Αξιολόγηση Επενδύσεων με χρήση Πραγματικών Δικαιωμάτων και Θεωρίας Παιγνίων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Αξιολόγηση Επενδύσεων με χρήση Πραγματικών Δικαιωμάτων και Θεωρίας Παιγνίων Διπλωματική Εργασία της Δαλαγδή Ελεάνας (ΑΕΜ: 276) Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων Καθηγητής: Βλαχάβας Ιωάννης Μέλη Τριμελούς Επιτροπής: Βασιλειάδης Νικόλαος Κοσμίδου Κυριακή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2011

2 ii

3 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εκπονήθηκε στα πλαίσια του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και Διοίκηση» του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αντικείμενο της εργασίας είναι ο συνδυασμός δύο ιδιαίτερα χρήσιμων θεωριών, της Θεωρίας Παιγνίων και της Θεωρίας Πραγματικών Δικαιωμάτων, για την αξιολόγηση μιας επένδυσης και πιο συγκεκριμένα της επένδυσης σε ένα έργο πληροφορικής. Το ερευνητικό πεδίο μελέτης του συνδυασμού των δύο αυτών θεωριών βρίσκεται α- κόμα σε ιδιαίτερα πρώιμο στάδιο και επικεντρώνεται κυρίως στην θεωρητική ανάλυση της σχέσης τους. Στην συγκεκριμένη εργασία γίνεται μία προσπάθεια για την εμπειρική ανάλυση αυτής, με την βοήθεια ενός λογισμικού ανοιχτού κώδικα για την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Σε αυτό το σημείο, θα ήθελα να εκφράσω τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα Καθηγητή μου, κ. Ιωάννη Βλαχάβα, του οποίου η συμβολή στην εκπόνηση της συγκεκριμένης διπλωματικής υπήρξε ιδιαίτερα πολύτιμη, ενώ ο ενθουσιασμός που μου μετέδωσε καθώς και η συνεχής υποστήριξή του βοήθησαν σημαντικά στην ολοκλήρωση αυτής της προσπάθειας. Δαλαγδή Ελεάνα Μάρτιος 2011 i

4 ii

5 Ι. Περιεχόμενα Πρόλογος... i Ι. Περιεχόμενα... iii ΙΙ. Κατάλογος Σχημάτων... vii ΙΙΙ. Κατάλογος Πινάκων... ix Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 1 Κεφάλαιο 2: Ανάλυση Πραγματικών Δικαιωμάτων (Real Options Analysis) Θεωρητική ανάλυση Παραδείγματα πραγματικών δικαιωμάτων Μοντέλα πραγματικών δικαιωμάτων Δικαίωμα Αναβολής μιας Επένδυσης Δικαίωμα Επέκτασης μιας Επένδυσης Δικαίωμα Συρρίκνωσης μιας επένδυσης Δικαίωμα Εγκατάλειψης μιας Επένδυσης Δικαίωμα Αλλαγής Χρήσης μιας Επένδυσης Μέθοδοι αποτίμησης Πραγματικών Δικαιωμάτων Monte Carlo Προσομοίωση Διωνυμικά Πλέγματα (Binomial Trees) Χαρακτηριστικά της αβεβαιότητας Αξία των real options μπροστά στην αβεβαιότητα Μια διακριτή προσομοίωση αβεβαιότητας iii

6 Κεφάλαιο 3: Θεωρία Παιγνίων Εισαγωγικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Τρόποι αναπαράστασης παιγνίου Τύποι Παιγνίων Συνεργατικά ή μη συνεργατικά παίγνια Συμμετρικά ή μη συμμετρικά παίγνια Παίγνια μηδενικού ή μη μηδενικού αθροίσματος Παίγνια με στρατηγικές συμπληρωματικές ή υποκατάστατες Διαδοχικά ή Ταυτόχρονα παίγνια Τέλεια ή ατελής πληροφόρηση Επαναλαμβανόμενα παίγνια Διακριτά ή συνεχή παίγνια Τρόποι επίλυσης παιγνίων Κυρίαρχες Στρατηγικές Ισορροπία Nash Τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων Οπισθογενής Επαγωγή Τέλεια ισορροπία κατά Bayes Βασικά στρατηγικά παίγνια Η μάχη των φύλων Περιστέρι γεράκι Το λογισμικό Gambit Βασικά Χαρακτηριστικά του Gambit Μειονεκτήματα του Gambit Κεφάλαιο 4: Συνδυασμός Θεωρίας Παιγνίων και Πραγματικών Δικαιωμάτων Διαδικασία Ανάπτυξης Έργων Πληροφορικής Προκαταρκτική έρευνα και Μελέτη Σκοπιμότητας Περιγραφή Προβλήματος Ανάλυση Πραγματικών Δικαιωμάτων Εφαρμογή Θεωρίας Παιγνίων Υπολογισμός Αποδόσεων: iv

7 4.4.2 Αναπαράσταση του Παιγνίου με το Gambit Ανάλυση Αποτελεσμάτων Ισορροπίες 5 ου Σταδίου Ισορροπίες 4 ου Σταδίου Ισορροπίες 3 ου Σταδίου Ισορροπίες 2 ου Σταδίου Ισορροπίες Τελικού Σταδίου Επαλήθευση Αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 5: Συμπεράσματα Κεφάλαιο 6: Βιβλιογραφία v

8

9 ΙΙ. Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 2.1 Δικαίωμα Εγκατάλειψης... 8 Σχήμα 2.2 Διωνυμικό πλέγμα Σχήμα 2.3 Ταμειακές Ροές Σχήμα 2.4 Ταμειακές Ροές Σχήμα 2.5 Δείγμα 2 πραγματικών Ταμειακών Ροών Σχήμα 2.6 Ταμειακές Ροές και Δικαιώματα Σχήμα 2.7 Κώνος της αβεβαιότητας Σχήμα 2.8 Σύγκριση Κώνου Αβεβαιότητας και Διωνυμικού Πλέγματος Σχήμα Σύγκριση Κώνου Αβεβαιότητας και Διωνυμικού Πλέγματος Σχήμα 3.1 Παίγνιο Κανονικής Μορφής Σχήμα 3.2 Παίγνιο Εκτατικής Μορφής Σχήμα 3.3 Παίγνιο Ατελούς Πληροφόρησης Σχήμα 4.1 Κύκλος Ζωής Λογισμικού Σχήμα 4.2 Ανάλυση Ταμειακών Ροών Σχήμα 4.3 Πορεία της επένδυσης Σχήμα 4.4 Τιμή Εξάσκησης Δικαιώμτος Σχήμα 4.5 Χρήση Δικαιώματος Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου vii

10 Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Σχήμα 4.12 Συνολική Εικόνα Παιγνίου Σχήμα 4.13 Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 5 ου Σταδίου Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 4 ου Σταδίου Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 3 ου Σταδίου Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 2 ου Σταδίου viii

11 ΙΙΙ. Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 3.1 Παίγνιο «Δίλλημα των Φυλακισμένων» Πίνακας 3.2 Παίγνιο «Ταίριασμα του Νομίσματος» Πίνακας 3.3 Παίγνιο «Η Μάχη των Φύλων» Πίνακας 3.4 Παίγνιο «Περιστέρι-Γεράκι» Πίνακας 4.1 Ισορροπίες 5 ου Σταδίου Πίνακας Ισορροπίες 4 ου Σταδίου Πίνακας Ισορροπίες 3 ου Σταδίου Πίνακας 4.4 Ισορροπίες 2 ου Σταδίου Πίνακας 4.5 Ισορροπία τελικού παιγνίου Πίνακας 4.6 Ισορροπίες Επιχείρησης Α Πίνακας Ισορροπίες Επιχείρησης Β ix

12 x

13 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Η αξιολόγηση μιας επένδυσης αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο και χρονοβόρο εγχείρημα για τις επιχειρήσεις. Έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς διάφορες μέθοδοι για την πραγματοποίηση της, με σημαντικότερη ίσως την μέθοδο της Καθαράς Παρούσας Αξίας. Λόγω όμως της αβεβαιότητας και της αστάθειας του περιβάλλοντος μιας επιχείρησης, οι οποίες επηρεάζουν κατά πολύ την μελλοντική της αξία, δεν λαμβάνονται όμως υπόψη σε μεθόδους όπως η αποτίμηση της ΚΠΑ, έχει αναπτυχθεί και χρησιμοποιείται ευρέως τα τελευταία χρόνια, η Ανάλυση των Πραγματικών Δικαιωμάτων. Η αβεβαιότητα και η αστάθεια του περιβάλλοντος συνεπάγονται την ύπαρξη κινδύνου, ο οποίος με την χρήση των Πραγματικών Δικαιωμάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί με έναν ευέλικτο τρόπο και να προσφέρει ακόμα και μεγαλύτερη αξία στην σχεδιαζόμενη επένδυση. Οι εφαρμογές των Πραγματικών Δικαιωμάτων στο επιχειρηματικό περιβάλλον είναι πολλές και αφορούν κυρίως μακροπρόθεσμες επενδύσεις στις οποίες η έννοια της αβεβαιότητας για το μέλλον παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο. Η ποικιλία αυτή των εφαρμογών συνεπάγεται την ύπαρξη διαφόρων μοντέλων Πραγματικών Δικαιωμάτων ανάλογα με τον τύπο της επένδυσης για την οποία εφαρμόζονται. Παρόλα τα πλεονεκτήματα της συγκεκριμένης θεωρίας, ένα βασικό της πρόβλημα είναι απουσία της έννοιας του ανταγωνισμού κατά την εφαρμογή της. Για να είμαστε -1-

14 περισσότερο ακριβείς, η θεωρία των Πραγματικών Δικαιωμάτων θεωρεί τον ανταγωνισμό σαν ένα στοιχείο της γενικότερης αβεβαιότητας για το μέλλον, δίνοντας σε αυτό μία απρόσωπη έννοια. Πως μπορούν όμως να μεταβληθούν τα αποτελέσματα μι8ας τέτοιας ανάλυσης εάν εμφανιστεί συγκεκριμένος ανταγωνιστής; Προσπαθώντας να αντιμετωπίσουμε τη συγκεκριμένη αδυναμία που εμφανίζεται σε αυτή τη θεωρία, εισάγουμε στην μελέτη μας ένα εξίσου σημαντικό εργαλείο της λήψης στρατηγικών αποφάσεων, την Θεωρία Παιγνίων. Η Θεωρία Παιγνίων εξετάζει την αλληλεπίδραση δύο ή περισσοτέρων μονάδων, στην δική μας περίπτωση επιχειρήσεων, οι οποίες καλούνται να ενεργήσουν και να λάβουν αποφάσεις, λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες των αντιπάλων τους. Αποτελεί με άλλα λόγια την κατ εξοχήν μέθοδο ελέγχου των επιπτώσεων του ανταγωνισμού. Η παρούσα διπλωματική επικεντρώνεται στην επένδυση ενός έργου πληροφορικής, στην αξιολόγηση αυτής με την χρήση Πραγματικών Δικαιωμάτων (ειδικότερα στην εξέταση της χρήσης ενός Δικαιώματος για την αναβολή της συγκεκριμένης επένδυσης) και τέλος στον έλεγχο της αποτελεσματικότητας της χρήσης αυτού του Δικαιώματος σε περίπτωση εισαγωγής στην αγορά ενός ανταγωνιστή, ο οποίος προσφέρει ένα ανάλογο προϊόν. Πιο αναλυτικά, η εργασία χωρίζεται σε τρία βασικά κεφάλαια. Το κεφάλαιο που ακολουθεί περιλαμβάνει μία θεωρητική περιγραφή των Πραγματικών Δικαιωμάτων, των διαφόρων μοντέλων τους καθώς και των μεθόδων αποτίμησής τους. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρητική προσέγγιση της Θεωρίας Παιγνίων. Δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στους περισσότερο διαδεδομένους τύπους παιγνίων, στους δύο τρόπους απεικόνισής καθώς και στους τρόπους επίλυσης ενός παιγνίου. Το τέταρτο κεφάλαιο της εργασίας περιλαμβάνει το εμπειρικό κομμάτι, όπου γίνεται η εφαρμογή και ο συνδυασμός των δύο παραπάνω θεωριών. Πιο συγκεκριμένα, α- φού γίνει μία ανάλυση της Καθαράς Παρούσας Αξίας για ένα σχεδιαζόμενο έργο πληροφορικής, με την χρήση ανάλυσης Πραγματικών Δικαιωμάτων ελέγχουμε την πιθανή πορεία της επένδυσης αυτής, στα χρόνια που έχουμε ορίσει για την διάρκεια του Δικαιώματος, λαμβάνοντας υπόψη την έννοια της αστάθειας. Τέλος, με τη βοήθεια της Θεωρίας Παιγνίων και του λογισμικού Gambit, εξετάζουμε κατά πόσο τα απο- -2-

15 τελέσματα που προέκυψαν από την παραπάνω διαδικασία έχουν ισχύ στην περίπτωση εμφάνισης μιας ανταγωνιστικής επιχείρησης. -3-

16

17 Κεφάλαιο 2: Ανάλυση Πραγματικών Δικαιωμάτων (Real Options Analysis) Μια από τις βασικότερες απoφάσεις των διοικήσεων των επιχειρήσεων στο σύγχρονο επιχειρηματικό περιβάλλον, είναι αυτή που σχετίζεται με την κατανομή των πόρων της κάθε επιχείρησης σε συγκεκριμένες επενδύσεις, αλλά και η μετέπειτα αξιοποίησή τους προκειμένου να επιτευχθούν οι στρατηγικοί της στόχοι. Οι στόχοι αυτοί τις περισσότερες, αν όχι όλες, τις φορές, αφορούν την αύξηση του μετοχικού της κεφαλαίου στο μέλλον (μετά το πέρας δηλαδή της επένδυσης), ή με πιο απλά λόγια την επίτευξη κέρδους. Από τα παραπάνω γίνεται φανερή η αναγκαιότητα που παρουσιάζει η αξιολόγηση της κάθε επένδυσης από την οποία θα προκύψει και η αξία που έχει τελικά για κάθε επιχείρηση μία σχεδιαζόμενη επένδυση. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι οι οποίες χρησιμοποιούνται από τις επιχειρήσεις ως εργαλεία αξιολόγησης των επενδύσεων, με πιο γνωστή ίσως αυτή των ταμειακών ροών DCF. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει γενικά μία ευκολία στη χρήση της και τα αποτελέσματα που προκύπτουν γίνονται εύκολα αντιληπτά από τους ειδικούς. Παρόλα αυτά η χρήση της τα τελευταία χρόνια έχει περιορισθεί λόγω ενός βασικού της μειονεκτήματος. Ο σύγχρονος επιχειρηματικός κόσμος παρουσιάζει μία αστάθεια η οποία αποτελεί έναν παράγοντα που επηρεάζει σημαντικά την πορεία της αξίας -5-

18 μίας σχεδιαζόμενης επένδυσης, δεν λαμβάνεται όμως υπόψη στην παραπάνω μέθοδο. Για τον λόγο αυτό τα τελευταία χρόνια έχει αναπτυχθεί και εφαρμόζεται από τις περισσότερες επιχειρήσεις μία νέα μέθοδος αξιολόγησης των επενδύσεων, η μέθοδος των Πραγματικών Δικαιωμάτων. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται μια θεωρητική και αναλυτική παρουσίαση αυτής της μεθόδου. Πριν προχωρήσουμε, θα πρέπει να τονιστεί ότι τα Πραγματικά Δικαιώματα δεν αντικαθιστούν πλήρως την μέθοδο των ταμειακών ροών με βάση την οποία χρησιμοποιείται η Καθαρά Παρούσα Αξία για την αξιολόγηση μιας επένδυσης. Αντίθετα, στηρίζονται σε αυτή δημιουργώντας μια «διευρυμένη Καθαρά Παρούσα Αξία», η οποία ενσωματώνει στην διαδικασία αξιολόγησης την έννοια της αστάθειας και των κινδύνων που εντοπίζονται στο περιβάλλον της κάθε επιχείρησης, με τη χρήση του «Ασφάλιστρου Διοικητικής Ευελιξίας», το οποίο στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι γνωστό ως option premium. 2.1 Θεωρητική ανάλυση Στην βιβλιογραφία ως Πραγματικό Δικαίωμα (real option), αναφέρεται η δυνατότητα, όχι όμως με την μορφή της υποχρέωσης, μιας επιχείρησης να αποφασίσει για τον αν θα προχωρήσει ή όχι σε μία επένδυση σε προκαθορισμένη χρονική στιγμή. Η λέξη option έχει τις ρίζες της στην λατινική λέξη optio optare, η οποία σημαίνει «να διαλέξω», «να επιθυμήσω», «να επιλέξω». «Αγοράζει» δηλαδή η ε- πιχείρηση την δυνατότητα να προβεί ή όχι σε μία επένδυση αξιολογώντας το στοιχείο της αβεβαιότητας και τους κινδύνους που πιθανόν θα εμφανιστούν με την πάροδο του χρόνου. Το προκαθορισμένο κόστος «αγοράς» ενός Πραγματικού Δικαιώματος αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως «τιμή εξάσκησης».[7],[11] Έτσι, με την βοήθεια της ανάλυσης των Πραγματικών Δικαιωμάτων, μία επιχείρηση μπορεί να πετύχει μία ορθότερη και περισσότερο ρεαλιστική αξιολόγηση μιας σχεδιαζόμενης επένδυσης, αφού της δίνεται η δυνατότητα να αποκτήσει περισσότερη γνώση αλλά και να εκτιμήσει καλύτερα τους πιθανούς κινδύνους με την πάροδο του χρόνου. [1],[35] -6-

19 Σύμφωνα με παλαιότερες μεθόδους αξιολόγησης, όπως για παράδειγμα η μέθοδος των ταμειακών ροών που αναφέρθηκε παραπάνω, η ύπαρξη μεγάλου κινδύνου, ο οποίος προκύπτει κυρίως από την ύπαρξη αβεβαιότητας, έχει αρνητικές συνέπειες στην επένδυση μειώνοντας την μελλοντική της αξία. Εάν όμως η αξιολόγηση γίνει υπό το πρίσμα των Πραγματικών Δικαιωμάτων, η ύπαρξη της αβεβαιότητας μπορεί να έχει θετικές συνέπειες για την αξία της επένδυσης, αρκεί τα Δικαιώματα να χρησιμοποιηθούν σωστά προκειμένου να καταφέρει η επιχείρηση να ανταποκριθεί στις καταστάσεις που πιθανώς θα προκύψουν. Υπό αυτή την έννοια, η μέθοδος των Πραγματικών Δικαιωμάτων αντιλαμβάνεται την αστάθεια και τους κινδύνους που απορρέουν από αυτή σαν ένα θετικό παράγοντα στην οποίο προσδίδει κάποια τιμή. Εκτός από την αστάθεια, υπάρχουν και άλλοι παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν την αξία ενός Πραγματικού Δικαιώματος, με τον χρόνο να αποτελεί ίσως τον σημαντικότερο εξ αυτών. Αυτό συμβαίνει διότι ο κάτοχος ενός Δικαιώματος έχει την ευχέρεια να επιλέξει πότε θα το εξασκήσει, πραγματοποιώντας την επένδυση σε κάποια χρονική στιγμή που αυτός θα κρίνει ευνοϊκή. Στο Σχήμα 2.1, φαίνεται η δομή και ο τρόπος άσκησης ενός τύπου Πραγματικού Δικαιώματος, και ειδικότερα ενός Δικαιώματος Εγκατάλειψης της επένδυσης που πραγματοποιείται από μία επιχείρηση. Με την αγορά του Πραγματικού Δικαιώματος, ο κάτοχός του έχει την δυνατότητα είτε να ξεκινήσει την επένδυση είτε να μην προβεί σε κάποια ενέργεια. Σε περίπτωση που τελικά η επένδυση ξεκινήσει, το Δικαίωμα του δίνει τις εξής δύο επιλογές. Από τη μία τη συνέχισή της σε περίπτωση που τελικά το εξωτερικό περιβάλλον αλλά και η πορεία της ίδιας της επιχείρησης είναι τέτοια ώστε να καταστήσουν την επένδυση αποδοτική για αυτή, και από την άλλη τη διακοπή της επένδυσης σε περίπτωση που αυτή κριθεί τελικά μη αποδοτική. Στην τελευταία περίπτωση η ζημιά για την επιχείρηση θα είναι μικρότερη σε σύγκριση με τη ζημιά που θα προέκυπτε εάν τελικά η επιχείρηση ολοκλήρωνε την επένδυση Παρακάτω περιγράφονται αναλυτικά όλοι οι τύποι των Πραγματικών Δικαιωμάτων. -7-

20 Συνέχιση του δικαιώματος Έσοδα από την πραγματοποίηση της επένδυσης 2 ο Στάδιο 1 ο Στάδιο Αγορά δικαιώματος (Επένδυση) 2 ο Στάδιο (Καμία Δικαίωμα Εγκατάλειψης Απώλεια αρχικής επένδυσης ενέργεια) Σχήμα 2.1 Δικαίωμα Εγκατάλειψης 2.2 Παραδείγματα πραγματικών δικαιωμάτων Προκειμένου να γίνει ευκολότερα αντιληπτή η θεωρία των Πραγματικών Δικαιωμάτων, ακολουθούν δύο παραδείγματα εφαρμογής τους. Το παλιότερο ίσως καταγεγραμμένο παράδειγμα είναι αυτό του Θαλή του Μιλήσιου ( πχ). Ο Θαλής υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους φιλοσόφους, ερευνητές και μαθηματικούς. Στα κείμενα του Αριστοτέλη αναφέρεται η ιστορία μιας ευρηματικής επένδυσης του Θαλή. Σύμφωνα με αυτή, οι ξεχωριστές ικανότητες και η ευφυΐα του, τον οδήγησαν να ερμηνεύσει μέσω των γνώσεων του για την μετεωρολογία, τις καιρικές συνθήκες που θα επικρατήσουν κατά την συγκομιδή ελιών εκείνη την συγκεκριμένη εποχή. Επίσης εξετάζοντας τα φύλλα του τσαγιού και συνδυάζοντας τον καιρό, προέβλεψε ότι θα υπάρξει μεγάλη παραγωγή ελιάς για εκείνη τη χρονιά. Η εκτίμηση του Θαλή θεωρήθηκε από τον ίδιο τόσο ευνοϊκή, που έσπευσε να συγκεντρώσει όλες του τις οικονομίες για να διαπραγματευτεί με τους ιδιοκτήτες -8-

21 των ελαιοτριβείων τις Μιλήτου, την παραχώρηση εκ μέρους τους, του Δικαιώματος να του τα νοικιάσουν για την εποχή της συγκομιδής της ελιάς σε μια προκαθορισμένη τιμή. Πράγματι οι προβλέψεις του Θαλή για την παραγωγή ελιάς επαληθεύτηκαν και με το παραπάνω. Έτσι όλοι οι παραγωγοί ελιάς της Μιλήτου άρχισαν να αναζητούν ελαιοτριβείο για να βγάλουν λάδι. Όμως όλα τα ελαιοτριβεία είχαν ενοικιαστεί από τον φιλόσοφο Θαλή, ο οποίος και είχε επιβάλει μια μονοπωλιακή κατάσταση στην περιοχή. Εξαιτίας της αυξημένης ζήτησης για ελαιοτριβείο από τους παραγωγούς, ο Θαλής αύξησε το κόστος για τη χρήση τους και έτσι αποκόμισε υψηλό κέρδος μιας και ο ίδιος θα απέδιδε στους ιδιοκτήτες των ελαιοτριβείων μόνο το προσυμφωνηθέν τίμημα ενοικίασης που προβλεπόταν στο συμβόλαιο. [11] Στο παράδειγμα με τον Θαλή μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η τιμή του ενοικίου που θα πλήρωναν οι ελαιοπαραγωγοί για τα ελαιοτριβεία την περίοδο συγκομιδής της ελιάς, αποτελεί το «υποκείμενο αγαθό ρίσκου» (underlying risky asset), το οποίο ανάλογα με την προσφορά και τη ζήτηση θα είχε και διαφορετική τιμή. Η αβεβαιότητα και η μεταβλητότητα των καιρικών συνθηκών και της συγκομιδής που υπολόγιζε ο Θαλής, αποτελεί την κύρια αιτία διαμόρφωσης της μελλοντικής τιμής ενοικίασης των ελαιοτριβείων στους παραγωγούς. Το προσυμφωνηθέν ενοίκιο (ασφάλιστρο, «premium» κινδύνου για την άσκηση του Δικαιώματος) που είχε υπογράψει στο συμβόλαιο ο Θαλής με τους ιδιοκτήτες των ελαιοτριβείων αποτελεί την «τιμή εξάσκησης» (exercise price). Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι προφανώς ο Θαλής αντί να ρισκάρει σε μια τέτοια επένδυση που έχει υψηλό κίνδυνο, θα μπορούσε αν ήταν μια πιο οργανωμένη αγορά, να επενδύσει τα χρήματά του σε μια άλλη επένδυση με ένα επιτόκιο απόδοσης απαλλαγμένο από κινδύνους (risk free rate). Αναφέρουμε το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο για να επισημάνουμε ότι όσο η τιμή του αυξάνεται τότε και η τιμή του Δικαιώματος αυξάνεται. Επιπλέον, η συμφωνία των δύο μερών ίσχυε για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, που ονομάζεται «διάρκεια ζωής» (maturity time) του Δικαιώματος. Τέλος τα χρήματα που συγκέντρωσε ο Θαλής και πλήρωσε τους ιδιοκτήτες για την ενοικίαση των ελαιοτριβείων είναι η «τιμή του Δικαιώματος» (value of option). -9-

22 Στην περίπτωση του Θαλή, παρόλο που αυτός είχε εμπιστοσύνη στις γνώσεις του για τη μετεωρολογία και την εξέλιξη της παραγωγής, υπάρχει υψηλός βαθμός αστάθεια και αβεβαιότητας. Έτσι, εάν τελικά οι προβλέψεις του ήταν λανθασμένες και η σοδειά των παραγωγών δεν ήταν υψηλή, οι τελευταίοι θα πλήρωναν χαμηλό ενοίκιο στον Θαλή το οποίο θα ήταν πιθανώς και χαμηλότερο από τα χρήματα που είχε συμφωνηθεί να πληρώσει αυτός στους ιδιοκτήτες. Σε αυτή την περίπτωση, και λόγω του Δικαιώματος που κατείχε, δεν θα προχωρούσε τελικά στην ενοικίαση των ελαιοτριβείων χάνοντας μόνο την προκαταβολή που είχε δώσει. Έτσι, η ζημιά θα ήταν πολύ μικρότερη σε σύγκριση με αυτή που θα είχε προκληθεί εάν ο Θαλής προχωρούσε στην ενοικίαση των ελαιοτριβείων για όλη τη χρονιά με αποτέλεσμα την υποχρέωση από μέρους του καταβολής ολόκληρου του ποσού του ενοικίου. Στο παραπάνω παράδειγμα φαίνονται όλα τα στοιχεία ενός Πραγματικού Δικαιώματος. Η χρήση όμως ενός περισσότερο πρόσφατου παραδείγματος ίσως βοηθήσει περισσότερο στην κατανόηση της έννοιας των Πραγματικών Δικαιωμάτων. Υ- ποθέτουμε πως κάποιος χτίζει ένα καινούριο σπίτι Ένα βασικό θέμα το οποίο αντιμετωπίζει στην αρχή της επένδυσής του είναι ο τρόπος με τον οποίο το νέο αυτό σπίτι θα θερμαίνεται. Οι δύο εναλλακτικές επιλογές τις οποίες θα πρέπει να εξετάσει είναι είτε θέρμανση μέσω πετρελαίου, είτε θέρμανση μέσω αερίου. Εάν για την απόφασή του χρησιμοποιήσει την μέθοδο των ταμειακών ροών με βάση την οποία θα πρέπει να εξετάσει την πορεία των τιμών των δύο αυτών αγαθών τα προηγούμενα χρόνια και να επιλέξει τη λύση που φαίνεται πιο οικονομική και ε- πομένως περισσότερο συμφέρουσα γι αυτόν, υπάρχει μεγάλη περίπτωση για λάθος επιλογή, διότι δεν λαμβάνεται υπόψη η αβεβαιότητα για την πορεία των τιμών των δύο αυτών αγαθών τα επόμενα χρόνια. Από την άλλη, εάν χρησιμοποιήσει την μέθοδο των Πραγματικών Δικαιωμάτων, η οποία λαμβάνει υπόψη της και τον παράγοντα της αστάθειας, θα οδηγηθεί τελικά στην εγκατάσταση ενός συστήματος θέρμανσης το οποίο δίνει στον κάτοχο του σπιτιού τη δυνατότητα καύσης τόσο πετρελαίου όσο και αερίου. Έτσι ο τελευταίος έχει τη δυνατότητα να επιλέξει κάθε χρονική στιγμή το αποδοτικότερο γι αυτόν αγαθό εξετάζοντας τις τρέχουσες τιμές και των δύο. -10-

23 Η λύση που προκύπτει από την μέθοδο των Πραγματικών Δικαιωμάτων, συνεπάγεται προφανώς για τον ιδιοκτήτη του σπιτιού ένα επιπλέον κόστος, το οποίο ό- μως θα μπορούσε να θεωρηθεί ένα ασφάλιστρο που τον προστατεύει από την μελλοντική μεταβλητότητα των τιμών και τελικά ισοσταθμίζεται από το κέρδος που θα του αποφέρει η εξοικονόμηση χρημάτων κατά την αγορά κάθε φορά του φθηνότερου αγαθού παραγωγής θερμότητας. Ένας κλάδος επενδύσεων στον οποίο τα Πραγματικά Δικαιώματα εφαρμόζονται σε μεγάλο βαθμό είναι αυτές που αφορούν τα έργα Πληροφορικής. Τα τελευταία χρόνια οι συγκεκριμένες επενδύσεις εμφανίζουν ραγδαία ανάπτυξη. Ο λόγος είναι η μεγάλη αβεβαιότητα που υπάρχει σε τέτοιες επενδύσεις για το μέλλον και η ο- ποία έγκειται σε διάφορες παραμέτρους, μία εκ των οποίων (και ίσως αυτή που γίνεται ευκολότερα αντιληπτή) είναι οι δαπάνες υλοποίησης ενός τέτοιου έργου. Με την συνεχή άνθιση νέων τεχνολογιών που παρατηρείται, οι τρόποι ανάπτυξης ενός έργου Πληροφορικής μπορεί να αλλάξουν σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στην μεταβολή των αρχικά προγραμματισμένων δαπανών. Σε παρακάτω κεφάλαιο θα γίνει αναλυτική περιγραφή του τρόπου ανάπτυξης ενός τέτοιου έργου, καθώς και εφαρμογή της μεθόδου των Πραγματικών Δικαιωμάτων για την αξιολόγηση μιας σχεδιαζόμενης επένδυσης σε αυτό. 2.3 Μοντέλα πραγματικών δικαιωμάτων Ανάλογα με την περίπτωση του έργου, της επένδυσης ή του προγράμματος που κάποια επιχείρηση μπορεί να αναλάβει, υπάρχουν διάφορες κατηγορίες Πραγματικών Δικαιωμάτων. Οι πιο κοινοί τύποι είναι το Δικαίωμα για Αναβολή, για Επέκταση, για Συρρίκνωση, για Εγκατάλειψη και για Αλλαγή χρήσης μία επένδυσης. Ακολουθεί η συνοπτική περιγραφή όλων αυτών των κατηγοριών. -11-

24 2.3.1 ικαίωµα Αναβολής µιας Επένδυσης Ο τύπος αυτός Πραγματικού Δικαιώματος αποτελεί ίσως τον περισσότερο διαδεδομένο. Η επιχείρηση - κάτοχος ενός Δικαιώματος Αναβολής έχει τη δυνατότητα να αναβάλλει την πραγματοποίηση της επένδυσης για το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο το Δικαίωμα έχει ισχύ. Η δυνατότητα αυτή της δίνει την ευκαιρία να εκτιμήσει και να αξιολογήσει ορθότερα την αξία που θα της προσδώσει η σχεδιαζόμενη επένδυση στο μέλλον και να προχωρήσει στην πραγματοποίησή της όταν κρίνει ότι η συνθήκες τόσο στο εσωτερικό όσο και στο εξωτερικό της περιβάλλον είναι οι καλύτερες δυνατές. Σε περίπτωση που οι συνθήκες θεωρηθούν ακατάλληλες από την επιχείρηση μετά τη λήξη του Δικαιώματος, αυτή έχει τη δυνατότητα να μην πραγματοποιήσει την επένδυση περιορίζοντας τις ζημιές της μόνο στο αρχικό κόστος απόκτησης του. Σε περιπτώσεις που η αβεβαιότητα και η αστάθεια παρουσιάζουν υψηλό ποσοστό και οι ταμειακές εισροές οι οποίες καθυστερούν λόγω της αναβολής πραγματοποίησης της επένδυσης είναι σχετικά χαμηλές, το Δικαίωμα Αναβολής γίνεται ιδιαίτερα ελκυστικό για μία επιχείρηση. Υπάρχουν ποικίλες περιπτώσεις επενδύσεων οι οποίες παρουσιάζουν τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Ενδεικτικά μπορούμε να αναφέρουμε τις επενδύσεις σε νέα προϊόντα καθώς και αυτές που αφορούν τον κλάδο των real estate. Σε αυτές τις κατηγορίες επενδύσεων, η ανάλυση των Πραγματικών Δικαιωμάτων υπολογίζει την αβεβαιότητα που επικρατεί για το μέλλον των πωλήσεων, συγκρίνοντας τα οφέλη που προκύπτουν από την αύξηση των εσόδων σε περίπτωση ά- μεσης πραγματοποίησης της επένδυσης και την μείωση των εξόδων που συνεπάγεται μία πιθανή αναβολή της. Μια τέτοια ανάλυση δείχνει ότι η αξία της αναβολής της επένδυσης υπερέχει συνήθως της αξίας από την άμεση πραγματοποίησή της. [1] ικαίωµα Επέκτασης µιας Επένδυσης Ο κάτοχος ενός Δικαιώματος Επέκτασης μια επένδυσης, έχει τη δυνατότητα να προχωρήσει σε ανάπτυξη μιας ήδη δρομολογημένης επένδυσης σε περαιτέρω περεταίρω νέες επενδύσεις. Εάν η επιχείρηση η οποία πραγματοποιεί μία επένδυση -12-

25 κρίνει κατά τη διάρκεια ισχύος του Δικαιώματος πως οι συνθήκες είναι κατάλληλες ώστε μια επέκταση της επένδυσης να της αποφέρει περισσότερα έσοδα, κάνει χρήση του Δικαιώματος, η οποία συνεπάγεται βέβαια για αυτή ένα επιπλέον κόστος που αντιστοιχεί στην επέκταση της επένδυσης. Το επιπλέον αυτό κόστος αποτελεί και την τιμή εξάσκησης ενός Δικαιώματος Επέκτασης. Η τιμή εξάσκησης ε- ξαρτάται συνήθως από την έκταση της αρχικής επένδυσης. Έτσι εάν ο αρχικός σχεδιασμός της επιχείρησης προβλέπει μία ιδιαίτερα υψηλή επένδυση, η οποία ξεπερνάει σε κόστος τα αναμενόμενα έσοδα, η τιμή εξάσκησης του Δικαιώματος Επέκτασης είναι σχετικά χαμηλή. Αυτή η κατηγορία Δικαιωμάτων βρίσκει εφαρμογή κυρίως σε επιχειρήσεις που ανακαλύπτουν νέα προϊόντα τα οποία χαρακτηρίζονται από υψηλή ζήτηση, καθώς και σε όσες παρουσιάζουν ερευνητικό χαρακτήρα, όπως για παράδειγμα φαρμακευτικές και επιχειρήσεις εκμετάλλευσης φυσικών πόρων. Για παράδειγμα ας υ- ποθέσουμε ότι μία εταιρία καλλυντικών θέλει να εισέλθει σε μία νέα αγορά. Ακολουθώντας την μέθοδο της Καθαράς Παρούσας Αξίας προκειμένου να αξιολογήσει τη σχεδιαζόμενη αυτή επένδυση, προκύπτει ότι η τελευταία είναι ασύμφορη για την εν λόγο εταιρία, διότι τα έξοδα που αυτή συνεπάγεται υπερβαίνουν τα αναμενόμενα έσοδα. Με την βοήθεια όμως της ανάλυσης των Πραγματικών Δικαιωμάτων φάνηκε ότι η επένδυση θα είναι τελικά αποδοτική διότι θα δημιουργήσει στο μέλλον ευκαιρίες περεταίρω ανάπτυξης οι οποίες θα αποφέρουν όφελος. [12] ικαίωµα Συρρίκνωσης µιας επένδυσης Στην αντίθετη περίπτωση από αυτή που περιγράφηκε παραπάνω, στην περίπτωση δηλαδή όπου οι συνθήκες που προκύπτουν κατά τη διάρκεια πραγματοποίησης μιας επένδυσης κριθούν ακατάλληλες για την ολοκλήρωσή της, βρίσκει εφαρμογή το Δικαίωμα Συρρίκνωσης μιας Επένδυσης. Έτσι ο κάτοχος ενός τέτοιου Δικαιώματος έχει τη δυνατότητα να μειώσει το αρχικό μέγεθος της επένδυσης, εξοικονομώντας με τον τρόπο αυτό έξοδα. Η παρούσα αξία αυτών των εξόδων που εξοικονομούνται αποτελεί την τιμή εξάσκησης ενός τέτοιου Δικαιώματος, και προσδιορίζεται τη χρονική στιγμή εξάσκησής του. -13-

26 Η κατηγορία αυτή Πραγματικών Δικαιωμάτων χρησιμοποιείται κυρίως σε περιπτώσεις εισαγωγής νέων προϊόντων σε αβέβαιες αγορές, όπως για παράδειγμα τη δημιουργία μιας νέας κολεξιόν στον χώρο της ένδυσης. Επίσης στην περίπτωση επιλογής της καλύτερης δυνατής εγκατάστασης ενός εργοστασίου, η χρήση ενός Δικαιώματος Συρρίκνωσης δίνει στον κάτοχό του τη δυνατότητα επίτευξης χαμηλού κόστους κατασκευής ενός εργοστασίου με υψηλό κόστος συντήρησης. Έτσι σε περιόδους που η αγορά χαρακτηρίζεται από αβεβαιότητα μπορεί να μειωθεί το λειτουργικό κόστος, χωρίς να υπάρχει δέσμευση για μία ακριβή αρχική επένδυση σε πάγιες εγκαταστάσεις. [36] ικαίωµα Εγκατάλειψης µιας Επένδυσης Ένα Δικαίωμα Εγκατάλειψης μιας επένδυσης, δίνει στον κάτοχό του τη δυνατότητα να διακόψει οποιαδήποτε στιγμή (στην περίοδο που το Δικαίωμα έχει ισχύ), όλες της ενέργειές του. Για μία επιχείρηση, στην περίπτωση που οι συνθήκες τις αγοράς κριθούν ακατάλληλες για την ολοκλήρωση της επένδυσης, χαρακτηρίζοντας την μη αποδοτική, είναι προτιμότερο να διακοπεί η διαδικασία ανάπτυξής της και να προχωρήσει η επιχείρηση στην πώληση του κεφαλαιουχικού ή οποιουδήποτε άλλου εξοπλισμού στην υπολειμματική του αξία. Σε αυτή την κατηγορία Πραγματικών Δικαιωμάτων, η τιμή εξάσκησης ισούται με την αξία μεταπώλησης ή ρευστοποίησης των περιουσιακών στοιχείων που σχετίζονται με την επένδυση. Δικαιώματα Εγκατάλειψης, εμφανίζονται κυρίως σε επιχειρήσεις εντάσεως κεφαλαίου, όπως για παράδειγμα οι αερομεταφορές και οι σιδηρόδρομοι, αλλά και σε περιπτώσεις επιχειρήσεων ανάλογες με αυτές που περιγράφηκαν στα Δικαιώματα Επέκτασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι το Δικαίωμα Εγκατάλειψης δεν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε περίπτωση πιθανής απώλειας πολύτιμων τεχνικών, οργανωτικών ή άλλων πληροφοριών που έχει η επιχείρηση, καθώς τα παραπάνω μπορεί να χρησιμοποιηθούν τόσο από ανταγωνιστές της όσο και από την ίδια σε περίπτωση μελλοντικών δραστηριοτήτων της [7] -14-

27 2.3.5 ικαίωµα Αλλαγής Χρήσης µιας Επένδυσης Η τελευταία κατηγορία Πραγματικών Δικαιωμάτων που εξετάζουμε είναι αυτά που αφορούν την Αλλαγή Χρήσης μιας επένδυσης. Αυτός ο τύπος Δικαιωμάτων χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις που παρατηρούνται μεταβολές των τιμών και της ζήτησης στην αγορά και δίνουν στην επιχείρηση - κάτοχό τους τη δυνατότητα να μεταβάλλει το μείγμα προϊόντων (ευελιξία προϊόντος) της, προσαρμόζοντας το στις νέες συνθήκες τις αγοράς, καθώς και τη δυνατότητα μεταβολής της παραγωγικής διαδικασίας (ευελιξία παραγωγής) που ακολουθείται για την παραγωγή των προϊόντων της. Τα παραπάνω μπορούν να οδηγήσουν αφενός στη μείωση του κόστους παραγωγής και αφετέρου στην αύξηση των εσόδων της από τη δημιουργία νέων περισσότερο κερδοφόρων προϊόντων. Τα τελευταία ισούνται με την τιμή εξάσκησης των Δικαιωμάτων αυτής της κατηγορίας. Οι κλάδοι που τα Δικαιώματα εφαρμόζονται, υπό το πρίσμα της ευελιξίας στην αλλαγή των προϊόντων είναι κυρίως αυτοί της παραγωγής αυτοκινήτων, φαρμάκων, παιδικών παιχνιδιών, ηλεκτρικών ειδών κ.α. Ενώ στην περίπτωση ευελιξίας παραγωγής τα Δικαιώματα Αλλαγής Χρήσης χρησιμοποιούνται κυρίως σε επιχειρήσεις χημικών, παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κ.α.[36] 2.4 Μέθοδοι αποτίμησης Πραγματικών Δικαιωμάτων Υπάρχουν διάφορες μεθοδολογίες οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της αξίας ενός Πραγματικού Δικαιώματος. Ορισμένες από αυτές είναι η χρήση εξισώσεων κλειστής μορφής όπως για παράδειγμα το μοντέλο εξισώσεων Black-Scholes, η χρήση διαφορικών εξισώσεων, η χρήση μεθόδων προσομοίωσης Monte Carlo, η χρήση πλεγμάτων όπως για παράδειγμα τα διωνυμικά, τριωνυμικά κ.α. δέντρα, η χρήση αριθμητικών τεχνικών όπως η μείωση των μεταβλητών αλλά και άλλες. Από τις παραπάνω μεθόδους, αυτές που χρησιμοποιούνται περισσότερο είναι αυτές των εξισώσεων κλειστής μορφής, της προσομοίωσης και των διωνυμικών πλεγμάτων. [8],[11],[12] -15-

28 Στην περίπτωση των εξισώσεων κλειστής μορφής, όπως το μοντέλο Black-Scholes, αυτές απαιτούν για τη λύση τους ένα σύνολο αρχικών υποθέσεων.. Αποτελούν γενικά μία μέθοδο εύκολα εφαρμόσιμη με την βοήθεια βασικών γνώσεων προγραμματισμού, η οποία καταλήγει σε ακριβή και γρήγορα αποτελέσματα, τα οποία ό- μως παρουσιάζουν μία δυσκολία στην επεξήγησή τους διότι χαρακτηρίζονται από δυσνόητους στοχαστικούς μαθηματικούς υπολογισμούς. Ένα ακόμα μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι το γεγονός ότι οι εξισώσεις αυτές είναι πολύ συγκεκριμένες με αποτέλεσμα την ύπαρξη περιορισμένης ευελιξίας στη μοντελοποίηση. Από την άλλη, τα διωνυμικά πλέγματα παρουσιάζουν ευκολία τόσο στην εφαρμογή τους όσο και στην επεξήγησή τους. Το πρόβλημα αυτής της μεθόδου έγκειται στη σημαντική υπολογιστική δύναμη και τον αριθμό των χρονικών βημάτων που απαιτούνται για τη λήψη περισσότερο ορθών αποτελεσμάτων. Τέλος, η Monte Carlo προσομοίωση, αποτελεί μία ιδιαίτερα εύκολη και αποτελεσματική μέθοδο αποτίμησης των Πραγματικών Δικαιωμάτων, για κάποιον ο οποίος είναι γνώστης των βασικών αρχών προσομοίωσης προκειμένου να εξηγήσει τα αποτελέσματα που προκύπτουν από αυτήν. Παρακάτω ακολουθεί η αναλυτική περιγραφή δύο μεθόδων από τις παραπάνω, της Monte Carlo Προσομοίωσης και των διωνυμικών πλεγμάτων Monte Carlo Προσοµοίωση Η προσομοίωση Monte Carlo βρίσκει εφαρμογή σε διάφορα προβλήματα και μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί και για την επίλυση προβλημάτων Πραγματικών Δικαιωμάτων. Υπάρχουν πολλαπλές χρήσεις της μεθόδου αυτής, όπως για παράδειγμα η ικανότητα να λαμβάνει μια εκτίμηση της αστάθειας ως παράμετρο στα μοντέλα των Πραγματικών Δικαιωμάτων, η ικανότητα λήψης ενός εύρους πιθανών αποτελεσμάτων στην ανάλυση DCF και η προσομοίωση παραμέτρων που είναι σημαντικά αβέβαιες. Σε αυτή την ενότητα γίνεται χρήση της Monte Carlo προσομοίωσης, για τη λήψη ενός αλλά και ενός εύρους αποτελεσμάτων για την τιμή ε- νός Πραγματικού Δικαιώματος -16-

29 Εφαρμογή της Monte Carlo προσομοίωσης για τη λήψη μιας τιμής Πραγματικού Δικαιώματος. Στην περίπτωση που το ζητούμενο αποτέλεσμα από την προσομοίωση είναι η λήψη μίας μοναδικής τιμής για το Πραγματικό Δικαίωμα, η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: δημιουργείται αρχικά μια σειρά προβλεπόμενων τιμών του οικονομικού μεγέθους με τη βοήθεια του μοντέλου Geometric Brownian Motion,ενώ ο υπολογισμός μεγιστοποίησης εφαρμόζεται στο τέλος και ανάγεται τελικά στην αρχική χρονική στιγμή με τη χρήση του επιτοκίου αναγωγής που είναι ελεύθερο ως προς τον κίνδυνο. Έτσι, αρχίζοντας με μία τιμή του οικονομικού μεγέθους, προσομοιώνονται πολλαπλές μελλοντικές πορείες με τη βοήθεια όπως αναφέρθηκε του μοντέλου Geometric Brownian Motion, όπου t t 1 t δ S = S ( rf ( δ t ) + σε δ ). Δηλαδή, η αλλαγή της τιμής του οικονομικού μεγέθους δs t στη χρονική στιγμή t είναι ίση με την τιμή του οικονομικού μεγέθους στην προηγούμενη χρονική στιγμή S t-1 πολλαπλασιασμένη με τη διαδικασία Brownian Motion. Το rf στην παραπάνω εξίσωση είναι το ελεύθερο ως προς τον κίνδυνο επιτόκιο, δt είναι η διάρκεια των χρονικών βημάτων, σ είναι η αστάθεια και ε είναι η προσομοιωμένη τιμή από μια κανονική κατανομή πιθανότητας με μέση τιμή ίση με το μηδέν και διασπορά ίση με τη μονάδα. Το πρώτο βήμα στη Monte Carlo προσομοίωση είναι ο προσδιορισμός του αριθμού των βημάτων που θα ακολουθήσει η προσομοίωση. Εάν η αρχική τιμή του οικονομικού μεγέθους είναι S 0, η αλλαγή στην τιμή αυτή την πρώτη περίοδο θα είναι δ S = S ( rf ( δ t ) + σε δ ). Άρα η τιμή του οικονομικού μεγέθους στο 1 0 t πρώτο χρονικό βήμα είναι ίση με S 1 = S 0 + δs 1. Η τιμή του οικονομικού μεγέθους στο δεύτερο χρονικό βήμα είναι ίση με S 2 = S 1 + δs 2, όπου 2 1 t δ S = S ( rf ( δ t ) + σε δ ). Η διαδικασία αυτή ακολουθείται μέχρι το τελευταίο βήμα, οπότε και εφαρμόζεται η διαδικασία μεγιστοποίησης. Εάν το κόστος εφαρμογής του Δικαιώματος είναι ίσο με Χ τότε η συνάρτηση μεγιστοποίησης είναι ίση με C fin,i = Max[S fin,i X, 0]. Η τιμή C fin,i αποτελεί την αξία του δικαιώματος για την τελική χρονική στιγμή και για την i-οστή δοκιμή προσομοίωσης. Τέλος, η τιμή αυτή ανάγεται στη χρονική στιγμή μηδέν με τη χρήση του ελεύθερο ως προς -17-

30 τον κίνδυνο επιτοκίου και δίνει σαν αποτέλεσμα την τιμή C 0,i = C fin,i exp[-rf(t)]. Αυτή είναι μία εκτίμηση τιμής για μία μόνο προσομοίωση. Η μέση τιμή των C 0 μετά την πραγματοποίηση 1000 δοκιμών αποτελεί τη λύση του προβλήματος. Όσα μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των βημάτων που έχουν ορισθεί, τόσο ακριβέστερο είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει.[1],[8],[11],[16] Εφαρμογή της Monte Carlo προσομοίωσης για τη λήψη ενός εύρους τιμών του Πραγματικού Δικαιώματος. Εναλλακτικά η Monte Carlo προσομοίωση μπορεί να εφαρμοστεί για τη λήψη ενός εύρους τιμών για το Πραγματικό Δικαίωμα. Μπορούμε για παράδειγμα να προσομοιώσουμε τις τιμές του ελεύθερου ως προς τον κίνδυνο επιτοκίου ή της αστάθειας θέτοντας σε αυτές κάποια κατανομή πιθανότητας.. Σε αυτή την περίπτωση, η προσομοίωση χρησιμοποιείται για να εκτιμηθούν οι τιμές των μεταβλητών του συστήματος και όχι για να προκύψει η λύση του προβλήματος..[1],[8],[11],[16] Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειώσουμε πως η αστάθεια αποτελεί μια μεταβλητή στην ανάλυση των Πραγματικών Δικαιωμάτων η οποία εκφράζει την αλλαγή της τιμής του οικονομικού μεγέθους μέσα στο χρόνο και γι αυτό η προσομοίωση αυτής μπορεί να οδηγήσει διπλό υπολογισμό της πραγματικής μεταβλητότητας του Δικαιώματος. Αυτό το σημείο επομένως χρήζει ιδιαίτερης προσοχής από τον αναλυτή ιωνυµικά Πλέγµατα (Binomial Trees) Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η μέθοδος της Προσομοίωσης μας επιτρέπει να υ- πολογίσουμε ή καλύτερα να προσομοιώσουμε την αστάθεια της επένδυσης καθώς και το ελεύθερο προς τον κίνδυνο επιτόκιο. Στην ανάλυση λοιπόν των διωνυμικών πλεγμάτων που ακολουθεί, θεωρούμε πως οι μεταβλητές αυτές υπολογίσθηκαν με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω. Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης προβλημάτων Πραγματικών Δικαιωμάτων με την μέθοδο του διωνυμικού πλέγματος, ανεξαρτήτως του τύπου του Δικαιώματος -18-

31 στον οποίο αυτά αναφέρονται. Ο πρώτος τρόπος αφορά τη χρήση πιθανοτήτων που είναι ουδέτερες ως προς τον κίνδυνο και ο δεύτερος τη χρήση χαρτοφυλακίων που αντιγράφουν την αγορά. Η χρήση ενός χαρτοφυλακίου είναι δυσκολότερο να κατανοηθεί και να εφαρμοστεί σε σχέση με τις ουδέτερες προς τον κίνδυνο πιθανότητες, τα αποτελέσματα ωστόσο που προκύπτουν μέσω και των δύο αυτών τρόπων είναι τα ίδια. Αυτό έχει ως συνέπεια την συχνότερη χρήση της μεθόδου των ουδέτερων προς τον κίνδυνο πιθανοτήτων. Έτσι, αντί να χρησιμοποιηθεί ένα επικίνδυνο σχετικά σύνολο ταμειακών ροών με την αναγκαία αναγωγή του με ένα επιτόκιο προσαρμοσμένο ως προς τον κίνδυνο, μπορούν να προσαρμοστούν ως προς τον κίνδυνο οι πιθανότητες συγκεκριμένων ταμειακών ροών που εμφανίζονται σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. Η χρήση αυτών των προσαρμοσμένων ως προς τον κίνδυνο πιθανοτήτων έχει ως αποτέλεσμα την αναγωγή των ταμειακών ροών με τη χρήση ενός ελεύθερου ως προς τον κίνδυνο επιτοκίου. Το τελευταίο αποτελεί και την ουσία της χρήσης της μεθόδου ων διωνυμικών πλεγμάτων για τη λύση προβλημάτων Πραγματικών Δικαιωμάτων. Σε οποιοδήποτε μοντέλο Πραγματικών Δικαιωμάτων απαιτείται η ύπαρξη δύο τουλάχιστον δικτυωτών πλεγμάτων. Το πρώτο δικτυωτό πλέγμα είναι πάντα το πλέγμα του οικονομικού μεγέθους ενώ το δεύτερο είναι το πλέγμα αξιολόγησης του Δικαιώματος. Ανεξάρτητα του ποιου μοντέλου χρησιμοποιείται, η βασική δομή σχεδόν πάντα υπάρχει, έχοντας τη μορφή: Μεταβλητές: S, X, σ, T, rf, b u σ δ t σ δ t 1 = e d = e = u p = e ( rf b )( δ t ) u d d Οι βασικές μεταβλητές είναι η παρούσα αξία του υποκείμενου οικονομικού μεγέθους (S), η παρούσα αξία του κόστους εφαρμογής του Δικαιώματος (X), η αστάθεια του φυσικού λογαρίθμου των εσόδων από τις ταμειακές ροές σε ποσοστό (σ), ο -19-

32 χρόνος λήξης σε έτη (Τ), το επιτόκιο που είναι ελεύθερο ως προς τον κίνδυνο ή το ποσοστό επιστροφής σε ένα ακίνδυνο οικονομικό μέγεθος (rf), και τις συνεχείς εκροές μερισμάτων σε ποσοστό (b). Επιπλέον, η προσέγγιση με το διωνυμικό πλέγμα απαιτεί δύο πρόσθετα σύνολα υπολογισμών, των πάνω και κάτω παραγόντων (u και d) καθώς επίσης και ένα μέτρο της πιθανότητας που είναι ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο (p). Βλέπουμε από τις παραπάνω εξισώσεις ότι ο πάνω παράγοντας είναι απλά η εκθετική συνάρτηση της αστάθειας της ταμειακής ροής πολλαπλασιασμένη με την τετραγωνική ρίζα του χρονικού βήματος (δt). Η αστάθειας είναι μια ετήσια τιμή και ο πολλαπλασιασμός της με την τετραγωνική ρίζα των χρονικών βημάτων τη μετατρέπει στην ισοδύναμη αστάθεια του χρονικού βήματος. Ο κάτω παράγοντας είναι απλά ο αντίστροφος του πάνω παράγοντα. Επιπλέον, όσο υψηλότερο είναι το μέτρο της αστάθειας, τόσο υψηλότεροι είναι οι πάνω και κάτω παράγοντες. Αυτό το αμοιβαίο μέγεθος εξασφαλίζει ότι τα δικτυωτά πλέγματα επανασυνδυάζονται επειδή τα πάνω και κάτω βήματα έχουν το ίδιο μέγεθος αλλά διαφορετικά πρόσημα. Ο δεύτερος απαραίτητος υπολογισμός που πρέπει να γίνει είναι αυτός της ουδέτερης ως προς τον κίνδυνο πιθανότητας, που καθορίζεται απλά ως ο λόγος της εκθετικής συνάρτησης της διαφοράς μεταξύ του ελεύθερου ως προς τον κίνδυνο ε- πιτοκίου και του μερίσματος, πολλαπλασιασμένη με το χρονικό βήμα μείον τον κάτω παράγοντα, προς τη διαφορά μεταξύ των πάνω και κάτω παραγόντων. Αυτή η πιθανότητα που είναι ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο είναι μια μαθηματική έννοια και από μόνη της δεν έχει καμία ιδιαίτερη σημασία. Ένα σημαντικό λάθος που κάνουν συχνά οι χρήστες των Πραγματικών Δικαιωμάτων είναι ότι υπολογίζουν κατά προσέγγιση αυτές τις πιθανότητες σαν να ήταν κάποιο είδος αντικειμενικών ή υποκειμενικών πιθανοτήτων που έχουν σχέση με κάποιο γεγονός που θα συμβεί. Δεν υπάρχει καμία οικονομική ή χρηματική έννοια που συνδέεται με αυτές τις ουδέτερες ως προς τον κίνδυνο πιθανότητες εκτός του ότι είναι ένα ενδιάμεσο βήμα σε μία σειρά υπολογισμών. Αρχίζοντας με την παρούσα αξία του οικονομικού μεγέθους στο χρόνο μηδέν (S 0 ), την πολλαπλασιάζουμε με τους πάνω (u) και κάτω (d) παράγοντες όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.2, για να δημιουργηθεί ένα διωνυμικό πλέγμα. Θυμίζουμε ότι -20-

33 υπάρχει μια διακλάδωση σε κάθε κόμβο, που δημιουργεί έναν πάνω και έναν κάτω κλάδο. Όλοι οι ενδιάμεσοι κλάδοι επανασυνδυάζονται μεταξύ τους. Αυτή η ε- ξέλιξη του οικονομικού μεγέθους δείχνει ότι εάν η αστάθεια είναι μηδέν, σε ένα ντετερμινιστικό κόσμο όπου δεν υπάρχουν αβεβαιότητες, το δικτυωτό πλέγμα θα ήταν μια ευθεία γραμμή, και τότε ένα μοντέλο ταμεικών ροών θα ήταν επαρκές επειδή η αξία του Δικαιώματος ή της ευελιξίας θα ήταν επίσης μηδέν. Με άλλα λόγια, εάν η αστάθεια (σ) είναι μηδέν, τότε ο πάνω παράγοντας u και ο κάτω d είναι ίσοι με τη μονάδα. Λόγω του ότι υπάρχουν κίνδυνοι και αβεβαιότητα, που μετρούνται από την αστάθεια, το δικτυωτό πλέγμα δεν είναι μια ευθεία οριζόντια γραμμή, αλλά οι κάτω και πάνω αβεβαιότητες είναι αυτές που δίνουν αξία στο option. Όσο μεγαλύτερη είναι η αστάθεια, δηλαδή όσο μεγαλύτεροι είναι οι πάνω και κάτω παράγοντες τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανή αξία ενός option καθώς υ- πάρχουν μεγαλύτερες αβεβαιότητες.[1],[2],[6],[29] Σχήμα 2.2 Διωνυμικό πλέγμα -21-

34 2.5 Χαρακτηριστικά της αβεβαιότητας Στις περισσότερες οικονομικές αναλύσεις, το πρώτο βήμα είναι να δημιουργηθεί μια σειρά ελεύθερων ταμειακών ροών. Οι ταμειακές ροές είναι συνήθως προβλέψεις του άγνωστου μέλλοντος. Στο παράδειγμα που φαίνεται στο Σχήμα 2.3, οι ταμειακές ροές ακολουθούν μια ευθεία καμπύλη αύξησης. Παρόμοιες προβλέψεις μπορούν να κατασκευαστούν και από ιστορικά δεδομένα. Οποιαδήποτε και αν είναι η μέθοδος λήψης των προβλέψεων ή το σχήμα της καμπύλης αύξησης, αυτές είναι εκτιμήσεις σημείου του άγνωστου μέλλοντος. Η εκτέλεση μιας ανάλυσης ταμειακών ροών σε αυτές τις στατικές ροές παρέχει μια ακριβή αξία του προγράμματος, υποθέτοντας ότι όλες οι μελλοντικές ταμειακές ροές είναι γνωστές με βεβαιότητα. Σχήμα 2.3 Ταμειακές Ροές 1 Στην πραγματικότητα όμως, οι επιχειρησιακοί όροι είναι δύσκολο να προβλεφθούν. Η αβεβαιότητα υπάρχει, και τα πραγματικά επίπεδα των μελλοντικών ταμειακών ροών μπορούν να αναπαρασταθούν ορθότερα με τον τρόπο που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.4. Σύμφωνα με το σχήμα αυτό, σε ορισμένες χρονικές περιόδους, οι πραγματικές ταμειακές ροές μπορεί να είναι στα επίπεδα πρόβλεψης, πάνω ή κάτω από αυτά. -22-

35 Σχήμα 2.4 Ταμειακές Ροές 2 Στο σχήμα 2.5 παρουσιάζεται το δείγμα δύο πραγματικών ταμειακών ροών γύρω από την ευθεία πρόβλεψης. Όσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα γύρω από τα πραγματικά επίπεδα των ταμειακών ροών, τόσο μεγαλύτερη είναι η αστάθεια. Η έντονη γραμμή, η οποία αντιστοιχεί σε ένα ποσοστό αστάθειας ίσο με 20%, κυμαίνεται πιο πολύ γύρω από τις τιμές πρόβλεψης. Αυτές οι τιμές μπορούν να υπολογισθούν χρησιμοποιώντας προσομοίωση Monte Carlo. [14],[34] Σχήμα 2.5 Δείγμα 2 πραγματικών Ταμειακών Ροών -23-

36 2.5.1 Αξία των real options µπροστά στην αβεβαιότητα Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η προσομοίωση Monte Carlo μπορεί να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να υπολογίσουμε τα επίπεδα αβεβαιότητας που αφορούν τις ταμειακές ροές. Παρόλα αυτά όμως δεν εξετάζει τις στρατηγικές εναλλακτικές λύσεις που η διοίκηση μπορεί να έχει. Για παράδειγμα, η προσομοίωση αιτιολογεί το εύρος αλλά και την πιθανότητα οι πραγματικές ταμειακές ροές να είναι πάνω ή κάτω από τα προβλεπόμενα επίπεδα αλλά δεν εξετάζει τι μπορεί να κάνει η διοίκηση σε περίπτωση εμφάνισης της μίας ή της άλλης περίπτωσης. Στο Σχήμα 2.6, η περιοχή που βρίσκεται πάνω από τα προβλεπόμενα επίπεδα, η στρατηγική επιλογή της διοίκησης μιας επιχείρησης να επεκταθεί σε διαφορετικές αγορές ή προϊόντα, ή να αναπτύξει μία νέα τεχνολογία, να κάνει δηλαδή χρήση ενός Δικαιώματος Επέκτασης, θα επιφέρει σημαντική αξία. Αντιθέτως, εάν η διοίκηση έχει την επιλογή να εγκαταλείψει μια συγκεκριμένη τεχνολογία, αγορά, ή ανάπτυξη όταν επιδεινώνονται οι λειτουργικές συνθήκες, η κατοχή και η εκτέλεση μιας τέτοιας εγκατάλειψης ή αλλαγής στρατηγικής μπορεί να είναι χρήσιμη. Αυτό συνεπάγεται ότι η διοίκηση έχει την ευελιξία να εκτελέσει τα παραπάνω Δικαιώματα αλλά και την προθυμία να ακολουθήσει αυτές τις στρατηγικές την κατάλληλη χρονική στιγμή. Συχνά, όταν καλείται να αποφασίσει η διοίκηση μιας επιχείρησης για την εγκατάλειψη μιας επένδυσης,, ακόμα και όταν η κίνηση αυτή φαίνεται σαν τη βέλτιστη λύση, υπάρχει η πιθανότητα να επιλέξει τελικά τη συνέχιση της επένδυσης, προσδοκώντας σε καλύτερες μελλοντικές συνθήκες οι οποίες θα την καταστήσουν κερδοφόρα. -24-

37 Σχήμα 2.6 Ταμειακές Ροές και Δικαιώματα Η αξία των Πραγματικών Δικαιωμάτων ενός έργου απαιτεί διάφορες υποθέσεις. Κατ' αρχάς, λειτουργικοί, τεχνολογικοί και παράγοντες της αγοράς υπόκεινται στην αβεβαιότητα και την αλλαγή που επηρεάζουν με τη σειρά τους την αξία μίας ε- πένδυσης, καθώς και τη διευθυντική ευελιξία και τις διάφορες στρατηγικές αποφάσεις που η διοίκηση καλείται να λάβει. Για αυτό το λόγο, η διοίκηση πρέπει όχι μόνο να είναι σε θέση αλλά να είναι και πρόθυμη να λάβει αυτές τις αποφάσεις μόνο όταν το αποτέλεσμα θα είναι το βέλτιστο για την επιχείρηση. Τα Πραγματικά Δικαιώματα προσφέρουν τη δυνατότητα ενός ακριβή υπολογισμού αυτής της αξίας ευελιξίας και επιπλέον προσδιορίζουν τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η εκτέλεση ορισμένων στρατηγικών γίνεται βέλτιστη. Οι επενδύσεις που παρουσιάζουν στατικές καθαρές παρούσες αξίες, οι οποίες είναι αρνητικές ή κοντά στο μηδέν, ωφελούνται περισσότερο από την εφαρμογή των Πραγματικών Δικαιωμάτων. Η πρόσθετη αξία που προκύπτει από την στρατηγική αξία η οποία στην ανάλυση των Πραγματικών Δικαιωμάτων λαμβάνεται υπόψη (σε αντίθεση με άλλες μεθόδους αξιολόγησης μιας επένδυσης), είναι επαρκής για να δικαιολογήσει μία επένδυση που είναι οριακά κερδοφόρα. [13],[33] Μια διακριτή προσοµοίωση αβεβαιότητας Στο Σχήμα 2.7 παρουσιάζεται ο «κώνος της αβεβαιότητας», στον οποίο απεικονίζεται η αύξηση της αβεβαιότητας με την πάροδο του χρόνου. Πρέπει βέβαια να -25-

38 σημειωθεί ότι αύξηση της αβεβαιότητας δεν συνεπάγεται αναγκαία και αύξηση του κινδύνου. Η πρόβλεψη των μελλοντικών ταμειακών ροών μέσω του υπολογισμού της αβεβαιότητα με τη χρήση προσομοίωσης, μπορεί να γίνει με την προσομοίωση χιλιάδων σειρές ταμειακών ροών με την πάροδο του χρόνου. Με βάση όλες τις προσομοιωμένες σειρές μπορεί να κατασκευαστεί μια κατανομή πιθανότητας σε κάθε χρονική περίοδο. Οι προσομοιωμένες σειρές παράχθηκαν χρησιμοποιώντας μια διαδικασία Geometric Brownian Motion με συγκεκριμένη αστάθεια. Μια διαδικασία Geometric Brownian Motion μπορεί να αναπαρασταθεί με την παρακάτω σχέση: δ S S = µ ( δ t ) + σε δ t όπου μια ποσοστιαία μεταβολή της μεταβλητής S είναι ένας συνδυασμός ενός ντετερμινιστικού μέρους ( µ ( δ t ) ) και ενός στοχαστικού μέρους ( σε δ t ). Το μ είναι μια αυξητική παράμετρος που αυξάνει με παράγοντα το χρονικό βήμα δt, ενώ το σ είναι η παράμετρος αστάθειας που αυξάνεται με ρυθμό ίσο με τη τετραγωνική ρίζα του χρονικού βήματος, και το ε είναι μια προσομοιωμένη μεταβλητή, που συνήθως ακολουθεί μια κανονική κατανομή με μέση τιμή ίση με το μηδέν και διασπορά ίση με τη μονάδα. Σχήμα 2.7 Κώνος της αβεβαιότητας -26-

39 Η αστάθεια (σ) παραμένει σταθερή σε όλες τις προσομοιώσεις, ενώ η προσομοιωμένη μεταβλητή (ε) αλλάζει κάθε φορά. Αν και ο κίνδυνος ή το μέτρο της αστάθειας (σ) παραμένει σταθερό σε αυτό το παράδειγμα με την πάροδο του χρόνου, το επίπεδο της αβεβαιότητας αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου με έναν παράγοντα ( σ δ t ). Δηλαδή το επίπεδο αβεβαιότητας αυξάνεται με ρυθμό την τετραγωνική ρίζα του χρόνου και καθώς ο χρόνος μεγαλώνει, τόσο πιο δύσκολο είναι να προβλεφθεί το μέλλον. Αυτό φαίνεται και στον κώνο αβεβαιότητας, όπου το πλάτος του κώνου αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Όπως γίνεται φανερό στο Σχήμα 2.8, υπάρχει ομοιότητα στην τριγωνική μορφή που παρουσιάζει τόσο ο κώνος της αβεβαιότητας όσο και σε ένα διωνυμικό πλέγμα. Στην ουσία, ένα διωνυμικό πλέγμα είναι μια διακριτή προσομοίωση του κώνου της αβεβαιότητας. Ενώ η διαδικασία Brownian Motion είναι μια συνεχής στοχαστική διαδικασία προσομοίωσης, ένα διωνυμικό πλέγμα είναι μια διακριτή διαδικασία προσομοίωσης. Σχήμα 2.8 Σύγκριση Κώνου Αβεβαιότητας και Διωνυμικού Πλέγματος 1-27-

40 Για την καλύτερη κατανόηση της φύσης των διωνυμικών πλεγμάτων, στο Σχήμα 2.9, παρουσιάζονται διαφορετικά διωνυμικά πλέγματα με διαφορετικές αστάθειες. Στο σχήμα φαίνεται πως όσο μεγαλύτερη είναι η αστάθεια, τόσο μεγαλύτερο είναι το εύρος των τιμών μεταξύ των ανώτερων και χαμηλότερων κλάδων κάθε κόμβου στο δικτυωτό πλέγμα. Πιο συγκεκριμένα, καθώς τα διωνυμικά πλέγματα αποτελούν διακριτές προσομοιώσεις, όσο μεγαλύτερη είναι η αστάθεια, τόσο ευρύτερη είναι η κατανομή. Αυτό φαίνεται στους τελικούς κόμβους, όπου η απόσταση μεταξύ των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών στους τελικούς κόμβους είναι μεγαλύτερη για μεγαλύτερες τιμές αστάθειας. Σχήμα Σύγκριση Κώνου Αβεβαιότητας και Διωνυμικού Πλέγματος 2 Στην ακραία περίπτωση, όπου η τιμή της αστάθειας είναι μηδέν, το πλέγμα μετατρέπεται σε μια ευθεία γραμμή, η οποία είναι με αυτή που χρησιμοποιείται στην DCF ανάλυση. Αυτό συνεπάγεται πως η απουσία αβεβαιότητας και κινδύνου, αφαιρεί τη στρατηγική αξία της χρήσης Πραγματικών Δικαιωμάτων και η χρήση ενός μοντέλου DCF είναι αρκετή. Επομένως, το μοντέλο DCF μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση των Πραγματικών Δικαιωμάτων, όταν η αβεβαιότητα είναι -28-

41 αμελητέα και η τιμή της αστάθειας πλησιάζει στο μηδέν. Ως εκ τούτου, μπορεί να θεωρηθεί, πως το μοντέλο DCF δεν είναι απαραίτητα λάθος, αλλά υπονοεί την ύπαρξη μηδενικής αβεβαιότητας στη μελλοντική πρόβλεψη των ταμειακών ροών.[3],[9],[14],[34] Σε παρακάτω κεφάλαιο θα γίνει ανάλυση μίας επένδυσης με την βοήθεια των Πραγματικών Δικαιωμάτων και συγκεκριμένα με την μέθοδο των διωνυμικών πλεγμάτων. -29-

42

43 Κεφάλαιο 3: Θεωρία Παιγνίων Η Θεωρία Παιγνίων αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για την μελέτη του τρόπου που λαμβάνονται οι αποφάσεις από μονάδες που καλούνται να συμμετέχουν σε μία διαδικασία λήψης αποφάσεων όταν υπάρχει ανάμεσα σε αυτές σύγκρουση συμφερόντων. Οι μονάδες αυτές μπορεί να είναι κοινωνικές, οικονομικές, πολιτικές κ.α., όπως για παράδειγμα δύο παίκτες σε ένα παιχνίδι στρατηγικής (πόκερ), δύο ανταγωνιστικές επιχειρήσεις ή δύο πολιτικά κόμματα. Βασική προϋπόθεση όμως αποτελεί η ορθολογικότητα του κάθε παίκτη με την έννοια ότι θα επιδιώξει το συμφέρον του, αλλά και η βεβαιότητα του ότι το ίδιο θα κάνει και ο αντίπαλός του (λογική ορθολογικότητα). Στο παρόν κεφάλαιο θα γίνει μία παρουσίαση της θεωρίας αυτής, των βασικών της αρχών αλλά και των εφαρμογών που παρουσιάζει στον σύγχρονο επιχειρηματικό κόσμο. 3.1 Εισαγωγικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Ένα παίγνιο αποτελεί στην ουσία μία κατάσταση σύγκρουσης συμφερόντων, όπου οι αντίπαλοι, οι παίκτες δηλαδή του παιγνίου, ακολουθούν συγκεκριμένες στρατηγικές προκειμένου να μεγιστοποιήσει ο καθένας μέσα από αυτή του την επιλογή την απόδοσή του. Αυτός ο ορισμός για το παίγνιο είναι περισσότερο ακριβής όσον αφορά τη -31-

44 μη συνεργατική θεωρία παιγνίων (cooperative game theory), στην οποία και επικεντρώνεται το κεφάλαιο αυτό, αφού στην περίπτωση της συνεργατικής θεωρίας παιγνίων, εξετάζεται ο τρόπος λήψης απόφασης από άτομα τα οποία μπορούν να συνάψουν μεταξύ τους δεσμευτικές αποφάσεις. Σε κάθε περίπτωση όμως από αυτόν τον ορισμό προκύπτουν και τα βασικότερα στοιχεία ενός παιγνίου, τα οποία είναι οι παίκτες, οι στρατηγικές και οι αποδόσεις. [26],[36]. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι παίκτες ενός παιγνίου μπορεί να ανήκουν σε διάφορες ομάδες (οικονομικές, κοινωνικές, πολιτικές κλπ.) και η μόνη προϋπόθεση για αυτούς είναι η λογική ορθολογικότητα. Οι αποδόσεις (payoffs), αποτελούν την τελική έκβαση ενός παιγνίου, αυτό δηλαδή που θα «κερδίσει» ο κάθε παίκτης μετά την ο- λοκλήρωση του παιγνίου. Τι σημαίνει λοιπόν ορθολογικότητα των παικτών σε όρους των αποδόσεων που αυτοί λαμβάνουν; Στην περίπτωση όπου υπάρχει μία και μοναδική κίνηση για τους παίκτες, αυτοί θα επιλέξουν την στρατηγική που θα τους αποφέρει την μεγαλύτερη δυνατή απόδοση (σε σχέση πάντα και με την κίνηση του αντιπάλου τους). Σε περίπτωση όμως που το παίγνιο δεν αποτελείται από μία μόνο κίνηση, αλλά από μία σειρά κινήσεων, η ορθολογικότητα ενός παίκτη δεν μπορεί να ορισθεί από το σύνολο των αποδόσεων όλων των κινήσεων, αφού μόνο η τελική του κίνηση θα του αποφέρει κάποια απόδοση. Για τον λόγο αυτό μετράται σε όρους της συνέπειας που πρόκειται να έχει για την κίνηση που θα επιλέξει ο αντίπαλός του. Πιο συγκεκριμένα, ορθολογική είναι η στρατηγική που θα επιλεγεί μέσα από ένα σύνολο στρατηγικών και η οποία απομονώνει την προτιμότερη συνέπεια από το σύνολο των συνεπειών. Οι προτιμήσεις βέβαια σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πληρότητα (ο παίκτης δηλαδή να είναι σε θέση να πει ότι προτιμά την κίνηση Α από την Β, ή το αντίστροφο, ή ότι είναι αδιάφορος μεταξύ των δύο) και από μεταβατικότητα (αν ο παίκτης προτιμά την κίνηση Α από την Β και την κίνηση Β από την Γ, τότε προτιμά και την Α από την Γ). Η συνάρτηση με την οποία το σύνολο των κινήσεων μετατρέπεται σε σύνολο συνεπειών, ονομάζεται συνάρτηση συνεπειών, αλλά η περαιτέρω ανάλυσή της ξεφεύγει από τα όρια αυτής της εργασίας. [39] Σε κάθε παίγνιο πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο παίκτες. Τέλος, πέρα από τους ενεργητικούς παίκτες, στην περίπτωση που έχουμε αβεβαιότητα εισέρχεται στο παίγ- -32-

45 νιο και ο παθητικός παράγοντας, τύχη. Εισέρχεται σε κάποιο σημείο του παιγνίου και αποφασίζει με βάση κάποιες πιθανότητες την επόμενη κίνηση. Τελειώνοντας με την περιγραφή των στοιχείων του παιγνίου, όσον αφορά την στρατηγική των παικτών, αυτή επηρεάζεται, εκτός από τις αποδόσεις και τη συνέπεια, από τον χρόνο που ο παίκτης καλείται να πάρει την απόφαση, καθώς και από την πληροφόρηση που αυτός έχει τη στιγμή που καλείται να αποφασίσει. 3.2 Τρόποι αναπαράστασης παιγνίου Υπάρχουν δύο τρόποι αναπαράστασης ενός παιγνίου, ο κανονικός και ο επεκτατικός. Στην κανονική του μορφή, ένα παίγνιο αποτελείται από έναν πίνακα, ο οποίος ονομάζεται πίνακας ή μήτρα αποδόσεων και όπου φαίνονται οι παίκτες του παιγνίου, οι διαθέσιμες σε κάθε παίκτη στρατηγικές υπό την μορφή απλών κινήσεων και τέλος η απόδοση του κάθε παίκτη για κάθε συνδυασμό κινήσεων που θα μπορούσε να επιλέξει. Πιο συγκεκριμένα, ο κάθε παίκτης i, i=1,2, N, μπορεί να επιλέξει την στρατηγική s i από το διαθέσιμο σε αυτόν σύνολο στρατηγικών S i και η απόδοση από αυτή την στρατηγική του να είναι u i, u=(s 1,s 2, s N ), δηλαδή μία συνάρτηση του συνδυασμού των στρατηγικών που έχουν επιλέξει άλλοι παίκτες. Ένα παίγνιο κανονικής μορφής συμβολίζεται G N =[N,(S i ), (u i )]. Τα παίγνια τα οποία παρουσιάζονται με αυτή την μορφή είναι κυρίως αυτά όπου ο παίκτης δεν γνωρίζει τις επιλογές των αντιπάλων του. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει πως οι κινήσεις των παικτών πρέπει να γίνονται ταυτόχρονα, ή πως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτός ο τρόπος αναπαράστασης για ένα δυναμικό παίγνιο (η ανάλυση αυτής της κατηγορίας παιγνίων γίνεται παρακάτω). [26],[36],[39] Το Σχήμα 3.1 παρουσιάζει ένα παίγνιο κανονικής μορφής. Σχήμα 3.1 Παίγνιο Κανονικής Μορφής -33-

46 Στην επεκτατική του μορφή, ένα παίγνιο, αναπαρίσταται με ένα δέντρο, το οποίο ο- νομάζεται δέντρο παιγνίου, και όπου φαίνονται οι παίκτες του παιγνίου, πότε είναι η σειρά κίνησης του κάθε παίκτη, τι επιλογές έχει ένας παίκτης όταν έρθει η σειρά του να κινηθεί, τι γνωρίζει κάθε παίκτης για την ιστορία του παιγνίου όταν έρθει η σειρά του να κινηθεί (αυτό προσδιορίζει τον τέλειο ή τον ατελή χαρακτήρα της πληροφόρησης με τον οποίο θα ασχοληθούμε παρακάτω) και τέλος την απόδοση του κάθε παίκτη για κάθε συνδυασμό κινήσεων από όλους τους παίκτες. Ένα δένδρο παιγνίου αποτελείται από κόμβους απόφασης, οι οποίοι προσδιορίζουν το πότε έρχεται η σειρά ενός παίκτη να κινηθεί και τερματικούς κόμβους όπου φαίνονται οι αποδόσεις του κάθε παίκτη. Το σύνολο πληροφόρησης ενός παίκτη ο οποίος καλείται να κινηθεί α- ποτελείται από όλους τους πιθανούς κόμβους που προέρχονται από την κίνηση του αντιπάλου του. Ένα παίγνιο επεκτατικής μορφής συμβολίζεται ως εξής: G=[Ν, Q, P, (E i ), (r i )], όπου Ν είναι και σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός των παικτών, Q το σύνολο των πιθανών ιστοριών, P η συνάρτηση παικτών με P(h) να είναι ο παίκτης που έχει σειρά να κινηθεί μετά την ιστορία h, E i το σύνολο των συνόλων πληροφόρησης του παίκτη i και r i το σύνολο των αποδόσεών του. Στην περίπτωση της εκτατικής μορφής ενός παιγνίου, υπάρχουν συνήθως υποπαίγνια, τα οποία αποτελούν και αυτά παίγνια εκτατικής μορφής, αλλά προέρχονται από έναν κόμβο απόφασης (εκτός του αρχικού), περιλαμβάνουν όλους τους κόμβους του οποίους ακολουθούν (συμπεριλαμβανομένων και των τερματικών) και δεν περιέχουν σύνολα πληροφόρησης με κόμβους απόφασης οι οποίοι δεν ακολουθούν του κόμβου από το οποίο αυτό ξεκινά. [26],[36],[38] Στο Σχήμα 3.2 παρουσιάζεται ένα παίγνιο εκτατικής μορφής. Σχήμα 3.2 Παίγνιο Εκτατικής Μορφής -34-

47 3.3 Τύποι Παιγνίων Παρακάτω παρουσιάζονται οι βασικές κατηγορίες παιγνίων. Τα περισσότερα παίγνια τα οποία καλείται να επιλύσει κάποιος ανήκουν στις κατηγορίες αυτές, ή στην πιο πολύπλοκη εκδοχή τους αποτελούν σύνθεση απλούστερων παιγνίων τέτοιων κατηγοριών, με αποτέλεσμα να μπορούν συνήθως να αναλυθούν με ανάλογο τρόπο Συνεργατικά ή µη συνεργατικά παίγνια Όπως έγινε φανερό και από την εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου, ένας βασικός διαχωρισμός των παιγνίων είναι μεταξύ συνεργατικών και μη. Ο παράγοντας που καθορίζει τον αν ένα παίγνιο ανήκει στην μία ή στην άλλη κατηγορία είναι το εάν υπάρχει ή όχι συμφωνία ή σύγκρουση συμφερόντων ανάμεσα στους παίκτες. Πιο συγκεκριμένα, συνεργατικά καλούνται τα παίγνια στα οποία οι παίκτες είναι ικανοί να κάνουν δεσμευτικές συμφωνίες, τις οποίες αυτομάτως ακολουθούν. Τα παίγνια αυτά, επικεντρώνονται στην εύρεση εκείνου του τρόπου συνεργασίας των παικτών τους, που καθιστά ασύμφορή την παρέκκλιση ενός από αυτούς από τον τρόπο αυτό. Σήμερα έχει επικρατήσει ο όρος Πίγνια συνασπισμού για αυτή την κατηγορία παιγνίων. Από την άλλη, στα μη συνεργατικά παίγνια η συνεργασία μεταξύ των παικτών δεν είναι εφικτή. Κάθε παίκτης ορθολογικά αποφασίζει και δρα, προκειμένου να μεγιστοποιήσει την προσωπική του χρησιμότητα, με το συμφέρον του να συγκρούεται συνήθως με αυτό του αντιπάλου του. Παρόλο που μπορεί να γνωρίζει, δεν επηρεάζει με την έννοια της συνεργασίας οποιαδήποτε επιλογή κάνουν οι υπόλοιποι παίκτες. Τα μη συνεργατικά παίγνια μπορούν να μοντελοποιήσουν καταστάσεις με μεγάλη λεπτομέρεια και να παράγουν ακριβή αποτελέσματα, ενώ τα συνεργατικά παίγνια εστιάζουν στο παίγνιο ως σύνολο. Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες σύνδεσης των δύο προσεγγίσεων. Τέλος, υβριδικά καλούνται τα παίγνια που αποτελούνται από στοιχεία και των δύο. (Για παράδειγμα ένα συνεργατικό παίγνιο στο οποίο όμως οι παίκτες δρουν κατά μη συνεργατικό τρόπο). [10],[19],[26] -35-

48 3.3.2 Συµµετρικά ή µη συµµετρικά παίγνια Συμμετρικό είναι ένα παίγνιο στο οποίο οι αποδόσεις που προκύπτουν από την εκτέλεση μιας συγκεκριμένης στρατηγικής εξαρτώνται μόνο από τις εμπλεκόμενες στρατηγικές και όχι από το ποιος παίκτης τις ακολουθεί. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να είναι δυνατή η εναλλαγή των παικτών χωρίς να υπάρξει αλλαγή των αποτελεσμάτων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα συμμετρικού παιγνίου α- ποτελεί το δίλλημα των Φυλακισμένων. Στην περίπτωση του μη συνεργατικού παιγνίου, τα αποτελέσματα και οι αποδόσεις που προκύπτουν εξαρτώνται από το ποιος παίκτης ακολουθεί την κάθε στρατηγική. [39] Παίγνια µηδενικού ή µη µηδενικού αθροίσµατος Στα παίγνια μηδενικού αθροίσματος το συνολικό κέρδος όλων των παικτών για οποιοδήποτε συνδυασμό στρατηγικών είναι μηδέν. Το κέρδος του ενός ισούται με τη ζημία του άλλου και συνεπώς το άθροισμα των αποτελεσμάτων είναι μηδέν. (Απλά παραδείγματα παιγνίων μηδενικού αθροίσματος είναι τα περισσότερα κλασσικά επιτραπέζια παιχνίδια, όπως το σκάκι.) Τα παίγνια μη μηδενικού αθροίσματος έχουν συνδυασμούς στρατηγικών που δίνουν αποτελέσματα μεγαλύτερα ή μικρότερα του μηδενός. Σε αυτή την περίπτωση το κέρδος του ενός παίκτη δεν ισούται με τη ζημιά του αντιπάλου του. [29],[31],[36] Παίγνια µε στρατηγικές συµπληρωµατικές ή υποκατάστατες Οι έννοιες αυτές, χρησιμοποιούνται για να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο οι α- ποφάσεις ενός παίκτη παίζουν ρόλο και κατευθύνουν τον τρόπο με τον οποίο θα κινηθούν και οι υπόλοιποι παίκτες. Πιο συγκεκριμένα όταν πρόκειται για συμπληρωματικές στρατηγικές, όταν ένας παίκτης επιλέγει μία κίνηση μεγαλύτερης τιμής, για να εξασφαλίσει αύξηση της χρησιμότητάς του και οι υπόλοιποι παίκτες έχουν κίνητρο να κάνουν το ίδιο για να αναβαθμίσουν τη δική τους χρησιμότητά τους. Στην άλλη περίπτωση, όταν δηλαδή μιλάμε για παίγνια υποκατάστατων στρατηγικών, η επιλογή μίας κίνησης που θα αποδώσει μεγαλύτερη τιμή και αύξηση της χρησιμότητας του ενός παίκτη, θα οδηγήσει σε επιλογή -36-

49 της κίνησης που θα αποδώσει μικρότερη τιμή από τους υπόλοιπους, προκειμένου να αυξήσουν και αυτοί την χρησιμότητά τους. [39] ιαδοχικά ή Ταυτόχρονα παίγνια Ταυτόχρονα είναι τα παίγνια στα οποία οι παίκτες πρέπει να ενεργήσουν την ίδια στιγμή χωρίς να περιμένουν πρώτα να δουν τι κίνηση θα κάνει ο αντίπαλός τους. Η για να είμαστε περισσότερο ακριβείς, οι κινήσεις των παικτών δεν είναι αναγκαίο να γίνουν την ίδια χρονική στιγμή, αλλά να μην γνωρίζει ο κάθε παίκτης τις ενέργειες των προηγούμενων παικτών, να μην έχει δηλαδή πλήρη πληροφόρηση για το παίγνιο. Διαδοχικά ή δυναμικά λέγονται τα παίγνια στα οποία ο κάθε παίκτης ο οποίος καλείται να ενεργήσει γνωρίζει κάποιες, όχι όλες απαραίτητα, από τις κινήσεις των υπολοίπων που ενήργησαν πριν από αυτόν. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, τα ταυτόχρονα παίγνια συνήθως παρουσιάζονται σε κανονική μορφή, ενώ τα διαδοχικά σε εκτατική. [39] Τέλεια ή ατελής πληροφόρηση. Έχει γίνει μέχρι τώρα αρκετές φορές αναφορά για την πληροφόρηση των παικτών ε- νός παιγνίου και αυτό γιατί αποτελεί έναν σημαντικό παράγοντα ο οποίος επηρεάζει τον τρόπο έκβασης του εκάστοτε παιγνίου. Έτσι στην περίπτωση των παιγνίων τέλειας πληροφόρησης, ο κάθε παίκτης γνωρίζει με βεβαιότητα όλη την ιστορία του παιγνίου μέχρι το σημείο εκείνο, γνωρίζει δηλαδή τις κινήσεις όλων των αντιπάλων του οι ο- ποίες έχουν προηγηθεί, με αποτέλεσμα κάθε χρονική στιγμή το σύνολο πληροφόρησής του να αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο. Από την άλλη μεριά, σε ένα παίγνιο ατελούς πληροφόρησης, ο παίκτης που καλείται να αποφασίσει δε γνωρίζει τι έχει συμβεί στα προηγούμενα στάδια και έτσι καλείται να πάρει μια μοναδική απόφαση, ανεξάρτητα από το τι έχει συμβεί προηγουμένως. Στην περίπτωση αυτή, τοποθετούμε τους κόμβους αυτούς στο ίδιο σύνολο κόμβων και το σύνολο πληροφόρησης περιέχει περισσότερα του ενός στοιχεία, τα οποία στο δέντρο παιγνίου είναι συνήθως συνδεδεμένα μεταξύ τους. -37-

50 Σχήμα 3.3 Παίγνιο Ατελούς Πληροφόρησης Ένα βασικό ζήτημα το οποίο πρέπει εδώ να ξεκαθαριστεί είναι η σύγχυση που συχνά παρατηρείται ανάμεσα στην τέλεια και στην πλήρη πληροφόρηση. Η τέλεια πληροφόρηση διαφέρει από την πλήρη. Η τελευταία απαιτεί κάθε παίκτης να ξέρει τις στρατηγικές των υπολοίπων παικτών καθώς και τα αποτελέσματά τους, χωρίς απαραίτητα να γνωρίζει τις ενέργειες τις οποίες έχουν κάνει. [20],[39] Επαναλαµβανόµενα παίγνια Τα επαναλαμβανόμενα παίγνια μελετούν τη συμπεριφορά των παικτών σε καταστάσεις μακροπρόθεσμων αλληλεπιδράσεων. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, εάν ένας παίκτης γνωρίζει ότι το παίγνιο στο οποίο συμμετέχει θα επαναληφθεί στο μέλλον με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, θα λάβει υπόψη του την επίδραση της παρούσας συμπεριφοράς του, στη μελλοντική συμπεριφορά των αντιπάλων του. Εξετάζει κατά πόσο θα αλλάξει η συμπεριφορά των παικτών και τείνει να εξηγήσει τα φαινόμενα συνεργασίας, εκδίκησης και απειλών μεταξύ των παικτών. Οι επαναλήψεις του παιγνίου μπορούν να είναι πεπερασμένες ή μη. Στην πρώτη περίπτωση, υπάρχει η τελευταία επανάληψη και αυτό είναι γνωστό σε όλους τους παίκτες του παιγνίου. Ο τρόπος λύσης σε αυτή την περίπτωση θα είναι ο ίδιος με αυτόν του παιγνίου που εκτελείται μια φορά. Στην περίπτωση όμως που ο αριθμός των επαναλήψεων θεωρείται άπειρος, οι παίκτες δεν μπορούν να ξέρουν ποια επανάληψη του παιγνίου θα είναι και η τελευταία. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μεγαλύτερη αβεβαιότητα και οι συμπεριφορές των παικτών είναι πιο πιθανό να επηρεαστούν από απειλές και να μεταβληθούν. Υπάρχουν παίγνια με άπειρο αριθμό επαναλήψεων στα οποία το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφτεί εκ των προτέρων παρά μόνο αφού ολοκληρωθούν όλες οι κινήσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις ενδιαφέρον η πιθανή υιοθέτηση στρατηγικής από -38-

51 κάποιον παίκτη, η οποία θα τον οδηγεί στη νίκη και όχι στο βέλτιστο τρόπο διεξαγωγής του παιγνίου. [39] ιακριτά ή συνεχή παίγνια Στην κατηγορία των διακριτών ανήκουν τα παίγνια τα οποία έχουν πεπερασμένο α- ριθμό παικτών, κινήσεων, αποτελεσμάτων και γενικότερα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Παρόλο που αυτή η κατηγορία παιγνίων καταλαμβάνει ένα ιδιαίτερα μεγάλο τμήμα της Θεωρίας παιγνίων, υπάρχουν και οι περιπτώσεις όπου οι παίκτες έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν τις στρατηγικές τους από ένα συνεχές σύνολο στρατηγικών, να συμμετέχουν δηλαδή σε ένα συνεχές παίγνιο. Παραδείγματα συνεχών παιγνίων είναι το παίγνιο του Cournot, στο οποίο το στρατηγικό διάστημα για κάθε παίκτη είναι ένα μη αρνητικό, συνεχές διάστημα, με άπειρα σημεία, καθώς και το παίγνιο ηγέτη-ακόλουθου με την ισορροπία κατά Stackelberg. [4] 3.4 Τρόποι επίλυσης παιγνίων Σε κάθε παίγνιο, κάθε παίκτης διαλέγει και ακολουθεί μία και μόνο στρατηγική από το σύνολο των στρατηγικών που διαθέτει, η οποία ορίζει πλήρως όλες τις επιλογές του, σε κάθε κατάσταση στην οποία μπορεί να βρεθεί. Στην περίπτωση που το παίγνιο είναι σε μορφή μήτρας (ή στρατηγική μορφή), η στρατηγική κάθε παίκτη ορίζεται από κάθε γραμμή ή στήλη της μήτρας, καθώς και το αποτέλεσμα αυτής. Στην αναλυτική μορφή του παιγνίου, η στρατηγική ενός παίκτη είναι ένα πλήρες σχέδιο επιλογών για όλες τις πιθανές εκδοχές του παιγνίου, που προσδιορίζει πλήρως τη συμπεριφορά του παίκτη. Η στρατηγική του κάθε παίκτη προσδιορίζει την επιλογή που θα κάνει σε οποιοδήποτε σημείο του παιγνίου κληθεί να αποφασίσει και μετά από οποιαδήποτε πιθανή ιστορία του παιγνίου μέχρι το σημείο εκείνο. Η στρατηγική την οποία τελικά ο παίκτης θα επιλέξει αποτελεί και την λύση του παιγνίου. Το ζήτημα που τίθεται εδώ είναι πως επιλέγει τελικά ο κάθε παίκτης την καλύτερη για αυτόν στρατηγική. -39-

52 3.4.1 Κυρίαρχες Στρατηγικές Ένας τρόπος επίλυσης ενός παιγνίου είναι αυτός της κυρίαρχης στρατηγικής. Πιο συγκεκριμένα, κυρίαρχη θεωρείται η αποδοτικότερη στρατηγική ανεξαρτήτως των επιλογών των αντιπάλων. Εφόσον ο κάθε παίκτης θεωρεί τους αντιπάλους του ορθολογικούς και επομένως είναι σίγουρος ότι δεν θα παίξουν μία δική τους κυριαρχούμενη και όχι κυρίαρχη στρατηγική, δεν έχει λόγο να μην παίξει την δική του κυρίαρχη. Έτσι μέσω μιας διαδικασίας που είναι γνωστή ως απάλειψη των κυριαρχούμενων στρατηγικών, μπορεί να προκύψει η λύση του παιγνίου. Η κυρίαρχη αυτή στρατηγική αποτελεί την αυστηρή κυριαρχία. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις χαλαρής ή ασθενούς κυριαρχίας, η οποία πιθανώς να δημιουργεί πρόβλημα στην επαναλαμβανόμενη απαλοιφή κυρίαρχων στρατηγικών. Μία χαλαρά κυρίαρχη στρατηγική, αποδίδει σε έναν παίκτη περισσότερο σε μία κίνηση του αντιπάλου του και λιγότερο σε μία άλλη, γεγονός το οποίο αποτελεί πρόβλημα στην προσπάθεια επίλυσης ενός τέτοιου είδους παιγνίου. [22],[26],[36] Ισορροπία Nash Σε παίγνια τα οποία χαρακτηρίζονται από χαλαρή ή ασθενή κυριαρχία και τα οποία δεν μπορούν να επιλυθούν με απαλοιφή κυρίαρχων στρατηγικών, χρησιμοποιείται η ισορροπία Nash, σύμφωνα με την οποία ο κάθε παίκτης επιλέγει τη στρατηγική που είναι αποδοτικότερη γι αυτόν, όταν οι άλλοι παίκτες που συμμετέχουν στο παίγνιο επιλέγουν τις αποδοτικότερες για αυτούς στρατηγικές. Η τεχνική αυτή επίλυσης ενός παιγνίου είναι η περισσότερο διαδεδομένη. Για την καλύτερη κατανόηση της ισορροπίας Nash, ακολουθεί η περιγραφή της μέσα από το γνωστό παίγνιο του διλλήματος των Φυλακισμένων. [36],[39] Δίλλημα των Φυλακισμένων Δύο υπόδικοι, οι οποίοι έχουν συλληφθεί για κάποιο μικροαδίκημα, κατηγορούνται και για κάποια σοβαρή παρανομία, δεν υπάρχουν όμως ικανά αποδεικτικά στοιχεία για την καταδίκη τους. Εάν ο ένας από τους δύο υπόδικούς ομολογήσει, τότε είναι σίγουρο πως θα καταδικαστούν. Έτσι οι αρχές δίνουν σε κάθε ένα ξεχωριστά την ευκαιρία να ομολογήσει και να γίνει μάρτυρας κατηγορίας. Εάν ο ένας ομολογήσει, θα -40-

53 καταδικαστεί σε ένα μόνο χρόνο φυλάκισης, ενώ ο συνεργάτης του που θα παραμείνει σιωπηλός, σε δέκα. Εάν δεν ομολογήσει κανένας από τους δύο, θα καταδικαστούν και οι δύο μόνο για το μικροαδίκημα σε δύο χρόνια φυλάκισης ο καθένας. Τέλος, εάν και οι δύο ομολογήσουν, κανενός η μαρτυρία δεν θεωρείται ουσιώδης για την απαγγελία της κατηγορίας και θα καταδικασθούν σε πέντε χρόνια φυλάκισης έκαστος. Ο Πίνακας 3.1 δείχνει τις αποδόσεις του παιγνίου. Μη ομολογία υποδίκου 2 Ομολογία υ- ποδίκου 2 Μη ομολογία υποδίκου 1 Ομολογία υποδίκου 1-2,-2-10,-1-1,-10-5,-5 Πίνακας 3.1 Παίγνιο «Δίλλημα των Φυλακισμένων» Όπως προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα, Σε περίπτωση που ο υπόδικος 2 αποφασίσει να μην ομολογήσει, τον υπόδικο 1 τον συμφέρει ομολογήσει αφού θα καταδικαστεί σε λιγότερα χρόνια φυλάκισης. Σε περίπτωση που ο υπόδικος 2 αποφασίσει να ομολογήσει, τον υπόδικο 1 τον συμφέρει να ομολογήσει και αυτός αφού θα καταδικαστεί και πάλι σε λιγότερα χρόνια φυλάκισης. Από την άλλη πλευρά, για τον υπόδικο 2 έχουμε: Σε περίπτωση που ο υπόδικος 1 αποφασίσει να μην ομολογήσει, τον υπόδικο 1 τον συμφέρει ομολογήσει αφού θα καταδικαστεί σε λιγότερα χρόνια φυλάκισης. -41-

54 Σε περίπτωση που ο υπόδικος 2 αποφασίσει να ομολογήσει, τον υπόδικο 1 τον συμφέρει να ομολογήσει και αυτός αφού θα καταδικαστεί και πάλι σε λιγότερα χρόνια φυλάκισης. Τώρα, σύμφωνα με τον Nash, ο κάθε παίκτης θα υποθέσει ότι ο αντίπαλός του θα παίξει την αποδοτικότερη από τις αποδοτικότερες στρατηγικές του. Στην περίπτωση του παραπάνω παιγνίου, ο υπόδικος 1 θα επιλέξει την στρατηγική της ομολογίας, που θα συνεπάγεται 5 χρόνια φυλάκισης για αυτόν. Αντιστοίχως θα κινηθεί και ο υπόδικος 2, δίνοντας τελικά σαν λύση του παιγνίου την ομολογία και των δύο υπόδικων. Στο δίλλημα των φυλακισμένων όπως είδαμε υπάρχει μία μοναδική ισορροπία Nash. Παρόλα αυτά υπάρχουν και παίγνια τα οποία έχουν πολλαπλές ισορροπίες Nash και άλλα που δεν έχουν καμία. Τέτοια παίγνια είναι αυτά στα οποία ο κάθε παίκτης θα ήθελε εκ των προτέρων να γνωρίζει την κίνηση του αντιπάλου του αλλά δεν μπορεί. Σε αυτή την περίπτωση το παίγνιο μπορεί να λυθεί με την εισαγωγή μεικτών στρατηγικών. Τώρα ο ένας παίκτης εξετάζοντας τις επιλογές του αντιπάλου του δεν σκέφτεται ότι αυτός θα κάνει την μία ή την άλλη κίνηση, αλλά ότι υπάρχει η πιθανότητα h να κάνει την μία κίνηση και 1-h να κάνει την άλλη. Πρόκειται δηλαδή για μία κατανομή πιθανοτήτων. [19],[39]. Η έννοια των μεικτών στρατηγικών γίνεται περισσότερο αντιληπτή στο παρακάτω παράδειγμα: Ας θεωρήσουμε το παίγνιο ταιριάσματος του νομίσματος. Ο κάθε παίκτης πρέπει να επιλέξει εάν θα δείξει το νόμισμά του στον αντίπαλό του (ταυτόχρονα με αυτόν) με Κεφάλι ή Γράμματα. Αν και οι δύο δείξουν τα νομίσματά τους με Κεφάλι ή Γράμματα, με αποτέλεσμα το ταίριασμα των νομισμάτων, ο παίκτης 2 κερδίζει το νόμισμα του παίκτη 1. εάν τα νομίσματα δεν ταιριάξουν, ο παίκτης 1 θα κερδίσει το νόμισμα του παίκτη 2. Όπως προκύπτει και από τον Πίνακα 3.2 ο οποίος αποτελεί τον πίνακα αποδόσεων του συγκεκριμένου παιγνίου, αυτό στερείται ισορροπίας Nash. -42-

55 2- Κεφάλι 2-Γράμματα 1-Κεφάλι -1,1 1,-1 1- Γράμματα 1,-1-1,1 Πίνακας 3.2 Παίγνιο «Ταίριασμα του Νομίσματος» Εφόσον λοιπόν δεν υπάρχει ισορροπία Nash, οι παίκτες δεν έχουν λόγο να προτιμούν τη μία στρατηγική από την άλλη. Θα υιοθετήσουν τυχαία κάποια από αυτές, γιατί κάτι πρέπει να παίξουν. Εννοείται ότι ο τυχαίος τρόπος επίλυσης θα πρέπει να αντανακλά την αδιαφορία τους ως προς τις διαθέσιμες στρατηγικές. Δηλαδή θα πρέπει: E i (Κεφάλι) = E i (Γράμματα), όπου το E i υποδηλώνει την προσδοκώμενη απόδοση του παίκτη i,i=1,2. Αν h i είναι η πιθανότητα με την οποία παίζει Κεφάλι ο παίκτης j, j=1,2, i j, το E i θα είναι συνάρτηση του h i, γιατί η απόδοση από μία επιλογή του i εξαρτάται από την πιθανότητα να έχει κάνει την ίδια επιλογή ο j. Εάν λοιπόν ο 1 επιλέξει Κεφάλι, η πιθανότητα να χάσει το νόμισμά του είναι h 2, έτσι ώστε: E 1 (Κεφάλι) = h 2 (-1)+(1-h2)(1) = 1-h 2 Με την ίδια πιθανότητα μπορεί να κερδίσει το νόμισμα του άλλου αν επιλέξει γράμματα: Ε 1 (Γράμματα) = h 2 (1)+(1-h 2 )(-1) = 2h 2-1 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι h 2 *=1/2 Ακολουθώντας την ίδια λογική και για τον παίκτη 2 προκύπτει πως h 1 *=1/2. Ο αστερίσκος στις πιθανότητες υποδηλώνει πιθανότητα ισορροπίας, της Ισορροπίας Nash Μεικτών Στρατηγικών, η οποία όμως δεν μας λέει τίποτα παραπάνω από το ότι η πιθανότητα εμφάνισης καθενός εκ των τεσσάρων κελιών του πίνακα αποδόσεων είναι ¼. -43-

56 3.4.3 Τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων Η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων είναι μία εξειδίκευση της ισορροπίας κατά Nash και χρησιμοποιείται σε δυναμικά παίγνια. Ένα στρατηγικό σχέδιο αποτελεί τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, αν η προβολή του πάνω στα υποπαίγνια του παιγνίου είναι ισορροπία κατά Nash σε καθένα από αυτά, είτε το συγκεκριμένο υποπαίγνιο παίζεται κατά μήκος του δρόμου ισορροπίας είτε όχι. Λέγοντας προβολή στο υποπαίγνιο, εννοούμε το κομμάτι του διανύσματος της στρατηγικής που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο υποπαίγνιο. Είναι μια γενίκευση της οπισθογενούς επαγωγής (η οποία περιγράφεται παρακάτω), μόνο που σε αυτή την περίπτωση οι επιλογές σε κάθε υποπαίγνιο είναι ορθολογικές και αποτελούν μια ι- σορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο αυτό, ενώ μπορεί να εφαρμοστεί και σε με πεπερασμένα παίγνια ατελούς πληροφόρησης. Ο αριθμός των τέλειων ισορροπιών υποπαιγνίων είναι μικρότερος ή το πολύ ίσος με τον αριθμό των ισορροπιών κατά Nash στο παίγνιο. Το σύνολο των τέλειων ισορροπιών υποπαιγνίων είναι υποσύνολο του συνόλου των ισορροπιών κατά Nash του παιγνίου, ή σε κάποιες περιπτώσεις ταυτίζονται. Η τέλεια ισορροπία (κατά Nash) υποπαιγνίων είναι μία ισορροπία του αρχικού παιγνίου που είναι επίσης και ισορροπία σε καθένα από τα υποπαίγνια. [19],[39] Οπισθογενής Επαγωγή Ένας ακόμα τρόπος επίλυσης ενός παιγνίου είναι η οπισθογενής επαγωγή, η οποία εφαρμόζεται είτε σε ένα διακριτό παίγνιο το οποίο όμως αναπαρίσταται με επεκτατική μορφή, είτε σε διαδοχικά παίγνια. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, ξεκινώντας από το τελευταίο βήμα του παιγνίου, εξετάζεται ποια είναι η βέλτιστη για αυτόν απόφαση, την οποία και θα προτιμήσει προκειμένου να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητα του από το παίγνιο. Έπειτα, θεωρώντας αυτή ως δεδομένη, εξετάζονται οι επιλογές του προηγούμενου παίκτη προκειμένου να προσδιοριστεί η βέλτιστη για αυτόν απόφαση. Με τον ίδιο τρόπο κινούμενοι από το τέλος προς την αρχή, προσδιορίζονται διαδοχικά όλες οι αποφάσεις των παικτών. Σε περίπτωση που σε κάποιο στάδιο του παιγνίου, ο παίκτης που καλείται να αποφασίσει αντιμετωπίζει αβεβαιότητα αναφορικά με το τι έχει συμβεί πριν τη στιγμή της -44-

57 απόφασής του, σε περίπτωση δηλαδή ενός παιγνίου ατελούς πληροφόρησης, η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. [19],[39] Τέλεια ισορροπία κατά Bayes Σε περιπτώσεις παιγνίων στα οποία οι παίκτες δεν έχουν πλήρη πληροφόρηση για τα χαρακτηριστικά των αντιπάλων τους, χρησιμοποιείται η τέλεια ισορροπία κατά Bayes. Προκειμένου να μοντελοποιηθεί ένα παίγνιο, εισάγουμε την τύχη σαν ένα παίκτη του παιγνίου. Η τύχη αποδίδει μια τυχαία μεταβλητή σε καθέναν από τους παίκτες, υπό τη μορφή πιθανότητας ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Οι πεποιθήσεις των παικτών μπορούν να εκτιμηθούν πιο αυστηρά στην ισορροπία κατά Bayes. Ένα σύστημα πεποιθήσεων είναι η ανάθεση πιθανοτήτων σε κάθε κόμβο του παιγνίου με τέτοιο τρόπο ώστε οι πιθανότητες σε οποιοδήποτε σύνολο πληροφόρησης να έχουν άθροισμα ίσο με 1. Μία τέλεια ισορροπία κατά Bayes είναι ο προσδιορισμός των στρατηγικών και των πεποιθήσεων των παικτών για τον κόμβο απόφασης στον οποίο έχει φτάσει το παίγνιο. Πρόκειται στην ουσία για την πιθανότητα με την οποία ένας συγκεκριμένος παίκτης θεωρείότι ο συγκεκριμένος κόμβος απόφασης, είναι ή θα είναι στο δρόμο της ι- σορροπίας του. Η διαίσθηση μιας τέλειας ισορροπίας κατά Bayes προσδιορίζει τις στρατηγικές ενός παίκτη που είναι ορθολογικές, δεδομένων των πεποιθήσεων του παίκτη και οι πεποιθήσεις που προσδιορίζει είναι σε συμφωνία με το διάνυσμα στρατηγικών του παίκτη. [19],[39] 3.5 Βασικά στρατηγικά παίγνια Εκτός από το δίλλημα των φυλακισμένων και το ταίριασμα του νομίσματος τα οποία περιγράφηκαν παραπάνω υπάρχουν και άλλα βασικά στρατηγικά παίγνια τα οποία αποτελούν και ολόκληρες κατηγορίες παιγνίων. Τα παρακάτω είναι κάποια από τα πιο βασικά στρατηγικά παίγνια, που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Πιο σύνθετα προβλήματα αναλύονται συχνά σε κάποιο από αυτά, αλλάζοντας τις αριθμητικές -45-

58 τιμές και τις ιδιότητες των πρότυπων παικτών ανάλογα με τη μορφή της κάθε εξεταζόμενης κατάστασης Η µάχη των φύλων Αυτό το παίγνιο ανήκει στην κατηγορία παιγνίων στα οποία ο κάθε παίκτης θα ήθελε να γνωρίζει την κίνηση του αντιπάλου του εκ των προτέρων, αλλά δεν μπορεί. Πρόκειται για ένα ζευγάρι στο οποίο η Γυναίκα προτιμά για διασκέδαση να επιλέξει την Οπερα, ενώ ο Άντρας το Γήπεδο. Όπως φαίνεται στον Πίνακα 3.3 ο οποίος αποτελεί τον πίνακα αποδόσεων του παιγνίου, οποιαδήποτε μονομερής παρέκκλιση από τα ζεύγη (Όπερα-Όπερα) και (Γήπεδο-Γήπεδο) είναι για τους παίκτες ζημιογόνα και αυτό διότι σε κάθε περίπτωση προτιμούν να είναι μαζί. Είναι προφανές ότι και τα δύο αυτά ζεύγη αποτελούν ισορροπίες Nash, οι οποίες όμως μπορούν να προκύψουν μόνο εάν ο ένας τουλάχιστον από τους δύο παίκτες γνωρίζει τι θα επιλέξει ο άλλος. Εφόσον και οι δύο παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα, μπορεί η Γυναίκα να επιλέξει Γήπεδο για να μην δυσαρεστήσει τον Άντρα και ο Άντρας να επιλέξει Όπερα για να ευχαριστήσει την Μαρία με αποτέλεσμα να μην προκύψει ισορροπία. Τέτοιου είδους παίγνια λύνονται με την βοήθεια ισορροπίας Nash Μεικτών Στρατηγικών. [19] Άντρας Γήπεδο Άντρας Όπερα Γυναίκα Γήπεδο Γυναίκα Όπερα 1,2 0,0 0,0 2,1 Πίνακας 3.3 Παίγνιο «Η Μάχη των Φύλων» Περιστέρι γεράκι Είναι ένα μη συμμετρικό παίγνιο σύγκρουσης δύο παικτών,, σε στρατηγική μορφή. Πρόκειται για δύο ζώα τα οποία μάχονται για τη λεία τους. Το καθένα μπορεί να συμπεριφερθεί ως ένα περιστέρι ή ως ένα γεράκι. Το καλύτερο αποτέλεσμα για το καθένα είναι όταν αυτό συμπεριφέρεται ως γεράκι ενώ το άλλο συμπεριφέρεται ως περισ- -46-

59 τέρι. Ενώ αντίθετα το χειρότερο αποτέλεσμα προκύπτει όταν και τα δύο ζώα ενεργούν ως γεράκια. Αν συμπεριφερθούν και τα δύο ως περιστέρια το αποτέλεσμα και για τους δύο είναι καλύτερο απ ότι αν συμπεριφερθούν και οι δύο ως γεράκια, χειρότερο όμως για εκείνον που στην πρώτη περίπτωση ενεργούσε ως γεράκι. Όπως φαίνεται στον πίνακα 3.4, το παίγνιο αυτό έχει δύο ισορροπίες κατά Nash σε αμιγείς στρατηγικές, που αντιστοιχούν στις βέλτιστες επιλογές για τον κάθε παίκτη, ενώ έχει και μία τρίτη ισορροπία σε μεικτές στρατηγικές. [19] 2 - Περιστέρι 2 - Γεράκι 1 - Περιστέρι 3,3 1,4 1 - Γεράκι 4,1 0,0 Πίνακας 3.4 Παίγνιο «Περιστέρι-Γεράκι» 3.6 Το λογισμικό Gambit Το Gambit είναι ένα εργαλείο για την κατασκευή και την ανάλυση πεπερασμένων και μη συνεργατικών επεκτατικών και στρατηγικών παιγνίων. Είναι λογισμικό ανοιχτού κώδικα και διατίθεται βάση των όρων της GNU General Public License. Το Gambit Project δημιουργήθηκε στα μέσα της δεκαετίας του 1980 από τον Richard McKelvey στο California Institute of Technology. Η αρχική εφαρμογή ήταν γραμμένη σε BASIC, με ένα απλό γραφικό περιβάλλον. Ο κώδικας αυτός μεταφέρθηκε σε C γύρω στο 1990 με τη βοήθεια του Bruce Bell, και διανεμήθηκε στο κοινό με την μορφή της έκδοσης 0.13 το 1991 και το Οι σημερινές εκδόσεις του Gambit επικεντρώνονται σε δύο σημεία. Πρώτον, το γραφικό περιβάλλον υλοποιήθηκε ξανά και εκσυγχρονίστηκε, με στόχο την εφαρμογή ορθών σχεδιαστικών αλληλεπίδρασης, ιδιαίτερα σε ό, τι αφορά τη διευκόλυνση των νέων χρηστών του αλλά και όσων γνωρίζουν τις βασικές μόνο αρχές της θεωρίας παιγνίων. Δεύτερον, η εσωτερική αρχιτεκτονική του Gambit επανασχεδιάστηκε, με σκο- -47-

60 πό την αύξηση της διαλειτουργικότητας μεταξύ των επιμέρους εργαλείων του αλλά και με άλλα, ανεξάρτητα εργαλεία.[28] Βασικά Χαρακτηριστικά του Gambit Το Gambit παρουσιάζει μια σειρά χαρακτηριστικών, τα οποία το κατατάσσουν αρκετά υψηλά στη λίστα των χρήσιμων εργαλείων τόσο για ερευνητικούς όσο και για εκπαιδευτικούς. Ενδεικτικά αναφέρουμε κάποια από αυτά.[28] Γραφικό Περιβάλλον Όλα τα εργαλεία του Gambit είναι διαθέσιμα μέσω της χρήσης του γραφικού του περιβάλλοντος, το οποίο είναι συμβατό με πολλαπλά λειτουργικά συστήματα (Windows, Unix και Mac). Προσφέρονται ευέλικτες μέθοδοι για τη δημιουργία εκτεταμένων και στρατηγικών παιγνίων. Προσφέρει επίσης εύκολη πρόσβαση στον υπολογισμό ισορροπίας Nash, καθώς και την δυνατότητα οπτικοποίησης του προφίλ που προκύπτει. Τέλος, είναι διαθέσιμο ένα διαδραστικό εργαλείο για την ανάλυση της κυριαρχίας των στρατηγικών του παιγνίου. Αλγόριθμοι Υπολογισμού Ισορροπίας: Στις περισσότερες προηγμένες εφαρμογές της θεωρίας παιγνίων, η διαδικασία υπολογισμού των ισορροπιών και η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου, είναι ένα ιδιαίτερα δύσκολο εγχείρημα. Το Gambit διαθέτει συγκεκριμένη εντολή στα εργαλεία του, μέσω της οποίας είναι εύκολη και γρήγορη η πρόσβαση σε όλους τους διαθέσιμους και κατάλληλους αλγορίθμους για τον υπολογισμό της ισορροπίας ανάλογα με τον τύπο του παιγνίου που έχει δημιουργηθεί. Επεκτασιμότητα και διαλειτουργικότητα. Το Gambit μπορεί διαβάσει και να δημιουργήσει μορφές αρχείων τα οποία μπορούν να μεταφερθούν μεταξύ διαφορετικών συστημάτων και να αλληλεπιδράσουν με εξωτερικά εργαλεία. Συνεπώς, είναι εύκολο να επεκταθούν οι δυνατότητες του Gambit, με την εφαρμογή για παράδειγμα μιας νέας μεθόδου υπολογισμού ισορροπιών, την επανεφαρμογή μια υπάρχουσας με πιο αποδοτικό τρόπο ή τη δημιουργία εργαλείων για τον σχεδιασμό, το χειρισμό, τη μετατροπή και την οικονομετρική ανάλυση των παιγνίων με προγραμματιστικό τρόπο. -48-

61 3.6.2 Μειονεκτήµατα του Gambit Παρόλα τα χαρακτηριστικά που αναφέρθηκαν παραπάνω και τα οποία αποτελούν σημαντικά πλεονεκτήματα αυτού του λογισμικού, υπάρχουν και ορισμένα μειονεκτήματά του τα οποία είναι σημαντικό να αναφερθούν.[28] Χρήση αποκλειστικά για πεπερασμένα παίγνια Τα πεπερασμένα παίγνια παρουσιάζουν μία μαθηματική δομή, η οποία καθιστά εύκολη την ανάλυσή τους. Έτσι το Gambit μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα μεγάλο εύρος παιγνίων. Ένας σημαντικός αριθμός παιγνίων όμως είναι μη πεπερασμένα, όπου οι κινήσεις τον παικτών παρουσιάζουν μία συνέχεια χωρίς να φαίνεται ότι κάπου σταματούν. Αυτά δεν παρουσιάζουν την ίδια μαθηματική δομή με τα προηγούμενα και επομένως δεν μπορούν να αναλυθούν με το συγκεκριμένο λογισμικό. Χρήση αποκλειστικά για μη συνεργατικά παίγνια: Το Gambit επικεντρώνεται στο τμήμα της μη συνεργατικής θεωρίας παιγνίων, στα παίγνια δηλαδή όπου οι παίκτες επιλέγουν τις κινήσεις τους ανεξάρτητα. Παίγνια τα ο- ποία έχουν συνεργατική μορφή δεν μπορούν να παρασταθούν και να αναλυθούν από αυτό. Ανάλυση παιγνίων μεγάλου μεγέθους: Παρόλο που το Gambit προσφέρει την δυνατότητα εύκολης πρόσβασης στον υπολογισμό των ισορροπιών των παιγνίων, σε περιπτώσεις που το μέγεθος αυτών είναι μεγάλο αντιμετωπίζει προβλήματα, όπως ιδιαίτερα υψηλό χρόνο ή ακόμα και αδυναμία υπολογισμού των ισορροπιών αυτών. -49-

62 -50-

63 Κεφάλαιο 4: Συνδυασμός Θεωρίας Παιγνίων και Πραγματικών Δικαιωμάτων Η θεωρία παιγνίων καθώς και η θεωρία πραγματικών δικαιωμάτων παρουσιάζουν ιδιαίτερες και χρήσιμες εφαρμογές στη διαδικασία λήψης μιας απόφασης από μια επιχείρηση. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα αν και με ποιο τρόπο μπορούν οι δύο αυτές θεωρίες να συνδυαστούν ώστε να οδηγήσουν στην καλύτερη δυνατή απόφαση μια επιχείρηση σχετικά με την πραγματοποίηση μιας επένδυσης. Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται έντονη δραστηριότητα γύρω από το ζήτημα αυτό. Γενικά οι δύο αυτές θεωρίες φαίνεται να παρουσιάζουν μία συμπληρωματικότητα η μία με την άλλη. Πιο συγκεκριμένα, ο συνδυασμός των δύο αυτών θεωριών επιτρέπει την πραγματική αποτίμηση και αξιολόγηση του ανταγωνισμού (που στην θεωρία πραγματικών επιλογών έχει μία καθαρά θεωρητική υπόσταση). Ως ανταγωνιστής στα πλαίσια της Θεωρίας Πραγματικών Δικαιωμάτων θεωρείται το φυσικό περιβάλλον κάθε επιχείρησης. Αυτό δημιουργεί προβλήματα στην αποτίμηση των συνεπειών που θα έχει για την αξία της σχεδιαζόμενης επένδυσης της επιχείρησης η εμφάνιση μιας ανταγωνιστικής σε αυτήν επιχείρηση. Σε αυτό το σημείο διαφαίνεται και η ανάγκη χρήσης των αρχών της Θεωρίας Παιγνίων κατά την διαδικασία αξιολόγησης των επενδύσεων από τις επιχειρήσεις. -51-

64 Η Θεωρία Παιγνίων, όπως έγινε φανερό στο παραπάνω κεφάλαιο της θεωρητικής της ανάλυσης, προσφέρει όλα τα απαραίτητα εργαλεία προκειμένου να επιλέξει μία επιχείρηση την αποδοτικότερη γι αυτήν κίνηση ανάλογα με τις κινήσεις των ανταγωνιστών της και να επιλέξει αν και πότε θα κάνει χρήση Πραγματικού Δικαιώματος, πάντα κάτω από το πρίσμα του ανταγωνισμού.[18],[24] Για να μπορέσει να γίνει μία ακριβής περιγραφή του τρόπου με τον οποίο οι δύο αυτές θεωρίες μπορούν να συνδυαστούν, γίνεται στο κεφάλαιο αυτό εφαρμογή τους σε μία περίπτωση ανάπτυξης ενός έργου Πληροφορικής. 4.1 Διαδικασία Ανάπτυξης Έργων Πληροφορικής Οι περισσότερες επιχειρήσεις στις μέρες μας χρησιμοποιούν ολοένα και περισσότερο ολοκληρωμένα Πληροφοριακά Συστήματα και εφαρμογές υπολογιστών. Η χρήση αυτών θεωρείται από τις περισσότερες κρίσιμη όχι μόνο για την ανταγωνιστικότητα αλλά και για την επιβίωσή τους. Λόγω λοιπόν της ολοένα και μεγαλύτερης ανάπτυξης τέτοιων συστημάτων, αλλά και των ιδιαιτεροτήτων που παρουσιάζουν τέτοιου είδους επενδύσεις, ακολουθεί μία σύντομη περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθείται κατά την ανάπτυξη ενός τέτοιου συστήματος. Η ανάπτυξη ενός έργου πληροφορικής αποτελείται από διάφορες αλληλοεξαρτώμενες φάσεις, το σύνολο των οποίων καλείται Κύκλος Ζωής και Ανάπτυξης Πληροφοριακών Συστημάτων ή απλούστερα Κύκλος Ζωής Λογισμικού. [21],[25]. Στο Σχήμα 4.1 φαίνονται οι φάσεις αυτές: -52-

65 Προκαταρτική Εξακρίβωση Καθορισμός Σχεδίαση έρευνα αναγκών - προδιαγρα- Μελέτη Καθορισμός φών Σκοπιμότητας απαιτήσεων Συντήρηση Υλοποίηση Σχήμα 4.1 Κύκλος Ζωής Λογισμικού Παρακάτω γίνεται μία σύντομη περιγραφή των φάσεων αυτών, αυτή όμως που θα μας απασχολήσει περισσότερο στην παρούσα εργασία είναι η φάση της μελέτης σκοπιμότητας.[25],[35],[38] Φάση Προκαταρκτικής έρευνας Μελέτης Σκοπιμότητας Ο στόχος της φάσης αυτής είναι η διερεύνηση του κατά πόσο είναι αναγκαία η ανάπτυξη ενός νέου λογισμικού, πόση είναι η ωφέλεια που θα προσδώσει αυτό στην επιχείρηση καθώς και τον αν η ανάπτυξή του είναι τελικά εφικτή με τους πόρους που διαθέτει η επιχείρηση. Φάση Εξακρίβωσης αναγκών Καθορισμού απαιτήσεων Κατά τη φάση αυτή πρέπει να εξακριβωθούν οι πραγµατικές ανάγκες της επιχείρησης. Μέσα από τις ανάγκες αυτές, θα εξαχθούν τα λειτουργικά χαρακτηριστικά (απαιτήσεις) τα οποία πρέπει να διαθέτει το σύστηµα ώστε να τις καλύπτει. Ο εντοπισµός των αναγκών διεξάγεται µε την καταγραφή των λειτουργιών του οργανισµού ή της επιχείρησης µε όσο µεγαλύτερη ακρίβεια, χρησιµοποιώντας διάφορες τεχνικές, όπως ερωτηµατολόγια, συνεντεύξεις και γρήγορη πρωτοτυποποίηση. -53-

66 Φάση Καθορισμού προδιαγραφών Η φάση αυτή είναι αναπόσπαστο µέρος της Ανάλυσης και Σχεδίασης Συστηµάτων και ακολουθεί την φάση της καταγραφής των λειτουργικών απαιτήσεων και α- ναγκών. Κατά τον καθορισμό των προδιαγραφών οι ανάγκες της επιχείρησης α- ναλύονται και παρουσιάζονται στη µορφή ενός εγγράφου προδιαγραφών. Η φάση προδιαγραφών είναι ανεξάρτητη πλατφόρµας υλοποίησης και καθορίζει το τι θα κάνει το προϊόν που θα αναπτυχθεί, χωρίς να εµπλέκει λεπτοµέρειες του πώς θα το κάνει. Σε αυτή τη φάση καθορίζονται επακριβώς και µε τυποποιηµένο τρόπο οι λειτουργίες που πρέπει να διαθέτει το υπό ανάπτυξη σύστηµα. Επίσης, καταγράφονται οποιοιδήποτε περιορισµοί οι οποίοι πρέπει να πληρούνται (π.χ. κόστος και χρονικές προθεσµίες). Το έγγραφο των προδιαγραφών δεν πρέπει να είναι διφορούμενο, ηµιτελές και αντιφατικό. Φάση Σχεδίασης Με βάση τις προδιαγραφές που έχουν καταγραφεί κατά την προηγούµενη φάση, η οµάδα ανάπτυξης προχωρεί στο καθορισµό των διάφορων κοµµατιών του συστήµατος και της µεταξύ τους επικοινωνίας. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται αρχιτεκτονική σχεδίαση. Στη συνέχεια ακολουθεί λεπτοµερής σχεδίαση των κοµµατιών µε τη επιλογή των κατάλληλων αλγορίθµων και δοµών δεδοµένων. Στην φάση αυτή επίσης, θα σχεδιαστούν οι αναγκαίες βάσεις δεδοµένων για το σύστηµα, καθώς επίσης και οι αναγκαίες οθόνες εισαγωγής δεδοµένων (φόρµες) και αναφορές. Εν ολίγοις, η φάση σχεδίασης καθορίζει πώς το προϊόν θα κάνει αυτά τα οποία έχουν προδιαγραφεί στην προηγούµενη φάση. Φάση Υλοποίησης Στη φάση αυτή υλοποιείται ο κώδικας και συνδέονται τα διάφορα κοµµάτια του συστήµατος. Η υλοποίηση, η συνένωση και ο έλεγχος του προϊόντος ως ολότηταπρέπει να γίνονται παράλληλα για τον έγκαιρο εντοπισµό και την έγκαιρη επιδιόρθωση προβληµάτων. -54-

67 Φάση Συντήρησης Η φάση αυτή περιλαµβάνει όλες τις αλλαγές στο προϊόν αφού ο πελάτης το έχει παραλάβει έχοντας συµφωνήσει ότι ικανοποιούνται όλα όσα καταγράφονται στο έγγραφο προδιαγραφών. Η φάση της συντήρησης είναι η πιο δαπανηρή φάση του κύκλου ζωής, και ένα βασικό της πρόβληµα είναι η έλλειψη καλής τεκµηρίωσης των διάφορων φάσεων Προκαταρκτική έρευνα και Μελέτη Σκοπιµότητας Η πρώτη φάση του Κύκλου Ζωής είναι πολύ σημαντική διότι από τα αποτελέσματα αυτής θα κριθεί το μέλλον ενός έργου ανάπτυξης λογισμικού. Η ανάπτυξή ενός λογισμικού αποτελεί μία σοβαρή αλλά κι ιδιαίτερα σημαντική επένδυση. Προκειμένου να επιλέξει να προχωρήσει μία επιχείρηση στην πραγματοποίησή της, θα πρέπει τα διοικητικά στελέχη της να πειστούν ότι αυτή θα αποφέρει τα μέγιστα δυνατά κέρδη με το λιγότερο δυνατό κόστος. Οι λόγοι οι οποίοι οδηγούν σε μία απόφαση τέτοιας επένδυσης είναι συνήθων ένας συνδυασμός από προβλήματα, ευκαιρίες και εντολές. Πιο συγκεκριμένα: Προβλήματα: Μια ανεπιθύµητη κατάσταση η οποία εµποδίζει την επιχείρηση από το να εκπληρώσει πλήρως τους στόχους τους οποίους θέτει. Ευκαιρία: Μια κατάσταση κατά την οποία είναι δυνατή η βελτίωση ενός συστήµατος σε ένα οργανισµό ή επιχείρηση, ακόµη και αν δεν έχουν επισηµανθεί προβλήµατα. Εντολή: Μια απαίτηση που εµφανίζεται στο σύστηµα και επιβάλλεται από εξωτερικούς παράγοντες. [25],[35],[38] Το πρώτο βήμα στην ανάπτυξη ενός πληροφοριακού συστήµατος, είναι η διεξαγωγή µιας προκαταρκτικής έρευνας. Η έρευνα αυτή είναι µια φάση µικρής διάρκειας (συνήθως τεσσάρων µε πέντε ηµερών), κατά την οποία γίνεται µια γρήγορη εξέταση του υπάρχοντος συστήµατος και των προβληµάτων, ευκαιριών και εντολών. Στόχος της είναι να αποφανθεί κατά πόσο είναι πράγµατι αναγκαία η ανάπτυξη ενός καινούργιου πληροφοριακού συστήµατος. -55-

68 Αν τα αποτελέσµατα της προκαταρκτικής έρευνας είναι θετικά, τότε διεξάγεται η μελέτη σκοπιμότητας, με την οποία μετράται η σκοπιμότητα της επένδυσης, το κατά πόσο δηλαδή ωφέλιμη ή πρακτική είναι η ανάπτυξη ενός λογισμικού για μία επιχείρηση. Επειδή η σκοπιµότητα ενός έργου µπορεί να αλλάξει ανάλογα µε τα δεδοµένα που προκύπτουν κατά τη διεξαγωγή κάθε φάσης του κύκλου ζωής, η µελέτη σκοπιµότητας είναι δραστηριότητα η οποία πρέπει να διεξάγεται συνεχώς. Για τη διεξαγωγή της µελέτης σκοπιµότητας συνήθως γίνεται αξιολόγηση του προτεινόµενου ή των προτεινόµενων συστηµάτων µε βάση τέσσερις κατηγορίες σκοπιµότητας: λειτουργική, τεχνική και οικονοµική σκοπιµότητα, καθώς επίσης και την σκοπιµότητα χρονοδιαγράµµατος Ένα βασικό στοιχείο της μελέτης σκοπιμότητας είναι η ανάλυση χρηματοοικονομικών ροών της επένδυσης που πρόκειται να πραγματοποιηθεί, η οποία στην παρούσα περίπτωση είναι η ανάπτυξη ενός πληροφοριακού συστήματος. Όπως α- ναφέρθηκε και παραπάνω, μία τέτοια ανάλυση μπορεί να οδηγήσει την διοίκηση μιας επιχείρησης σε αποφάσεις σχετικά με την πραγματοποίηση ή όχι μίας επένδυσης. Ακόμα όμως και αν χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγησή της η ανάλυση Πραγματικών Δικαιωμάτων, κάποια βήματα της DCF είναι αναγκαίο να γίνουν. Σε μία τέτοια ανάλυση τα δύο στοιχεία της σχεδιαζόμενης επένδυσης τα οποία πρέπει να εκτιμηθούν είναι τα έσοδα και τα κόστη τα οποία θα προκύψουν. Γενικά ο υπολογισμός κόστους για ένα έργο Πληροφορικής δεν αποτελεί εύκολη υπόθεση και έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν, βασικότερες εκ των οποίων είναι η μέθοδος COCOMO, η μέθοδος Βαθμών Λειτουργίας και η μέθοδος των ειδικών. [25],[35],[38] 4.2 Περιγραφή Προβλήματος Η υποθετική εταιρεία την οποία εξετάζουμε είναι μία εταιρεία ανάπτυξης Λογισμικού. Η επένδυση την οποία σχεδιάζει να κάνει αφορά την ανάπτυξη μιας καινοτόμας εφαρμογής, την οποία θέλει να βγάλει στην αγορά. Πρόκειται για ένα νέο -56-

69 Πληροφοριακό Σύστημα το οποία μπορεί να εντάξει στην λειτουργία της οποιαδήποτε επιχείρηση, διευκολύνοντας πολλές λειτουργικές διαδικασίες της. Ο τρόπος ανάπτυξης αλλά και κοστολόγησης του λογισμικού αυτού είναι ίδιος με αυτών οποιουδήποτε ανάλογου συστήματος. Το πρώτο βήμα λοιπόν το οποίο καλείται να πραγματοποιήσει η διοίκηση της εταιρείας αυτής είναι μια ανάλυση της Καθαράς Παρούσας Αξίας της επένδυσης. Για μία ανάλυση 10 χρόνων προέκυψε ο παρακάτω πίνακας ο οποίος μας δίνει όσα στοιχεία χρειαζόμαστε. -57-

70 Σχήμα 4.2 Ανάλυση Ταμειακών Ροών -58-

71 Όπως προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα, η Καθαρά Παρούσα Αξία είναι θετική οπότε σύμφωνα με αυτή την ανάλυση θα πρέπει η εταιρεία να προβεί στην σχεδιαζόμενη επένδυση. Στη συνέχεια, θα εντάξουμε στην ανάλυσή μας την έννοια των πραγματικών δικαιωμάτων. 4.3 Ανάλυση Πραγματικών Δικαιωμάτων Υποθέτουμε πως η εταιρεία θέλει να εξετάσει την περίπτωση χρήσης ενός δικαιώματος αναβολής και ότι η διάρκεια αυτού είναι τα 2 χρόνια. Αυτό σημαίνει ότι η επιχείρηση, κατά την διάρκεια αυτών των δύο χρόνων έχει το δικαίωμα να εξετάσει καλύτερα τα δεδομένα του περιβάλλοντος της, αξιολογώντας και τον παράγοντα της αβεβαιότητας και να αποκτήσει καλύτερη εικόνα για την πορεία της επένδυσής της, αποτρέποντας έτσι το ενδεχόμενο μιας πιθανής αποτυχίας. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του Πραγματικού Δικαιώματος, είναι αυτή του Διωνυμικού Πλέγματος. Η αξία της επένδυσης η οποία προέκυψε από την ανάλυση ταμειακών ροών που προηγήθηκε είναι 56380,20. Η αστάθεια στο παράδειγμά μας θεωρούμε πως είναι 31,8% (ποσοστό γενικά αποδεκτό για επενδύσεις στον χώρο της πληροφορικής) ενώ το ελεύθερο προς τον κίνδυνο επιτόκιο είναι 7%. Με αυτά τα δεδομένα μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην ανάπτυξη του διωνυμικού πλέγματος. Το διωνυμικό πλέγμα που φαίνεται στο Σχήμα 4.3 δείχνει την μελλοντική πορεία της αξίας της επένδυσης μας στα δύο χρόνια κατά τα οποία θεωρείται πως το δικαίωμα θα έχει ισχύ. -59-

72 Σχήμα 4.3 Πορεία της επένδυσης Η τιμές σε κάθε επόμενη κίνηση προκύπτουν όπως αναφέρθηκε και στο θεωρητικό κεφάλαιο των πραγματικών δικαιωμάτων από την προηγούμενη. Θεωρούμε τώρα πως η εταιρεία εξετάζει το ενδεχόμενο να αναβάλει την επένδυση για τα επόμενα 2 χρόνια προκειμένου να μπορέσει να αξιολογήσει καλύτερα τις συνθήκες της αγοράς και να καταλήξει σε περισσότερο ασφαλείς αποφάσεις. Αποφασίζει δηλαδή να «αγοράσει» ένα Δικαίωμα αναβολής. Στο σχήμα 4.4 φαίνεται η αξία την οποία θα χάσει η επιχείρηση από την χρήση του δικαιώματος αυτού, η οποία αποτελεί την τιμή εξάσκησής του. Σχήμα 4.4 Τιμή Εξάσκησης Δικαιώμτος Όπως προκύπτει λοιπόν, η τιμή του Δικαιώματος είναι 10232,

73 Τέλος στο σχήμα 4.5 φαίνεται το αν και πότε θα κάνει τελικά η επιχείρηση χρήση του δικαιώματος. Όπως φαίνεται, στο χείριστο σενάριο για την αξία της επένδυσης, δεν θα γίνει χρήση του και η επένδυση θα ματαιωθεί. Σχήμα 4.5 Χρήση Δικαιώματος Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης του Δικαιώματος Αναβολής που προηγήθηκε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η χρήση του θα μπορούσε να είναι επικερδής για την υπό εξέταση επιχείρηση διότι με τον τρόπο αυτό μπορεί να αποφύγει την πιθανή ζημιά που θα της απέφερε η επένδυση που σχεδιάζει να κάνει σε περίπτωση επαλήθευσης του χείριστου σεναρίου. 4.4 Εφαρμογή Θεωρίας Παιγνίων Σύμφωνα με τα όσα υποστηρίζει η ανάλυση των Πραγματικών δικαιωμάτων, η χρήση τους μπορεί να βοηθήσει μία επιχείρηση η οποία σχεδιάζει μία επένδυση, δίνοντας της την ευκαιρία να αξιολογήσει της μελλοντικές συνθήκες και αξιοποιώντας τις πληροφορίες που θα πάρει κατά το χρονικό διάστημα που παραμένει ανοιχτό το Δικαίωμά, να αποφασίσει εάν θα προχωρήσει ή όχι την επένδυση. Από την άλλη πλευρά, η θεωρία παιγνίων αντιτείνεται πως στο διάστημα αυτό κάποιος ανταγωνιστής μπορεί να προχωρήσει σε μία παρόμοια επένδυση, αφαιρώντας της έτσι το ανταγωνιστικό πλεονέκτημα που θα είχε εάν ενεργούσε πρώτη. Ας επανέλθουμε στην περίπτωση που μελετάμε. -61-

74 Αυτό το οποίο δεν έχει εκτιμηθεί καθόλου στην μέχρι τώρα αξιολόγηση της σχεδιαζόμενης επένδυσης είναι το στοιχείο του ανταγωνισμού. Η καινοτόμα εφαρμογή την οποία σκέφτεται να αναπτύξει η επιχείρηση αυτή θα της δώσει εκτός των άλλων ένα ανταγωνιστικό πλεονέκτημα στην αγορά. Με την χρήση όμως του Πραγματικού Δικαιώματος και κατά συνέπεια της καθυστέρησης της επένδυσης για δύο χρόνια, διακινδυνεύει την είσοδο στην αγορά μίας ανταγωνίστριας επιχείρησης η οποία θα αναπτύξει μία παρόμοια εφαρμογή, με αποτέλεσμα να χρειαστεί να μοιραστούν τελικά το διαθέσιμο μερίδιο αγοράς (και μάλιστα με έναν μη ισομερή τρόπο). Έτσι, μέσα στα δύο χρόνια που το Δικαίωμα παραμένει ανοιχτό, μία άλλη επιχείρηση ίδιου αντικειμένου (την οποία στο εξής θα ονομάζουμε επιχείρηση Β), μπορεί να προχωρήσει σε μία παρόμοια επένδυση. Το εργαλείο για να εκτιμηθούν οι απώλειες που θα έχει μία τέτοια εξέλιξη αλλά και να μπορέσει η διοίκηση να πάρει τις σωστές αποφάσεις, προσφέρεται μέσω της Θεωρίας Παιγνίων. Έτσι δημιουργείται ένα παίγνιο των οποίων οι παίκτες είναι από την μία η επιχείρηση που εξετάζαμε ως τώρα (στο εξής θα ονομάζεται επιχείρηση Α) και η επιχείρηση Β. Η διοίκηση της επιχείρησης Α έχει να διαλέξει ανάμεσα σε δύο στρατηγικές. Η μία είναι να επενδύσει εξ αρχής στην ανάπτυξη του λογισμικού και η άλλη να κάνει χρήση του Δικαιώματος αναβολής. Από την άλλη η επιχείρηση Β έχει τις επιλογές αφενός να εισέλθει στην αγορά με το νέο αυτό λογισμικό και αφετέρου να μην κάνει καμία κίνηση Υπολογισµός Αποδόσεων: Στο σημείο αυτό θα εισάγουμε στην μελέτη μας ορισμένες υποθέσεις προκειμένου να εξετάσουμε τις επίπτωση που θα έχει η εισαγωγή ενός ανταγωνιστή στην ανάλυση που προηγήθηκε. Η πρώτη υπόθεση την οποία κάνουμε είναι ότι το μερίδιο της αγοράς, ή στην δική μας περίπτωση τα δυνητικά έσοδα από μία τέτοια επένδυση αυξάνονται κατά 50% σε περίπτωση που το προϊόν αυτό αναπτυχθεί και «βγει» στην αγορά από δύο επιχειρήσεις. -62-

75 Επίσης θεωρούμε πως επιχείρηση η οποία θα βγάλει πρώτη το προϊόν στην αγορά θα λάβει το 100% της αξίας που θα είχε η επένδυση σε περίπτωση μονοπωλίου, ενώ η δεύτερη το ποσοστό αύξησης αυτής της αξίας. Το παίγνιο το οποίο θα δημιουργηθεί είναι ένα επεκτατικό παίγνιο τέλειας πληροφόρησης, δεδομένου ότι ανά πάσα στιγμή οι δύο ανταγωνιστές μπορούν να γνωρίζουν τις προηγούμενες κινήσεις του αντιπάλου καθώς και τις αποδόσεις που θα τους αποφέρει οποιαδήποτε κίνησή τους. Αυτό συνεπάγεται πως η ύπαρξη των διαφορετικών σεναρίων που προκύπτουν από την ανάλυση των Πραγματικών δικαιωμάτων που προηγήθηκε δεν αποτελεί ένδειξη ατελούς πληροφόρησης, διότι σε κάθε βήμα του παιγνίου, οι δύο επιχειρήσεις γνωρίζουν ποια ήταν τελικά η μέχρι τότε πορεία της α- γοράς. Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην αναπαράσταση του παιγνίου αυτού. Για τον λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το λογισμικό ανοιχτού κώδικα Gambit Αναπαράσταση του Παιγνίου µε το Gambit Τα στάδια τα οποία θα εξετάσουμε στο παίγνιο είναι έξι, δηλαδή το αρχικό και τα πέντε βήματα Lattice που ορίσαμε στην Ανάλυση των Πραγματικών Δικαιωμάτων. Ξεκινώντας δίνουμε τη θέση του Leader στην επιχείρηση Α. Οι επιλογές τις οποίες έχει να κάνει αυτή η επιχείρηση είναι δύο. Από τη μία να κάνει κατευθείαν την επένδυση και από την άλλη να κάνει χρήση του δικαιώματος αναβολής το οποίο περιγράψαμε παραπάνω. Θεωρούμε πως σε περίπτωση που η επιχείρηση Α κάνει τελικά την επένδυση, το παίγνιο τερματίζεται. Επίσης, σε περίπτωση που η επιχείρηση Β εισέλθει στην αγορά με το προϊόν κατά τη διάρκεια που το δικαίωμα της Α έχει ισχύ, η μοναδική επιλογή της Α είναι να κάνει και αυτή την επένδυση. Έτσι, στο αρχικό αυτό στάδιο, η εικόνα που παρουσιάζει το παίγνιο μας είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 4.6. Σχήμα ο Στάδιο ΠαιγνίουΌπως γίνεται φανερό, η απόδοση της επιχείρηση Α εάν αποφασίσει να επενδύσει εξ αρχής χωρίς να κάνει χρήση του δικαιώματος είναι 53680,20. Έχουμε δηλώσει ότι η επιχείρηση Β θα λάβει μηδενική απόδοση. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια πως δεν μπορεί να αποφασίσει να εισέλθει και αυτή στην αγορά με- -63-

76 τά την επιχείρηση Α, απλώς θεωρήσαμε ότι στο σημείο αυτό το παίγνιο έχει λήξει με την κίνηση της επιχείρησης Α και δεν μας ενδιαφέρουν μελλοντικές κινήσεις της Β. Σε περίπτωση που αποφασίσει τελικά η επιχείρηση Α να κάνει χρήση του Δικαιώματος, ξεκινάει μία σειρά σταδίων, σε κάθε ένα από τα οποία η Α θα πρέπει να κρίνει κατά πόσο τη συμφέρει ή όχι να συνεχίσει να κάνει χρήση του Δικαιώματός της ή να προβεί πριν τη λήξη του στην πραγματοποίηση της επένδυσης. Κάθε στάδιο όπως είπαμε αντιστοιχεί σε ένα εκ των βημάτων Lattice του διωνυμικού πλέγματος υπολογισμού του Δικαιώματος, και κάθε ένα από αυτά οδηγεί στην δημιουργία υποπαιγνίων. Με την βοήθεια αυτών θα οδηγηθούμε στην ανάλυση του συνολικού παιγνίου. Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην κατασκευή των πρώτων υποπαιγνίων, τα οποία αντιστοιχούν στο δεύτερο στάδιο του συνολικού παιγνίου. Η χρήση του Δικαιώματος από την Επιχείρηση Α δεν οδηγεί σε ένα αλλά σε δύο υποπαίγνια και αυτό διότι είναι δύο τα σενάρια της πορείας της αξίας της επένδυσης στο σημείο αυτό (με πιθανότητα εμφάνισης του καθενός ½). Έτσι το πρώτο υποπαίγνιο ξεκινάει με τον πρώτο κόμβο απόφασης για την επιχείρηση Β, όταν στην αγορά έχει επαληθευτεί το θετικό σενάριο, ενώ το δεύτερο ξεκινάει με τον αντίστοιχο κόμβο απόφασης για την επιχείρηση Β στην περίπτωση που έχει επαληθευτεί το αρνητικό σενάριο. Στο σχήμα 4.7 φαίνονται τα δύο αυτά υποπαίγνια. Και στις δύο περιπτώσεις, εάν τελικά η επιχείρηση Β έχει εισέλθει στην αγορά πριν από την επιχείρηση Α, κατά τη διάρκεια δηλαδή του πρώτου βήματος Lattice, οδηγούμαστε σε μοναδιαίο κόμβο απόφασης για την επιχείρηση Α, ο οποίος αποτελεί και τερματικό κόμβο για το παίγνιο. Οι αποδόσεις σε αυτούς τους τερματικούς κόμβους, δίνονται με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω. Δηλαδή στην περίπτωση εισόδου και των δύο στην αγορά, τα δυνητικά έσοδα αυξάνονται κατά 50%, η πρώτη επιχείρηση που εισήλθε παίρνει το αρχικό ποσό και η δεύτερη απλά την αύξηση αυτού. Από τις αποδόσεις τις επιχείρησης Α θα αφαιρείται από αυτό το στάδιο και έπειτα η αξία του Δικαιώματος, αφού το ποσό αυτό το «έχασε», από τη στιγμή που αποφάσισε να κάνει χρήση του Δικαιώματος. Επιπλέον, ανά πάσα στιγμή μέσα στα δύο αυτά χρόνια η επιχείρηση Α μπορεί να α- ποφασίσει να διακόψει την ισχύ του Δικαιώματος και να πραγματοποιήσει την επένδυση ακόμα και εάν η επιχείρηση Β δεν έχει εισέλθει στην αγορά. Και σε αυτή την πε- -64-

77 ρίπτωση το παίγνιο οδηγείται σε τερματικούς κόμβους όπου η απόδοση για την επιχείρηση Α δίνεται αν από την δυνητική αξία της επένδυσης στο σημείο αυτό αφαιρούμενης της αξίας του Δικαιώματος (σε αυτή την περίπτωση η απόδοση για την επιχείρηση Β είναι μηδέν). Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Συνεχίζοντας με το δεύτερο βήμα Lattice, θα αναπτύξουμε το παίγνιο ξεκινώντας από το κάθε ένα από τα προηγούμενα δύο υποπαίγνια. Έτσι στο πρώτο υποπαίγνιο, στην περίπτωση που η επιχείρηση Α αποφασίσει τελικά να συνεχίσει τη χρήση του Δικαιώματος, υπάρχουν δύο εναλλακτικά σενάρια για την πορεία της αξίας της επένδυσης, τα οποία θα οδηγήσουν στη δημιουργία δύο νέων υποπαιγνίων. Το ένα σενάριο δίνει αξία για την επένδυση ,14, και οδηγεί στην δημιουργία ενός κόμβου απόφασης για την επιχείρηση Β. Η απόφαση της επιχείρησης Β για την κίνηση που θα πραγματοποιήσει, εάν δηλαδή εισέλθει ή όχι στην αγορά, θα οδηγήσει σε δύο κόμβους απόφασης για την επιχείρηση Α, εκ των οποίων αυτός που έπεται της κίνησης εισόδου της Β στην αγορά είναι μοναδιαίος και τερματικός για το παίγνιο με αποδόσεις ,11 για την επιχείρηση Α και ,14 για την επιχείρηση Β. Εάν τελικά η επιχείρηση Β δεν κάνει κάποια κίνηση, ο κόμβος απόφασης που δημιουργείται για την επιχείρηση Α έχει δύο εναλλακτικές κινήσεις. Είτε αυτή θα προχωρήσει στην επένδυση σε αυτό το σημείο, πριν δηλαδή από την λήξη της διάρκειας του Δικαιώματος, είτε θα συνεχίσει τη χρήση του. Στην πρώτη περίπτωση τερματίζεται και πάλι το παίγνιο με αποδόσεις για τις επιχειρήσεις Α και Β, ,18 και 0,00 αντίστοιχα. -65-

78 Το δεύτερο και μη ευνοϊκό σενάριο, δίνει αξία για την επένδυση ίση με 56380,20, απόδοση που θα λάβει η επιχείρηση Β εάν στον νέο κόμβο απόφασης που δημιουργήθηκε γι αυτήν αποφασίσει να εισέλθει στην αγορά. Η απόδοση της επιχείρησης Α σε αυτή την περίπτωση που για μία ακόμα φορά το παίγνιο ολοκληρώνεται είναι ,14. Στην αντίθετη περίπτωση που η επιχείρηση Β δεν κάνει καμία κίνηση, εάν η επιχείρηση Α αποφασίσει να προβεί στην επένδυση, η απόδοση που θα λάβει είναι ,24, με αντίστοιχη απόδοση για την επιχείρηση Β τα 0,00. Προχωράμε με την επέκταση του δεύτερου υποπαιγνίου του προηγούμενου σταδίου. Και σε αυτή την περίπτωση, εάν η επιχείρηση Α αποφασίσει τελικά να συνεχίσει τη χρήση του Δικαιώματος, υπάρχουν δύο εναλλακτικά σενάρια σχετικά με την πορεία της αξίας της επένδυσης, τα οποία θα οδηγήσουν στη δημιουργία δύο νέων υποπαιγνίων. Ας εξετάσουμε πρώτα την ανοδική πορεία της αξίας. Όπως προκύπτει από το αντίστοιχο πλέγμα που δημιουργήθηκε κατά την ανάλυση του Πραγματικού Δικαιώματος, εάν η αξία της επένδυσης μετά από αυτό το σημείο ακολουθήσει ανοδική πορεία, θα αντιστοιχεί σε ,20. Έτσι αν τελικά εισέλθει η επιχείρηση Β στην αγορά, με αποτέλεσμα να εισέλθει και η επιχείρηση Α, θα δημιουργηθεί και πάλι ένας τερματικός κόμβος με αποδόσεις ,20 για την επιχείρηση Β και ,14 για την επιχείρηση Α, ενώ σε περίπτωση που η Β δεν εισέλθει, θα δημιουργηθεί και πάλι ένας τερματικός κόμβος για την Α σε περίπτωση που αποφασίσει να κάνει την επένδυση πριν τη λήξη του Δικαιώματος (με απόδοση , ,96 =46.147,24 ). Σε περίπτωση καθοδικής πορείας της αξίας της επένδυσης, η πορεία του παιγνίου θα είναι αντίστοιχη με την προηγούμενη με την διαφορά ότι τώρα η μέγιστη απόδοση που μπορεί να λάβει η επιχείρηση Β εάν εισέλθει στην αγορά είναι ,15 (με ότι αυτό συνεπάγεται για την απόδοση της επιχείρησης Α), ενώ η μέγιστη απόδοση για την επιχείρηση Α (εάν η Β δεν κάνει καμία κίνηση) είναι ,19. Τα υποπαίγνια του δεύτερου σταδίου που περιγράψαμε φαίνονται στο Σχήμα

79 Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Όσο προχωράμε σε επόμενα βήματα του διωνυμικού πλέγματος, τόσο θα αυξάνονται τα υποπαίγνια για κάθε στάδιο του παιγνίου. Αυτό συμβαίνει διότι σε κάθε βήμα αυξάνει ο αριθμός των πιθανών σεναρίων για την πορεία της αξίας της επένδυση. Σε κάθε περίπτωση από ένα υποπαίγνιο του παιγνίου θα προκύπτουν δύο νέα για κάθε στάδιο. Φυσικά οι αποδόσεις των περισσότερων από αυτά θα συμπίπτουν με τις αποδόσεις των υπολοίπων. Στο τρίτο στάδιο λοιπόν τα πιθανά σενάρια για την αξία της επένδυσης είναι τέσσερα, τα υποπαίγνια όμως που θα δημιουργηθούν είναι οκτώ (δύο δηλαδή για κάθε υποπαίγνιο του προηγούμενου σταδίου). Ο τρόπος δημιουργίας τους είναι ίδιος με αυτό που περιγράφηκε παραπάνω και η εικόνα που παρουσιάζουν φαίνεται στο Σχήμα 4.9. Από αυτό το σημείο και έπειτα, λόγω της επανάληψης κάποιων υποπαιγνίων σε κάθε στάδιο, στα σχήματα φαίνονται μόνο τα ανόμοια. -67-

80 Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου. Συνεχίζοντας με το πέμπτο στάδιο, το οποίο αντιστοιχεί στο τέταρτο βήμα Lattice, τα εναλλακτικά σενάρια για την πορεία της επένδυσης είναι πέντε, τα υποπαίγνια όμως που θα δημιουργηθούν είναι δεκαέξι. Στο σχήμα 4.10 φαίνονται τα υποπαίγνια αυτού του σταδίου. Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου -68-

81 Στο πέμπτο και τελευταίο βήμα Lattice, τα πιθανά σενάρια για την αξία της επένδυσης είναι έξι και τα υποπαίγνια που θα δημιουργηθούν 32. Τα πέντε μη επαναλαμβανόμενα υποπαίγνια αυτού του σταδίου φαίνονται στο σχήμα Σχήμα ο Στάδιο Παιγνίου Η εικόνα που παρουσιάζει το συνολικό παίγνιο είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήμα Στην ενότητα που ακολουθεί αναλύεται ο τρόπος επίλυσης του παιγνίου. Λόγω του μεγάλου μεγέθους του, δεν θα αναλυθεί συνολικά ολόκληρο τα παίγνιο αλλά τα επιμέρους υποπαίγνια κάθε σταδίου. -69-

82 Σχήμα 4.12 Συνολική Εικόνα Παιγνίου -70-

83 4.5 Ανάλυση Αποτελεσμάτων Χρησιμοποιώντας την οπισθοβατική επαγωγή θα ξεκινήσουμε την επίλυση του παιγνίου από τα υποπαίγνια του τελευταίου σταδίου. Θα αναζητήσουμε την ισορροπία σε κάθε ένα από τα στάδια θεωρώντας κόμβο έναρξης του κάθε υποπαιγνίου το σημείο έναρξης του αντίστοιχου σταδίου. Η χρήση της μεθόδου οπισθοβατικής επαγωγής έιναι δυνατή λόγω της τέλειας πληροφόρησης που χαρακτηρίζει το παίγνιο Ισορροπίες 5 ου Σταδίου Σε αυτό το στάδιο, θα εξετάσουμε τις ισορροπίες 16 συνολικά υποπαιγνίων, αυτών δηλαδή που ξεκινούν από τον κόμβο απόφασης της επιχείρησης Α μετά το τέλος του προηγούμενου σταδίου. Σε κάθε περίπτωση από αυτές που εξετάζουμε η επιχείρηση Α ή θα εξαντλήσει το χρονικό περιθώριο του Δικαιώματος ή θα πραγματοποιήσει την επένδυση μετά τη λήξη του τέταρτου βήματος Lattice του διωνυμικού πλέγματος του Δικαιώματός της. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση όπου η πορεία της αξίας της επένδυσης είναι ανοδική σε όλη τη διάρκεια ισχύος του Δικαιώματος, η επιχείρηση Α, πραγματοποιώντας την ε- πένδυση μετά τον 19 ο μήνα από τη στιγμή έναρξης του δικαιώματος (μετά το πέρας δηλαδή του χρονικού διαστήματος που αντιστοιχεί στα τέσσερα πρώτα βήματα Lattice), θα έχει απολαβές οι οποίες αντιστοιχούν σε Ενώ στην αντίθετη περίπτωση που θα συνεχίσει τη χρήση του Δικαιώματος, οι απολαβές της θα ανέρχονται σε ,22 ή ,62 ανάλογα με την κίνηση της επιχείρησης Β σε περίπτωση επαλήθευσης του θετικού σεναρίου για την πορεία της αξίας επένδυσης και σε ,765 ή ,49 σε περίπτωση επαλήθευσης του αρνητικού σεναρίου. Με την βοήθεια του Gambit μπορούμε να υπολογίσουμε την ισορροπία του υποπαιγνίου αυτού αλλά και των υπολοίπων του ίδιου σταδίου, οι οποίες φαίνονται στον πίνακα

84 Πίνακας 4.1 Ισορροπίες 5 ου Σταδίου Όπως φαίνεται μετά τον υπολογισμό της ισορροπίας, για το πρώτο υποπαίγνιο, οι α- ποδόσεις που δίνονται στις επιχειρήσεις Α και Β είναι ,31 και 0 αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι η επιχείρηση Α θα πρέπει στο σημείο αυτό να πραγματοποιήσει την επένδυση(με πιθανότητα 1). Παρόλα αυτά, εάν η επιχείρηση Α φερθεί μη ορθολογικά και συνεχίσει να κάνει χρήση του Δικαιώματος (κίνηση για την εμφάνιση της οποίας υπάρχει μηδενική πιθανότητα), η πορεία του παιγνίου και για τα δύο πιθανά σενάρια είναι Είσοδος για την επιχείρηση Β και έπειτα Επένδυση για την επιχείρηση Α. Σύμφωνα με τον πίνακα, σε κάθε υποπαίγνιο, ισορροπία αποτελεί η πραγματοποίηση της επένδυσης από την επιχείρηση Α πριν από τη λήξη του Δικαιώματος, με τις αντίστοιχες σε κάθε περίπτωση αποδόσεις. Έχοντας βρει σε αυτό το σημείο την ισορροπία, μπορούμε να διαγράψουμε τις κινήσεις οι οποίες δεν υπάρχει πιθανότητα να εμφανιστούν. Η εικόνα που παρουσιάζει το συνολικό παίγνιο μετά την απαλοιφή των κινήσεων που δεν αποτελούν ισορροπία, φαίνεται στο Σχήμα

85 Σχήμα 4.13 Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 5 ου Σταδίου -73-

86 4.5.2 Ισορροπίες 4 ου Σταδίου Με την νέα μορφή που έχει πάρει το παίγνιο μετά τον υπολογισμό των ισορροπιών του τελικού σταδίου, τα προς εξέταση υποπαίγνια σε αυτό το στάδιο είναι οκτώ. Με την βοήθεια του Gambit και ακολουθώντας την ίδια τακτική με αυτή του προηγούμενου σταδίου, προκύπτει ο πίνακας 4.2 όπου φαίνονται οι ισορροπίες του καθενός υ- ποπαιγνίου καθώς και οι αντίστοιχες αποδόσεις για τις δύο επιχειρήσεις. Πίνακας Ισορροπίες 4 ου Σταδίου Όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα, και σε αυτό το στάδιο, σε κάθε υποπαίγνιο η μοναδική ισορροπία είναι αυτή όπου η επιχείρηση Α θα κάνει την επένδυση σε αυτό το σημείο, πριν τη λήξη δηλαδή του Δικαιώματος. Μπορούμε λοιπόν θεωρώντας και εδώ ότι η επιχείρηση Α θα κινηθεί ορθολογικά και κατά συνέπεια δεν θα επιλέξει να συνεχίσει να κάνει χρήση του Δικαιώματος, να διαγράψουμε από το συνολικό παίγνιο τις κινήσεις των οποίων η πιθανότητα εμφάνισης είναι 0. Η νέα εικόνα που παρουσιάζει το συνολικό παίγνιο είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήμα

87 Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 4 ου Σταδίου Ισορροπίες 3 ου Σταδίου Σε αυτό το σημείο τα υποπαίγνια στα οποία θα υπολογίσουμε ισορροπίες μειώθηκαν στα 4. Το στάδιο αυτό αντιστοιχεί στο τέλος του δεύτερου βήματος Lattice, όπου η επιχείρηση Α θα πρέπει να αποφασίσει αν θα συνεχίσει να κάνει χρήση του Δικαιώματος προχωρώντας στο τρίτο βήμα ή εάν θα πραγματοποιήσει αυτή τη χρονική στιγμή την επένδυση. Όπως και στα προηγούμενα στάδια, η ισορροπίες που υπολογίζονται για όλα τα υποπαίγνια αντιστοιχούν σε πραγματοποίηση της επένδυσης. Οι ισορροπίες και οι αντίστοιχες αποδόσεις για κάθε ένα από τα τέσσερα υποπαίγνια αυτού του σταδίου φαίνονται στον πίνακα

88 Πίνακας Ισορροπίες 3 ου Σταδίου Ακολουθώντας και σε αυτό το σημείο την τακτική διαγραφής των κινήσεων οι οποίες μετά τον υπολογισμό των ισορροπιών παρουσιάζουν μηδενική πιθανότητα εμφάνισης, οδηγούμαστε στο παίγνιο που φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 3 ου Σταδίου Από αυτό το σημείο και έπειτα το μέγεθος του παιγνίου έχει μικρύνει τόσο, ώστε να επιτρέπεται ο υπολογισμός της ισορροπίας στο σύνολο αυτού. Παρόλα αυτά θα συνεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο τον υπολογισμό των ισορροπιών Ισορροπίες 2 ου Σταδίου Δύο υποπαίγνια έχουν δημιουργηθεί μετά την απαλοιφή που προηγήθηκε. Το πρώτο είναι αυτό που έπεται της απόφασης χρήσης του Δικαιώματος Αναβολής από την επι- -76-

89 χείρηση Α στην περίπτωση που η αξία της επένδυσης ακολούθησε ανοδική πορεία στο πρώτο βήμα Lattice και το δεύτερο στην περίπτωση καθοδικής της πορείας. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν μετά τον υπολογισμό ισορροπιών σε αυτά τα υ- ποπαίγνια φαίνονται στον πίνακα 4.4. Πίνακας 4.4 Ισορροπίες 2 ου Σταδίου Προχωρώντας και πάλι στην απαλοιφή των κινήσεων οι οποίες όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα έχουν μηδενική πιθανότητα εμφάνισης, οδηγούμαστε στην εικόνα του παιγνίου που φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Συνολικό Παίγνιο μετά τις ισορροπίες του 2 ου Σταδίου Ισορροπίες Τελικού Σταδίου Το παίγνιο το οποίο έχει προκύψει περιλαμβάνει έναν μοναδικό κόμβο απόφασης για την επιχείρηση Α, ο οποίος είναι και ο αρχικός κόμβος απόφασης του συνολικού παιγνίου. Πρόκειται για την χρονική στιγμή που η επιχείρηση Α καλείται να επιλέξει εάν θα κάνει εξ αρχής την επένδυση ή θα χρησιμοποιήσει το Δικαίωμα Αναβολής. Η ισορροπία που προκύπτει σε αυτό το στάδιο αλλά και οι τελικές αποδόσεις για τις δύο επιχειρήσεις φαίνονται στον πίνακα

90 Πίνακας 4.5 Ισορροπία τελικού παιγνίου. Όπως ήταν αναμενόμενο, η μοναδική ισορροπία που προκύπτει αντιστοιχεί σε κίνηση επένδυσης από την επιχείρηση Α, χωρίς καμία χρήση του Δικαιώματος Αναβολής. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, τόσο σε αυτό το σημείο, όσο και σε όλα τα προηγούμενα, οι αποδόσεις για την επιχείρηση Α είναι χειρότερες αυτής. Όπως έγινε φανερό από την μέχρι τώρα ανάλυση, σε κανένα σημείο από αυτά που ελέγχθηκαν η επιχείρηση Β δεν έχει θετική απόδοση, αφού μετά των υπολογισμό των ισορροπιών όλων των υποπαιγνίων όλων των σταδίων αλλά και του τελικού παιγνίου που δημιουργήθηκε, η απόδοση που προκύπτει γι αυτήν είναι μηδενική. Αυτό συμβαίνει διότι η επιχείρηση Α θεωρήθηκε εξ αρχής Leader του παιγνίου και επιπλέον έγινε η υπόθεση πως μετά από μία κίνηση επένδυσης από την επιχείρηση Α το παίγνιο τερματίζεται Επαλήθευση Αποτελεσµάτων Ο λόγος που χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο υπολογισμού ισορροπιών στα υποπαίγνια είναι όπως αναφέρθηκε το μέγεθος του συνολικού παιγνίου. Παρόλα αυτά θα πρέπει να ελέγξουμε και την ισορροπία του αρχικού παιγνίου, η οποία θα αποτελέσει και την τελική λύση του προβλήματος. για να το αρχικό παίγνιο. Για να είναι το στρατηγικό σχέδιο που θα προκύψει τέλεια ισορροπία Nash στο πρόβλημά μας, θα πρέπει προβολή του πάνω στα υποπαίγνια του παιγνίου να είναι ισορροπία κατά Nash σε καθένα από αυτά, είτε το συγκεκριμένο υποπαίγνιο παίζεται κατά μήκος του δρόμου ισορροπίας είτε όχι. Στους πίνακες 4.6 και 4.7 φαίνονται τα αποτελέσματα υπολογισμού αυτή της ισορροπίας για κάθε μία από της δύο επιχειρήσεις. -78-

91 Πίνακας 4.6 Ισορροπίες Επιχείρησης Α Πίνακας Ισορροπίες Επιχείρησης Β -79-