Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η οµή των Κυκλικών Οµάδων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες σε κλάσεις ισοµορφίας, ϑα περιγράψουµε τις υποοµάδες τους, καθώς και τα επαγόµενα διαγράµµατα Hasse, και τέλος ϑα αποδείξουµε διάφορους χαρακτηρισµούς κυκλικών οµάδων οι οποίοι είναι χρήσιµοι σε άλλες περιοχές των Μαθηµατικών. Στο Κεφάλαιο 6 ϑα περιγράψουµε όλους τους οµοµορφισµούς µεταξύ κυκλικών οµάδων. 4.1 Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτορές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην αριθµητική των ϑετικών ακεραίων αριθµών. Απο τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε µια κυκλική οµάδα µε γεννήτορα το στοιχείο a G. G = a Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει ότι οι κυκλικές οµάδες συµπεριφέρονται καλά ως προς τις υποοµάδες. Θεώρηµα Κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας είναι κυκλική οµάδα. Απόδειξη. Εστω όπως παραπάνω ότι G = a είναι µια κυκλική οµάδα, και έστω H G µια υποοµάδα της G. Αν H = {e}, τότε προφανώς H = e και η H είναι κυκλική. Εστω H {e}, και εποµένως υπάρχει g H \ {e}. Θα έχουµε g = a k για κάποιο k Z. Τότε k 0 διότι διαφορετικά g = a 0 = e, το οποίο είναι άτοπο. Αν k < 0, τότε, επειδή η H είναι υποοµάδα ϑα έχουµε ότι g 1 = (a k ) 1 = a k H και k > 0. Εποµένως η υποοµάδα H περιέχει ϑετικές δυνάµεις a k, k > 0, του γεννήτορα a της G. Αυτό σηµαίνει ότι το σύνολο ϕυσικών αριθµών {k N a k H} είναι µη κενό και εποµένως από την Αρχή Καλής ιάταξης έχει ελάχιστο στοιχείο. Εστω = mi { k N a k H } το ελάχιστο στοιχείο του παραπάνω συνόλου, δηλαδή είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα a H. Θα δείξουµε ότι : H = a Επειδή a H και η H είναι υποοµάδα, έπεται ότι a H. Εστω h H. Τότε h = a m, για κάποιο m Z. Από την Ευκλείδεια ιαίρεση ϑα έχουµε τότε : m = q + r, 0 r < 222

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 223 και εποµένως : a m = a q+r = a q a r = (a ) q a r = a r = (a ) q a m Επειδή εκ κατασκευής a H, ϑα έχουµε (a ) q H. Επιπλέον, επειδή a m H, ϑα έχουµε a r = (a ) q a m H διότι η H είναι υποοµάδα. Επειδή είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H, και επειδή a r H, όπου 0 r <, έπεται ότι αναγκαστικά : r = 0. Εποµένως h = a m = a q = (a ) q a Συµπεραίνουµε ότι H a. Άρα H = a και εποµένως η H είναι κυκλική Υποοµάδες και Γεννήτορες Απειρων Κυκλικών Οµάδων Στην παρούσα υποενότητα υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι άπειρης τάξης, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει άπειρη τάξη : o(a) =. Τότε : G = a = {, a, a 2, a 1, a, a 2,, a, } Θεώρηµα Εστω G µια άπειρη κυκλική οµάδα. 1. Η G έχει µόνο δύο γεννήτορες : αν a είναι ένας γεννήτορας, τότε ο µοναδικός διαφορετικός γεννήτορας της G είναι ο a Αν G = a, τότε οι υποοµάδες της G είναι οι ακόλουθες και µόνο αυτές : H G H = a, 0, a, a 1,, a 2, a = G, a 0 = {e} 3. Αν H = a και H m = a m είναι δύο υποοµάδες της G = a, τότε : H H m m και H = H m m = Απόδειξη. 1. Εστω a ένας γεννήτορας της G, δηλαδή G = a. Αν b είναι ένας άλλος γεννήτορας της G, δηλαδή G = b, τότε ϑα έχουµε b = a k για κάποιο Z, και τότε : a = a Άρα a a και εποµένως a = (a ) k = a k για κάποιο k Z. Τότε όµως ϑα έχουµε : a = a k = aa k = e = a 1 k = e = 1 k = 0 διότι το ατοιχείο a έχει άπειρη τάξη. Ετσι 1 = k. Επειδή όµως,k Z, ϑα έχουµε ότι είτε = k = 1, ή = k = 1. Στην πρώτη περίπτωση b = a = a και στην δεύτερη περίπτωση b = a = a Εστω H G µια υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα έπεται ότι η H είναι κυκλική και εποµένως H = a. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι 0, διότι, αν 0, τότε από το µέρος 1. έπεται ότι H = (a ) 1 = a και 0. Εποµένως δείξαµε ότι η H είναι υποοµάδα της G αν και µόνο αν η H είναι της µορφής H = a, 0, και έτσι µένει να δείξουµε ότι :,m 0, m = a a m Υποθέτουµε ότι η παραπάνω συνεπαγωγή δεν είναι αληθής και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε : a = a m = a a m και a m a = k,l Z : a = a mk και a m = a l = = a mk = e = a m l

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 224 Επειδή ο γεννήτορας a της G έχει άπειρη τάξη, έπεται ότι : mk = 0 = m l = = mk και m = l = m και m = = m Άρα οι διακεκριµένες υποοµάδες της G είναι οι εξής : H = a, Εστω H = a H m = a m. Τότε, όπως είδαµε και στο µέρος 2., ϑα έχουµε : a a m και τότε m. Αντίστροφα, αν m, τότε = mk για κάποιο k Z και τότε a = a mk = (a m ) k a m. Αυτό όµως σηµαίνει ότι H = a H m = a m. Τέλος αν,m 1, τότε H = H m αν και µόνο αν m και m αν και µόνο αν = m. Ως άµεση συνέπεια έχουµε την ακόλουθη ταξινόµηση των υποοµάδων και των γεννητόρων µιας άπειρης κυκλικής οµάδας. Πόρισµα Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε οι απεικόνισεις Φ : N 0 { Υποοµάδες της G }, Φ() = a Ψ : { 1, 1 } { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a είναι «1-1» και «επί». Επιπλέον : m Φ() Φ(m). Υπενθυµίζουµε ότι η τοµή H K υποοµάδων H, K µιας οµάδας (G, ) είναι υποοµάδα, και το γινόµενο HK των H, K είναι υποοµάδα, όταν η G είναι αβελιανή ή γενικότερα αν ισχύει : HK = K H. Στην περίπτωση κατά την οποία η G είναι (άπειρη) κυκλική, άρα αβελιανή, και οι οµάδες H K και HK ϑα είναι κυκλικές, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Η επόµενη Πρόταση δίνει ακριβείς πληροφορίες γι αυτές τις κυκλικές υποοµάδες. Πρόταση Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα a a m = a (m,) a a m = a [,m] Απόδειξη. 1. Εστω d = (m,). Τότε d = = dk και d m = = dl, όπου k,l Z και εποµένως : Άρα a = a dk = (a d ) k a d και a m = a dl = (a d ) l a d a a d a m = a a d a m Επειδή η a d είναι υποοµάδα, προφανώς ϑα έχουµε ότι a a m a d ( ) Από την άλλη πλευρά, επειδή d = (m,), έπεται ότι υπάρχουν ακέραιοι r, s Z, έτσι ώστε d = r + ms. Τότε : a d = a r +ms = a r a ms = (a ) r (a m ) s a a m Αυτό όµως σηµαίνει ότι a d a a m ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a d.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Εστω δ = [m,]. Τότε : δ = mk = l = a δ = a l = (a ) l a και a δ = a mk = (a m ) k a m Εποµένως a δ a a m το οποίο προφανώς σηµαίνει ότι : a δ a a m ( ) Αντίστροφα, έστω x a a m. Τότε x = (a ) p και x = (a m ) q, όπου p, q Z. Εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι το στοιχείο a έχει άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : x = (a ) p = (a m ) q = a p = a mq = a p mq = e = p = mq Θέτοντας t := p = mq, ϑα έχουµε ότι : x a t. Επιπλέον m t και t. Τότε όµως δ t, και εποµένως από το Θεώρηµα 5.2 ϑα έχουµε : x a t a δ το οποίο σηµαίνει ότι : a a m a δ ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a δ. Παρατήρηση Αν η κυκλική οµάδα G έχει δοθεί µε προσθετικό συµβολισµό, τότε το Θεώρηµα 4.1.2, το Πόρισµα 4.1.3, και η Πρόταση παίρνουν την ακόλουθη µορφή. Εστω (G, +) µια άπειρη προσθετική κυκλική οµάδα. 1. Η G έχει µόνο δύο γεννήτορες : αν a είναι ένας γεννήτορας, τότε ο µοναδικός διαφορετικός γεννήτορας της G είναι ο a. 2. Αν G = a, τότε οι υποοµάδες της G είναι οι ακόλουθες και µόνο αυτές : H G H = a, 0, a, ( 1)a,, 2a, a = G, 0a = {0} 3. Αν H = a και H m = ma είναι δύο υποοµάδες της G = a, τότε : H H m m & H = H m m = a + ma = (,m)a a ma = [,m]a Συνοψίζουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα εφαρµοσµένα στην άπειρη κυκλική (προσθετική) οµάδα (Z,+). Παράδειγµα Θεωρούµε την άπειρη κυκλική οµάδα (Z, +). Οπως ϑα δούµε αργότερα στο Θεώρηµα , κάθε άλλη άπειρη κυκλική οµάδα είναι ισόµορφη, δηλαδή δοµικά ίδια, µε την οµάδα (Z, +). 1. Οι µόνοι γεννήτορες της (Z,+) είναι το 1 και το Οι διακεκριµένες υποοµάδες της (Z, +) είναι οι εξής Z = { z Z z Z }, Z mz m Z mz = [,m]z και Z + mz = (,m)z

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Σκοπός µας είναι να αποδείξουµε ένα Θεώρηµα για πεπερασµένες κυκλικές οµάδες το οποίο να είναι ανάλογο µε το Θεώρηµα για άπειρες κυκλικές οµάδες. Για την διατύπωση και απόδειξη αυτού του ανάλογου αποτελέσµατος, Θα χρειαστούµε µια σειρά από ϐοηθητικές προτάσεις. Στην παρούσα υποενότητα υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι πεπερασµένης τάξης : o(g) =, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει πεπερασµένη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = { e, a, a 2,, a 1} Λήµµα Εστω H = a m µια υποοµάδα της G = a, όπου o(a) =. Τότε : H = a d, όπου d = (,m) και o(h) = o(a m ) = d Απόδειξη. Επειδή d = (,m), ϑα έχουµε m = dk και τότε : a m = a dk = (a d ) k a d = a m a d Επίσης, επειδή d = (,m), ϑα έχουµε d = x + my για κάποια x, y Z. Τότε, επειδή o(a) = : a d = a x+my = a x a my = (a ) x (a m ) y = e x (a m ) y = (a m ) y a m = a d a m = a d a m Από τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι έχουµε : o(h) = o( a m ) = o(a m ) = a m = a d. Τέλος, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.2.2, ϑα o(a) (o(a),m) = (,m) = d Λήµµα Εστω G = a, όπου o(a) =, και r, s 1. Τότε : Απόδειξη. «=» Θα έχουµε : a r = a s (,r ) = (, s) a r = a s = o(a r ) = o(a s ) o(a) (o(a),r ) = o(a) (o(a), s) (,r ) = (, s) (,r ) = (, s) «=» Θα έχουµε όπως και παραπάνω : (,r ) = (, s) = o(a r ) = o(a s ). Οµως, χρησιµοποιώντας το Λήµµα 4.1.7, και την υπόθεση (,r ) = (, s), ϑα έχουµε : a r = a (,r ) και a s = a (,s) = a r = a s Λήµµα Εστω G = a, όπου o(a) =. Το στοιχείο a m είναι γεννήτορας της G αν και µόνο αν (m,) = 1: a = a m (,m) = 1 Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 4.1.8, ϑα έχουµε : a m είναι γεννήτορας της G a m = a (,m) = (,1) (,m) = 1 Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα το οποίο είναι ανάλογο του Θεωρήµατος Θεώρηµα Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Τότε : 1. Σύνολο γεννητόρων της G = { a m G (,m) = 1 } Πλήθος γεννητόρων της G = ϕ() = { m N 1 m και (,m) = 1 }

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (αʹ) m. (ϐʹ) Υπάρχει υποοµάδα H G έτσι ώστε : o(h) = m. Αν m, τότε υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m η οποία είναι η εξής : H m = a m 3. Εστω m,k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε : H m H k m k Απόδειξη. 1. Προκύπτει άµεσα από το Λήµµα Αν υπάρχει υποοµάδα H της G µε τάξη o(h) = m, τότε από το Θεώρηµα του Lagrage έπεται ότι m o(g) και άρα m. Αντίστροφα, αν m, τότε ϑεωρούµε την υποοµάδα H = a m της G. Τότε, επειδή έπεται ότι o(h) = m. o(a m ) = (, m ) = = m m Εστω ότι m και έστω H 1 και H 2 υποοµάδες της G έτσι ώστε : o(h 1 ) = m = o(h 2 ). Από το Θεώρηµα ϑα έχουµε H 1 = a k 1 και H 2 = a k 2 όπου 1 k 1,k 2 Εποµένως (,k 1 ) = o(ak 1 ) = o(h 1 ) = m = o(h 2 ) = o(a k 2 ) = (,k 2 ) = (,k 1 ) = (,k 2 ) Τότε από το Λήµµα έπεται ότι ϑα έχουµε H 1 = a k 1 = a k 2 = H 2. Άρα, για κάθε διαιρέτη m, υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m. Από το Λήµµα 4.1.7, η µοναδική υποοµάδα είναι η H m = a m. 3. Εστω m,k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε από το µέρος 2. ϑα έχουµε : H m H k a m a k o(a m ) o(a k ) m k Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Πόρισµα Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Οι απεικονίσεις Φ : D() = { d 1 d } { Υποοµάδες της G }, Φ(d) = a d Ψ : { k N 1 k και (,k) = 1 } { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a k είναι «1-1» και «επί». Επιπλέον : o(φ(d)) = d, και d 1 d 2 Φ(d 1 ) Φ(d 2 ).

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 228 Πόρισµα ( ιαδικασία εύρεσης Υποοµάδων Πεπερασµένης Κυκλικής Οµάδας). Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Υπενθυµίζουµε ότι η αριθµητική συνάρτηση τ ορίζεται ως εξής : τ : N N, τ() = d 1 = πλήθος διαιρετών του Υπολογίζουµε τους ϑετικούς διαιρέτες του, έστω ότι αυτοί είναι οι εξής : d 1,d 2,,d τ(). Για κάθε ϑετικό διαιρέτη d i του, ϑεωρούµε την κυκλική υποοµάδα H i := a d i η οποία παράγεται από το στοιχείο a d i. Τότε η Hi είναι η µοναδική υποοµάδα τάξης d i της G. Οι υποοµάδες H 1, H 2,, H τ() είναι όλες οι διακεκριµένες υποοµάδες της G: ιαιρέτης του Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας d 1 H 1 = a d 1 d 1 d 2 H 2 = a d 2 d 2... d τ() H τ() = a d τ() d τ() Ισχύει : i, j = 1,2,,τ() : H i H j d i d j Παράδειγµα Η κυκλική οµάδα (Z 18,+) = [1] = { [0],[1],[2],,[17] }, όπου [k] = [k] 18, 0 k 17. Οι διαιρέτες του 18 είναι : 1,2,3,6,9,18 και άρα τ(18) = 6. Εποµένως, ϑα έχουµε ακριβώς 6 υποοµάδες H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6 στην Z 18, ακριβώς µια για κάθε διαιρέτη του 18, µε τάξη αντίστοιχα : 1,2,3,6,9,18. Αυτές οι υποοµάδες περιγράφονται στον ακόλουθο πίνακα : ιαιρέτης του 18 Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας 1 H 1 = 18 1 [1] = 18[1] = [18] = [0] = {[0]} 1 2 H 2 = 18 2 [1] = 9[1] = [9] 2 3 H 3 = 18 3 [1] = 6[1] = [6] 3 6 H 4 = 18 6 = 3[1] = [3] 6 9 H 5 = 18 9 [1] = 2[1] = [2] 9 18 H 6 = [1] = [1] = Z Για παράδειγµα : H 6 = [3] = { [3],[6],[9],[12],[15],[0] } Οι αριθµοί k µε 1 k 18 και (18,k) = 1 είναι ϕ(18) = ϕ(2 3 2 ) = 18(1 1 2 )(1 1 3 ) = = 6 Πραγµατικά : { k N 1 k 18 και (18,k) = 1 } = { 1,5,7,11,13,17 } Εποµένως οι γεννήτορες της Z 18 είναι οι ακόλουθοι : 1[1] = [1], 5[1] = [5], 7[1] = [7], 11[1] = [11], 13[1] = [13], 17[1] = [17] Επειδή µεταξύ των διαιρετών d = 1,2,3,6,9,18 του 18 έχουµε τις ακόλουθες, εκτός από τις προφανείς d 18, σχέσεις διαιρετότητας : 2 6, 3 6, 3 9

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 229 µεταξύ των υποοµάδων H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 ϑα έχουµε τις ακόλουθες εγκλείσεις (εκτός από τις προφανείς H d Z 18 = H 18 και H 1 = {[0]} H d ): H 2 H 6, H 3 H 6, H 3 H 9 δηλαδή : [9] [3], [6] [3], [6] [2] Η εκτεθείσα ϑεωρία µάς επιτρέπει να σχεδιάσουµε το διάγραµµα Hasse κάθε κυκλικής οµάδας. Υπεν- ϑυµίζουµε από την υποενότητα 2.4.3, ότι το διάγραµµα Hasse µιας οµάδας G είναι το διάγραµµα Hasse του µερικώς διατεταγµένου συνόλου (Sub(G), ), όπου Sub(G) = { H G } είναι το σύνολο των υποοµάδων της G εφοδιασµένο µε την σχέση : H 1 H 2 αν και µόνο αν η H 1 είναι υποοµάδα της H 2 ή ισοδύναµα H 1 H 2 (δηλαδή στην περίπτωσή µας η σχέση περιορισµένη στο σύνολο Sub(G) συµπίπτει µε την σχέση του περιέχεσθαι). Στη συνέχεια ϑα δούµε ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα διαγράµµατος Hasse µιας κυκλικής οµάδας. Παράδειγµα (Το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της (Z 60,+)). Το σύνολο των διαιρετών του 60 είναι { 60,30,20,15,12,10,6,5,4,3,2,1 }. Ετσι υπάρχουν τ(60) = 12 διαιρέτες d 1,d 2,,d 12 του 60 και εποµένως υπάρχουν 12 υποοµάδες H 1, H 2,, H 12 της Z 60. Ο παρακάτω πίνακας δίνει για κάθε διαιρέτη d i του 60 την αντίστοιχη κυκλική υποοµάδα H i της Z 60 µε τον γεννήτορα της, και την τάξη της. Χάριν ευκολίας γράφουµε [k] = [k] 60, k Z. ιαιρέτης του 60 Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας 1 H 1 = 60 1 [1] = 60[1] = [60] = [0] = {[0]} 1 2 H 2 = 60 2 [1] = 30[1] = [30] 2 3 H 3 = 60 3 [1] = 20[1] = [20] 3 4 H 4 = 60 4 = 15[1] = [15] 4 5 H 5 = 60 5 [1] = 12[1] = [12] 5 6 H 6 = 60 6 [1] = 10[1] = [10] 6 10 H 7 = [1] = 6[1] = [6] H 8 = [1] = 5[1] = [5] H 9 = [1] = 4[1] = [4] H 10 = [1] = 3[1] = [3] H 11 = [1] = 2[1] = [2] H 12 = [1] = [1] = Z Λαµβάνοντας υπόψη τον παραπάνω πίνακα και τον ορισµό του διαγράµµατος Hasse όπως στην υποενότητα 2.4.3, ϑα έχουµε : Το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων τής (Z 60,+) [1] [2] [5] [4] [3] [10] [6] [20] [15] [12] [30] [0]

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 230 Η υποοµάδα [2] Z 60 η οποία είναι τάξης 30 περιέχει όλες τις υποοµάδες H τής Z 60 µε τάξη διαιρέτη του 30, δηλαδή περιέχει ακριβώς τις : [2], [4], [10], [20], [6], [12], [30] και [0]. Η υποοµάδα [5] Z 60 η οποία είναι τάξης 12 περιέχει όλες τις υποοµάδες H τής Z 60 µε τάξη διαιρέτη του 12, δηλαδή περιέχει ακριβώς τις : [5], [10], [15], [20], [30] και [0]. Η υποοµάδα [3] Z 60 η οποία είναι τάξης 20 περιέχει όλες τις υποοµάδες H τής Z 60 µε τάξη διαιρέτη του 20, δηλαδή περιέχει ακριβώς τις : [3], [6], [15], [30], [12] και [0]. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για τις υπόλοιπες υποοµάδες. Το Θεώρηµα του Gauss Υπενθυµίζουµε ότι, σύµφωνα µε το Πόρισµα 3.2.3, αν C = x είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα µε γεννήτορα x και τάξη, τότε το στοιχείο x k είναι επίσης γεννήτορας τής C αν και µόνο αν οι k και είναι σχετικά πρώτοι αριθµοί : (k,) = 1. Ετσι έχουµε Ge(C) = φ() όπου Ge(C) συµβολίζει το σύνολο των γεννητόρων τής C και φ είναι η συνάρτηση του Euler. Το Θεώρηµα που ακολουθεί είναι ένα πολύ χρήσιµο αποτέλεσµα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθµών, το οποίο αποδεικνύουµε µε µεθόδους της Θεωρίας Οµάδων. Θεώρηµα (Θεώρηµα του Gauss). 1 Αν είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε = d φ(d). Απόδειξη. Αν G είναι µια τυχούσα πεπερασµένη οµάδα, τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι η G είναι µια ξένη ένωση G = C Cyc(G) Ge(C) ( ) όπου το C διατρέχει το σύνολο Cyc(G) όλων των κυκλικών υποοµάδων της G. Πράγµατι, κάθε στοιχείο x της G παράγει µια κυκλική υποοµάδα της G, και άρα C Cyc(G) Ge(C) = G. Εστω C και D δύο κυκλικές υποοµάδες της G και έστω z Ge(C) Ge(D). Τότε C = z = D, και εποµένως αν C D, τότε Ge(C) Ge(D) =. Άρα η σχέση ( ) περιγράφει µια ξένη ένωση µη κενών υποσυνόλων της G, και εποµένως : G = C Cyc(G) Ge(C) = C Cyc(G) Ge(C) = C Cyc(G) φ(d), όπου d = C Αν η οµάδα G είναι τάξης, τότε ϑα έχουµε = G = C Cyc(G) φ(d), όπου d = C. Αν η οµάδα G είναι κυκλική τάξης, τότε γνωρίζουµε ότι κάθε υποοµάδα της G είναι κυκλική και το πλήθος των υποοµάδων της είναι όσοι και οι διαιρέτες της τάξης της G. Ιδιαίτερα, επειδή για κάθε διαιρέτη d της τάξης = G της G υπάρχει µοναδική υποµάδα της G µε τάξη τον διαιρέτη, έπεται ότι στο παραπάνω άθροισµα = C Cyc(G) φ(d) µπορούµε να γράψουµε : = C Cyc(G)φ(d) = φ(d) d 1 Carl Friedrich Gauss (30 Απριλίου Φεβρουαρίου 1855) [ Gauss]: Γερµανός µαθηµατικός, γνωστός και ως ο Πρίγκιπας των Μαθηµατικών. Θεωρείται από τους επιφανέστερους και επιδραστικότερους µαθηµατικούς όλων των εποχών. Το έργο του αποτελεί ϑεµελιώδη συµβολή σε πολλές περιοχές των Μαθηµατικών αλλά και άλλων επιστηµών. Αναφέρουµε ενδεικτικά : Θεωρία Αριθµών, Άλγεβρα, ιαφορική Γεωµετρία, Μαθηµατική Ανάλυση, Στατιστική, Θεωρία Πινάκων, Γεωφυσική-Γεωδεσία, Οπτική κλπ.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Ευθέα Γινόµενα Κυκλικών Οµάδων Υπενθυµίζουµε ότι, αν G και H είναι δύο οµάδες, τότε το ευθύ γινόµενο G H των G και H είναι το σύνολο G H = { (g,h) G H g G και h H } το οποίο αποτελεί οµάδα όταν εφοδιαστεί µε την πράξη : (g 1,h 1 )(g 2,h 2 ) = (g 1 g 2,h 1 h 2 ) Σηµειώνουµε ότι γράφοντας g 1 g 2 υπονοούµε την πράξη της G και γράφοντας h 1 h 2 υπονοούµε την πραξη της H. Το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G H είναι το Ϲεύγος (e G,e H ), όπου e G είναι το ουδέτερο στοιχείο της G και e H είναι το ουδέτερο στοιχείο της H. Τέλος, το αντίστροφο του στοιχείου (g,h) G H είναι το στοιχείο (g 1,h 1 ), όπου g 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου g στην G και h 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου h στην H. Συνήθως ϑα συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο e το ουδέτερο στοιχείο των δύο οµάδων G και H. Το παρακάτω χρήσιµο αποτέλεσµα χαρακτηρίζει ιδιαίτερα πότε το ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων είναι κυκλική οµάδα : το ευθύ γινόµενο δύο κυκλικών οµάδων είναι κυκλική οµάδα αν και µόνο αν είτε η µία εκ των δύο είναι η τετριµµένη οµάδα ή και οι δύο οµάδες είναι πεπερασµένες µε τάξεις σχετικά πρώτους αριθµούς. Θεώρηµα Εστω G και H δύο κυκλικές οµάδες. 1. Αν µια εκ των G και H είναι η τετριµµένη οµάδα, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H είναι κυκλική. 2. Υποθέτουµε ότι οι κυκλικές οµάδες G και H είναι µη τετριµµένες. (αʹ) Αν µια από τις G και H είναι άπειρη κυκλική, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν είναι ποτέ κυκλική. (ϐʹ) Αν G και H είναι πεπερασµένες κυκλικές, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H είναι κυκλική αν και µόνο αν : ( o(g),o(h) ) = 1 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι οι οµάδες G και H είναι κυκλικές µε γεννήτορες τα στοιχεία a και b αντίστοιχα : G = a = { a k G k Z } και H = b = { b l H l Z } 1. Υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα H είναι τετριµµένη, δηλαδή b = e H : H = e H = { } e H. Τότε το στοιχείο (a,e H ) είναι γεννήτορας της οµάδας G H. Πράγµατι, αν (x, y) G H, τότε y = e H και, επειδή x G, ϑα έχουµε x = a k για κάποιον ακέραιο k. Τότε (a,e H ) k = (a k,e k H ) = (ak,e H ) = (x, y). Εποµένως, πράγµατι G H = (a,e H ) και άρα η οµάδα G H είναι κυκλική. Παρόµοια, αν η οµάδα G είναι τετριµµένη, τότε η οµάδα G H είναι κυκλική µε γεννήτορα το στοιχείο (e G,b). 2. Υποθέτουµε ότι καµία εκ των κυκλικών οµάδων G και H δεν είναι τετριµµένη. (αʹ) Εστω ότι η οµάδα G H είναι κυκλική και έστω (x, y) G H ένας γεννήτοράς της : G H = (x, y). Τότε, επειδή x G = a και y H = b, ϑα έχουµε : x = a k και y = b l, όπου k,l Z Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα H είναι άπειρη, και τότε o(b) =. Θεωρούµε το στοιχείο (a,e H ) G = (x, y). Τότε υπάρχει ακέραιος i έτσι ώστε : (a,e H ) = (x, y) i = (x i, y i ) = ((a k ) i,b l ) i ) = (a ki,b li ) = a = a ki και e H = b li Επειδή το στοιχείο b έχει άπειρη τάξη, έπεται ότι li = 0, και εποµένως, είτε l = 0 είτε i = 0. Αν i = 0, τότε a = a ki = a 0 = e G, το οποίο είναι άτοπο, διότι η κυκλική οµάδα G δεν είναι η

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 232 τετριµµένη. Άρα l = 0 και τότε y = b l = b 0 = e H. Ετσι ο γεννήτορας (x, y) της G H είναι της µορφής (x,e H ) = (a k,e H ). Θεωρούµε το στοιχείο (e G,b) G H = (x,e H ). Τότε, υπάρχει ακέραιος j έτσι ώστε : (e G,b) = (x,e H ) j = (x j,e j H ) = ((ak ) j,e H ) = (a k j,e H ) = e G = a k j και b = e H Εποµένως H = b = e H = {e H }, το οποίο είναι άτοπο, διότι η H δεν είναι τετριµµένη. Ετσι, σε κάθε περίπτωση καταλήγουµε σε άτοπο, και εποµένως η οµάδα G H δεν είναι κυκλική. Παρόµοια εργαζόµαστε, αν η κυκλική οµάδα G είναι άπειρη. (ϐʹ) 2 Υποθέτουµε ότι οι κυκλικές οµάδες G και H είναι πεπερασµένες, και έστω : o(g) = o(a) = και o(h) = o(b) = m «=» Υποθέτουµε πρώτα ότι (,m) = 1. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο (a,b) είναι γεννήτορας της G H. Επειδή η G H έχει τάξη G H = G H = m <, έπεται ότι το στοιχείο (a,b) ϑα έχει πεπερασµένη τάξη, έστω o((a,b)) = r. Τότε από το Θεώρηµα του Lagrage ϑα έχουµε r m, και επειδή (a,b) r = (e,e), ϑα έχουµε (a r,b r ) = (e,e). Τότε a r = e και b r = e. Τότε όµως ϑα έχουµε και o(a) r και o(b) r, δηλαδή : r και m r. Τότε όµως [,m] r και επειδή (,m) = 1, έπεται ότι [,m] = m και άρα ϑα έχουµε m r. Ετσι o((a,b)) = r = m = o(g H) και εποµένως η κυκλική υποοµάδα της G H η οποία παράγεται από το στοιχείο (a,b) συµπίπτει µε την G H, δηλαδή : G H = (a,b) και άρα η G H είναι κυκλική. «=» Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι η G H είναι κυκλική και έστω G H = (x, y). Τότε o((x, y)) = m. Υποθέτουµε ότι (,m) = d 1. Τότε d και d m και άρα : d, m d N. Επειδή x G και o(g) =, ϑα έχουµε x = e G, και επειδή x G και o(h) = m, ϑα έχουµε y m = e H. Εποµένως ϑα έχουµε : (x, y) m d = (x m d d. Εποµέ- και άρα m m m d, δηλαδή m d νως ϑα έχουµε d = (m,) = 1. m (, y d ) = (x ) m d,(y m ) ) ( m d = e d,e d ) = (eg,e H ) = e G H m και επειδή d 1 καταλήγουµε στο άτοπο m < Παράδειγµα Σύµφωνα µε το Θεώρηµα , η οµάδα Z 2 Z 2 (η οποία είναι ισόµορφη µε την οµάδα του Klei) δεν είναι κυκλική οµάδα, η οµάδα Z 2 Z 3 είναι κυκλική οµάδα µε γεννήτορα το στοιχείο ([1] 2,[1] 3 ), και οι οµάδες Z Z και Z Z 2 δεν είναι κυκλικές οµάδες. Παράδειγµα Θεωρούµε την οµάδα ευθύ γινόµενο Z 5 Z 13 Z 31. Επειδή (5,13) = 1, έπεται ότι η οµάδα Z 5 Z 13 είναι κυκλική µε τάξη 5 13 = 65. Επειδή (65,31) = 1, έπεται ότι η οµάδα (Z 5 Z 13 ) Z 31 είναι κυκλική τάξης = ιαφορετική Απόδειξη µε χρήση της Πρότασης και της, γνωστής από τη Θεωρία Αριθµών, σχέσης (,m)[,m] = m (ϐλέπε την Πρόταση 0.3.7(: «=» Υποθέτουµε πρώτα ότι (,m) = 1. Τότε από την Πρόταση , έπεται ότι o((a,b)) = [o(a),o(b)] = [,m] = m, διότι (,m) = 1 εποµένως η κυκλική υποοµάδα της G H η οποία παράγεται από το στοιχείο (a,b) συµπίπτει µε την G H, δηλαδή : G H = (a,b) και άρα η G H είναι κυκλική. «=» Αντίστροφα υποθέτουµε ότι η G H είναι κυκλική και έστω G H = (x, y). Τότε x G = a, και άρα x = a k, για κάποιο k Z, και y H = b, και άρα y = b l, για κάποιο l Z. Χρησιµοποιώντας ότι o(x) = o(a k ) = o(a) (o(a),k) = (,k) και o(y) = o(bl ) = o(b) (o(b),l) = m (m,k), ϑα έχουµε m = G H = o((x, y)) = [o(x),o(y)] = o(x)o(y) m (o(x),o(y)) = (,k) (m,k) m ( (,k), m ) = (,k)(m,k) ( (m,k) (,k), m ) = (,k)(m,k) ( (,k), m ) = 1 (m,k) (m,k) Τότε ϑα έχουµε (,k) = (m,k) = ( (,k), m ) (m,k) = 1 από όπου έπεται ότι (,m) = 1.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 233 Παράδειγµα Αν p και q είναι πρώτοι αριθµοί, όπου p q, και r, s 1, τότε επειδή (p r, q s ) = 1, από το Θεώρηµα , έπεται ότι η οµάδα ευθύ γινόµενο Z p r Z q s είναι κυκλική µε τάξη p r q s, και µάλιστα ϑα έχουµε : Z p r Z q s = ([1] p r,[1] q s ) Επειδή οι διαιρέτες του p r q s είναι σε πλήθος τ(p r q s ) = (1 + r )(1 + s), δηλαδή οι αριθµοί 1, p, p 2,, p r, q, q 2,, q s, pq, pq 2,, pq s,, p r q, p r q 2,, p r q s έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s έχει (1 + r )(1 + s) υποοµάδες, δηλαδή µια και µόνο µια υποοµάδα τάξης p i q j, οπου 0 i r και 0 j s. Από την άλλη πλευρά, επειδή ϕ(p r q s ) = p r q s (1 1 p )(1 1 q ) = pr 1 (p 1)q s 1 (q 1) έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s ϑα έχει p r 1 (p 1)q s 1 (q 1) το πλήθος γεννήτορες Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων Στην παρούσα υποενότητα ϑα δούµε την ταξινόµηση των κυκλικών οµάδων σε κλάσεις ισοµορφίας, µέσω οικείων µοντέλων. Υπενθυµίζουµε ότι : 1. Η οµάδα (Z,+) είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα. 2. 2, η οµάδα (Z,+) είναι κυκλική τάξης. Ιδιαίτερα ϑα δούµε ότι κάθε άπειρη κυκλική οµάδα είναι ισόµορφη µε την (Z, +), και κάθε πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης είναι ισόµορφη µε την (Z,+). Από την υποενότητα 2.8, υπενθυµίζουµε ότι Ορισµός Μια απεικόνιση f : G G µεταξύ δύο οµάδων G και G καλείται ισοµορφισµός αν : 1. Η f είναι «1-1» και «επί». 2. x, y G: f (x y) = f (x)f (y). Η δεύτερη συνθήκη του παραπάνω ορισµού δείχνει ότι ένας ισοµορφισµός f : G G στέλνει γινόµενα x y στοιχείων x, y της G σε γινόµενα f (x) f (y) των εικόνων f (x), f (y) των στοιχείων x, y µέσω της f στην G. Υπενθυµίζουµε επίσης ότι µε Grp συµβολίζουµε τη συλλογή όλων των οµάδων, επί της οποίας η σχέση ισοµορφίας «=» G 1,G 2 Grp : G 1 = G2 υπάρχει ισοµορφισµός f : G 1 G 2 είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Θεώρηµα Εστω G = a µια κυκλική οµάδα. 1. Αν η G είναι άπειρη, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων : G = (Z,+) 2. Αν η G είναι πεπερασµένη τάξης, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των κλάσεων υπολοίπων ακεραίων mod : G = (Z,+)

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνο αν έχουν την ίδια τάξη : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. 1. Θεωρούµε την απεικόνιση f : Z G, f () = a Επειδή G = { a Z }, προφανώς η απεικόνιση f είναι «επί». Αν f () = f (m), τότε a = a m, από όπου έπεται ότι a m = e. Επειδή η οµάδα G = a είναι άπειρη, ϑα έχουµε o(a) =, και εποµένως m = 0, δηλαδή = m και η f είναι «1-1». Τέλος, επειδή f ( + m) = a +m = a a m = f ()f (m) έπεται ότι η απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός, και εποµένως οι οµάδες G και (Z, +) είναι ισόµορφες. 2. είχνουµε πρώτα ότι ορίζοντας f : Z G, f ([k] ) = a k αποκτούµε µια καλά ορισµένη απεικόνιση. Πραγµατικά, αν [k] = [m], τότε k m και εποµένως k m = r για κάποιον ακέραιο r. Τότε k = m + r, και ϑα έχουµε : a k = a m+r = a m a r = a m (a ) r = a m e = a m = f ([k] ) = f ([m] ) Ετσι η f είναι καλά ορισµένη. Αν f ([k] ) = f ([m] ), τότε a k = a m και άρα a k m = e. Τότε = G = o(a) k m, και εποµένως [k] = [m]. ηλαδή η f είναι «1-1». Επειδή G = { a Z }, προφανώς η απεικόνιση f είναι «επί». Τέλος, ϑα έχουµε : f ([k] + [m] ) = f ([k + m] ) = a k+m = a k a m = f ([k] )f ([m] ) Εποµένως η f είναι ισοµορφισµός οµάδων, και άρα οι οµάδες G και (Z,+) είναι ισόµορφες. 3. Αν οι κυκλικές οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες, τότε οι έχουν το ίδιο πληθος στοιχείων διότι υπάρχει µια «1-1» και «επί» απεικόνιση µεταξύ αυτών. Άρα οι G 1 και G 2 έχουν την ίδια τάξη. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι οι G 1 και G 2 έχουν την ίδια τάξη. (α) Εστω ότι o(g 1 ) = = o(g 2 ). Τότε οι G 1 και G 2 είναι κάθεµιά τους ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z,+), όπως προκύπτει από το µέρος 1.. Εποµένως ϑα είναι και µεταξύ τους ισόµορφες, διότι η σχέση ισοµορφίας στην συλλογή όλων των οµάδων είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Άρα G 1 = Z = G2. (β) Εστω ότι o(g 1 ) = = o(g 2 ). Τότε οι G 1 και G 2 είναι κάθεµιά τους ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z,+), όπως προκύπτει από το µέρος 2. Εποµένως ϑα είναι και µεταξύ τους ισόµορφες, διότι η σχέση ισοµορφίας στην συλλογή όλων των οµάδων είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Άρα G 1 = Z = G2. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα , όλες οι κυκλικές οµάδες άπειρης τάξης είναι ισόµορφες µεταξύ τους και ισόµορφες µε το ϐασικό µοντέλο άπειρης κυκλικής οµάδας : την (Z, +). Επίσης όλες οι κυκλικές οµάδες πεπερασµένης τάξης είναι ισόµορφες µεταξύ τους και ισόµορφες µε το ϐασικό µοντέλο κυκλικής οµάδας τάξης : την (Z,+). Συνοψίζοντας : µε ακρίβεια ισοµορφισµού, οι µόνες κυκλικές οµάδες είναι οι εξής (όπου (Z 1,+) είναι η τετριµµένη κυκλική οµάδα µε ένα στοιχείο): (Z,+), (Z 1,+), (Z 2,+), (Z 3,+),, (Z,+), Κάθε άλλη κυκλική οµάδα, ανάλογα µε την τάξη της είναι ισόµορφη µε µια από τις παραπάνω. Οι παραπάνω παρατηρήσεις µάς επιτρέπουν να περιγράψουµε το σύνολο πηλίκο CyGrp / = της κλάσης όλων των κυκλικών οµάδων CyGrp ως προς την σχέση ισοµορφίας «=»:

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 235 Θεώρηµα Η απεικόνιση o: Grp N { }, G o(g) = G η οποία στέλνει µια οµάδα στην τάξη της, επάγει µια απεικόνιση «επί»: o : Grp / = N { }, o([g] = ) = o(g) η οποία µε τη σειρά της επάγει µια «1-1» και «επί» απεικόνιση o : CyGrp / = N { }, o([g] = ) = o(g) Επιπλέον το σύνολο πηλίκο CyGrp / } = = {[Z] =, [Z 1 ] =, [Z 2 ] =,, [Z ] =, περιγράφει το σύνολο όλων των κλάσεων ισοµορφίας των κυκλικών οµάδων. Απόδειξη. Η απεικόνιση «o» επί του συνόλου πηλίκου Grp / = είναι καλά ορισµένη διότι ισόµορφες οµάδες έχουν την ίδια τάξη. Η απεικόνιση αυτή είναι «επί» διότι για κάθε N { }, υπάρχει οµάδα G έτσι ώστε o([g] = ) =, για παράδειγµα G = (Z,+) αν N και G = (Z,+) αν =. Προφανώς η απεικόνιση «o» είναι καλά ορισµένη απεικόνιση επί του συνόλου πηλίκου CyGrp / =, η οποία είναι προφανώς απεικόνιση «επί». Αν [G 1 ] =,[G 2 ] = είναι στοιχεία του συνόλου πηλίκου CyGrp / =, δηλαδή είναι κλάσεις ισοµορφίας δύο κυκλικών οµάδων G 1 και G 2, και ισχύει o([g 1 ] = ) = o([g 2 ] = ), τότε o(g 1 ) = o(g 2 ). Απο το Θεώρηµα , έπεται ότι οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες : G 1 = G2. Τότε προφανώς [G 1 ] = = [G 2 ] =, και εποµένως η απεικόνιση «o» είναι και «1-1». Τέλος, η περιγραφή του συνόλου πηλίκο CyGrp / = προκύπτει από το Θεώρηµα Στο επόµενο παράδειγµα ϑα χρησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα τα οποία έχουµε αποδείξει µέχρι τώρα για να ταξινοµήσουµε, ως προς τη σχέση ισοµορφίας, όλες τις οµάδες (G, ) µε τάξη o(g) 7. Παράδειγµα (Ταξινόµηση οµάδων τάξης 7). Εστω (G, ) µια οµάδα µε τάξη o(g) Αν o(g) = 1, τότε η G είναι η τετριµµένη οµάδα {e} = Z Αν η τάξη της G είναι πρώτος αριθµός, δηλαδή στην περίπτωσή µας o(g) = 2,3,5 ή 7, τότε σύµφωνα µε την Πρόταση η οµάδα G είναι κυκλική, και εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα , ϑα είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z 2, Z 3, Z 5, και Z 7 αντίστοιχα. 3. Αν o(g) = 4, τότε από το Παράδειγµα γνωρίζουµε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο µη ισόµορφες οµάδας µε τάξη 4, η οµάδα του Klei και η κυκλική οµάδα τάξης 4. Εποµένως έχουµε τις εξής δύο µη ισόµορφες οµάδες τάξης 4: Z 4, και Z 2 Z Υποθέτουµε ότι : o(g) = 6. (αʹ) Αν η οµάδα G περιέχει ένα στοιχείο τάξης 6, τότε το στοιχείο αυτό είναι προφανώς γεννήτορας της G και εποµένως η G είναι κυκλική τάξης 6. Σε αυτή την περίπτωση, από το Θεώρηµα , η G είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z 6. (ϐʹ) Υποθέτουµε ότι κανένα στοιχείο της G δεν έχει τάξη 6. Τότε, από το Θεώρηµα του Lagrage, η τάξη κάθε στοιχείου της G, διαφορετικού του ουδετέρου, ϑα είναι 2 ή 3. Αν όλα τα στοιχεία a G, όπου a e, έχουν τάξη ίση µε 2, τότε η G ϑα περιέχει τουλάχιστον τα εξής στοιχεία e, a,b, ab = ba, και εποµένως ϑα υπάρχει ένα στοιχείο c G \{e, a,b, ab} το οποίο επίσης ϑα έχει τάξη 2. Τότε όµως η οµάδα G ϑα περιέχει και τα στοιχεία ac και bc. Επειδή τα στοιχεία e, a,b, ab,c είναι διαφορετικά, και επειδή η G έχει 6 στοιχεία, ϑα πρέπει τα στοιχεία e, a,b, ab,c, ac,bc να µην είναι όλα διαφορετικά. Προφανώς ac e, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε c = a 1 = a, και ac ab, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε b = c, και ac a, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε c = e. Άρα µένει η περίπτωση ac = b, και τότε ϑα είχαµε bac = bb = e, και άρα c = c 1 = ba = ab, το οποίο είναι άτοπο διότι c ab. Άρα τα 6 στοιχεία e, a,b,c, ab, ac είναι διαφορετικά και άρα G = {e, a,b,c, ab, ac}. Για το στοιχείο bc, ϑα έχουµε ότι bc e, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 236 c = b 1 = b, και bc b, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε c = e, και bc c, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε b = e, και bc ba, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε c = a. Άρα µένει η περίπτωση bc = a, και τότε ϑα είχαµε c = ec = bbc = ba = ab, το οποίο είναι άτοπο, διότι c ab. Άρα µένει η περίπτωση ac = bc η οποία µας οδηγεί στην αντίφαση a = b. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι δεν µπορεί κάθε στοιχείο της G, εκτός του ουδετέρου, να έχει τάξη 2. Εποµένως υπάρχουν στοιχεία a,b G, όπου a b και o(a) = 2 και o(b) = 3. Θα δείξουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε την συµµετρική οµάδα S 3. Παρατηρούµε ότι ϑα πρέπει ab ba. Πράγµατι, αν ab = ba, τότε από την Πρόταση ϑα είχαµε ότι o(ab) = 6, το οποίο είναι άτοπο διότι η G δεν έχει στοιχεία τάξης 6. Εποµένως ab ba και τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι τα έξι στοιχεία e, a,b,b 2, ab,ba είναι διαφορετικά και εποµένως G = {e, a,b,b 2, ab,ba}. Θεωρούµε την απεικόνιση f : G S 3, f (e) = ι, f (a) = (12), f (b) = (123), f (b 2 ) = (132), f (ab) = (23), f (ba) = (13) η οποία είναι προφανώς «1-1» και «επί». Εύκολα ϐλέπουµε ότι f (x y) = f (x)f (y), x, y G. Εποµένως η απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός, και άρα G = S 3. Παράδειγµα (Ταξινόµηση οµάδων τάξης 15 και 8,9,12). Εστω (G, ) µια οµάδα µε τάξη o(g) 15 και υποθέτουµε ότι o(g) 8,9, Αν G 7, τότε η δοµή της G είναι γνωστή από το Παράδειγµα Αν G = 10, τότε από το Θεώρηµα έπεται ότι η G είναι ισόµορφη είτε µε την κυκλική οµάδα Z 10 (αν η G είναι αβελιανή) είτε µε τη διεδρική οµάδα D 5 των συµµετριών του κανονικού πενταγώνου (αν η G δεν είναι αβελιανή). Σηµειώνουµε ότι, επειδή (2,5) = 1, από το Θεώρηµα η οµάδα Z 2 Z 5 είναι κυκλική και τότε από το Θεώρηµα ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό οµάδων Z 2 Z 5 = Z10. Ετσι µε ακρίβεια ισοµορφίας οι µόνες ανά δύο µη ισόµορφες οµάδες τάξης 10 είναι οι εξής : Z 10 και D 5 3. Αν G = 14, τότε από το Θεώρηµα έπεται ότι η G είναι ισόµορφη είτε µε την κυκλική οµάδα Z 14 (αν η G είναι αβελιανή) είτε µε τη διεδρική οµάδα D 7 των συµµετριών του κανονικού επταγώνου (αν η G δεν είναι αβελιανή). Σηµειώνουµε ότι επειδή (2,7) = 1, από το Θεώρηµα η οµάδα Z 2 Z 7 είναι κυκλική και τότε από το Θεώρηµα ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό οµάδων Z 2 Z 7 = Z14. Ετσι µε ακρίβεια ισοµορφίας οι µόνες ανά δύο µή ισόµορφες οµάδες τάξης 14 είναι οι εξής : Z 14 και D 7 4. Αν G = 11 τότε επειδή οι αριθµός 11 είναι πρώτος, η οµάδα G ϑα είναι κυκλική και άρα ισόµορφη µε την Z 11. Ετσι, µε ακρίβεια ισοµορφίας, υπάρχει µόνο µια οµάδα τάξης 11, η Z Αν G = 13, τότε, επειδή οι αριθµός 13 είναι πρώτος, η οµάδα G ϑα είναι κυκλική και άρα ισόµορφη µε την Z 13. Ετσι, µε ακρίβεια ισοµορφίας, υπάρχει µόνο µια οµάδα τάξης 13, η Z Αν G = 15, τότε, από το Θεώρηµα 3.7.7, έπεται ότι αναγκαστικά η G είναι αβελιανή. Από το Θεώρηµα 3.7.6, έπεται ότι η G είναι κυκλική και εποµένως από το Θεώρηµα ϑα είναι ισόµορφη µε την Z 15 η οποία, σύµφωνα µε το Θεώρηµα , επειδή (3,5) = 1, είναι ισόµορφη µε το ευθύ γινόµενο Z 3 Z 5. Ετσι µε ακρίβεια ισοµορφίας η µόνη οµάδα τάξης 15 είναι η : Z 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 237 Σηµειώνουµε ότι για τις οµάδες µε τάξη 8, 9, και 14, αποδεικνύεται µε περισσότερο προχωρηµένες µεθόδους ότι ισχύουν τα ακόλουθα, ϐλέπε τα ϐιβλία [16], [26], [31]: (α) Αν G = 8, τότε οι µόνες ανά δύο µη ισόµορφες οµάδες µε τάξη 8 είναι, µε ακρίβεια ισοµορφίας, οι εξής : Z 8, Z 4 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2, D 4, Q όπου D 4 είναι η διεδρική οµάδα των συµµετριών του τετραγώνου και η Q είναι η οµάδα των τετρανίων του Hamilto. (β) Αν G = 9, τότε µε ακρίβεια ισοµορφίας η µόνες ανά δύο µη ισόµορφες οµάδες τάξης 9 είναι οι εξής : Z 9 και Z 3 Z 3 (γ) Αν G = 12, τότε οι µόνες ανά δύο µη ισόµορφες οµάδες µε τάξη 12 είναι, µε ακρίβεια ισοµορφίας, οι εξής : Z 12, Z 6 Z 2, A 4, D 6, Dic 12 όπου D 6 είναι η διεδρική οµάδα των συµµετριών του κανονικού εξαγώνου, η A 4 είναι η εναλλάσσουσα οµάδα ϐαθµού 4, και Dic 12 είναι µια οµάδα 3 η οποία παράγεται από τρία στοιχεία x, y και z για τα οποία ισχύει ότι : x 3 = y 2 = z 2 = x yz. 4.2 Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Σύµφωνα µε την πρόταση 3.4.7, αν (G, ) είναι µια πεπερασµένη οµάδα, τότε η τάξη της o(g) έχει την ιδιότητα : x o(g) = e, x G. Η ακόλουθη πρόταση δείχνει ότι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα ικανοποιεί κάτι ισχυρότερο : Πρόταση Εστω (G, ) µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα. Τότε ο ϕυσικός αριθµός o(g) είναι ο µικρότερος ϕυσικός αριθµός έτσι ώστε : x = e, x G. Απόδειξη. Εστω g ένας γεννήτορας της G: G = g. Τότε o(g) = o(g ) := και, όπως γνωρίζουµε, είναι ο µικρότερος ϕυσικός m έτσι ώστε g m = e. Εστω x G. Επειδή G = g = { e = g 0, g, g 2,, g 1} ϑα έχουµε x = g k για κάποιο k 1. Τότε x o(g ) = (g k ) o(g ) = e. Προφανώς ο ϕυσικός είναι ο µικρότερος ο µικρότερος ϕυσικός m έτσι ώστε x m = e, x G, διότι, αν υπήρχε ϕυσικός m < έτσι ώστε x m = e, x G, τότε ϑα ίσχυε g m = e, κάτι που είναι άτοπο διότι o(g ) =. Οι κύριοι σκοποί της παρούσας ενότητας είναι οι εξής : 1. Πρώτος σκοπός είναι να αποδείξουµε ότι η ιδιότητα η οποία περιγράφεται στην πρόταση χαρακτηρίζει τις κυκλικές οµάδες στην κλάση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. 2. Από την άλλη πλευρά, όπως δείξαµε στο Θεώρηµα , µια κυκλική οµάδα G τάξης έχει το πολύ µια υποοµάδα τάξης k, k 1: πράγµατι, αν k, τότε δεν έχει καµία υποοµάδα τάξης k, και αν k, τότε έχει ακριβώς µια υποοµάδα τάξης k. εύτερος σκοπός της παρούσας ενότητας είναι να αποδείξουµε ότι η παραπάνω ιδιότητα χαρακτηρίζει τις κυκλικές οµάδες στην κλάση των πεπερασµένων οµάδων. Για την απόδειξη ϑα χρειαστούµε κάποιες ϐοηθητικές προτάσεις οι οποίες παρουσιάζουν ενδιαφέρον από µόνες τους. Στην απόδειξή τους ϑα χρησιµοποιήσουµε στοιχειώδη αποτελέσµατα της Θεωρίας Αριθµών. 3 Η οµάδα Dic12 καλείται η δικυκλική οµάδα τάξης 12 ή δυαδική διεδρική οµάδα τάξης 12.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Τάξη στοιχείων τα οποία µετατίθενται σε µια οµάδα Θα αποδείξουµε κάποια αποτελέσµατα τα οποία αφορούν τάξη γινοµένου στοιχείων τα οποία µετατίθενται σε µια οµάδα. Λήµµα Εστω ότι (G, ) είναι µια αβελιανή οµάδα και x, y G στοιχεία της G έτσι ώστε : o(x) < και o(x) < και ( o(x),o(y) ) = 1 Τότε : x y = {e} και o(x y) = o(x) o(y) ) Απόδειξη. Θέτουµε o(x) = m < και o(x) = <. Εστω z x y και εποµένως z x και z y. Άρα z = x k = y l, για κάποιους ακέραιους k,l. Τότε Εποµένως : z m = x km = (x m ) k = e και z = y l = (y ) l = e o(z) m και o(z) = o(z) (,m) (m,)=1 = o(z) = 1 Άρα z = e και εποµένως : x y = {e}. Επειδή η οµάδα G είναι αβελιανή, ο ισχυρισµός ότι o(x y) = m προκύπτει από την Πρόταση Χάριν πληρότητας ϑα δώσουµε µια σύντοµη απόδειξη. Εστω o(x y) = r. Τότε, λαµβάνοντας υπόψη ότι η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : και εποµένως : x r y r = (x y) r = e = x r = (y r ) 1 = y r x y = {e} x r = e και y r = e = x r = e και y r = e = o(x) = m r και o(y) = r Τότε [m,] r και, επειδή, όπως γνωρίζουµε από τη στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών, ισχύει ότι [m,](m,) = m, η υπόθεση (m,) = 1, συνεπάγεται ότι : m r. Από τη άλλη πλευρά : (x y) m = x m y m = (x m ) (y ) m = e e = e = r m Συµπεραίνουµε ότι m = r, δηλαδή : o(x y) = o(x)o(y) Λήµµα Εστω ότι (G, ) είναι µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε η G περιέχει ένα στοιχείο g του οποίου η τάξη είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων όλων των στοιχείων της G: Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι : g G : o(g ) = [o(g 1 ),o(g 2 ),,o(g )] αν x, y G και o(x) = m, o(y) =, τότε υπάρχει ένα στοιχείο z G έτσι ώστε : o(z) = [m,] Για τους ϑετικούς ακεραίους m, από την υποενότητα 0.3.2, έπεται ότι µπορούµε να γράψουµε : m = p e 1 1 pe 2 2 pe k k και = p f 1 1 p f 2 2 p f k k όπου οι p 1, p 2,, p k είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί, και e i, f i 0, 1 i k. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, (εν ανάγκη αναδιατάσσοντας τους πρώτους αριθµούς p 1, p 2,, p k ), µπορούµε να υποθέσουµε ότι : e 1 f 1,, e j f j και e j +1 f j +1,, e k f k, για κάποιο 1 j k

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 239 Θέτοντας ϐλέπουµε εύκολα ότι : Επιπλέον : [m,] = s r = p e 1 1 pe 2 2 pe j j m r = p f 1 1 p f 2 2 p f j p e j +1 j 1 p e j +2 2 p e k k o(x r ) = m r και εποµένως από το Λήµµα ϑα έχουµε ότι : και s = p f j +1 j +1 p f j +2 j +2 p f k k και o(y s ) = s το στοιχείο z = x r z s έχει τάξη o(z) = [m,] = s και ( m r, s ) = 1 Χρησιµοποιώντας την ακόλουθη γνωστή ταυτότητα ελαχίστου κοινού πολλαπλασίου : m,, t N : [[m,], t] = [m,, t] και επαναλαµβάνοντας την παραπάνω διαδικασία, ϑα έχουµε ότι : αν x, y, z G και o(x) = m, o(y) =, o(z) = t, τότε υπάρχει ένα στοιχείο w G έτσι ώστε : o(w) = [m,, t] Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία, και λαµβάνοντας υπόψη ότι η αβελιανή οµάδα είναι πεπερασµένη, µπορούµε επαγωγικά να κατασκευάσουµε ένα στοιχείο g µε την επιθυµητή ιδιότητα, δηλαδή η τάξη του g να είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των στοιχείων της G. Γενικότερα η τάξη του γινοµένου δυο στοιχείων πεπερασµένης τάξης τα οποία µετατίθενται σε µια οµάδα δεν είναι πάντα ίση µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των στοιχείων. Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει τι συµβαίνει στην γενική περίπτωση. Πρόταση Εστω x, y στοιχεία πεπερασµένης τάξης σε µια οµάδα G. Υποθέτουµε ότι : 1. x y = yx. 2. Για κάθε πρώτο αριθµό p o(x)o(y), η µέγιστη δύναµη του p η οποία διαιρεί την τάξη o(x) δεν είναι ίση µε την µέγιστη δύναµη του p η οποία διαιρεί την τάξη o(x). m r Τότε : o(x y) = [o(x),o(y)] Απόδειξη. Θέτουµε o(x) =, o(y) = m, και l = [,m]. Τότε l = k 1 και l = mk 2, και εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι x y = yx, ϑα έχουµε : (x y) l = x l y l = x k 1 y mk 2 = (x ) k 1 (y m ) k 2 = e Θα δείξουµε ότι ο αριθµός l είναι ο µικρότερος ϕυσικός k έτσι ώστε (x y) k = e. Εστω (x y) k = e, όπου 1 k l. Τότε (x y) k = x k y k = e και εποµένως x k = y k. Συνεπώς o(x k ) = o(y k ), και επειδή o(y k ) = o((y k ) 1 ) = o(y k, ϑα έχουµε (,k) = o(xk ) = o(y k ) = m (m,k) Εστω p ένας πρώτος διαιρέτης του m ή ισοδύναµα του l, και έστω 1. a η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον, 2. b η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον m,

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ c η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον k, Τότε από την υπόθεση έχουµε : a b. Επειδή k l, ϑα έχουµε προφανώς c a και c b. Υποθέτουµε πρώτα ότι b < a. Αν c < a, τότε, χρησιµοποιώντας για παράδειγµα αναλύσεις σε πρώτους παράγοντες, εύκολα ϐλέπουµε ότι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί την τάξη o(x k ) = (,k) του xk είναι a c, και η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί την τάξη o(y k ) = m (m,k) του yk είναι max{0,b c}. Άρα ϑα πρέπει a c = max{0,b c} και αυτό είναι αδύνατο, διότι b < a και c < a. Εποµένως c = a. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν a < b, τότε c = b. Αυτό σηµαίνει ότι, για κάθε πρώτο διαιρέτη p του l, έχουµε ότι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον k είναι ίση µε την µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον l. Επειδή k l, συµπεραίνουµε ότι k = l, και εποµένως l είναι η µικρότερος ϕυσικός αριθµός k µε την ιδιότητα (x y) k = e, δηλαδή o(x y) = l Χαρακτηρισµοί Κυκλικών Οµάδων Εστω ότι G είναι µια οµάδα. Υποθέτουµε ότι υπάρχει m N έτσι ώστε x m = e, x G. Για παράδειγµα, αυτή η υπόθεση ισχύει αν η G είναι πεπερασµένη (τότε µπορούµε να διαλέξουµε m = G ) ή αν η G είναι το ευθύ γινόµενο Z Z της πεπερασµένης κυκλικής οµάδας Z µε τον εαυτό της άπειρες ϕορές (τότε µπορούµε να διαλέξουµε m = ). Ο µικρότερος ϕυσικός k N έτσι ώστε x k = e, x G, καλείται ο εκθέτης της G και συµβολίζεται µε exp(g): exp(g) = mi { k N x k = e, x G } Προφανώς, αν G είναι µια αβελιανή οµάδα, τότε exp(g) G και ιδιαίτερα exp(g) = G. Λήµµα Εστω G = {g 1, g 2,, g } µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε : exp(g) = [o(g 1 ),o(g 2,,o(g )] και υπάρχει στοιχείο g στην G µε τάξη τον εκθέτη της G: g G : o(g ) = exp(g) Απόδειξη. Εστω m = [o(g 1 ),o(g 2,,o(g )]. Τότε προφανώς x m = e, x G, και εποµένως exp(g) m. Από την άλλη πλευρά, εξ ορισµού ϑα έχουµε, o(x) exp(g), x G, και άρα m exp(g), και ιδιαίτερα m exp(g). Εποµένως exp(g) = m = [o(g 1 ),o(g 2,,o(g )]. Ο τελευταίος ισχυρισµός προκύπτει από το Λήµµα Πρόβληµα : Πότε ισχύει ότι exp(g) = G, αν η G είναι µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα ; Την απάντηση δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα. Θεώρηµα Εστω (G, ) µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Η G είναι κυκλική. 2. exp(g) = G, δηλαδή, η τάξη G της G είναι ο µικρότερος ϕυσικός αριθµός έτσι ώστε : x = e, x G. Απόδειξη. 1. = 2. Αποδείχθηκε στην Πρόταση = 1. Από το Λήµµα έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο g G έτσι ώστε : o(g ) = [o(g 1 ),o(g 2 ),,o(g ] Επειδή o(x) o(g ), x G, προφανώς ϑα έχουµε : x o(g ) = e. Αν υπάρχει m N έτσι ώστε : x m = e, x G, τότε ϑα έχουµε g m = e και άρα o(g ) m. Ετσι o(g ) είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος m µε την ιδιότητα x m = e, x G. Τότε όµως από την υπόθεση ϑα έχουµε ότι o(g ) = o(g) = G

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 241 Οµως g G και o(g ) = g = G = o(g) και εποµένως : G = g και άρα η G είναι κυκλική. Ως άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος έχουµε το ακόλουθο χρήσιµο αποτέλεσµα : Θεώρηµα Εστω (G, ) µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. Υποθέτουµε ότι για κάθε d 1 το πλήθος του σύνολου των λύσεων στην G της εξίσωσης x d = e είναι το πολύ d. Τότε η G είναι κυκλική. Απόδειξη. Για κάθε d 1, έστω G d = { x G x d = e } Τότε από την υπόθεση : G d d. Εστω o(g) =. Γνωρίζουµε ότι x = e, x G. Εστω m N έτσι ώστε : x m = e, x G. Τότε G = G m. Υποθέτουµε ότι m <. Τότε από την υπόθεση ϑα έχουµε ότι = G = G d m < το οποίο είναι άτοπο. Άρα m και εποµένως = o(g) είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος m έτσι ώστε : x m = e, x G. Από το Θεώρηµα έπεται ότι η G είναι κυκλική. Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα δίνει έναν ακόµη χαρακτηρισµό κυκλικών οµάδων : Θεώρηµα Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Η G είναι κυκλική. 2. Για κάθε διαιρέτη d του υπάρχει το πολύ µία κυκλική υποοµάδα της G τάξης d. Απόδειξη. «=» Αν η οµάδα G είναι κυκλική, τότε το αποτέλεσµα προκύπτει από το Θεώρηµα «=» Για το αντίστροφο, ας γράψουµε την G (όπως στην απόδειξη του Θεωρήµατος ) ως ένωση ξένων ανά δύο συνόλων G = Ge(C) ( ) C Cyc(G) όπου η C διατρέχει το σύνολο Cyc(G) όλων των κυκλικών υποοµάδων της G, και Ge(C) συµβολίζει το σύνολο των γεννητόρων της C. Εποµένως = G = Ge(C) C Cyc(G) όπου η άθροιση εκτελείται υπεράνω όλων των κυκλικών υποοµάδων C της G. Επειδή η G διαθέτει το πολύ µία κυκλική υποοµάδα τάξης d, το Θεώρηµα δίνει = C Cyc(G) Ge(C) φ(d) = d Εποµένως, για κάθε διαιρέτη d του, υπάρχει ακριβώς µία κυκλική υποοµάδα της G τάξης d. Ιδιαίτερα, υπάρχει µια κυκλική υποοµάδα τάξης και έτσι η οµάδα G είναι κυκλική.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Εφαρµογή στην Πολλαπλασιαστική Οµάδα ενός Σώµατος Θα δούµε τώρα µια σηµαντική εφαρµογή των παραπάνω αποτελεσµάτων στην πολλαπλασιαστική οµάδα των µη µηδενικών στοιχείων ενός σώµατος. Η ϑεωρία σωµάτων ϑα αναπτυχθεί σε µεταγενέστερο κεφάλαιο ως µέρος της γενικής ϑεωρίας δακτυλίων. Για τους σκοπούς της παρούσας παραγράφου σηµειώνουµε µόνο ότι µια τριάδα (K, +, ) αποτελούµενη από ένα σύνολο K και δύο διµελείς πράξεις : την πράξη της πρόσθεσης «+» και την πράξη του πολλαπλασιασµού ορισµένες επί του K, καλείται σώµα, αν το Ϲεύγος (K,+) είναι µια αβελιανή οµάδα µε ουδέτερο στοιχείο 0, το Ϲεύγος (K, ) είναι ένα µεταθετικό µονοειδές µε ουδέτερο στοιχείο 1, ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα της πράξης πρόσθεσης «+» ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού, δηλαδή : x (y + z) = x y + x z και (x + y) z = x z + y z, και επιπλέον κάθε µη µηδενικό στοιχείο του K είναι αντιστρέψιµο ως προς την πράξη. Σηµαντικά παραδείγµατα σωµάτων είναι τα γνωστά µας σύνολα Q, R και C τα οποία ϑεωρούνται εφοδιασµένα µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Στην παρούσα υποενότητα υποθέτουµε ότι είναι γνωστά στοιχειώδη αποτελέσµατα της ϑεωρίας σωµάτων. Ιδιαίτερα ϑεωρούµε γνωστές τις ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες µας είναι οικείες από τα σώµατα Q, R και C: (α) Το σύνολο των µη µηδενικών στοιχείων K = K \ {0} ενός σώµατος K, εφοδιασµένο µε την πράξη του πολλαπλασιασµού, αποτελεί µια (αβελιανή) οµάδα. (β) Κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο f (x) ϐαθµού µε συντελεστές από ένα σώµα K, έχει το πολύ ϱίζες στο σώµα K, ϐλέπε το Θεώρηµα Τώρα µπορούµε να αποδείξουµε το ακόλουθο χρήσιµο αποτέλεσµα. Θεώρηµα Εστω K ένα σώµα και K = K \ {0} η πολλαπλασιαστική οµάδα τού K. Τότε κάθε πεπερασµένη υποοµάδα G της K είναι κυκλική. Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι G = και ότι d. Αν C είναι µια κυκλική υποοµάδα της G µε τάξη d, τότε από το Θεώρηµα του Lagrage προκύπτει ότι x d = 1, για καθένα από τα d στοιχεία x C. Αν τώρα υπήρχε ακόµα µία κυκλική υποοµάδα τάξης d, τότε αυτή ϑα περιείχε τουλάχιστον ένα στοιχείο που δεν ϑα ήταν συγχρόνως και στοιχείο της C, και έτσι η οµάδα G ϑα διέθετε τουλάχιστον d + 1 στοιχεία x, τέτοια ώστε x d = 1. Αλλά σε κάθε σώµα, το πολυώνυµο x d 1 έχει το πολύ d ϑέσεις µηδενισµού (ϱίζες), ϐλέπε το Θεώρηµα Εποµένως η G έχει το πολύ µία κυκλική υποοµάδα τάξης d. Ετσι από το Θεώρηµα προκύπτει ότι η G είναι κυκλική. Πόρισµα Εστω K ένα πεπερασµένο σώµα. Τότε η πολλαπλασιαστική οµάδα K του K είναι κυκλική. Για µια διαφορετική απόδειξη του παραπάνω πορίσµατος παραπέµπουµε στο Θεώρηµα Ασκήσεις Ασκηση Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων των κυκλικών οµάδων : 1. Z Z Z Z Z 36. Για καθεµία από τις παραπάνω κυκλικές οµάδες, να ϐρεθούν οι γεννήτορες τους.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η ΟΜΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 243 Ασκηση Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης και υποθέτουµε ότι η G περιέχει ένα στοιχείο a έτσι ώστε a p e, για κάθε πρώτο διαιρέτη p του. Να δειχθεί ότι G = a. Ασκηση Εστω ότι, m και r είναι ακέραιοι έτσι ώστε,m > 0. Να δειχθεί ότι ορίζοντας f : Z Z m, f ([k] ) = [rk] m αποκτούµε έναν οµοµορφισµό προσθετικών οµάδων αν και µόνο αν m r. Ασκηση Να δειχθεί ότι µια οµάδα άπειρης τάξης είναι κυκλική αν και µόνο αν είναι ισόµορφη µε κάθε µη τετριµµένη υποοµάδα της. Ασκηση Να δειχθεί ότι ο δείκτης [G : H] κάθε γνήσιας υποοµάδας H µιας άπειρης κυκλικής οµάδας G είναι πεπερασµένος. Επιπλέον να δειχθεί ότι για κάθε ϑετικό ακέραιο, υπάρχει υποοµάδα H της G µε δείκτη [G : H] ίσο µε. Ασκηση Εστω ότι G είναι µια αβελιανή οµάδα µε τάξη pq, όπου p q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί. Να δειχθεί ότι η οµάδα G είναι κυκλική. Ασκηση Εστω G µια κυκλική οµάδα η οποία έχει ακριβώς οκτώ υποοµάδες, τρεις εκ των οποίων έχουν τάξη 2, 19 και 53. Να ϐρεθεί (µε ποια γνωστή σας οµάδα είναι ισόµορφη) η G. Ασκηση Να δειχθεί ότι η προσθετική οµάδα (Q, +) των ϱητών αριθµών δεν είναι κυκλική. Είναι οι προσθετικές οµάδες (R, +) και (C, +) των πραγµατικών και µιγαδικών αριθµών αντίστοιχα κυκλικές ; Ασκηση Να δειχθεί ότι, αν µια αβελιανή οµάδα G περιέχει δύο στοιχεία a,b τάξης 2 µε a b, τότε η G περιέχει και µια µη κυκλική υποοµάδα H τάξης 4. είξτε ότι η H είναι ισόµορφη µε την οµάδα ευθύ γινόµενο Z 2 Z είξτε ότι δεν υπάρχει αβελιανή οµάδα, η οποία να διαθέτει ακριβώς δύο στοιχεία τάξης 2. Ασκηση Θεωρούµε την οµάδα ευθύ γινόµενο G = Z 1 Z 2 Z k των κυκλικών οµάδων Z i, 1 i k. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Η οµάδα G είναι κυκλική i j k = ( i, j ) = 1. Ασκηση Εστω G µια οµάδα η οποία έχει ακριβώς τρεις υποοµάδες. Να δειχθεί ότι η G είναι κυκλική τάξης p 2, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός. Ασκηση Εστω ότι G είναι µια οµάδα η οποία έχει ακριβώς (α) τέσσερις, (β) πέντε, και (γ) έξι υποοµάδες. Τι µπορείτε να πείτε σε κάθε περίπτωση για την τάξη και τη δοµή της G; Ασκηση Θεωρούµε µια κυκλική οµάδα G τάξης. Να ϐρεθεί το πλήθος των γεννητόρων της G, καθώς και το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της G στις ακόλουθες περιπτώσεις : (a) = pq, όπου p και q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί. (a) = pqr, όπου p, q και r είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί.

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του

Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του Κεφάλαιο 3 Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του Στο παρόν Κεφάλαιο, ϑα αποδείξουµε το Θεώρηµα του Lagrange, το οποίο αποτελεί ένα από τα ϐασικότερα αποτελέσµατα της (στοιχειώδους) ϑεωρίας οµάδων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή 11 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα αναφορικά µε : (α) τις σχέσεις µερικής διάταξης

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες και Υποοµάδες. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία Η Εννοια της Οµάδας - Βασικές Ιδιότητες Οµάδων

Οµάδες και Υποοµάδες. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία Η Εννοια της Οµάδας - Βασικές Ιδιότητες Οµάδων Κεφάλαιο 2 Οµάδες και Υποοµάδες 2.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια της οµάδας και ιδιαίτερα του πίνακα Cayley µιας οµάδας, την έννοια της υποοµάδας και ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες-Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες-Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 5 Οµάδες-Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών 5.1 Συνοπτική Θεωρία Στο παρόν Κεφάλαιο επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες των οµάδων πηλίκων και των Θεωρηµάτων Ισοµορφισµών Οµάδων και στις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα