N N V. ΣτηνπράξηβρίσκουµετοΝ Α [το P (A)] όχιµε παρατηρήσεις, αλλά µε τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ήτηςφυσικής (π.χ. όγκος)

Transcript

1 Κινητική αερίων - Mawell Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων: Πυκνότητα πιθανότητας σε διακριτές και συνεχείς ποσότητες, συνθήκη κανονικοποίησης ιασπορά Κατανοµή ως προς τιςενέργειες Κατανοµή Gibbs Μαθηµατικό βοήθηµα: διπλά, τριπλά ολοκληρώµατα, το dv σε καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες Κατανοµή Mawell (ταχυτήτων) Αριθµός µορίων σε τοίχωµα Πειραµατική επιβεβαίωση κατανοµής Mawell Σχόλια επ αυτής Αν σε σύστηµα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουµε Ν παρατηρήσεις και από αυτέςστιςν Α παρατηρήθηκε τογεγονόςα, τότελέµεότιη πιθανότητα να συµβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: ( A) = lim A -Όγκος V απο- µονωµένος. -Όγκος V A (µε νοητάόρια) Εξετάζουµε τη θέση του σε διαφορετικές χρονικές στιγ- µέςνφορέςκαιέστων Α φορές τοβρίσκουµεστο V A. ΣτηνπράξηβρίσκουµετοΝ Α [το (A)] όχιµε παρατηρήσεις, αλλά µε τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ήτηςφυσικής (π.χ. όγκος) Εκτός από τις ΙΑΚΡΙΤΕΣ ποσότητες (π.χ. σωµατίδια) στη Φυσική υπάρχουν και άλλες ποσότητες, οι τιµές των οποίων είναι ΣΥΝΕΧΕΙΣ (π.χ. ταχύτητα) Για τις ποσότητες αυτές χρησιµοποιούµε την έννοια ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έστωτυχαίοσηµείοστοχώρο, τοα(,y,z) (όταν χρησιµοποιούµε τον όρο «χώρος», δεν πρέπειναξεχνάµεότιµιλάµεγιαταχύτητες) καιέστω V i µικρόςόγκοςγύρωαπότο σηµείοαυτό.τότεπυκνότηταπιθανότητας f είναι η ακόλουθη ποσότητα: f (, y, z) = lim V i ( V i) V i = lim V i V i ( V i ) ηπιθανότητα να βρούµε το σωµατίδιο στονόγκο V i. Τη σχέση για την πυκνότητα πιθανότητας µπορούµε να τη γράψουµε λίγο διαφορετικά ( dv ) d f (, y, z) = dv dv Απόεδώεύκολαπροκύπτει: f (, y, z) dv = ( dv) d Αν τώραολοκληρώσουµεωςπροςτονόγκογιαόλοτον διαθέσιµο «χώρο» στον οποίο µπορεί να βρίσκεται το σωµατίδιο, είναι προφανές ότι η πιθανότητα θα είναι ίσηµετημονα Α Από εδώ προκύπτει η πολύ σηµαντική σχέση για την πυκνότητα πιθανότητας V O Λ f (, y, z) dv = B Στην πραγµατικότητα το ολοκλήρωµα είναι τριπλό, διότι dv=ddydz 3 4

2 Μετράµε το Ι ΙΟ µέγεθος Ν φορές και βρίσκουµε τις τιµές,,. Τότε, ηµέσητιµήτου είναι: i i = < >= Ενώηµέσητιµήτου είναι: i i = < >= Σε πολλές περιπτώσεις (συνήθως όταν έχουµε να κάνουµε µε ΤΕΡΑΣΤΙΟ αριθµό µορίων) ο αριθµός των τιµών πουπαρατηρούµεείναισχετικάµικρός. Τότε κάθε τιµή εµφανίζεται πολλές φορές. Έστω λοιπόν ότι κάναµε Ν µετρήσεις. Οι δυνατές τι- µέςέστωότιείναι Ν (Ν < Ν). Έστωλοιπόνότικάθε τιµή j εµφανίζεται Ν j φόρές. Τότεγιατηνµέσητιµήθαέχουµε: < >= = = j i j j j i= j= j= Αν υποθέσουµε ότι Ν, τότεολόγος j / θαείναι ηπιθανότηταναβρούµετηντιµή j. ηλαδή: < >= j= j j 5 6 i i < >= = = Βλέπουµε ότι εδώ έχου- µε 8 µετρήσεις (Ν), αλλά 4 τιµές (Ν ). Τώρα λοιπόν φτιάχνουµε τον πίνακα: j j Αςυπολογίσουµετηµέσητιµήµετους τρόπους ( ) 9 i j j j i= j= j= < >= = 8 8 < >= j= j j < >= = Ας υποθέσουµε ότι έ- χουµε µια συνάρτηση φ(t) και θέλουµε να βρούµε τη µέση τιµή της στην περιοχή t t t. < φ > t Για να το κάνουµε αυτό πρέπει να βρούµε το ύψος ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, το εµβαδόν του οποίου είναι ίσο µε το εµβαδόν µεταξύ τηςφ(t) και του άξονα t. ΕΠΟΜΕΝΩΣ < ϕ > t= t t ϕ( t) dt t t 7 8

3 Χρησιµοποιούµε τον τύπο που αποδείξαµε πριν Παίρνουµε υπόψη µας ότι τώρα έχουµε συνεχείς ποσότητες < ϕ >= ϕ j= Αυτό σηµαίνει:. Αντικαθιστούµε το άθροισµα µε ολοκλήρωµα. Αντικαθιστούµε το µε d Αν θυµηθούµε τον ορισµό της πυκνότητας πιθανότητας, που µας έδωσε (για τη µεταβλητή t): d=f(t)dt ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ t < ϕ > t=t ϕ( t) f ( t) dt j < >= j j j= j Αςυποθέσουµεότιέχουµε συναρτήσειςφ (t) καιφ (t), που στηνπεριοχή t t t, έχουντην ίδια µέση τιµή < φ >. σ Είναι προφανές πωςοι συναρτήσεις είναι ΕΝΤΕΛΩΣ διαφορετικές Για να εκτιµήσουµε τη διαφορά τους χρησιµοποιούµε την έννοια ΙΑΣΠΟΡΑ που εκφράζεται µε την τυπική απόκλιση =< < >+< > >= =< > < > +< > =< > < > σ =< ( < > ) > Γιατασχήµατάµας Η διασπορά χαρακτηρίζει το πόσο «παίζει» το µέγεθος γύρω από τηµέσητιµή σ < σ σ κανονική 9. Σωµατίδιο κινείται πάνω στον θετικό ηµιάξονα των και ξέρουµε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται αυτό το σωµατίδιο στο διάστηµα από έως +d είναιανάλογηανάλογη του e λ. Υπολογίστε το < > και το < >. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης θα πρέπει να ισχύει d e λ d Για αντικαταστήσουµε το σύµβολο της αναλογίας µε το σύµβολο της ισότητας θα πρέπει να βάλουµε και κάποιασταθερά: d =Αe λ d Είναι από εδώ σαφές πως η συνάρτηση f()=αe λ είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βεβαίως τη σταθερά Α ΕΝΤΗΝΞΕΡΟΥΜΕ και πρέπει να την υπολογίσουµε Χρησιµοποιούµε τη συνθήκηκανονικοποίησης: λ f ( ) d = A e d = A e λ A = λ λ = A= λ ηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα έχει τη µορφή: f()= )=λe λ Η άσκηση συνεχίζεται

4 . Σωµατίδιο κινείται πάνω στον θετικό ηµιάξονα των και ξέρουµε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται αυτό το σωµατίδιο στο διάστηµα από έως +d είναι ανάλογη του e λ. Υπολογίστε το < > και το < >. Τώρα πλέον µπορούµε να προχωρήσουµε στον υπολογισµό των µέσων τιµών λ < >= f ( ) d= λ e d = λ λ e e d = + λ < >= λ e d=... = λ e λ = = λ λ Συνέχεια Θεωρίας ε α Έστω σύστηµα σωµατιδίων µε ολική ενέργειαε. Όταν λέµε «ολική» ενέργεια εννοούµε ΚΑΙ κινητική (που χαρακτηρίζεται απότιςταχύτητεςτωνσωµατιδίων) ΚΑΙ δυναµική λόγω εξωτερικού πεδίου (που χαρακτηρίζεται από τις θέσεις των σωµατιδίων). Από τα Ν σωµατίδια ξεχωρίζουµε Αναζητούµε την πιθανότητα αυτό το σωµατίδιο να έχει ενέργεια που βρίσκεται στην περιοχή µεταξύ: ε α και ε α +dε α 3 4 Σύµφωνα µε όσα ξέρουµε, για να βρούµε τη ζητούµενη πιθανότητα πρέπει να βρούµε τα εξής: α) Τοσύνολο των µικροκαταστάσεωνγ (ε ) µετιςοποίεςν σωµατίδιαυλοποιούντηνολικήενέργειαε. β) ΤοσύνολοτωνµικροκαταστάσεωνΓ(ε -ε α ) µετιςοποίεςν- σωµατίδιαυλοποιούντηνολικήενέργειαε -ε α. γ) Το σύνολο των µικροκαταστάσεων dγ µε τις οποίες (το επιλεγµένο) σωµατίδιο υλοποιείτηνενέργειααπόε α έωςε α +dε α. α d = Ae dγ β ε α d = Ae dγ Η κατανοµή Gibbs µας δίνει την πιθανότητα σωµατίδιο να έχει ενέργεια µεταξύ ε α και ε α +dε α Το ποσοστό των σωµατιδίων που έχουν ενέργεια µεταξύε α καιε α +dε α. Τοβείναιανεξάρτητοτουε α. Χαρακτηριστικό του συστήµατος. Όσοαυξάνεταιτοε τόσοαυξάνεταιτο Γ(ε ) β β ε 5 6

5 Χωρίζουµε την ολική ενέργεια σε δυναµική και κινητική. ε α = ε αp + ε αk Όπου ε αp η δυναµική ενέργεια και ε αk η κινητική. Ύστερα από κάποιες πράξεις και µετασχηµατισµούς η κατανοµή Gibbs αποκτά τη µορφή: β εα p d == A e ddydz A dυ dυ dυ e y z β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην πραγµατικότητα το διαφορικό d δεν είναιαπλό, αλλά 6 ου βαθµού (όπωςκαιστοδεύτεροµέλοςτης σχέσης). ηλαδήτοσωστόθαήτανναγράφουµε d 6. ε αk () Υποθέτουµε ότι εξωτερικό πεδίο δεν υπάρχει Εποµένως ΕΝΥΠΑΡΧΕΙδυναµικήενέργεια ε αp =. ηλαδήτο dδενεξαρτάταιαπότηθέση (,y,z). () Ολοκληρώνουµε ως προς τις θέσεις για όλο τον προσιτό όγκο και βρίσκουµε (τον όγκο dvαπό ddydz) ε d A A Vdυ dυ dυ e = Сdυ dυ dυ e β α k β α k = y z y z ε 7 8 Έστω επιφάνεια στο χώρο, η οποία ορίζεται από τη συνάρτηση z=f(,y). Έστω Dηπροβολή της στο επίπεδο y. Χωρίζουµε τη Dσε µικρά ορθογώνια παραλληλόγραµµα εµβαδού σ. Ο όγκος του σχηµατιζόµενου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδουθαείναι: V= σ h= σ f(,y) Εποµένως, για να υπολογίσουµε τον όγκο του σχήµατος που περικλείεται µεταξύ της f(,y) και του D, αρκεί να προσθέσουµε όλους τους V, απαιτώντας το σ να τείνει στο µηδέν. 9

6 n V = limv = lim h σ = lim f (, y ) σ n n n i i n i i i i= i= Αυτό το όριο ονοµάζεται ΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ µε πεδίο ορισµού το D και συµβολίζεται στη γενική περίπτωση ως εξής: V = D n f (, y) dσ Για να προχωρήσουµε πρέπει να ορίσουµε το dσ, που είναι το στοιχειώδες επίπεδο dσ dσ Προσαυξάνουµε το κατά d και το y κατά dy. Όπως φαίνεται και στο σχήµα, θα ισχύει: dσ = ddy Από το σχήµα έχουµε: dσ =(ΑΒΓ ) (ΑΒ)(Α ) (AB)=dρ, (Α )=ρdφ ΕΠΟΜΕΝΩΣ dσ = ρdρdφ ρdρdφ=ddyddy Ο τρόπος υπολογισµού του διπλού ολοκληρώµατος εξαρτάται από το πεδίο ορισµού D. Εξετάζουµε την απλούστερη περίπτωση, όταν το πεδίο ορισµού είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Τότε a b, c y d Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να γράψουµε: d b f (, y) ddy = dy f (, y) d D c Και τώρα υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα το yσταθερό. a b a f (, y ) d θεωρώντας Αυτό που βρήκαµε είναι συνάρτηση ΜΟΝΟ του y και µπορούµε να τοολοκληρώσουµεωςπρος yµεόρια cκαι d. Στην περίπτωση που εξετάζουµε, δηλαδή όταν το πεδίο ορισµού είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, δεν έχει σηµασία ησειρά ολοκλήρωσης. ηλαδή µπορούµε πρώτα να ολοκληρώσουµε ως προς και µετά ως προς y, ή µπορούµε να ολοκληρώσουµε πρώτα ως προς yκαιµετάωςπρος. d b b d dy f (, y) d = d f (, y) dy c a a c Το διπλό ολοκλήρωµα απλοποιείται ακόµη περισσότερα, αν στη συνάρτηση f(,y) µπορούµε να χωρίσουµε τις µεταβλητές, y. ηλαδή, αν f(,y)=φ()u(y), τότε θα ισχύει: d b f (, y) ddy= u( y) dy Φ( ) d c a D Στην περίπτωση αυτό το διπλό ολοκλήρωµα µετατρέπεται σε γινόµενο ολοκληρωµάτων 3 4

7 Έστω στερεό σώµα όγκου V, η πυκνότητα του οποίου ρ(,y,z) είναι µεταβλητήκαιεξαρτάταιαπότοσηµείοτουχώρουπουεξετάζουµε. Τότεανκόψουµετοσώµασεµικράκοµµάτιαόγκου V i, η ποσότητα m = ρ(, y, z ) V i= i i i i Θατείνειστηµάζατουσώµατος, όταντο V i τείνειστοµηδέν. Ονοµάζουµε ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ το όριο Ν lim f (, y,z ) V f (, y,z) dv i i i i Vi i= V Όπου V o όγκος του σώµατος. ΌΤΙ ΕΙΠΑΜΕ ΓΙΑ ΤΑ ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΙ ΣΤΑ ΤΡΙΠΛΑ dv Απότο σχήµα (πουτοσχε- διάσαµε όπως και στην περίπτωση του επιπέδου για το dσ) βρίσκουµε ότι: dv=ddydz 5 6 Από το σχήµα βρίσκουµε ότι: dv=(aβγ ΕΖΗΘ)=(Α )(ΑΒ)(ΑΕ) (Α )=(Α )=ρdφ (ΑΒ)=(Α Β )=dρ Από το σχήµα βρίσκουµε ότι: dv=(aβγ ΕΖΗΘ)=(Α )(Γ )(ΑΕ) Εποµένως: (Α )=rdθ (Γ )=(Ρ )dφ (Ρ )=rsinθ (ΑΕ)=dr dv=r sinθdrdθdφ Εποµένως: (ΑΕ)=dz dv=ρdρdφdz Θα ισχύει: ddydz=ρdρdzdφ=r sinθdrdθdφ SOS SOS 7 8

8 ds=(aβγ ) (Α )(Γ )= =r sinθdθdφ ΣΦΑΙΡΑ R dv = r sinθdθdφdr r φ θ 3 π π R 4 r dr dφ sinθdθ = π = πr = Σφαίρα : ds dω = = sinθdθdφ r π π ΟΛΟΣ Ο ΧΩΡΟΣ dω = sinθdθdφ = dφ sinθdθ = 4π φ θ 9 3 ΟΛΑ ΟΣΑ ΕΙΠΑΜΕ ΠΙΟ ΠΑΝΩ (Στοιχειώδης όγκος, επιφάνεια κ.τ.λ.) ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Μπορούµε λοιπόν να φτιάξουµε έναν τρισδιάστατο χώρο π.χ. ταχυτήτων, όπως αυτός που φαίνεται στο σχήµα και να επαναλάβουµε όσα είπαµε προηγουµένως, αντικαθιστώνταςτα, y, zκαι r µετα υ, υ y, υ z και υ αντίστοιχα. dυ dυ dυ = υ sinθdθ dϕdυ y z dυ dυ dυ = υ dϕdυ dυ y z z όπουυ = υ + υ y υ z φ θ υ υ Είχαµε καταλήξει στη σχέση d = Сdυ dυ dυ e y z Αυτήησχέσηµαςδίνειτηνπιθανότητατοσωµατίδιοναέχει ταχύτητα, οισυνιστώσεςτηςοποίαςείναιµεταξύ υ και υ +dυ, υ y και υ y +dυ y, υ z και υ z +d υ z. Παίρνουµε υπόψη µας, ότι για την κινητική ενέργεια ισχύει: ε αk =mυ / Αναζητούµε την πιθανότητα το σωµατίδιο να έχειμετρο ταχύτητας µεταξύ υ και υ+dυ. Αυτό µπορούµε να το καταφέρουµε σχετικά εύκολα, αν αντί για το Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων χρησιµοποιήσουµε το σφαιρικό. Τίποτεδενθααλλάξειόσοναφοράτηνκινητικήενέργειαε αk. β ε αk 3 3

9 Αλλαγέςθαέχουµεστογινόµενο dυ dυ y d υ z. Χρησιµοποιούµε αυτά που µάθαµε στο µαθηµατικό ένθετο και κατ αναλογία µε τις συντεταγµένες γράφουµε: d = Сdυ dυ dυ e y z βmυ / Οι γωνίες θ και φ εκφράζουν διευθύνσεις, που δεν µας ενδιαφέρουν. Εποµένως µπορούµε να ολοκληρώσουµε ως προς τις γωνίες π π βmυ / βmυ / = Сυ sinθdθdφdυe d = Сυ dυe dφ sin θdθ= 4 πсυ dυe Έχουµε ακόµη άγνωστο το С. βmυ / Μπορούµε να εφαρµόσουµε τη συνθήκηκανονικοποίησης, που ισχύει στις πιθανότητες. Γιανατοκάνουµεαυτόπρέπειναβρούµεόλεςτιςδυνατέςτιµές του µέτρου της ταχύτητας υ. Στη συνέχεια, αν ολοκληρώσουµε για όλες αυτές τις τιµές, το αποτέλεσµα θα είναι. Μαθηµατικά, από τον ορισµό ισχύει: υ <. Όµωςηφυσικήέχεισανόριοτην ειδική θεωρία της σχετικότητας! Θα εξετάσουµε το πρόβληµα αυτό αργότερα. Προς το παρόν θα χρησιµοποιήσουµε τη «βολική» συνθήκη κανονικοποίησης ΟΛΕΣ βmυ / = = d ( υ) 4πС υ dυe 33 34

10 Ας εφαρµόσουµε τους τύπους αυτούς στη συνθήκηκανονικοποίησης βmυ / υ e π dυ= 4( βm/ ) 3/ π βm 4πC = C = 3/ 4( βm/ ) π βm βmυ / d( υ ) = 4π υ dυe π Η σχέση αυτή δίνει την πιθανότητα για ένα σωµατίδιο να έχει ταχύτητες µεταξύ υκαι υ+dυ, είτε, διαφορετικά τοποσο- στό των σωµατιδίων µε ταχύτητες µεταξύ υκαι υ+dυ. 3/ βmυ / πс υ e dυ 4 = Κ -λ e 3/ Κ + Γ = d Κ + λ SOS SOS Για το ποσοστό µπορούµε να γράψουµε: d d( υ) = Υπολογίζουµε τη µέση κινητική ενέργεια του ενός σωµατιδίου 3/ βmυ / = 4π υ e dυ mυ βm mυ π ηλαδή το β συνδέεται µονοσήµαντα µετη µέση κινητική ενέργεια του ενός µορίου. Χρησιµοποιούµε το διαφορετικό συµβολισµό: = kt Ονοµάζουµε το Τ συµβατικά «ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ» Το k είναι ο συντελεστής µετατροπής των µονάδων και ονοµάζεταισταθεράτου Boltzmann. k= J/K β = 3 β Η συνάρτηση f(υ) είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Είναιθετική 3/ m mυ / kt f ( υ) = 4π υ e Για υ τείνει στο µηδέν πkt Για υ τείνει στο µηδέν Εποµένως έχει τουλάχιστον ένα µέγιστο 3/ m mυ / kt d = f ( υ) dυ 4π υ e dυ u = πkt Η γραφική της παράσταση Το εµβαδόν µεταξύ της καµπύλης και του οριζόντιου άξονα ισούται µετη µονάδα (ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ) 39 4

11 Χαρακτηριστικό µέγεθος είναι η ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Ηταχύτηταγιατην οποία η συνάρτηση έχει µέγιστο. df(υ) / dυ= υ Π = kt m < υ Από τον τύπο, αλλά και λογικά προκύπτει, ότι η αύξηση της θερµοκρασίας οδηγεί στη µετατόπισητουµεγίστουπροςταµεγάλα υκαιτη µείωσητουύψουςτου (B Εργ. Φ) > Τοεµβαδόναυτόµαςδείχνει την πιθανότητα ένα σωµατίδιο (το ποσοστό των σωµατιδίων) ναέχει ταχύτητεςµεταξύ υ Α και υ Β Τοεµβαδόναυτόµαςδείχνει την πιθανότητα ένα σωµατίδιο (το ποσοστό των σωµατιδίων) ναέχει ταχύτητες µεταξύ υ και υ+dυ Άλλες χαρακτηριστικές ταχύτητες < υ > = 8kT πm < u >= 3kT m Στην ερώτηση, τι πιθανότητα έχουµε να βρούµε ταχύτητα υ (π.χ. m/s) ηαπάντησηείναι: ΜΗ ΕΝ 4 4 Ν υ η( υ, υ ) ( υ, υ ) f ( υ) dυ Ν υ υ υ Γιαάτοµαυδρογόνουµεθερµοκρασία 6 Κ (!!!) βρίσκουµε υ Π 55 km/s. Σ αυτήτηνπερίπτωση c φως 55 υ Π. < υ > η(.5υ Π,.5υ Π ) = % η(υ Π, ) = % η(υ Π, ) = % η(3υ Π, ) =.44.44% ηλαδή, σε κάθε περίπτωση, η πιθανότητα να βρούµε µόρια µε τα-χύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός είναι πρακτικά αµελητέα. ΗολοκλήρωσηωςτοΑΠΕΙΡΟδενφέρνει ουσιαστικές αλλαγές, αλλά διευκολύνει τα πράγµατα

12 Ολοκλήρωση ως προς τις γωνίες sinθdθdφ 3/ m mυ / kt d ( υ ) = 4π υ e dυ πkt ηλαδή µπορούµε, αν γυρίσουµε πίσω, να γράψουµε: 3/ m mυ / kt d = e υ sinθdθdφdυ πkt Αν τώρα, από τις σφαιρικές συντεταγµένες επανέλθουµε στις καρτεσιανές θα έχουµε: 3/ m mυ / kt d = e dυdυydυz πkt υ = υ + υ y + υz Επειδή δεν είναι δυνατόν να θεωρήσουµε, ότι κάποια συνιστώσα διαφέρει από τις άλλες, γιατί το σύστηµα το έχουµε επιλέξει τυχαία, µπορούµε τώρα να γράψουµε: / / / m mυ / kt m mυ y/ kt m mυ z / kt d = e dυ e dυ y e dυ z πkt πkt πkt Τώραλοιπόνµπορούµεναπούµεότιηπιθανότητα µόριο (το ποσοστό των µορίων) να έχει συνιστώσα της ταχύτητας µεταξύ υ και υ +dυ δίνεταιαπότησχέση: / m mυ / kt d( υ ) = e dυ πkt Ανάλογα αποτελέσµατα παίρνουµεγιατις yκαι z συνιστώσες Τ Τ Τ <Τ Προφανώς, όπωςφαίνεταικαιαπότοσχήµα, θα ισχύει: / m mυ / kt < υ > = υ e dυ = πkt ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ενισχύειτοίδιογιατο < υ ή το. > < υ > Εξετάζουµετοεπίπεδο S. Ταµόριακοντάτου κινούνται χαοτικά. Να υπολογισθεί ο αριθµός των µορίων ιδανικού αερίου, που συγκρούονται µε µοναδιαία επιφάνεια στη µονάδα του χρόνου. + Συµβολίζουµετώραµε < υ > τηµέσητιµήτου υ για υ. Τότε θα έχουµε: / + m + m υ / kt < υ > = υ e dυ πkt / / m m υ / kt kt υ e dυ = = πkt πm = Γιαεµάςσηµασίαέχειη οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας

13 Κατανοούµε ότι µπορούν ναπροσπέσουνστην S όσα σωµατίδια κινούνται προς αυτήν Στην S σε χρόνο t θα χτυπήσουν όσα µόρια βρίσκονται σε κύλινδρο βάσης S και ύψους υ t (αν υποθέσουµε ότι η ταχύτητα ΚΑΘΕ µορίου είναιυ). υ t Φέρουµετονάξονα κάθετα στην S και µε φορά προς αυτήν Μπορεί να πει κανείς: Μα κάποιαθαφεύγουν!... Ναι, αλλά όσα φεύγουν άλλα τόσα θα µπαίνουν υ t 49 5 Βρήκαµε λοιπόν, πως σε χρόνο t θα χτυπήσουν στην S τα µόρια που κινούνται προς τα θετικά και περιέχονται σε κύλινδρο, ο όγκος του οποίου είναι Sυ t. υ t Ηταχύτηταπροςταθετικά Όλα την ίδια ταχύτητα Αυτό όµως το έχουµε ήδη υπολογίσει. + υ + < υ > ΟΑριθµόςτουςθαείναι: Όγκος Συγκέντρωση=[Sυ t]n Ας υποθέσουµε τώρα, πως οι οριζόντιες θετικές συνιστώσες των ταχυτήτωντωνµορίωνείναιόλεςίδιεςκαιίσεςµε v. Γιαναβρούµετοναριθµότωνµορίωνστηµονάδατουχρόνου και στη µονάδα της επιφάνειας, πρέπει να διαιρέσουµε το Ν µε Sκαι t. Ν ν = = S t + ns < υ > t S t Τότε σε χρόνο t θα φτάνουν στην S (δηλαδή θα συγκρούονται µεαυτή) n[sv t] µόρια. ν = n < υ + kt >= n πm / 5 5

14 kt ν = n π m / = n<υ> 4 βαρύτητα Η επιλογή του S είχε τα εξής χαρακτηριστικά: Ήταν τυχαία όσον αφορά τη θέση και τον προσανατολισµό Ήταν τυχαία όσον αφορά το µέγεθος, δηλαδή αν το S είναι απειροστά µικρό θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ότι δεν αναφερόµαστε σε επίπεδο, αλλά σε ΚΑΘΕ ΕΙ ΟΥΣ επιφάνεια. Εποµένως το αποτέλεσµά µας ισχύει για κάθε επιφάνεια στο εσωτερικό ενός ιδανικού αερίου, ή για κάθε επιφάνεια του τοιχώµατος ενός δοχείου που περιέχει ιδανικό αέριο. φ, L, ω, n-περιστρ. περιστρ. u=l/ u=l/ t u=lω/φ un=lω =Lω/(φ+π +πn) ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟ.Υ.ΠΟΘΕΣΗ ΓΙΑ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ, ΗΛΑ Η ΤΟ ΑΕΡΙΟ ΝΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 53 Η κατανοµή Mawell δίνει τη νοµοτέλεια της χαοτικής κίνησης των µορίων, το πλήθος των οποίων είναι ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ. Όταν µιλούσαµε για ταχύτητες κ.τ.λ. θεωρούσαµε πάντα το σύστηµα αναφοράς ακίνητο. Τέτοιο σύστηµα αναφοράς είναι το σύστηµα του Κ.Μ. Εποµένως η ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ κίνηση (κίνηση του Κ.Μ.) δεν µεταβάλλει τα µεγέθη αυτά, π.χ. τη «θερµοκρασία». Τα διάφορα µεγέθη που προέκυψαν από την κατανοµή Mawel (µέσες ταχύτητες, πιθανότερη ταχύτητα, «θερµοκρασία» κ.τ.λ) αναφέρονται σε µεγάλο πλήθος σωµατιδίων. Εποµένως ΕΝ ΕΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΝΟΗΜΑ η φράση «θερµοκρασία ενός σωµατιδίου» Η κατανοµή Mawell ισχύει στα ιδανικά αέρια, αλλά όχι µόνο σ αυτά. Γενικά ισχύει σε κάθε περίπτωση της κλασικής φυσικής που ασχολείται µε την κατανοµή των ταχυτήτων µεγάλου πλήθους αντικειµένων που κινούνται χαοτικά