ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες 1. ((π σ) (σ ρ) ρ) π ταυτολογία 2. (σ π) (ρ π) σ (ρ π) μη-ικανοποιήσιμη 3. (επιτυχία βροχή) (ήλιος επιτυχία) αποτυχία βροχή ικανοποιήσιμη 4. (γνώση δύναμη) (δύναμη διαφθορά) γνώση ικανοποιήσιμη 5. (rich happy) rich & unhappy ικανοποιήσιμη 6. (careful happy) (happy excited) (excited careful) ικανοποιήσιμη 2. Μετάφραση Έστω η παρακάτω διαφήμιση για ένα περιοδικό τέννις: «Αν δεν παίζω τέννις, παρακολουθώ τέννις. Και αν δεν παρακολουθώ τέννις, διαβάζω τέννις». Υποθέστε ότι κάποιος δεν μπορεί να κάνει δύο πράγματα ταυτόχρονα. Τι κάνει ο ομιλητής? (είναι επιτυχημένη η διαφήμιση?) Χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες προτασιακές σταθερές για να μετατρέψετε τις προτάσεις σε προτασιακή λογική και αποτιμήστε τη σύζευξη των δύο προτάσεων της διαφήμισης. Π: παίζω τέννις Β: παρακολουθώ τέννις Δ: διαβάζω σχετικά με τέννις Λύση Αν δεν παίζω τένις, παρακολουθώ τένις: Π Β Αν δεν παρακολουθώ τένις, διαβάζω τένις: Β Δ Σύζευξη των δύο παραπάνω προτάσεων: ( Π Β) ( Β Δ) (α) Υπάρχει επίσης η υπόθεση όι κάποιος δεν μπορεί να κάνει δύο πράγματα ταυτόχρονα: [Π Δ Β)] [Δ Π Β)] ^ [Β Π Δ)] (β) Αν πάρουμε τη σύζευξη Σ των (α) και (β) παραπάνω, και αποτιμήσουμε την έκφραση, τότε Π Β Δ Σ T T T F T T F F T F T F T F F F F T T F F T F T F F T F F F F F Παρατηρούμε ότι η μοναδική περίπτωση που η έκφραση της διαφήμισης ισχύει είναι όταν κάποιος παρακολουθεί τέννις : Άρα η διαφήμιση, ως διαφήμιση περιοδικού,δεν είναι καλή.

2 3. Απόδειξη με αξιωματικά σχήματα Δεδομένων των (p q) (q r), (q r), και (p q), αποδείξτε το p (χρησιμοποιήστε μόνο τα σχήματα αξιωμάτων και τον Modus Ponens). Λύση 1η. 1. (p q) (q r) υπόθεση 2. (q r) υπόθεση 3. (p q) υπόθεση 4. (q r) MP 1,3 5. (p q) (p q) p CR (στο 3) 6. (p q) p MP 3,5 7. (q r) ((q r) q) CR (στο 2) 8. (q r) q MP 2,7 9. q MP 4,8 10. q (p q) II (στο 9) 11. (p q) MP 9, p MP 6,11 Λύση 2 η (είναι από φυλλάδιο όπου ο φοιτητής/τρια παραθέτει και το σκεπτικό) (1) (p q) (q r) (2) q r (3) p q Εφαρμόζω το προφανές μεταξύ (1),(3) Modus Ponens: (4) q r MP (1), (3) Θέλω να εμφανίσω κάπου το ζητούμενο μου p και έτσι εφαρμόζω CR στο (3): (5) (p q) ((p q) p) CR (3) (6) (p q) p MP (3), (5) Έχω βγάλει ως συμπέρασμα στην (6) αυτό που θέλω να αποδείξω. Άρα αρκεί να εμφανίσω με κάποιο τρόπο το p q ώστε να εφαρμόσω Modus Ponens. Όμως παρατηρώ ότι δεν έχω πουθενά το q άρα εφαρμόζω CR στο (2): (7) (q r) ((q r) q) CR (2) (8) ((q r) q MP (2), (7) (9) q MP (4), (8) Θέλω το q να το εμφανίσω σαν συμπέρασμα. Τώρα αφού έχω δείξει ότι ισχύει μπαίνει στις υποθέσεις μου. Και είναι αληθείς πρόταση. Άρα εφαρμόζω II στο (9) με ψ = p και έχω: (10) q (p q) II (9) (11) p q MP (9), (10)

3 Άρα εμφανίσαμε το p q και έχω: (12) p MP (6), (11) 4.Κανόνας της επίλυσης Ι Σε κάποιες από τις παρακάτω περιπτώσειςο κανίνας της επίλυσης δεν έχει εφαρμοστεί ορθά. Στις περιπτώσεις που δεν έχει εφαρμοστεί ορθά, διορθώστε δείχνοντας τα ορθά αποτελέσματα. α. 1. {p,q,r} Premise 2. {p,q,s} Premise 3. {p,q,r,s} 1,2 ΟΧΙ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΙ β. 1. {p, q} Premise 2. { q} Premise 3. {p} 1,2 ΟΧΙ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΙ γ. 1. Premise 2. Premise 3. {} 1,2 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΙ ΑΛΛΑ Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ ΟΙ ΣΩΣΤΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΕΙΝΑΙ === { q, r,q,r } == { p, r, p, r } == { p, q, p,q } δ. 1. {r, r} Premise 2. {r, r} 1,1 ΣΩΣΤΟ (ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ) ε.

4 1. {p, q} Premise 2. {p, r} Premise 3. {q, r } 1,2 ΛΑΘΟΣ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΙ στ. 1. Premise 2. Premise 3. {s, t} 1,2 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΤΕΙ ΑΛΛΑ Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ ΟΙ ΣΩΣΤΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΕΙΝΑΙ { q, r,s, q,r, t } ==== {p, r,s, p,r, t } === {p, q,s, p, q, t } 5. Κανόνας της επίλυσης ΙΙ Αν Δ={π (σ ρ)} και φ (π σ) (π ρ) Να δείξετε ότι Δ =φ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της επίλυσης (με άρνηση του συμπεράσματος) 1. Αρχικά μετατρέπουμε τις υποθέσεις σε προτασιακή μορφή: Υπόθεση π (σ ρ) Σ π ( σ ρ) Α (δεν κάνουμε τίποτα) Ε (δεν κάνουμε τίποτα) Τ { π, σ, ρ} 2. Υποθέτουμε την άρνηση του συμπεράσματος και το μετατρέπουμε σε προτασιακή μορφή: Άρνηση του συμπεράσματος ((π σ) (π ρ)) Σ ( (π σ) ( π ρ)) Α (( π σ) ( π ρ)) ( ( π σ) ( π ρ)) (( π σ) ( π ρ)) ((π σ) (π ρ)) Ε (δεν κάνουμε τίποτα) Τ {π}, {ρ}, {σ}, {π} 3. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της επίλυσης:

5 1. { π, ρ, σ} premise 2. {π} premise 3. {ρ} premise 4. {σ} premise 5. { ρ, σ} 1,2 6. { σ} 3,5 7. {} 4,6 Επομένως, το συμπέρασμα είναι λογική συνεπαγωγή των υποθέσεων. 6. Μετά-Θεωρήματα Έστω Γ και Δ σύνολα προτάσεων στην προτασιακή λογική και έστω φ και χ προτασιακές σταθερές. Αποφασίστε και αιτιολογήστε κατάλληλα αν οι παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς ή ψευδείς. 1. Αν Γ = φ και Δ =φ, τότε Γ Δ =φ 2. Αν Γ = φ και Δ =φ, τότε Γ Δ =φ 3. Αν Γ = φ και Δ =ψ, τότε Γ Δ =(φ ψ) 4. Αν Γ # φ τότε Γ = φ 5. Αν Γ = φ τότε Γ # φ 6. Τι θα γινόταν αν στο σύνολο των αξιωμάτων προσθέταμε ένα σχήμα που τα στιγμιότυπά του είναι μη-ικανοποιήσιμες προτάσεις? Για τη λύση μελετήστε την άσκηση 6 του περσινού 1ου φυλλαδίου