ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ ΜΗ-ΝΕΥΤΩΝΙΚΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΕ μ-αγωγο ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΧΗΜΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ ΜΗ-ΝΕΥΤΩΝΙΚΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΕ μ-αγωγο ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ-ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Α. ΧΑΤΖΗΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΠΥΡΟΣ Β. ΠΑΡΑΣ ΕΠΙΒΛΕΨΗ: ΑΓΑΘΟΚΛΗΣ Δ. ΠΑΣΣΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2016

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Τεχνολογίας Χημικών Εγκαταστάσεων του Τμήματος Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. υπό την καθοδήγηση του καθηγητή κ. Σπύρου Β. Παρά. Τελειώνοντας εδώ τις σπουδές μου, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά όσους ήταν δίπλα μου δίνοντάς μου στήριξη και καθοδήγηση. Πρώτον από όλους θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή μου κ. Σπύρο Β. Παρά, ο οποίος με εμπιστεύθηκε με αυτή την εργασία και μου προσέφερε υποστήριξη και βοήθεια καθ όλη τη διάρκειά της. Είμαι ευγνώμων τόσο για την εμπιστοσύνη του όσο και για την πάρα πολύ καλή συνεργασία μας. Επίσης, οφείλω ένα ευχαριστώ στην Αν. Καθηγήτρια κα Αικατερίνη Μουζά, η οποία με προθυμία μου έδωσε σημαντικές συμβουλές και αφιέρωσε χρόνο για να με βοηθήσει στην εκπόνηση της διπλωματικής μου. Οφείλω να ευχαριστήσω θερμά τον Υποψήφιο Διδάκτορα Αγαθοκλή Πάσσο, ο ο- ποίος εκτός από το γεγονός ότι ήταν δίπλα μου σε κάθε βήμα της εργασίας και βοηθούσε με όποιο τρόπο μπορούσε, έγινε και μια πολύ όμορφη παρέα. Θέλω να ευχαριστήσω ακόμη τον Δρ. κ. Ιωάννη Στογιάννη, που μου έδειξε εμπιστοσύνη για την παρούσα εργασία, η οποία αποτελεί συνέχεια της δικής του δουλειάς. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τις φίλες μου Κατερίνα Κανελάκη, Αθηνά Μέγαρη και Μαρία Συμεωνίδου, που είναι δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια, κάνοντας τη ζωή μου πιο ωραία και βοηθώντας με σε κάθε δυσκολία. Θα ήθελα να αφιερώσω την παρούσα εργασία στον πατέρα μου και την αδερφή μου, οι οποίοι με στηρίζουν σε κάθε βήμα της ζωής μου και τους οφείλω αυτό που είμαι και ότι έχω κάνει μέχρι τώρα.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της ροής μη-νευτωνικών ρευστών (τα οποία ακολουθούν το μοντέλο Casson) μέσα σε έναν μ-αγωγό τετραγωνικής διατομής με εμπόδιο. Τελικός στόχος της εργασίας είναι η διερεύνηση της επίδρασης που έχει η μη-νευτωνική συμπεριφορά των ρευστών και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του εμποδίου στο μήκος ανακυκλοφορίας μετά το εμπόδιο, καθώς και η διατύπωση ενός γενικευμένου συσχετισμού για την πρόβλεψή του. Χρησιμοποιήθηκε ένας ήδη επικυρωμένος κώδικας Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD) (ANSYS CFX 15.0) για τις προσομοιώσεις και τη μελέτη της επίδρασης των κύριων σχεδιαστικών παραμέτρων στα χαρακτηριστικά της ροής. Για τη μελέτη αυτή, πραγματοποιήθηκε μια παραμετρική μελέτη κάνοντας χρήση της τεχνικής Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design of Experiments, DOE) και της Μεθοδολογίας Επιφάνειας Απόκρισης (Response Surface Methodology, RSM). Διερευνήθηκαν εκτενώς τα χαρακτηριστικά της ροής των μη-νευτωνικών ρευστών καθώς και των αντίστοιχων Νευτωνικών σε τέτοιες γεωμετρίες. Προέκυψε πως όταν ο αριθμός Reynolds είναι μικρότερος του 50, μπορεί να παρατηρηθεί σημαντική μείωση του μήκους ανακυκλοφορίας (μέχρι και 35%) κατά τη ροή του μη-νευτωνικού ρευστού σε σχέση με ένα αντίστοιχο Νευτωνικό. Επιπλέον, επιβεβαιώθηκε ότι το μήκος ανακυκλοφορίας εξαρτάται κυρίως από τον αριθμό Re και το ύψος του εμποδίου, ενώ το μήκος του εμποδίου επηρεάζει σε πολύ μικρό βαθμό. Τέλος, βάσει των αποτελεσμάτων, προτείνονται δυο νέοι συσχετισμοί, οι οποίοι είναι σε θέση να προβλέψουν με σημαντική ακρίβεια (± 15%) τον μέσο ρυθμό διάτμησης στην κάτω περιοχή ανακυκλοφορίας, καθώς και το μήκος ανακυκλοφορίας για σχετικά μικρούς αριθμούς Re.

4 ABSTRACT The purpose of this work is to study the flow of Non-Newtonian fluids (following the Casson model) around a flow-disturbing rib in a rectangular microchannel. We aim to investigate the effect of the non-newtonian behavior of the fluids on the size of the bottom reattachment length of the primary recirculation zone developed downstream from the rib and its geometrical characteristics and propose a correlation for the prediction of the reattachment length. A validated CFD code was employed for investigating the effect of the key design parameters on the flow characteristics by performing a parametric study based on the Design of Experiments (DOE) and the Response Surface Methodology (RSM). The fluid flow characteristics concerning the non-newtonian fluids and their corresponding Newtonian ones have been posed under investigation. It has been found that for Reynolds numbers lower than 50, significant decrease of the reattachment length (i.e. up to 35%) can be observed for the non-newtonian fluid. It was also confirmed that the recirculation length is affected mainly by the Re value and the rib height, while the effect of the rib length has been found to be very minimal. Based on our results two new correlations, which can predict with reasonable accuracy (± 15%) the average shear rate within the bottom recirculation zone and its length for relatively low Re numbers, are proposed.

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή... 6 Θεωρητικό Μέρος Ροή με διαμόρφωση Ρεολογία Ρυθμός διάτμησης γ Διατμητική τάση τ Τοιχωματική διατμητική τάση (WSS) τ w Νευτωνικά ρευστά Μη-Νευτωνικά ρευστά Υπολογιστική Ρευστοδυναμική Αρχές λειτουργίας κώδικα Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση Επικύρωση του κώδικα Σχεδιασμός - Συνοριακές συνθήκες - Ιδιότητες ρευστού - Παράμετροι Σχεδιασμός Πειραμάτων Αποτελέσματα Επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς Παραμετρική μελέτη Συμπεράσματα-Προτάσεις Βιβλιογραφία... 55

6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ AR Λόγος l/d (Aspect Ratio), - BR Βαθμός Φραγής (d/h), - Cu Αριθμός Carreau, - d Ύψος εμποδίου, m H Ύψος καναλιού, m l Μήκος εμποδίου, m pi Μεταβλητή στην μεθοδολογία RSM Re Αριθμός Reynolds, - Reeff Φαινομενικός αριθμός Reynolds (μ=μeff), - U Ταχύτητα στην είσοδο του καναλιού, m/s x Αξονική απόσταση από το τέλος του εμποδίου, m xr Μήκος ανακυκλοφορίας στον πυθμένα μετά το εμπόδιο, m γ Ρυθμός διάτμησης, s -1 γw Τοιχωματικός ρυθμός διάτμησης, s -1 μ μeff μ τw τy Ιξώδες, Pa s Φαινομενικό ιξώδες, Pa s Ιξώδες σε υψηλούς ρυθμούς διάτμησης, Pa s Τοιχωματική διατμητική τάση, Pa Οριακή τάση, Pa

7 Εισαγωγή Οι μ-συσκευές αποτελούν ένα νέο και ταχέως αναπτυσσόμενο κλάδο της Χημικής Μηχανικής λόγω των πλεονεκτημάτων που παρουσιάζουν, όπως μεγάλους λόγους επιφάνειας προς όγκο και μικρούς χρόνους παραμονής. Στη μ-κλίμακα, η ανάμιξη, μία διεργασία πολύ συχνή στις περισσότερες εφαρμογές της Χημικής Μηχανικής, λαμβάνει χώρα είτε στους ενεργητικούς είτε στους παθητικούς μ-αναμίκτες. Ενώ οι ενεργητικοί μ-αναμίκτες χρησιμοποιούν κινούμενα μέρη, όπως προπέλες και αναδευτήρες, στην παθητική ανάμιξη η ενίσχυση της ανάμιξης γίνεται μέσω τροποποίησης του πεδίου ροής με διαμορφώσεις (εμπόδια), δημιουργώντας περιοχές ανακυκλοφορίας. Κατά την απότομη διεύρυνση της διατομής του αγωγού, δημιουργούνται περιοχές ανακυκλοφορίας με αποτέλεσμα την καλύτερη ανάμιξη. Στη μακρο-κλίμακα τέτοιες διαμορφώσεις είναι αρκετά συχνές και έχουν μελετηθεί εκτενέστατα. Ωστόσο, η μελέτης τέτοιων διαμορφώσεων και της επίδρασης που έχουν στη ροή στη μ-κλίμακα δεν είναι τόσο εκτενής. Στο Εργαστήριο Τ.Χ.Ε. του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του ΑΠΘ έχει προηγηθεί μελέτη (Stogiannis et al., 2014) για την επίδραση ενός εμποδίου μέσα σε μ-κανάλι στη ροή ενός Νευτωνικού υγρού, όπου προτάθηκε συσχετισμός πρόβλεψης του μήκους ανακυκλοφορίας. Για την πληρότητα της έρευνας, κρίθηκε απαραίτητη η μελέτη της ροής ενός μη-νευτωνικού υγρού στο ίδιο μ-κανάλι, ώστε να παρατηρηθούν οι αλλαγές

8 1. Εισαγωγή 7 που μπορεί να προκαλεί η μη-νευτωνική συμπεριφορά του ρευστού στα χαρακτηριστικά της ροής του. Στην παρούσα μελέτη, παρουσιάζεται λεπτομερώς η θεωρία που υπάρχει πίσω από τις διαμορφώσεις μέσα σε μ-συσκευές ή μη, η οποία αντλείται από την βιβλιογραφία. Επίσης, απαραίτητη είναι η ανάλυση της φύσης και των χαρακτηριστικών των μη-νευτωνικών ρευστών. H μελέτη γίνεται με χρήση Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD). Κατά τη χρήση του CFD ακολουθούνται τα απαραίτητα βήματα για το σχεδιασμό του προβλήματος, δηλαδή ο σχεδιασμός της γεωμετρίας του μ-καναλιού, ο σχεδιασμούς του πλέγματος επίλυσης και ο ορισμός των συνοριακών συνθηκών. Αφού γίνει αυτό, είναι δυνατός ο ορισμός των σχεδιαστικών μεταβλητών του προβλήματος, βάσει των οποίων γίνεται η παραμετρική μελέτη και ε- κτελείται μια σειρά προσομοιώσεων για μια πληθώρα Νευτωνικών και μη-νευτωνικών ρευστών. Για τη διεξαγωγή των προσομοιώσεων είναι απαραίτητη η χρήση της Τεχνικής Σχεδιασμού Πειραμάτων, μέσω της οποίας εξάγεται ο αριθμός προσομοιώσεων που είναι αναγκαίες. Ύστερα από τη διαδικασία των προσομοιώσεων, είναι δυνατή η εξαγωγή αποτελεσμάτων και η προσπάθεια κατασκευής συσχετισμών με τη βοήθεια της Μεθοδολογίας Επιφάνειας Απόκρισης. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της επίδρασης της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς και των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διαμόρφωσης στην έκταση της κύριας περιοχής ανακυκλοφορίας στον πυθμένα του μ-καναλιού που δημιουργείται λόγω διαμορφώσεων. Τελικός στόχος της μελέτης είναι η εξαγωγή ενός συσχετισμού, ο οποίος θα προβλέπει το μήκος ανακυκλοφορίας της κύριας περιοχής ανακυκλοφορίας στον πυθμένα του μ-καναλιού μετά το εμπόδιο αναλόγως των χαρακτηριστικών της διαμόρφωσης και των φυσικών ιδιοτήτων του ρευστού.

9 Θεωρητικό Μέρος 2.1 Ροή με διαμόρφωση Η χρήση των μ-συσκευών αποτελεί έναν ραγδαία αναπτυσσόμενο κλάδο με μία πληθώρα από εφαρμογές στην μ-ρευστομηχανική και μη, όπως η εναλλαγή θερμότητας ή η προσομοίωση ροής του αίματος μέσα στο σώμα, καθώς οι φλέβες και τα αγγεία έχουν πολύ μικρές διαστάσεις (Kanaris et al., 2012). Στη μ-κλίμακα, η ανάμιξη, μία διεργασία πολύ συχνή στις περισσότερες εφαρμογές της Χημικής Μηχανικής, λαμβάνει χώρα σε δύο τύπους συσκευών: στους ενεργητικούς και στους παθητικούς μ-αναμίκτες. Οι ενεργητικοί μ-αναμίκτες χρησιμοποιούν κινούμενα μέρη όπως προπέλες και αναδευτήρες στο εσωτερικό της ροής ή δονήσεις ολόκληρων των συσκευών με χρήση υπερήχων με στόχο την ενίσχυση της ανάμιξης. Όπως είναι προφανές οι ενεργητικοί μ-αναμίκτες καταναλώνουν ενέργεια, συνήθως ηλεκτρική και προϋποθέτουν πολυπλοκότερα συστήματα σε σχέση με τους παθητικούς. Στην περίπτωση των παθητικών μ-αναμικτών η ενίσχυση της ανάμιξης γίνεται μέσω τροποποίησης του πεδίου ροής, αυξάνοντας πρακτικά τον χρόνο παραμονής στο εσωτερικό των μ-καναλιών (Kherbeet et al., 2014). Στη μακρο-κλίμακα μία από τις συνηθέστερες διαμορφώσεις, οι οποίες αυξάνουν το χρόνο παραμονής των ρευστών μέσα σε κανάλια και έχουν μελετηθεί εκτενέστατα, είναι οι βαθμίδες κατάβασης

10 2. Θεωρητικό Μέρος 9 της ροής (Backward Facing Step BFS). Στην περίπτωση αυτή το ρευστό ρέει αρχικά σε ένα κανάλι στενής διατομής και στη συνέχεια γίνεται μία απότομη διεύρυνση της διατομής που προκαλεί διαταραχές στη ροή του ρευστού (Σχήμα 1). Πιο συγκεκριμένα, ανάλογα με τις γεωμετρικές παραμέτρους του καναλιού και της διαμόρφωσης αλλά και τις ιδιότητες και την παροχή του ρευστού, δημιουργούνται περιοχές ανακυκλοφορίας (recirculation zones). Αυτές οι περιοχές χαρακτηρίζονται από αρνητικές, ως προς τη διεύθυνση της ροής, ταχύτητες και αναπτύσσονται κοντά στα τοιχώματα των καναλιών. Οι περιοχές ανακυκλοφορίας είναι αντικείμενο μεγάλου ενδιαφέροντος, διότι λόγω των αρνητικών ταχυτήτων τα ρευστά αναμιγνύονται καλύτερα και επιτυγχάνεται καλύτερη μεταφορά μάζας και ενέργειας. Σχήμα 1. Ροή σε μία βαθμίδα κατάβασης: Ι) αρχική κατανομή της ταχύτητας, ΙΙ) διαχωρισμός της ροής, ΙΙΙ) σημείο επανασχηματισμού οριακού στρώματος, x r: μήκος ανακυκλοφορίας, d: ύψος εμποδίου, H: ύψος καναλιού μετά το εμπόδιο (Mouza et al., 2005) Στο επίπεδο της μακρο-κλίμακας οι γεωμετρίες BFS έχουν μελετηθεί είτε πειραματικά (Armaly et al., 1983, Lee και Mateescu, 1998, Wengle et al., 2001) είτε υπολογιστικά (Le et al., 1997, Kaiktsis και Monkewitz, 2003). Αντίθετα, η μελέτη αντίστοιχων γεωμετριών στη μικροκλίμακα είναι πολύ περιορισμένη και μόνο πολύ πρόσφατα αποτέλεσε το ενδιαφέρον ερευνητικών ομάδων. Οι Kherbeet et al. (2014) μελέτησαν τη ροή ενός νανορευστού σε μία BFS γεωμετρία σε μ-κανάλι και αναφέρουν ότι οι βασικές παρατηρήσεις που έχουν γίνει για τις περιοχές ανακυκλοφορίας και τις κατανομές της ταχύτητας στις μελέτες στη μακρο-κλίμακα, παραμένουν πρακτικά ίδιες και στη μικρο-κλίμακα. Μία δεύτερη μελέτη σε ένα BFS σε μ-κανάλι έγινε από τους Tien et al. (2014) οι οποίοι χρησιμοποίησαν τα αποτελέσματα ως αναφορά (benchmark) για την επικύρωση της ορθής λειτουργίας μίας μη-παρεμβατικής με-

11 2. Θεωρητικό Μέρος 10 θόδου μέτρησης της ταχύτητας. Για το χαρακτηρισμό της ροής γύρω από εμπόδιο συχνά α- παιτούνται αξιόπιστες πειραματικές τεχνικές. Ωστόσο, οι περισσότερες από τις κλασικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται στη μακρο-κλίμακα δεν μεταφέρονται με επιτυχία σε γεωμετρίες με σημαντικά μικρότερες διαστάσεις. Ένα σημαντικό ποσοστό των εφαρμογών της μ-ρευστομηχανικής είναι σε συσκευές βιολογικών διεργασιών, όπως ο διαχωρισμός ερυθρών αιμοσφαιρίων από το πλάσμα σε ένα μ-κανάλι με γεωμετρία BFS. Στις βιοϊατρικές εφαρμογές και πιο συγκεκριμένα στην αιμοδυναμική, η κατανομή της Τοιχωματικής Διατμητικής Τάσης (Wall Shear Stress, WSS) έχει αναγνωριστεί ως ένας από τους σημαντικότερους παράγοντες που επιδρούν στο σχηματισμό αθηρωματικής πλάκας στις αρτηρίες. Σε παλαιότερες μελέτες οι Caro et al. (1971) αναφέρουν ότι είναι πιθανό οι ζώνες ανακυκλοφορίας που δημιουργούνται στο εσωτερικό των αρτηριών να ευνοούν την επικάθιση χοληστερόλης στα τοιχώματά τους και τελικά να επιδεινώνουν την α- σθένεια της αθηροσκλήρωσης. Σε προχωρημένα στάδια της αθηροσκλήρωσης η στένωση των αρτηριών που προκαλείται από τη νόσο μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μία βαθμίδα κατάβασης (Kanaris et al., 2012). Σε εφαρμογές μεταφοράς θερμότητας η χρήση τροποποιητών ροής διαφόρων γεωμετρικών χαρακτηριστικών έχει μελετηθεί εκτενώς κυρίως στο επίπεδο της μακρο-κλίμακας (Hesselgreaves, 2001, Kraus et al., 2001). Οι γεωμετρίες βαθμίδων κατάβασης έχουν χρησιμοποιηθεί για την ενίσχυση της μεταφοράς θερμότητας (Vogel και Eaton, 1985, Kondoh et al., 1993) συνήθως ως πρόβλημα αναφοράς, καθώς σε πραγματικές εφαρμογές οι συνηθέστεροι τροποποιητές ροής είναι είτε κυλινδρικής διατομής (pins), συνήθως κάθετοι στη διεύθυνση της ροής (Liu et al., 2011, Tamayol et al., 2012) είτε εμπόδια ορθογωνικής διατομής (ribs) διαφόρων γεωμετρικών χαρακτηριστικών. Η επίδραση επαναλαμβανόμενων εμποδίων ορθογωνικής διατομής στο ρυθμό μεταφοράς θερμότητας μελετήθηκε πειραματικά από τους Sara et al. (2001). Επικεντρώθηκαν στην περιοχή της τυρβώδους ροής (Re>10,000) σε αγωγούς χαρακτηριστικών διαστάσεων 25mm και συμπέραναν ότι οι σημαντικότερες παράμετροι που επηρεάζουν τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας είναι τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κάθε εμποδίου και η απόσταση μεταξύ δυο συνεχόμενων εμποδίων. Για την περιοχή της στρωτής ροής οι Promvonge et al. (2010) προσομοίωσαν το πεδίο ροής και τη μεταφορά θερμότητας με χρήση κώδικα CFD. Το μ-κανάλι τους έφερε επαναλαμβανόμενες ορθογωνικές διαμορφώσεις και προσομοιώθηκε με χρήση

12 2. Θεωρητικό Μέρος 11 περιοδικών συνθηκών (periodic boundary condition). Συμπέραναν ότι η αύξηση στη μεταφορά θερμότητας μπορεί να φτάσει και μέχρι τρεις τάξεις μεγέθους μεγαλύτερους αριθμούς Nu, συνοδευόμενη από μέχρι 70 φορές μεγαλύτερους συντελεστές τριβής f. Συνοψίζοντας γίνεται φανερό ότι η μελέτη εμποδίων ως τροποποιητών της ροής σε κανάλια καθώς και η επίδραση τους στην ενίσχυση της μεταφοράς θερμότητας είναι εκτενής στο επίπεδο της μακρο-κλίμακας, ενώ αντίθετα στη μικρο-κλίμακα οι μελέτες βρίσκονται ακόμα σε πολύ αρχικό στάδιο. Όπως αποδεικνύεται υπάρχουν αρκετά βιβλιογραφικά δεδομένα (πειραματικά αλλά και υπολογιστικά με χρήση κώδικα CFD) για τις περιοχές ροής γύρω από ιδανικές διαμορφώσεις όπως είναι οι βαθμίδες κατάβασης. Σημαντική έλλειψη όμως παρατηρείται σε αξιόπιστα δεδομένα για το πεδίο ταχύτητας και τις περιοχές ανακυκλοφορίας γύρω από μοναδιαία εμπόδια, ειδικά στη μ-κλίμακα. Για το λόγο αυτόν πρόσφατα μελετήθηκε στο Εργαστήριο Τεχνολογίας Χημικών Εγκαταστάσεων η ροή γύρω από ένα εμπόδιο στη μ-κλίμακα (Stogiannis et al., 2014), όταν ένα Νευτωνικό υγρό ρέει σε έναν τέτοιο μ-αγωγό. Το αποτέλεσμα της μελέτης ήταν η εύρεση ενός συσχετισμού, ο οποίος προβλέπει αποτελεσματικά το μήκος ανακυκλοφορίας στον πυθμένα του μ-αγωγού ως συνάρτηση του αριθμού Reynolds, του λόγου του ύψους του εμποδίου προς το ύψος του καναλιού (d/h) και του λόγου του μήκους το εμποδίου προς το ύψος του εμποδίου (l/d). Ωστόσο, μέχρι σήμερα δεν έχει μελετηθεί η επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς των ρευστών στο μήκος ανακυκλοφορίας κατά τη ροή μέσα σε μ-αγωγό με τροποποιητή ροής, γεγονός που αποτελεί το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας. 2.2 Ρεολογία Η ρεολογία αποτελεί κλάδο της Μηχανικής, με αντικείμενο μελέτης τη ροή και την παραμόρφωση των υλικών υπό την άσκηση τάσεων και περιλαμβάνει τη μελέτη υγρών, μαλακών στερεών και στερεών, όταν οι συνθήκες είναι τέτοιες που να τα αναγκάζουν να κινηθούν. Πρόκειται για έναν κλάδο διαρκώς αναπτυσσόμενο, καθώς απασχολεί τόσο τη χημική βιομηχανία, όσο και τη βιοϊατρική, ενώ βρίσκει εφαρμογή και σε πολλούς άλλους τομείς, τόσο στη μάκρο- όσο και στη μικρο-κλίμακα (Barnes, 1989).

13 2. Θεωρητικό Μέρος 12 Για την καλύτερη κατανόηση της παρούσας εργασίας από τον αναγνώστη, κρίνεται σκόπιμη η επισκόπηση κάποιων βασικών αρχών και όρων, ενώ ορίζονται τα μεγέθη που χρησιμοποιούνται σε όλη την έκτασή της Ρυθμός διάτμησης Ο ρυθμός διάτμησης είναι ο ρυθμός με τον οποίο μία προοδευτική διατμητική παραμόρφωση ασκείται σε κάποιο υλικό. Για ένα ρευστό που βρίσκεται μεταξύ δύο παραλλήλων πλακών, εκ των οποίων η μία είναι σταθερή και η άλλη κινούμενη με σταθερή ταχύτητα (Σχήμα 2), ο ρυθμός διάτμησης, γ [s -1 ], ορίζεται ως εξής: Σχήμα 2. Ρευστό ανάμεσα σε σταθερή και σε κινούμενη πλάκα. dux γ dy V h (1) Όπου V η ταχύτητα του ρευστού και h η απόσταση των δύο πλακών. Παράλληλα, για ροή σε κυλινδρικό αγωγό, ο τοιχωματικός ρυθμός διάτμησης γw ορίζεται ως: γ w du dr (2) όπου u η ταχύτητα του ρευστού στον αγωγό και r η διάμετρος του αγωγού Διατμητική τάση Ένα μέγεθος άμεσα σχετιζόμενο με τον ρυθμό διάτμησης γw είναι η διατμητική τάση, τ [Pa]. Ως διατμητική τάση τ χαρακτηρίζεται το πηλίκο της εφαπτομενικής δύναμης που εφαρμόζεται στην επιφάνεια ενός ρευστού προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής και σχετίζεται με το ρυθμό διάτμησης μέσω της Εξ. (3):

14 2. Θεωρητικό Μέρος 13 τ μ du dr (3) Το μέγεθος που λειτουργεί ως σταθερά αναλογίας μ μεταξύ της διατμητικής τάσης και του ρυθμού διάτμησης είναι το ιξώδες. Όταν εξετάζεται η ροή ενός ρευστού σε έναν αγωγό, οι διατμητικές τάσεις προκαλούνται στο ρευστό από τα τοιχώματα του αγωγού και η διατμητική τάση αναφέρεται ως τοιχωματική διατμητική τάση (Wall Shear Stress, WSS, τw) (McCabe, Smith και Harriot, 2008) Τοιχωματική διατμητική τάση Η τοιχωματική διατμητική τάση, τ w [Pa], (WSS) επιβάλλεται από τα τοιχώματα του αγωγού, ως αντίσταση στη ροή και περιγράφεται από την Εξ. (4): τ w ρu fd 8 2 (4) όπου u η μέση ταχύτητα του ρευστού στον αγωγό, ρ η πυκνότητα του ρευστού και fd ο συντελεστής τριβής Darcy. Μία σχηματική απεικόνιση της κατανομής της διατμητικής τάσης για στρωτή ροή μέσα σε αγωγό κυκλικής διατομής παρουσιάζεται στο Σχήμα 3: Σχήμα 3: Τυπικό προφίλ ταχύτητας και διατμητική τάση στη διάμετρο κυλινδρικού αγωγού. Όπως είναι φανερό, η ταχύτητα του ρευστού λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της (μηδενική) στο τοίχωμα του αγωγού, όπου η διατμητική τάση μεγιστοποιείται και εξισώνεται με την τοιχωματική διατμητική τάση τw (WSS). Πλησιάζοντας στο κέντρο του αγωγού η διατμητική τάση που ασκείται στο ρευστό μειώνεται, ενώ η ταχύτητα αυξάνεται, μέχρι το κέντρο του αγωγού,

15 2. Θεωρητικό Μέρος 14 όπου η διατμητική τάση λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της (μηδενική), ενώ η ταχύτητα του ρευστού μεγιστοποιείται (umax). Έτσι διαμορφώνεται το προφίλ της ταχύτητας πάνω στη διάμετρο του αγωγού. 2.3 Νευτωνικά ρευστά Τα ρευστά, με βάση τη συμπεριφορά του ιξώδους τους σε μεταβαλλόμενους ρυθμούς διάτμησης που ασκούνται σε αυτά, χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες, σε Νευτωνικά και μη- Νευτωνικά ρευστά. Για ένα ασυμπίεστο Νευτωνικό ρευστό, η σχέση της διατμητικής τάσης με τον ρυθμό διάτμησης είναι γραμμική. H κλίση της ευθείας ισούται με το ιξώδες μ του εκάστοτε ρευστού. Αυτό μπορεί να γίνει ευκολότερα κατανοητό μέσω του Σχήματος 4, όπου παρουσιάζεται μια τυπική καμπύλη συσχέτισης του ρυθμού διάτμησης με την ασκούμενη διατμητική τάση σε Νευτωνικό ρευστό για σταθερή θερμοκρασία. Σχήμα 4: Τυπικό διάγραμμα διατμητικής τάσης συναρτήσει του ρυθμού διάτμησης για Νευτωνικό ρευστό. 2.4 Μη-Νευτωνικά ρευστά H σχέση της διατμητικής τάσης με τον ρυθμό διάτμησης οδηγούν στην ύπαρξη διαφόρων ρευστών, τα οποία κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τον τρόπο που μεταβάλλεται το ιξώδες τους. Στο Σχήμα 5 παρουσιάζονται οι καμπύλες συσχέτισης του ρυθμού διάτμησης με τη διατμητική τάση για διάφορα είδη ρευστών, σε σταθερές συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας. Η απλούστερη συμπεριφορά είναι αυτή του Νευτωνικού ρευστού, όπου η διατμητική τάση είναι ευθέως ανάλογη του ρυθμού διάτμησης και συνεπώς το ιξώδες του είναι σταθερό και

16 2. Θεωρητικό Μέρος 15 ανεξάρτητο του ρυθμού διάτμησης. Όλες οι υπόλοιπες καμπύλες αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους μη-νευτωνικών ρευστών. Η αμέσως απλούστερη καμπύλη είναι αυτή του πλαστικού Bingham, το οποίο συμπεριφέρεται ως ρευστό μόνο πάνω από μία τιμή διατμητικής τάσης τy, η οποία ονομάζεται οριακή τάση. Η οριακή τάση είναι η ελάχιστη διατμητική τάση που απαιτείται να ασκηθεί, ώστε το ψευδοπλαστικό να αρχίσει να συμπεριφέρεται ως ρευστό. Υπό την άσκηση οποιασδήποτε μικρότερης τάσης, το ψευδοπλαστικό συμπεριφέρεται ως μαλακό στερεό και δεν μπορεί να ρεύσει. (McCabe, Smith και Harriot, 2008) Οι άλλες δύο καμπύλες αναφέρονται στα ψευδοπλαστικά ρευστά (Shear-Thinning) και στα θιξοτροπικά (Shear-Thickening) ρευστά, τα οποία είναι ρευστά των οποίων το ιξώδες μειώνεται ή αυξάνεται αντίστοιχα με αύξηση του ρυθμού διάτμησης (McCabe, Smith και Harriot, 2008). Ένα από τα πιο γνωστά ψευδοπλαστικά ρευστά είναι το αίμα, του οποίου το ιξώδες του μειώνεται όσο αυξάνεται ο ρυθμός διάτμησης (Bodnár, 2011). Σχήμα 5: Καμπύλες συσχέτισης ρυθμού διάτμησης με τη διατμητική τάση για διάφορα είδη μη-νευτωνικών ρευστών. Σημειώνεται ότι το ιξώδες των μη-νευτωνικών ρευστών, για υψηλούς ρυθμούς διάτμησης, σταθεροποιείται σε μία συγκεκριμένη τιμή και δεν μεταβάλλεται με περαιτέρω αύξηση του ρυθμού διάτμησης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6. Αυτό σημαίνει ότι πάνω από μία συγκεκριμένη τιμή ρυθμού διάτμησης, τα μη-νευτωνικά ρευστά παρουσιάζουν Νευτωνική συμπεριφορά.

17 2. Θεωρητικό Μέρος 16 Ο πιο κοινός τύπος μη-νευτωνικού ρευστού είναι τα ψευδοπλαστικά (Shear-thinning) ρευστά, τα οποία περιλαμβάνουν διάφορα συνήθη ρευστά, όπως το αίμα, οι χυμοί φρούτων, οι φυσικές κόλλες, τα κολλοειδή διαλύματα, τα γαλακτώματα κ.α. Σε πολύ υψηλούς ρυθμούς διάτμησης αυτά παρουσιάζουν Νευτωνική συμπεριφορά (Σχήμα 6) Σχήμα 6: Ιξώδες συναρτήσει του ρυθμού διάτμησης για Νευτωνικό και μη-νευτωνικό ρευστό. Έχουν αναπτυχθεί διάφορα μοντέλα-εξισώσεις που περιγράφουν τη σχέση του ρυθμού διάτμησης με το ιξώδες για μη-νευτωνικά ρευστά τύπου Shear-thinning, όπως τα μοντέλα Power Law, Casson και Herschel-Bulkley (McCabe, Smith και Harriot, 2008). Για κάθε υπό μελέτη ρευστό θα πρέπει να επιλέγεται το κατάλληλο μοντέλο που περιγράφει καλύτερα τη συμπεριφορά του ιξώδους σε σχέση με τον ρυθμό διάτμησης. Στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε το μοντέλο Casson, το οποίο χρησιμοποιείται ευρέως στη βιβλιογραφία. Η εξίσωση συσχέτισης του ιξώδους με τον ρυθμό διάτμησης μέσα στον αγωγό, σύμφωνα με το μοντέλο του Casson είναι η ακόλουθη: τ μ y γ 0.5 μ (5)

18 2. Θεωρητικό Μέρος 17 όπου τy η οριακή τάση, γ ο ρυθμός διάτμησης μέσα στον αγωγό και μ το ασυμπτωτικό ιξώδες για υψηλούς ρυθμούς διάτμησης. Ένα άλλο μοντέλο είναι το μοντέλο Power Law. Το συγκεκριμένο μοντέλο αδυνατεί να περιγράψει την οριακή τάση (yield stress). Η σχέση που συνδέει το ιξώδες με τη διατμητική τάση και το ρυθμό διάτμησης είναι η εξής: τ = m γ n (6) μ = m γ n 1 (7) Όπου m, n σταθερές του μοντέλου. Από τη στιγμή που για ψευδοπλαστικά υλικά n < 1, το ιξώδες μειώνεται όσο αυξάνει ο ρυθμός διάτμησης. Τέλος, πολύ συχνά γίνεται χρήση του μοντέλου Herschel-Bulkley, σύμφωνα με το οποίο ο ρυθμός διάτμησης σε ένα τριχοειδή αγωγό δίνεται από την εξίσωση: τ = m γ n + τ y, όταν τ τ y (8) γ = 0, όταν τ τ y (9)

19 Υπολογιστική Ρευστοδυναμική Όπως προαναφέρθηκε, η ροή μη-νευτωνικού ρευστού σε μ-αγωγό με διαμόρφωση προσομοιάστηκε στον υπολογιστή με χρήση κατάλληλου λογισμικού υπολογιστικής ρευστοδυναμικής. Οι σχέσεις στις οποίες βασίζεται η υπολογιστική ρευστοδυναμική δεν είναι άλλες από τις εξισώσεις συνέχειας και ορμής Navier-Stokes, στις οποίες γίνονται απλουστεύσεις σύμφωνα με τις παραδοχές κάθε προβλήματος (Wendt, 2009). 3.1 Αρχές λειτουργίας κώδικα Η χρήση κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (Computational Fluid Dynamics, CFD) αποτελεί μία αποτελεσματική μέθοδο για την κατανόηση και πρόβλεψη της συμπεριφοράς των ρευστών σε διάφορες γεωμετρίες. Εξάλλου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αντικατάσταση δύσκολων και κοστοβόρων πειραμάτων, αφού όμως πρώτα τα αποτελέσματα του κώδικα επιβεβαιωθούν με πειραματικά δεδομένα (validation), ώστε να εξασφαλιστεί η αξιοπιστία του. Στις μ-συσκευές είναι πολύ δύσκολο να χρησιμοποιήσουμε κλασσικές μεθόδους μέτρησης, διότι, λόγω του πολύ μικρού μεγέθους τους εύκολα μπορεί ο πειραματιστής να επηρεάσει τη ροή. Για το λόγο αυτό, συνήθως χρησιμοποιούνται μη-παρεμβατικές μέθοδοι, όπως η μέθοδος μ-piv, όπου η ταχύτητα του ρευστού προσδιορίζεται έμμεσα με μέτρηση της ταχύτητας

20 3. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική 19 ιχνηθετών της ροής, η ηλεκτροχημική μέθοδος ή η μέθοδος Laser Doppler Anemometry. Μέθοδοι όπως η μέθοδος μ-piv απαιτούν πολύ ακριβό εξοπλισμό, όπως κάμερες με μεγάλη ευαισθησία, μικροσκόπια και πηγή laser, καθώς και αρκετό χρόνο για την επανάληψη πειραμάτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά. Στην περίπτωση του κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής, δεν χρειάζεται τίποτα από τα παραπάνω εκτός από έναν ισχυρό υπολογιστή. Το λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση των πειραμάτων μέτρησης της πτώσης πίεσης και του ρυθμού διάτμησης μέσα στους μ-αγωγούς, ήταν ο εμπορικός Κώδικας της ANSYS, CFX (ANSYS CFX 15.0). Βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων συνέχειας και ορμής (εξισώσεις Navier-Stokes), σε συνδυασμό με τις εξισώσεις διατήρησης μάζας και ενέργειας, σε γεωμετρία που ορίζεται από το χρήστη (ANSYS, 2009). Τα βασικά μέρη ενός κώδικα CFD είναι: το τμήμα προεπεξεργασίας (pre-processing), το τμήμα επίλυσης (solving) και το τμήμα μετεπεξεργασίας (post-processing) που περιλαμβάνει το λογισμικό επεξεργασίας γραφικών. Το σημαντικότερο εξ αυτών είναι το τμήμα προεπεξεργασίας, αφού εκεί ορίζεται η γεωμετρία του προβλήματος, δημιουργείται το πλέγμα, δηλαδή η γεωμετρία χωρίζεται σε πολλά κελιά μικρού μεγέθους, εισάγονται οι συνοριακές συνθήκες, καθώς και οι φυσικοχημικές ι- διότητες των ρευστών. Η ακρίβεια της λύσης που θα προκύψει καθώς και ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος εξαρτώνται από το πλέγμα (grid) που κατασκευάζεται, και συγκεκριμένα από το είδους των κελιών (εξάεδρο, πρίσμα κλπ.), το πλήθος και το μέγεθός τους. Η επίλυση της γεωμετρίας βασίζεται στην ολοκλήρωση των επιμέρους λύσεων σε κάθε κελί, συνεπώς είναι σαφές ότι όσο περισσότερα είναι τα κελιά, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια της επίλυσης. Σε όλες τις μεθόδους πλην της αυτόματης μεθόδου του προγράμματος, ο χρήστης καθορίζει το μέγεθος των κελιών, ώστε να έχει τη δυνατότητα να δημιουργήσει ένα πλέγμα με επιθυμητή πυκνότητα κελιών. Η σύγκλιση της επίλυσης σε μία τελική τιμή είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την πυκνότητα του πλέγματος, καθώς όσο πυκνότερο είναι το πλέγμα της γεωμετρίας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια της λύσης. Εντούτοις, αυξανομένου του αριθμού κελιών και της πυκνότητας του πλέγματος, αυξάνεται η ανάγκη για χρόνο

21 3. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική 20 επίλυσης του προβλήματος από τον υπολογιστή, αλλά και για χώρο αποθήκευσης των αποτελεσμάτων (Versteeg και Malalasekera, 2007). Γι αυτό το λόγο, επειδή ο πολύ μεγάλος α- ριθμός υποδιαιρέσεων της γεωμετρίας κοστίζει σε υπολογιστική δύναμη και χρόνο επεξεργασίας, επιδιώκεται μέσω μιας ανάλυσης εξάρτησης της λύσης από τον αριθμό των κελιών (Grid Dependence Study) η επιλογή του ελάχιστου αριθμού κελιών, με τον οποίο η επίλυση να παράγει ορθά/αποδεκτά αποτελέσματα. Πέραν του αριθμού των κελιών, σημαντικό ρόλο για την κατασκευή του πλέγματος και την επίλυση του προβλήματος παίζει και το σχήμα τους. Αναλόγως με την περιπλοκότητα της γεωμετρίας μπορεί να επιλεγεί από το χρήστη το κατάλληλο σχήμα κελιών, ούτως ώστε το πλέγμα να κατασκευαστεί όσο το δυνατόν πιο ομοιόμορφα, χωρίς ατέλειες, στις οποίες η επίλυση θα γίνει με προβληματικό τρόπο. Κάποια χαρακτηριστικά σχήματα κελιών είναι τα τετράεδρα, τα εξάεδρα, τα πρίσματα, οι πυραμίδες κ.α. και παρουσιάζονται στο Σχήμα 7. Σχήμα 7: Παραδείγματα πιθανών σχημάτων κελιών για τη δημιουργία πλέγματος. Αφού ολοκληρωθεί ο σχεδιασμός του πλέγματος (Grid), ορίζονται το ρευστό και τα χαρακτηριστικά του, οι συνοριακές συνθήκες της ροής, το είδος της ροής, καθώς και λεπτομέρειες της επίλυσης. Αρχικά ορίζεται το ρέον ρευστό μέσα στη γεωμετρία, είτε επιλέγοντας ένα από τα ήδη υπάρχοντα στο πρόγραμμα ρευστά, είτε δημιουργώντας ένα νέο ρευστό με επιθυμητές ιδιότητες. Κατόπιν, ορίζονται οι συνοριακές συνθήκες για κάθε επιφάνεια της γεωμετρίας (π.χ. Inlet, Outlet, Wall, Symmetry). Οι συνοριακές συνθήκες παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στην επίλυση, καθώς είναι αυτές που ουσιαστικά ορίζουν το πρόβλημα. Βασικές συνοριακές συνθήκες αποτελούν η επιλογή ταχύτητας ή μαζικής παροχής στην είσοδο του αγωγού, η

22 3. Υπολογιστική Ρευστοδυναμική 21 πίεση στην έξοδο του αγωγού, καθώς και ο ορισμός της συνθήκης στο τοίχωμά του (π.χ. Noslip condition). Κεφαλαιώδους σημασίας για τη σωστή επίλυση του προβλήματος από το λογισμικό είναι το είδος της ροής μέσα στον αγωγό. Ανάλογα με το καθεστώς ροής (στρωτή, τυρβώδης), είναι απαραίτητο να δηλωθούν από το χρήστη οι εξισώσεις που θα χρησιμοποιήσει το πρόγραμμα για τον σωστό υπολογισμό των διαφόρων χαρακτηριστικών της ροής. Σε περίπτωση που η ροή είναι τυρβώδης, υπάρχει η δυνατότητα επιλογής συγκεκριμένου μοντέλου τύρβης, σύμφωνα με το οποίο ο χρήστης θέλει το πρόγραμμα να προσεγγίσει το φαινόμενο. Σημαντικά παραδείγματα μοντέλων τύρβης είναι τα μοντέλα k-epsilon και SST (ANSYS, 2009). Ωστόσο, στη συγκεκριμένη μελέτη δεν εξετάστηκε η περίπτωση της τυρβώδους ροής και όλες οι προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν στην περιοχή της στρωτής ροής, όπου χρησιμοποιείται το μοντέλο DNS (Direct Numerical Simulation). Επειδή οι εξισώσεις Navier-Stokes λύνονται σε κάθε κελί του πλέγματος, καθιστά το μοντέλο περισσότερο κοστοβόρο υπολογιστικά. Τέλος, ορίζονται οι στόχοι της επίλυσης, οι οποίοι είναι ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων (iterations) επίλυσης, καθώς και η επιθυμητή ακρίβεια της λύσης. Όταν η επίλυση ολοκληρωθεί, τα αποτελέσματα είναι διαθέσιμα για το χρήστη. Το λογισμικό παρέχει τη δυνατότητα προβολής και επεξεργασίας των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, μέσω διαγραμμάτων, συναρτήσεων υπολογισμού χαρακτηριστικών της ροής και χρωματικών απεικονίσεων διαφόρων μεταβλητών μέσα στον αγωγό. Το λογιστικό πακέτο ANSYS είναι εγκατεστημένο σε ένα δίκτυο Η/Υ για παράλληλη επεξεργασία η οποία επιτρέπει τη δημιουργία πλεγμάτων που φτάνουν τα περίπου κελιά, ενώ μπορεί να τρέξει προσομοιώσεις που απαιτούν επίλυση στις τρεις διαστάσεις με DNS. Η υπολογιστική δύναμη του Εργαστηρίου Τεχνολογίας Χημικών Εγκαταστάσεων του Τμήματος Χημικών Μηχανικών αποτελείται από μία συστοιχία υπολογιστών με 56 φυσικούς πυρήνες και 192GB RAM. Η ανάπτυξη της υπολογιστικής υποδομής του εργαστηρίου έγινε με νέους blade servers (SuperMicro), οι οποίοι είναι τοποθετημένοι σε ικριώματα (racks) μαζί με τα απαραίτητα τροφοδοτικά τους. Η διάταξη σε ικριώματα επιτρέπει καλύτερη ψύξη των συσκευών όπως επίσης και ευκολότερη επεκτασιμότητα με προσθήκη νέων κόμβων. Το λειτουργικό, το οποίο είναι εγκατεστημένο στη συστοιχία, είναι το Gentoo Linux 64bit, ενώ η χρήση της συστοιχίας γίνεται με απομακρυσμένη πρόσβαση των χρηστών από τους τερματικούς σταθμούς του Εργαστηρίου μέσω ενός δικτύου Ethernet 1Gbit.

23 Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης Οι φυσικές και χημικές διεργασίες στις περισσότερες περιπτώσεις εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες οι οποίοι πολλές φορές δεν δρουν ανεξάρτητα, αλλά αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους οδηγώντας σε πολύπλοκα συστήματα τα οποία εμπεριέχουν πολλές μεταβλητές. Ακόμα και στα πιο πολύπλοκα προβλήματα για την εξαγωγή συμπερασμάτων είναι απαραίτητος ο σχεδιασμός πειραμάτων. Με τον όρο σχεδιασμός πειραμάτων εννοούμε την επιλογή του βέλτιστου συνόλου από πειράματα που πρέπει να γίνουν, ώστε να περιγραφεί ικανοποιητικά η εξάρτηση ενός φαινομένου από ένα προδιαγεγραμμένο σετ παραγόντων (factors). Με χρήση μίας συστηματικής τεχνικής Σχεδιασμού Πειραμάτων ο ερευνητής λαμβάνει πιο αντιπροσωπευτικά δεδομένα και μία πιο ολοκληρωμένη εικόνα του φαινομένου χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό πειραμάτων και άρα μειώνοντας τόσο τον απαραίτητο χρόνο για τη διεξαγωγή τους όσο και το απαιτούμενο κόστος. Με τον όρο πείραμα, χρήσιμο είναι να σημειωθεί ότι δεν εννοείται απαραίτητα μια εργαστηριακή εργασία ή γενικώς μία φυσική διαδικασία αλλά το πείραμα μπορεί να γίνει και κατά την επίλυση ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο περιγράφει ένα φυσικό φαινόμενο με στόχο να ελεγχθεί η επίδραση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν το μοντέλο στα αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν μετά την επίλυσή του.

24 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 23 Για τον ορθό σχεδιασμό πειραμάτων απαραίτητο είναι να ορίσουμε τους παράγοντες (factors) και τις εξαρτημένες μεταβλητές ή αποκρίσεις (responses) του υπό μελέτη συστήματος. Ένας παράγοντας του υπό μελέτη συστήματος για να είναι σωστά επιλεγμένος πρέπει να: είναι εύκολο να ελεγχθεί μπορεί να μετρηθεί με ικανοποιητική ακρίβεια επηρεάζει τις επιλεγμένες αποκρίσεις όταν μεταβάλλεται μπορεί να συνδυαστεί οποιαδήποτε τιμή του στο πεδίο ορισμού του με τους άλλους επιλεγμένους παράγοντες μην είναι γραμμική συνάρτηση ενός άλλου επιλεγμένου παράγοντα Μία απόκριση συστήματος έχει επιλεγεί σωστά όταν: είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί εύκολα έχει φυσική σημασία για το φαινόμενο μπορεί να μετρηθεί με ικανοποιητική ακρίβεια είναι όσο το δυνατόν πιο απλή Ο παραδοσιακός σχεδιασμός πειραμάτων βασίζεται στη διερεύνηση της επίδρασης ενός παράγοντα κρατώντας ταυτόχρονα σταθερές όλες τις υπόλοιπες παραμέτρους του συστήματος. Για ένα σύστημα με τρεις παράγοντες Χ1, Χ2, Χ3 οι οποίοι χωρίζονται σε δύο επίπεδα, ένα υψηλό που χαρακτηρίζεται ως + και ένα χαμηλό που χαρακτηρίζεται ως - ένα σετ πειραμάτων θα ήταν αυτό του Πίνακα 1. Πίνακας 1. Ένας τυπικός συνδυασμός πειραμάτων α/α ΧΧ11 ΧΧ22 ΧΧ33 yy y y y y4 Αν το παράδειγμα του Πίνακα 1 επεκταθεί και στην ανάλυση των αλληλεπιδράσεων των παραγόντων τότε ένα δεύτερο σετ πειραμάτων θα είχε τη μορφή του Πίνακα 2.

25 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 24 Πίνακας 2. Επιπλέον πειράματα για αλληλεπίδραση παραγόντων. α/α ΧΧ11 ΧΧ22 ΧΧ33 yy y y y y8 Ο συνδυασμός των πειραμάτων του Πίνακα 1 και 2 ονομάζεται πλήρης παραγοντικός σχεδιασμός (full factorial design) ο οποίος έχει τρεις παράγοντες και δύο επίπεδα (levels) για κάθε παράγοντα. Όπως είναι προφανές η αύξηση των επιπέδων μεγαλώνει το μητρώο σχεδιασμού (design matrix) με αποτέλεσμα να μπορεί να περιγραφεί με μεγαλύτερη επάρκεια το φαινόμενο αλλά ταυτόχρονα να αυξάνεται ο απαιτούμενος αριθμός πειραμάτων, ο οποίος συνήθως έχει σημαντικό και υπολογίσιμο κόστος (π.χ. κατανάλωση αντιδραστηρίων ή υπολογιστικός χρόνος). Ο συνολικός αριθμός πειραμάτων που απαιτείται για τον πλήρη παραγοντικό σχεδιασμό υπολογίζεται από τον τύπο: Ν = p k (10) όπου Ν ο απαιτούμενος αριθμός πειραμάτων, p ο αριθμός των επιπέδων και k ο αριθμός των παραγόντων. Η Εξ. (10) ισχύει για την περίπτωση που κάθε παράγοντας διαιρείται στον ίδιο αριθμό επιπέδων. Στην περίπτωση που το σύστημα έχει μέχρι τρεις παράγοντες και δύο επίπεδα τότε ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασμός ενδείκνυται για τη διεξαγωγή των αρχικών διερευνητικών πειραμάτων (screening experiments). Ο αριθμός όμως των απαιτούμενων πειραμάτων με χρήση πλήρους παραγοντικού σχεδιασμού, είναι πολλές φορές απαγορευτικός ειδικά στις περιπτώσεις με περισσότερους από τρεις παράγοντες και πολλά επίπεδα. Για αυτό το σκοπό έχουν αναπτυχθεί τεχνικές κλασματικού σχεδιασμού πειραμάτων (fractional factorial design) με στόχο τη μείωση του απαιτούμενου όγκου πειραμάτων με τις μικρότερες δυνατές αποκλίσεις στην κάλυψη των επιδράσεων των παραγόντων στις αποκρίσεις του συστήματος Lazic (2006). Αυτοί οι σχεδιασμοί είναι οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενοι στην πράξη και συνήθως παρουσιάζονται στη μορφή 2 (k-p) όπου ο όρος 1/2 p εκφράζει το κλάσμα του αντίστοιχου πλήρους σχεδιασμού 2 k. Για παράδειγμα 2 (5-2) είναι το ¼ ενός πλήρους πα-

26 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 25 ραγοντικού σχεδιασμού 2 5. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μελετήσουμε ένα σύστημα 5 παραγόντων σε δύο επίπεδα με 8 πειράματα αντί για τα 32 που απαιτεί ο πλήρης παραγοντικός σχεδιασμός (Antony, 2003). Η σύνδεση μεταξύ των αποκρίσεων και των παραγόντων γίνεται συνήθως με μία τεχνική γνωστή ως μεθοδολογία επιφάνειας απόκρισης (Response Surface Methodology, RSM) η οποία είναι ένα σύνολο από μαθηματικές και στατιστικές τεχνικές οι οποίες εφαρμόζονται για το σχεδιασμό, την ανάπτυξη και τη βελτιστοποίηση διεργασιών και προϊόντων (Κανάρης, 2008). Οι επιφάνειες απόκρισης είναι συναρτήσεις διαφόρων τάξεων όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι παράγοντες ενώ οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι οι αποκρίσεις του συστήματος: y = f(x1, x2,, xj) (11) Η συνάρτηση έχει τη μορφή επιφάνειας σε ένα διάγραμμα επίδρασης δυο ανεξάρτητων παραγόντων προς την εξαρτημένη απόκριση του συστήματος ενώ για την περίπτωση περισσότερων παραγόντων προφανώς δεν είναι δυνατή η γραφική αναπαράσταση της επιφάνειας απόκρισης. Όπως και στις περισσότερες μοντελοποιήσεις των φυσικών και χημικών συστημάτων, στη μεθοδολογία RSM οι παράγοντες και οι αποκρίσεις συνήθως έχουν αδιάστατη μορφή. Συχνά επιλέγεται να χρησιμοποιηθούν κωδικοποιημένες μεταβλητές (coded variables) οι οποίες έχουν μηδενική μέση τιμή και ίδια τυπική απόκλιση, ενώ παρουσιάζονται με τις τιμές [-1,0,+1]. Η επιλογή του βαθμού του πολυωνύμου που θα περιγράψει τη συνάρτηση των είναι πολύ σημαντική για την ακρίβεια και την αξιοπιστία του μοντέλου. Η συνήθης επιλογή είναι η περιγραφή του συστήματος με ένα μοντέλο δεύτερης τάξης το οποίο έχει στη γενική περίπτωση την ακόλουθη μορφή: k k k 2 y = a 0 + j=1 a i x j + j=1 a jj x j + i j a ij x i x j (12) Όταν το υπό μοντελοποίηση σύστημα αναμένεται να έχει μη γραμμική συμπεριφορά προτιμάται η προσέγγιση της απόκρισης του συστήματος από τους επιλεγμένους παράγοντες να έχει τη μορφή ενός πολυωνύμου δευτέρου βαθμού. Στην πράξη αυτή η επιλογή δεν θα ήταν επαρκής εάν η μέθοδος κλασματικού σχεδιασμού πειραμάτων η οποία θα επιλεγεί δεν μπορεί να προσφέρει τις απαραίτητες πληροφορίες. Για αυτό τον λόγο όταν χρησιμοποιείται ένα

27 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 26 μοντέλο δεύτερης τάξης για την επιφάνεια απόκρισης, η τεχνική σχεδιασμού πειραμάτων πρέπει να επιτρέπει τη μεταβολή κάθε παράγοντα σε τρία ή περισσότερα επίπεδα (Lazic, 2006). Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα περιστρεφόμενα μοντέλα 2 ου βαθμού (secondorder rotatable designs) και τα ορθογωνικά μοντέλα 2 ου βαθμού (second-order orthogonal designs). Η πρώτη κατηγορία συχνά αναφέρεται ως μοντέλα Box-Wilson ή κεντρικά σύνθετου σχεδιασμού (central composite design) και είναι κλασματικά μοντέλα πέντε επιπέδων. Τα πέντε επίπεδα του κάθε παράγοντα μπορούν να λάβουν τιμές στο πεδίο [-α, -1, 0, +1, +α] όπου -1 και +1 αντιπροσωπεύουν τα δύο όρια του πεδίου ορισμού του κάθε παράγοντα και το 0 τη μέση τιμή μεταξύ των δυο ορίων. Η τιμή α ορίζει τα επόμενα δύο επίπεδα και εξαρτάται από το είδος του σχεδιασμού και τον αριθμό των επιπέδων (Montgomery, 2008). Η ιδιαιτερότητα του σχεδιασμού έγκειται ακριβώς στην τιμή α καθώς αυτή είναι δυνατόν να λάβει τιμές μεγαλύτερες τις μονάδας και άρα να προβλεφθούν σημεία έξω από το αρχικό πεδίο ορισμού του κάθε παράγοντα. Είναι προφανές ότι κάτι τέτοιο πρέπει να είναι συμβατό με τη φύση του υπό μελέτη φαινομένου και για αυτό το λόγο ο κεντρικά σύνθετος σχεδιασμός έχει πολλές παραλλαγές που φαίνονται σχηματικά στο Σχήμα 8. Ανάλογα με την επιλογή της τιμής α μπορεί να δημιουργηθούν μητρώα σχεδιασμού τα οποία περιλαμβάνουν ή όχι τις ακραίες τιμές του κάθε παράγοντα καθώς και τιμές εκτός του πεδίου ορισμού του κάθε παράγοντα όπως ειπώθηκε και προηγούμενα. Με τη χρήση της τεχνικής του κεντρικά σύνθετου σχεδιασμού για 3 παράγοντες με 5 επίπεδα ο απαιτούμενος αριθμός πειραμάτων είναι 15 πειράματα ενώ αν γινόταν χρήση ενός πλήρους παραγοντικού σχεδιασμού τα απαιτούμενα πειράματα θα ήταν για 3 επίπεδα 3 3 =27 ενώ για 5 επίπεδα 5 3 =125. Το ορθογωνικό μοντέλο, γνωστό και ως μοντέλο Box-Behnken, δεν περιέχει άλλους συντελεστές πέρα από τα άκρα του πεδίου τιμών των παραγόντων [-1,+1] και τη μέση τιμή μεταξύ των δύο ορίων με αποτέλεσμα να είναι πιο απλά στο σχεδιασμό τους. Για την περίπτωση ενός σχεδιασμού τριών παραγόντων με χρήση της τεχνικής Box-Behnken η γεωμετρική αναπαράσταση των σημείων φαίνεται στο Σχήμα 9 ενώ το μητρώο πειραμάτων στον Πίνακα 3. Ο σχεδιασμός κατά Box-Behnken πλεονεκτεί έναντι όλων των σχεδιασμών κατά Box-Wilson για τις περιπτώσεις 3 και 4 παραγόντων καθώς απαιτεί λιγότερα πειράματα χωρίς να υπολείπεται στην αξιοπιστία πρόβλεψης των αποκρίσεων. Μοναδικό μειονέκτημα του σχεδιασμού κατά

28 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 27 Box-Behnken είναι η έλλειψη των πειραμάτων όπου όλοι οι παράγοντες λαμβάνουν τις α- κραίες τιμές στο πεδίο ορισμού τους. Σχήμα 8. Είδη κεντρικά σύνθετου σχεδιασμού: α) περιορισμένα στα φυσικά όρια του κάθε παράγοντα χωρίς υπολογισμό ακραίων τιμών, β) εκτός προβλεπόμενων φυσικών ορίων, γ) κεντρικός σχεδιασμός πλευρικών επιφανειών (face-centered design).

29 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 28 Σχήμα 9. Γεωμετρική αναπαράσταση πειραμάτων κατά Box-Behnken για τρεις παράγοντες. Πίνακας 3. Σχεδιασμός κατά Box-Behnken για τρεις παράγοντες. α/α ΧΧ11 ΧΧ22 ΧΧ Η αξιοπιστία και η καταλληλότητα του τελικού μοντέλου αξιολογούνται με χρήση του συντελεστή προσδιορισμού R 2 που εκφράζει το ποσοστό της μεταβολής της απόκρισης του μοντέλου η οποία μπορεί να αιτιολογηθεί με βάση το πρότυπο παλινδρόμησης όπως προκύπτει από την ανάλυση μεταβλητότητας ANOVA. Καθώς όμως ο συντελεστής R 2 δεν λαμβάνει υ- πόψη το μέγεθος του μητρώου πειραμάτων, συχνότερα χρησιμοποιείται η R 2 adj, η οποία είναι πρακτικά μετατροπή της έκφρασης του R 2 η οποία συμπεριλαμβάνει και τον αριθμό των πειραμάτων. R 2 = N i=1 y i y i2 N i=1(y i y i) 2 (13)

30 4. Τεχνικές Στατιστικής Ανάλυσης 29 2 R adj = N 1 N y 2 i=1 i y i N k 1 N i=1(y i y i) 2 (14) όπου Ν ο αριθμός των πειραμάτων, yi η τιμή της απόκρισης για το πείραμα i, y η τιμή που προβλέπει το μοντέλο για το πείραμα y, i ο αριθμητικός μέσος των τιμών yi και k ο αριθμός των παραγόντων.

31 Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση Όπως αναφέρθηκε στην Εισαγωγή, στη παρούσα μελέτη έγινε χρήση ενός ήδη επικυρωμένου κώδικα CFD. Συνήθως, όταν πρόκειται να προσομοιωθεί υπολογιστικά ένα φαινόμενο, προηγείται η διεξαγωγή κατάλληλων πειραμάτων, τα οποία αποσκοπούν στην εξαγωγή αποτελεσμάτων για την αξιολόγηση του κώδικα CFD. Λόγω της προϋπάρχουσας εργασίας των Stogiannis et al. (2014), η οποία πραγματοποιήθηκε στο Εργαστήριο Τεχνολογίας Χημικών εγκαταστάσεων και είναι ο πρόγονος της παρούσας δουλειάς, είναι δυνατή η επικύρωση του κώδικα με χρήση των πειραματικών τους δεδομένων. Έπειτα ακολούθησε ο σχεδιασμός των προσομοιώσεων, όπως περιγράφηκε παραπάνω. Σχεδιάστηκε η γεωμετρία του μ-καναλιού, δημιουργήθηκε το πλέγμα και ορίστηκαν οι συνοριακές συνθήκες. Με τη βοήθεια της τεχνικής Σχεδιασμού Πειραμάτων, βρέθηκε ο αριθμός των προσομοιώσεων που είναι αναγκαίες να πραγματοποιηθούν για όλα τα ρευστά και τις πιθανές γεωμετρίες. Ύστερα από την διεκπεραίωση των προσομοιώσεων, είναι δυνατή η εκτενής ανάλυση του φαινομένου και η εξαγωγή μιας πληθώρας αποτελεσμάτων, που θα βοηθήσουν στην κατανόηση του προβλήματος.

32 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση Επικύρωση του κώδικα Ο κώδικας CFD, που χρησιμοποιήθηκε για την παραμετρική μελέτη, επικυρώθηκε με πειραματικά δεδομένα για την κατανομή της ταχύτητας, τα οποία υπάρχουν διαθέσιμα στη μελέτη των Stogiannis et al. (2014). Οι προσομοιώσεις για την επικύρωση του κώδικα έγιναν σε α- γωγό ίδιων διαστάσεων με αυτόν των πειραματικών δεδομένων (Η=925μm, d=398μm, l=9.9mm) και για τις δύο περιοχές ροής (Re=220 και Re=660), όπως φαίνεται στο Σχήμα 10. Σχήμα 10. Σχηματική αναπαράσταση του μ-καναλιού και των γεωμετρικών του χαρακτηριστικών. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 11, τα αποτελέσματα του κώδικα CFD συμφωνούν με τα πειραματικά δεδομένα (μετρήσεις με μ-piv). Παρατηρείται πολύ καλή πρόβλεψη της ταχύτητας τόσο κατά τη διεύθυνση της ροής (θετικές ταχύτητες) όσο και στην περιοχή ανακυκλοφορίας. Αν και η επίλυση είναι συχνά προβληματική σε περιοχές κοντά στα τοιχώματα του αγωγού, στην συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχει πολύ καλή συμφωνία. Τέλος, οι γραμμές σφάλματος ανταποκρίνονται στην αβεβαιότητα της πειραματικής τεχνικής, η οποία έχει βρεθεί ότι είναι περίπου ±5%.

33 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 32 Σχήμα 11. Σύγκριση των πειραματικών μετρήσεων για την κατανομή της ταχύτητας (μ-piv) με τα αποτελέσματα του CFD για τη στρωτή. 5.2 Σχεδιασμός - Συνοριακές συνθήκες - Ιδιότητες ρευστού - Παράμετροι Το πρώτο βήμα των προσομοιώσεων ροής μη-νευτωνικού ρευστού σε μ-κανάλι με εμπόδιο ήταν ο σχεδιασμός του αγωγού, σύμφωνα με τις διαστάσεις του αγωγού που χρησιμοποιήθηκε από τους Stogiannis et al. (2014), και κατόπιν η διακριτοποίηση του σε κελιά. Έτσι, σχεδιάστηκε αγωγός ορθογωνικής διατομής ύψους H=925μm, πλάτους W=10mm και μήκους L=100mm. To εμπόδιο τοποθετήθηκε σε απόσταση 60mm από την είσοδο του μ-καναλιού. Επίσης, στον αγωγό ορίστηκε ένα επίπεδο συμμετρίας (επίπεδο ΧΥ, παράλληλα με τη ροή) για εξοικονόμηση χρόνου επίλυσης και χώρου αποθήκευσης αποτελεσμάτων. Συνεπώς, η ε- πίλυση έγινε στο μισό του αγωγού, χωρίς, όμως, αυτό να αλλοιώνει τα αποτελέσματά της. Η γεωμετρία που σχεδιάστηκε στο ANSYS CFΧ φαίνεται στο Σχήμα 12. Ακολούθως, κατασκευάστηκε το πλέγμα (Grid), ο χωρισμός δηλαδή της γεωμετρίας σε μεγάλο αριθμό στοιχείων (κελιών), μέσα στα οποία γίνεται η επίλυση του προβλήματος ροής. Σημαντικό ρόλο για την ακρίβεια της επίλυσης διαδραματίζει το σχήμα των κελιών, που ορίζεται. Εξάλλου, η μέθοδος χωρισμού της γεωμετρίας που επιλέγεται από τον χρήστη επηρεάζει την ομοιομορφία του κατασκευασμένου πλέγματος. Κριτήρια επιλογής της μεθόδου α- ποτελούν η περιπλοκότητα και οι ιδιομορφίες της σχεδιασμένης γεωμετρίας.

34 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 33 Σχήμα 12. μ-κανάλι διαστάσεων H=925μm, W=10mm και L=100mm Στη συγκεκριμένη μελέτη, επελέγη ο σχεδιασμός πλέγματος με εξαεδρικά κελιά, τα οποία έχουν το πλεονέκτημα του εύκολου σχεδιασμού και προσφέρουν μεγάλη αξιοπιστία. Επίσης, επιτεύχθηκε πυκνότερο πλέγμα στην είσοδο του αγωγού. Η ανάγκη για πυκνότερο πλέγμα στην είσοδο του αγωγού υπαγορεύεται από το γεγονός ότι η ροή διαμορφώνεται στην είσοδο του αγωγού, κάτι που απαιτεί ακρίβεια στους υπολογισμούς (ANSYS, 2009). Τέλος, δημιουργήθηκε πυκνότερο πλέγμα στην αρχή του εμποδίου, καθώς και στο τέλος του εμποδίου, α- φού είναι περιοχές μεγάλου ενδιαφέροντος, όπου αναμένονται αλλαγές στη ροή. Το πλέγμα που δημιουργήθηκε γύρω από το εμπόδιο εμφανίζεται στο Σχήμα 13. Σχήμα 13: Πλέγμα γύρω από την διαμόρφωση.

35 U max, m/s 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 34 Η μελέτη της επίδρασης της πυκνότητας του πλέγματος στη σύγκλιση της λύσης (Grid Dependence Study) δίνει τον ελάχιστο αριθμό κελιών, στον οποίο η τιμή της μελετώμενης μεταβλητής σταθεροποιείται. Στο Σχήμα 14 φαίνεται το διάγραμμα που προέκυψε ύστερα από μελέτη εξάρτησης της λύσης από την πυκνότητα του πλέγματος με βάση τη μέγιστη ταχύτητα στο τέλος του εμποδίου. Τελικά, επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθούν περίπου κελιά, γεγονός που βασίστηκε στη μελέτη της δυσμενέστερης περίπτωσης, δηλαδή για d/h=0.8 και μαζική ροή ίση με 0.18 g/s. 2,4 2,3 2,2 2,1 2,0 1, Σχήμα 14. Εξάρτηση της λύσης από την πυκνότητα του πλέγματος με βάση τη μέγιστη ταχύτητα στο τέλος του εμποδίου. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 14, η τιμή της μέγιστης ταχύτητας στο τέλος του εμποδίου αυξάνεται με αύξηση της πυκνότητας του πλέγματος, μέχρι περίπου τα κελιά, ενώ στη συνέχεια σταθεροποιείται. Προκύπτει, λοιπόν, ότι ο ελάχιστος αριθμός κελιών που αποτελούν το πλέγμα είναι τα Κατά τη μελέτη του φαινομένου, προσομοιάστηκε η ροή διαφόρων Νευτωνικών και μη-νευτωνικών (shear thinning) ρευστών, τα οποία αντιπροσωπεύουν πραγματικά υδατικά διαλύματα γλυκερίνης που περιέχουν μικρή ποσότητα ξανθάνης, η οποία προσδίδει και τη μη-νευτωνική συμπεριφορά. Δυο Νευτωνικά διαλύματα (Ν1 και Ν2) χρησιμοποιήθηκαν για αναφορά και σύγκριση, τα οποία έχουν ίδιο ιξώδες με το ασυμπτωτικό ιξώδες των διαλυμάτων nn1 και nn2. Οι φυσικές ιδιότητες των ρευστών που μελετήθηκαν παρουσιάζονται στον Πίνακα 4. Υπενθυμίζεται ότι τα μη-νευτωνικά ρευστά ακολουθούν το μοντέλο ιξώδους Casson, όπως περιγράφηκε παραπάνω (Εξ.(5)). Οι καμπύλες Casson των ρευστών φαίνονται στο Σχήμα 15. Αριθμός Κελιών, 10 6

36 μ (Pa s) 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 35 Ρευστό (Index) *ασυμπτωτική τιμή Πίνακας 4: Φυσικές ιδιότητες των μελετώμενων ρευστών. Πυκνότητα (kg/m 3 ) 25 C (mpa s) N N nn * nn * nn * nn * τy (Pa) 0,1 Ν1 N2 nn1 nn2 nn4 nn3 μ = ,01 μ = , γ (s -1 ) Σχήμα 15: Καμπύλες ιξώδους των μελετώμενων ρευστών. Οι συνοριακές συνθήκες και οι συνθήκες ροής που ορίστηκαν είναι: Στρωτή ροή για όλες τις προσομοιώσεις Είσοδος (Inlet) Μαζική παροχή: από m = kg/s μέχρι m = kg/s Έξοδος (Outlet) P = 1 atm Τοίχωμα (Wall) Συνθήκη μη ολίσθησης (no-slip condition), δηλαδή μηδενική ταχύτητα πάνω στο τοίχωμα του αγωγού Συμμετρία (Symmetry) Επίπεδο συμμετρίας XY Τέλος, το υπολογιστικό πακέτο της ANSYS δίνει την δυνατότητα εισαγωγής παραμέτρων για τον άμεσο σχεδιασμό προσομοιώσεων και την εκτέλεση τους. Εισήχθησαν τρεις αδιάστατοι

37 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 36 αριθμοί ως σχεδιαστικές μεταβλητές για την παραμετρική διεξαγωγή των προσομοιώσεων, οι οποίοι είναι: ο λόγος διαστάσεων του εμποδίου (aspect ratio, AR) εκφρασμένος ως ο λόγος του μήκους l ως προς το ύψος d του εμποδίου (l/d). ο βαθμός φραγής (blockage ratio, BR) του καναλιού από το εμπόδιο (d/h) που πρακτικά εκφράζει το ποσοστό της διατομής του καναλιού, το οποίο καλύπτει το εμπόδιο. ο αριθμός Re (UH/ν) εκφρασμένος ως ο λόγος του γινομένου της ταχύτητας (U) του ρευστού επί το ύψος (Η) του καναλιού ως προς το κινηματικό ιξώδες (ν) του ρευστού. Στην παρούσα μελέτη, επειδή ο Re χρησιμοποιείται πρακτικά ως μία ανηγμένη έκφραση της παροχής του ρευστού, επιλέχθηκε το H ως χαρακτηριστικό μήκος καθώς παραμένει σταθερό, ενώ το d μεταβάλλεται με τις άλλες δυο σχεδιαστικές μεταβλητές. Πρέπει να σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό του αριθμού Re στα μη-νευτωνικά ρευστά χρησιμοποιείται το άπειρο ιξώδες μ ως ιξώδες αναφοράς. Επιπλέον, κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων και την εξαγωγή του συσχετισμού που αφορά το ρυθμό διάτμησης, χρησιμοποιήθηκε ο αδιάστατος αριθμός Carreau (Cu = U/γΗ), εκφρασμένος ως ο λόγος της μέσης ταχύτητας (U) του ρευστού ως προς το γινόμενο του ρυθμού διάτμησης (γ) επί το χαρακτηριστικό μήκος, το οποίο πρέπει να είναι κάθετο στη ροή, δηλαδή το ύψος του μ-καναλιού (Η). Η εισαγωγή του αριθμού Cu είναι αναγκαία, καθώς στην περιοχή της ανακυκλοφορίας όπου αναμένεται να γίνει εμφανής η επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς, χρειάζεται ένα αδιάστατος αριθμός για να περιγράψει την μεταβολή της διατμητικής τάσης και κατ επέκταση την μεταβολή του ιξώδους. Το εύρος τιμών των μελετώμενων μεταβλητών, που αναφέρθηκαν παραπάνω, παρατίθεται στον Πίνακα 5. Πίνακας 5: Εύρος τιμών των μεταβλητών Μεταβλητή Κατώτατο Όριο Ανώτατο όριο AR BR Re Cu

38 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 37 Το πρόβλημα επιλύεται για τις συνθήκες που ορίστηκαν για διάφορες παροχές και γεωμετρίες μέσα στο εύρος που παρατέθηκε και τα αποτελέσματα διατίθενται μετά το πέρας της επίλυσης για την επεξεργασία τους. 5.3 Σχεδιασμός Πειραμάτων Σκοπός των προσομοιώσεων είναι η συλλογή δεδομένων για το μήκος ανακυκλοφορίας στον πυθμένα του μ-καναλιού μετά το εμπόδιο. Όπως αναφέρθηκε, για την παραμετρική μελέτη χρησιμοποιούνται τρεις μεταβλητές με σχετικά μεγάλα εύρη. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για να αναλυθεί εις βάθος όλο το φάσμα των περιπτώσεων θα έπρεπε να διεξαχθεί ένας πολύ μεγάλος αριθμός προσομοιώσεων. Σε αυτό το πρόβλημα δίνει λύση η τεχνική Σχεδιασμού Πειραμάτων (DOE methodology), η οποία περιγράφηκε ανωτέρω. Η τεχνική DOE ε- πιτρέπει στον χρήστη να εξάγει όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες με τον λιγότερο αριθμό πειραμάτων, γεγονός που την κάνει ιδανική για μοντέλα CFD, τα οποία τείνουν να είναι αρκετά χρονοβόρα (Stogiannis et al., 2013). Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα στατιστικής ανάλυσης Minitab 16 και με βάση την μέθοδο DOE Box-Behnken, σχεδιάζεται αρχικά μια σειρά υπολογιστικών πειραμάτων. Για αυτές τις προσομοιώσεις θα χρησιμοποιηθούν το λιγότερο και το περισσότερο ιξώδες ρευστό, δηλαδή τα ρευστά nn1 και nn2. Η σειρά πειραμάτων που προέκυψε παρουσιάζεται στον Πίνακα 6. Ωστόσο, ύστερα από την αρχική διεξαγωγή των προσομοιώσεων και για την περαιτέρω εμβάθυνση στην επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς στο μήκος ανακυκλοφορίας, xr, χρησιμοποιήθηκαν επιπλέον σημεία σχεδιασμού στην περιοχή ενδιαφέροντος (Re<50). Έ- πειτα από την διεκπεραίωση όλων των προσομοιώσεων, είναι δυνατή η έκφραση του μήκους ανακυκλοφορίας ως συνάρτηση των σχεδιαστικών μεταβλητών, κάνοντας χρήση της Μεθοδολογίας Επιφάνειας απόκρισης (Response Surface Methodology, RSM). Τα σχεδιαστικά σημεία δίνουν τη δυνατότητα κατασκευής συσχετισμού, ενώ τα σημεία επικύρωσης, τα οποία παρουσιάζονται στον Πίνακα 7, χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της εγκυρότητας του συσχετισμού.

39 5. Πειραματική διαδικασία Προσομοίωση 38 Πίνακας 6: Σχεδιαστικά σημεία για τα υπολογιστικά πειράματα. Box-Behnken Μεθοδολογία Επιπλέον Σημεία Σχεδιασμού d/h l/d Re d/h l/d Re d/h l/d Re Πίνακας 7: Σημεία επικύρωσης για τα υπολογιστικά πειράματα. Fluid d/h l/d Re N N N N N N nn nn nn nn nn nn nn nn

40 Αποτελέσματα Με την τεχνική Σχεδιασμού Πειραμάτων, υπολογίστηκε ο αριθμός και το είδος των προσομοιώσεων που πρέπει να γίνουν, ώστε να εξάγουμε τα απαραίτητα δεδομένα. Αφού πραγματοποιήθηκαν οι προσομοιώσεις, έγινε συλλογή και επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Αρχικά, εξετάστηκε η επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς των ρευστών στην κύρια περιοχή ανακυκλοφορίας και βρέθηκε η περιοχή ροής, όπου τα ρευστά συμπεριφέρονται ως μη-νευτωνικά. Στη συνέχεια, έγινε εμβάθυνση στην περιοχή όπου γίνεται εμφανής η επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς και πραγματοποιήθηκε παραμετρική μελέτη για την αλλαγή του μήκους ανακυκλοφορίας καθώς η μη-νευτωνική συμπεριφορά γίνεται πιο σημαντική. Τέλος, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των προσομοιώσεων έγινε προσπάθεια κατασκευής ενός συσχετισμού, ο οποίος θα προβλέπει την έκταση του κύριου μήκους ανακυκλοφορίας (xr) αναλόγως των χαρακτηριστικών της ροής και του εμποδίου. 6.1 Επίδραση της μη-νευτωνικής συμπεριφοράς Αρχικά, οι υπολογιστικές προσομοιώσεις χωρίστηκαν σε δύο ομάδες ανάλογα με τον αριθμό Reynolds που μελετάται (Re>100 και Re<100). Στην πρώτη ομάδα, δηλαδή για αριθμό Reynolds μεγαλύτερο του 100, έγινε αναπαραγωγή των προσομοιώσεων της μελέτης των Stogiannis et al. για το μη-νευτωνικό ρευστό, οι οποίες προέκυψαν ύστερα από εφαρμογή της

41 6. Αποτελέσματα 40 Μεθόδου Σχεδιασμού Πειραμάτων Box-Behnken. Μέσω αυτών, μελετήθηκε η επίδραση των τριών σχεδιαστικών παραμέτρων (Re, AR και BR) στην έκταση του κύριου μήκους ανακυκλοφορίας στον πυθμένα του μ-καναλιού μετά το εμπόδιο. Ο αριθμός Re μεταβάλλεται σε ένα εύρος μεταξύ 100 και 360, ενώ οι τιμές του BR είναι 0.4, 0.6 και 0.8. Το εύρος του αριθμού Re επιλέχθηκε κατάλληλα ώστε η ροή να παραμένει στη στρωτή περιοχή παρά τη μεταβολή του ύψους του εμποδίου. Τέλος, οι τιμές του AR έχουν εύρος μεταξύ 2 και 16, αλλάζοντας έτσι το μήκος του εμποδίου. Στο Σχήμα 16 παρουσιάζεται η μεταβολή της ταχύτητας μέσα στον αγωγό για μια τυπική περίπτωση Re>100 (Re=230, BR=0.4, AR=9). Η διακεκομμένη γραμμή δείχνει τα σημεία όπου Ux=0, διαχωρίζοντας με αυτό τον τρόπο την κύρια περιοχή ανακυκλοφορίας μετά το εμπόδιο. Να σημειωθεί ότι τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας αφορούν την κύρια περιοχή α- νακυκλοφορίας μετά το εμπόδιο, επάνω στο επίπεδο συμμετρίας του αγωγού. Ροή Σχήμα 16. Κατανομή ταχύτητας στο επίπεδο συμμετρίας του αγωγού. (BR=0.4, AR=9, Re=230) Όπως φαίνεται στο Σχήμα 17α, για αριθμούς Re>100, το μήκος ανακυκλοφορίας για το Νευτωνικό και το μη-νευτωνικό ρευστό είναι το ίδιο. Αυτό συμβαίνει επειδή οι ρυθμοί διάτμησης είναι σχετικά υψηλοί (γ>100 s -1 ), οπότε το ιξώδες του μη-νευτωνικού ρευστού λαμβάνει την ασυμπτωτική του τιμή, δηλαδή είναι πρακτικά ίδιο με αυτό του Νευτωνικού (Σχήμα 15). Επιπλέον, παρατηρούμε (Σχήμα 17β, 17γ) ότι ακόμα και αν αλλαχθεί η γεωμετρία του εμποδίου, δεν υπάρχουν διαφορές στη συμπεριφορά των δύο ρευστών. Όπως συμπέραναν και οι Stogiannis et al., (2014) για το Νευτωνικό ρευστό, ο βαθμός φραγής έχει μεγαλύτερη επίδραση στο μήκος ανακυκλοφορίας από το λόγο διαστάσεων του εμποδίου AR και στο μη-νευτωνικό ρευστό.

42 x r /H x r /H x r /H 6. Αποτελέσματα l/d=9, d/h=0.6 (α) Νευτωνικό Μη-Νευτωνικό Re 10 8 Re=230, d/h=0.6 (β) Νευτωνικό Μη-Νευτωνικό AR 10 8 Re=230, l/d=9 (γ) Νευτωνικό Μη-Νευτωνικό 0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 BR Σχήμα 17. Μεταβολή του μήκους ανακυκλοφορίας για τα ρευστά N1 και nn1 ως συνάρτηση του: α) Re, β) l/d και γ) d/h. Στη συνέχεια μελετήθηκε η επίδραση του Re στο μήκος ανακυκλοφορίας για το ίδιο εμπόδιο (AR=9, BR=0.6). Οι αριθμοί Re που μελετήθηκαν είναι μεταξύ 4 και 60. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται στο Σχήμα 18. Παρατηρείται ότι για αριθμό Re>50 το μη-νευτωνικό ρευστό συνεχίζει να παρουσιάζει την ίδια συμπεριφορά με το Νευτωνικό. Ωστόσο, για Re<50 το μη- Νευτωνικό ρευστό αρχίζει να εμφανίζει σημαντικές διαφορές στο μήκος ανακυκλοφορίας σε σχέση με το Νευτωνικό ρευστό. Η απόκλιση μεταξύ των δύο περιπτώσεων φτάνει μέχρι 35% για Re=8.

43 x r /H 6. Αποτελέσματα l/d=9, d/h=0.6 1 N1 nn1 0, Re Σχήμα 18. Επίδραση του Re στο μήκος ανακυκλοφορίας για Νευτωνικό και μη-νευτωνικό ρευστό (Ν1 και nn1). (για εμπόδιο με l/d=9, d/h=0.6) Η διαφορά στο μήκος ανακυκλοφορίας γίνεται εμφανής στο Σχήμα 19, όπου παρουσιάζονται συγκριτικά οι κατανομές ταχύτητας για τρεις διαφορετικούς αριθμούς Re (Re=8, 30 και 50) και για τα δύο είδη ρευστού (ρευστά Ν1 και nn1). Να σημειωθεί ότι η μαύρη διακεκομμένη γραμμή διαχωρίζει τη κύρια περιοχή ανακυκλοφορίας. Στο Σχήμα 19 είναι εμφανές ότι όταν σε έναν μ-αγωγό ρέει ένα μη-νευτωνικό ρευστό με την ίδια παροχή με το αντίστοιχο Νευτωνικό ρευστό, τότε το μήκος ανακυκλοφορίας μειώνεται. Η μείωση αυτή γίνεται ακόμα πιο εμφανής σε μικρούς αριθμούς Re. Για παράδειγμα, το μήκος ανακυκλοφορίας μειώνεται κατά 35% για Re=8, όταν το μη-νευτωνικό ρευστό nn1 ρέει μέσα στον αγωγό (Σχήμα 17α), ενώ για Re=30 η μείωση ανέρχεται στο 20% (Σχήμα 17β).

44 6. Αποτελέσματα 43 N1 (a) Re=8 nn1 (β) Re=30 N1 nn1 (γ) Re=50 N1 nn1 Σχήμα 19. Κατανομές ταχύτητας για έναν Νευτωνικό και ένα μη-νευτωνικό ρευστό (Ν1 και nn1) για: (α) Re=8, (β) Re=30 και (γ) Re=50 με l/d=9 και d/h=0.6.

45 6. Αποτελέσματα 44 Συμπεραίνουμε ότι για Re<50, οι ρυθμοί διάτμησης στην περιοχή ανακυκλοφορίας γίνονται μικρότεροι των 100 s -1 με αποτέλεσμα το ιξώδες να αυξάνεται έντονα και να μειώνεται αντίστοιχα το μήκος ανακυκλοφορίας. Αυτό το γεγονός γίνεται εμφανές στο Σχήμα 20, όπου παρατηρούνται τιμές ιξώδους ακόμα και 5 φορές μεγαλύτερες από αυτές του Νευτωνικού ρευστού. Ροή Σχήμα 20. Κατανομή ιξώδους για το μη-νευτωνικό ρευστό nn1 στο επίπεδο συμμετρίας του αγωγού. (Re=14, BR=0.6 και AR=9) Η διαφορά στο μήκος ανακυκλοφορίας φαίνεται και στο Σχήμα 21, οπού παρουσιάζεται η τοιχωματική διατμητική τάση WSS κατά μήκος του πυθμένα του μ-καναλιού για το Νευτωνικό και το αντίστοιχο μη-νευτωνικό ρευστό (Ν1 και nn1) για Re=8 (Σχήμα 21α) και Re=50 (Σχήμα 21β). Στην περιοχή ανακυκλοφορίας επικρατούν αρνητικές τοιχωματικές διατμητικές τάσεις, όπως αναμένεται, οι τιμές των οποίων είναι μεγαλύτερες στα Νευτωνικά ρευστά από ότι στα μη-νευτωνικά για σχετικά μικρούς Re (Σχήμα 21α). Πρακτικά, στα μη-νευτωνικά ρευστά, ε- πικρατούν τιμές ιξώδους μεγαλύτερες από την ασυμπτωτική τιμή στην κύρια περιοχή ανακυκλοφορίας με αποτέλεσμα να υπάρχουν μικρότερες ταχύτητες και κατ επέκταση μικρότερες τοιχωματικές διατμητικές τάσεις. Αντιθέτως, στο Σχήμα 21β δεν παρατηρείται καμία διαφορά στην WSS για τα δύο ρευστά και έρχεται σε συμφωνία με το γεγονός ότι για Re>50 τα μη-νευτωνικά ρευστά πρακτικά συμπεριφέρονται ως Νευτωνικά (Σχήμα 18). Αυτό σημαίνει ότι για Re>50 τα μη-νευτωνικά ρευστά φτάνουν στην ασυμπτωτική τιμή ιξώδους, αποκτώντας την ίδια ταχύτητα με τα Νευτωνικά, καθώς και την ίδια τοιχωματική διάτμηση.