«Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία»

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Άννα Κώτσου Επιβλέπων: Ευτύχιος Παπαδοπετράκης Λέκτορας Πανεπιστηµίου Πατρών Πάτρα, 2016

2 Άννα Κώτσου 2

3 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εργασία αυτή είναι αποτέλεσµα µίας προσπάθειας που κράτησε αρκετά σε χρόνο, καθώς πολλά γεγονότα παράλληλα µε τις σπουδές γέµισαν το χρόνο αυτό. Θα ήθελα να ευχαριστήσω αρχικά τον κύριο Παπαδοπετράκη Ευτύχη για τις πολύτιµες συµβουλές του και την καθοδήγησή του κατά τη συγγραφή αυτής της εργασίας. Θα ήθελα ακόµη να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές του µεταπτυχιακού αυτού προγράµµατος, για όλα όσα µοιράστηκαν µαζί µας, εντός και εκτός µαθήµατος. Ευχαριστώ την οικογένειά µου και ιδιαίτερα, τον σύζυγό µου Μαρίνο και το παιδί µας, για την υποµονή τους, την ανοχή τους και πάνω από όλα την αγάπη τους. Ευχαριστώ επίσης τον καλό συνάδελφο Παναγιώτη που ήταν πλάι µου όπου χρειάσθηκα βοήθεια στο τεχνικό κοµµάτι. 3

4 Άννα Κώτσου 4

5 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 7 Α ΜΕΡΟΣ... 9 Α.1. Εισαγωγή Α.2. Η παρουσία πρώτων αριθµών σε ανασκαφικό εύρηµα από το π.χ Α.3. Πρώτοι Αριθµοί: Η εποχή των Ελλήνων Α.3.1. Οι πρώτοι αριθµοί στους Πυθαγόρειους (6 ος 5 ος αι. π.χ.) Α.3.2. Οι πρώτοι αριθµοί στα Στοιχεία του Ευκλείδη (4 ος 3 ος αι. π.χ.) Α.3.3. Οι πρώτοι αριθµοί και το κόσκινο του Ερατοσθένη (3 ος αι. π.χ.) Α.4. Πρώτοι Αριθµοί: από το 16 ο αι. µ.χ. και έπειτα Β ΜΕΡΟΣ Β.1. Εισαγωγή Β.2. Ιστορία της Κρυπτογραφίας Κλασική Περίοδος Β.3. Ιστορία της Κρυπτογραφίας Η Περίοδος των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών.. 55 Γ ΜΕΡΟΣ Γ.1. Εισαγωγή Γ.2. RSA Γ.2.1. Κρυπτογραφία δηµοσίου κλειδιού Γ.2.2. Θεωρητικό πλαίσιο της µεθόδου RSA Γ.2.3. Πως λειτουργεί Γ.2.4. Αριθµητικό παράδειγµα ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΕΣ

6 Άννα Κώτσου 6

7 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία υπό τον τίτλο «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» αναπτύσσει στα τρία µέρη από τα οποία συνίσταται, σηµαντικά αποτελέσµατα σχετικά µε τους πρώτους αριθµούς, τα οποία και συσχετίζονται µε την έννοια της Κρυπτογραφίας. Στο Α Μέρος γίνεται παρουσίαση σηµαντικών ευρηµάτων και αποτελεσµάτων σχετικά µε τους πρώτους αριθµούς. Τα ευρήµατα που παρουσιάζονται στην ενότητα από τον 16 ο αι. µ.χ. και έπειτα, αφορούν τις προσπάθειες εύρεσης τύπου που να δίνει τους πρώτους αριθµούς και την προσπάθεια προσέγγισης του πλήθους των πρώτων αριθµών µέχρι κάποιον δοσµένο αριθµό x. Στο Β Μέρος παρουσιάζεται η ιστορία της έννοιας της κρυπτογραφίας. Η παρουσίαση αυτή χωρίζεται σε δύο βασικά µέρη, µε κριτήριο τη χρήση ή µη ηλεκτρονικών υπολογιστών για την κρυπτογράφηση µηνυµάτων. Στο Γ Μέρος παρουσιάζεται η πιο γνωστή χρήση της θεωρίας αριθµών στον πραγµατικό κόσµο, η χρήση των πρώτων στην κρυπτογραφία δηµοσίου κλειδιού. Η παρουσίαση αυτή γίνεται µέσω της αναλυτικής περιγραφής του αλγόριθµου RSA. Ο αλγόριθµος RSA είναι η πιο γνωστή µέθοδος κρυπτογραφίας δηµόσιου κλειδιού, στην οποία τα κλειδιά κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης είναι διαφορετικά. 7

8 Άννα Κώτσου 8

9 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α Μέρος 9

10 Άννα Κώτσου 10

11 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α.1. Εισαγωγή Οι ιδιότητες των φυσικών αριθµών είναι ένα από τα βασικά και πιο ουσιώδη θέµατα των µαθηµατικών, το οποίο αποτελεί το αντικείµενο της θεωρίας αριθµών (Oystein Ore, 1988, σελίδα 25). Οι απαρχές της µελέτης των ιδιοτήτων των αριθµών πάνε πίσω όσο η µέτρηση και οι αριθµητικές διαδικασίες. εν πήρε πολύ χρόνο µέχρι την ανακάλυψη πως µερικοί αριθµοί συµπεριφέρονται διαφορετικά από άλλους. Για παράδειγµα µερικοί αριθµοί µπορούν να διαιρεθούν σε µικρότερα ίσα µέρη και άλλοι όχι. Οι πράξεις µε λόγους οδήγησαν αµέσως στη µελέτη της διαιρετότητας των αριθµών, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και το µέγιστο κοινό διαιρέτη. Ενώ άλλες προσεγγίσεις οδήγησαν στην πρώιµη θεωρία αριθµών. Στο Α Μέρος της παρούσας εργασίας γίνεται παρουσίαση σηµαντικών ευρηµάτων και αποτελεσµάτων σχετικά µε τους πρώτους αριθµούς. Τα ευρήµατα που παρουσιάζονται στην ενότητα από τον 16 ο αι. µ.χ. και έπειτα, αφορούν τις προσπάθειες εύρεσης τύπου που να δίνει τους πρώτους αριθµούς και την προσπάθεια προσέγγισης του πλήθους των πρώτων αριθµών µέχρι κάποιον δοσµένο αριθµό x. Η παρουσίαση αυτή ακολουθεί το παρακάτω πλαίσιο. Κόκαλο του Ishango Από το 16ο αι. µ.χ. Η εποχή των Ελλήνων ( π.χ. 1 ) και έπειτα Πυθαγόρειοι (6ος - 5ος αι. π.χ. 2 ) M. Mersenne ( µ.χ. 3 ) Ευκλείδης (4ος - 3ος αι. π.χ. 4 ) P. Fermat ( µ.χ. 5 ) Ερατοσθένης (3ος αι. π.χ. 6 ) L. Euler ( µ.χ. 7 ) A. M. Legendre ( µ.χ. 8 ) C. F. Gauss ( µ.χ. 9 ) G. F. B. Riemann ( µ.χ. 10 ) 1 Παπαδοπετράκης, 2012, σελίδα 4 2 Σταμάτης, 1976, σελίδα O Connor, Robertson, 2005, σελίδα 1 4 Σταμάτης, 1976, σελίδα 27 5 Gowers, 2008, σελίδα Σταμάτης, 1976, σελίδα 28 7 Kleiner, 2010, σελίδα Gowers, 2008, σελίδα Kleiner, 2010, σελίδα

12 Άννα Κώτσου Από την εποχή των Ελλήνων ως τον 16 ο αι. µ.χ. παρατηρείται ένα µεγάλο κενό, αναδεικνύοντας το γενικό επίπεδο των µαθηµατικών στην Ευρώπη, το οποίο και ήταν εξαιρετικά χαµηλό κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα (Oystein Ore, 1988, σελίδα 194). Με την Αναγέννηση όµως, γίνεται αναβίωση των κλασικών σπουδών, µε βάση τα πολυάριθµα χειρόγραφα της µαθηµατικής δουλειάς των Ελλήνων που έφτασαν στη δυτική Ευρώπη. Η Ελληνική γνώση υπήρξε αποκάλυψη, της οποίας το αληθινό περιεχόµενο ήταν ανυπόφορα δύσκολο να αποκρυπτογραφηθεί. 10 Gowers, 2008, σελίδα

13 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α.2. Η παρουσία πρώτων αριθµών σε ανασκαφικό εύρηµα από το π.χ. Στα 1950 (Royal Belgian Institute of Natural Sciences museum) εκτελούνταν αρχαιολογικές ανασκαφές από τον γεωλόγο Jean de Heinzelin ( ) στις όχθες της λίµνης Έντουαρντς που βρίσκεται ανάµεσα στην Ουγκάντα και τη Λαϊκή ηµοκρατία του Κονγκό (Παπαδοπετράκης, 2012, σελίδα 4). Μεταξύ όλων των οστέινων ευρηµάτων της περιοχής του Ishango, ένα έχει προσελκύσει όλη την προσοχή και έχει γίνει κεντρικό θέµα της Αφρικανικής αρχαιολογίας: το χαραγµένο κόκαλο του Ishango. Το πρώτο κόκαλο θεωρείται σήµερα ως το αρχαιότερο κοµµάτι απόδειξης της µαθηµατικής γνώσης της ανθρωπότητας (Royal Belgian Institute of Natural Sciences museum). Συχνά η αναφορά σε αυτό γίνεται ως «κόκαλο του Ishango». Αυτό το κόκαλο είχε λεπτυνθεί, στιλβωθεί και χαραχθεί σε τέτοιο βαθµό που είναι σήµερα δύσκολο να αναγνωριστεί το ον από το οποίο προέρχεται. Είναι σίγουρα κάποιο θηλαστικό, ίσως ένα λιοντάρι. Ένας µικρός κρύσταλλος είχε προσαρτηθεί στο ένα άκρο, κατηγοριοποιώντας το ως ένα εργαλείο κοπής, παρότι η ακριβής χρήση του δεν έχει ακόµη αποσαφηνισθεί (Royal Belgian Institute of Natural Sciences museum). Αυτό που το έκανε διάσηµο είναι η λαβή του, καθώς έχει 168 εγκοπές προσεκτικά τοποθετηµένες. Οι εγκοπές συνιστούν έναν «πίνακα» 16 κελιών µε τρεις στήλες, καλύπτοντας τις τρεις πλευρές του κόκαλου. Η πρώτη στήλη συνίσταται από τους πρώτους αριθµούς που βρίσκονται ανάµεσα στο 10 και στο 20. Ενδεχοµένως οι χαρακιές αυτές να αποτελούσαν κάποιου είδους ηµερολόγιο των φάσεων της Σελήνης. Ακολουθεί εικόνα σε διαπλάτυνση του κόκαλου ώστε να φαίνονται όλες οι εγκοπές ταυτοχρόνως. 13

14 Άννα Κώτσου Κόκαλο του Ishango (Royal Belgian Institute of Natural Sciences museum) Οι 168 εγκοπές χωρίζονται στις τρεις πλευρές του κόκαλου. Εδώ παρατίθεται ένα σχέδιο σε διαπλάτυνση του κόκαλου ώστε να είναι ορατές την ίδια στιγµή. Ο Jean de Heinzelin παρατήρησε µαθηµατικές συσχετίσεις µεταξύ αυτών των κελιών, κάτι που προκάλεσε αναστάτωση στις προηγούµενες ιδέες για την ιστορία των µαθηµατικών. Ακολουθούν µερικές από τις ιδέες του Heinzelin, όπως ακριβώς τις κατέγραψε ο ίδιος (Royal Belgian Institute of Natural Sciences museum). Κεντρική στήλη: η κεντρική στήλη δίνει έναν αριθµό και το διπλάσιό του, 3 και 6, 4 και 8, 5 και 10. Υπάρχουν όµως και δύο αριθµοί που δεν εµφανίζουν κάποια συσχέτιση. Αριστερή στήλη: οι άνθρωποι του Ishango φαίνεται να γνώριζαν τους αριθµούς 11, 13, 17, 19, που αργότερα ως πρώτοι. Πολλοί χαρακτηρίστηκαν ερευνητές έχουν µελετήσει αυτές της εγκοπές. Μεταξύ αυτών οι µαθηµατικοί Huylebrouck και Pletser οι οποίοι δεν βρήκαν επαρκή στοιχεία που να συνηγορούν ότι υπήρχε η γνώση των πρώτων αριθµών. = 60 = 48 = 60 Το άθροισµα κάθε στήλης είναι πολλαπλάσιο του 12. τη εξιά στήλη: σε αυτή στήλη, οι αριθµοί εµφανίζουν συσχέτιση µε τον αριθµό 10, αριθµητική βάση. µία πολύ γνωστή Τα αποτελέσµατα που λαµβάνονται είναι: 11= = = =

15 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α.3. Πρώτοι Αριθµοί: Η εποχή των Ελλήνων Α.3.1. Οι πρώτοι αριθµοί στους Πυθαγόρειους (6 ος 5 ος αι. π.χ.) Ο ιδρυτής της σχολής των Πυθαγορείων, Πυθαγόρας, έζησε τον 6 ο µε 5 ο αι. π.χ.. Ταξίδεψε για πολλά χρόνια µακριά από την πατρίδα του τη Σάµο, διευρύνοντας τις γνώσεις του µε τις κατακτήσεις των λαών που συναντούσε στα εµπειρικά µαθηµατικά και την αστρονοµία (Παπαδοπετράκης, 2012, σελίδα 76). Κατά την επιστροφή του εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, όπου ίδρυσε σχολή που πήρε το όνοµά του. Οι Πυθαγόρειοι αφιέρωσαν σηµαντικές προσπάθειες στην έρευνα των ιδιοτήτων ειδικών αριθµών ή κλάσεων αριθµών (Bunt, Jones, Bedient, 1981, σελίδα 89). Συνήθιζαν να αναπαριστούν τους αριθµούς µε ψηφίδες πάνω σε µια οριζόντια σανίδα, το σύστηµα αυτό ονοµαζόταν ψηφοφορία και οι αριθµοί εξ αυτού του τρόπου αναπαράστασης παραστατικοί. Είχαν διαπιστώσει πως όλοι οι αριθµοί µπορούν να αναπαρασταθούν µε ψηφίδες στη σειρά και κάθε επόµενος του δύο, όπως πληροφορεί ο νεοπυθαγόρειος Νικόµαχος (Παπαδοπετράκης Ευτύχης, 1997), φτιαχνόταν µε την προσθήκη µιας ψηφίδας επί ευθείας. Οι ψηφίδες που αναπαριστούσαν τους αριθµούς µπορούσαν όµως να τοποθετηθούν και µε έτερους τρόπους, εκτός της τοποθέτησης σε ευθεία, δοµώντας διάφορα γεωµετρικά σχήµατα. Παραδείγµατος χάριν οι ψηφίδες που αναπαριστούσαν το 6 έδιναν ένα ορθογώνιο δύο επί τρία. Οι αριθµοί όπως ο 6 καλούνταν επίπεδοι. Ο 24 από την άλλη µπορούσε να αναπαρασταθεί στο χώρο ως ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο δύο επί τρία επί τέσσερα, ως εκ τούτου οι αριθµοί όπως αυτός αποκαλούνταν στέρεοι. Ο επίπεδος αριθµός 6 Ο στέρεος αριθµός 24 15

16 Άννα Κώτσου Είχαν όµως εντοπίσει και αριθµούς οι οποίοι είχαν µόνο µία δυνατότητα αναπαράστασης, εκείνη της τοποθέτησης σε ευθεία. Τους αριθµούς τους µνηµονεύει (Παπαδοπετράκης, 1997, σελίδα 43) (ή ορίζει;) ο Θυµαρίδας ως «ἀπλατὴς γὰρ ἐν τῇ ἐκθέσει ἐφ ἓν μόνον διιστάμενος» (ως έκθεση ονόµαζαν τη διαδικασία αναπαράστασης µε ψηφίδες). Αυτός ήταν και ο πρώτος ορισµός για τους πρώτους αριθµούς, ο οποίος κάνει χρήση της ορατής µε γυµνό οφθαλµό κοινής τους ιδιότητας. Η ιδιότητα αυτή θεωρείται από τον Αριστοτέλη (Παπαδοπετράκης, 1997, σελίδα 43) ως ποιοτικό χαρακτηριστικό, δηλαδή ως διαφορά ουσίας: «ἕνα μὲν δὴ τρόπον τοῦτον λέγεται ἡ ποιότης διαφορὰ οὐσίας, ἕνα δὲ ὡς τὰ ἀκίνητα καὶ τὰ μαθηματικά, ὥσπερ οἱ ἀριθμοὶ ποιοί τινες, οἷον οἱ σύνθετοι καὶ μὴ μόνον ἐφ' ἓν ὄντες ἀλλ' ὧν μίμημα τὸ ἐπίπεδον καὶ τὸ στερεόν (οὗτοι δ' εἰσὶν οἱ ποσάκις ποσοὶ ἢ ποσάκις ποσάκις ποσοί)». Επιπλέον οι Πυθαγόρειοι πρώτοι διέκριναν ζεύγη αριθµών µε µέγιστο κοινό διαιρέτη το 1. Οι αριθµοί αυτοί χαρακτηρίζονται, πολύ αργότερα, στο έργο του νεοπυθαγόρειου Ιάµβλιχου (Ιαµβλίχου Χαλκιδέως, σελίδα 29, σ. 5) ως «πρώτοι προς αλλήλους». Έτσι, για παράδειγµα, οι αριθµοί 5, 4 είναι πρώτοι προς αλλήλους αφού ο µεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1. Γνώριζαν ακόµη ότι ο µοναδικός άρτιος πρώτος αριθµός είναι το 2. Ειδικά τη µονάδα δεν την λάµβαναν υπόψιν ως αριθµό (Παπαδοπετράκης, 2012, σελίδα 82), αφού ο αριθµός οριζόταν ως πλήθος ενώ η µονάδα από την πλευρά της ήταν γι αυτούς αδιαίρετη. Οι Πυθαγόρειοι είχαν µελετήσει ακόµη τους αριθµούς που ονόµασαν τέλειους και τους φίλους αριθµούς (Bunt, Jones, Bedient, 1981, σελίδες 89 90). Ως τέλειος χαρακτηρίζεται ένας αριθµός, ο οποίος είναι ίσος µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του (π.χ. 6 = ). Ως φίλοι χαρακτηρίζονται ζευγάρια αριθµών, στα οποία ο καθένας είναι ίσος µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του άλλου (π.χ. οι αριθµοί 220 και 284). Σε γενικές γραµµές, για τις Πυθαγόρειες θεωρίες των ρητών και των ακεραίων, η γνώση είναι περιορισµένη. Μπορεί να διατυπωθεί µε βεβαιότητα ο ισχυρισµός και µόνο, πως υπήρξαν αυτές οι θεωρίες (Basmakova, 2014, σελίδα 47). 16

17 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α.3.2. Οι πρώτοι αριθµοί στα Στοιχεία του Ευκλείδη (4 ος 3 ος αι. π.χ.) Για τον Ευκλείδη δεν έχουν σωθεί βιογραφικές πληροφορίες. εν είναι γνωστός ούτε ο τόπος και ο χρόνος γέννησης και θανάτου του. Το µόνο γνωστό είναι πως ήταν Έλληνας και ότι έδρασε στην Αλεξάνδρεια, πόλη την οποία ίδρυσε ο Μέγας Αλέξανδρος στις αρχές του έτους 331 π.χ.. Η ακµή του Ευκλείδη συµπίπτει µε το χρόνο της βασιλείας του Πτολεµαίου του Α ( π.χ.) (Σταµάτη, 1968, σελίδα 74). Το έργο του υπό τον τίτλο Στοιχεία, αποτελείται από 13 βιβλία. Τα πρώτα έξι πραγµατεύονται την επίπεδη γεωµετρία και στα επόµενα τρία αναπτύσσεται η αριθµοθεωρία. Στο δέκατο παρατίθεται η µελέτη των ασύµµετρων λόγων, ενώ τα τρία τελευταία περιλαµβάνουν την πραγµάτευση της στερεοµετρίας (Bunt, Jones, Bedient, 1981, σελίδες ). Τα βιβλία (VII IX) είναι αφιερωµένα στη θεωρία αριθµών και των λόγων αριθµών, σε σχεδόν πλήρη αποµόνωση από το υπόλοιπο έργο του (Mueller, 1981, σελίδα 58). Τα βιβλία αυτά, όπως έδειξε ο βαν ντερ Βάρντεν, σε σηµαντικό βαθµό ανάγονται στους Πυθαγόρειους (Basmakova, 2014, σελίδα 234). Εκεί ο Ευκλείδης παρουσιάζει (Kleiner, 2010, σελίδα 4) διάφορα θεµελιώδη αριθµοθεωρητικά θέµατα, όπως η διαιρετότητα, οι πρώτοι και σύνθετοι ακέραιοι, ο µέγιστος κοινός διαιρέτης και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων. Οι µόνες αριθµητικές αρχές του Ευκλείδη είναι οι 22 ορισµοί στην αρχή του βιβλίου VII. Σε αυτά τα βιβλία επιπλέον περιλαµβάνονται µερικά από τα κύρια αποτελέσµατά του, µεταξύ αυτών και ο Ευκλείδειος αλγόριθµος, η απειρία των πρώτων αριθµών, αποτελέσµατα σχετικά µε τους τέλειους αριθµούς, η κατασκευή της θεωρίας των λόγων ακεραίων αριθµών, που είναι ισοδύναµο της σύγχρονης θεωρίας των ρητών αριθµών (Basmakova, 2014, σελίδα 234) και αυτό που µερικοί ιστορικοί (Kleiner, 2010, σελίδα 33) θεωρούν ως µία εκδοχή του Θεµελιώδους Θεωρήµατος της Αριθµητικής. Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής δηλώνει πως κάθε θετικός ακέραιος µπορεί να εκφρασθεί ως το γινόµενο πρώτων αριθµών κατά µοναδικό τρόπο (Wells, 2005, σελίδα 65). Στο θεώρηµα αυτό είχε φθάσει πολύ κοντά ο Ευκλείδης στο βιβλίο ΙΧ πρόταση 14. Επιπλέον ο Ευκλείδης κρίνει σκόπιµο (Basmakova, 2014, σελίδα 57) να διατυπώσει σαφώς το νόµο της µονοσήµαντης ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες. 17

18 Άννα Κώτσου Σε όλα τα παραπάνω βιβλία (Boyer, Merzbach, 1997, σελίδες ), ο κάθε αριθµός αντιπροσωπεύεται από ένα ευθύγραµµο τµήµα, έτσι ώστε ο Ευκλείδης αναφέρεται σε έναν αριθµό ως ΑΒ. Έτσι, ο Ευκλείδης δε χρησιµοποιεί φράσεις όπως «είναι πολλαπλάσιο του» ή «είναι παράγοντας του» διότι τις αντικαθιστά µε τις «µετριέται από» και «µετρά» αντίστοιχα. Για παράδειγµα, ένας αριθµός n, µετριέται από έναν άλλο αριθµό m αν υπάρχει ένας τρίτος αριθµός k, τέτοιος ώστε n = km. Να σηµειωθεί επιπλέον πως η ανακάλυψη των αρρήτων, έδειξε ότι δεν µπορεί κάθε ευθύγραµµο τµήµα να αντιστοιχεί σε κάποιον ακέραιο. Η αντίστροφη, όµως πρόταση ότι όλοι οι ακέραιοι µπορούν να παρασταθούν µε ευθύγραµµα τµήµατα προφανώς είναι αληθής. Το βιβλίο VII ξεκινά µε έναν κατάλογο, είκοσι δύο ορισµών, διακρίνοντας διάφορα είδη αριθµών περιττούς και άρτιους, πρώτους ή σύνθετους, επίπεδους και στέρεους (δηλαδή, αυτούς που είναι γινόµενο δύο ή τριών ακεραίων) και τέλος ορίζοντας έναν τέλειο αριθµό. Ακολούθως παραθέτει δύο προτάσεις που συνιστούν τον Ευκλείδειο αλγόριθµο για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη (µέτρου) δύο αριθµών. Το βιβλίο VII θα πρέπει να αποδοθεί στον Θεαίτητο (Basmakova, 2014, σελίδα 47). Το βιβλίο VIII ξεκινά µε τις προτάσεις για αριθµούς που έχουν σταθερό λόγο (γεωµετρική πρόοδος) και κατόπιν στρέφεται σε ορισµένες απλές ιδιότητες των τετραγώνων και των κύβων αριθµών, τελειώνοντας µε την πρόταση 27: «ο λόγος όµοιων στερεών αριθµών είναι ίσος µε το λόγο ενός κυβικού αριθµού προς ένα άλλο κυβικό αριθµό». Η πρόταση αυτή δεν λέει τίποτε άλλο από το ότι αν έχουµε ένα «στέρεο αριθµό» ma mb mc και έναν «όµοιο στερεό αριθµό» na nb nc τότε ο λόγος τους θα είναι m : n δηλαδή ένας κύβος προς έναν κύβο. Το βιβλίο VIII, όπως έδειξε 3 3 ο βαν ντερ Βάρντεν, θα πρέπει να αποδοθεί στον Αρχύτα (Basmakova, 2014, σελίδα 47). Το βιβλίο ΙΧ, το τελευταίο από τα τρία που αναφέρονται στη θεωρία των αριθµών, περιλαµβάνει πολλά θεωρήµατα που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Το ποιο φηµισµένο από αυτά είναι η πρόταση 20: «Οι πρώτοι αριθµοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε πολλαπλάσιο πρώτων αριθµών». Στις προτάσεις 21 έως 36 του βιβλίου ΙΧ υπάρχει (Boyer, Merzbach, 1997, σελίδα 131) µια ενότητα η οποία υποστηρίζει ότι κάποια χρονική στιγµή αυτά τα θεωρήµατα ήταν ένα αυτοδύναµο µαθηµατικό σύστηµα, ίσως το παλαιότερο στην ιστορία των µαθηµατικών, το οποίο εµφανίστηκε 18

19 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» κατά πάσα πιθανότητα στα µέσα ή στις αρχές του πέµπτου αιώνα π.χ.. Υποστηρίζεται (Boyer, Merzbach, 1997, σελίδα 131), ότι οι προτάσεις 1 έως 36 του βιβλίου ΙΧ προέρχονται από ένα πυθαγόρειο βιβλίο, από το οποίο τις δανείστηκε ο Ευκλείδης χωρίς ουσιαστικές αλλαγές. Αναλυτικότερα, ακολουθεί η παρουσίαση των βασικών αποτελεσµάτων επί των πρώτων αριθµών από το έργο «Στοιχεία» του Ευκλείδη (Φιλολογική Οµάδα Κάκτου, 2003), µε την προσθήκη πέντε αποδείξεων. Οι τρεις εξ αυτών είναι σε προτάσεις που χρησιµοποιούνται για δύο πολύ σηµαντικά αποτελέσµατα. Το ένα είναι η µονοσήµαντη ανάλυση σε γινόµενο πρώτων (Θ 14) και το δεύτερο η απειρία του πλήθους των πρώτων (Θ 20). Ζ Ὅροι Ορισµοί α Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. β Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος. γ Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα. δ Μέρη δέ, ὅταν μὴ καταμετρῇ. ε Πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος. ς Ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος. ζ Περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ [ὁ] μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ. 1. Μονάδα είναι αυτή σύµφωνα µε την οποία καθένα από τα όντα λέγεται ένα. 2. Αριθµός είναι το πλήθος που σύγκειται από µονάδες. 3. Μέρος αριθµού είναι αριθµός µικρότερος του µεγαλύτερου, όταν διαιρεί ακριβώς τον µεγαλύτερο. 4. Ενώ µέρη, όταν δεν τον διαιρεί ακριβώς. 5. Πολλαπλάσιος είναι ο µεγαλύτερος του µικρότερου, όταν διαιρείται από τον µικρότερο. 6. Άρτιος αριθµός είναι αυτός που διαιρείται σε δύο ίσα. 7. Περιττός αυτός που δεν διαιρείται σε δύο ίσα ή αυτός που διαφέρει κατά µονάδα από άρτιο αριθµό. 19

20 Άννα Κώτσου η Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. θ Ἀρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν. ι Περισσάκις ἄρτιός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ια Περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν 8. Άρτιες φορές άρτιος αριθµός είναι ο αριθµός που διαιρείται από άρτιο αριθµό κατά άρτιο αριθµό. 9. Άρτιες φορές περιττός είναι ο αριθµός που διαιρείται από άρτιο αριθµό κατά περιττό αριθµό. 10. Περιττές φορές άρτιος αριθµός είναι ο αριθµός που διαιρείται από περιττό αριθµό κατά άρτιο αριθµό. 11. Περιττές φορές περιττός αριθµός είναι ο αριθµός που διαιρείται από περιττό αριθµό κατά περιττό αριθµό. ἀριθμόν. ιβ Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος. ιγ Πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. ιδ Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος. ιε Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. 12. Πρώτος αριθµός είναι αυτός που διαιρείται µόνο από τη µονάδα. 13. Πρώτοι µεταξύ τους αριθµοί είναι αυτοί που κοινό διαιρέτη έχουν µόνο τη µονάδα. 14. Σύνθετος αριθµός είναι αυτός που διαιρείται από κάποιον αριθµό. 15. Σύνθετοι µεταξύ τους αριθµοί είναι αυτοί που έχουν κάποιον αριθµό κοινό διαιρέτη. Προτάσεις α. Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ Προτάσεις 1. Εάν δίνονται δύο άνισοι αριθµοί και ο µικρότερος ανταφαιρείται πάντα από τον µεγαλύτερο, εάν επίσης αυτός που µένει 20

21 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. κα. Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. κβ. Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. κγ. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ποτέ δεν διαιρεί ακριβώς τον προηγούµενό του, µέχρις ότου µείνει η µονάδα, οι αρχικοί αριθµοί θα είναι πρώτοι µεταξύ τους. 21. Οι πρώτοι µεταξύ τους αριθµοί είναι οι ελάχιστοι από τους αριθµούς µε τους οποίους έχουν τον ίδιο λόγο. 22. Οι µικρότεροι αριθµοί από αυτούς µε τους οποίους έχουν τον ίδιο λόγο είναι πρώτοι µεταξύ τους. 23. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ τους, ο αριθµός που διαιρεί έναν από αυτούς θα είναι πρώτος προς τον άλλο. πρῶτος ἔσται. κδ. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος 24. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι προς έναν αριθµό, και το γινόµενό τους θα είναι αριθµός πρώτος προς αυτόν. ἔσται. κε. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος 25. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ τους, το τετράγωνο του ενός εξ αυτών θα είναι πρώτο προς τον άλλο. ἔσται. κς. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. κζ. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς 26. Εάν δύο αριθµοί προς δύο αριθµούς είναι πρώτοι και οι δύο προς καθένα από τους δύο, τότε και τα γινόµενα που προκύπτουν από αυτούς θα είναι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους. 27. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ 21

22 Άννα Κώτσου ἀλλήλους ὦσιν, καὶ πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους τους και εάν καθένας πολλαπλασιαστεί µε τον εαυτό του και δώσει ένα γινόµενο, τα γινόµενά τους θα είναι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους, και εάν οι αρχικοί πολλαπλασιάσουν τα γινόµενα και δώσουν κάποιους αριθµούς, κι εκείνοι θα είναι πρώτοι µεταξύ τους [και αυτό συµβαίνει πάντα µε τους άκρους]. ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺς ἄκρους τοῦτο συμβαίνει]. κη. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους 28. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ τους, και το άθροισµά τους θα είναι αριθµός πρώτος προς καθένα τους και εάν το άθροισµά τους είναι αριθµός πρώτος προς έναν απ αυτούς, και οι αρχικοί αριθµοί θα είναι µεταξύ τους πρώτοι. ἔσονται. κθ. Ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, 29. Κάθε πρώτος αριθµός είναι πρώτος προς κάθε αριθµός τον οποίο δεν διαιρεί. πρῶτός ἐστιν. λ. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει. Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ λέγω, ὅτι ὁ Δ 30. Εάν δύο αριθµοί πολλαπλασιαστούν µεταξύ τους και δώσουν ένα γινόµενο και ένας πρώτος αριθµός διαιρεί το γινόµενό τους, θα διαιρεί και έναν από τους αρχικούς. Έστω ότι οι δύο αριθµοί Α και Β πολλαπλασιάστηκαν µεταξύ τους και έδωσαν τον Γ και έστω ότι ένας πρώτος αριθµός, ο, διαιρεί τον Γ λέω ότι ο 22

23 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ. Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει. διαιρεί και έναν από τους Α και Β. Έστω ότι δεν διαιρεί τον Α, ενώ ο είναι πρώτος, έπεται ότι οι Α και είναι πρώτοι µεταξύ τους. Έστω ότι σε όσα µέρη διαιρεί ο τον Γ τόσες µονάδες υπάρχουν στον Ε. Επειδή λοιπόν ο διαιρεί τον Γ στις µονάδες του Ε, έπεται ότι πολλαπλασιάζοντας ο τον Ε δίνει τον Γ. Αλλά τον Γ δίνει και ο Α πολλαπλασιάζοντας τον Β άρα το γινόµενο των και Ε ισούται µε το γινόµενο των Α και Β. Συνεπώς όπως έχει ο προς τον Α έχει και ο Β προς τον Ε. Αλλά οι και Α είναι πρώτοι και οι πρώτοι είναι ελάχιστοι και οι ελάχιστοι διαιρούν σε ίσα µέρη αυτούς µε τους οποίους έχουν τον ίδιο λόγο, ο µεγαλύτερος τον µεγαλύτερο και ο µικρότερος τον µικρότερο, δηλαδή ο ηγούµενος τον ηγούµενο και ο επόµενος τον επόµενο συνεπώς ο διαιρεί τον Β. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουµε και ότι εάν δεν διαιρεί τον Β, θα διαιρεί τον Α. Άρα ο διαιρεί έναν από τους Α και Β πράγµα που έπρεπε να αποδείξουµε. ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λα. Ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. Ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ 31. Κάθε σύνθετος αριθµός διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθµό. Έστω ο σύνθετος αριθµός Α λέω ότι ο Α διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθµό. 23

24 Άννα Κώτσου μετρεῖται. Ἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει. εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς. ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ τὸν Α Επειδή ο Α είναι σύνθετος, θα τον διαιρεί κάποιος αριθµός. Έστω ότι τον διαιρεί και είναι ο Β. Εάν µεν ο Β είναι πρώτος αριθµός, έχει επιτευχθεί το ζητούµενο. Εάν όµως είναι σύνθετος, θα τον διαιρεί κάποιος αριθµός. Έστω ότι τον διαιρεί και είναι ο Γ. Επειδή ο Γ διαιρεί τον Β και ο Β διαιρεί τον Α, έπεται ότι και ο Γ διαιρεί τον Α. Εάν ο Γ είναι πρώτος αριθµός, έχει επιτευχθεί το ζητούµενο. Εάν είναι σύνθετος, θα τον διαιρεί κάποιος αριθµός. Με αυτή τη συλλογιστική θα ληφθεί κάποιος πρώτος αριθµός που θα διαιρεί (τον Α). ιότι εάν δεν ληφθεί, τον αριθµό Α θα τον διαιρούν άπειροι αριθµοί και καθένας τους θα είναι µικρότερος από τον άλλο, πράγµα που είναι αδύνατον στους αριθµούς. Άρα θα ληφθεί κάποιος πρώτος αριθµός που θα διαιρεί τον προηγούµενό του και θα διαιρεί και τον Α. Άρα κάθε σύνθετος αριθµός διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθµό πράγµα που έπρεπε να αποδείξουµε. μετρήσει. Ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λβ. Ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ 32. Κάθε αριθµός είτε είναι πρώτος είτε διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθµό. μετρεῖται. λγ. Ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν 33. Εάν δίνονται οσοιδήποτε αριθµοί, να βρεθούν οι ελάχιστοι από αυτούς µε τους 24

25 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. λδ. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. λε. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπ' αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει. λς. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν οποίους έχουν τον ίδιο λόγο. 34. Εάν δίνονται δύο αριθµοί, να βρεθεί ο ελάχιστος αριθµός που διαιρούν. 35. Εάν δύο αριθµοί διαιρούν κάποιο αριθµό, θα τον διαιρεί και ο ελάχιστος αριθµός που διαιρείται από αυτούς. 36. Εάν δίνονται τρεις αριθµοί, να βρεθεί ο ελάχιστος αριθµός που διαιρούν. ἀριθμόν. Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον. μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν [τινα] ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος [τὸν Ε] μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Έστω ότι δίνονται οι τρεις αριθµοί Α, Β και Γ πρέπει να βρεθεί ο ελάχιστος αριθµός που διαιρούν. Λαµβάνουµε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β, έστω το. Ο Γ, τώρα, είτε διαιρεί τον είτε δεν τον διαιρεί. Έστω πρώτα ότι τον διαιρεί. Αλλά και οι Α και Β διαιρούν τον, άρα οι Α, Β και Γ διαιρούν τον. Λέω λοιπόν ότι είναι και ελάχιστος. Γιατί αν δεν είναι, οι Α, Β και Γ θα διαιρούν κάποιον αριθµό που θα είναι µικρότερος από τον. Έστω ότι διαιρούν τον Ε. Επειδή οι Α, Β και Γ διαιρούν τον Ε, έπεται ότι και οι Α και Β τον διαιρούν. Άρα και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β θα διαιρεί τον Ε. Αλλά το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β είναι ο συνεπώς ο θα διαιρεί τον Ε, ο µεγαλύτερος τον µικρότερο, πράγµα αδύνατον. Άρα οι Α, Β και Γ δεν θα αριθµό µικρότερο από τον, συνεπώς ο ελάχιστος αριθµός που διαιρούν οι Α, Β 25

26 Άννα Κώτσου Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν. Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ [τὸν Ε καὶ] οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν ὥστε καὶ ὁ και Γ είναι ο. Έστω, πάλι, ότι ο Γ δεν διαιρεί τον και ότι λαµβάνουµε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Γ και, τον Ε. Λέω, τώρα, ότι (ο Ε) είναι και ελάχιστος. Γιατί αν δεν είναι, οι Α, Β και Γ θα διαιρούν κάποιον αριθµό µικρότερο του Ε. Έστω ότι διαιρούν τον Ζ. Επειδή οι Α, Β και Γ διαιρούν τον Ζ, έπεται ότι τον διαιρούν και οι Α και Β άρα και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β θα διαιρεί τον Ζ. Αλλά το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β είναι ο άρα ο διαιρεί τον Ζ. Αλλά τον Ζ διαιρεί και ο Γ συνεπώς τον Ζ θα διαιρούν και οι και Γ ώστε και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των και Γ θα διαιρεί τον Ζ. Αλλά το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Γ και είναι ο Ε, άρα ο Ε διαιρεί τον Ζ, ο µεγαλύτερος τον µικρότερο, πράγµα που είναι αδύνατον. Άρα οι Α, Β και Γ δεν θα διαιρούν αριθµό µικρότερο του Ε. Συνεπώς ο Ε είναι ο ελάχιστος αριθµός που διαιρείται από τους Α, Β και Γ πράγµα που έπρεπε να αποδείξουµε. ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει. ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε 26

27 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Προτάσεις α. Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. Η Προτάσεις 1. Εάν υπάρχουν οσοιδήποτε αριθµοί σε συνεχή αναλογία και οι άκροι όροι είναι µεταξύ τους πρώτοι, είναι οι ελάχιστοι από αυτούς µε τους οποίους έχουν τον ίδιο λόγο. γ. Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. θ. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ 3. Εάν οσοιδήποτε αριθµοί σε συνεχή αναλογία είναι οι ελάχιστοι από αυτούς µε τους οποίους βρίσκονται στον ίδιο λόγο, οι άκροι όροι τους είναι πρώτοι µεταξύ τους. 9. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ τους και παρεµβάλλονται µεταξύ τους αριθµοί σε συνεχή αναλογία, όσοι αριθµοί σε συνεχή αναλογία παρεµβάλλονται µεταξύ τους τόσοι θα παρεµβάλλονται σε συνεχή αναλογία και µεταξύ καθενός από αυτούς και της µονάδας. ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. Προτάσεις ιβ. Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφ' Θ Προτάσεις 12. Εάν, αρχίζοντας από τη µονάδα, υπάρχουν οσοιδήποτε συνεχώς ανάλογοι αριθµοί, από όσους πρώτους αριθµούς 27

28 Άννα Κώτσου ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ διαιρείται ο τελευταίος από τους ίδιους θα διαιρείται και ο επόµενος µετά τη µονάδα. τὴν μονάδα μετρηθήσεται. ιγ. Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπ' οὐδενὸς [ἄλλου] μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον 13. Εάν, αρχίζοντας από τη µονάδα, υπάρχουν οσοιδήποτε συνεχώς ανάλογοι αριθµοί και ο µετά τη µονάδα είναι πρώτος, τότε ο µεγαλύτερος δεν θα διαιρείται από κανέναν άλλο, εκτός από τους αριθµούς που υπάρχουν στην αναλογία. ἀριθμοῖς. ιδ. Ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων. Ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ. 14. Εάν ένας αριθµός είναι ο ελάχιστος που διαιρείται από πρώτους αριθµούς, δεν θα διαιρείται από κανένα άλλον πρώτο εκτός από αυτούς που εξ αρχής τον διαιρούν. Έστω ότι ο Α είναι ο ελάχιστος αριθµός που διαιρείται από τους πρώτους αριθµούς Β, Γ και λέω ότι ο Α δεν θα διαιρείται από κανέναν άλλο πρώτο αριθµό πέραν των Β, Γ και. Α Ε Ζ Β Γ Α Ε Ζ Β Γ Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α Έστω ότι είναι δυνατόν να διαιρείται από τον πρώτο αριθµό Ε και ο Ε να µην ταυτίζεται µε κανέναν από τους Β, Γ και. Επειδή ο Ε διαιρεί τον Α, έστω ότι τον διαιρεί κατά τον Ζ άρα ο Ε πολλαπλασιάζοντας τον Ζ δίνει τον Α. Ο 28

29 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» πεποίηκεν. καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν. τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός. τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α ὅπερ ἀδύνατον. ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος. οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ιε. Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν. ις. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά. ιζ. Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ Α διαιρείται από τους πρώτους αριθµούς Β, Γ και. Εάν όµως δύο αριθµοί πολλαπλασιαζόµενοι µεταξύ τους δίνουν κάποιον αριθµό και εάν το γινόµενό τους διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθµό, τότε ο πρώτος αριθµός θα διαιρεί και έναν από τους αρχικούς αριθµούς (Ζ 30) συνεπώς οι Β, Γ, θα διαιρούν έναν από τους Ε, Ζ. εν θα διαιρούν όµως τον Ε, γιατί ο Ε είναι πρώτος και δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους Β, Γ,. Άρα θα διαιρούν τον Ζ που είναι µικρότερος από τον Α πράγµα αδύνατον, γιατί εξ υποθέσεως ο Α είναι ο ελάχιστος που διαιρείται από τους Β, Γ και. Άρα τον Α δεν τον διαιρεί πρώτος αριθµός πέραν των Β, Γ και πράγµα που έπρεπε να αποδείξουµε. 15. Εάν τρεις συνεχώς ανάλογοι αριθµοί είναι οι ελάχιστοι από αυτούς µε τους οποίους βρίσκονται στον ίδιο λόγο, προστιθέµενοι οι δύο οποιοιδήποτε από αυτούς είναι πρώτοι προς τον άλλο. 16. Εάν δύο αριθµοί είναι πρώτοι µεταξύ τους, τότε δεν θα έχει όπως ο πρώτος προς τον δεύτερο ο δεύτερος προς κάποιον άλλο. 17. Εάν υπάρχουν οσοιδήποτε αριθµοί σε συνεχή αναλογία και οι άκροι τους είναι πρώτοι µεταξύ τους, δεν θα έχει όπως ο 29

30 Άννα Κώτσου ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς πρώτος προς τον δεύτερο ο τελευταίος προς κάποιον άλλο. ἄλλον τινά. κ. Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ. Α Η Β Γ Ε { Ζ Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν καὶ ὁ Η ἄρα 20. Οι πρώτοι αριθµοί είναι περισσότεροι από κάθε πλήθος πρώτων αριθµών που έχει τεθεί εκ των προτέρων 11. Έστω ότι τίθενται οι πρώτοι αριθµοί Α, Β, Γ λέω ότι οι πρώτοι αριθµοί είναι περισσότεροι από τους Α, Β, Γ. Ας ληφθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α, Β και Γ (Ζ 36) και έστω ότι είναι ο Ε, και ας προστεθεί στον Ε η µονάδα Ζ. Ο ΕΖ λοιπόν είτε είναι πρώτος είτε δεν είναι. Έστω πρώτα ότι είναι πρώτος έπεται ότι οι πρώτοι αριθµοί Α, Β, Γ, και ΕΖ που βρήκαµε είναι περισσότεροι από τους Α, Β και Γ. Α Η Β Γ Ε { Ζ Αλλά έστω ότι ο ΕΖ δεν είναι πρώτος άρα διαιρείται από κάποιον πρώτο (Ζ 31) έστω ότι διαιρείται από τον πρώτο Η λέω ότι ο Η δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους Α, Β ή Γ. ιότι έστω ότι είναι δυνατόν να ταυτίζεται. Οι Α, Β και Γ διαιρούν τον Ε. Άρα και ο Η θα διαιρεί 11 Στο ερώτημα, από τρεις πρώτους βρίσκουμε τέσσερις, άρα λανθασμένο συμπέρασμα πως το πλήθος είναι άπειρο, «το πλήθος είναι πεπερασμένο»... η απάντηση είναι πως με τον ίδιο τρόπο οι τέσσερις γίνονται πέντε, έξι και ούτω καθεξής. Επομένως το πλήθος είναι άπειρο. 30

31 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η ὅπερ ἔδει τον Ε. Αλλά διαιρεί και τον ΕΖ συνεπώς ο Η που είναι αριθµός θα διαιρεί και την µονάδα που αποµένει, πράγµα άτοπο. Άρα ο Η δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους Α, Β ή Γ. Και είναι εξ υποθέσεως πρώτος. Άρα βρέθηκαν περισσότεροι πρώτοι αριθµοί από το πλήθος των Α, Β, Γ που έχει τεθεί εκ των προτέρων, οι Α, Β, Γ και Η πράγµα που έπρεπε να αποδείξουµε. δεῖξαι. λα. Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται. λς. Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται. 31. Εάν περιττός αριθµός είναι πρώτος προς κάποιον αριθµό, πρώτος θα είναι και προς τον διπλάσιό του. 36. Εάν αρχίζοντας από τη µονάδα ληφθούν οσοιδήποτε αριθµοί συνεχώς ανάλογοι µε λόγο ένα προς δύο, µέχρις ότου το άθροισµα όλων γίνει πρώτος αριθµός, και το άθροισµα αυτό πολλαπλασιάσει τον τελευταίο και δώσει κάποιον αριθµό, το γινόµενο αυτό θα είναι τέλειος αριθµός. 31

32 Άννα Κώτσου Α.3.3. Οι πρώτοι αριθµοί και το κόσκινο του Ερατοσθένη (3 ος αι. π.χ.) Από τα σηµαντικά προβλήµατα σχετιζόµενα µε τους πρώτους είναι και ο έλεγχος αν ένας αριθµός είναι πρώτος. Η παλαιότερη µέθοδος ελέγχου αν ένας ακέραιος n είναι πρώτος, ή της εύρεσης ενός παράγοντα αν ο n είναι σύνθετος, είναι µε δοκιµή. Το κόσκινο του Ερατοσθένη, επινοηµένο το 230 π.χ. για την εύρεση όλων των πρώτων µέχρι έναν δοσµένο ακέραιο, βασίζεται σε αυτή την ιδέα (Kleiner, 2010, σελίδα 34). Έστω το πρόβληµα της εύρεσης όλων των πρώτων µέχρι το 100. Πρώτα (Bunt, Jones, Bedient, 1981, σελίδα 223) καταγράφεται η ακολουθία όλων των ακεραίων από το 2 µέχρι το 100. Ο 2 είναι πρώτος, εποµένως σηµειώνεται και διαγράφονται όλα τα πολλαπλάσιά του. Ακολούθως σηµειώνεται ο 3 ο οποίος είναι ο επόµενος πρώτος (δε διεγράφη ως πολλαπλάσιο του 2) και διαγράφονται όλα τα πολλαπλάσιά του. Ο επόµενος αριθµός που σηµειώνεται ως πρώτος είναι ο 5 και ακολουθείται η ίδια διαδικασία, διαγράφονται δηλαδή όλα τα πολλαπλάσιά του. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν τελικά οι πρώτοι αριθµοί από το 2 µέχρι και το 100. Η πλήρης λίστα των αριθµών αυτών είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Ακολουθεί παρουσίαση του κόσκινου του Ερατοσθένη σύµφωνη µε την ανωτέρω περιγραφείσα διαδικασία

33 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Με κόκκινο χρώµα είναι σηµειωµένα όλα τα πολλαπλάσια του 2 που έχουν διαγραφεί. Με µπλε χρώµα είναι σηµειωµένα όλα τα πολλαπλάσια του 3 που έχουν διαγραφεί. Με πορτοκαλί χρώµα είναι σηµειωµένα όλα τα πολλαπλάσια του 5 που έχουν διαγραφεί. Με µοβ χρώµα είναι σηµειωµένα όλα τα πολλαπλάσια του 7 που έχουν διαγραφεί. Για τους υπόλοιπους πρώτους δεν υπήρχαν πολλαπλάσια να διαγραφούν ως τον ακέραιο 100. Υπάρχουν αριθµοί όπως ο 15 που είναι πολλαπλάσιο ταυτόγχρονα των 3 και 5, έχει σηµειωθεί µε το χρώµα του αριθµού που πρώτος οδήγησε στη διαγραφή του από το κόσκινο. 33

34 Άννα Κώτσου 34

35 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Α.4. Πρώτοι Αριθµοί: από το 16 ο αι. µ.χ. p Marin Mersenne ( µ.χ.): οι πρώτοι της µορφής M = 2 1 ( p πρώτος) καλούνται αριθµοί Mersenne (Kleiner, 2010, σελίδα 7), αφού µελετήθηκαν από τον Mersenne σε σηµεία του έργου του υπό τον τίτλο «Cogita physico mathematica» το 1644 µ.χ. στο Παρίσι (Oystein Ore, 1988, σελίδα 71). Στο έργο του αυτό διατύπωσε ποικίλες υποθέσεις σχετικά µε την εµφάνισή τους. p Ο τύπος M = 2 1 για µικρούς πρώτους εκθέτες δίνει πολλούς πρώτους του p Mersenne, καθώς όµως οι εκθέτες µεγαλώνουν, οι πρώτοι του Mersenne εµφανίζονται όλο και πιο σπάνια. Οι πρώτοι του Mersenne που ανακαλύφθηκαν πριν τη χρήση υπολογιστών, είναι οι εξής (Oystein Ore, 1988, σελίδες 72 73) (Ιστοσελίδα: Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)): M 31 M M 2 M 2 = 2 1= 3 Αρχαίοι Έ 3 M 3 = 2 1= 7 Αρχαίοι Έ 5 M 5 = 2 1= 31 Αρχαίοι Έ 7 M 7 = 2 1= 127 Αρχαίοι Έ = 2 1= Α ώ = = Catali = = Catali 31 M = 2 1= M M M M ν νυµος λληνες λληνες λληνες λληνες Euler 1772 = Pervouchine 1883 = Powers 1911 = Powers 1914 = Lucas Ο µεγαλύτερος γνωστός πρώτος του Mersenne είναι ο M = 2 1 µε πλήθος ψηφίων και ανακαλύφθηκε στις 7 Ιανουαρίου του 2016 µ.χ. από τον Curtis Cooper µε την συµµετοχή του στο πρόγραµµα GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) (Ιστοσελίδα: Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)). p 35

36 Άννα Κώτσου Pierre Fermat ( µ.χ.): οι µαθηµατικοί της εποχής του Fermat είχαν ένα έθιµο να προκαλούν ο ένας τον άλλο να λύσουν συγκεκριµένα προβλήµατα (Wells, 2005, σελίδα 90). Το 1640 µ.χ., ο Frenicle de Bessy προκάλεσε τον Fermat να βρει ένα τέλειο αριθµό 20 ψηφίων «ή τον επόµενο µετά από αυτόν». Αντιµετωπίζοντας αυτό το πρόβληµα, το οποίο ουσιαστικά αναφερόταν στους πρώτους του Mersenne, ο Fermat έκανε τρεις ανακαλύψεις: αν ο 2 n 1 είναι πρώτος, τότε και ο n είναι πρώτος επίσης αν ο p είναι µονός πρώτος, τότε ο 2 p διαιρεί το 2 p 2 αν ο p είναι πρώτος, οι πρώτοι παράγοντες του 2 p 1 είναι της µορφής 2kp+ 1, όπου ο k είναι θετικός ακέραιος. Αυτές ήταν πολύ σηµαντικές ανακαλύψεις. Η πρώτη τυπικά δείχνει πως αν ένας αριθµός συµπεριλαµβάνων κάποια δύναµη έχει µια ιδιότητα, τότε και ο εκθέτης έχει αυτή την ιδιότητα. Η τρίτη δείχνει πως µπορούµε να πούµε κάτι πολύ περιοριστικό για τους παράγοντες συγκεκριµένων αριθµών, που αυτοµάτως τους κάνει πολύ πιο εύκολους να παραγοντοποιηθούν. Η δεύτερη είναι η βάση για το Μικρό Θεώρηµα του Fermat. Το Μικρό Θεώρηµα του Fermat είναι ένα από τα σηµαντικότερα αποτελέσµατά του και βρήκε σηµαντικές εφαρµογές στην κρυπτογραφία του 20 ου αιώνα µ.χ. (Kleiner, 2010, σελίδα 7). Στο θεώρηµα αυτό διατυπώνεται η θέση πως για κάθε ακέραιο a και πρώτο p, ο αριθµός p a p εκφράζεται ως a a( mod p) a διαιρείται από τον πρώτο p, σε σηµερινούς όρους. Ένας ισοδύναµος, τρόπος έκφρασης του ανωτέρω είναι ότι ο p 1 a 1 διαιρείται µε τον πρώτο p, δεδοµένου ότι ο a δεν διαιρείται µε από τον p. Ο Fermat πιστεύεται (Kleiner, 2010, σελίδα 7) πως ενδιαφέρθηκε για αυτό το πρόβληµα µέσω του αποτελέσµατος του Ευκλείδη για τους τέλειους αριθµούς, το οποίο ανέδειξε το ερώτηµα για τους πρώτους της µορφής 2 n 1. Πρώτα ο Fermat έδειξε πως για να είναι πρώτος ο 2 n 1, ο n πρέπει να είναι πρώτος, και µετά µελέτησε τις συνθήκες ώστε ο 2 n 1 να έχει διαιρέτες. Αυτό τον οδήγησε στην ειδική περίπτωση όπου a = 2 του Μικρού Θεωρήµατός του. Έχοντας ερευνήσει πότε ο 2 n 1 είναι πρώτος, ο Fermat θεώρησε την ίδια ερώτηση και για αριθµούς της µορφής 2 n + 1. Έδειξε ότι για να είναι ο 2 n + 1 πρώτος, ο 36

37 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» n πρέπει να είναι δύναµη του 2. Οι αριθµοί της µορφής k καλούνται αριθµοί του Fermat και σηµειώνονται ως F k. Για k = 0,1, 2,3,4 είναι όλοι πρώτοι αριθµοί και καλούνται οι πρώτοι του Fermat (Kleiner, 2010, σελίδα 10). Οι πρώτοι έξι από αυτούς είναι: k F = k Ο Fermat ήξερε πως οι πέντε πρώτοι αριθµοί είναι όλοι πρώτοι, και υπέθεσε πως είναι όλοι (Wells, 2005, σελίδα 94). 37

38 Άννα Κώτσου Leonhard Euler ( µ.χ.): η γεφύρωση της θεωρίας αριθµών µε την ανάλυση ξεκίνησε µε τον Euler τον 18 ο αι. µ.χ.. Αυτή η εργασία του Euler είχε σαν αποτέλεσµα τη γένεση τον 19 ο αι. µ.χ. του πεδίου της αναλυτικής θεωρίας αριθµών (Kleiner, 2010, σελίδα 23). Το ευρύτερο πλαίσιο για την εισαγωγή αναλυτικών µεθόδων στη θεωρία αριθµών ήταν το πρόβληµα της κατανοµής των πρώτων µέσα στους ακέραιους (Kleiner, 2010, σελίδα 24). Ο Ευκλείδης είχε δείξει πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι, αλλά το ερώτηµα ήταν αν ακολουθούν ένα διακριτό µοτίβο. Αριθµητικές αποδείξεις έδειξαν πως οι πρώτοι είναι διάσπαρτοι ανοµοιογενώς µέσα στους ακεραίους. Πιο συγκεκριµένα, γίνονται σπανιότεροι αλλά όχι οµοιόµορφα, καθώς οι ακέραιοι µεγαλώνουν σε µέγεθος. Από την άλλη, αξιοσηµείωτα στοιχεία συνηγορούν πως υπάρχουν άπειρα ζεύγη πρώτων p, q τόσο κοντά όσο µπορεί να γίνει, όπως q p = 2, και καλούνται δίδυµοι πρώτοι. Αυτή η φαινοµενική αντικανονικότητα στην κατανοµή των πρώτων παρακίνησε τον Euler το 18 ο αιώνα να παρατηρήσει ότι (Kleiner, 2010, σελίδα 24): «Οι Μαθηµατικοί έχουν προσπαθήσει ανώφελα ως σήµερα να ανακαλύψουν κάποια τάξη στην εµφάνιση των πρώτων αριθµών, και έχουµε λόγους να πιστεύουµε ότι είναι ένα µυστήριο στο οποίο το ανθρώπινο µυαλό ποτέ δε θα διεισδύσει». Το µικρό θεώρηµα του Fermat αποδείχθηκε το 1736 από τον Euler και αποτέλεσε τη βάση πολλών θεωρηµάτων της Θεωρίας Αριθµών, ενώ η γενίκευσή του από τον ίδιο, ήταν ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήµατά του 12. Ο Euler φαίνεται να ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε τη σχέση Θεωρίας Αριθµών και Ανάλυσης. Τέλος το 1772 ο Euler ανακάλυψε ότι η φόρµουλα x 2 x+ 41 είναι πρώτος αριθµός για x= 1,...,40 και για πολλές τιµές έπειτα (Wells, 2005, σελίδα 77). 12 Σελίδα 67 της παρούσης εργασίας, Θεώρημα 2. 38

39 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Adrien Marie Legendre ( µ.χ.): ο Legendre παρατήρησε το 1798 ότι η δευτεροβάθµια x 2 + x+ 41 είναι πρώτος αριθµός για x= 0,1,...,39 και αυτό είναι γνωστό σήµερα ως το πολυώνυµο του Euler (Wells, 2005, σελίδα 77). Παρατήρησε (Wells, 2005, σελίδα 77) επίσης, πως ο 2 2x + 29 είναι πρώτος για x = 0,1,..., 28. Γενικά, το πολυώνυµο 2 2x + p, µε p = 3,5,11, 29 δίνει πρώτες τιµές για x = 0,1,..., p 1. Ασχολήθηκε ακόµη µε το πρόβληµα της εύρεσης ενός κανόνα, ο οποίος θα εξέφραζε τον αριθµό που αντιστοιχεί στο πλήθος των πρώτων, των µικρότερων ενός δεδοµένου αριθµού έστω n, ως µία συνάρτηση του n, η οποία συνήθως γράφεται ως π ( n). Στη µελέτη του (Boyer, Merzbach, 1997, σελίδες ) κατά τα έτη , ο Legendre υπέθεσε, βασιζόµενος σε ένα µεγάλο αριθµό πρώτων, ότι n π ( n), n. Η υπόθεση αυτή βρίσκεται πολύ κοντά στην αλήθεια. ln n 1, Επίσης έδειξε ότι δεν υπάρχει ρητή αλγεβρική συνάρτηση που να δίνει πάντοτε πρώτους, αλλά παρατήρησε ότι η από 1 έως 16 και η n 2 + n+ 17 δίνει πρώτους για όλες τις τιµές του n 2 2n + 29 δίνει πρώτους για n = 1 έως n=

40 Άννα Κώτσου Carl Friedrich Gauss ( µ.χ.): το 1792 µ.χ. (Kleiner, 2010, σελίδα 320), σε ηλικία µόλις 15 ετών, ο Gauss πρότεινε πως το πλήθος των πρώτων αριθµών µέχρι ένα δοσµένο αριθµό x θα δίνεται από τη συνάρτηση ( x) αργότερα τελειοποίησε την εκτίµησή του σε ( ) ( ) 2 ln x π. Ο Gauss ln x x dt π x Li x =. Το αποτέλεσµα t αυτό το αναφέρει πρώτη φορά σε ένα γράµµα του προς τον Encke. Η εκτίµηση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρηµα των πρώτων αριθµών και αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τους Hadamard (1986) και de la Vallee Poussin (1986) (Wolfram Math World). Στρογγυλοποιώντας την εκτίµηση του Gauss στον κοντινότερο ακέραιο παρατηρείται πως (Gowers, 2008, σελίδα 361): Πλήθος των πρώτων µέχρι ένα συγκεκριµένο αριθµό x, και η υπερεκτίµηση από την πρόταση του Gauss x π ( x) = #{ primes x} Υπερεκτίµηση: x dt π 2 ln t ( x) 40

41 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Georg Friedrich Bernard Riemann ( µ.χ.): το 1859 µ.χ. ο Riemann δηµοσίευσε την εργασία του υπό τον τίτλο «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse» (Riemann, 1859, Wilkins, 1998, σελίδα 1). Στην εργασία αυτή ο Riemann εισάγει µία συνάρτηση ( s) ζ = όµοια µε s s s τη συνάρτηση ζήτα του Euler. Απέδειξε πως υπήρχαν πολλές συσχετίσεις µεταξύ της συνάρτησής του και της κατανοµής των πρώτων αριθµών. Ποιο συγκεκριµένα απέδειξε πως η συνάρτηση π ( x) σχετίζεται µε τα σηµεία στα οποία ζ ( s) = = 0, και διατύπωσε την εικασία που φέρει το όνοµά του, ότι s s s όλες οι λύσεις της εξίσωσης βρίσκονται πάνω σε µία κατακόρυφη ευθεία γραµµή. Η υπόθεση αυτή έχει ελεγχθεί και αποδειχθεί αληθής, µε τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών, για τις πρώτες λύσεις της. Μία απόδειξη της καθολικής ισχύος της θα διαφώτιζε πολλά σηµεία σχετικά µε την κατανοµή των πρώτων αριθµών. 41

42 Άννα Κώτσου 42

43 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Β Μέρος 43

44 Άννα Κώτσου 44

45 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Β.1. Εισαγωγή Η κρυπτογραφία είναι η επιστήµη της απόκρυψης του νοήµατος ή του περιεχοµένου των επικοινωνιών (Gowers, 2008, σελίδα 351). Είναι ένας αποτελεσµατικός τρόπος προστασίας ευαίσθητων πληροφοριών που αποθηκεύονται ή µεταδίδονται διαµέσου τηλεπικοινωνιακών διαύλων. Ο σκοπός είναι όταν κάποιος, µη εγκεκριµένος από τους επικοινωνούντες, βλέπει ένα µήνυµα µόνο στην κρυπτογραφηµένη του µορφή, να µην είναι σε θέση να κατανοήσει το νόηµα ή να εξάγει χρήσιµες πληροφορίες από αυτό που βλέπει. Από την άλλη, ο πραγµατικός αποδέκτης θα πρέπει να είναι σε θέση να κάνει αποκρυπτογράφηση του πραγµατικού νοήµατος. Παρότι ο υπέρτατος στόχος της κρυπτογραφίας, και οι µηχανισµοί που την δηµιουργούν, είναι η απόκρυψη πληροφοριών από µη εξουσιοδοτηµένους, οι περισσότεροι αλγόριθµοι µπορούν να «σπάσουν» και οι πληροφορίες να αποκαλυφθούν αν ο «επιτιθέµενος» έχει αρκετό χρόνο, επιθυµία και πηγές. Έτσι ένας ρεαλιστικότερος στόχος της κρυπτογραφίας είναι να κάνει την απόσπαση των πληροφοριών αρκετά εργοβόρα (Kuldeep, Richa, 2014, σελίδα 61). ύο είναι οι βασικοί τύποι κρυπτογραφίας (Languasco, Perelli, 2003, σελίδες 5 6) που υπάρχουν και που θα αναλυθούν ιστορικά σε αυτό το µέρος της εργασίας: Μυστικό κλειδί: η κλασική µέθοδος, η οποία είναι σε χρήση από την αρχαία Ρώµη. Είναι χρήσιµη µόνο όταν το πλήθος των χρηστών είναι µικρό, αφού η ορθή χρήση της απαιτεί κάθε χρήστης να συµφωνεί και να ανταλλάσει το µυστικό κλειδί µε κάθε άλλο πρωτύτερο χρήστη. ηµόσιο κλειδί: η µοντέρνα µέθοδος. Επιτρέπει την ασφαλή επικοινωνία ακόµη και όταν ο αριθµός των χρηστών είναι µεγάλος, αφού δεν απαιτεί µία εκ των προτέρων ανταλλαγή των µυστικών κλειδιών. Είχε αρχικά προταθεί από τους Diffie και Hellman το Στο µεγαλύτερο µέρος της ιστορίας, η κρυπτογραφία ήταν µία τέχνη που ασκούνταν σοβαρά µόνο από ελάχιστους, όπως οι κυβερνήσεις για το στρατό και οι διπλωµατικές επικοινωνίες. Αυτό έγκειται στο γεγονός, πως οι συνέπειες της άνευ αδείας έκθεσης πληροφοριών είναι επιζήµια για αυτούς, ώστε να αιτιολογεί την δαπάνη και την απουσία «άνεσης» που φέρουν τα κρυπτογραφηµένα µηνύµατα. Η ανάγκη της κρυπτογραφίας διευρύνθηκε καθολικά µε την «επανάσταση των πληροφοριών». Τα 45

46 Άννα Κώτσου µαθηµατικά συνέβαλαν στην επίλυση του προβλήµατος αυτού, παρέχοντας θεωρητικές και αλγοριθµικές βελτιώσεις. Παρείχαν επίσης εντελώς νέες προοπτικές, όπως οι «ψηφιακές υπογραφές». Στο Β Μέρος της εργασίας παρουσιάζεται η ιστορία της έννοιας της κρυπτογραφίας. Ο διαχωρισµός της παρουσίασης αυτής βασίζεται στη χρήση ή όχι των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Σχηµατικά έχει ως εξής: Κρυπτογραφία Κλασική Περίοδος Η Περίοδος των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 46

47 «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» Β.2. Ιστορία της Κρυπτογραφίας Κλασική Περίοδος (Cohen, 1990, 1995, σελίδες 1 7) Η κρυπτογραφία είναι ένα από τα πιο παλιά πεδία τεχνικών µελετών για τα οποία µπορούν να βρεθούν καταγραφές που πηγαίνουν πίσω το λιγότερο 4000 έτη. Η κρυπτογραφία πιθανώς ξεκίνησε περίπου το 2000 π.χ. στην Αίγυπτο, όπου τα ιερογλυφικά χρησιµοποιούνταν για να διακοσµούν τα ταφικά µνηµεία των κυβερνώντων και των βασιλέων. Αυτά τα ιερογλυφικά έλεγαν την ιστορία της ζωής του βασιλιά και διεκήρυτταν τις σπουδαίες πράξεις της ζωής του. Ήταν σκόπιµα κρυπτογραφικά, αλλά όχι απαραίτητα µε την πρόθεση να αποκρύψουν το κείµενο. Μάλλον, ήταν για να δείχνουν το κείµενο πιο ηγεµονικό και σηµαντικό. Όσο περνούσε ο καιρός αυτές οι γραφές γίνονταν όλο και πιο σύνθετες, και τελικά οι άνθρωποι έχασαν το ενδιαφέρον τους σχετικά µε την αποκρυπτογράφησή τους. Η πρακτική αυτή σύντοµα έσβησε. Οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιµοποιούσαν την ιδεογραφική φύση της γλώσσας τους για να αποκρύπτουν το νόηµα των λέξεων. Τα µηνύµατα συχνά µετατρέπονταν σε ιδεογραφή για ιδιωτικότητα, αλλά δεν υπάρχουν αναφορές σχετικές µε στρατιωτική χρήση. Στην Ινδία η µυστική γραφή ήταν πιο ανεπτυγµένη και η κυβέρνηση χρησιµοποιούσε µυστικούς κώδικες για την επικοινωνία µε ένα δίκτυο κατασκόπων διάσπαρτους στη χώρα. Τα πρώιµα ινδικά κρυπτογραφικά συστήµατα συνίσταντο κυρίως από απλές αλφαβητικές αντικαταστάσεις συχνά βασιζόµενες στα φωνήεντα. Κάτι ανάλογο µε το παράδειγµα «red carpet edray arpetcay» όπου το πρώτο γράµµα έχει µετατεθεί στο τέλος ακολουθούµενο από τον ήχο «ay». Η κρυπτογραφική ιστορία της Μεσοποταµίας ήταν παρόµοια µε αυτή της Αιγύπτου, σε αυτήν η σφηνοειδής γραφή χρησιµοποιούνταν για την κρυπτογράφηση κειµένων. Αυτή η τεχνική ήταν επίσης γνωστή στη Βαβυλώνα και στην Ασσυρία. Στην Βίβλο, µία Εβραϊκή µέθοδος κρυπτογραφίας χρησιµοποιείται συχνά. Σε αυτή τη µέθοδο, το τελευταίο γράµµα του αλφαβήτου, αντικαθίσταται από το πρώτο και αντίστροφα. Αυτό καλείται «atbash». 47

48 Άννα Κώτσου Για παράδειγµα: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ HELLO SVOOL ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Στην Ιλιάδα του Οµήρου, η κρυπτογραφία χρησιµοποιήθηκε όταν ο Βελλεροφόντης εστάλη στον βασιλιά, µε ένα µυστικό πίνακα που έλεγε στο βασιλιά να τον θανατώσει. Ο βασιλιάς προσπάθησε να τον σκοτώσει βάζοντάς τον να παλέψει µε διάφορα µυθικά τέρατα, αλλά εκείνος νίκησε κάθε µάχη. Οι Σπαρτιάτες τον 5 ο π.χ. αιώνα χρησιµοποιούσαν ένα σύστηµα το οποίο αποτελούνταν από ένα κοµµάτι πάπυρου τυλιγµένο γύρω από µία ράβδο. Τα µηνύµατα γράφονταν κατά µήκος της ράβδου και µετά ο πάπυρος ξετυλιγόταν. Για να διαβαστεί το µήνυµα, θα έπρεπε ο πάπυρος να τυλιχτεί σε µία ακριβώς ίδιων διαστάσεων ράβδο. Μία ακόµη Ελληνική µέθοδος είχε αναπτυχθεί από τον Πολύβιο. Τα γράµµατα του αλφαβήτου τοποθετούνταν σε ένα 5x5 τετράγωνο, έτσι σε κάθε γράµµα θα αντιστοιχούσε ένα ζεύγος αριθµών. Αυτά τα ζεύγη ήταν εύκολο να παρασταθούν από δαυλούς ή σήµατα των χεριών. Η αποκρυπτογράφηση συνίστατο από την αντιστοίχηση αυτών των ψηφιών µε τους αρχικούς αντίστοιχους χαρακτήρες Α Β Γ Ε Ζ Η Θ Ι Κ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Αυτό το σύστηµα είναι το πρώτο που µείωνε το σύνολο των συµβόλων και θα µπορούσε να θεωρηθεί ως πρόδροµος του µοντέρνου δυαδικού συστήµατος αναπαράστασης χαρακτήρων. Ο Ιούλιος Καίσαρας χρησιµοποιούσε ένα σύστηµα κρυπτογραφίας το οποίο άλλαζε κάθε γράµµα κατά δύο θέσεις πιο µπροστά στο αλφάβητο. Η γενική υπόθεση σε αυτό το σύστηµα κρυπτογραφίας είναι η «monoalphabetic substitution cipher» όπου 48