Πολυκριτηριακή ανάλυση στη λήψη αποφάσεων για τον προσδιορισµό χρήσης γης στον αστικό ιστό

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ MBA Πολυκριτηριακή ανάλυση στη λήψη αποφάσεων για τον προσδιορισµό χρήσης γης στον αστικό ιστό ΦΟΙΤΗΤΗΣ: ΣΤΡΕΠΕΛΙΑΣ ΗΛΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΙΩΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΠΑΤΡΑ 2018

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το περιβάλλον που καλείται κανείς να λάβει µια απόφαση είναι αρκετά πολύπλοκο. Ειδικότερα τα προβλήµατα λήψης απόφασης που περιέχουν και χωρική συνιστώσα εµπλέκουν ένα µεγάλο σύνολο πιθανών εναλλακτικών λύσεων και αντικρουόµενων κριτηρίων. Για αυτό το λόγο η έρευνα στη περιοχή των συστηµάτων υποστήριξης χωρικών αποφάσεων και της ανάθεσης πόρων έχουν δώσει έµφαση στην ενσωµάτωση τεχνικών βελτιστοποίησης µε τα γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται η θεωρητική προσέγγιση για τη διαδικασία λήψης απόφασης για την ανάθεση χρήσης γης και στην συνέχεια η διαδικασία αυτή εφαρµόζεται για την ανάθεση χρήσης γης στα οικοδοµικά τετράγωνα του κέντρου της πόλης της Πάτρας. Για την επίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιείται ένα µαθηµατικό υπόδειγµα γραµµικού ακέραιου προγραµµατισµού µε στόχους την ελαχιστοποίηση του κόστους ανάθεσης και τη µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης της λύσης. Για την οπτικοποίηση των δεδοµένων, την εξαγωγή των απαραίτητων δ εδοµένων και την εισαγωγή των αποτελεσµάτων της βελτιστοποίησης χρησιµοποιήθηκε λογισµικό ανοιχτού κώδικα. Η εφαρµογή της πολυκριτηριακής ανάλυσης στο πρόβληµα ανάθεσης χρήσεων γης κρίνεται ικανοποιητική µιας και οι αναλύσεις κατέληξαν σε αποτελέσµατα που ικανοποιούν τα κριτήρια της ανάλυσης. ii

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπεύθυνοι λήψης απόφασης Κριτήρια Εναλλακτικές αποφάσεις Εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις Μη κυριαρχούµενες αποφάσεις Πίνακας πληρωµών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΧΩΡΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Το πλαίσιο ανάλυσης Συστήµατα υποστήριξης αποφάσεων και γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών Βελτιστοποίηση ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΑΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Υποθέσεις παραδείγµατος Επίλυση προβλήµατος µορφή απλού στόχου Επίλυση προβλήµατος: αντιστάθµιση ελαχιστοποίησης κόστους και µεγιστοποίησης βαθµού συγκέντρωσης ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΠΑΤΡΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Γεωγραφικά δεδοµένα Χρήσεις γης προς ανάπτυξη και οικονοµικά δεδοµένα ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ Επίλυση προβλήµατος µε την 1 η κατανοµή κόστους iii

4 Επίλυση προβλήµατος µε τη 2 η κατανοµή κόστους Επίλυση προβλήµατος µε τη 3 η κατανοµή κόστους Σχολιασµός αποτελεσµάτων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ iv

5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 2.1: Ιεραρχική δοµή προβλήµατος απόφασης, α ik η τιµή του k χαρακτηριστικού της i εναλλακτικής λύσης (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016)... 7 Σχήµα 2.2: Εφικτές και µη εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις για δύο κριτήρια C 1 και C 2 µε περιορισµό C 1 >10 και C 2 >1.5 (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016)... 9 Σχήµα 2.3: Μη κυριαρχούµενες, εφικτές και µη εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις για τα κριτήρια C 1 και C 2 (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Σχήµα 2.4: Παράδειγµα πίνακα πληρωµών (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Σχήµα 2.5: Σχηµατική απεικόνιση συστήµατος υποστήριξης χωρικής απόφασης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή πόρων (Πηγή: Aerts, 2002) Σχήµα 2.6: Σχηµατική απεικόνιση πλαισίου ανάλυσης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή χρήσεων γης (Πηγή: Aerts, 2002) Σχήµα 2.7: Σχηµατική απεικόνιση πλαισίου ανάλυσης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή χρήσεων γης (Πηγή: Aerts, 2002) Σχήµα 3.1: Σχηµατική απεικόνιση εντοπισµού βέλτιστου κατά Pareto µε την µέθοδο των βαρών (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Σχήµα 3.2: Τυχαία ανάθεσης µιας χρήσης γης σε µια περιοχή 52 κελιών (αριστερά), βελτιστοποίηση του βαθµού γειτνίασης (κέντρο) και του βαθµού συγκέντρωσης (δεξιά), (Πηγή: Aerts et al 2002) Σχήµα 3.3: Τιµές των (Εξ. 3-14) έως (Εξ. 3-17) για τιµές της µεταβλητής x ijk =0 ή 1 (Πηγή: Aerts et al 2002) Σχήµα 3.4: Κόστος ανάπτυξης ανά χρήση γης Σχήµα 3.5: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµή της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=10 12 (δεξιά) Σχήµα 3.6: Καµπύλη αντιστάθµισης κόστους βαθµού συγκέντρωσης Σχήµα 3.7: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για διάφορες τιµές της παραµέτρου α Σχήµα 4.1: Σχέδιο πόλης δήµου Πατρέων Σχήµα 4.2: Περιοχή διερεύνησης Σχήµα 4.3: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα v

6 Σχήµα 4.4: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Σχήµα 4.5: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα Σχήµα 4.6: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Σχήµα 4.7: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.8: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.9: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.10: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.11: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.12: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.13: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.14: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή Σχήµα 4.15: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.16: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=4 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.17: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=6 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.18: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=16 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.19: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.20: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους vi

7 Σχήµα 4.21: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=16 (αριστερά) και α=64(δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.22: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=256 (αριστερά) και α=512 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.23: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.24: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.25: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=64 (αριστερά) και α=256(δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.26: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=1024 (αριστερά) και α=2500 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.27: Σύγκριση αποτελεσµάτων βελτιστοποίησης για τις 3 κατανοµές κόστους ανάθεσης vii

8 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το περιβάλλον στο οποίο καλείται κάποιος να λάβει µια απόφαση είναι, ειδικά την σηµερινή εποχή, αρκετά πολύπλοκο. Απαιτείται τόσο οι επιχειρήσεις όσο και ο κρατικός µηχανισµός να δικαιολογούν την απόφασή τους και να προβλέπουν την επιρροή αυτής στην καθηµερινότητα. Οι καλά πληροφορηµένοι πελάτες ή πολίτες (γενικότερα οι οµάδες ενδιαφέροντος) απαιτούν µεγαλύτερη κοινωνική συνείδηση και υπευθυνότητα για τις αποφάσεις που καλείται να λάβει ένας οργανισµός. Σε αυτό το πλαίσιο, κανείς καλείται να λάβει µια απόφαση, λαµβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα αλληλένδετα χαρακτηριστικά: α) µέσω της απόφασης να επιτυγχάνονται πολλαπλοί στόχοι και παράλληλα να καθορίζεται ο βαθµός επίτευξης του κάθε στόχου, β) θα πρέπει να καθορίζονται εναλλακτικές λύσεις, γ) οι λύσεις που θα προτείνονται θα πρέπει να λαµβάνουν υπόψη τους τις µακροπρόθεσµες συνέπειες που ενδεχοµένως θα έχουν στις οµάδες ενδιαφέροντος, δ) θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη οι προτιµήσεις των εµπλεκόµενων ο µάδων αλλά και του αποφασίζοντος, καθώς και ε) το ρίσκο και η αβεβαιότητα που ενέχει η κάθε ενναλακτική λύση. Ειδικά τα προβλήµατα λήψης απόφασης που περιέχουν και χωρική συνιστώσα (π.χ. ανάθεση χρήσης γης στα οικοδοµικά τετράγωνα ενός σχεδίου πόλης, προβλήµατα ανάθεσης και κατανοµής πόρων κ.α.) εµπλέκουν ένα µεγάλο σύνολο πιθανών εναλλακτικών λύσεων και αντικρουόµενων κριτηρίων. Οι εναλλακτικές λύσεις αξιολογούνται από ένα µεγάλο αριθµό ατόµων (αποφασίζοντες, οµάδες ενδιαφέροντος κλπ.) οι οποίοι δεν έχουν τις ίδιες προτιµήσεις σε σχέση µε τα κριτήρια µε βάση τα οποία θα κληθεί κανείς να λάβει µια απόφαση. Λόγω των παραπάνω δυσκολιών η επιστηµονική κοινότητα έχει δώσει βάρος στην έρευνα σχετικά µε τον συνδυασµό των γεωγραφικών συστηµάτων πληροφοριών (GIS) και της πολυκριτηριακής ανάλυσης για τη λήψη αποφάσεων. Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείµενο τόσο την θεωρητική προσέγγιση για την διαδικασία λήψης απόφασης για την ανάθεση χρήσης γης στον αστικό ιστό όσο και την εφαρµογή της διαδικασίας αυτής στην πόλη της Πάτρας. Η εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο αναλύεται το αντικείµενο της εργασίας η δοµή και το περιεχόµενό της. 1

9 Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται το θεωρητικό πλαίσιο της πολυκριτηριακής ανάλυσης (MCA), ενός κλάδου της επιχειρησιακής έρευνας που επιχειρεί να βοηθήσει στη λήψη αποφάσεων και την συνεργασία της µεθόδου µε τα γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών (GIS). Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται το υπόδειγµα ακέραιου προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση του προβλήµατος της ανάθεσης χρήσης γης σε οικοδοµικά τετράγωνα. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύεται η επέκταση του υποδείγµατος που αναλύθηκε στο τρίτο κεφάλαιο για την εφαρµογή του στο κέντρο της πόλης της Πάτρας. Τα γεωγραφικά δεδοµένα για το πρόβληµα αντλήθηκαν από λογισµικό GIS ανοιχτού κώδικα και παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης για διάφορες τιµές των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο πρόβληµα. Τέλος στο πέµπτο κεφάλαιο εξάγονται τα συµπεράσµατα της παρούσας εργασίας. 2

10 2. ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Η πολυκριτηριακή ανάλυση αποτελεί έναν κλάδο της επιχειρησιακής έρευνας που επιχειρεί να βοηθήσει στη λήψη αποφάσεων. Πολλές φορές οι σηµαντικές αποφάσεις δε στηρίζονται σε καθορισµένες µεθόδους και δεν µπορούν να περιγράφουν µε ακριβή ποσοτικά µοντέλα που τεκµηριώνουν πλήρως τον τρόπο µε τον οποίο επιλέχθηκε κάποια συγκεκριµένη δράση. Η εξέταση όλων των παραµέτρων ενός προβλήµατος και των κριτηρίων που επηρεάζουν την λήψη της κατάλληλης απόφασης γεννά ερωτήµατα ως προς τον τρόπο µε τον οποίο µπορεί να πραγµατοποιηθεί η σύνθεση όλων των παραµέτρων ώστε να επιτευχθεί η λήψη ορθολογικών αποφάσεων. Το βασικό γνώρισµα της πολυκριτηριακής ανάλυσης είναι η υλοποίηση της αναγκαίας σύνθεσης όλων των παραµέτρων υπό το πρίσµα του συστήµατος προτιµήσεων και αξιών το οποίο χρησιµοποιεί ο λαµβάνων την απόφαση. Το αποτέλεσµα της ανάλυσης έχει ως τελικό αποδέκτη τον ίδιο τον αποφασίζοντα. Εποµένως, η συµµετοχή του αποφασίζοντα στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητη µιας και η ανάπτυξη υποδειγµάτων λήψης απόφασης που δεν ενσωµατώνουν τις προτιµήσεις του αποφασίζοντα τον καθιστούν παθητικό παρατηρητή, κάτι το οποίο δεν είναι αποδεκτό. Τονίζεται ότι απώτερος στόχος είναι η παροχή των απαραίτητων πληροφοριών για την υποστήριξη της διαδικασίας λήψης των αποφάσεων (Δούκας κ.α. 2015). Λόγω των παραπάνω δυσκολιών η επιστηµονική κοινότητα έχει δώσει βάρος στην έρευνα σχετικά µε τον συνδυασµό των γεωγραφικών συστηµάτων πληροφοριών (GIS) και της πολυκριτηριακής ανάλυσης για τη λήψη χωρικών αποφάσεων (MCDA). Ο συνδυασµός GIS και πολυκριτηριακής ανάλυσης µπορεί να θεωρηθεί ως µια συλλογή µεθόδων και εργαλείων για την µετατροπή και τον συνδυασµό γεωγραφικών δεδοµένων και προτιµήσεων για την απόκτηση πληροφορίας η οποία θα βοηθήσει στη λήψη µιας απόφασης (Malczewski and Rinner, 2016). Οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται στα γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών προσφέρουν µοναδικές δυνατότητες στην αποθήκευση, ανάλυση, διαχείριση και οπτικοποίηση των γεωγραφικών δεδοµένων που απαιτούνται για την λήψη µιας απόφασης. Τα συστήµατα GIS επιτρέπουν στον υπεύθυνο να επεξεργαστεί τις εναλλακτικές λύσεις µε τρόπο που δεν είχε την δυνατότητα στο παρελθόν κάτι το οποίο µε τη σειρά του οδηγεί στην ανάπτυξη νέων πιθανών λύσεων σχετικά µε τον προς επίλυση πρόβληµα. 3

11 2.1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Οι εξελίξεις που έχουν πραγµατοποιηθεί στο χώρο της πολυκριτηριακής ανάλυσης, καλύπτουν όλα τα είδη των προβληµάτων λήψης αποφάσεων. Όπως αναφέρεται από τους Δούκας κ.α. (2015) η λήψη των αποφάσεων ήταν ανέκαθεν µια πολυδιάστατη διαδικασία καθώς πάντα, έστω και ασυνείδητα, πραγµατοποιούνταν µια ανάλυση όλων των επιµέρους παραγόντων που σχετίζονταν µε την απόφαση. Ως πρώτη τεκµηριωµένη προσπάθεια επιστηµονικής αντιµετώπισης του προβλήµατος της λήψης απόφασης µε πολλαπλά κριτήρια µπορεί να θεωρηθεί η εργασία του Pareto (1896) ο οποίος εισήγαγε την έννοια της αποτελεσµατικότητας και έθεσε τις απαραίτητες βάσεις. Σε επέκταση της εργασίας του Pareto, o Koompans (1951) εισήγαγε την έννοια του συνόλου των εναλλακτικών δραστηριοτήτων οι οποίες δεν κυριαρχούνται από καµία άλλη εναλλακτική δραστηριότητα (αποτελεσµατικό σύνολο). Οι Von Neumann and Morgenstern (1944) αναπτύσσουν τη θεωρία χρησιµότητας η οποία αποτελεί ένα από τα κυριότερα µεθοδολογικά εργαλεία της πολυκριτηριακής ανάλυσης. Η έρευνα των Charnes and Cooper (1961) επιχειρεί την σύνδεση του γραµµικού προγραµµατισµού µε την πολυκριτηριακή ανάλυση. Ο Fishburn (1965) επεκτείνει την θεωρία χρησιµότητας σε προβλήµατα λήψης απόφασης υπό καθεστώς πολλαπλών κριτηρίων. Τις δεκαετίες του η πολυκριτηριακή ανάλυση αναπτύχθηκε τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πρακτικό επίπεδο για την αντιµετώπιση διάφορων πολύπλοκων πραγµατικών προβληµάτων κυρίως λόγω της συµβολής της πληροφορικής και της επιστήµης των υπολογιστών ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην βιβλιογραφία έχει προταθεί ένα πλήθος ορισµών για τα προβλήµατα λήψης απόφασης µε πολλαπλά κριτήρια. Στο πιο βασικό επίπεδο, ένα πολυκριτηριακό πρόβληµα λήψης απόφασης περιλαµβάνει ένα σύνολο ενναλακτικών λύσεων που αξιολογούνται µε βάση αντικρουόµενα κριτήρια, σύµφωνα µε τις προτιµήσεις του αποφασίζοντα. Γενικά υπάρχουν τρία βασικά στοιχεία σε κάθε πρόβληµα πολλαπλών κριτηρίων (Malczewski, J., & Rinner, C. (2016)), οι υπεύθυνοι λήψης απόφασης, οι εναλλακτικές λύσεις και τα κριτήρια. 4

12 Υπεύθυνοι λήψης απόφασης Ο υπεύθυνος λήψης της απόφασης είναι µια οντότητα υπεύθυνη για την λήψη της απόφασης. Μπορεί να είναι ένα πρόσωπο, µια οµάδα ατόµων ή ένας οργανισµός. Πολλές αποφάσεις λαµβάνονται από οµάδες. Ο βαθµός συµφωνίας µεταξύ των µελών της οµάδας είναι ο κύριος παράγοντας που καθορίζει την φύση του υπεύθυνου της λήψης της απόφασης (Massam 1993). Στην περίπτωση όπου τα µέλη της οµάδας έχουν κοινό στόχο, ανεξάρτητα από τον αριθµό των µελών της ο µάδας, τότε θεωρείται ότι η λήψη της απόφασης είναι ατοµική. Αντίθετα στην περίπτωση όπου οι στόχοι µεταβάλλονται στα µέλη της οµάδας τότε θεωρείται ότι έχουµε την περίπτωση λήψης απόφασης σε οµάδες. Ο Massam (1988) πρότεινε την χρήση της έννοιας οµάδας συµφερόντων και όχι του υπεύθυνου λήψης απόφασης ως καταλληλότερη για να χρησιµοποιηθεί ως βασικό χαρακτηριστικό των πολυκριτηριακών προβληµάτων. Μια οµάδα συµφερόντων είναι µια οντότητα µε ενδιαφέρον σε µια απόφαση που την αφορά. Οι ο µάδες ενδιαφέροντος µπορεί να είναι άτοµα, οργανώσεις ή οργανισµοί. Γενικά διακρίνονται τρεις τύποι οµάδων ενδιαφέροντος, οι υποστηρικτές της απόφασης, αυτοί που επηρεάζονται από τις ενέργειες των υποστηρικτών της απόφασης και όσοι έχουν ευθύνη για τη διαµεσολάβηση ή την κύρωση των ενεργειών των υποστηρικτών ή των πολέµιων της απόφασης. Αυτοί οι τρείς τύποι µπορεί να συµµετέχουν στην αξιολόγηση των εναλλακτικών λύσεων σε σχέση µε ένα σύνολο κριτηρίων αξιολόγησης Κριτήρια Η εναλλακτικές πιθανές αποφάσεις αξιολογούνται µε βάση ένα σύνολο κριτηρίων, τα οποία µε τη σειρά τους αποτελούνται από ένα σύνολο χαρακτηριστικών και στόχων. Σύµφωνα µε τον Keeney (1992) τα χαρακτηριστικά κάθε ενός κριτήριου αλλά και του συνόλου αυτών θα πρέπει να λαµβάνουν υπόψη την πολυκριτηριακή φύση του προβλήµατος. Επιπλέον κάθε κριτήριο θα πρέπει να είναι µετρήσιµο ενώ το σύνολο των κριτηρίων θα πρέπει: 1) να καλύπτουν όλες τις πτυχές του προβλήµατος, 2) να είναι λειτουργικά, δηλαδή να µπορούν να χρησιµοποιηθούν εύκολα στην ανάλυση, 3) να µπορούν να χωρίζονται σε επιµέρους κοµµάτια έτσι ώστε να µπορεί να απλοποιηθεί η διαδικασία, 4) να µην επαναλαµβάνονται και 5) να χρησιµοποιείται ο ελάχιστος αριθµός κριτηρίων. 5

13 Τα κριτήρια µπορεί να είναι σαφή ως προς τη χωρική συνιστώσα ή όχι. Τα χωρικά σαφή κριτήρια περιλαµβάνουν χωρικά χαρακτηριστικά στις εναλλακτικές αποφάσεις (π.χ. τα χαρακτηριστικά µιας περιοχής, το µέγεθος, το σχήµα, την γειτνίαση, το βαθµό που η περιοχή είναι συµπαγής κλπ.). Ένα κριτήριο χαρακτηρίζεται ως χωρικά µη σαφές στην περίπτωση όπου απαιτούνται χωρικά δεδοµένα για να υπολογιστεί ο βαθµός που αυτό επιτυγχάνεται. Το κριτήριο είναι ένας γενικός όρος ο οποίος περιλαµβάνει τόσο την έννοια του στόχου όσο και την έννοια του χαρακτηριστικού (Malczewski 1999). Ως στόχος ορίζεται η επιθυµητή κατάσταση του συστήµατος που είναι υπό διερεύνηση και υποδηλώνει την κατεύθυνση που θα πρέπει ακολουθηθεί για να επιτευχθεί από ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Η κατεύθυνση που θα πρέπει να ακολουθηθεί µπορεί να εκφραστεί από τις φράσεις «όσο περισσότερο από ένα συγκεκριµένο χαρακτηριστικό τόσο καλύτερα» ή το αντίθετο «όσο λιγότερο από ένα συγκεκριµένο χαρακτηριστικό τόσο το καλύτερο». Η πρώτη φράση υποδηλώνει µεγιστοποίηση ενώ α ντίθετα η δεύτερη ελαχιστοποίηση. Εποµένως η έννοια του στόχου µπορεί να καταστεί λειτουργική ορίζοντάς της τουλάχιστον ένα χαρακτηριστικό το οποίο είτε µε έµµεσο είτε µε άµεσο τρόπο µετρά το βαθµό επίτευξης του στόχου. Η σχέση µεταξύ στόχων και χαρακτηριστικών είναι ιεραρχική. Οι περισσότερο γενικοί στόχοι βρίσκονται σε ένα ανώτερο επίπεδο, οι οποίοι µε τη σειρά τους µπορεί να αποτελούνται από επιµέρους περισσότερο συγκεκριµένους στόχους. Στο χαµηλότερο επίπεδο βρίσκονται τα χαρακτηριστικά τα οποία αποτελούν µετρήσιµους δείκτες του βαθµού επίτευξης του στόχου (Saaty 1980). Στο Σχήµα 2.1 φαίνεται ένα παράδειγµα της ιεραρχικής δοµής των βασικών παραµέτρων ενός προβλήµατος απόφασης. Στο ανώτερο επίπεδο τοποθετείται ο τελικός στόχος του προβλήµατος (για παράδειγµα ο εντοπισµός της καλύτερης κατανοµής στο χώρο των χρήσεων γης). Στην συνέχεια ακολουθούν οι επιµέρους στόχοι µε τα χαρακτηριστικά τους. 6

14 Σχήµα 2.1: Ιεραρχική δοµή προβλήµατος απόφασης, α ik η τιµή του k χαρακτηριστικού της i εναλλακτικής λύσης (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Εναλλακτικές αποφάσεις Ως εναλλακτικές λύσεις ορίζονται οι εναλλακτικοί τρόπου δράσεις µεταξύ των οποίων πρέπει να επιλέξει ο λαµβάνων την απόφαση. Μια εναλλακτική γεωγραφική απόφαση σύµφωνα µε τον Malczewski (1999) πρέπει να περιλαµβάνει τουλάχιστον 2 στοιχεία, τη δράση (η απάντηση στο ερώτηµα: τι να κάνω;) και την τοποθεσία (η απάντηση στην ερώτηση: πού να πραγµατοποιήσω τη δράση;). Η χωρική συνιστώσα µιας εναλλακτικής λύσης µπορεί να καθορίζεται άµεσα (π.χ. εναλλακτικά µοτίβα χρήσεων γης) ή έµµεσα. Η µέθοδος για τον προσδιορισµό των χωρικών εναλλακτικών εξαρτάται από την µορφή των δεδοµένων στο γεωγραφικό σύστηµα πληροφοριών. Στην περίπτωση των διανυσµατικών δεδοµένων οι εναλλακτικές αποφάσεις µπορεί να ορίζονται ως ένα µεµονωµένο αντικείµενο (σηµείο, γραµµή, ή πολύγωνο) το οποίο αναπαριστά µια γεωγραφική οντότητα (π.χ. µια πόλη, µια περιοχή, ένα οικοδοµικό τετράγωνο, µια οδό) ή έναν συνδυασµό αυτών (π.χ. ένας συνδυασµός γ ραµµών και σηµείων ο οποίος αναπαριστά µια εναλλακτική διαδροµή µεταξύ δύο σηµείων). 7

15 Μια εναλλακτική λύση ορίζεται πλήρως καθορίζοντας τις τιµές των µεταβλητών απόφασης. Μια µεταβλητή απόφασης είναι µια µετρήσιµη ποσότητα η οποία έχει µια συγκεκριµένη τιµή σε κάθε χρονική στιγµή. Οι µεταβλητές απόφασης µπορεί να κατηγοριοποιηθούν σε τρεις κατηγορίες: δυαδικές, διακριτές ή συνεχείς. Η πιο απλή µορφή απόφασης είναι να αποφασίσει ο υπεύθυνος εάν θα πραγµατοποιήσει κάτι ή όχι. Αυτού του είδους οι αποφάσεις προσδιορίζονται από δυαδικές (0 ή 1) µεταβλητές. Οι διακριτές µεταβλητές µπορούν να λάβουν οποιαδήποτε ακέραια τιµή µέσα σε ένα εύρος τιµών. Οι συνεχείς µεταβλητές έχουν άπειρες πιθανές τιµές εντός ενός προκαθορισµένου εύρους τιµών Εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις Κάθε µεταβλητή απόφασης υπόκειται σε περιορισµούς οι οποίοι χωρίζουν το σύνολο των εναλλακτικών λύσεων σε δύο κατηγορίες: τις εφικτές (ή αποδεκτές) και τις µη εφικτές (µη αποδεκτές) λύσεις. Ένα σύνολο εναλλακτικών λύσεων χαρακτηρίζεται ως εφικτό εάν ικανοποιεί όλες τους περιορισµούς. Για τον προσδιορισµό ενός συνόλου εφικτών λύσεων συχνά χρησιµοποιούνται λογικοί περιορισµοί (Boolean). Στο Σχήµα 2.2 απεικονίζεται ένα παράδειγµα εφαρµογής των λογικών περιορισµών για τον εντοπισµό ενός συνόλου εφικτών λύσεων. Σε κάθε κελί απεικονίζεται η τιµή που λαµβάνει η µεταβλητή C 1 και C 2. Λαµβάνοντας υπόψη τους περιορισµούς που θέτει το πρόβληµα (C 1 >10 και C 2 >1.5) µετατρέπεται ο αρχικός πίνακας σε δυαδικό χάρτη (τιµές 0-1) δίνοντας την τιµή 0 εάν δεν ικανοποιείται το κριτήριο και τιµή 1 στην περίπτωση που ικανοποιείται. Το σύνολο των εφικτών λύσεων υπολογίζεται από την λογική άθροιση των επιµέρους δυαδικών χαρτών θέτοντας την τιµή ίση µε 0 εάν έστω και ένα από τα δύο κριτήρια δεν ικανοποιείται ή την τιµή 1 ένα ικανοποιούνται και τα δύο. 8

16 Σχήµα 2.2: Εφικτές και µη εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις για δύο κριτήρια C 1 και C 2 µε περιορισµό C 1 >10 και C 2 >1.5 (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Μη κυριαρχούµενες αποφάσεις Το σύνολο των εφικτών λύσεων µπορεί να χωριστεί περαιτέρω σε δύο κατηγορίες: τις κυριαρχούµενες και τις µη κυριαρχούµενες λύσεις. Η διάκριση αυτή βασίζεται στην αρχή του βέλτιστου κατά Pareto: εάν µια εναλλακτική Α είναι τουλάχιστον το ίδιο καλή µε µία εναλλακτική Β σε όλα τα κριτήρια και υπερτερεί τουλάχιστον σε ένα κριτήριο της εναλλακτικής Β τότε η εναλλακτική Β κυριαρχείται από την Α. Στο Σχήµα 2.3 φαίνονται οι εφικτές, οι κυριαρχούµενες και οι µη κυριαρχούµενες λύσεις για το πρόβληµα µε τους περιορισµούς C 1 και C 2. Από τις συνολικά 25 πιθανές εναλλακτικές λύσεις µόνο 5 είναι µη κυριαρχούµενες, για παράδειγµα το κελί µε τιµές 20 και 1.2 για τις µεταβλητές C 1 και C 2 είναι µη κυριαρχούµενο. Συγχρόνως όµως είναι 9

17 µη εφικτό γιατί ο περιορισµός του κριτηρίου C 2 ορίζει ότι αυτό πρέπει να είναι µεγαλύτερο του 1.5. Σχήµα 2.3: Μη κυριαρχούµενες, εφικτές και µη εφικτές εναλλακτικές αποφάσεις για τα κριτήρια C 1 και C 2 (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) Πίνακας πληρωµών Τα στοιχεία της πολυκριτηριακής ανάλυσης µπορούν να οργανωθούν σε µορφή πίνακα. Ο πίνακας αυτός ονοµάζεται πίνακας πληρωµών όπου µε την έννοια πληρωµή εννοείται το αποτέλεσµα κάθε απόφασης για κάθε µελλοντική κατάσταση. Οι γραµµές του πίνακα (Σχήµα 2.4) αντιπροσωπεύουν τις εναλλακτικές λύσεις. Κάθε εναλλακτική λύση περιγράφεται από τα γεωγραφικά δεδοµένα της και από τα χαρακτηριστικά της ή τα κριτήρια αξιολόγησης της. Κάθε χαρακτηριστικό τοποθετείται στις στήλες του πίνακα. Ο πίνακας πληρωµών είναι ένας πίνακας διαστάσεων m x n όπου κάθε στοιχείο του α ik υποδηλώνει την απόδοση της εναλλακτικής Α i όταν αυτή αξιολογείται µε βάση το κριτήριο C k (i=1,2,,m και k=1,2,,n). Η χωρική θέση της i εναλλακτικής προσδιορίζεται είτε άµεσα είτε έµµεσα. Άµεσα προσδιορίζεται όταν η θέση της εναλλακτικής λύσης, s i, προσδιορίζεται από τις συντεταγµένες της (x i, y i ). Επιπλέον, οι προτιµήσεις του υπεύθυνου να λάβει την απόφαση καθορίζονται µέσω της ανάθεσης βαρών, w k, για κάθε κριτήριο. Συνήθως θεωρείται ότι οι χωρικές προτιµήσεις είναι οµοιογενείς, δηλαδή ένα µόνο βάρος w k αναθέτεται στο κριτήριο k. Η χωρική θέση της εναλλακτικής i στην περίπτωση που προσδιορίζεται έµµεσα µπορεί να δηλωθεί µέσω διαφορετικής τιµής στο βάρος w k ανάλογα µε τη θέση της εναλλακτικής λύσης. 10

18 Table 2.1 Decision matrix Criterion/attribute, C k Coordinates Alternative, A i C 1 C 2 C 3 C n X Y A 1 a 11 a 12 a 13 a 1n x 1 y 1 A 2 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 y 2 A 3 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 y 3 A m a m1 a m2 a m3 a mn x m y m Weight, w k w 1 w 2 w 3 w n w ik Σχήµα 2.4: Παράδειγµα πίνακα πληρωµών (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) 2.3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΧΩΡΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Τα προβλήµατα ανάθεσης χρήσης γης όπως και όλα τα προβλήµατα λήψης απόφασης που εµπεριέχουν χωρικές συνιστώσες χαρακτηρίζονται από µεγάλο βαθµό πολυπλοκότητας, εµπλέκονται αρκετές ο µάδες ενδιαφέροντος µε διαφορετικές προτιµήσεις και οδηγούµαστε σε πολυάριθµες εναλλακτικές λύσεις. Τα συστήµατα υποστήριξης χωρικής απόφασης (spatial decision support system SDSS) είναι εργαλεία για την υποστήριξη του υπεύθυνου να λάβει την απόφαση να επιτύχει τον στόχο του. Στοχεύουν στο να απλοποιήσουν την διαδικασία απόφασης σε πολύπλοκα προβλήµατα καθοδηγώντας τον υπεύθυνο να λάβει την απόφαση προς καλώς ορισµένες εναλλακτικές λύσεις. Τα συστήµατα υποστήριξης χωρικής απόφασης αποτελούνται από δύο στοιχεία: ένα πλαίσιο απόφασης και από τις υποστηρικτικές τεχνικές (Σχήµα 2.5). Ως πλαίσιο απόφασης ορίζεται µια βηµατική διαδικασία η οποία οδηγεί τον υπεύθυνο λήψης της απόφασης σε εφικτές λύσεις πολύπλοκων προβληµάτων (Wu, 1998). Ανάλογα µε τις απαιτήσεις του χρήστη µπορούν να ενσωµατωθούν διάφορες τεχνικές σε ένα σύστηµα υποστήριξης χωρικής απόφασης, όπως για παράδειγµα τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης, τεχνικές προσδιορισµού αβεβαιοτήτων και τεχνικές οπτικοποίησης. Τα συστήµατα υποστήριξης χωρικής απόφασης αντλούν χωρικά δεδοµένα από συστήµατα γεωγραφικών πληροφοριών τα οποία αποθηκεύουν, επεξεργάζονται και αναλύουν χωρικά δεδοµένα. 11

19 Σχήµα 2.5: Σχηµατική απεικόνιση συστήµατος υποστήριξης χωρικής απόφασης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή πόρων (Πηγή: Aerts, 2002) Το πλαίσιο ανάλυσης Το πλαίσιο ανάλυσης που µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην ανάθεση χρήσης γης µπορεί να αναλυθεί σε πέντε βήµατα (Aerts, 2002): 1. Ορισµός προβλήµατος και λήψη πληροφοριών: Το πρόβληµα µπορεί να οριστεί ως «Πώς αναθέτω τις χρήσης γης σε ένα σύνολο οικοδοµικών τετραγώνων». Πιο συγκεκριµένα η περιοχή ενδιαφέροντος χωρίζεται σε έναν ορθογωνικό κάνναβο και το πρόβληµα επικεντρώνεται στην ανάθεση µιας χρήσης γης σε κάθε ένα τετράγωνο του καννάβου. 2. Προσδιορισµός των στόχων, των κριτηρίων αξιολόγησης και των περιορισµών: Ο στόχος είναι η ανάθεση χρήσεων γης στα επιµέρους οικοδοµικά τετράγωνα, τα κριτήρια αξιολόγησης µπορεί να είναι το κόστος ανάθεσης σε συγκεκριµένα οικοδοµικά τετράγωνα κ.α., οι περιορισµοί για παράδειγµα θα µπορούσε να είναι το πλήθος των 12

20 οικοδοµικών τετραγώνων που απαιτείται να έχουν µια συγκεκριµένη χρήση 3. Προσδιορισµός εξωγενών παραγόντων: σε αυτό το βήµα πρέπει ν α προσδιοριστούν οι παράγοντες που δεν µπορούν να ελεγχθούν αλλά επηρεάζουν τα αποτελέσµατα του προβλήµατος 4. Υπολογιστικό πλαίσιο: σε αυτό το βήµα υπολογίζονται και αξιολογούνται οι εναλλακτικές λύσεις του προβλήµατος µε βάση τα κριτήρια που έχουν οριστεί στο 2 ο βήµα. 5. Παρουσίαση αποτελεσµάτων: στο τελικό βήµα οπτικοποιούνται και παρουσιάζονται οι εναλλακτικές λύσεις τον υπεύθυνο να λάβει την απόφαση. Στο Σχήµα 2.6 απεικονίζεται σχηµατικά το πλαίσιο απόφασης για την περίπτωση ανάθεσης χρήσης γης (Aerts,2002) Σχήµα 2.6: Σχηµατική απεικόνιση πλαισίου ανάλυσης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή χρήσεων γης (Πηγή: Aerts, 2002) 13

21 Συστήµατα υποστήριξης αποφάσεων και γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών Η συνεχώς αυξανόµενη ποσότητα γεωγραφικών δεδοµένων στα προβλήµατα ανάθεσης χρήσης γης (και γενικότερα στα προβλήµατα ανάθεσης πόρων) καθώς και η πολυπλοκότητα αυτών των προβληµάτων λόγω της εµπλοκής πολλών ο µάδων ενδιαφέροντος οδήγησε στην ανάγκη ενσωµάτωσης τεχνικών πολυκριτηριακής ανάλυσης στο 4 ο βήµα του πλαισίου ανάλυσης ενός συστήµατος υποστήριξης λήψης απόφασης (Aerts, 2002). Οι τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης είναι κατάλληλες για τα προβλήµατα ανάθεσης µιας και λαµβάνουν υπόψη τους πολλαπλούς στόχους και κριτήρια. Συγχρόνως, οι τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης συνδυάζονται µε τα γεωγραφικά συστήµατα πληροφοριών για να µπορεί να ληφθεί υπόψη και η χωρική διάσταση. Δύο βασικές τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης είναι κατάλληλες για να συνδυαστούν µε τα συστήµατα υποστήριξης αποφάσεων. Η πρώτη τεχνική είναι η αξιολόγηση ενός συνόλου εναλλακτικών λύσεων. Ο αριθµός των εναλλακτικών λύσεων είναι συνήθως τρείς έως πέντε (Aerts, 2002), καθορίζονται από την αρχή του προβλήµατος και ελέγχονται η κάθε µία σε σχέση µε τις υπόλοιπες. Οι περισσότερες τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης σε αυτή την περίπτωση βασίζονται στον χωρισµό της υπό εξέτασης περιοχής σε κελιά και την αξιολόγηση ανά κελί των εναλλακτικών λύσεων χωρίς να λαµβάνεται υπόψη κάποια χωρική εξάρτηση µεταξύ των κελιών. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι οι χωρικές προτιµήσεις του αποφασίζοντα, οι οποίες οδηγούν σε χωρικές εξαρτήσεις µεταξύ των κελιών, είναι δύσκολο να συµπεριληφθούν στην ανάλυση. Στην περίπτωση που είναι γνωστές οι εναλλακτικές λύσεις η παραπάνω τεχνική είναι χρήσιµη. Ωστόσο σε πολλές περιπτώσεις δεν υπάρχει διαθέσιµο ένα σύνολο εναλλακτικών λύσεων ή αυτό είναι πολύ δύσκολο να εκτιµηθεί. Γι αυτό το λόγο η επιστηµονική κοινότητα έδωσε βαρύτητα στην δεύτερη διαθέσιµη τεχνική, τις τεχνικές βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν ή σχεδιάζουν ένα σύνολο εναλλακτικών λύσεων Βελτιστοποίηση Οι τεχνικές βελτιστοποίησης είναι τεχνικές που αναζητούν την βέλτιστη εναλλακτική από ένα σύνολο άπειρων εναλλακτικών λύσεων. Εποµένως η λύση της βελτιστοποίησης είναι µόνο µια εναλλακτική λύση. Εφόσον οι εναλλακτικές λύσεις είναι 14

22 άγνωστες πριν την επίλυση η βελτιστοποίηση µπορεί να θεωρηθεί µια διαδικασία σχεδιασµού. Έχοντας ως δεδοµένα τους περιορισµούς, τα κριτήρια και τις µεταβλητές απόφασης υπολογίζεται µια πιθανή λύση στο πρόβληµα που καλείται να πάρει µια απόφαση ο αποφασίζων. Ένα υπόδειγµα βελτιστοποίησης αποτελείται από την αντικειµενική συνάρτηση, η οποία π ρέπει να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί, και τους περιορισµούς. Ένα υπόδειγµα µε πολλαπλούς στόχους αποτελείται από την αντικειµενική συνάρτηση η οποία υπολογίζεται προσθέτοντας πολλές φορές αντικρουόµενους στόχους. Στην περίπτωση της ανάθεσης πόρων (π.χ. ανάθεση χρήσης γης σε οικοδοµικά τετράγωνα), ένας συνηθισµένος αντικρουόµενος στόχος είναι η µεγιστοποίηση της ανάθεσης µιας χρήσης γης σε µια συγκεκριµένη περιοχή και παράλληλα η µείωση του συνολικού κόστους ανάθεσης. Τα προβλήµατα βελτιστοποίησης µπορούν να επιλυθούν είτε µε ευρετικούς αλγόριθµους είτε µε γραµµικό προγραµµατισµό. Οι ευρετικοί αλγόριθµοι είναι απλές αλλά ισχυρές τεχνικές οι οποίες έχουν την δυνατότητα να επιλύουν πολύπλοκα και µεγάλα προβλήµατα, ωστόσο η εφαρµογή τους δεν εξασφαλίζει ότι η λύση που θα υπολογιστεί θα είναι και η βέλτιστη. Στην περίπτωση όπου το υπόδειγµα είναι γραµµικό και καθορίζεται από κατάλληλους περιορισµούς µπορεί να βρεθεί βέλτιστη λύση µέσω του γραµµικού προγραµµατισµού ή στην περίπτωση όπου οι µεταβλητές απόφασης είναι δυαδικές ή ακέραιες η βέλτιστη λύση µπορεί να βρεθεί µέσω του ακέραιου προγραµµατισµού. Το κύριο µειονέκτηµα του γραµµικού προγραµµατισµού είναι η δυσκολία επίλυσης του προβλήµατος και η µεγαλύτερη διάρκεια που απαιτείται για να υπολογιστεί η βέλτιστη λύση σε σχέση µε του ευρετικούς αλγόριθµους. Επιπλέον, πολλές διαδικασίες που σχετίζονται µε την ανάθεση πόρων είναι µη γραµµικές και εποµένως δεν µπορούν εύκολα να διαµορφωθούν γραµµικά υποδείγµατα. Ένα πλήθος τεχνικών βελτιστοποίησης έχουν προταθεί και χρησιµοποιούνται για την εύρεση της βέλτιστης ανάθεσης χρήσης γης εντός µιας συγκεκριµένης περιοχής. Οι περισσότερες από αυτές τις τεχνικές υπολογίζουν την βέλτιστη ανάθεση για µία µόνο χρήση γης (Aerts, 2002). Οι τεχνικές βελτιστοποίησης σε προβλήµατα ανάθεσης πολλαπλών χρήσεων γης σε µια συγκεκριµένη περιοχή παρουσιάζουν δύο κυρίως προβλήµατα στην εφαρµογή τους σε συστήµατα υποστήριξης αποφάσεων. Το πρώτο πρόβληµα είναι ο ακέραιος 15

23 χαρακτήρας του υποδείγµατος σε συνδυασµό µε το µέγεθος του. Η ανάθεση πολλαπλών χρήσης γης είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα ακέραιου προγραµµατισµού συνήθως απαιτείται η ανάθεση µιας και µόνο µιας χρήσης γης σε ένα οικοδοµικό τετράγωνο, κάτι το οποίο επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας δυαδικές µεταβλητές 0-1 οι οποίες αντιπροσωπεύουν τις πιθανές χρήσεις γης για ανάθεση. Ο πολύπλοκος παράγοντας του βαθµού συγκέντρωσης της λύσης αποτελεί το δεύτερο πρόβληµα που εµφανίζεται σε προβλήµατα ανάθεσης πολλαπλών χρήσεων γης. Αρκετά συχνά στην ανάθεση χρήσεων γης υπάρχει η απαίτηση η λύση να αποτελείται από συµπαγείς περιοχές, εποµένως, εµφανίζεται η ανάγκη να ανατίθεται η ίδια χρήση γης σε γειτονικές περιοχές (κελιά ή οικοδοµικά τετράγωνα). Μαθηµατικά η διαµόρφωση ενός στόχου συγκέντρωσης είναι δύσκολη µιας και µπορεί να εισάγει µη-γραµµικούς περιορισµούς στο υπόδειγµα βελτιστοποίησης και εποµένως να µην είναι εφικτή η επίλυσή του µε µεθόδους γραµµικού προγραµµατισµού. Σχήµα 2.7: Σχηµατική απεικόνιση πλαισίου ανάλυσης για την περίπτωση λήψης απόφασης για την κατανοµή χρήσεων γης (Πηγή: Aerts, 2002) Ένα παράδειγµα της έννοιας του βαθµού συγκέντρωσης δίνεται στο Σχήµα 2.7 όπου φαίνεται µια περιοχή στην οποία απαιτείται να ανατεθεί µια χρήση γης σε 10 συνολικά κελιά. Από το υπόδειγµα υπολογίστηκαν δύο εναλλακτικές λύσεις. Στην εναλλακτική λύση 1 έχει δοθεί ισχυρή προτεραιότητα στην επίτευξη χαµηλού κόστους και στην εναλλακτική λύση 2 έχει δοθεί ισχυρή προτεραιότητα στο βαθµό συγκέντρωσης της λύσης. Από το Σχήµα είναι φανερό ότι σε ένα πρόβληµα ανάθεσης χρήσης γης µία πυκνή και συµπαγής λύση (εναλλακτική 2 στο Σχήµα 2.7) µπορεί να έχει µεγαλύτερο κόστος από µια διάσπαρτη λύση (εναλλακτική 1 στο Σχήµα 2.7). 16

24 3. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ Όπως αναφέρθηκε στην το πρόβληµα της ανάθεσης χρήσεων γης µπορεί να µορφοποιηθεί ως ένα πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού. Η µεταβλητή απόφασης λαµβάνει την τιµή 1 όταν ανατίθεται η συγκεκριµένη χρήση γης σε µια περιοχή (π.χ. οικοδοµικό τετράγωνο) ή 0 όταν ανατίθεται µια διαφορετική χρήση στην υπόψη περιοχή. Επιπλέον ένα κρίσιµο στοιχείο για την διαµόρφωση του υποδείγµατος αποτελεί ο τρόπος εισαγωγής του βαθµού συγκέντρωσης. Στο παρόν κεφάλαιο θα αναλυθεί ένα µαθηµατικό υπόδειγµα γραµµικού ακέραιου προγραµµατισµού που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για προβλήµατα ανάθεσης χρήσης γης, καθώς και η µέθοδος επίλυσης τέτοιων προβληµάτων Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΑΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΣΤΟΧΟΥΣ Οι µέθοδοι βελτιστοποίησης σε προβλήµατα µε πολλαπλούς στόχους προσδιορίζουν εναλλακτικές απόφασης µε βάση ένα σύνολο στόχων και περιορισµών οι οποίοι υποβάλλονται στις µεταβλητές απόφασης. Συνήθως ένα τέτοιο υπόδειγµα έχει την µορφή maximize F x = f + x, f - x,, f / (x) (Εξ. 3-1) subject to: x X (Εξ. 3-2) όπου F(x), η αντικειµενική συνάρτηση, f k (x), η συνάρτηση κριτηρίου (k=1,2,,n), X, το σύνολο των εφικτών λύσεων, x=(x 1,x 2,,x m ) οι µεταβλητές απόφασης και x i 0 για i=1,2,,m. Οι µεταβλητές µπορούν να χρησιµοποιηθούν µε διάφορους τρόπους για να ορίσουν µια χωρική εναλλακτική λύση. Συνήθως, κάθε χωρική εναλλακτική ορίζεται µε ένα δυαδικό διάνυσµα, x=(x 1,x 2,,x m ), όπου η µεταβλητή x j =1, εάν µια χρήση γης ανατίθεται στην i περιοχή, αλλιώς η τιµή της µεταβλητής είναι µηδέν.) Με δεδοµένο ότι το υπόδειγµα βελτιστοποίησης θα περιέχει αντικρουόµενος στόχους, το πρόβληµα καταλήγει στο να πρέπει να υπολογιστεί ένα σύνολο εφικτών λύσεων κατά Pareto (ένα σύνολο εφικτών, µη κυριαρχούµενων λύσεων, ). Στην βιβλιογραφία έχουν προταθεί αρκετές τεχνικές για τον υπολογισµό µη κυριαρχούµενων λύσεων. Κύριο χαρακτηριστικό αυτών των τεχνικών είναι ότι το πρόβληµα µετατρέπεται 17

25 σε ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης µε έναν µόνο στόχο. Η πιο συχνά χρησιµοποιούµενη τεχνική είναι η µέθοδος των βαρών (Malczewski and Rinner, 2016). Με την µέθοδο των βαρών σε κάθε αντικειµενική συνάρτηση ανατίθεται ένα βάρος, w k (k=1,2,,n) και η αντικειµενική συνάρτηση (Εξ. 3-1) µετασχηµατίζεται σε συνάρτηση µονού στόχου µέσω του γραµµικού συνδυασµού των επιµέρους στόχων µε τα βάρη τους: maximize F x = w 1 f + x + w 1 f - x + + w n f / (x) (Εξ. 3-3) subject to: x X (Εξ. 3-4) όπου τα βάρη w k 0 και w 1 +w 2 + +w n =1. Το σύνολο των µη κυριαρχούµενων λύσεων υπολογίζεται µέσω παραµετρικών αναλύσεων για διάφορες τιµές των βαρών. Στο Σχήµα 3.1 απεικονίζεται η γενική ιδέα της µεθόδου των βαρών για µια αντικειµενική συνάρτηση µε δύο στόχους. Εφόσον η F είναι γραµµικός συνδυασµός των f 1 και f 2 το περίγραµµά της στο επίπεδο f 1 - f 2 είναι µια γραµµή, l s. Η τιµή της F είναι η ίδια σε κάθε σηµείο της γραµµής. Η κλίση της ευθείας είναι ίση µε τον λόγο των βαρών (συγκεκριµένα η κλίση δίνεται από την σχέση: -w 1 /w 2 ). Η τιµή της F εξαρτάται από την θέση της γραµµής στο επίπεδο. Τροποποιώντας τις τιµές των βαρών η F αποκτά και διαφορετικές τιµές, οι οποίες απεικονίζονται στο σχήµα µέσω των διαφορετικών γραµµών l 1, l 2, l 3. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα ενδιαφερόµαστε για την µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης, εποµένως η γραµµή µε την µέγιστη τιµή της F υποδεικνύει την βέλτιστη λύση. Τελικά, η βέλτιστη λύση υπολογίζεται µετακινώντας της γραµµή µέχρι το σηµείο όπου αυτή συναντά εφαπτοµενικά το σύνολο των εφικτών λύσεων. Στο Σχήµα 3.1 το σηµείο Ο όπου η γραµµή l 3 εφάπτεται του εφικτού συνόλου είναι η βέλτιστη λύση. 18

26 Σχήµα 3.1: Σχηµατική απεικόνιση εντοπισµού βέλτιστου κατά Pareto µε την µέθοδο των βαρών (Πηγή: Malczewski and Rinner, 2016) 3.2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ Το µαθηµατικό υπόδειγµα που παραγράφεται στην παρούσα ενότητα βασίζεται στην εργασία των Aerts et al Το πρόβληµα ανάθεσης πολλαπλών χρήσεων γης µπορεί να γραφεί ως ένα ζεύγος (S,f), όπου S είναι το σύνολο των πιθανών λύσεων και f συνάρτηση κόστος. Στην περίπτωση προβλήµατος ελαχιστοποίησης αναζητούµε µια λύση i opt S που να ικανοποιεί την σχέση: f i CDE f i i S (Εξ. 3-5) Σαν παράδειγµα υποθέτουµε ότι απαιτείται η ανάθεση χρήσεων γης σε µια ορθογωνική περιοχή. Αρχικά η περιοχή υποδιαιρείται σε κάνναβο N γραµµών επί Μ στηλών. Έστω ότι χρειάζεται να ανατεθούν Κ διαφορετικές χρήσεις γης οι οποίες συµβολίζονται µε το λατινικό γράµµα k όπου k=1,2,,k. Στην συνέχεια εισάγεται µία δυαδική µεταβλητή x ijk η οποία ισούται µε 1 όταν η χρήση γης k ανατίθεται στο κελί (i,j) αλλιώς ισούται µε 0. Ο συνολικός αριθµός των κελιών που πρέπει να τους ανατεθεί η χρήση γης k δίνεται από την παράµετρο T k. Επιπλέον το κόστος ανάπτυξης της χρήσης γης k στο κελί (i,j) δίνεται από την παράµετρο C ijk, η παράµετρος αυτή εξαρτάται από την θέση του κελιού στο οποίο γίνεται η ανάθεση της χρήσης γης. Στην περίπτωση που ο στόχο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους µπορεί να διατυπωθεί το παρακάτω βασικό µαθηµατικό υπόδειγµα βελτιστοποίησης: 19

27 minimize Subject to: Q P N MO+ KO+ LO+ C KLM x KLM (Εξ. 3-6) Q (Εξ. 3-7) x KLM = 1 i = 1,, N, j = 1,, M, x KLM 0,1 MO+ P N KO+ LO+ (Εξ. 3-8) x KLM = T M k = 1,, K Η εξίσωση (Εξ. 3-7) καθορίζει ότι µια και µόνο µία χρήση γης µπορεί να ανατεθεί σε κάθε κελί του καννάβου. Η εξίσωση (Εξ. 3-8) καθορίζει τον απαιτούµενο αριθµό κελιών για κάθε χρήση γης. Είναι φανερό ότι το υπόδειγµα είναι ένα πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού µιας και η µεταβλητή απόφασης x ijk µπορεί να λάβει µόνο τις τιµές 0 ή 1. Όπως αναφέρεται και στην εργασία των Diamond and Wright (1989) τα προβλήµατα ανάθεσης πολλαπλών χρήσεων θεωρείται ότι αποτελούν συνδυαστικά προβλήµατα βελτιστοποίησης γιατί συνήθως απαιτείται η ελαχιστοποίηση του κόστους (όπως αυτή εκφράζεται µαθηµατικά από τις (Εξ. 3-6) έως (Εξ. 3-8)) σε συνδυασµό µε κάποιες χωρικές απαιτήσεις. Ο συνδυασµός αυτός µπορεί να οδηγήσει σε πολύ µεγάλο αριθµό πιθανών εναλλακτικών λύσεων. Συνήθως υπάρχουν δύο ειδών χωρικές απαιτήσεις, είτε η µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης της λύσης είτε η µεγιστοποίηση του βαθµού γειτνίασης. Όπως αναφέρεται και στην η µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης αναφέρεται στην απαίτηση η λύση να αποτελείται από συµπαγείς περιοχές και εποµένως, εµφανίζεται η ανάγκη να ανατίθεται η ίδια χρήση γης σε γειτονικές π εριοχές (κελιά ή οικοδοµικά τετράγωνα). Η µεγιστοποίηση της γειτνίασης αναφέρεται στην απαίτηση τα κελιά στα οποία ανατίθεται η ίδια χρήση γης να είναι συνδεδεµένα µεταξύ τους. 20

28 Σχήµα 3.2: Τυχαία ανάθεσης µιας χρήσης γης σε µια περιοχή 52 κελιών (αριστερά), βελτιστοποίηση του βαθµού γειτνίασης (κέντρο) και του βαθµού συγκέντρωσης (δεξιά), (Πηγή: Aerts et al 2002) Στην παρούσα εργασία θα αναφερθούµε µόνο στον στόχο µεγιστοποίησης του βαθµού συγκέντρωσης. Το µαθηµατικό υπόδειγµα που προτείνεται για την µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης από τους Aerts et al (2002) δίνεται στις (Εξ. 3-9) και (Εξ. 3-10): maximize: όπου: Q P N MO+ KO+ LO+ b KLM x KLM b KLM = x K[+LM + x K\+LM + x KL[+M + x KL\+M k = 1, K, i = 1,, N, j = 1,, M (Εξ. 3-9) (Εξ. 3-10) Η µεγιστοποίηση της (Εξ. 3-9) οδηγεί σε λύσεις στις οποίες γειτονικά κελιά έχουν την ίδια χρήση γης. Για να ορίζεται η εξίσωση (Εξ. 3-10) και σε κελιά που βρίσκονται στα όρια της υπόψη περιοχής πρέπει να εισαχθεί και µια επιπλέον εξίσωση: x KLM = 0 k = 1,, K, i o, N + 1, j 0, M + 1 (Εξ. 3-11) Τα δύο υποδείγµατα που αναφέρονται παραπάνω πρέπει να συνδυαστούν για να καταλήξουµε σε ένα υπόδειγµα µε πολλαπλά κριτήρια για την ανάθεση χρήσης γης. Τα δύο επιµέρους υποδείγµατα είναι αντικρουόµενα µιας και το πρώτο αναφέρεται στην ελαχιστοποίηση του κόστους και το δεύτερο αναφέρεται στην µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης. Εφικτές λύσεις για το πρόβληµα µπορούν να βρεθούν εφαρµόζοντας την µέθοδο βαρών ( 3.1). Συγκεκριµένα εφικτές λύσεις µπορούν να υπολογιστούν ελαχιστοποιώντας την συνάρτηση: 21

29 Q P N w + Q P N C KLM x KLM w - b KLM x KLM MO+ KO+ LO+ MO+ KO+ LO+ (Εξ. 3-12) υπό τους περιορισµούς των εξισώσεων (Εξ. 3-7), (Εξ. 3-8), (Εξ. 3-10) και (Εξ. 3-11) και για διάφορες τιµές των βαρών w1 και w2. Εναλλακτικά η αντικειµενική συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως: Q P N Q P N C KLM x KLM α b KLM x KLM (Εξ. 3-13) MO+ KO+ LO+ MO+ KO+ LO+ Ο συντελεστής α αντιπροσωπεύει το βάρος του βαθµού συγκέντρωσης σε σχέση µε το βάρος της συνάρτησης κόστους. Η αντικειµενική συνάρτηση της (Εξ. 3-13) είναι µη γραµµική µιας και ο όρος b KLM x KLM, που σχετίζεται µε το βαθµό συγκέντρωσης είναι µη γραµµικός. Για να µπορεί να επιλυθεί το πρόβληµα µε τεχνικές του γραµµικού ακέραιου προγραµµατισµού η (Εξ. 3-13) χρειάζεται να µετασχηµατιστεί. Αυτό επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας τον µη γραµµικό όρο b KLM x KLM µε µία ακέραια µεταβλητή y KLM και ένα σύνολο επιπλέον περιορισµών: y KLM 4x KLM (Εξ. 3-14) y KLM x K[+LM + x K\+LM + x KL[+M + x KL\+M (Εξ. 3-15) y KLM x K[+LM + x K\+LM + x KL[+M + x KL\+M 4(1 x KLM ) (Εξ. 3-16) y KLM 0 (Εξ. 3-17) k = 1, K, i = 1,, N, j = 1,, M Τελικά το µαθηµατικό υπόδειγµα ελαχιστοποίησης για το πρόβληµα ανάθεσης χρήσης γης δίνεται από την σχέση: Q P N Q P N C KLM x KLM α MO+ KO+ LO+ MO+ KO+ LO+ y KLM (Εξ. 3-18) Με τους περιορισµούς που δίνονται από τις σχέσεις (Εξ. 3-7), (Εξ. 3-8), (Εξ. 3-14), (Εξ. 3-15), (Εξ. 3-16) και (Εξ. 3-17). 22

30 Οι (Εξ. 3-14) έως (Εξ. 3-17) εξασφαλίζουν ότι η µεταβλητή y ijk ισούται µε το γινόµενο b ijk x ijk κάτι το οποίο στην συνέχεια αποδεικνύεται µε βάση δύο παραδείγµατα ένα για την περίπτωση όπου η µεταβλητή x ijk =0 και ένα όταν η µεταβλητή x ijk =1. Όταν δεν ανατίθεται στο κελί (i,j) η χρήση γης k η µεταβλητή x ijk λαµβάνει την τιµή 0 κάτι το οποίο συνεπάγεται ότι και η µεταβλητή y ijk θα πρέπει να ισούται µε µηδέν. Σε αυτή την περίπτωση οι (Εξ. 3-14) και (Εξ. 3-17) αναγκάζουν την µεταβλητή y ijk να λάβει την τιµή µηδέν. Επιπλέον η (Εξ. 3-16) λαµβάνει τιµή µικρότερη ή ίση του µηδενός λόγω του όρου 4(1 x KLM ) ενώ η (Εξ. 3-15) λαµβάνει πάντα θετική τιµή. Στην περίπτωση όπου στο κελί (i,j) ανατίθεται η χρήσης γης k η µεταβλητή x ijk λαµβάνει την τιµή 1 και εποµένως η µεταβλητή y ijk πρέπει να προκύπτει ως αριθµό των γειτονικών κελιών που τους ανατίθεται η ίδια χρήσης γης k. Σε αυτή την περίπτωση το άνω και το κάτω όριο της τιµής της µεταβλητής y ijk καθορίζεται από τις (Εξ. 3-15) και (Εξ. 3-16). Παράλληλα το δεξιά τµήµα της (Εξ. 3-14) είναι µεγαλύτερο από το άνω όριο µιας και το άνω όριο είναι ίσο µε τον αριθµό των γειτονικών κελιών που τους έχει ανατεθεί η χρήση γης k. Τέλος το δεξί τµήµα της (Εξ. 3-17) είναι πάντα µικρότερο ή ίσο µε το ελάχιστον αριθµό γειτονικών κελιών που τους ανατίθεται η χρήση γης k. Οι τιµές των (Εξ. 3-14) έως (Εξ. 3-17) για τις δύο περιπτώσεις που αναφέρονται παραπάνω φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα (Aerts et al, 2002) Σχήµα 3.3: Τιµές των (Εξ. 3-14) έως (Εξ. 3-17) για τιµές της µεταβλητής x ijk =0 ή 1 (Πηγή: Aerts et al 2002) 23

31 3.3. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Στην παρούσα ενότητα εφαρµόστηκε το υπόδειγµα γραµµικού ακέραιου προγραµµατισµού που αναπτύχθηκε στην 3.2 σε µια υποτιθέµενη περιοχή η οποία χωρίστηκε σε κάνναβο 8x8 κελιών. Το ζητούµενο είναι η ανάθεση τριών εναλλακτικών χρήσεων γης στην υπόψη περιοχή έχοντας ως στόχο το µικρότερο δυνατό κόστος ανάθεσης µεταβάλλοντας τον επιθυµητό βαθµό συγκέντρωσης. Η επίλυση του προβλήµατος πραγµατοποιήθηκε µε το λογισµικό Matlab (έκδοση R2017b) Υποθέσεις παραδείγµατος Υποθέτουµε τρείς πιθανές εναλλακτικές χρήσεις γης προς ανάθεση, (lu1,lu2 και lu3). Επίσης, απαιτείται η ανάπτυξη σε ακριβώς 20 κελιά της χρήσης γης lu1 και lu2 και σε ακριβώς 24 κελιά της χρήσης γης lu3. Συνολικά στο πρόβληµα υπάρχουν 192 δυαδικές µεταβλητές x ijk και επιπλέον 192 ακέραιες µεταβλητές y ijk. Το κόστος ανάπτυξης των χρήσεων γης κυµαίνεται από τα 25 έως τα 100. Συγκεκριµένα το κόστος ανάπτυξης κάθε χρήσης γης ανά κελί φαίνεται στο Σχήµα 3.4. Η αξιολόγηση των λύσεων που προκύπτουν από τις επιλύσεις πραγµατοποιείται µέσω του κόστους ανάπτυξης που υπολογίζεται για κάθε λύση, του βαθµού συγκέντρωσης έτσι όπως υπολογίζεται από την τιµή του όρου της αντικειµενικής συνάρτησης που αφορά το βαθµό συγκέντρωσης. Για όλες τις αναλύσεις έχει τεθεί ως χ ρονικό όριο τα 10 min για την επίλυση του προβλήµατος. (α) (β) 24

32 (γ) Σχήµα 3.4: Κόστος ανάπτυξης ανά χρήση γης Επίλυση προβλήµατος µορφή απλού στόχου Το υπόδειγµα που αναφέρεται στην 3.2 προγραµµατίστηκε για το παράδειγµα της υπόψη περιοχής στην γλώσσα προγραµµατισµού Matlab. Πραγµατοποιήθηκαν παραµετρικές αναλύσεις για διάφορες τιµές της παραµέτρου α. Θέτοντας τιµή στην παράµετρο α ίση µε 0 ουσιαστικά το πρόβληµα µετατρέπεται σε πρόβληµα µονού στόχου η συνάρτηση που έχει ως στόχο την µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης απαλείφεται από την εξίσωση και το πρόβληµα αποτελεί ποια µια περίπτωση ελαχιστοποίησης κόστους. Αντίθετα θέτοντας τιµή της παραµέτρου α πολύ µεγάλη γίνεται κυρίαρχη η µεγιστοποίηση του βαθµού συγκέντρωσης της λύσης. Στο Σχήµα 3.5 φαίνονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης θέτοντας την τιµή α=0 (ελαχιστοποίηση κόστους ανάπτυξης µόνο) και α=10 12 (µεγιστοποίηση βαθµού συγκέντρωσης). Το κόστος ανάπτυξης για την πρώτη περίπτωση προέκυψε ίσο µε 3450, ενώ για την δεύτερη περίπτωση ίσο µε Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης του στόχου συγκέντρωσης στην πρώτη περίπτωση ήταν ίση µε µηδέν και στην δεύτερη περίπτωση ίση µε 1.98*

33 Σχήµα 3.5: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµή της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=10 12 (δεξιά) Από ότι φαίνεται στο Σχήµα 3.5 παρόλο που στην περίπτωση µε τιµή της παραµέτρου α=0 δίνεται απόλυτη προτεραιότητα στην ε λαχιστοποίηση του κόστους χωρίς να προσπαθούµε να υπολογίσουµε µια λύση µε ένα βαθµό συγκέντρωσης έχουν εµφανιστεί κάποιες συστάδες µε ίδια χρήση γης. Παρόλα αυτά η τιµή του όρου της αντικειµενικής συνάρτησης που αφορά το βαθµό συγκέντρωσης είναι ίση µε µηδέν µιας και ο όρος αυτός πολλαπλασιάζεται µε την παράµετρο α που στην προκειµένη περίπτωση είναι µηδέν. Για αυτό το λόγο ένα άλλο κριτήριο για την αξιολόγηση του βαθµού συγκέντρωσης θα µπορούσε να είναι ο υπολογισµός του όρου Q P N MO+ KO+ LO+ y KLM της αντικειµενικής συνάρτησης (αγνοώντας την παράµετρο α). Όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της παραµέτρου αυτής τόσο µεγαλύτερος βαθµός συγκέντρωσης έχει επιτευχθεί. Η τιµή της παραµέτρου αυτής για την επίλυση µε τιµή της παραµέτρου α ίση µε το µηδέν είναι 60 ενώ για την επίλυση µε τιµή της παραµέτρου α=10 12 είναι Επίλυση προβλήµατος: αντιστάθµιση ελαχιστοποίησης κόστους και µεγιστοποίησης βαθµού συγκέντρωσης Το µαθηµατικό υπόδειγµα αξιολογήθηκε για διάφορες τιµές της παραµέτρου α (δηλαδή βελτιστοποιώντας ταυτόχρονα και τις δύο παραµέτρους του προβλήµατος ελαχιστοποίηση κόστους και µεγιστοποίηση βαθµού συγκέντρωσης). Πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις για τιµές της παραµέτρου α=1, 2, 4, 6, 8, 16, 24 και 32. Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων φαίνονται στο Σχήµα 3.6 και Σχήµα 3.7. Στον Πίνακα 3-1 αναφέρονται οι τιµές των παραµέτρων αξιολόγησης, δηλαδή η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, το κόστος ανάπτυξης, η τιµή του βαθµού συγκέντρωσης, και η τιµή του όρου της αντικειµενικής συνάρτησης Q MO+ P KO+ N LO+ y KLM. Όπως είναι φανερό 26

34 από το Σχήµα 3.6 όσο αυξάνεται η απαίτηση για µεγαλύτερο βαθµό συγκέντρωσης τόσο αυξάνεται το συνολικό κόστος ανάπτυξης των χρήσεων γης. Πίνακας 3-1: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης α Τιµή αντικειµενικής συνάρτησης Κόστος ανάπτυξης ( ) Τιµή του βαθµού συγκέντρωσης Τιµή του όρου Q MO+ P KO+ N LO+ y KLM Χρόνος επίλυσης (sec) Σχήµα 3.6: Καµπύλη αντιστάθµισης κόστους βαθµού συγκέντρωσης 27

35 (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) Σχήµα 3.7: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για διάφορες τιµές της παραµέτρου α (η) 28

36 Από τα αποτελέσµατα των αναλύσεων γίνεται φανερό ότι από µια τιµή της παραµέτρου α και πάνω τα αποτελέσµατα δεν επηρεάζονται ως προς τον αριθµό των συστάδων που δηµιουργούνται, συγκεκριµένα για τιµή της παραµέτρου α ίση µε 8, 16 και 24 τα αποτελέσµατα είναι ακριβώς ίδια, σηµειώνοντας ότι στην περίπτωση της επίλυσης µε τιµή της παραµέτρου α ίση µε 16 και 24 η ανάλυση τερµάτισε λόγω υπέρβασης του χρονικού ορίου που είχε δοθεί στο πρόγραµµα. Για τιµή της παραµέτρου α=32 η συγκέντρωση αυξήθηκε περαιτέρω και ο βαθµός συγκέντρωσης έτσι όπως εκτιµάται µε βάση τα δύο κριτήρια που έχουν προαναφερθεί ήταν ίδιος µε την περίπτωση όπου επιχειρήθηκε µόνο µεγιστοποίηση της συγκέντρωσης. Συνεπώς θα µπορούσε κανείς να συµπεράνει ότι για το π αράδειγµα η βέλτιστη λύση που ελαχιστοποιεί το κόστος και παράλληλα µεγιστοποιεί το βαθµό συγκέντρωσης είναι η εναλλακτική λύση που προκύπτει για τιµή της παραµέτρου α ίση µε 8. 29

37 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΠΑΤΡΑΣ Το µαθηµατικό υπόδειγµα που αναλύθηκε στην 3.2 εφαρµόστηκε για την ανάθεση χρήσεων γης στο κέντρο της πόλης της Πάτρας. Δεδοµένα για την ανάλυσης, (όπως ο αριθµός των οικοδοµικών τετραγώνων, οι συντεταγµένες αυτών, κλπ.) ελήφθησαν από τον χάρτη του δήµου Πατρέων και την γεωγραφική βάση δεδοµένων αυτού όπως έχει αναρτηθεί στην ιστοσελίδα των Δηµόσια Ανοιχτών Δεδοµένων ( Για την οπτικοποίηση των δεδοµένων, την εξαγωγή των πληροφοριών και την εισαγωγή των αποτελεσµάτων της βελτιστοποίησης χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό ανοιχτού κώδικα Quantum GIS (QGIS). Το QGIS αποτελεί επίσηµο πρόγραµµα του οργανισµού Open Source Geospatial Foundation (OSGEO) και είναι διαθέσιµο από την ιστοσελίδα ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Γεωγραφικά δεδοµένα Τα γεωγραφικά δεδοµένα του πολεοδοµικού σχεδίου της πόλης της Πάτρας εισήχθησαν στο λογισµικό QGIS. Στο Σχήµα 4.1 απεικονίζεται το πολεοδοµικό συγκρότηµα της πόλης έτσι όπως έχει εισαχθεί στο πρόγραµµα. Σχήµα 4.1: Σχέδιο πόλης δήµου Πατρέων 30

38 Το υπόδειγµα βελτιστοποίησης για την ανάθεσης χρήσης γης στα οικοδοµικά τετράγωνα του σχεδίου πόλης εφαρµόστηκε για το κέντρο της πόλης. Συγκεκριµένα εφαρµόστηκε στα οικοδοµικά τετράγωνα που περικλείονται από τις οδούς Ζαΐµη, Κοραή, Όθωνος & Αµαλίας και 25 ης Μαρτίου (Σχήµα 4.2). Σχήµα 4.2: Περιοχή διερεύνησης Η υπό διερεύνηση περιοχή αποτελείται από συνολικά 148 οικοδοµικά τετράγωνα. Όπως αναφέρθηκε στην 3.2 το µαθηµατικό υπόδειγµα µπορεί να εφαρµοστεί σε ορθογωνικό κάνναβο. Λόγω της γεωµετρίας του σχεδίου πόλης στην υπό εξέταση περιοχή χρειάστηκε να διαιρεθούν κάποια οικοδοµικά τετράγωνα έτσι ώστε η περιοχή που θα βελτιστοποιηθεί να αποτελείται από 18 σειρές οικοδοµικών τετραγώνων αποτελούµενες η κάθε µια από 9 οικοδοµικά τετράγωνα (συνολικός αριθµός οικοδοµικών τετραγώνων προς ανάπτυξη χρήσης γης ίσος µε 162) Χρήσεις γης προς ανάπτυξη και οικονοµικά δεδοµένα Σύµφωνα µε το σχέδιο προεδρικού διατάγµατος έτσι όπως είναι αναρτηµένο στην ιστοσελίδα του υπουργείου περιβάλλοντος και ενέργειας ( υπάρχουν 15 γενικές κατηγορίες και επιπλέον 53 ειδικές κατηγορίες χρήσης γης. Είναι φανερό ότι µόνο και λόγω του πλήθος των πιθανών χρήσεων γης που µπορούν να αναπτυχθούν το πρόβληµα γίνεται αρκετά περίπλοκο. Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας θεωρήθηκε ότι στα υπό διερεύνηση οικοδοµικά τετράγωνα µπορούν να ανατεθούν 4 πιθανές χρήσεις γης, αποκλειστική 31

39 κατοικία, πολεοδοµικό κέντρο και κεντρικές λειτουργίες πόλης, τουρισµός και αναψυχή, ελεύθεροι χώροι και αστικό πράσινο. Κάθε µια από αυτές τις χρήσεις γης επιτρέπει να χωροθετηθούν διάφορες επιµέρους χρήσεις γης. Για παράδειγµα, σε περιοχή µε χρήση γης αποκλειστική κατοικία επιτρέπεται να χωροθετηθούν µικρές υπαίθριες αθλητικές εγκαταστάσεις, δηµοτικές αγορές, θρησκευτικοί χώροι, υπηρεσίες διοίκησης τοπικής σηµασίας, γωνίες ανακύκλωσης, χώροι εκπαίδευσης (σχολεία πρωτοβάθµιας και δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης), και υπηρεσίες κοινωνικής πρόνοιας τοπικής σηµασίας. Στο πλαίσιο της εργασίας πραγµατοποιήθηκε ανάθεση της κύριας χρήσης γης (δηλαδή µια από τις 4 προαναφερθείσες χρήσεις γης) χωρίς να ανατεθούν οι επιµέρους χρήσεις γης που εµπεριέχουν αυτές. Σε κάθε οικοδοµικό τετράγωνο ανατέθηκε ένα κόστος ανάπτυξης για κάθε µια από τις τέσσερις χρήσεις γης. Ελλείψει πραγµατικών στοιχειών θεωρήθηκε ότι το κόστος ανάπτυξης για κάθε µια κυµαίνεται από τη τιµή 25 έως τη τιµή 100. Στα Σχήµα 4.3 έως Σχήµα 4.6 απεικονίζεται η ανάθεση του κόστους ανάπτυξης στα οικοδοµικά τετράγωνα του σχεδίου πόλης. Σχήµα 4.3: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα 32

40 Σχήµα 4.4: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Σχήµα 4.5: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα 33

41 Σχήµα 4.6: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Λόγω της έλλειψης στοιχείων για το κόστος ανάπτυξης και για λόγους διερεύνησης της επιρροής του κόστους ανάπτυξης στην λύση του προβλήµατος πραγµατοποιήθηκαν παραµετρικές αναλύσεις µε διαφορετικά κόστη ανάθεσης ανά οικοδοµικό τετράγωνο ανά χρήση γης. Συγκεκριµένα πραγµατοποιήθηκαν: 1) αναλύσεις για κόστος ανάπτυξης όπως προκύπτει από το κόστος που αναφέρεται στα Σχήµα 4.3 έως Σχήµα 4.6 επί το εµβαδόν του οικοδοµικού τετραγώνου (στοιχείο που προκύπτει από τα γεωγραφικά δεδοµένα) κανονικοποιηµένο ως προς την τιµή 100 (για λόγους σύγκρισης επιλέχθηκε το µέγιστο κόστος ανάθεσης να είναι ίσο µε το µέγιστο κόστος της πρώτης εναλλακτικής κατανοµής κόστους) «Κατανοµή 2» και 2) αναλύσεις για κόστος ανάπτυξης που προκύπτει από τυχαία κατανοµή του κόστους στα οικοδοµικά τετράγωνα επίσης κανονικοποιηµένο ως προς την τιµή 100 «Κατανοµή 3». Τόσο στην 2 η κατανοµή όσο και στην 3 η κατανοµή το ελάχιστο κόστος ανάθεσης χρήσης γης σε οικοδοµικό τετράγωνο ορίστηκε στην τιµή 25 όσο και στην 1 η κατανοµή. Στα Σχήµα 4.7 έως Σχήµα 4.14 απεικονίζονται τα κόστη ανάθεσης χρήσης γης για τις 2 προαναφερθείσες κατανοµές κόστους. 34

42 Σχήµα 4.7: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 2 Σχήµα 4.8: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 2 35

43 Σχήµα 4.9: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 2 Σχήµα 4.10: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 2 36

44 Σχήµα 4.11: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αποκλειστική κατοικία» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 3 Σχήµα 4.12: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «αστικό πράσινο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 3 37

45 Σχήµα 4.13: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «τουρισµός και αναψυχή» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 3 Σχήµα 4.14: Κόστος ανάπτυξης χρήσης γης «πολεοδοµικό κέντρο» στα οικοδοµικά τετράγωνα Κατανοµή 3 38

46 4.2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ Για την επίλυση του προβλήµατα της ανάθεσης των 4 πιθανών χρήσεων γης στα οικοδοµικά τετράγωνα του κέντρου της πόλης χρησιµοποιήθηκε όπως και στο παράδειγµα της παραγράφου 3.2 το λογισµικό Matlab. Ο κώδικας που χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση του παραδείγµατος της 3.2 τροποποιήθηκε και επεκτάθηκε ώστε να περιλαµβάνει 4 χρήσεις γης (Παράρτηµα Α). Τα δεδοµένα κόστους ανάπτυξης χρήσης γης ανά οικοδοµικό τετράγωνο εισάγονται στο πρόγραµµα από αρχείο το οποίο εξάγεται από το πρόγραµµα QGIS. Στο πρόγραµµα ορίστηκε ότι θα πρέπει η χρήση γης «αποκλειστική κατοικία» να ανατεθεί σε ακριβώς 50 οικοδοµικά τετράγωνα (30% του συνόλου των οικοδοµικών τετραγώνων), η χρήση γης «αστικό πράσινο» να ανατεθεί σε ακριβώς 25 οικοδοµικά τετράγωνα (15% του συνόλου των οικοδοµικών τετραγώνων), η χρήση γης «τουρισµός και αναψυχή» να ανατεθεί σε ακριβώς 24 οικοδοµικά τετράγωνα (15% του συνόλου των οικοδοµικών τετραγώνων) και η χρήση γης «πολεοδοµικό κέντρο» να ανατεθεί σε ακριβώς 63 οι κοδοµικά τετράγωνα (40% του συνόλου των οικοδοµικών τετραγώνων), Πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις για τις τρείς πιθανές κατανοµές για διάφορες τιµές της παραµέτρου α Επίλυση προβλήµατος µε την 1 η κατανοµή κόστους Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων έτσι όπως εισήχθησαν στο γεωγραφικό σύστηµα πληροφοριών φαίνονται στα Σχήµα 4.15 έως Σχήµα 4.18 για διάφορες τιµές της παραµέτρου α. Στον Πίνακα 4-1 αναφέρονται οι τιµές των παραµέτρων αξιολόγησης όπως αυτές ορίστηκαν στην Πίνακας 4-1: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης α Τιµή αντικειµενικής συνάρτησης Κόστος ανάπτυξης ( ) Τιµή του βαθµού συγκέντρωσης Τιµή του όρου Q MO+ P KO+ N LO+ y KLM Χρόνος επίλυσης (sec) 39

47 Σχήµα 4.15: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.16: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=4 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους 40

48 Σχήµα 4.17: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=6 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 1 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.18: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=16 1 η κατανοµή κόστους Όπως φαίνεται από τα αποτελέσµατα συµπαγείς συστάδες δηµιουργούνται για τιµή της παραµέτρου α ίση µε 8. Η περαιτέρω αύξηση της τιµής της παραµέτρου α δεν δείχνει να βελτιώνει τα αποτελέσµατα, τονίζεται ωστόσο ότι η επίλυση διακόπηκε για τιµή της παραµέτρου α=16 λόγω υπέρβασης του µέγιστου χρονικού ορίου που είχε δοθεί στο πρόγραµµα (600sec). Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για α=16 προκύπτει αρνητική γιατί ο όρος που αφορά το βαθµό συγκέντρωσης γίνεται για αυτή την τιµή µεγαλύτερος από τον όρο που αφορά το κόστος ανάθεσης. Η τιµή του ελάχιστου κόστους ανάπτυξης προκύπτει ίση µε 6000 και αυξάνεται στις 6125 για τιµή της παραµέτρου α ίση µε 8. 41

49 Επίλυση προβλήµατος µε τη 2 η κατανοµή κόστους Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων µε τη 2 η κατανοµή κόστους ανάθεσης ανά οικοδοµικό τετράγωνο ανά χρήση γης δίνονται στα Σχήµα 4.19 έως Σχήµα 4.22 και στον Πίνακα 4-2, για διάφορες τιµές της παραµέτρου α. Πίνακας 4-2: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης α Τιµή αντικειµενικής συνάρτησης Κόστος ανάπτυξης ( ) Τιµή του βαθµού συγκέντρωσης Τιµή του όρου Q MO+ P KO+ N LO+ y KLM Χρόνος επίλυσης (sec) Σχήµα 4.19: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους 42

50 Σχήµα 4.20: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.21: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=16 (αριστερά) και α=64(δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.22: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=256 (αριστερά) και α=512 (δεξιά) 2 η κατανοµή κόστους 43

51 Όπως φαίνεται από τα αποτελέσµατα συµπαγείς συστάδες δηµιουργούνται για υψηλές τιµές της παραµέτρου α. Η επίλυση διακόπηκε λόγω υπέρβασης του µέγιστου χρονικού ορίου που είχε δοθεί στο πρόγραµµα (600sec) ακόµα και για σχετικά χαµηλές τιµές της παραµέτρου α. Όπως και στην περίπτωση της πρώτης κατανοµής από την τιµή της παραµέτρου α=16 και πάνω ο όρος του βαθµού συγκέντρωσης στην αντικειµενική συνάρτηση γίνεται κυρίαρχος µε αποτέλεσµα η αντικειµενική συνάρτηση να λαµβάνει αρνητικές τιµές. Η τιµή του ελάχιστου κόστους ανάπτυξης προκύπτει ίση µε 4383 και αυξάνεται στις 5421 για τιµή της παραµέτρου α ίση µε Επίλυση προβλήµατος µε τη 3 η κατανοµή κόστους Τα απ οτελέσµατα των αναλύσεων µε τη 3 η κατανοµή κόστους ανάθεσης ανά οικοδοµικό τετράγωνο ανά χρήση γης δίνονται στα Σχήµα 4.23 έως Σχήµα 4.26 και στον Πίνακα 4-3, για διάφορες τιµές της παραµέτρου α. Πίνακας 4-3: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης α Τιµή αντικειµενικής συνάρτησης Κόστος ανάπτυξης ( ) Τιµή του βαθµού συγκέντρωσης Τιµή του όρου Q MO+ P KO+ N LO+ y KLM Χρόνος επίλυσης (sec) 44

52 Σχήµα 4.23: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=0 (αριστερά) και α=1 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.24: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=2 (αριστερά) και α=8 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Σχήµα 4.25: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=64 (αριστερά) και α=256(δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους 45

53 Σχήµα 4.26: Αποτελέσµατα βελτιστοποίησης για τιµές της παραµέτρου α=1024 (αριστερά) και α=2500 (δεξιά) 3 η κατανοµή κόστους Όπως φαίνεται από τα αποτελέσµατα και σε αυτή τη κατανοµή συµπαγείς συστάδες δηµιουργούνται για υψηλές τιµές της παραµέτρου α. Η επίλυση διακόπηκε λόγω υπέρβασης του µέγιστου χρονικού ορίου που είχε δοθεί στο πρόγραµµα (600sec) ακόµα και για σχετικά χαµηλές τιµές της παραµέτρου α. Η τιµή του ελάχιστου κόστους ανάπτυξης προκύπτει ίση µε 6650 και αυξάνεται στις για τιµή της παραµέτρου α ίση µε Σχολιασµός αποτελεσµάτων Όπως φαίνεται από τα αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν στις παραπάνω ενότητες, επιτεύχθηκε η ελαχιστοποίηση του κόστους ανάθεσης ενώ παράλληλα µεγιστοποιήθηκε ο βαθµός συγκέντρωσης και για τις τρεις περιπτώσεις κατανοµής κόστους ανάθεσης χρήσης γης. Ωστόσο, από τα αποτελέσµατα είναι εµφανές ότι η αρχική κατανοµή κόστους επηρεάζει σηµαντικά τα αποτελέσµατα. Όπως είναι λογικό, περιπτώσεις όπου η κατανοµή του κόστους ανάθεσης εµφανίζει ένα βαθµό συγκέντρωσης (όπως η 1 η κατανοµή), οδηγεί αρκετά πιο γρήγορα στην βέλτιστη λύση και για χαµηλότερες τιµές της παραµέτρου α. Όσο µειώνεται ο βαθµός συγκέντρωσης στην κατανοµή του κόστους ανάθεσης (2 η και 3 η κατανοµή) τόσο περισσότερος χρόνος απαιτείται για την επίλυση του προβλήµατος ενώ παράλληλα, απαιτούνται µεγαλύτερες τιµές για την παράµετρο α. Όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.27 παρατηρούνται µεγάλες διαφορές στα ποιοτικά χαρακτηριστικά της βέλτιστης λύσης. Στην περίπτωση της 3 η κατανοµής όπου το κόστος ανάθεσης έχει προκύψει από τυχαία κατανοµή είναι αναµενόµενο η λ ύση να έχει 46