2.60 ακαριαία. σιγά σιγά

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 .60 Θερμικά μονωμένος κύλινδρος χωρίζεται σε δύο μέρη από αδιαβατικό, αβαρές έμβολο που κινείται χωρίς τριβή. Αρχικά το έμβολο συγκρατείται ακίνητο. Ο κύλινδρος περιέχει n mles ιδανικού αερίου στο μισό αριστερό τμήμα του και κενό στο δεξιό. Απελευθερώνεται το έμβολο και το αέριο εκτονώνεται ακαριαία. Στη συνέχεια, σιγά σιγά, επαναφέρεται το έμβολο στην αρχική του θέση. Να υπολογίστε τη μεταβολή της εντροπίας, του έργου και της εσωτερικής ενέργειας συνολικά. Γνωστή η αρχική θερμοκρασία Τ ο και το γ. Δικαιολογήστε τη λύση σας. ή ί αντιστρεπτή διαδικασία Διαδικασία : Q du W du d

3 Q δw 0 0 Διότι ο κύλινδρος είναι απομονωμένος Διότι η εκτόνωση γίνεται στο κενό, χωρίς αντίσταση με αβαρές έμβολο όχι τριβές du 0 Αφού ΜΗ αντιστρεπτή, αντικαθιστώ με αντιστρεπτή με ίδιες αρχικές και τελικές τιμές, δηλαδή αφού du0 την αντικαθιστώ με ΙΣΟΘΕΡΜΗ αντιστρεπτή διαδικασία Άρα nr ln( ) nr ΔU 0 ln : Αντιστρεπτή με δq 0 αδιαβατική

4 0 Δολικό nr ln Q U U U 0 ό ό du d du d nr d du nr nr nr U ( ( )( U )( ) nr nr ln ( ) )( d )

5 Πυρηνικός σταθμός ισχύος.5 GW έχει τον αντιδραστήρα του στους H 75K κι απορρίπτει σε ποτάμι νερό θερμοκρασίας C 90K. (α) Υπολογίστε το μέγιστο συντελεστή απόδοσης και το ελάχιστο ποσό θερμότητας που απορρίπτει στο ποτάμι, δεχόμενοι ότι λειτουργεί σαν μηχανή Carnt. (β) Αν ο πραγματικός συντελεστής απόδοσης είναι μόλις το 70% του μέγιστου, πόσο ποσό θερμότητας Q απορρίπτεται και πόση είναι η αύξηση της θερμοκρασίας Τ του ύδατος αν υπάρχει ροή 65 m 3 /s (γ) ποια θα έπρεπε να ήταν η ροή του νερού ώστε για να μη διαταραχθεί η οικολογική ισορροπία του οικοσυστήματος στο ποτάμι η διαφορά θερμοκρασίας δεν θα έπρεπε να αυξάνει πέραν των ο C n max 60% C H έ & % θερμότητα στοοτάμι Η Q που απορροφάται έργο που αποδίδεται (,5 GW)

6 ( ) : nrealistic 0.65nmax 0.7* W Q H Q H.5GW 0.4 6GW Τώρα το 58% γίνεται θερμότητα και απορρίπτεται στο ποτάμι, δηλαδή Q 0.586GW 3. 48GW C Η παροχή Π είναι η ποσότητα του νερού στη μονάδα χρόνου επί τη πυκνότητα ρ του νερού μας δίνει τη μάζα m ανά s

7 s m s kg m kg K kg J GW C Q C C / 38 / 38.0 / 000 ) / 4.8( K K kg J s kg GW C m Q C m Q s kg m kg s m c C c C 5.04 )) / 4.8( / ) /(65, ( / / 65,000 / 0 /

8 Δοχείο θερμικά μονωμένο χωρίζεται από διάφραγμα σε δύο μέρη που περιέχουν n και n γραμμομόρια διαφορετικών ιδανικών αερίων αντίστοιχα. Αφαιρούμε αργά το διάφραγμα. Αν ξέρουμε ότι αρχικά οι δύο χώροι είχαν ίδια πίεση και θερμοκρασία και ότι n n n με n αn (α, θετική γνωστή σταθερά) υπολογίστε τη μεταβολή της εντροπίας συναρτήσει των α και n και για ποια τιμή του α η μεταβολή της εντροπίας γίνεται μέγιστη (συνολικός όγκος δοχείου ) Αφού ίδιες οι πιέσεις και οι θερμοκρασίες οι όγκοι θα είναι αντίστοιχα για το χώρο () α και για τον () (α) (): Διαστολή από α & (): Διαστολή από (α) (~.56.64)

9 )ln ( ln nr tt Δ max για d(δ)/dα0 α/ (ίσοι αρχικοί όγκοι) ln nr d R n d n ( ) ( ) ( ) ln nr d R n d n

10 .6 Σε δοχεία ίδιου όγκου έχουμε διαφορετικά ιδανικά αέρια, με Μ και Μ. Οι αρχικές πιέσεις και Θερμοκρασίες είναι ίδιες. Συνδέουμε τα δοχεία και αρχίζει σιγά σιγά η διαδικασία διάχυσης. Ποια η Δ ολ του συστήματος αν οι σχετικές γραμμομοριακές μάζες είναι μ και μ αντίστοιχα? P P R R & Ισόθερμες διαδικασίες άρα d P d, R,, d d d R Rln& R Rln M ( ) R ln ( ) R ln

11 .64 Υπολογίστε την ολική μεταβολή της εντροπίας Δ (νερού και σιδήρου) αν βυθίσουμε 00gr σιδήρου θερμοκρασίας 300 C σιγά σιγά σε νερό θερμοκρασίας 5 C και πολύ μεγάλης μάζας. Η ειδική θερμοχωρητικότητα του σιδήρου είναι c0.cal/(gr * grad) Τελική θερμοκρασία Τ88Κ (57388) Q Fe : d Q m c d Fe Fe d Fe d m FecFe Fe mfecfe d cal 88 Fe mfecfe ln 00gr 0. ln 7, 6 gr grad 573 cal grad

12 573 K 88K 85K N Q N N m Fe c Fe N 00gr cal 0. gr grad 88K 85K N 0. 8 cal grad cal ό Fe N ( ) 3, grad cal grad Σχόλιο??

13 Πείραμα: Τ0, αταξία 3ος Θερμοδυναμικός νόμος Αν στο μηδέν οι θερμικές κινήσεις δεν θα εμπόδιζαν πλήρη τάξη ελάχιστη δυνατή εντροπία. Έστω σώμα με Τ0: Τι συμπεριφορά έχει αν του προσφέρω έργο (π.χ. πίεση). Η εντροπία αμετάβλητη!!! (πειράματα) «Στο απόλυτο μηδέν, οποιεσδήποτε αλλαγές της κατάστασης γίνονται ΧΩΡΙΣ μεταβολή της εντροπίας» (3 ο Θ.Ν. ή Θ. Nerst) 0 lim 0 0 Η Εντροπία ενός απόλυτα καθαρού, απόλυτα προσανατολισμένου κρυστάλλου, στους 0Κ, ισούται με 0.

14 Στο Τ0 η εντροπία 0 (όχι σε αντίθεση με Nerst) (0) (καθαρός τέλειος κρύσταλλος) Αφού για Τ0, 0 το απόλυτο μηδέν δεν μπορεί να επιτευχθεί (παραβίαση του ου θ.ν.) Άλλη διατύπωση: Είναι αδύνατον να φτάσουμε τη θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός (imn, 937). Συνέπειες: π.χ. η θερμοχωρητικότητα ( ) Q d C0 ( 0, 0, πείραμα, υγρό ήλιο πραγματικά) Απομόνωση A B Αδιαβ.εκτ. Τ Β Α Α LHe Ισοθ. Β0 Β>0 Τ (Κ) Παραμαγνητικά υλικά Q A : B0 A : B>0 Q

15 0 Εστω σύστημα όπου η Εντροπία αυξάνεται γραμμικά με τη θερμοκρασία σε κάποια διεργασία. Ποια η συμπεριφορά της Θερμοχωρητικότητας C Η αύξηση της εντροπίας στη διαδικασία είναι d dq / Cd / Η ευθεία διέρχεται από το μηδέν (3 ος Θερμοδυναμικός Νόμος) διότι η εντροπία στη Τ0 είναι μηδέν (Nerst) Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις έχω d ad Cd / & C a Άρα η θερμοχωρητικότητα μεταβάλλεται και αυτή γραμμικά με τη θερμοκρασία

16 Αρνητικές θερμοκρασίες Δεν έχει νόημα? Τ μέσης κινητικής ενέργειας και στους θερμοδυναμικούς νόμους όμως Από Bltzmann: n n e U K (E E ) () Kk U ln n n Για και U n 0 n < 0! Το βλέπουμε σε : Κβαντομηχανικό σύστημα: ενεργειακές στάθμες. Στην Τ0, τα nn στην χαμηλότερη τάξη. Αυξάνω Ε ν σε υψηλότερες στάθμες: max αταξία ισομερή κατανομή σε όλες τις στάθμες (nn, () :, αδύνατο, στάθμες) (το n είναι πεπερασμένο)

17 Αν σύστημα με πεπερασμένο αριθμό σταθμών Ε ν και χωρίς όριο «εσωτερικής ενέργειας» «Άντληση» : Laser

18 Δύο στάθμες : Προσφέρω ενέργεια : Ε Ε Ε Πλήρης τάξη n 0, 0, 0 (0) ( περιοχή) n < n (αταξία) Τ > 0, > 0 ( ) Ε Και άλλη ενέργεια : Ε n n Τ, Πλήρης ΑΤΑΞΙΑ max Και επιπλέον ενέργεια : Ε Ε (χάνει το νόημα της μέσης κινητικής ενέργειας) n > n < 0. Η μειώνεται! (διότι μεγαλύτερη τάξη ) Ε

19 Και ακόμα ενέργεια: ά ρ α Τ < 0 K U l n Ε Ε n n 0 Πλήρης τάξη! n ( 0) H 0 είναι σταθερή κατάσταση (min E!) H 0 ΔΕΝ είναι σταθερή: για να διατηρείται θέλει ενέργεια Όχι και οι δυο καταστάσεις μαζί!

20 .6 Σε πολύ ψηλό κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο, κλειστό στο κάτω άκρο του, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές έμβολο μάζας Μ>>> μάζας του αερίου στο δοχείο. Στην ισορροπία το έμβολο απέχει από το κάτω μέρος του δοχείου απόσταση L. Ποια είναι η περίοδος των μικρών ταλαντώσεων που εμφανίζονται όταν το έμβολο απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας θεωρώντας τη διαδικασία αδιαβατική και το αέριο ιδανικό. Το εμβαδόν του εμβόλου είναι και η πίεση P P ατμ. Τι γίνεται αν P 0? (παρόμοιες.4,.5 και.7). dp F P P d ά dp P Mg Mg L dp dx P df d 0 ( ) ί P P dp & ή L df F kx & F P & df d d dp P dx df df ( P Mg) dx L P, M L, d dx

21 F ( P Mg) dx df df L P Mg d x x kx M L dt dx M k ML ( P Mg) P L 0 g ( ισόθερμη γ )

22 .3 Ιδανικό αέριο συμπιέζεται από έμβολο σε κύλινδρο έτσι ώστε η θερμότητα που αποβάλλεται στο περιβάλλον είναι ίση με τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Προσδιορίστε το έργο που δαπανάται για τη συμπίεση ενός γραμμομορίου του αερίου κατά φορές. Με τι ισούται η θερμοχωρητικότητα σ αυτή τη διαδικασία Η αρχική θερμοκρασία είναι Το & Q < 0 Q Q du du W du du d C du d C d d ( R R C d d )

23 R C d d ln d R C R C / d ln R C ln ln R C d C C ό Q d Cd C d C C du

24 W : Q du W du W W C C d W ( ) C C R

25 .9 Ένα mle ιδανικού αερίου με σταθερό C είναι μέσα σε κύλινδρο με αδιαβατικά τοιχώματα και έμβολο κινούμενο χωρίς τριβές. Το έμβολο είναι υπό σταθερή πίεση P. Κάποια χρονική στιγμή η εξωτερική πίεση γίνεται απότομα P. Έτσι το αέριο αδιαβατικά αλλάζει τον όγκο του. Υπολογίστε Q 0 τον όγκο και τη θερμοκρασία του αερίου όταν C ( ) ( ) 0 W φτάσει σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας R C R U 0 C C R C C ( ) R

26 Αν μεταβάλλω στη συνέχεια ξανά απότομα μέχρι P R ( ) 3 C C C C 3

27 .4 Για τον υπολογισμό του γ μέτρησαν τη περίοδο Τ των μικρών ταλαντώσεων υδραργύρου σε γυάλινο δοχείο σχήματος U με κλειστά τα άκρα. Μετά από αυτό στο άκρα του δοχείου τοποθέτησαν μεγάλες όμοιες γυάλινες σφαίρες με το μελετούμενο αέριο. Τότε είδαν ότι η περίοδος έγινε Τ. Θεωρώντας τη συμπίεση και την εκτόνωση του αερίου αδιαβατική, ξέροντας τον όγκο κάθε σφαίρας σε cm 3, τη πίεση στη κατάσταση ηρεμίας (h cm στήλης του υδραργύρου) και τη διατομή του δοχείου σε cm, υπολογίστε το γ. Θεωρείστε αμελητέο το κενό στα άκρα του δοχείου. Πριν βάλουμε το αέριο (ρgh πίεση με hx) x F gx F x g M Hg M g

28 ( ) ( ) x x h x x h h ά x ή ( ) x x x x ' ' και με, gx

29 x gx / ' ( ) x g F / g g g M g M Hg Hg h g ( ) x x x a ανάλογα '

30

31 .9 Ένα mle ιδανικού αερίου το θερμαίνουν σε κύλινδρο με έμβολο που συγκρατείται σε θέση ισορροπίας από ελατήριο, για το οποίο ισχύει ο νόμος του Hke. Τα τοιχώματα του κυλίνδρου και το έμβολο είναι αδιαβατικά. Ο αρχικός όγκος του αερίου είναι για τον οποίο το ελατήριο δεν έχει παραμορφωθεί είναι τέτοιος ώστε να ισχύει k, όπου η εξωτερική ατμοσφαιρική πίεση, το εμβαδόν του εμβόλου και k η σταθερά του ελατηρίου. Υπολογίστε τη θερμοχωρητικότητα της διαδικασίας. Το έμβολο θεωρείται αβαρές και κινούμενο χωρίς τριβές Q du W x C d d dx d & & C Q d kx d k dx Q C d kx ( ) dx C d ( kx) dx

32 Rd dx k x kx ] ) ( ) [( Rd dx (kx k ά ) Rd dx kx k kx ) ( ) ( ) ( Rd dx k x dx kx Rd d d R

33 d R d C Q dx kx d C Q ) ( άρα από R C d Q C d R dx kx Rd dx kx ) ( & ) (

34 Τ Τ, Τ3,3 3 ( ) ( ) ( ) Q Q ½.4, παρόμοιες.40.55) ( ) ( ) ( ) Τ Τ Q Q

35 Θερμοδυναμική κλίμακα θερμοκρασιών n f (, ) (Carnt) Είδαμε c Δηλαδή Q Q f (, ) () Έστω : αντιστρεπτές μηχανές:, σαν μία

36 Ρυθμίζω ώστε: Αυτό γίνεται αν: n n, 3 Q Q Q Q 3 3 Q Q W W W 3 () Άρα η () Q Q Q (, ), (, ), (, ) Q Q Q 3 f f 3 f 3 3 Και με () χρήση: () Q3 Q Q Q f (, ) f (, 3 ) f ( 3, ) Q3 Q Q Q ανεξάρτητη της Τ 3

37 Τέτοια ώστε στο γινόμενο η Τ 3 να απλοποιείται: f (, ) ( ) / ( ) Ο λόγος τους Άρα η () (κύκλος Carnt) : Q Q ( ) ( ) Ο Kelvin (απλούστερη): ( ) ( ) Η (3) ορίζει θερμοδυναμική κλίμακα θερμοκρασιών: Q Q (3)

38 n c Συμπίπτει με την n c, όπου Τ i θερμοκρασίες σε κλίμακα με θερμόμετρο ιδανικού αερίου. Άρα και η κλίμακα που ορίσατε ( παρ.) θερμοδυναμική κλίμακα. Και στην κατανομή Gibbs, παντού το Τ θερμοκρασία στην θερμοδυναμική κλίμακα. k

39 Θ ε ρ μ ο δ υ ν α μ ι κ έ ς Σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς Μετασχηματισμοί Legendre εξισώσεις Maxwell* Y Y ( x, x,.... xn ) dy cdx cdx... cndx Οι μετασχηματισμοί Legendre ορίζουν συναρτήσεις τ που οι μεταβλητές x i περιέχουν ένα ή περισσότερα c i στη θέση τους Για ολικό διαφορικό με nμεταβλητές, υπάρχουν n δυνατοί μετασχηματισμοί Legendre ( c, x, x,, x ) Y c x 3 n ( x, c, x,, x ) Y c x 3 n ( c, x, x,, c ) Y c x n n x 3 n n n ( c, c, x,, x ) Y c x c x 3 n x ( c, x, c,, x ) Y c x c x n 3 3 ( c, xc,, Cx 3,,, c ) Y ( c x ),..., n,..., n 3 n i i i n

40 Παράδειγμα: Από τον Α θερμοδυναμικό νόμο έχω Q du W du d d Δηλαδή UU(,). Άρα YU Q dy c dx c dx W c x τα x i είναι: και τα c i : x c c n οι μεταβλητές: άρα n 3 μετασχηματισμοί Legendre! ( c, x ) Y c x U F ( x, c ) ( c, c ) Y c x U P H Y c x c x U P G Δηλαδή F, H, G τρεις νέες θερμοδυναμικές συναρτήσεις Ελεύθερη ενέργεια Helmhltz (σε ισόθερμη δw) Ενθαλπίασε ισοβαρή (Pσταθ.) Ελεύθερη ενέργεια Gibbs (ή Ελεύθερη Ενθαλπία) ή Θερμοδυναμικό δυναμικό

41 * H U F U HG U du d d Όμως UU(,) * dh du d d d d H(, ) df d d du d d F(, ) dg du d dt d d d dt d G(, ) du U d Αντίστοιχα από: H H (, P) F F(, ) G G(, P) U d d Από ιδιότητα των ολικών διαφορικών Πλήθος σχέσεων, σχέσεις Maxwell Q y dh P x df dg

42 Έτσι για την Η: dh d d H P df d d επίσης F dg d d G H F P G

43 () Χρησιμότητα σχέσεων Maxwell U U U du d d cd d c Qa du P d U () d d c d (ανεξ.,) d d d U () du c d d επίσης: d d c d (3) Γενική UU(,) Maxwell (df)

44 ανάλογα (Με ανεξάρτητες,p) dh cd d Από 3,4 τώρα H H d P d d c d P cp c ( ) ( ) (4) P 0 c d H P Πειραματικά μετρήσιμα μεγέθη!

45 Κριτήρια σταθεροποίησης Από την ανισότητα του Clausius Q Από ο Θερμοδυναμικό Νόμο: δq du d Συνδυαστικά δq < d dudd <0. d0, d0 du<0 : η κατάσταση με την ελάχιστη εσωτερική ενέργεια. Για σταθερή P, d(up) <0 i.e. dh<0, με ελάχιστη ενθαλπία 3. Για σταθερό, d(u) <0 i.e. df<0, με ελάχιστη ελεύθερη ενέργεια 4. Για σταθερά Τ, Ρ dgddp <0 dg <0 με ελάχιστο θερμοδυναμικό δυναμικό 0

46 .? ενεργός ταχύτητα μορίων v rms, Ν σε ΚΣ αν καταλαμβάνει όγκο,4 λίτρα υπό ΚΣ P NK & mv 3 k & Nk nr & v rms 3R M /3 /3 P Nmv nmv aver aver με n, P,03x0 6 N/m

47 M8g/ml8x0 3 kg/ml και,4lt,4x0 3 m 3 5 vaver 3 v aver 3P 3,03 0,4 0 nm 80 5,430 m / s 3 m / s