Дуалност Хардијевог простора H 1

Transcript

1 Универзитет у Београду Математички факултет Мастер рад Дуалност Хардијевог простора H Студент: Петар Мелентијевић Ментор: др Мирослав Павловић Октобар, 04.

2 Ова страна је намерно остављена празна.

3 3 Предговор Хардијеви простори једни су од најзначајнијих и најизучаванијих простора функција у хармонијској анализи. Као простори реалних функција за p >, они су изометрички изоморфни L p R, док се у овом смислу H издваја. У раду је показана и ограниченост неких оператора на H, иначе неважећа у L. С друге стране, функције ограничене средње осцилације се први пут појављују у раду Џона и Ниренберга [JN6] у контексту парцијалних једначина. Њихов значај у хармонијској анализи је, пре свега, у томе што се на извесним местима појављују као замена за L. На пример, неки сингуларни интегрални оператори сликају L у BMO. Дуалност ових простора јако је дубока тема и данас и данас је познато више доказа ове теореме. Овде су наведена три: први, заснован на карактеризацији Карлесонових мера и вези Карлесонових мера и BM O функција; други, изведен из Учијамине леме, једноставне последице Гринове формуле; и трећи, доказан помоћу атомске декомпозиције функција из H. У последњем, сама атомска декомпозиција за функције из H узета је за дефиницију, оперативности ради, иако је уобичајено последица опште дефиниције H (R d ). У првој глави наведена су, а само нека од њих и доказана, основна тврђења из теорије хармонијских функција и H p простора, неопходна за разумевање и праћење остатка материјала у раду. Изостављени докази могу се наћи у [Koo08]. Друга глава доноси основне резултате везане за функције ограничене средње осцилације и Џон-Ниренбергову неједнакост [JN6], кључни састојак најважнијих тврђења даље теорије. Трећа глава прати резултате друге главе и у њој је изнесена основна веза Карлесонових мера и BM O функција. У четвртој глави доказана је Феферманова теорема дуалности приступом подржаним твђењима претходне три главе. У петој глави овај резултат је изнесен на један врло елегантан начин, који заобилази и не захтева многе резултате претходно изложене теорије, користећи Учијамину лему [Kne3] (такође видети [Pav3]). У шестој глави дата је једна од еквивалентних дефиниција Хардијевог простора H на R d помоћу атомске декомпозиције. Седма глава доноси уопштење простора BM O на функције више променљивих као и Феферманове теореме, која је овог пута доказана фундаментима L теорије [FS7]. Уместо закључка, рад садржи и додатну осму главу, која даје неке резултате који показују зашто H, у појединим ситуацијама, представља одличну замену за L. Овим је, чини се, ефикасно обухваћена целина везана за дуалност простора H и BMO и демонстриране су различите технике комплексне и хармонијске

4 4 Предговор анализе: Блашкеови производи, Калдерон-Зигмундова декомпозиција, атомска декомпозиција H функције, конформна инваријантност Карлесонових мера на диску и извесних норми на BMO и сл. Ако уопште имам право да кажем да сам, у намери целовитог обухватања теорије H и BMO функција и Карлесонових мера, успео, онда то сигурно није само мој успех. За овакав резултат била је неопходна помоћ ментора др Мирослава Павловића, а захвалност дугујем и великом пријатељу и колеги Николи Милинковићу, на помоћи око обраде текста. У Београду, 3. октобра 04. године.

5 5 Садржај Предговор 3 Хардијеви простори и хармонијске функције 7. Хармонијске функције и теореме репрезентације Блашкеови производи Гранично понашање функција из H p (D) Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација Хардијеви простори у полуравни Функције ограничене средње осцилације 9. Основни појмови и својства BMO функција Џон-Ниренбергова теорема Неки интегрални идентитети и Карлесонове мере Последице Гринове теореме Карлесонове мере Феферманова теорема дуалности 5 5 Учијамина лема и доказ Феферманове и Гарсијине теореме 57 6 Хардијев простор H r (R d ) 63 7 Простор BMO на R d и дуалност 7 8 Уместо закључка 75 Библиографија 79

6 Ова страна је намерно остављена празна.

7 7 Глава Хардијеви простори и хармонијске функције Хардијеви простори H p, за 0 < p < +, дефинисани су као класе холоморфних функција f : D C на отвореном јединичном диску за које важи ( )/p sup f(re iθ ) p dθ < +. 0<r< 0 Јасно, класа H p јесте векторски простор, и број са леве стране горње неједнакости је H p -норма од f, у ознаци f H p за p. За 0 < p < исти израз не дефинише норму на простори H p. Простор H дефинишемо као векторски простор ограничених холоморфних функција на јединичном диску, са нормом f H = sup f(z). z < За 0 < p q, класа H q чини подскуп од H p, што је једноставна последица Хелдерове неједнакости: ( )/p ( f(re iθ ) p dθ 0 ( = 0 0 ) f(re iθ ) p q p p q p dθ f(re iθ ) q dθ )/q ( ) p q p q dθ 0. Хармонијске функције и теореме репрезентације У циљу опремања теорије потребне за разумевање и извођење најважнијих резултата подсетимо се неких чињеница везаних за хармонијске функције. Хармонијска функција u = u(x, y) : R R је двапут диференцијабилна функција за коју је испуњена једнакост u x + u y = 0. За хармонијске функције на диску D, непрекидне на његовом затворењу D, важи Пуасонова формула u(re iθ ) = π P r (θ t)u(e it ) dt,

8 8 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције где је 0 r < и P r (θ) Пуасоново језгро дато изразом P r (θ) = + n= r n e inθ = r + r r cos θ + reiθ = Re, 0 r <. reiθ За нас ће од посебног значаја бити репрезентација неких класа хармонијских функција на D. С тим у вези наводимо следећу теорему. Теорема.. Нека је p >, u(z) хармонијска функција на D и нека је π u(re iθ ) p dθ ограничено за r <. Тада постоји функција f L p (, π) таква да важи u(re iθ ) = π P r (θ t)f(t) dt, r <. Слично тврђење важи и за p = +, тј. ако је u(z) хармонијска и ограничена у D, постоји f L (, π) тако да је u(re iθ ) = P r(θ t)f(t) dt, r <. Случај p = се битно разликује од наведених. Наиме, важи: Теорема.. Ако је u(z) хармонијска у D и ако су величине π u(re iθ ) dθ ограничене за r <, тада постоји коначна мера са знаком µ на [, π] таква да је u(re iθ ) = π P r (θ t) dµ(t), 0 r <. Овде је суштинска разлика између функција из простора H и хармонијских функција за које су средине ограничене. резултате: Теорема.3. Нека је π u(re iθ ) dθ Зашто је ово овако, скицираћемо након подсећања на следеће u(re iθ ) = π P r (θ t) dµ(t), где је µ коначна означена мера на [, π]. Тада u(re iθ )dθ dµ(θ) w кад r, тј. за сваку непрекидну функцију g(θ), периодичну са периодом, lim r π u(re iθ )g(θ) dθ = π g(θ) dµ(θ).

9 Хармонијске функције и теореме репрезентације 9 Теорема.4 (Теорема браће Рис). Ако је π e inθ dµ(θ) = 0, за n =,, 3,... тада је µ апсолутно непрекидна у односу на Лебегову меру. Сада за f H, будући да је хармонијска, из теореме. имамо да је f(re iθ ) = π r + r cos(θ t) dµ(t), за неку меру µ (овог пута комплексну) на [, π]. Теорема.3 даје w -конвергенцију f(re iθ ) dµ(θ), кад r. Како је f аналитичка у D, једноставно добијамо (нпр. применом Кошијеве интегралне формуле) да је π e inθ f(re iθ ) dθ = 0, n =,, 3,... Зато је, из поменутог граничног прелаза, π e inθ dµ(θ) = 0, n =,, 3,... Сада, теорема.4 каже да је µ апсолутно непрекидна, односно dµ = h(θ)dθ, где је h L (, π). Отуда за f H постоји h L (, π) тако да је f(re iθ ) = π P r (θ t)h(t) dt. За H p, p >, важи одговарајућа репрезентација, која, за разлику од претходног случаја, следи директно из теореме.. Према последици Фатуове теореме и Лебегове теореме о диференцирању, f(z) h(θ) скоро свуда кад z e iθ нетангенцијално, па можемо ставити Имамо f(e iθ ) = lim z e iθ f(z). f(re iθ ) = π P r (θ t)f(e it ) dt, за f H (D). На овом месту је битно навести и следећи резултат који такође говори о извесној одређености функције f H (D) нетангенцијалним лимесима. Наиме, важи: Теорема.5. Нека је f(z) H (D) и претпоставимо да је f(e iθ ) = 0 за θ E, где је E [, π] строго позитивне мере. Тада је f(z) 0.

10 0 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Пређимо сада на резултате везане за гранично понашање хармонијских функција у диску, које имају неку од репрезентација π u(re iθ ) = P r (θ t)f(t) dt, за f L p, или u(re iθ ) = π P r (θ t) dµ(t). Ако је f L p (, π), а тиме и f L (, π), тада је dµ(t) = f(t) dt једна коначна мера са знаком, па је, заправо, прва репрезентација садржана у последњој. При раду са мером µ, од користи је дефинисање функције µ(θ) = { θ 0 dµ(t), θ > 0,. dµ(t), θ < 0. 0 θ Сада смо у могућности и да наведемо први резултат овог типа, а то је следећа: Теорема.6 (Фатуова теорема). Нека је < φ 0 < π и претпоставимо да извод µ (φ 0 ) постоји и коначан је. Тада тежи µ (φ 0 ) кад re iθ e iφ 0 u(re iθ ) = π P r (θ t) dµ(t) по области θ φ 0 c( r). У овом случају кажемо и да u(re iθ ) µ (φ 0 ) кад re iθ e iφ 0 нетангенцијално. Помоћ класичне теореме Лебега о диференцирању, која тврди да за f L (, π), извод d θ f(t) dt dθ 0 постоји скоро свуда и једнак је f(θ), омогућава следећи битан закључак. Теорема.7. Нека је < p < + и u(z) хармонијска у D, при чему је ( π /p u(re iθ ) dθ) p C за 0 r <. Тада, за скоро свако θ, u(z) тежи коначној граничној вредности, означимо је са u(e iθ ), кад z нетангенцијално тежи e iθ. Даље је u(e iθ ) L p (, π) и за 0 r < важи u(re iθ ) = π r + r r cos(θ t) u(eit ) dt. Приметимо да исто не важи за p =, јер мера µ, којом је функција u(z) репрезентована, не мора бити апсолутно непрекидна у односу на Лебегову меру. Јасно, случај функција из H p, p, због ове примедбе и показане репрезентације за H укључује и случај p =. Дакле, важи: Теорема.8. Нека је u H p (D). Тада, за скоро свако θ, u(z) тежи u(e iθ ) < + кад z нетангенцијално тежи e iθ ; u(e iθ ) L p (, π) и за 0 r < важи u(re iθ ) = π P r (θ t)u(e it ) dt.

11 Блашкеови производи. Блашкеови производи Техничка подршка у раду са функцијама из H p простора јесу и Блашкеови производи. То су бесконачни производи B(z) = n= z n z n z n z z n z, где су 0 < z n < и назначени производ апсолутно конвергира. Наравно, производ може бити и коначан, а може бити и помножен са z k за k N 0. Испоставља се да је потребан и довољан услов за апсолутну конвергенцију Блашкеовог производа једноставан; производ апсолутно конвергира ако и само ако је ( z n ) < +. n= Према елементарној теорији функција комплексне променљиве, за z < је B(z) <. Сада B(z), као аналитичка и ограничена функција у диску D, има нетангенцијалне лимесе скоро свуда на јединичној кружници и показује се да важи: Теорема.9. За скоро свако θ (, π) је B(e iθ ) =. Честа примена Блашкеових производа је у формирању истих од нула неких аналитичких функција, како би добили функцију исте H p -норме, без нула у диску D. Теорема.0. Нека је f(z) 0 аналитичка у D и нека су z n функције у D. Претпоставимо да је величина π ограничена одозго за r <. Тада је па Блашкеов производ log f(re iθ ) dθ ( z n ) < +, n= B(z) = n= z n z n z n z z n z нуле ове апсолутно конвергира у диску D и важи да је f(z) = B(z)g(z), где је g(z) аналитичка и нема нула у D. Доказ. Без умањења општости, можемо узети да је f(0) 0 (у супротном, радимо са f(z)z k уместо са f(z)). Тада за 0 < r < и ниједно z n по модулу једнако r, из Јенсенове формуле log f(0) = z n <r log z n + r π log f(re iθ ) dθ

12 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције и претпоставке имамо z n <r log r M log f(0), z n где је M такво да је π log f(re iθ ) dθ M за свако r (0, ) (дакле, независно од r). За свако p N, узимајући r довољно близу јединице, постижемо да је z n < r за n =,,..., p, па је тада p log r z n n= одакле узимајући r добијамо p n= log z n па како ово важи за свако p N, имамо n= Сада, из z n log z n имамо па Блашкеов производ M log f(0), M log f(0), log z n < +. ( z n ) < +, n= B(z) = n= z n z n z n z z n z апсолутно конвергира и има нуле као и f(z). Следи да је количник g(z) = f(z)/b(z) аналитичка функција у диску без нула. За f 0 из неког H p, коришћењем управо доказане теореме имамо следећи резултат: Теорема.. Ако је f H p (D) и f 0, тада постоји Блашкеов производ B(z) и g(z) H p (D) за које је f(z) = B(z)g(z) и g(z) нема нула у D. Доказ. За r <, примена Јенсенове неједнакости на конкавну функцију φ(x) = log x и f(re iθ ) даје π p log f(re iθ ) dθ log π f(re iθ ) p dθ,

13 Блашкеови производи 3 што је, према претпоставци, равномерно ограничено неком константом c. Зато, из претходног тврђења имамо ( z n ) < +, n= па можемо формирати Блашкеов производ B(z) и g(z) = f(z) /B(z) на начин описан у претходним редовима. Означимо B N (z) = N z n z n z n= z n z n. Производ за B(z) конвергира апсолутно z у D и за r <, B N (z) B(z) кад N + равномерно на z r. Одаберимо r такво да ни за једно z n не важи z n = r. Тада је π π g(re iθ ) p dθ = lim f(re iθ p ) N B N (re iθ ) dθ. За свако N N, g N (z) = f(z) B N (z) је аналитичка и за p > 0, g N (z) p је субхармонијска у D, па за фиксирано r < имамо π g N (re iθ ) p dθ lim sup R π g N (Re iθ ) p dθ. За фиксирано N, B N (re iθ ) равномерно кад r, па је lim sup r π g N (re iθ ) p dθ = lim sup r што је ограничено, по претпоставци, нпр. са C. Зато је, за свако r <, па је коначно π π g N (re iθ ) p dθ C, за N N, π g(re iθ ) p dθ C. Из произвољности r следи да је g H p (D). f(re iθ ) p dθ, Приметимо да смо у доказу претходне теореме имали sup r< π g(re iθ ) p dθ sup r< π f(re iθ ) p dθ. Како је f = Bg и B(z) у D имамо и супротну неједнакост sup r< π f(re iθ ) p dθ sup r< π g(re iθ ) p dθ, па је f H p = g H p. За нас ће бити значајне и следеће две последице ове теореме.

14 4 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Последица.. Ако f H и f 0, тада постоје g, h H које немају нула у D, такве да важи f = g + h и π π g(e iθ ) dθ h(e iθ ) dθ π π f(e iθ ) dθ, f(e iθ ) dθ. Доказ. Нека је B(z) Блашкеов производ формиран од нула функције f(z) и F (z) = f(z) /B(z) аналитичка функција без нула за коју је f(z) = B(z)F (z). Тада је Узимајући π F (e iθ ) dθ = π f(e iθ ) dθ. g(z) = B(z) + F (z) и h(z) = B(z) F (z) добијамо закључак последице, имајући у виду да је B(z) < за z <. Последица.3. Нека је f H p (D), f 0. Тада можемо записати f(z) = B(z) [g(z)] /p, где је B(z) Блашкеов производ и g H (D) без нула у D. Доказ. Према теореми. можемо записати f(z) = B(z)F (z), F H p (D) без нула у D. Узимајући g(z) = [F (z)] p, z < добијамо жељени резултат..3 Гранично понашање функција из H p (D) Користећи теорему., односно репрезентацију функције f из H p (D) доказаћемо још два битна резултата о граничним вредностима функције f. Теорема.4. Ако је p > 0 и f H p (D), тада, за скоро свако e iθ, lim f(z) кад z e iθ постоји и коначан је (означимо га са f(e iθ )) и тада важи, π π f(e iθ ) p dθ = f p, 0 < p <, f(e iθ ) p dθ = f p p, p. Доказ. Претпоставимо да је f 0. Тада је, према теореми. и примедби након исте, могуће представити f(z) = B(z)g(z), где је B(z) Блашкеов производ, g(z) нема нула у D и f p = g p. Запишимо g(z) = h(z) /p, као у последици.3. Тада h H (D) и према коментару након теореме.4, h = lim sup r π h(re iθ ) dθ = π h(e iθ ) dθ,

15 Гранично понашање функција из H p (D) 5 где је h(e iθ ) гранична вредност кад z e iθ нетангенцијално. Према претпоставци f 0 и теореми.5, h(e iθ ) 0 за скоро свако θ. Тада, за скоро свако θ, lim g(z) = lim [h(z)] /p постоји кад z e iθ. Означимо ову граничну вредност са g(e iθ ). Отуда, како B(z) B(e iθ ) кад z e iθ за скоро свако θ, f(z) B(e iθ )g(e iθ ) = f(e iθ ) за скоро свако θ кад z e iθ. Коначно, за p је f p p = g p p = h /p p p = h = = π g(e iθ ) p dθ = π π f(e iθ ) p dθ, h(e iθ ) dθ јер је B(e iθ ) = скоро свуда. Слично се поступа и за 0 < p <. Теорема.5. Ако f H p (D), и f(e iθ ) су нетангенцијалние граничне вредности функције f, тада је lim r π f(re iθ ) f(e iθ ) p dθ = 0. Доказ. Нека је f 0, B(z) Блашкеов производ формиран од нула функције f(z) и f(z) = B(z)g(z), где g H p (D) и нема нула у D. Ако је r < и 0 < p <, онда π f(e iθ ) f(re iθ ) π p dθ + π B(re iθ ) p g(e iθ ) g(re iθ ) p dθ π π + B(e iθ ) B(re iθ ) p g(e iθ ) p dθ g(e iθ ) g(re iθ ) p dθ B(e iθ ) B(re iθ ) p g(e iθ ) p dθ, и слично за p, где су сви интеграли са степеном p. Имамо B(z) и B(re iθ ) B(e iθ ) кад r, и g(e iθ ) p L (, π). Зато је π lim B(e iθ ) B(re iθ ) p g(e iθ ) p dθ = 0, r према теореми о доминантној конвергенцији. Стога је довољно доказати да је lim r π g(e iθ ) g(re iθ ) p dθ = 0 за g H p (D) без нула у D. За p је g(re iθ ) = π P r (θ t)g(e it ) dt,

16 6 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције јер g H (D). Сада g(e it ) L p (, π) за g H p (D), па због својства Пуасоновог језгра имамо π lim g(e iθ ) g(re iθ ) p dθ = 0. r Нека је, сада, p /. Ставимо h(z) = g(z) (ово је добро дефинисано јер g(z) нема нула у D). Тада h H p (D), p. Даље имамо: π g(e iθ ) g(re iθ ) p dθ = π h(e iθ ) h(re iθ ) p h(e iθ ) + h(re iθ ) p dθ, па применом неједнакости Коши-Шварц-Буњаковсог добијамо π g(e iθ ) g(re iθ ) ( π p dθ h(e iθ ) h(re iθ ) p dθ ( π ( π C ) / h(e iθ ) + h(re iθ ) ) / p dθ h(e iθ ) h(re iθ ) p dθ) /, где C не зависи од r, јер h H p (D). Како је p, последњи израз тежи 0 кад r. За p /4, последњи закључак и смена h = g дају жељени резултат. Узастопном применом за p /8, p /6, итд. доказујемо тврђење за свако p (0, )..4 Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација У циљу излагања основног резултата овог рада навешћемо и фундаменталне теорије о хармонијском конјугату хармонијске функције. Дефиниција. (Хармонијски конјугат). Кажемо да је хармонијска функција v(z) дефинисана у D = {z : z < } хармонијски конјугат од u(z), z D ако је u(z) + iv(z) аналитичка у D. Хармонијски конјугати дефинисани су до на адитивну константу, па се уобичајено v(z) бира тако да буде v(0) = 0, и овакав конјугат се означава са ũ(z). где је Нека је, сада, Тада је u(re iθ ) = + n= ũ(z) = a n r n e inθ, 0 r <. + n= i sgn na n r n e inθ,, n < 0, sgn n = 0, n = 0,, n > 0.

17 Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација 7 Лако је проверити да је ũ(re iθ ) хармонијска у D и да је ũ(0) = 0. Такође, је аналитичка у D. Ако је, сада, u(re iθ ) + iũ(re iθ ) = a 0 + a n r n e inθ n= u(re iθ ) = π P r (θ t) dµ(t) са мером µ на [, π], тада је горњи приказ и у облику реда могућ са Одавде имамо Израз a n = π ũ(re iθ ) = π Q r (θ) = i + n= + n= + n= e int dµ(t). i sgn nr n e in(θ t) dµ(t). sgn nr n e inθ називамо конјуганим Пуасоновим језгром. Сумирањем два геометријска реда у горњем изразу добијамо Q r (θ) = Дакле, хармонијски конјугат функције јесте функција u(re iθ ) = π r sin θ + r r cos θ. r + r r cos(θ t) dµ(t) ũ(re iθ ) = π r sin(θ t) + r r cos(θ t) dµ(t). Од посебног значаја је гранично понашање ũ(z) за u(re iθ ) = π P r (θ t)f(t) dt, где је f L p (, π), p. Под претпоставком да је f проширена са [, π] на R тако да буде периодична имамо ũ(re iθ ) = = π π π 0 r sin(θ t) f(t) dt + r r cos(θ t) r sin u (f(θ u) f(θ + u)) du. + r r cos u

18 8 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Како је то, ако је јасно, за r имамо r sin u + r r cos u = r sin u cos u ( r) + 4r sin u, π 0 ũ(re iθ ) π f(θ s) f(θ + s) s π 0 ds < +, f(θ u) f(θ + u) tg u где је интеграл на десној страни апсолутно конвергентан. важи кад је f диференцијабилна у θ. Међутим, испоставља се да гранична вредност хармонијског конјугата ũ(e iθ ) = π π 0 f(θ t) f(θ + t) tg t ũ(re iθ ) = π Q r (θ t)f(t) dt du, dt Ово специјално постоји свуда и за ширу класу функција f. У том случају, одговарајући интеграл за граничну вредност интерпретирамо као π f(θ t) f(θ + t) lim ϵ 0 + π ϵ tg t dt. Дефиниција. (Лебегов скуп). Ако је f L (, π) -периодична, за θ кажемо да припада Лебеговом скупу функције f ако је h lim f(θ + h) f(θ) dt = 0. h 0 h h Један од битних резултата реалне анализе, који ћемо користити у наредним редовима је следећа Теорема.6 (Лебегова теорема). Скоро свако θ (, π) је у Лебеговом скупу функције f L (, π). Сада прелазимо на први значајнији резултат. Теорема.7. Нека је f -периодична функција из L (, π). Тада је за сваку тачку θ из Лебеговог скупа функције f, тј. скоро сваку тачку θ R, ( π r sin t lim r π + r r cos t f(θ t) dt π ) f(θ t) f(θ + t) π r tg t dt = 0.

19 Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација 9 Доказ. Будући да је функција r sin t + r r cos t непарна по t назначена разлика се неће променити ако f заменимо са f f(θ). Разлику сада можемо раздвојити на два дела, од којих је први I = π r ( r) r sin t (f(θ t) f(θ)) dt + r r cos t За t r важи процена r sin t sin t + r r cos t ( r) t ( r) r ( r) r, па је зато: I r f(θ t) f(θ) dt, π( r) ( r) па I 0 кад r за скоро свако θ, према теореми.6. Означимо s = r. Тада је други део разлике II = [ r sin t π s + 4r sin t sin t ] 4 sin t (f(θ t) f(θ)) dt. s t π Израз под угластом заградом је једнак s sin t 4(s + 4r sin t ) sin t, што је, за нпр. r /, по апсолутној вредности, мање или једнако где је C нека апсолутна константа. Отуда је II Cs π ( r) C, t 3 s t π f(θ t) f(θ) t 3 Парцијалном интеграцијом налазимо да је s π s f(θ t) f(θ) t 3 dt = s π 3 π 0 s dt. f(θ t) f(θ) dt s 0 + 3s π s f(θ t) f(θ) dt v 4 v 0 f(θ t) f(θ) dt dv. Прва два члана теже нули за θ из Лебеговог скупа функције f из очигледних разлога, док трећи разматрамо одвојено.

20 0 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције За дато ϵ > 0, изаберимо δ > 0 такво да је кад год је 0 < v < δ; тада је: v f(θ t) f(θ) dt < ϵ, v 0 3s π s v δ f(θ t) f(θ) dt dv 3s ϵ v 4 0 s v dv 3 π + 3s за 0 < s < δ. За довољно мало s je ϵ + s M δ 4 s π s < s s ϵ + 3πs δ 4 δ = ϵ + s M δ 4, v δ 4 0 π 0 f(θ t) f(θ) dt dv f(θ t) f(θ) dt < 4ϵ, па из произвољности ϵ > 0, видимо да f(θ t) f(θ) t 3 dt 0, кад s 0, а самим тим и II 0 кад r. Испоставља се да π f(θ t) f(θ + t) lim ϵ 0 + ϵ tg t dt постоји скоро свуда кад год f L (, π)! резултат. Из релација ортогоналности { π e inθ e imθ 0, m n, dθ =, m = n, и апсолутне конвергенције следи да, ако је u(re iθ ) = + n= a n r n e inθ Видећемо да је ово јако дубок хармонијска у D, важи за r [0, ). Дакле, важи: π u(re iθ ) dθ = + n= a n r n

21 Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација Теорема.8. Ако је u(z) хармонијска у D, тада је ако и само ако је u(re iθ ) = π P r (θ t)f(t) dt, за f L (, π), u(re iθ ) = + n= a n r n e inθ, са + n= А сада резултат који чекамо већ неко време: a n < +. Теорема.9. Нека је f L (, π) -периодична. Тада f(θ) = lim ϵ 0 + π π ϵ f(θ t) f(θ + t) tg t постоји за скоро свако θ, f(θ) L (, π) и f f. Ако је u(re iθ ) = π P r (θ t)f(t) dt, тада је ũ(re iθ ) = π Q r (θ t)f(t) dt = π P r (θ t) f(t) dt. Доказ. Према претходној теореми, па је и u(re iθ ) = из истих разлога једнако + n= ũ(re iθ ) = i a n r n e inθ, ũ(re iθ ) = + n= π са + n= sgn na n r n e inθ, P r (θ t)g(t) dt dt a n < +, за неку g L (, π). Како за скоро свако θ, ũ(z) g(θ) кад z нетангенцијално тежи e iθ, па је, специјално и lim r ũ(reiθ ) = g(θ) скоро свуда. Према теореми.7 π f(θ t) f(θ + t) π r tg t dt такође мора тежити g(θ) кад r за скоро свако θ. Зато теорема важи за f(θ) = g(θ)!

22 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Како је π f = lim u(re iθ ) dθ r и исто јесте једнако + n= a n, према горњем рачуну, и па имамо и f f. π f = lim ũ(re iθ ) dθ = a n, r n 0 За f L (, π) можемо рећи само следеће. Теорема.0. Нека f L (, π) и f(θ + ) = f(θ). Тада главна вредност интеграла f(θ) = π f(θ t) f(θ + t) π 0 tg t dt постоји и скоро свуда је коначна. Главна вредност интеграла за f(θ) може се записати и као ( ϵ lim + ϵ 0 + π π Ово ћемо слично као и горе записивати као f(θ) = π π имајући на уму о каквом је интегралу реч. ϵ ) f(θ t) tg t dt. f(θ t) tg t Дефиниција.3. Функција f(θ) се назива Хилбертовом трансформацијом функције f(θ). За дату f(θ) L (, π) је F (z) = u(z) + iũ(z) H (D). Гранична вредност F (e iθ ) задовољава F (e iθ ) = f(θ) + i f(θ), па ако је f L (, π) реална функција, имамо начин да конструишемо F H (D) са Re F (e iθ ) = f(θ) скоро свуда. У наредним редовима доказаћемо аналог неједнакости f f за f L p (, π). dt Лема.. Нека су u(z), v(z) хармонијске у D и нека су ũ(z), ṽ(z) њихови хармонијски конјугати са ũ(0) = ṽ(0) = 0. Тада за 0 r < важи π π u(re iθ )ṽ(re iθ ) dθ = ũ(re iθ )v(re iθ ) dθ. (.)

23 Хармонијски конјугат и Хилбертова трансформација 3 Доказ. Доказ следи из директне провере интеграљењем члан по члан апсолутно конвергентних редова u(re iθ ) = v(re iθ ) = ũ(re iθ ) = i ṽ(re iθ ) = i + n= + n= + n= + n= a n r n e inθ, b n r n e inθ, sgn na n r n e inθ, sgn nb n r n e inθ. Сада ћемо навести чувену теорему Марсела Риса која каже да је Хилбертова трансформација ограничен оператор из L p у L p за p >. Теорема. (Теорема Марсела Риса на диску). Нека је f(θ) L p (, π), < p < + и u(re iθ ) = π P r (θ t)f(t) dt, са хармонијским конјугатом ũ, ũ(0) = 0. Тада, узимајући f као -периодичну, f(θ) = π lim ϵ 0 + π постоји скоро свуда, f L p (, π) и ϵ ũ(re iθ ) = за r <. Тада за неко C p = C(p) важи f(θ t) f(θ + t) tg t π f p C p f p. P r (θ t) f(t) dt Доказ. Случај p) је већ размотрен. За f L (, π), f(θ) постоји скоро свуда, што важи и за f L p (, π), p >. Стога је довољно доказати π ũ(re iθ ) p dθ (C p f p ) p (.) за r [0, ). Теорема., тада, даје постојање g L p (, π), g p C p f p за коју је dt ũ(re iθ ) = и тада је g(θ) = f(θ) скоро свуда. π P r (θ t)g(t) dt,

24 4 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Докажимо сада за p (, ) неједнакост (.), а потом аргументом дуалности и идентитетом (.) и случај p >. Приметимо да је довољно доказати исту у случају f(θ) 0, јер у општем случају реалну f L p (, π) можемо записати као разлику f = f + f где је f + = max{f, 0}, f = max{ f, 0}, а неједнакост троугла за L p -норме даје f p p = f + p p + f p p p ( f + p + f p ) p. Сада, за f 0 и f(θ) 0, запишимо F (z) = u(z) + iũ(z). За z D, Re F (z) = u(z) > 0, па F нема нула, те је добро дефинисана аналитичка функција G(z) = F (z) p. Према теореми о средњој вредности хармонијских функција и F (0) = u(0) 0 имамо, за 0 r < : π Re G(re iθ ) dθ = Re G(0) = u(0) p 0. За дато r <, поделимо [, π] на дисјунктну унију E E, на следећи начин: узмимо φ ( ) 0, π, такво да је π < pφ < pπ < π (такво φ постоји, јер је p (, )); тада ставимо па је E = {θ [, π] : φ arg F (re iθ ) φ}, E = {θ [, π] : φ arg F (re iθ ) π }. Због Re F (z) > 0, arg F (z) < π, па је [, π] = E E. Сада имамо E E π Re G(re iθ ) dθ + Re G(re iθ ) dθ = Re G(re iθ ) dθ 0. (.3) За θ E, Re G(re iθ ) < 0 и Re G(ee iθ ) G(re iθ ) cos pφ, па је према (.3), cos pφ G(re iθ ) dθ Re G(re iθ ) dθ. За θ E је па имамо E E G(re iθ ) dθ sec pφ E F (re iθ ) cos φ u(reiθ ), G(re iθ ) cos p φ u(reiθ ) p, E G(re iθ ) dθ sec pφ cos p φ E u(re iθ ) p dθ. Такође је E G(re iθ ) dθ cos p φ E u(re iθ ) p dθ.

25 Хардијеви простори у полуравни 5 Додавајући претходне две неједнакости добијамо π G(re iθ ) p + sec pφ dθ u(re iθ ) p dθ, cos p φ E па је, тим пре, и π ũ(re iθ ) p dθ јер је G(z) = (u(z) + iũ(z)) p. Из својства P r (θ t) имамо коначно За p >, је q = ũ(re iθ ) p = p p π ( π ũ(re iθ ) p dθ (, ) и + sec pφ cos p φ dθ, + sec pφ f p cos p φ p. /p ũ(re iθ ) dθ) p = sup где је супремум узет по свим коначним збировима t(re iθ ) = + n= где је t(re iθ ) q. Како је q <, то је, према већ доказаном, па је те је за p >. π b n r n e inθ, t(re iθ ) q C q t(re iθ ) q, π π ũ(re iθ )t(re iθ ) dθ = u(re iθ ) t(re iθ ) dθ ũ(re iθ )t(re iθ ) dθ, t(re iθ ) q u(re iθ ) p C q t(re iθ ) q u(re iθ ) p K q u(re iθ ) q, ũ(re iθ ) p K q u(re iθ ) p,.5 Хардијеви простори у полуравни Претходна тврђења и остала теорија се уз извесне измене преносе и на Хардијеве просторе у полуравни. Наиме, Хардијеви простори у полуравни H p (H + ) за p > 0 су простори аналитичких функција такви да за фиксирано p, постоји константа C > 0 са за свако y. + f(x + iy) p dx C,

26 6 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције И у овом случају је значајно посматрати извесна својства хармонијских функција у H +. Пуасоново језгро за горњу полураван изводимо користећи конформно пресликавање полуравни у диск и познато језгро за диск. Наиме, посматрамо и за Im z > 0 и t R. Тада је: па је: Сада је: Тако је: Тако имамо: w = i z i + z e iτ = i t i + t = ω, r w dω dτ = + r r cos(θ τ) w ω iω. dω = w dω w ω iω = i z i (i + t) dt, dω iω = + t dt. i z +z i t i+z i+t dt + t = y z t dt. Теорема.3. Нека је v(z) хармонијска и ограничена у H +. Тада lim v(z) = v(t) за z t постоји скоро свуда на R и за Im z > 0 важи: Приметимо да је v(z) = π + y v(t) dt. (x t) + y y i(x t) + (x t) + y (x t) + y = i z t, за свако t R, аналитичка функција у горњој полуравни. Отуда и један избор хармонијског конјугата за v(z) = π + y (x t) + y dµ(t) може бити ṽ(z) = π + што је применљиво онда када је + x t (x t) + y dµ(t), dµ(t) + t < +.

27 Хардијеви простори у полуравни 7 Али, ми врло често знамо само да је + dµ(t) + t < +, па у том случају за хармонијски конјугат бирамо + ( x t π (x t) + y + t ) dµ(t). t + Слично као и за диск, имамо одговарајуће теореме везане за гранично понашање функција: Теорема.4. Нека је v(z) = π + где је µ мера са знаком на R и + y (x t) + y dµ(t), dµ(t) + t < +. Тада за оне t 0 за које µ (t 0 ) постоји и коначан је, v(z) µ (t 0 ) кад z t 0. Теорема.5. Ако је f L p (, + ), p < + и f y (x) = π + y f(t) dt, (x t) + y тада је f y p f p за y > 0 и f y f p 0 кад y 0. Граничне вредности хармонијског конјугата функције добијене Пуасоновим интегралом задане f добијамо Хилбертовом трансформацијом те функције: H f(x) = lim ϵ 0 π x t ϵ f(t) x t dt. Показује се да је овај оператор ограничен на L p (R), што је садржај следеће теореме: Теорема.6 (Теорема Марсела Риса на полуравни). Нека је < p < + и u(t) L p (, + ). За Im z > 0 запишимо Тада, за свако h > 0, ũ(z) = π + x t u(t) dt. z t + + ũ(x + ih) p dx K p u(t) p dt, за неку константу K p која зависи само од p, а важи и H u p K /p p u p.

28 8 Глава. Хардијеви простори и хармонијске функције Хилбертов оператор H није ограничен на L (, + ), али задовољава слабу ограниченост, на којој се овде нећемо задржавати. Уместо тога, касније ћемо доказати да је на H r (R) овај оператор ограничен. За крај излагања наведимо теореме репрезентације за H p (H + ) функције. Теорема.7. Нека је f(z) H p (H + ) и p. Тада за скоро свако t R, lim f(z) = f(t) z t постоји, f(t) L p (, + ) и f(z) = π + y (x t) + y f(t) dt, z H+. Теорема.8. Ако је f H p (H + ), p < +, тада је f(z) = i + f(t) t z dt и + f(t) dt = 0. t z Теорема.9. Нека је f(z) 0 из H p (H + ). Тада је, за z H +, где је f(z) = I f (z) O f (z),. I f (z), унутрашњи чинилац функције f, једнак ( + ( i I f (z) = e iγ B(z) exp π z t + it ) t + где су: (a) γ R, (b) B(z) је Блашкеов производ за горњу полураван ( B(z) = e iα z z ) k k, z z k k= ) dσ(t) e iαz, где су z k нуле f(z) у H + и реални бројеви α k изабрани тако да је e iα k i z k i z k 0, (c) dσ(t) 0 сингуларна мера за коју је + dσ(t) + t < +, (d) α [0, + ).. O f (z), спољашњи чинилац функције f, дат са ( i + ( O f (z) = exp π z t + t ) ) log f(t) dt. t +

29 9 Глава Функције ограничене средње осцилације У овом поглављу навешћемо и доказати нека од најважнијих својстава функција ограничене средње осцилације. Технике које при томе користимо су неке од основних у хармонијској анализи и имају и знатно шире примене.. Основни појмови и својства BM O функција Дефиниција.. Нека је φ L (T). Кажемо да је φ функција ограничене средње осцилације и пишемо φ BMO(T) ако је sup φ φ I dθ I I = φ < +, I где са I означавамо произвољан лук на T, са I дужину лука I једнаку dθ I = и са φ I = φ dθ I I просечну вредност функције φ на луку I. Иако, пре свега, овде радимо на диску, наводимо дефиницију BM O функција на правој, уз примедбу да ће на извесним местима рад са BMO(R) бити једноставнији од рада са BM O(T), па ћемо стога упоредо заснивати обе теорије. Дефиниција.. Локално-интеграбилна функција ψ на R је функција ограничене средње осцилације ако је sup ψ ψ I dt = ψ < +, I I где је ψ I = ψ dt, I а супремум узет по свим ограниченим интервалима. Величину ψ зовемо BMO-нормом функције ψ. I I

30 30 Глава. Функције ограничене средње осцилације Будући да константне функције имају BM O-норму нула, идентификујемо ψ BMO са ψ + α, где је α реална или комплексна константа. Зато је BMO подскуп од L loc C. Није круцијално да ли у интегралу одузимамо тачно ψ I. Наиме, ако за сваки ограничен интервал постоји α I таква да је I I ψ α I dt M, тада из основне интегралне неједнакости и горње претпоставке имамо ψ ψ I dt ψ α I dt + α I ψ I dt M + M dt = M, I I I I I јер је I α I ψ I ψ α I dt M, I I па је, тако, ψ M. Такође јасно је и да је L C BMO, јер за ψ L имамо ( / ( / ψ sup ψ ψ I dt) sup ψ dt) ψ, I I I I I I према Коши-Шварцовој неједнакости и из чињенице да је ψ I константа која је најближа ψ у L -метрици на R. Како је, према ранијој примедби, ψ α = ψ, то важи ψ inf α ψ α. Типичан пример (тачан смисао речи типичан видећемо касније) неограничене функције у BMO је log t. Да би доказали да је log t BMO(R), нађимо константу C t0,r такву да је просек log t C t0,r равномерно ограничен на [t 0 R, t 0 + R]. Како је t0 +R log t C t0,r dt = R t 0 R I t t 0 R log t C t0,r + log R dt, то је, уз избор C t0,r = C R t 0/R, + log R за R, довољно наћи C t 0,. За t 0, C t0, = 0 и t t 0 log t dt t 3 log t dt = log 79 e. I За t 0 >, узмимо C t0, = log t 0, па је t t 0 log t log t0 dt = t t 0 t log t 0 dt log,

31 Основни појмови и својства BM O функција 3 јер за t t 0 и t 0 > имамо log t log t 0 + log 3 t 0 t 0 и log 0 t t log t 0 t 0 log. Отуда је log t BMO(R). Ако ψ BMO(R) и I и J су интервали такви да је I J, J I, тада је ψ I ψ J ψ ψ J dt ψ ψ J dt ψ. I I J J Следећа лема уопштава претходни резултат. Лема.. Нека ψ BMO(R) и нека су I и J ограничени интервали.. Ако је I J и J > I, тада је. Ако је I = J, тада је ψ I ψ J c log J I ψ. ψ I ψ J c log ( + ) d(i, J) ψ. I Доказ.. Нека је I = I I I n = J, где је I k+ I k и n c log J. Тада претходни резултат даје I ψ I ψ J n ψ c ψ log J I.. Узмимо за K најмањи интервал који садржи и I и J. Поредећи одвојено ψ I и ψ J са ψ K налазимо: ψ I ψ J ψ I ψ K + ψ J ψ K c log K I ψ + c log K J ψ ( ) I + J + d(i, J) I + d(i, J) = c ψ log = c ψ log I J I ( ) d(i, J) = c ψ log +. I Сви претходни резултати за BM O(R) без икаквих потешкоћа се преносе и на BMO(T). Наредна тврђења омогућиће и ближе повезивање поменутих простора, као и налажење еквивалентних норми од којих је посебно значајан случај на диску због конформне инваријантности. Теорема.. Нека је ψ L loc. Тада је ψ BMO ако и само ако је + ψ(t) dt < + (.) + t

32 3 Глава. Функције ограничене средње осцилације и где је A = sup z H + π + ψ(z) = π ψ(t) ψ(z) P z (t) dt < +, (.) + P z (t)ψ(t) dt Пуасонов интеграл функције ψ. У случају да је ψ BMO, постоје и константе c и c такве да је Услов (.) повлачи да је c ψ A c ψ. (.3) + ψ(t) P z (t) dt < +, па је Пуасонов интеграл функције ψ добро дефинисан у свакој тачки горње полуравни. Доказ. Претпоставимо да ψ задовољава (.) и (.). Ако је I ограничен интервал и посматрамо z = x + iy, где је x центар од I и y = / I, тада за t I важи: y P y (x t) = (x t) + y I 4 I + = 4 I I, па је те из (.) имамо: χ I (t) I ψ(t) ψ(z) dt I I P y (x t), + ψ(t) ψ(z) P z (t) dt πa, што према ранијој примедби даје ψ A. Докажимо и обратан смер. Нека ψ BMO(R) и нека је z = x + iy H +. Са I 0 означимо интервал {t : t x < y} и I k = {t : t x < k y}, k =,,... Тада је I k = k+ y, а P z (t) можемо проценити на означеним интервалима на следећи начин: P z (t) = y (x t) + y = y ( + x t y ) y на I 0, и на I k \ I k. Из леме. имамо P z (t) = ( y + x t y ) y ψ Ik ψ I0 ck ψ. + k k y

33 Основни појмови и својства BM O функција 33 Отуда је π па је + Одавде следи + ψ(t) ψ I0 P z (t) dt ψ ψ I0 dt + πy π I 0 π + π k y k= π ψ + 4 π + k= I k \I k k y k= k ψ + 4 π ψ ψ I0 P z (t) dt C ψ. I k \I k ψ Ik ψ I0 dt k= k ck ψ, ψ ψ Ik dt ψ(t) + + t dt ψ(t) ψ I0 + ψ I0 + + t + t dt C ψ + π ψ I0 < +. Такође имамо и па је ψ(z) ψ I0 π π + + ψ ψ I0 P z (t) dt C ψ, ψ(t) ψ(z) P z (t) dt C ψ. Показује се да, слично претходној, важи и следећа: Теорема.3. Ако φ L (T), тада φ BMO(T) ако и само ако је где је sup φ(t) φ(re iθ ) P r (t) dt z D T φ(z) = T φ(t)p r (θ t) dt. = B < +, (.4) У том случају, са (.4) је задата једна еквивалентна норма на BM O(T), односно постоје c, c R + такве да је c φ B c φ. Пресликавање диска D на полураван H + задато са је конформно. z(ω) = i ω + ω

34 34 Глава. Функције ограничене средње осцилације За θ π узмимо ω = e iθ и t(θ) = z(ω). Тада је t(θ) = i eiθ + e iθ = За w 0 = re iθ 0 и z 0 = i ω 0 +ω 0 је e iθ / e iθ / i e iθ / + e iθ / = tg θ и θ = arctg t. P w 0 (θ) dθ = r + r r cos(θ 0 θ) dθ = π P z 0 (t) dt. Отуда ако ψ L loc (R) и φ(θ) = ψ t(θ), тада претходна разматрања омогућују закључак да је ψ BMO(R) ако и само ако је φ BMO(T). Видимо и да је у том случају c ψ φ c ψ, (.5) за неке апсолутне константе c и c. Тако имамо следећу последицу: Последица.4. Конформним пресликавањем z = i ω, ω <, + ω BMO(R) и BMO(T) се сликају једно у друго и при том су норме контролисане везом (.5). Последица.5. Нека је φ L (T) и τ Мебијусова трансформација. Тада је φ BM O(T) ако и само ако је φ τ BM O(T). Постоји апсолутна константа независна од τ за коју је Штавише, за неке c и c је где је c φ sup τ Доказ. Видели смо да је са φ τ C φ. φ τ φ τ(0) dθ c φ, (.6) φ τ(0) = φ = sup z D φ τ dθ. φ φ(z) P z (θ) dθ дата једна еквивалентна норма на BM O(T). Приметимо да за сваку Мебијусову трансформацију τ важи φ τ = sup φ τ φ τ(z) P z (θ) dθ = sup φ(α) φ(ω) dα, z D ω D

35 Џон-Ниренбергова теорема 35 где користимо да је за τ(θ) = ω, dω dθ = r + r r cos(θ θ 0 ) = P z 0 (θ), ако је Истим резоновањем добијамо и па отуда и релација (.6). φ = sup τ τ(z) = z z 0 z 0 z. φ τ φ τ(0) dθ, Теорема.6. Ако φ L, тада конјугована функција φ припада BMO и за неку универзалну константу C важи φ C φ. Доказ. Доказаћемо теорему у случају кружнице. Са τ означимо произвољну Мебијусову трансформацију, при чему услов за нормализацију у дефиницији конјугата значи: φ τ = φ τ φ(τ(0)). Сада једноставне примене Хелдерове неједнакости и Парсервалове теореме дају ( φ τ(θ) φ(τ(0)) dθ ( Тако из (.6) имамо φ C φ.. Џон-Ниренбергова теорема ) / φ τ(θ) φ(τ(0)) dθ φ τ dθ) / φ τ = φ. Сада ћемо формулисати и доказати Џон-Ниренбергову теорему у којој ћемо искористити једну чувену технику познату као stopping time argument, а као последицу добити неочекиван обрат Хелдерове неједнакости. На тај начин објаснићемо смисао типичности log t као неограничене BM O функције и добити неке еквивалентне норме на BM O(R), односно BM O(T). Теорема.7 (Џон-Ниренбергова теорема). Нека је φ BMO(T) и нека је I лук на T. Тада за свако λ > 0, важи {θ I : φ(θ) φ I > λ} I При том константе C и c не зависе од φ и λ. ( C exp cλ ). (.7) φ

36 36 Глава. Функције ограничене средње осцилације Приметимо да (.7) каже да је расподела функције φ слабија од расподеле логаритамске функције. Ово је образложење типичности log t као неограничене BM O функције. Пре доказа ове теореме, наведимо и докажимо лему коју ћемо користити у доказу и која је и сама за себе значајна. Лема.8 (Калдерон-Зигмундова лема). Нека је I лук, u L (I) и α > u(θ) dθ. I I Тада постоји коначан или бесконачан низ {I j } међусобно дисјунктних у паровима, отворених подлукова лука I таквих да је. u α скоро свуда на I \ I j,. α u dθ < α, I j I j 3. I j u dθ. α I Доказ леме. За сваки лук ω постоје две могућности: u dθ < α, ω ω u dθ α. ω ω Прва могућност важи за почетни лук, према претпоставци леме. Лукове {I j } ћемо конструисати индуктивно. У случају да за лук ω важи ( ) поделимо га на два дисјунктна отворена лука ω и ω дужине ω /. У случају да за неки од ових лукова важи ( ), додајмо га у низ {I j }, а онда овај процес поновимо. Како ниједан од лукова у {I j } није дељен, одабрани лукови су међусобно дисјунктни. Ако x I \ I j, тада сваки лук који садржи x испуњава ( ). Теорема Лебега о диференцирању тада даје u(x) α за скоро свако x I \ I j, па је први део леме доказан. Сваки одабрани лук I j садржан је у луку Ij за који је Ij = I j, и такав лук је јединствен. Како већи лук не припада низу {I j }, за њега важи ( ). Отуда имамо α > Ij u dθ u dθ, Ij I j I j па важи и други део леме. Како су I j у паровима дисјунктни лукови за које важи ( ), то имамо Ij u dθ u dθ, α I j α I ( ) ( ) па је испуњен и трећи део леме.

37 Џон-Ниренбергова теорема 37 Доказ теореме. Због хомогености израза (.7) није умањена општост претпоставком да је φ =. Фиксирајмо лук I и применимо Калдерон-Зигмундову лему на u = φ φ I за α = 3 /. На тај начин добијамо лукове I () j такве да је φ φ I 3 / скоро свуда на I \ I () j, φ () I φ I < 3 и I () j /3 I. j На сваком од лукова I () j применимо поново лему.8 на φ φ () I за α = 3 /. Добијамо лукове I () j,k садржане у одговарајућим I(). Тада је j j скоро свуда на I \ I () j,k. Такође и φ φ I φ φ () I + φ () j I φ I 3 j + 3 < 6 φ () I φ I φ () j,k I j,k j,k I () j,k 3 φ () I + φ () j I φ I < = 6, j j I () j ( ) I. 3 Настављамо овај процес ad infinitum. У n-том кораку добијамо колекцију лукова {I (n) j } за које је φ φ I < 3n скоро свуда на I \ I (n) j и ( ) n (n) I j I. 3 Ако је 3N < λ 3N + 3, N, тада је {θ I : φ(θ) φ I > λ} I (N) j за c = log 3, па (.7) важи за λ > 3. 6 За 0 < λ 3 је ( ) N I e cλ I, 3 {θ I : φ(θ) φ I > λ} I e 3c e cλ I, па узимајући C = e 3c добијамо закључак теореме. Сада следе обећане последице ове теореме које ће проширити наше видике о BMO функцијама. Последица.9. Нека φ L (T). Ако је sup φ φ I dθ I I = φ < +, I тада за свако p > важи где константа C p зависи само од p. ( sup φ φ I p dθ ) /p C p φ, I I I

38 38 Глава. Функције ограничене средње осцилације Доказ. Према претпоставци, φ BMO(T) и важи Џон-Ниренбергова теорема. За лук I, означимо са m(λ) = I {θ I : φ(θ) φ I > λ} функцију расподеле φ φ I. Тада је φ φ I p dθ I = p па (.7) даје I I φ φ I p dθ C p I λ p m(λ) dλ, λ p exp cλ φ dλ = C p Γ(p) φ p c p. Последица.0. Нека φ L (T). Тада φ BMO(T) ако и само ако π sup re iθ =z D φ φ(z) P r (θ t) dt = B < +, где је φ(z) = π P r (θ t)φ(t) dt. При том постоје c, c > 0 такве да је c φ B / c φ. (.8) Почетак доказа. Теорема.3 и Хелдерова неједнакост дају ( π φ φ(z) P r (θ t) dt ) / π φ φ(z) P r (θ t) dt, па је π B / sup φ φ(z) P r (θ t) dt z D c φ па φ BMO(T) и важи лева неједнакост у (.8). За другу неједнакост, која је нешто тежа за доказивање, приметимо да важе следеће две леме. Лема.. За z D и φ реално вредносну, важи: π φ(t) φ(z) P r (θ t) dt = z z (φ(t) φ(s)) dt ds. 8π z e it z e is [,π] Доказ. Развијањем десне стране добијамо 4π π ( ( ) z 4π π φ(t) dt φ(t) ) z 8π z e it 8π z e it dt = π ( ) Pr φ(t) (θ t) dt ( φ(z) ) = π ( ) Pr φ(t) φ(z) (θ t) dt.

39 Џон-Ниренбергова теорема 39 Лема.. Нека је φ(t) позитивна функција. Тада постоји константа C > 0 таква да је π + ( ( r)s s ) P r (t)f(t) dt C 0 (( r) + s ) f(t) dt ds. s s Доказ. Јасно па је P r (t) = r + r r cos t r P r (t) k ( r) + t, за неку константу k > 0 и 0 r <, t π. Тада је: π k 0 π 0 ( + r)( r) = ( r) + 4r sin t, r ( ) f(t) + f( t) dt + r r cos t r ( r) + t ( f(t) + f( t) ) dt k Последњи интеграл је, међутим, једнак k + = k 0 + = 4k ( f(t) + f( t) ) ( r)s ( ( r) + s ) t s ( r) s ( ( r) + s ) r ( r) + t ( f(t) + f( t) ) dt. ( r)s ( ( r) + s ) ds dt ( f(t) + f( t) ) dt ds ( s s s ) f(t) dt ds. Сада смо у могућности да наставимо доказ последице.0, и то најпре у случају реално-вредносне φ, из чега јасно следи и општи случај раздвајањем реалног и имагинарног дела. Наставак доказа последице.0. Наиме, како је K(r) = = 8π π ( φ(t) φ(r) ) Pr (θ t) dt π π P r (θ t)p r (θ s) ( φ(s) φ(t) ) ds dt и ( φ(s) φ(t) ) 0, то се у процени може искористити лема.: K(r) C us (u + s ) ut (u + t ) где је u = r и C константа из леме.. ( s t ) ( ) φ(σ) φ(τ) dσ dτ ds dt, 4st s t

40 40 Глава. Функције ограничене средње осцилације Даље је, ( s t )/ ( ) φ(σ) φ(τ) dσ dτ s t s t ( s t )/ ( ( ) s t )/ ( ) φ(σ) φi dσ dτ + φ(τ) φj dσ dτ s t s t s t s t ( s t )/ ( ) + φi φ J dσ dτ s t s t ( s ) / ( ( ) t )/ ( ) = φ(σ) φi dσ + φ(τ) φj dτ + φ I φ J, s s t t где је I = [ s, s], J = [ t, t], а φ I, φ J су просечне вредности функције φ на I и J. Према последици.9, имамо да је горњи израз мањи или једнак док је c φ + φ I φ J, φ I φ J ( c log J ) I + φ, према леми.. Тако, за s, t > 0, имамо ( s t )/ ( ) φ(σ) φ(τ) dσ dτ c φ + (c log s ) 4st s t t + φ. Посматрање K(r) оправдавамо чињеницом да су φ(x) и φ h (x) = φ(x h) једнаке BMO-норме, па смо стога узели z = r, 0 r <. Сада је + + ( ) K(r) c u s t φ + log s t ( u + s ) ( u + t ) ds dt, за неку константу c > 0 и u = r. Увођење смене променљивих s u = x, t u c φ c φ = y даје за претходни интеграл x y ( + (log x log y) ) ( + x ) ( + y ) dx dy x y ( + log x + log y ) ( + x ) ( + y ) dx dy, па како последњи интеграл конвергира, имамо жељени закључак за реалне функције φ. Ако је φ = φ + iφ, тада је π φ(t) φ(z) P r (θ t) dt = π φ (t) φ (z) P r (θ t) dt π + φ (t) φ (z) P r (θ t) dt c φ + c φ c φ, чиме смо доказали последицу.0.

41 Џон-Ниренбергова теорема 4 Дефиниција.3. Норма B(φ) = ( π / sup φ(t) φ(z) P r (θ t) dt), re iθ =z D еквивалентна BM O-норми, назива се Гарсијином нормом. Наравно, доказана еквивалентност норми важи и у полуравни. Последица.3. Ако φ BMO, тада конјугована функција φ BMO и за неке константе c, c > 0 важи c φ φ c φ. Доказ. Довољно је доказати да је B(φ) = B( φ), па тврђење следи из последице.0. Из једноставне релације (φ + i φ) = φ φ + iφ φ имамо хармоничност функције ( π ( π ) P r (θ t)φ(t) dt) P r (θ t) φ(t) dt за z = re iθ, 0 r <. Како φ + i φ H p (D) за свако p > и φ L (T), хармонијска функција ((P r φ)(t)) ((P r φ)(t)) може се реконструисати из граничних вредности функције φ φ Пуасоновом формулом, тј. ((P r φ)(t)) ((P r φ)(t)) = ( P r (φ φ ) ) (t) = ( P r φ ) (t) ( P r φ ) (t), па тако имамо идентитет π = π ( P r (θ t) φ (t) dt ( P r (θ t)φ (t) dt π π ) P r (θ t) φ(t) dt P r (θ t)φ(t) dt), па је B(φ) = B( φ), што повлачи ову једнакост и за све φ BMO(T), због густине L (T) у BMO(T) (ово се једноставно доказује).

42 Ова страна је намерно остављена празна.

43 43 Глава 3 Неки интегрални идентитети и Карлесонове мере Нека је g(e iθ ) интеграбилна функција на T и g(z) њено хармонијско проширење ( ) на диск D. Са g(z) означимо градијент g(z) тј. комплексни вектор g, g, а квадрат његове дужине са x y g(z) = g x За аналитичку функцију g(z) је g(z) = g x + g y = u x + i v x = u x + i v x + v x + i u x 3. Последице Гринове теореме + g y. + u y + i v y = u x + i v x = g (z). Ако је Ω област у равни са глатком границом и u(z), v(z) функције из C (Ω), тада Гринова теорема тврди следећу једнакост: Ω (v u u v) dx dy = Ω ( v u n u v ) ds, n где је Лапласијан, / n извод у правцу спољашње нормале, а ds лучна дужина на Ω. Теорема 3.. Ако је g(e iθ ) L (T) и g(0) = π g(eiθ ) dθ, тада важи једнакост g(z) log π dx dy = g(e iθ ) g(0) dθ. (3.) π D z Доказ. Нека је g(0) = 0. Приметимо да је ( ) ( ) ( g(z) ) = g(z)g(z) + g(z)g(z) x y ( g = x + g ) = g(z). y

44 44 Глава 3. Неки интегрални идентитети и Карлесонове мере За r <, применимо Гринову теорему на u(z) = g(z) и v(z) = log r z : = z =r z <r ( ( g(z) ) log r z g(z) log r ) dx dy z g(z) n log r ds + lim z ϵ 0 + = z =r g(z) r ds lim ϵ 0 + z =ϵ z =ϵ ( log r z n g(z) g(z) n log r z ( g(z) log r ) ϵ ϵ z g(z) ds. ) ds Како је log r z хармонијска и g(0) = 0, а g(z) ограничена у z < /, то је па имамо lim ϵ 0 + z <r z =ϵ ( g(z) log r ) ϵ ϵ z g(z) ds = 0, g(z) log r dx dy = z g(re iθ ) dθ. Коначно, преласком на лимес кад r, примена теореме о монотоној конвергенцији даје g(z) log π dx dy = g(e iθ ) dθ. π z D Теорема 3.. За g(e iθ ) L (T) важи g(z) ( z ) dx dy π g(e iθ ) g(0) dθ π D π c g(z) ( z ) dx dy π за неку апсолутну константу c > 0. Доказ. Лева неједнакост следи из идентитета 3. и просте неједнакости z log, за z D. z D (3.) Да би доказали другу неједнакост, претпоставимо да је g(z) нормализована тако да важи g(z) ( z ) dx dy =. π D За z > /4 и неку константу c > 0 важи log z c ( z ), што даје π /4< z < g(z) log z dx dy c g(z) ( z ) dx dy. π D

45 Карлесонове мере 45 За z /4, користимо субхармоничност функције g(z) : g(z) 6 g(ζ) dξdη 3 g(ζ) ( ζ ) dξ dη 3, π π ζ z < /4 ζ < / где смо означили ζ = ξ + iη. Отуда је g(z) log 3 dx dy π z π z < /4 Из (3.) онда имамо π па (3.) следи. g(e iθ ) g(0) dθ c + c π z < /4 D log z dx dy = c. g(z) ( z ) dx dy, Претходне две теореме ће нам бити касније од користи, с тим што (3.) има предност што се може поларизовати. За израчунавање BM O користићемо и конформно инваријантне форме идентитета (3.) и неједнакости (3.). За z 0 D и φ L (T), сменом променљиве z z z 0 z 0 z и из конформне инваријантности диференцијалне форме φ(z) dx dy, добијамо идентитет π φ φ(z 0 ) P z0 (θ) dθ = φ(z) log z 0 z π z z 0 dx dy (3.3) одакле, коришћењем једнакости z z 0 z 0 z = D ( z )( z 0 ) z 0 z, добијамо инваријантну верзију неједнакости (3.): ( )( z φ(z) z 0 ) dx dy π π D z 0 z π c ( )( z φ(z) z 0 ) dx dy. π z 0 z D 3. Карлесонове мере φ φ(z 0 ) P z0 (θ) dθ (3.4) У последици.0 смо имали Гарсијину норму, еквивалентну BM O-норми, дату са ( π / sup φ φ(z 0 ) P z0 (θ) dθ), z 0 D па је двоструким интегралом у (3.4) дата још једна еквивалентна норма на BMO, наравно кад узмемо супремум по свим z 0 D.

46 46 Глава 3. Неки интегрални идентитети и Карлесонове мере Дефиниција 3.. Позитивна мера λ на D је Карлесонова мера ако постоји константа M(λ) таква да је λ(s) M(λ)h (3.5) за сваки сектор S = {re iθ : h r <, θ θ 0 h}. Карактер конформне инваријантности Карлесонових мера дат је следећом теоремом. Теорема 3.3. Позитивна мера λ на диску је Карлесонова ако и само ако је z 0 sup dλ(z) = N < +. (3.6) z 0 D D z 0 z При том, за константу N у (3.6) важи за неке апсолутне константе. Доказ. Нека важи (3.6) и нека је c M(λ) N c M(λ) S = {z D : h r <, θ θ 0 < h} произвољан сектор. Како за z 0 = 0 имамо λ(d) N, можемо претпоставити да је h < /4. Узмимо z 0 = ( h /)e iθ 0. Тада за z S имамо јер је z 0 z 0 z c z 0, ( z 0 ) z 0 z 0 z = h(4 h ) 8 ( ) e iθ 0 h ограничено одоздо при услову h < /4, па је, отуда z 0 λ(s) c ( z 0 ) D z 0 z dλ c ( z 0 )N = c M h. За обратну неједнакост, нека је λ Карлесонова мера и z 0 D. Ако је z 0 < 3 /4, имамо процену D z 0 z 0 z dλ(z) cλ(d) c M(λ). јер је ограничено одозго. z 0 z 0 z

47 Карлесонове мере 47 Ако је z 0 > 3 /4, ставимо { E n = z D : z z } 0 z 0 < n ( z 0 ). Тада услов карлесоновости мере λ даје λ(e n ) cm(λ) n ( z 0 ), за n =,,... При том имамо и да је ( z 0 )( z 0 ) z 0 z ограничено одозго на D јер z 0 z 0 / D, па се може применити принцип максимума модула, док за E n \ E n, n, имамо n ( z 0 ) z z 0 z 0 < n ( z 0 ) = z z 0 z 0 + z 0 z 0 z 0 z 0 n ( z 0 ) = z z 0 z 0 n ( z 0 ) z 0 ( z 0 ) = што даје z 0 z z 0 ( z 0 ) n z 0, ( z 0 ) ( z 0 ) z 0 z Како је то је ( z 0 ) ( z 0 ) z 0 ( n z 0 ) ( z 0 ) = + z 0 z 0 ( n z 0 ). n ( z 0 ) z z 0 z 0 <, z 0 n за n 3. То даје + z 0 z 0 ( n z 0 ) 3 9 ( n ) c, n па имамо процене z 0 z 0 z c z 0 z 0 z 0 z c n ( z 0 ) на E, и на E n \ E n. Одавде је: ( z 0 D z 0 z dλ(z) = + ) z0 E E n \E n z 0 z dλ(z) z 0 (c c M(λ)( z 0 )) + n c c M(λ)( z 0 ) c M(λ), што повлачи жељени закључак. n=