Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).

Transcript

1

2 Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας έχεικέρας ο συμπέρασμα: έχει Κέρας 6 έχεικέρας Μαγικός) Μαγικός ο συμπέρασμα : Μαγικός Όσον αφορά στο αν είναι μυθικός δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ούτε το ότι είναι ούτε το ότι δεν είναι μυθικός. Αυτο γιατί ΚΒ={1( Μυθικός Αθάνατος), 2(Μυθικός Αθάνατος), 3(Μυθικός Θηλαστικό), 4( Αθάνατος έχεικέρας), 5( Θηλαστικό έχεικέρας), 6( έχεικέρας Μαγικός) } 1 Μυθικός Αθάνατος 2 Μυθικός Αθάνατος Αν θεωρήσω το Μυθικός = Τ, τότε το όχι Μυθικός θα είναι F. Τότε για να είναι Τ η 1( γιατί ότι έχει η ΚΒ είναι Τ), θα πρέπει το Αθάνατος να είναι Τ. Αν πάμε στη 2, τότε το Αθάνατος που είπαμε πριν θα είναι Τ, συνεπώς το Αθάνατος θα είναι F, άρα το Μυθικός θα είναι Τ. Αν πάλι θεωρήσω το Μυθικός = F, τότε το Αθάνατος θα είναι F, το Αθάνατος θα είναι Τ και το Μυθικός θα είναι F. Επιπλέον, αν το Μυθικός = Τ, τότε μεκέρας=τ, Μαγικός =Τ, Αθάνατος=Τ και Θηλαστικό= F. Αν πάλι, το Μυθικός = F, τότε μεκέρας=τ, Μαγικός =Τ, Αθάνατος=Τ και Θηλαστικό= Τ. Β. Αποδείξτε τους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. α είναι έγκυρη αν και μόνο αν Αληθές =α 2. Για κάθε α, Ψευδές = α 3. α = β αν και μόνο αν η πρόταση (α=>β) είναι έγκυρη 4. α = β αν και μόνο αν (α & ~β) είναι ικανοποιήσιμη Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης). 1. α είναι έγκυρη αν και μόνο αν Αληθές =α Αν α είναι έγκυρη, τότε είναι αληθής σε κάθε μοντέλο. Άρα είναι αληθής για όλα τα μοντέλα του Αληθές. 2

3 2. Για κάθε α, Ψευδές = α Το Ψευδές δεν ισχύει σε κανένα μοντέλο. Άρα το α ισχύει σε κάθε μοντέλο που ισχύει το Ψευδές. 3. α = β αν και μόνο αν η πρόταση (α=>β) είναι έγκυρη Ισοδυναμούν στον ισχυρισμό ότι δεν υπάρχει κανένα μοντέλο στο οποίο το α είναι αληθές και το β είναι ψευδές, δηλαδή κανένα μοντέλο στο οποίο η α=>β είναι ψευδής. 4. α = β αν και μόνο αν (α & ~β) είναι ικανοποιήσιμη Στο μάθημα είπατε ότι μπορούμε κατευθείαν να αποδείξουμε ότι α = β αν και μόνο αν (α & ~β) ΔΕΝ είναι ικανοποιήσιμη. Το β δε γίνεται να είναι και β=τ και β=τ παράλληλα. Ισοδυναμούν στο ότι α και β έχουν την ίδια αληθή τιμή σε κάθε μοντέλο. Δ. Μετατρέψτε τις ακόλουθες προτάσεις σε συζευκτική κανονική μορφή σ1: Α <=> (Β Ε) σ2: Ε => Δ σ3: Ψ & Φ => ~Β σ4: Ε => Β σ5: Β => Φ σ6: Β => Ψ σ1: Α <=> (Β Ε) Α (Β Ε) σ2: Ε => Δ σ3: Ψ &Φ => ~Β σ4: Ε => Β σ5: Β => Φ σ6: Β => Ψ Σ (Α=>(Β Ε)) ((Β Ε)=>Α) Ε Δ (Ψ Φ)=> Β Ε Β Β Φ Β Ψ ( Α (Β Ε)) ( (Β Ε) Α) ( (Ψ Φ)) Β Α ( Α (Β Ε)) (( Β Ε) Α) ( Ψ Φ) Β Ε ( Α (Β Ε)) ((Α Β) (Α Ε)) Ψ Φ Β ( Α Β Ε) (Α Β) (Α Ε) Τ ( Α Β Ε),(Α Β), (Α Ε) Ε Δ Ψ Φ Β Ε Β Β Φ Β Ψ 3

4 Γ. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα της ανάλυσης για να δείξετε ότι η πρόταση (~Α & ~Β) είναι λογικό συμπέρασμα των προτάσεων της παρακάτω άσκησης. ΚΒ={( Α Β Ε), (Α Β), (Α Ε), ( Ε Δ), ( Ψ Φ Β), ( Ε Β), ( Β Φ),( Β Ψ)} Φ= Α Β Φ = ( ( Α Β)), το οποίο ύστερα από ΣΑΕΤ γίνεται Α Β ΚΒ ={1( Α Β Ε), 2(Α Β), 3(Α Ε), 4( Ε Δ), 5( Ψ Φ Β), 6( Ε Β), 7( Β Φ),8( Β Ψ), 9(Α Β)} Κανόνας Ανάλυσης 1 Α Β Ε 5 Ψ Φ Β 11 Β 9 Α Β 8 Β Ψ 13 Β Β Ε 12 Φ Β Ø 6 Ε Β 7 Β Φ Β 13 Β Από 11 και 13 καταλήγω σε άτοπο. Άρα το Φ δεν είναι λογικό συμπέρασμα των προτάσεων της Δ. Που σημαίνει ότι το Φ είναι παντού Τ, δηλαδή το φ είναι λογικό συμπέρασμα των προτάσεων της Δ. Ε. Δείξτε την εφαρμογή της DPLL στη σύζευξη των παραπάνω προτάσεων Ο DPLL αλγόριθμος λειτουργεί ως εξής 1. ορίζω τις προτάσεις με σύζευξη ανάμεσά τους ( Α Β Ε) (Α Β) (Α Ε) ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Ε Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) 2. Επιλέγω ένα σύμβολο και το ορίζω True ή False Θα επιλέξω το πρώτο σύμβολο, το Α και θα το θέσω ως True, A=True 3. Όσες παρενθέσεις περιέχουν το Α (όχι το Α), θα διαγραφούν, οπότε μένουν οι εξής 4. ( Α Β Ε) ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Ε Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) Το γράφω πιο όμορφα ( Α Β Ε) ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Ε Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) 5. Τώρα θα διαγράψω το Α από τις παρενθέσεις που το περιέχουν ( Β Ε) ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Ε Β) ( Β Φ) ( Β Ψ). το γράφω πιο όμορφα (Β Ε) ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Ε Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) 6. Επιλέγω άλλο σύμβολο. Tώρα θα επιλέξω το Β=True. Σβήνω τις παρενθέσεις που έχουν Β. ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) πιο όμορφα, θα γίνει ( Ε Δ) ( Ψ Φ Β) ( Β Φ) ( Β Ψ) 7. Διαγράφω το Β ( Ε Δ) ( Ψ Φ) (Φ) (Ψ) 8. Επιλέγω Ψ=True ( Ε Δ) ( Ψ Φ) (Φ) 9. Διαγράφω το Ψ ( Ε Δ) ( Φ) (Φ) 4

5 10. Επιλέγω Φ=True ( Ε Δ) ( Φ) 11. Διαγράφω το Φ ( Ε Δ) 12. Επιλέγω Ε=True ( Ε Δ) Δεν έχω πρόταση με Ε 13. Διαγράφω το Ε 14. (Δ) Άρα Δ= True ΣΤ. Αυτή η άσκηση εξετάζει τη σχέση μεταξύ συνεπαγωγών και clauses (διαζεύξεις λεκτικών). Δείξτε ότι η πρόταση (~α 1 ~α 2 ~α 3...~α μ β ) είναι λογικά ισοδύναμη με την πρόταση συνεπαγωγής (α 1 & α 2 & α 3 &...α μ )=>β. (α 1 α 2 α 3... α μ )=>β Από απαλοιφή συνεπαγωγής γίνεται (α 1 α 2 α 3... α μ ) β Από De Morgan θα γίνει ( α 1 α 2 α 3... α μ ) β Δείξτε ότι κάθε clause μπορεί να γραφεί στη μορφή (α 1 & α 2 & α 3 &...α μ )=>(β 1 β 2 β 3...β κ ). Μια βάση γνώσης από τέτοιες προτάσεις είναι σε μορφή Kowalski. Μια διαζευκτική πρόταση μπορεί να έχει θετικά και αρνητικά λεκτικά. Έστω τα αρνητικά λεκτικά είναι της μορφής ( α 1, α 2, α 3,..., α μ ) και τα θετικά είναι τα (β 1,β 2,...,β κ ), όπου α,β σύμβολα. Τότε η διαζευκτική πρόταση μπορεί να γραφτεί ως εξής: α 1 α 2 α 3... α μ β 1 β 2... β κ Βάσει της σχέσης που αποδείξαμε στο α ερώτημα, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως α 1 α 2 α 3... α μ β 1 β 2... β κ (α 1 α 2 α 3... α μ )=>( β 1 β 2... β κ ) Διατυπώστε τον κανόνα της ανάλυσης για προτάσεις σε μορφή Kowalski. p 1.p j p n1 => r 1.r n2 s 1. s n3 => q 1 q k.q n p 1.p j-1 p j+1 p n1 s 1. s n3 => r 1.r n2 q 1 q k-1 q k +1...q n4 θεωρώ ότι p j = q k ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΗΤΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΒΟΥΡΟΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ, ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ, STUART RUSSEL-PETER NORVIG, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ, ΔΕΥΤΕΡΗ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΙΝΤΕΡΝΕΤ 5