταβατική περιοχή, δηλαδή στην περιοχή μεταξύ του ορίου του συνεχούς και της ελεύθερης μοριακής ροής. Επιπρόσθετα εξετάζεται η αξιοπιστία της μεθόδου μέσα από τη μελέτη της περίπτωσης ισοθερμοκρασιακής ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών υπό πτώση πίεσης. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται μία μελέτη για το δυναμικό ιξώδες, το οποίο στην περίπτωση της ροής αερίου υπό συνθήκες αραίωσης παρουσιάζει εξάρτηση από τον αριθμό Knudsen, που ορίζεται ως ο λόγος της μέσης ελεύθερης διαδρομής των μορίων προς το χαρακτηριστικό μήκος της ροής. Μέσω της μεθόδου DSMC υπολογίζεται άμεσα η διατμητική τάση και κατ επέκταση το αποτελεσματικό ιξώδες. είχνεται ότι τα αποτελέσματα προσεγγίζονται από μία σχέση τύπου Bosanquet, η οποία συνδέει το αποτελεσματικό ιξώδες με την τιμή του στο όριο του συνεχούς και με τον αριθμό Knudsen. Η απλοποιημένη αυτή έκφραση του αποτελεσματικού ιξώδους αναμένεται να διευκολύνει την επέκταση μακροσκοπικών περιγραφών της ροής στη μεταβατική περιοχή. Για πρώτη φορά στη παρούσα εργασία, η μέθοδος DSMC εφαρμόζεται σε ανακατασκευασμένα πορώδη μέσα και μελετάται, στο Κεφάλαιο 5, το φαινόμενο της εξάρτησης του συντελεστή διαπερατότητας του μέσου από την πίεση, γνωστό ως φαινόμενο Klinkenberg. Το φαινόμενο Klinkenberg αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα της ροής αερίων σε πορώδη μέσα σε πεπερασμένους αριθμούς Knudsen. Μέσω της DSMC υπολογίζεται ο συντελεστής διαπερατότητας σε δομές ανακατασκευασμένες με τη μέθοδο της κλασματικής κίνησης κατά Brown (fractional Brownian motion) και επιβεβαιώνεται η γραμμικότητα της εξάρτησης της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση. Παράλληλα παρουσιάζεται μία επέκταση του προτύπου Dusty Gas για την περίπτωση ροής υπό συνθήκες αραίωσης και συνδέεται ο συντελεστής διαπερατότητας με το ιξώδες και το συντελεστή διαχυτότητας Knudsen. 3

24 Τέλος αναπτύσσεται μία εναλλακτική μέθοδος προσομοίωσης ροής υπό συνθήκες αραίωσης σε πορώδη μέσα, η οποία υπερτερεί σημαντικά έναντι της μεθόδου DSMC από την άποψη του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου. Η μέθοδος, που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 6, αποτελεί ένα τροποποιημένο πρότυπο δικτύου Boltzmann κατάλληλα προσαρμοσμένου για πεπερασμένους αριθμούς Knudsen. Η καινοτόμος προσέγγιση βασίζεται στη σύνδεση του χρόνου χαλάρωσης με το αποτελεσματικό ιξώδες σε συνδυασμό με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες αλληλεπίδρασης του ρευστού με τα τοιχώματα. Η μέθοδος συγκρίνεται με τη DSMC τόσο στην περίπτωση ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών όσο και στις ανακατασκευασμένες πορώδεις δομές. 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΠΟΡΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μεταφορά μορίων μίας διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα είναι το αποτέλεσμα της συνδυασμένης δράσης της συναγωγικής ροής και της μοριακής διάχυσης. Η διαδικασία αυτή είναι μείζονος σημασίας για μια μεγάλη ποικιλία περιβαλλοντικών και βιομηχανικών διεργασιών, όπως είναι η αναμίξιμη εκτόπιση σε βελτιωμένη εξόρυξη πετρελαίου, η εισχώρηση αλατούχου νερού σε παραλιακούς ταμιευτήρες, η ρύπανση υπογείων υδάτων από βιομηχανικά απόβλητα, οι αντιδραστήρες στερεάς κλίνης, η χρωματογραφία κ.α. Η λεπτομερής κατανόηση των φαινομένων της διασποράς είναι, κατ επέκταση, απαραίτητη για την πρόβλεψη των ρυθμών μεταφοράς μάζας στις διεργασίες αυτές υπό διάφορες συνθήκες. Η μελέτη, όμως, του φαινομένου της διασποράς δυσχεραίνεται από την πολυπλοκότητα της δομής των πορωδών μέσων, γεγονός που καθιστά αναγκαία την εισαγωγή γενικευμένων απλουστευτικών παραδοχών. Πολλές μελέτες προσομοίωσης βασίστηκαν στην παραδοχή ότι το πορώδες μέσο μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή διακριτού δικτύου, και η παραδοχή αυτή παραμένει δημοφιλής (Berkowitz 2002) για την περίπτωση ρωγμών ή σχισμών σε βραχώδη εδάφη. Οι σχισμές αναπαριστούν τις προτιμητέες οδούς μέσα από τις οποίες το διάλυμα ή αιώρημα, και συνεπώς και τα αιωρούμενα σωματίδια ή οι διαλυμένες ουσίες, μπορούν να μεταφερθούν γρήγορα στο εσωτερικό γεωλογικών ή συνθετικών σχηματισμών. Προσομοιωτές τύπου δικτύου (Cacas et al 1990, Park et al 2001) της μικροσκοπικής διεργασίας διασποράς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να συσχετίσουν τα φαινόμενα 5

26 μεταφοράς σε κλίμακα σχισμής με τις μακροσκοπικές ιδιότητες μεταφοράς. Ένας μεγάλος αριθμός ξεχωριστών σχισμών μπορεί να ενσωματωθεί σε μία δικτυακή δομή, με τη ροή κα τη μεταφορά της διαλυμένης ουσίας να περιγράφονται σε κλίμακα μίας μόνο σχισμής. εν είναι, όμως, ακόμα επαρκώς ξεκάθαρο πως η μεταφορά στην κλίμακα σχισμής και ειδικότερα στην περιοχή της διασταύρωσης σχισμών, μπορεί να επηρεάσει τον μακροσκοπικό ρυθμό μεταφοράς. Η αναγκαιότητα κατανόησης των φαινομένων μεταφοράς σε κλίμακα μίας διασταύρωσης έχει οδηγήσει στην διεξαγωγή πολλών μελετών (Berkowitz 2002). Οι δύο πιο κοινές παραδοχές που αφορούν την ανάμειξη σε μία διασταύρωση είναι η προσέγγιση της πλήρους ανάμειξης και η προσέγγιση της κίνησης κατά μήκος των γραμμών ροής (streamline routing). Η πρώτη προσέγγιση θεωρεί την πλήρη ομογενοποίηση της τοπικής συγκέντρωσης της εισερχόμενης διαλυμένης ουσίας στην διασταύρωση με αποτέλεσμα οι κλάδοι εξόδου να έχουν την ίδια συγκέντρωση. Αντιθέτως, στην προσέγγιση κίνησης κατά μήκος των γραμμών ροής ο μηχανισμός της διάχυσης παραμελείται και ο διαχωρισμός της μάζας στη διασταύρωση ακολουθεί αυστηρά το τοπικό πεδίο ροής. Η πλειονότητα, βέβαια, των πρακτικών εφαρμογών βρίσκεται μεταξύ των δύο αυτών ακραίων περιπτώσεων και η μεταφορά καθορίζεται από τον συνδυασμό της συναγωγής και της διάχυσης. Ο αριθμός Peclet είναι ενδεικτικός της σχετικής συνεισφοράς της συναγωγής προς τη διάχυση και ορίζεται ως Pe= ul/d m (1.1) όπου είναι u μια χαρακτηριστική ταχύτητα του ρευστού, l είναι ένα χαρακτηριστικό μήκος του μέσου και D m είναι ο συντελεστής μοριακής διάχυσης της διαλυμένης ουσίας. Η κίνηση κατά μήκος των γραμμών ροής ισχύει αυστηρά για Pe, ενώ η πλήρης ανάμειξη για Pe 0. Σημαντικός αριθμός μελετών διασποράς έχουν εστιάσει την προσοχή τους στο φαινόμενο ανάμειξης στις διασταυρώσεις με τον βαθμό ανάμειξης να ποσοτικοποιείται συνήθως μέσω της έννοιας του λόγου ανάμειξης. Στην περίπτωση ορθογώνιας διασταύρωσης δύο κλάδων εισόδου και δύο εξόδου 6

27 (Σχήμα 1.1), ο λόγος ανάμειξης, M r, ορίζεται ως ο λόγος της μαζικής παροχής του κλάδου εξόδου που είναι απέναντι από τον κλάδο εισόδου προς τη συνολική παροχή των δύο εξόδων. Έτσι για την περίπτωση του Σχήματος 1.1, θεωρώντας είσοδο τον κλάδο 1, ο λόγος ανάμειξης είναι M = J /( J + J ) (1.2) r Για ίσες παροχές του ρευστού, όπως στην περίπτωση κλίσης κατά 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής και ομοιόμορφο μέγεθος πόρων, η εξ. 1.2 μπορεί να γραφεί και ως M = C /( C + C ) (1.3) r όπου C i είναι η συγκέντρωση του κλάδου i, υπολογισμένη επαρκώς μακριά από την διασταύρωση. Οι Berkowitz et al (1994) χρησιμοποίησαν την εξίσωση Stokes για τον υπολογισμό του πεδίου ροής και τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων (particle tracking) για να υπολογίσουν την τιμή του M r σε μία διασταύρωση δύο ορθογώνιων σχισμών με λεία τοιχώματα. Οι υπολογισμοί τους ήταν δισδιάστατοι και τα αποτελέσματά τους έδειξαν ότι η πλήρης ανάμειξη δεν επιτεύχθηκε ακόμα και για αριθμούς Peclet έως Σε μία διαφορετική προσέγγιση, οι Stockman et al (1997) χρησιμοποίησαν τις μεθόδους δικτύου αερίου (lattice gas) και δικτύου Boltzmann (lattice Boltzmann) σε ορθογώνιες διασταυρώσεις για να υπολογίσουν το λόγο ανάμειξης για τιμές του Pe με εύρος από 0 έως Για ορθογώνια διασταύρωση όμοιων σχισμών με ίσες παροχές, βρήκαν ότι ο M r προσεγγίζει την τιμή 0.5 για Pe 1, το οποίο αποτελεί ένδειξη πλήρους ανάμειξης ως αποτέλεσμα της κυριαρχίας της διάχυσης έναντι της συναγωγής. Επιπρόσθετα, σύμφωνα με τις τιμές του M r, που παρουσιάσθηκαν στην εργασία αυτή προκύπτει ότι τα διαλυμένα σωματίδια αποκλίνουν από τις γραμμές ροής ακόμα και σε υψηλούς αριθμούς Peclet, αντίθετα από τα αποτελέσματα των Berkowitz et al (1994), δείχνοντας ότι η διάχυση στις διασταυρώσεις δεν θα πρέπει να παραβλέπεται ακόμα και για υψηλές τιμές του Pe. Οι Park και Lee (1999), πρότειναν απλές αναλυτικές σχέσεις για το διαχωρισμό της διαλυμένης ουσίας σε μια διασταύρωση και τα 7

28 αποτελέσματά τους συμφώνησαν ικανοποιητικά με αυτά των Stockman et al (1997). Ένας γραμμικός συνδυασμός της μηχανικής διασποράς και της μοριακής διάχυσης προτάθηκε από τον Li (2002), ο οποίος χρησιμοποίησε τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων για να υπολογίσει το M r. Συμπέρανε ότι πλήρης ανάμειξη μπορεί να συμβεί για Pe < 1 και ότι η ανάμειξη πρακτικά εξαφανίζεται για Pe > 100. Οι Mourzenko et al (2002) παρουσίασαν μία τρισδιάστατη μελέτη της μεταφοράς διαλυμένης ουσίας σε διασταυρώσεις σχισμών και παρείχαν εκτιμήσεις του M r για διάφορα Pe, με χρήση λείων και τραχιών τοιχωμάτων. Χρησιμοποίησαν την εξίσωση Stokes για να περιγράψουν τη ροή και μία μέθοδο τυχαίου περιπάτου για να προσομοιώσουν τη μεταφορά της διαλυμένης ουσίας. Κατέληξαν ότι ο τοπικός αριθμός Peclet, δηλαδή, με χαρακτηριστική ταχύτητα τη μέση ταχύτητα του ρευστού στους κλάδους εισόδου, θα πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη σε προσομοιώσεις μεγάλης κλίμακας. Η τεχνική τυχαίου περιπάτου συνεχούς χρόνου χρησιμοποιήθηκε από τον Grubert (2001), ο οποίος έδειξε ότι η διασπορά εξαρτάται ισχυρά τόσο από τον κανόνα ανάμειξης όσο και από και τη σχετική διεύθυνση της ροής σε σχέση με τον προσανατολισμό του δικτύου. Στη μέθοδό του, στα σωματίδια επιτρέπονταν να κινηθούν σε διαφορετικούς χρόνους σε κάθε κατεύθυνση. Το πρότυπό του λάμβανε υπ όψη τους διαφορετικούς χρόνους ταξιδιού σε κάθε κατεύθυνση και την εξάρτηση των πιθανότητας μετάβασης στις διασταυρώσεις από την διεύθυνση από την οποία τα σωματίδια έφθαναν στη διασταύρωση. Η προσέγγιση, όμως, αυτή, δε λαμβάνει υπ όψη ότι η ταχύτητα των σωματιδίων εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του πεδίου ροής και επίσης αγνοήθηκε η ανάντι της ροής μετακίνηση της διαλυμένης ουσίας. Η ανάλυση τύπου δικτύου με κατανομή μεγέθους πόρων παρέχει χρήσιμες πληροφορίες για το φαινόμενο της διασποράς. Η ομάδα του Sahimi (Sahimi and Imdakm 1988, Sahimi et al 1986) χρησιμοποίησε μια Monte Carlo μέθοδο για την προσομοίωση της διασποράς σε δίκτυα πόρων, δίνοντας έμφαση σε παράγοντες που προκαλούν απόκλιση από το τυπικό πρότυπο συναγωγής-διάχυσης κοντά στο όριο διαπερατότητας των μέσων. 8

29 Χρησιμοποιήθηκε ένας φορμαλισμός τύπου κανόνα του Kirchhoff σε τετραγωνικά και κυβικά δίκτυα με κυλινδρικές συνδέσεις για τον υπολογισμό ης ροής και εξετάστηκαν τα δύο βασικά σενάρια της εμβολικής ροής με πλήρη ανάμειξη και της ροής τύπου Poiseuille με κίνηση της διαλυμένης ουσίας κατά μήκος των γραμμών ροής. Ο στόχος της παρούσας μελέτης είναι η εξέταση του φαινομένου της διασποράς σε δίκτυα σχισμών και ειδικότερα η διερεύνηση του κανόνα ανάμειξης στην κλίμακα μιας διασταύρωσης και της επέκτασής του σε κλίμακα δικτύου για τον υπολογισμό του συντελεστή διασποράς. Χρησιμοποιείται ως βάση αναφοράς η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων τόσο για τον υπολογισμό των συντελεστών διασποράς όσο και για τον υπολογισμό του λόγου ανάμειξης. Τα αποτελέσματα για τον συντελεστή διασποράς συγκρίνονται με δύο τεχνικές τυχαίων περιπάτων, μίας αναλυτικής που εξετάζει τον εγκάρσιο συντελεστή για υψηλά Pe και ομοιόμορφα δίκτυα, και μίας μεθόδου που κάνει χρήση της πληροφορίας που παρέχει η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων τόσο για την κατανομή χρόνων παραμονής όσο και για τις πιθανότητες μετάβασης. 1.2 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Μία ορθογώνια διασταύρωση δύο όμοιων σχισμών θεωρείται ότι είναι το μοναδιαίο κελί του δικτύου όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. ψχ1. Οι σχισμές θεωρείται ότι έχουν το σχήμα παραλλήλων πλακών που εκτείνονται αναλλοίωτα στο άπειρο στην τρίτη κατεύθυνση. Το πλάτος των σχισμών θεωρείται ότι είναι επαρκώς μεγάλο ώστε να εξασφαλίζεται η ισχύς της συνεχούς περιγραφής. Ένα ασυμπίεστο Νευτωνικό ρευστό εισέρχεται στη διασταύρωση μέσω των κλάδων 1 και 2 και εξέρχεται από τους κλάδους 3 και 4, μεταφέροντας παράλληλα διαλυμένα σωματίδια χαμηλής συγκέντρωσης. Η ροή θεωρείται έρπουσα με αριθμό Reynolds (που αποτελεί μέτρο των αδρανειακών προς τις ιξώδεις δυνάμεις) Re < 1, εκτός από τις περιπτώσεις 9

30 όπου δηλώνεται ρητά το αντίθετο. Η στοχαστική κίνηση των σωματιδίων είναι τρισδιάστατη παρόλο που η προβολή της στο x-y επίπεδο είναι επαρκής για τον προσδιορισμό των ποσοτήτων που ενδιαφέρουν εδώ. Σχήμα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση της διασταύρωσης ορθογώνιων σχισμών με κλίση 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής (διακεκομμένα βέλη). Εισερχόμενα σωματίδια - γεμάτα βέλη, εξερχόμενα σωματίδια άδεια βέλη ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN Η περιγραφή του πεδίου ροής επιτυγχάνεται μέσω του προτύπου δικτύου Boltzmann. Χρησιμοποιείται το πρότυπο δύο διαστάσεων και εννέα ταχυτήτων (D 2 Q 9 ) με χρήση της BGK προσέγγισης για τον τελεστή συγκρούσεων (Qian et al 1992). Οι συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης στη 10

31 διεπιφάνεια ρευστού-στερεού εφαρμόζονται μέσω του κανόνα αναπήδησης στη διεύθυνση πρόσπτωσης (bounce-back). Συνθήκες ολίσθησης μπορούν να εφαρμοστούν στο πρότυπο μέσω της χρήσης του κανόνα αναπήδησης προς τα εμπρός (bounce-forward) για πλήρη ολίσθηση (Drazer and Koplik 2001). Η ροή επιβάλλεται μέσω σωματιδιακών δυνάμεων και περιοδικές συνθήκες εφαρμόζονται στις επιφάνειες εισόδου και εξόδου. Ειδικότερα το ρευστό που εξέρχεται από τις επιφάνειες 3 και 4 επανεισάγεται από τις 1 και 2 αντιστοίχως. Μια συνοπτική περιγραφή του προτύπου δικτύου Boltzmann στη μορφή που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία δίνεται στη συνέχεια. Το πρότυπο δικτύου Boltzmann (Lattice Boltzmann Method, LBM) αποτελεί μία μεσοσκοπική μέθοδο προσομοίωσης προβλημάτων ρευστομηχανικής η οποία διαφέρει τόσο από τη μοριακή δυναμική όσο και την επίλυση των μακροσκοπικών εξισώσεων ροής. Το πρότυπο LB, το οποίο διαρκώς αναπτύσσεται τα τελευταία είκοσι χρόνια, έχει αναδειχθεί σε ένα ισχυρό εργαλείο για την αντιμετώπιση ποικίλων προβλημάτων, όπως μονοφασικές ροές σε πορώδη μέσα, πολυφασικές ροές, θερμικά προβλήματα κ.α. (Malaspinas et al 2010). Στη συνέχεια θα δοθεί μία συνοπτική παρουσίαση του προτύπου με έμφαση στη μορφή που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία. Το πρότυπο LB, ιστορικά (Wolf-Gladrow 2000), αποτελεί εξέλιξη του προτύπου δικτύου-αερίου (Lattice-Gas, LG) το οποίο με τη σειρά του προέκυψε ως μία ειδική κατηγορία των κυτταρικών αυτομάτων κατά την προσπάθεια να χρησιμοποιηθούν τα κυτταρικά αυτόματα ως μέθοδος προσομοίωσης προβλημάτων ροής (Frisch et al 1986). Εν αντιθέσει με το πρότυπο δικτύου-αερίου το οποίο βασίζεται στη μεταφορά και σύγκρουση σωματιδίων εντός δικτύου του οποίου οι κόμβοι καταλαμβάνονται από διακριτά σωματίδια, το πρότυπο LB παρακολουθεί την εξέλιξη του στατιστικού συνόλου κάνοντας χρήση της συνάρτησης κατανομής ενός σωματιδίου και επιλύοντας την διακριτή εξίσωση Boltzmann σε προκαθορισμένο δίκτυο (η θεωρία της εξίσωσης Boltzmann δεδομένης της στενής της σχέσης με την κινητική θεωρία και τη ροή υπό συνθήκες αραίωσης, παρατίθεται στο κεφάλαιο 3). O νεωτερισμός αυτός πρωτοεισήχθη από τους ΜcNamarra και Zanetti (1988). Η διακριτή εξίσωση Boltzmann περιγράφεται από 11

32 f ( x+ e,t + 1) = f ( x,t ) + Ω ; i = 0,...,b (1.4) i i i i όπου f i είναι η συνάρτηση κατανομής του σωματιδίου στην διεύθυνση i, x η θέση, t το χρονικό βήμα, e i η ανυσματική ταχύτητα του σωματιδίου στην διεύθυνση i, Ω i ο τελεστής συγκρούσεων στην διεύθυνση i, και b ο αριθμός σύνταξης του δικτύου. Η διακριτή εξίσωση Boltzmann αποτελεί ουσιαστικά μεταφορά της εξίσωσης Boltzmann στον διακριτοποιημένο φασικό χώρο και χρόνο. Η απλοποίηση (Higuera et al 1989, Qian et al 1992) του τελεστή συγκρούσεων σύμφωνα με τη προσέγγιση BGK (Bhatnagar et al 1954) οδήγησε στην κυρίαρχη μορφή του προτύπου. Η προσέγγιση ΒGK βασίζεται στην παραδοχή ότι οι ενδομοριακές συγκρούσεις τείνουν να επαναφέρουν το ρευστό σε τοπική κατάσταση ισορροπίας, με το ρυθμό επαναφοράς να αποτελεί μία φθίνουσα εκθετική συνάρτηση του χρόνου. Με χρήση της προσέγγισης ΒGK η διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann δίνεται από f( x,t) f ( x,t) x e x (1.5) τ eq i i f i( + i,t + 1) = f i(,t ) ; i = 0,...,b όπου f eq i η διακριτή συνάρτηση κατανομής ισορροπίας (ανάπτυγμα) στην κατεύθυνση i και τ η σταθερά χαλάρωσης Το μέτρο του ανύσματος ταχύτητας δίνεται από e i Δx = (1.6) Δt όπου x και t είναι η χωρική και χρονική διακριτοποίηση αντιστοίχως. Οι προσπάθειες να ξεπεραστούν προβλήματα ευστάθειας και ο περιορισμός σε χαμηλές τιμές του αριθμού Mach οδήγησε στην ανάπτυξη μίας ενδιαφέρουσας παραλλαγής (D'Humières et al 2002) του προτύπου δικτύου Boltzmann, το οποίο είναι το πρότυπο πολλαπλών χρόνων χαλάρωσης (multiple-relaxation time, MRT). Το πρότυπο MRT βασίζεται στην έννοια του γενικευμένου πίνακα συγκρούσεων που δρα ως τελεστής στο διάνυσμα των εκτός ισορροπίας συναρτήσεων κατανομών, και που επιτρέπει την ύπαρξη περισσότερων ρυθμιστικών παραμέτρων. εδομένου του ότι στην 12

33 παρούσα εργασία εξετάζονται μόνο ισοθερμοκρασιακές ροές σε χαμηλές τιμές του αριθμού Mach, που ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας προς την ταχύτητα του ήχου στο ρευστό, η περιγραφή θα περιοριστεί στο πρότυπο δικτύου Boltzmann BGK με μία σταθερά χρόνου χαλάρωσης. Η διακριτή συνάρτηση ισορροπίας του προτύπου δικτύου Boltzmann αποτελεί ανάπτυγμα της κατανομής Maxwell-Boltzmann, η οποία σε διακριτή μορφή δίνεται από τη σχέση fi eq ρ = e 2π RT 1 ( ei - u ) 2RT (1.7) όπου ρ είναι η πυκνότητα, R η ειδική σταθερά των αερίων, Τ η θερμοκρασία, e i οι τοπικές σωματιδιακές ταχύτητες και u η μακροσκοπική ταχύτητα. εδομένου ότι η παραπάνω μορφή της κατανομής ισορροπίας δεν είναι εύχρηστη, ακολουθείται η τεχνική ανάπτυξής της κατά Taylor μέχρι δεύτερης τάξης ακρίβεια, δηλαδή ( ) ( ) 2 f = A+ B e u + C e u + Du (1.8) eq 2 i i i όπου A,B,C,D είναι συντελεστές που εξαρτώνται μόνο από την πυκνότητα. Η παραπάνω ανάπτυξη ισχύει μόνο για μικρές ταχύτητες ή μικρές τιμές του αριθμού Mach. Η μορφή της κατανομής ισορροπίας και των συντελεστών της είναι θεμελιώδους σημασίας καθώς επηρεάζουν τις μακροσκοπικές παραμέτρους που άπτονται των μοριακών αλληλεπιδράσεων όπως το ιξώδες, η διεπιφανειακή τάση κ.α. Για τον υπολογισμό των συντελεστών χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των ροπών της συνάρτησης κατανομής ως προς την ταχύτητα, σύμφωνα με την απαίτηση για τον τελεστή συγκρούσεων να ικανοποιείται τοπικά σε κάθε κόμβο η διατήρηση μάζας και ορμής και η επιθυμητή ρεολογική έκφραση για τον τανυστή ειδικής παροχής της γραμμικής ορμής. Ο υπολογισμός αυτός εξαρτάται από το είδος του δικτύου στο οποίο εφαρμόζεται η διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann καθώς θα πρέπει να διατηρούνται οι συμμετρίες του χώρου (μεταφορά, περιστροφή). Οι μακροσκοπικές εξισώσεις διατήρησης της μάζας, ορμής και ενέργειας ανακτώνται από την διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann μέσω 13

34 ανάπτυξης κατά Taylor της συνάρτησης κατανομής και με χρήση της μεθόδου Chapman-Enskog (Chapman and Cowling 1970, Hirschfelder et al. 1964) όπου η συνάρτηση κατανομής επίσης αναπτύσσεται με τη βοήθεια μίας μικρής διαταραχής γύρω από την κατανομή ισορροπίας. Αναπτύγματα με χρήση όρων πρώτης τάξης δίνουν την εξίσωση Euler και με δεύτερης τάξης τις εξισώσεις Navier-Stokes. Το είδος του χρησιμοποιούμενου δικτύου για το πρότυπο δικτύου Boltzmann είναι ιδιαίτερα σημαντικό. Το δίκτυο είναι απαραίτητο να είναι ισότροπο και να διατηρεί τις συμμετρίες του χώρου. Τέτοια δίκτυα είναι τα πλέγματα Bravais. Τα ευρύτερα χρησιμοποιούμενα δισδιάστατα δίκτυα είναι το εξαγωνικό και το τετραγωνικό και τα αντίστοιχα δίκτυα LB καλούνται D 2 Q 7 και D 2 Q 9, όπου στον συμβολισμό της μορφής D i Q j, ο δείκτης i αναφέρεται στη διάσταση του δικτύου και ο δείκτης j στο πλήθος των διακριτών ανυσματικών ταχυτήτων (συμπεριλαμβανομένης και της μηδενικής ταχύτητας). Στο δίκτυο D 2 Q 7, οι ανυσματικές ταχύτητες δίνονται από τη σχέση i 1 i 1 e i = cos π,sin π ; i = 1,...,6 (1.9) 3 3 και στο D 2 Q 9 από e e i i i 1 i 1 = cos π,sin π ; i = 1,...,4 2 2 i 5 π i 5 π = 2 cos π +,sin π + ; i = 5,..., (1.10) Οι συντελεστές της κατανομής ισορροπίας υπό μορφή αναπτύγματος παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1 για την περίπτωση ιδανικού ρευστού με καταστατική εξίσωση P = ρrt (1.11) 14

35 Πίνακας 1.1: Συντελεστές κατανομής ισορροπίας για τα πρότυπα D 2 Q 7 και D 2 Q 9 ιδανικού ρευστού. j A j B j C j D j D2Q7 0 ρ/ ρ 1 ρ/12 ρ/3 2ρ/3 -ρ/6 0 4ρ/ ρ/3 D2Q9 1 ρ/9 ρ/3 ρ/2 -ρ/6 2 ρ/36 ρ/12 ρ/8 -ρ/24 Για ισόθερμο μη ιδανικό ρευστό και για μικρές διακυμάνσεις της πυκνότητας η καταστατική εξίσωση δίνεται από p = c ρ (1.12) 2 s όπου c s είναι η ταχύτητα του ήχου c s p = (1.13) ρ Για μη ιδανικό ρευστό για το πρότυπο D 2 Q 7 η κατανομή ισορροπίας περιγράφεται από eq fi = wiρ 1 + ( e 2 i υ ) + ( e 4 i υ ) υ 2 cs 2cs 2cs 1 1 w 0 = ; w i =, i = 1,.., (1.14) και με το κινηματικό ιξώδες και τη θερμοδυναμική πίεση να δίνονται αντιστοίχως από τις σχέσεις 2τ 1 v = (1.15) 8 15

36 p = ρ /4 (1.16) Οι αντίστοιχες σχέσεις για το πρότυπο D 2 Q 9 είναι eq fi = wiρ 1 + ( e 2 i υ ) + ( e 4 i υ ) υ 2 cs 2cs 2cs w 0 = ; w i =,i = 1,..,4 ; w i =,i = 5,.., (1.17) 2τ 1 v = (1.18) 6 p = ρ /3 (1.19) Η τοπική πυκνότητα και ταχύτητα των σωματιδίων LB δίνεται από τις αθροίσεις ρ ( x,t) = f ( x,t) = f ( x,t) (1.20) i i i i eq i ρ υ ( x,t ) = e f ( x,t ) = e f ( x,t ) (1.21) eq i i i i i Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης για τη λεπτομερή περιγραφή της μεθοδολογίας ανάκτησης των μακροσκοπικών εξισώσεων και του υπολογισμού της κατανομής ισορροπίας μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία (Καλαράκης 2002, Καλαράκης 2003, Wolf-Gladrow 2000). ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΡΟΗΣ Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι επιβολής ροής στο πρότυπο LB: η επιβολή βαθμίδας πίεσης ή ταχύτητας, η επιβολή σωματιδιακών δυνάμεων και η προσθήκη ορμής. Η βαθμίδα πίεσης ή ταχύτητας επιβάλλεται στους συνοριακούς κόμβους εισόδου και εξόδου. Συνήθως επιβολή βαθμίδας πίεσης αντιστοιχεί σε διαφορά πυκνότητας μεταξύ των άκρων του και ο υπολογισμός των αγνώστων κατανομών γίνεται με χρήση των νόμων τοπικής διατήρησης της μάζας και ορμής και υπό τη συνθήκη μηδενικής ταχύτητας κάθετης προς τη 16

37 διεύθυνση της βαθμίδας. Εναλλακτικά είναι δυνατή η επιβολή συγκεκριμένης κατανομής ταχύτητας στους συνοριακούς κόμβους με τις κατανομές της πυκνότητας να υπολογίζονται από την απαίτηση να ικανοποιείται η δεδομένη κατανομή ταχύτητας στο σύνορο και από την διατήρηση της μάζας. Οι σωματιδιακές δυνάμεις οφείλονται στην ύπαρξη εξωτερικού πεδίου και μπορεί να είναι σταθερές σε όλη την έκταση του ρευστού, όπως στην περίπτωση του βαρυτικού πεδίου, είτε μεταβαλλόμενες. Η παρουσία σωματιδιακών δυνάμεων μεταβάλλει τον όρο συγκρούσεων της διακριτής εξίσωσης δικτύου eq f( i x,t) f i ( x,t) f i( x+ ei,t + 1) f i( x,t ) = + F i ; i = 0,...,b (1.22) τ και επιφέρει μεταβολή των συντελεστών του αναπτύγματος της συνάρτησης κατανομής ισορροπίας σύμφωνα με την απαίτηση ρ υ = e f + kf (1.23) i i i i όπου k είναι μία σταθερή παράμετρος, που προσδιορίζεται ίση με k=1/2. Η επιβολή εξωτερικής δύναμης συνδυάζεται συνήθως με περιοδικές συνθήκες στα σύνορα του δικτύου. Ο τρίτος τρόπος επιβολής ροής είναι η μέθοδος προσθήκης ορμής και ενδείκνυται για προσομοιώσεις κίνησης εμβόλου ή σύνδεσης των συνόρων του χώρου εργασίας με δεξαμενές ή δοχεία παροχής και απομάκρυνσης του ρευστού. Στην απλούστερή της μορφή, οι άγνωστες συναρτήσεις κατανομής δίνονται από της γνωστές γειτονικές προσαυξημένες κατά ένα μικρό ποσό, το οποίο αφαιρείται από τις τοπικές συναρτήσεις των ακίνητων πληθυσμών ώστε να διατηρείται τοπικά η πυκνότητα. ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΣΤΕΡΕΟΥ Οι συνοριακές συνθήκες ρευστού-στερεού όπως για όλες της μεθόδους υπολογιστικής ρευστομηχανικής, είναι θεμελιώδους σημασίας για το πρότυπο δικτύου Boltzmann καθώς καθορίζουν τόσο την αριθμητική ακρίβεια όσο και 17