Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Transcript

1 Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1α 1β 2 3 Σύνολο Κ Ε

2 ΑΜ: Σελ. 2 από 6 Θέμα 1α [1 μονάδα]. Έστω ϕ και ψ τύποι πρωτοτάξιας γλώσσας με το πολύ μία ελεύθερη μεταβλητή, τη x. Ποιος ή ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Αν x(ϕ ψ) έγκυρη τότε xϕ είτε xψ έγκυρη. (II) Αν x(ϕ ψ) έγκυρη τότε xϕ και xψ έγκυρες. (III) Αν x(ϕ ψ) και xϕ έγκυρες τότε xψ έγκυρη. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ο ισχυρισμός (Ι) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (2) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙ) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (3) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙI) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (4) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙII) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (5) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (6) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (ΙI) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (7) Ουδείς αληθεύει. (8) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό είναι το (3).

3 ΑΜ: Σελ. 3 από 6 Θέμα 1β [3 μονάδες]. Έστω Σ σύνολο τύπων της προτασιακής λογικής (ενδεχομένως άπειρο) τέτοιο ώστε για κάθε πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ο τύπος ( (σ 1 ) (σ n )) δεν είναι ταυτολογία. Έστω επίσης σ τύπος για τον οποίο υπάρχουν πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ώστε ο τύπος σ 1 σ n σ είναι αντιλογία (δηλ. μη ικανοποιήσιμος). Αποδείξτε σύντομα και με ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή των συμβόλων και των γραμμάτων και χωρίς χρήση του Θεωρήματος Συμπάγειας ότι δεν υπάρχουν πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ώστε ο τύπος (σ 1 σ n ( σ)) να είναι αντιλογία. (Στη διόρθωση θα δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στη σωστή μαθηματική έκφραση και τη σωστή επιλογή συμβολισμού.) Απάντηση: Έστω, προς άτοπο, ότι για κάποιο φυσικό αριθμό m υπάρχουν τ 1,..., τ m Σ τέτοια ώστε ο τύπος (τ τ m ( σ)) να είναι αντιλογία. Επειδή ένας τύπος δεν είναι ταυτολογία ανν η άρνησή του είναι ικανοποιήσιμη, και επειδή ο τύπος ( (σ 1 ) (σ n ) (τ 1 ) (τ m )) είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με τον (σ 1 σ n τ 1 τ m ), συμπεραίνουμε από την την υπόθεση ότι ο τύπος (σ 1 σ n τ 1 τ m ) είναι ικανοποιήσιμος, έστω από την απονομή αληθοτιμών a. Η απονομή a δεν είναι δυνατόν να ικανοποιεί τον σ διότι τότε ο τύπος (σ 1 σ n σ) δεν θα ήταν αντιλογία. Επομένως η απονομή a ικανοποιεί τον ( σ). Τότε όμως η a θα ικανοποιούσε τον (τ 1 τ m ( σ)), άτοπο.

4 ΑΜ: Σελ. 4 από 6 Θέμα 2 [3 μονάδες]. Θεωρούμε πρωτοβάθμια γλώσσα L θα της Θεωρίας Αριθμών (με σύμβολο ισότητας) της οποίας τα έξω λογικά σύμβολα είναι ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο < και δύο διθέσια σύμβολα συναρτήσεων + και. Έστω ακόμη N = N, < N, + N, N η δομή για την L, όπου N είναι το σύνολο των φυσικών, και οι ερμηνείες των έξω λογικών συμβόλων <, +, είναι η γνήσια διάταξη, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς, αντιστοίχως. Να περιγράψετε (άπειρο) σύνολο προτάσεων Σ στην L έτσι ώστε όλα τα στοιχεία του Σ να ικανοποιούνται στην N ανν για κάθε φυσικό n 3 δεν υπάρχουν θετικοί φυσικοί x, y, z τέτοιοι ώστε x n + y n = z n. Προσοχή: Πώς θα γράψετε το x n ; Επίσης υπάρχει λόγος που σας ζητήθηκε (άπειρο) σύνολο προτάσεων και όχι μία πρόταση. Απάντηση: Αν x μεταβλητή, συμβολίζουμε με x n τον όρο ( ((x x) x) ) x }{{} n παράγοντες της γλώσσας L. Το σύνολο Σ που ζητείται είναι το σύνολο: όπου σ n είναι η πρόταση {σ n n = 3, 4,...}, x y z(x n + y n z n ).

5 ΑΜ: Σελ. 5 από 6 Θέμα 3 [4 μονάδες]. Έστω πρωτοβάθμια γλώσσα Γ της οποίας τα έξω λογικά σύμβολα είναι (α) το διμερές κατηγορηματικό σύμβολο <, (β) το μονομερές συναρτησιακό σύμβολο S και (γ) το σύμβολο σταθεράς 0. Έστω ακόμη N = N, < N, S N, 0 N η ερμηνεία (δομή) για τη Γ, όπου N το σύνολο των φυσικών, < N η γνωστή γνήσια διάταξη στο N, S N η συνάρτηση του διαδόχου στους φυσικούς και τέλος 0 N ο φυσικός μηδέν. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ερμηνεία N = N, < N, S N, 0 N για τη Γ έτσι ώστε οι N και N να ικανοποιούν το ίδιο σύνολο προτάσεων (ThN) και επιπλέον να υπάρχει στοιχείο του N γνησίως μεγαλύτερο από όλα τα υπόλοιπα, δηλ. ( x N \ { }) x < N. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Συμπάγειας για ένα σύνολο τύπων που θα αποτελείται από τις προτάσεις ThN και άπειρους τύπους που όλοι μαζί θα εκφράζουν την ύπαρξη ενός στοιχείου μεγαλύτερου από όλα τα άλλα. Απάντηση: Θεωρούμε το σύνολο τύπων A = ThN {n < x, n = 0, 1,...} όπου x μεταβλητή της Γ και n ο όρος της Γ S } {{ S} 0. n φορές Αν το B είναι πεπερασμένο υποσύνολο του A, υπάρχει φυσικός k ώστε B ThN {n < x, n = 0,..., k}. Προφανώς λοιπόν το B είναι ικανοποιήσιμο από τη δομή N, με αποτίμηση για την οποία x = k+1. Επομένως, κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του A είναι ικανοποιήσιμο, άρα από το Θεώρημα Συμπάγειας και το A είναι ικανοποιήσιμο. Έστω N = N, < N, S N, 0 N μια ερμηνεία και μια αποτίμηση για τη μεταβλητή x ώστε να ικανοποιούνται οι τύποι του συνόλου A. Είναι φανερό ότι το είναι μεγαλύτερο από κάθε άλλο στοιχείο του συνόλου.

6 ΑΜ: Σελ. 6 από 6 Πρόσθετος χώρος για λύση του Θέματος 3.