ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις"

Σίλας Καραβίας
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας: τα υποσύνολα του Ω στα οποία τα κατηγορήματα παίρνουν τιμή True). Αποδείξτε ότι αν η, () () είναι ταυτολογία τότε Α Β και αντιστρόφως Ευθύ: Έστω x A Τότε p(x) αληθής αλλά και () () αληθής (η πρόταση είναι ταυτολογία) οπότε και () αληθής Άρα x Β και Α Β Αντίστροφο: Έστω ότι Α Β Αν x A, τότε και x B. Συνεπώς p(x) και q(x) αληθείς, άρa p(x) q(x) αληθής Αν x Α, τότε p(x) ψευδής. Kαι πάλι p(x) q(x) αληθής Οπότε, () () αληθής Άσκηση 3.2 [0.8 μονάδες] 1. Αποδείξτε ότι αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους δεν είναι ορθογώνιο 2. Έστω m,n N. Αποδείξτε ότι αν m + n 100, τότε είτε m 50 είτε n Αποδείξτε ότι για κάθε n N, o n 2 +n είναι άρτιος 4. Αποδείξτε ότι αν n και m περιττοί ακέραιοι τότε και ο m*n είναι επίσης περιττός ακέραιος. Σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις αναφέρετε τι είδους αποδεικτική διαδικασία ακολουθήσατε 1. Γνωρίζω από τη Γεωμετρία ότι αν ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο τότε έχει ίσες διαγωνίους Απόδειξη: Τα τρίγωνα ABD και ΑBC είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν ίσες κάθετες πλευρές (Θεώρημα Θαλή) άρα και οι υποτείνουσές τους είναι ίσες. Η πρόταση που θέλω να αποδείξω είναι η αντιστροφοαντίθετη αυτής, άρα ισχύει. 2. Έστω ότι m+n 100 και m<50 και n<50 m<50 n<50 m+n<100 Άτοπο μια και υπέθεσα ότι m+n

2 a. Έστω n άρτιος. Τότε για κάποιο k, N n=2k n 2 =(2k) 2 n 2 =4k 2. n 2 +n=4k 2 +2k=2(2 k 2 +k). Άρα είναι άρτιος b. Έστω n περιττός. Τότε για κάποιο m, N n=2m+1 n 2 =4m 2 +4m+1. n 2 +n=4m 2 +4m+1+2m+1=4m 2 +6m+2=2(2m 2 +3m+1). Άρα είναι άρτιος Απόδειξη µε περιπτώσεις 4. Έστω ότι οι m και n είναι περιττοί ακέραιοι. ηλαδή για κάποιους k,l, N n=2k+1και m=2l+1. m*n=(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1=2s+1, s N. Άρα είναι περιττός Ευθεία απόδειξη Άσκηση 3.3 [1 μονάδες] Έστω U το σύνολο των ακεραίων και Α={3,6}, Β={3,8,10,12} και C={6,8,10}. Υπολογίστε τα: a. b. ( ) c. B C d. C B e. A C a. ={3,12} b. ( = =A = {6} c. B-C={3,12} d. C-B={6} e. A C = {(3,6),(3,8),(3,10),(6,6),(6,8),(6,10)} Άσκηση 3.4 [0.8 μονάδες] Βρείτε τον πληθικό αριθμό των παρακάτω συνόλων a. {{ b. c. { d. { e. {x,{x, a. { = 1 b. =0 c. { = 1 d. { =1 e. {x,{x, =3 f. 2 Z g. 2 h. 2 f. 2 Z = g. 2 =1 h. "2 " = 2

3 Άσκηση 3.5 [1.2 μονάδες] 1. Στα παρακάτω διαγράμματα Venn αναγνωρίστε τα σκιασμένα σύνολα χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος. 2. Ένα από τα σχήματα αναπαριστά τη διαφορά συνόλων. Εντοπίστε το και γράψτε τον ορισμό της διαφοράς χρησιμοποιώντας μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος 3. Ένα από τα σχήματα αναπαριστά τη συμμετρική διαφορά συνόλων. Εντοπίστε το και γράψτε τον ορισμό της συμμετρικής διαφοράς χρησιμοποιώντας μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος 1. a. b. Α c. (A B) ( H) = ( ) ( ) d. ( ) I J = ( ) ( ) = 2. Το σχήµα b. αναπαριστά τη διαφορά συνόλων. Άρα H L = Α 3. Το σχήµα c. αναπαριστά τη συµµετρική διαφορά συνόλων. Άρα H L = (A B) ( H) = ( ) ( )

4 Άσκηση 3.6 [1.2 μονάδες] Οι 8 σειρές μιας σκακιέρας ονομάζονται με αριθμούς από το 1 ως το 8, ενώ οι 8 στήλες με γράμματα από το a ως το h. Κάθε τετράγωνο περιγράφεται από ένα διατεταγμενο ζεύγος (γράμμα στήλης, αριθμός γραμμής) 1. Ένα άλογο είναι στο (d,3). Γράψτε τις πιθανές θέσεις του μετά από μια κίνηση (υπενθ. Το άλογο κινείται κατά τρία τετράγωνα σχηματίζοντας ένα Γ. Η κίνηση του είναι μικτή, δηλαδή συνδυασμός δύο κινήσεων, μίας κάθετης και μίας οριζόντιας, ώστε να συμπληρώσει συνολικά τρία τετράγωνα ) 2. Αν R={1,2,,8, C={a,b,,h χρησιμοποιείστε συμβολισμούς της θεωρίας συνόλων να περιγράψετε το σύνολο P των συντεταγμένων όλων των τετραγώνων της σκακιέρας 3. Ένας πύργος είναι τοποθετημένος στο (g,2). Αν Τ={2 και G={g εκφράστε όλες τις δυνατές θέσεις του πύργου μετά από μία κίνηση, συναρτήσει των R,C,T και G. (Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα πιόνια στη διαδρομή του. Υπενθ. Ο πύργος κινείται οριζόντια ή κάθετα στη σκακιέρα όσα τετράγωνα επιθυμεί) 1. Οι πιθανές θέσεις εκφράζονται από το σύνολο P={(b,2),(b,4),(c,1),(c,5),(e,1),(e,5),(f,2),(f,4) 2. P=C R 3. P=(G R) (C T)-(G T) Άσκηση 3.7 [1 μονάδα] Τις περασμένες Απόκριες μια ολόκληρη τάξη μαθητών (40 άτομα) μασκαρεύτηκε. 18 απ αυτούς φόρεσαν καπέλλο, 20 φόρεσαν περούκα και 27 έβαψαν το πρόσωπό τους. 7 φόρεσαν καπέλλο και περούκα, 12 φόρεσαν περούκα και βάφτηκαν και 4 φόρεσαν καπέλλο, περούκα και βάφτηκαν. Βρείτε πόσοι 1. Φόρεσαν καπέλλο και βάφτηκαν 2. Φόρεσαν καπέλλο, βάφτηκαν αλλά δεν έβαλαν περούκα Έστω Α το σύνολο αυτών που φόρεσαν καπέλλο, Β αυτών που φόρεσαν περούκα και Γ αυτών που βάφτηκαν. Από τα δεδομένα έχουμε ότι Α =18, Β =20, Γ =27, Α Β =7, Β Γ =12, Α Β Γ =4 και Α Β Γ =40

5 Ψάχνουμε τα 1. Α Γ και 2. Α Γ - Α Β Γ Από την αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού: Α Β Γ = Α + Β + Γ - Α Β - Α Γ - Β Γ + Α Β Γ 40= Α Γ Α Γ =10 Και Α Γ - Α Β Γ =10-4=6 Άσκηση 3.8 [1.5 μονάδες] Αποδείξτε επαγωγικά τη γενίκευση του νόμου του De Morgan για την ένωση συνόλων: k l = k l Θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή Βασικό Βήμα: Για n=1, k = k. Μπορούμε να το αποδείξουμε και για n=2 (η αποδειξη βρίσκεται σχεδόν σε όλα τα βιβλία) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον k N, k m = k m Θα αποδείξω ότι και k mnk = k mnk k mnk = ( k m ) mnk = k m mnk = (Εφαρμόζω τον De Morgan για 2 σύνολα, τα k m και mnk ) ( k m ) mnk = (επαγωγική υπόθεση) k mnk ο.ε.δ. Άσκηση 3.9 [1.5 μονάδες] Αποδείξτε επαγωγικά ότι το γινόμενο τριών οποιωνδήποτε συνεχόμενων φυσικών αριθμών διαιρείται με το 6 Βασικό Βήμα: Το γινόμενο των 3 πρώτων φυσικών αριθμών (1,2,3) ισούται με 6 (και προφανώς διαιρείται με το 6) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον k N, το k(k+1)(k+2) διαιρείται με το 6. Θα αποδείξω ότι και το (k+1)(k+2)(k+3) διαιρείται επίσης με το 6. Από την υπόθεση k(k+1)(k+2) =6m, για κάποιον m N (k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=6m+3(k+1)(k+2). Οι k+1 και k+2 είναι διαδοχικοί αριθμοί, συνεπώς ο ένας από τους δύο είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Ένας από τους δύο λοιπόν θα γράφεται στη μορφη 2s, s N. Άρα ο 3(k+1)(k+2) θα μπορεί να γραφτεί στη μορφή 3*2t, t, N ο.ε.δ.

Σχετικά έγγραφα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.