Το θεώρημα του Fermat για Ν=3 και Ν=4
|
|
- Μελίτη Παπακωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Είναι αδύνατον μια κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δυο κυβικών δυνάμεων ή μια τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατον να γραφεί ως άθροισμα ίδιων δυνάμεων. Έχω μια πραγματικά υπέροχη της πρότασης, που όμως δε χωρά σ ένα τόσο στενό περιθώριο. Pierre de Fermat Το θεώρημα του Fermat για Ν=3 και Ν=4 Μέρος I: Μια κλασική στοιχειώδης προσέγγιση 1
2 Μια βασική πρόταση Αν για τους ακέραιους α,β,γ ισχύει α 2 =βγ, όπου οι αριθμοί β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε καθένας από τους β και γ είναι ίσος με το τετράγωνο ενός ακεραίου. 1 η i j a Αν i j p, p, p είναι η ανάλυση των α,β,γ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου α i, β j, γ k σχεδόν όλοι μηδέν, θα ισχύει i j 2a i j p p p και δεδομένου ότι οι β και γ δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες, θα πρέπει κάθε ένας από τους εκθέτες β j και γ k να είναι άρτιος αριθμός. Αυτό όμως σημαίνει ότι καθένας από τους αριθμούς β και γ θα είναι τετράγωνο ενός ακεραίου. 2 η Έχουμε α 2 =βγ και β γ=1. Είναι β=β 1=β (β γ)=β 2 βγ=β 2 α 2 =(β γ) 2. Ομοίως γ=(γ α) 2. 1 Παρατήρηση Η πρόταση γενικεύεται για οποιαδήποτε δύναμη και οποιοδήποτε γινόμενο παραγόντων πρώτων ανα δύο μεταξύ τους αριθμών. Δηλαδή αν α 1 α 2 α κ =α ν και οι αριθμοί α 1, α 2,,α κ είναι ανά δυο πρώτοι μεταξύ τους, τότε καθένας από τους α 1, α 2,,α κ είναι ν η δύναμη κάποιου ακεραίου. 1 Ο συμβολισμός α β δηλώνει τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των ακεραίων α,β. Δηλ. α β=(α,β). 2
3 Πυθαγόρειες τριάδες Να λυθεί η διαφαντική εξίσωση: χ 2 +ψ 2 =ω 2. Λύση Κατ αρχή παρατηρούμε πως αν χ ψ=δ>1 τότε δ 2 /ω 2 οπότε δ/ω. Αν λοιπόν θέσουμε χ=δχ, ψ=δψ και ω=δω τότε η δοθείσα εξίσωση μπορεί να γραφεί χ 2 +ψ 2 =ω 2 με χ ψ =1. Φυσικά τότε θα είναι και χ ω =ψ ω =1. Έτσι δε βλάπτει τη γενικότητα να αναζητήσουμε λύσεις με την πρόσθετη υπόθεση χ ψ=1. Επειδή το τετράγωνο ενός ακεραίου είναι πάντα ισότιμο είτε με 0 είτε με 1 mod4, έπεται ότι οι ακέραιοι χ,ψ δεν μπορεί να είναι και οι δυο άρτιοι ή και οι δυο περιττοί. Υποθέτουμε λοιπόν ότι ο χ είναι άρτιος και ο ψ περιττός. Τότε ο ω θα είναι περιττός. Έχουμε τώρα χ 2 +ψ 2 =ω 2 χ 2 =ω 2 -ψ 2 χ 2 =(ω-ψ)(ω+ψ) (1) Οι αριθμοί ω-ψ και ω+ψ είναι άρτιοι, συνεπώς 4/χ 2 2/χ. Έτσι η (1) μπορεί να γραφεί ως 2 ( ) (2) Οι αριθμοί, είναι πρώτοι μεταξύ τους διότι αν ρ είναι ο ΜΚΔ τους τότε 2 2 ρ/ και ρ/ οπότε ρ/ω και ρ/ψ επομένως ρ/ω ψ δηλαδή ρ/1 άρα ρ= Η σχέση (2) σύμφωνα με την βασική πρόταση που αποδείξαμε προηγουμένως μας δίνει ότι: 2 και 2 με α β= Θα είναι λοιπόν ω=β 2 +α 2, ψ=β 2 -α 2 και χ=2αβ και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι λύσεις που αναζητούμε έχουν τη μορφή: χ=2αβ, ψ=β 2 -α 2, ω=β 2 +α 2 με α β=1, και από τους α, β ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Η γενική λύση της χ 2 +ψ 2 =ω 2 δίχως την απαίτηση χ ψ=1 θα είναι χ=2καβ, ψ=κ(β 2 -α 2 ), ω=κ(β 2 +α 2 ) όπου κ τυχαίος ακέραιος, α β=1, και από τους α, β ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Θεώρημα Fermat για Ν=4 Η διοφαντική εξίσωση χ 4 +ψ 4 =ω 4 δεν έχει 3 μη τετριμμένες λύσεις.
4 Η θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο και με χρήση της μεθόδου της ατέρμονης καθόδου. Δηλαδή υποθέτοντας ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια μη τετριμμένη λύση (χ,ψ,ω) με χψω 0, θα καταφέρουμε να κατασκευάσουμε άλλη μια λύση της (Χ,Ψ,Ω) με ΧΨΩ 0 για την οποία Ω < ω. Αυτό όμως οδηγεί σε άτοπο, γιατί αν επαναλαμβάναμε την ίδια διαδικασία για τη λύση (Χ,Ψ,Ω) θα οδηγούμασταν σε άλλη μια λύση της οποίας η τρίτη συνιστώσα θα ήταν κατ απόλυτη τιμή μικρότερη της Ω και εξακολουθώντας με τον ίδιο τρόπο θα προέκυπτε μια άπειρη γνησίως φθίνουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, πράγμα το οποίο είναι αδύνατο. Η διαδικασία διευκολύνεται πολύ αν αντί της αρχικής εξίσωσης, θεωρήσουμε την εξίσωση χ 4 +ψ 4 =ω 2 (2). Προφανώς αν η (2) δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις, τότε ούτε και η αρχική θα έχει μη τετριμμένες λύσεις. Ξεκινάμε λοιπόν υποθέτοντας πως η (2) έχει τη λύση (χ,ψ,ω) με χψω 0 και μάλιστα χ>0, ψ>0, ω>0. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι χ ψ=1. (Αν χ ψ=δ, τότε δ/χ, δ/ψ, δ 4 /ω 2 άρα και δ 2 /ω 2 δηλ. δ/ω. Για κάποιους ακεραίους χ 1,ψ 1,ω 1,ω 2 θα είχαμε επομένως δ 4 (χ 4 1 +ψ 4 1 )=δ 2 ω 2 1, άρα δ 2 / ω 2 1 κι έτσι χ 4 1 +ψ 4 1 =ω 2 2 με χ 1 ψ 1 =1). Επίσης τα χ,ψ δεν μπορεί να είναι αμφότεροι περιττοί γιατί τότε το άθροισμα χ 4 +ψ 4 θα ήταν ισοδύναμο με 2mod4 πράγμα αδύνατο αφού υποθέτουμε πως χ 4 +ψ 4 =ω 2. Μπορούμε να υποθέσουμε επομένως ότι ο χ είναι άρτιος και ο ψ περιττός. Φυσικά ο ω θα είναι περιττός. Από την εύρεση των Πυθαγορείων τριάδων που κάναμε στην προηγούμενη παράγραφο θα έχουμε τότε ότι υπάρχουν ακέραιοι α,β με α β=1, α>β>0 ο ένας άρτιος και ο άλλος περιττός, έτσι ώστε { (3) Ο β επιπλέον πρέπει να είναι άρτιος γιατί διαφορετικά ο α θα ήταν άρτιος και ψ 2 =α 2 -β 2-1mod4, που είναι αδύνατο. Από την δεύτερη εξίσωση παραπάνω έχουμε β 2 +ψ 2 =α 2 δηλαδή οι αριθμοί (β,ψ,α) αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα με β ψ=1, β άρτιος, ψ περιττός. 4
5 Θα υπάρχουν επομένως ακέραιοι γ,δ με γ>δ>0, γ δ=1, ανισότιμοι mod2, έτσι ώστε να ισχύει { (4) Αφού χ 2 =2αβ θα έχουμε χ 2 =4γδ(γ 2 +δ 2 ) (χ/2) 2 =γδ(γ 2 +δ 2 ) (5). Εύκολα φαίνεται ότι γδ (γ 2 +δ 2 )=1, οπότε σύμφωνα με τη αρχική βασική μας πρόταση θα πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι Χ,Ψ,Ω έτσι ώστε γ=χ 2, δ=ψ 2, γ 2 +δ 2 =Ω 2. Δηλαδή θα είναι Χ 4 +Ψ 4 =Ω 2, οπότε η τριάδα (Χ,Ψ,Ω) αποτελεί μια λύση της (2) για την οποία έχουμε ΧΨΩ 0, Χ Ψ=1, και ω=α 2 +β 2 = (γ 2 +δ 2 ) 2 +4γ 2 δ 2 =Ω 4 >Ω αφού Ω>1. Υποθέτοντας λοιπόν την ύπαρξη μιας λύσης (χ,ψ,ω) της (2) με ω>0, καταφέραμε να κατασκευάσουμε άλλη μια λύση της (Χ,Ψ,Ω) με 0< Ω<ω. Αυτό όμως όπως έχουμε ήδη επισημάνει είναι άτοπο και η έχει ολοκληρωθεί. 5
6 Θεώρημα Fermat για Ν=3 Η διοφαντική εξίσωση χ 3 +ψ 3 =ω 3 δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις. Τετριμμένες είναι οι λύσεις για τις οποίες χψω=0. Έτσι για παράδειγμα η τριάδα (κ,-κ,0) αποτελεί τετριμμένη λύση για κάθε ακέραιο κ. Θεωρούμε λοιπόν ότι χψω 0. Επίσης αν χ ψ=δ, τότε χ=δχ 1, ψ=δψ 2 και επειδή δ 3 /ω 3 θα είναι δ/ω δηλαδή ω=δω 1 για κάποιους ακέραιους χ 1,ψ 1,ω 1. Αφού χ ψ 3 1 = ω 3 1 και χ 1 ψ 1 =1, μπορούμε να υποθέσουμε ότι χ ψ=1. Τότε φυσικά και ψ ω=χ ω=χ ψ ω=1. Δίχως βλάβη της γενικότητας μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι οι αριθμοί χ,ψ είναι περιττοί, ενώ ο ω είναι άρτιος. Θα ξεκινήσουμε λοιπόν με την υπόθεση ότι υπάρχει λύση (χ,ψ,ω) της χ 3 +ψ 3 =ω 3 (1) με χψω 0, χ ψ=1, χ,ψ 1mod2, ω 0mod2. Μπορούμε να υποθέσουμε επιπλέον ότι έχουμε επιλέξει την τριάδα (χ,ψ,ω) με τέτοιο τρόπο ώστε ω να είναι το ελάχιστο δυνατό. Θα δείξουμε τότε, ότι με τις παραπάνω προϋποθέσεις, μπορούμε να βρούμε άλλη μια λύση (μ,ν,λ) της αρχικής εξίσωσης για την οποία ισχύουν επίσης οι παραπάνω προϋποθέσεις, όμως λ < ω. Αυτή είναι η περίφημη μέθοδος της ατέρμονης καθόδου, η οποία μας οδηγεί σε άτοπο δεδομένου ότι ω υποτέθηκε το ελάχιστο δυνατό.(πράγμα εφικτό αφού ω είναι φυσικός αριθμός.) Θέτουμε χ+ψ=2α και χ-ψ=2β. Τότε χ=α+β και ψ=α-β, με αβ 0, α β=1, α βmod2, οπότε αντικαθιστώντας στην (1) βρίσκουμε (α+β) 3 +(α-β) 3 =ω 3 <=> 2α(α 2 +3β 2 )=ω 3 (2). Ο αριθμός α 2 +3β 2 είναι περιττός άρα αν 2α (α 2 +3β 2 )=δ τότε δ/α και δ/3β 2 και επειδή δ β=1 θα είναι δ/3. Άρα δ=1 ή δ=3. Διακρίνουμε επομένως δυο περιπτώσεις: Πρώτη περίπτωση : 2α (α 2 +3β 2 )=1 Τότε από την (2) προκύπτει ότι 2α=ρ 3 (3.1) και α 2 +3β 2 =σ 3 (3.2). Ισχύει όμως το εξής Λήμμα 1: Αν για τους ακέραιους αριθμούς α,β με α β=1,α βmod2, ισχύει α 2 +3β 2 =σ 3 τότε υπάρχουν ακέραιοι u,v με u v=1, u v mod2, ώστε: α=u(u 2-9v 2 ), β=3v(u 2 -v 2 ), σ=u 2 +3v 2. Στην περίπτωσή μας λοιπόν θα έχουμε α=u(u 2-9v 2 ), β=3v(u 2 -v 2 ), σ=u 2 +3v 2 (3.3). Από την ( ) προκύπτει 2u(u-3v)(u+3v)=ρ 3 (3.4). Είναι 2u (u-3v) (u+3v)=1 γιατί οι αριθμοί u-3v,u+3v είναι περιττοί και αν ένας πρώτος p/2u, p/u-3v, p/u+3v τότε p/6v και p 2,3 άρα θα είχαμε p/u, p/v που είναι άτοπο. 6
7 Από την (3.4) προκύπτει ότι: 2u=l 3, u-3v=m 3, u+3v=n 3 δηλαδή m 3 +n 3 =l 3. Παρατηρούμε τώρα ότι ω 3 = 2α(α 2 +3β 2 ) 3 = 2u(u 2-9v 2 )(α 2 +3β 2 ) 3 = l 3 u 2-9v 2 ) α 2 +3β 2 επειδή u 2-9v 2 0 και α 2 +3β 2 >1 προκύπτει ότι ω > l το οποίο είναι άτοπο. Δεύτερη περίπτωση: 2α (α 2 +3β 2 )=3 Τότε 3/α και αν γράψουμε α=3γ θα είναι 2γ (α 2 +3β 2 )/3=1 2γ (3γ 2 +β 2 )=1 και επειδή το 3 δεν μπορεί να διαιρεί το β, θα είναι επίσης 18γ (β 2 +3γ 2 )=1. Έτσι 2α(α 2 +3β 2 )=ω 3 18γ(β 2 +3γ 2 )=ω 3. Θα έχουμε επομένως 18γ=ρ 3 (4.1) και β 2 +3γ 2 =σ 3 (4.2) με β γ=1. Από το λήμμα 1 συνεπώς προκύπτει ότι υπάρχουν ακέραιοι u,v τέτοιοι ώστε u v=1, u vmod2, β=u(u 2-9v 2 ) (4.3), γ=3v(u 2 -v 2 ) (4.4). Από την (4.4) και (4.1) προκύπτει 54v(u-v)(u+v)=ρ 3. Επειδή 3/ρ 3 επίσης θα είναι 3/ρ κι έτσι η τελευταία ισότητα γράφεται ως 2v(u-v)(u+v)=(ρ/3) 3. Όμως 2v (u-v) (u+v)=1 επομένως 2v=l 3, v-u=m 3, u+v=n 3 οπότε προκύπτει m 3 +n 3 =l 3. Παρατηρούμε τώρα ότι ω 3 == 2α(α 2 +3β 2 ) 3 = 6γ(α 2 +3β 2 ) 3 = 18v(u 2 -v 2 )(α 2 +3β 2 ) 3 = 9l 3 (u 2 -v 2 )(α 2 +3β 2 ) 3. Επειδή u 2 -v 2 0 και α 2 +3β 2 >1 θα είναι ω > l, άτοπο. Επομένως δεν υπάρχουν μη τετριμμένες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης χ 3 +ψ 3 =ω 3. Για να ολοκληρωθεί πλήρως η παραπάνω, οφείλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό του λήμματος 1. Αυτό δεν είναι και τόσο εύκολο να γίνει όπως θα δούμε στη συνέχεια. Η μορφή της ς που δόθηκε παραπάνω, ουσιαστικά οφείλεται στον Euler και χρονολογείται από το Μια κριτική σπουδή της ς του Euler αποκαλύπτει κάποια σημαντικά κενά που αφορούν τις ιδιότητες διαιρετότητας αριθμών της μορφής α 2 +3β 2. Έτσι ο Euler δεν αποκατέστησε πλήρως την ισχύ του λήμματος 1. Κάτι τέτοιο επιχειρήθηκε από τον Legendre (1808,1830) δίχως και πάλι την αποκατάσταση όλων των λεπτομερειών. πρόταση 1 Ο πρώτος p γράφεται στη μορφή α 2 +3β 2 αν και μόνο αν p=3 ή p 1mod3. Έστω ότι p=α 2 +3β 2. Τότε p α 2 mod3 1mod3 αν α 0, ενώ p=3 αν α=0. Αντίστροφα, αν p=3 τότε 3= Έστω λοιπόν p 3 και p 1mod3. Από τον νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και αφού p 1mod3 θα είναι τελικά ( ) ( )=1 οπότε το -3 είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod3, δηλαδή υπάρχει t, 0<t p-1, ώστε t 2. (1) Θεωρούμε τους αριθμούς m+nt με 0 m,n. Aφού το πλήθος των ζευγών (m,n) είναι ([ ] ) 2 > 2 =p, ακόμη και στην περίπτωση όπου όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, θα υπάρχουν ακέραιοι m 1,m 2,n 1,n 2 τέτοιοι ώστε 7
8 m 1 +n 1 t m 2 +n 2 t modp m 1 -m 2 (n 2 -n 1 )t modp (2). Είναι m 1 m 2, n 1 n 2 (διαφορετικά ο p θα έπρεπε να διαιρεί έναν ακέραιο μικρότερό του). Αν λοιπόν θέσουμε α=m 1 -m 2 και β=n 2 -n 1 θα είναι α,β 0 και α βt modp. Θα έχουμε λοιπόν α 2 β 2 t 2 modp. (3). Από τις (1),(3) προκύπτει α 2 +3β 2 0 modp, δηλαδή υπάρχει ακέραιος κ, ώστε α 2 +3β 2 =κp. Όμως α, β [ ], επομένως α 2 +3β 2 <4p. Συνεπώς θα είναι κ=1 ή κ=2 ή κ=3. Αν κ=1, τότε α 2 +3β 2 =p Αν κ=2, τότε α 2 +3β 2 =2p. Οι α,β πρέπει να είναι ισότιμοι mod2. Όμως τότε α 2 +3β 2 0 mod4, πράγμα που σημαίνει ότι ο p θα είναι άρτιος, άτοπο. Αν κ=3, τότε α 2 +3β 2 =3p, άρα 3/α 2, οπότε 3/α. Αν α=3α με αντικατάσταση στη σχέση α 2 +3β 2 =3p, θα έχουμε 9α 2 +3β 2 =3p β 2 +3α 2=p. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό πως ο p έχει τη μορφή χ 2 +3ψ 2. ο.ε.δ. πρόταση 2 Αν ο πρώτος p διαιρεί έναν περιττό αριθμό της μορφής u 2 +3v 2, u v=1, τότε ο p καθώς και το πηλίκο της διαίρεσης των u 2 +3v 2 και p, έχουν την ίδια μορφή και υπάρχουν ακέραιοι α,β,κ,λ ώστε να ισχύει ( )( ), όπου α 2 +3β 2 =p και α,β 0, α β=1. Αν p=3, τότε 3= Αν p 3 τότε επειδή p δεν διαιρεί τον v (αφού u v=1), θα υπάρχει v τέτοιος ώστε vv 1modp. Aν m=u 2 +3v 2, τότε mv =(uv ) 2 +3vv, συνεπώς (uv ) 2-3modp. Δηλαδή το -3 είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modp. Από το νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής ( ) ( ) Έτσι προκύπτει ότι p 1mod3, και σύμφωνα με την πρόταση 1 θα είναι p=α 2 +3β 2, για κάποιους ακέραιους α,β με α β=1. Αφού p/u 2 +3v 2 θα είναι u 2 +3v 2 =(α 2 +3β 2 )τ. Έτσι τ= ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) (2.1) Παρατηρούμε τώρα ότι : (αu+3βv)(αu-3βv)=α 2 u 2-9β 2 v 2 =α 2 u 2 +3α 2 v 2-3α 2 ν 2-9β 2 v 2 = α 2 (u 2 +3v 2 )-3v 2 (α 2 +3β 2 )=α 2 pτ-3v 2 p. Έτσι p/(αu+3βv)(αu-3βv) πράγμα που σημαίνει ότι p/ αu+3βv ή p/ αu-3βv. Σε κάθε περίπτωση από την (2.1) προκύπτει ότι επίσης ο πρώτος p θα διαιρεί τον αv-uβ ή τον αv+uβ αντιστοίχως. Οι αριθμοί επομένως και δ= είναι ακέραιοι και θα έχουμε τ=γ 2 +3δ 2. Είναι ( )( ) ( ) ( ). Επίσης παρατηρούμε ότι: 8
9 Έτσι ( )( ). Αναλυτικότερα αν p/ αu+3βv τότε ( )( ). αν p/ αu-3βv τότε ( )( ). Από τις τελευταίες ισότητες προκύπτει το ζητούμενο. πρόταση 3 Αν p=3, ή p 1mod3, η αναπαράσταση p=α 2 +3β 2 με α,β 0 είναι μοναδική. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δυο αναπαραστάσεις διαφορετικές, τότε θα υπάρχουν ακέραιοι α,β,χ,ψ 0 ώστε α 2 +3β 2 =χ 2 +3ψ 2. Αφού α 2 +3β 2 / χ 2 +3ψ 2 σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση ( )( ). Παίρνοντας συζυγείς και πολλαπλασιάζοντας τις αντίστοιχες σχέσεις λαμβάνουμε χ 2 +3ψ 2 =(α 2 +3β 2 )(κ 2 + 3λ 2 ) οπότε κ 2 +3λ 2 =1, δηλαδή κ=±1,λ=0. Έτσι η μόνη αποδεκτή λύση είναι να έχουμε χ=α και ψ=β. πρόταση 4 Αν ο περιττός αριθμός m=u 2 +3v 2 με u v=1 είναι δύναμη ενός πρώτου p, δηλαδή u 2 +3v 2 =p e με e 1, τότε υπάρχουν ακέραιοι α,β 0 με α β=1, ώστε ( ) Αν p=3 τότε e 1, διότι διαφορετικά 9/ u 2 +3v 2, 9/u 2, άρα 3/v άτοπο. Θα είναι συνεπώς 3= και και η πρόταση αληθεύει στην περίπτωση αυτή. Αν p 3 τότε θα είναι p=α 2 +3β 2 για κάποιους ακέραιους α,β>0. Είναι p>α έτσι αν ένας πρώτος π διαιρούσε τους α,β θα ήταν π/p και π<p άτοπο. Άρα α β=1. Αν e=1 η πρόταση 4 είναι φανερή λόγω της πρότασης 3. Αν e>1 αφού p/m από την πρόταση (2) θα υπάρχουν κ,λ ακέραιοι ώστε ( )( ), και κ 2 +3λ 2 =p e-1. Αν e-1=1 λόγω της (3) θα πρέπει κ=±α,λ=±β. Αν ο ένας παράγοντας του παραπάνω γινομένου είναι ο τότε ο άλλος παράγοντας δεν μπορεί να είναι ο γιατί τότε το γινόμενό τους α 2 +3β 2 =p θα διαιρούσε τα u,v άτοπο. Έτσι οι μόνες δυνατότητες που απομένουν είναι να έχουμε ( ). Αν e-1>1 συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Αφού p/ κ 2 +3λ 2 =p e-1 μπορούμε να γράψουμε ( )( )( ), με. Για το λόγο που αναφέραμε ήδη, στο παραπάνω γινόμενο δεν μπορεί να εμφανίζονται ταυτόχρονα οι παράγοντες, έτσι θα έχουμε 9
10 ( ) ( ), με. Συνεχίζοντας ομοίως θα έχουμε: ( ) ( ), με. Πάλι λόγω της πρότασης (3) θα είναι κ e-2 =±α, λ e-2 =±β και λόγω των παραπάνω επισημάνσεων θα πρέπει ( ) ( ) κι έτσι τελικά προκύπτει ότι ( ) ο.ε.δ. πρόταση 5 Αν ο περιττός αριθμός m=u 2 +3v 2 με u v=1 είναι αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως, με e i 1, τότε υπάρχουν ακέραιοι α i,β i 0 με α i β i =1, ώστε ( ) Αφού ( ) εφαρμόζοντας τη διαδικασία που περιγράψαμε στην πρόταση (4) διαδοχικά μέχρι να εξαντληθούν όλοι οι πρώτοι παράγοντες του m, προκύπτει το ζητούμενο. πρόταση 6 Αν u 2 +3v 2 =s 3, όπου s περιττός, u v=1, τότε υπάρχουν διαφορετικής ισοτιμίας mod2 ακέραιοι t,w με t w=1 και 3 t=1, ώστε u=t(t 2-9w 2 ), v=3w(t 2 -w 2 ), s=t 2 +3w 2. Έστω, τότε e i =3e i. Αν p i =α i 2 +3β i 2, i=1,2,,n, θα έχουμε ( ) ( ) Θεωρούμε τον αριθμό που ορίζεται από την ισότητα ( ) Ισχύει η ισότητα ( ) (6.1) Αναπτύσοντας την ταυτότητα και εξισώνοντας πραγματικά με φανταστικά μέρη προκύπτουν οι τύποι u=t(t 2-9w 2 ), v=3w(t 2 -w 2 ) (6.2). Από την (6.1) ( ) (6.3). Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των 6.1,6.3 έχουμε u 2 +3v 2 =(t 2 +3w 2 ) 3 s 3 =(t 2 +3w 2 ) 3 s=t 2 +3w 2. Θα είναι t w=1 αφού u v=1. Επίσης αν 3/t τότε 3/u => 3/s 3 => 3 2 /s 3 => 3/v, άτοπο. Επομένως το 3 δεν διαιρεί τον t, δηλαδή 3 t=1. Επειδή ο s είναι περιττός οι t,w οφείλουν να έχουν διαφορετική ισοτιμία mod2. ο.ε.δ. 10
11 Κάποιες παρατηρήσεις Στην προηγούμενη παράγραφο αποδείξαμε το λήμμα 1 με έναν ομολογουμένως περιπετειώδη τρόπο. Ωστόσο κάποιος θα έμπαινε στον πειρασμό να σκεφτεί ως εξής: u 2 +3v 2 =s 3 ( )( ). Εδώ έχουμε ένα γινόμενο δυο αριθμών να είναι ίσο με έναν τέλειο κύβο. Αν οι αριθμοί που εμπλέκονται στην παραπάνω εξίσωση θεωρηθούν ως κάποιο ιδιαίτερο είδος «ακεραίων» και αυτού του είδους οι ακεραίοι έχουν παρόμοιες ιδιότητες με τους συνηθισμένους ακεραίους, τότε κατ αναλογία με τη βασική πρόταση με την οποία ξεκινήσαμε στο άρθρο αυτό, θα έπρεπε αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των ( ) ( ) είναι 1, καθένας εξ αυτών να είναι τέλειος κύβος. Δηλαδή θα υπήρχαν ακέραιοι t,w ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) κι έτσι u=t(t 2-9w 2 ), v=3w(t 2 -w 2 ) βρήκαμε δηλαδή τους τύπους που με τόσο κόπο αποκαταστήσαμε προηγουμένως την εγκυρότητά τους. Καλό; Σίγουρα πολύ καλό για να είναι αληθινό! Με τον παραπάνω τρόπο σκέψης γιατί να μην επιχειρήσουμε να αναζητήσουμε τις λύσεις της Πυθαγόρειας διοφαντικής εξίσωσης χ 2 +ψ 2 =ω 2 ; Για να δούμε λοιπόν. Παραγοντοποιώντας το πρώτο μέλος έχουμε (χ+ψi)(χ-ψi)=ω 2. Αν οι ιδιαιτέρου είδους ακέραιοι που θα θεωρήσουμε είναι της μορφής α+βi, με α,β συνηθισμένους ακέραιους και αν υποθέσουμε και πάλι ότι καθένας από τους παράγοντες του γινομένου είναι τέλειο τετράγωνο, τότε θα υπάρχουν ακέραιοι α,β ώστε χ+ψi=(α+βi) 2 άρα χ+ψi=α 2 -β 2 +2αβi. Έτσι χ=α 2 -β 2, ψ=2αβ και συνεπώς ω=α 2 +β 2. Ξαναβρίσκουμε τους γνωστούς τύπους για τις πυθαγόρειες τριάδες! Ωραία όλα αυτά, αλλά πόσο σωστά είναι; Δεδομένων των σωστών αποτελεσμάτων, κάτι σωστό θα πρέπει να έχουν οι παραπάνω συλλογισμοί, αν και ενδεχομένως ερμηνευμένοι με διαφορετικό τρόπο. Στα μέσα του δεκάτου εννάτου αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Έρνστ Κούμερ (Ernst Kummer ), κατάφερε να κάνει συλλογισμούς σαν τους παραπάνω, τμήμα μιας μαθηματικής θεωρίας που επέκτεινε τις ιδιότητες των γνωστών μας ακεραίων, σε άλλου είδους αριθμητικά αντικείμενα, ο Κούμερ ονόμασε αυτά τα αντικείμενα «ιδεώδεις αριθμούς». Η θεωρία του που λίγο αργότερα επεκτάθηκε από τους μαθηματικούς Dedekind και Kronecker είναι γνωστή σήμερα ως αλγεβρική θεωρία αριθμών. Σε επόμενο άρθρο 2, θα δούμε πώς μέσα στα πλαίσια της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών οι παραπάνω «χαλαρές» αποδείξεις μπορούν να γίνουν τελείως αυστηρές. Οι δακτύλιοι μέσα στους οποίους ανήκουν οι «ιδεώδεις» ακέραιοι αριθμοί που θα χρησιμοποιήσουμε είναι τα εξής σύνολα: [ ]. (Ακέραιοι του Gauss.) [ ]. Το ζ 3 είναι μια κυβική μιγαδική ρίζα της μονάδας. Προσέξτε ότι στην τελευταία περίπτωση δεν θα χρησιμοποιήσουμε ως ακεραίους μόνο τους αριθμούς της μορφής με, αλλά ένα ευρύτερο σύνολο από το σύνολο αυτών των αριθμών. Τέλος πρώτου μέρους. 2 Στο δεύτερο μέρος αυτού του άρθρου θα αποδείξουμε το θεώρημα Fermat για Ν=3 και Ν=4 στα πλαίσια της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. 11
12 Βιβλιογραφία 1. Fermat Last Theorem - Paulo Ribenboim 2. Number Theory 1, Fermat s Dream Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito 3. An introduction to theory of numbers Ivan Niven, Herbert Zuckerman, Hungh Montgomery 4. Θεωρία Αριθμών Δημήτριος Πουλάκης 5. Αριθμοθεωρητικός Λογισμός 12
Το θεώρημα του Fermat για Ν=3
Είναι αδύνατον μια κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δυο κυβικών δυνάμεων ή μια τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑΣ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηματικός Αναπαράσταση πρώτων αριθμών ως άθροισμα δυο τετραγώνων. p 1.
Κάθε πρώτος της μορφής κ+1 γράφεται ως άθροισμα δυο τετραγώνων. Έστω p πρώτος p 1 mod q= α. α 1modp β. Υπάρχουν ακέραιοι x,y με 0< x, y< p τέτοιοι ώστε α x y 0 modp γ. p=x +y και α=q!. Δείξτε ότι Απόδειξη
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση
Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότερα4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραAπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - Fax: 605 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΔιάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότεραΟριακά σημεία ακολουθιών
Οριακά σημεία ακολουθιών Ο πραγματικός αριθμός ξ καλείται οριακό σημείο της ακολουθίας πραγματικών αριθμών α ν όταν για κάθε θετικό αριθμό ε>0, και κάθε φυσικό αριθμό Ν υπάρχει φυσικός αριθμός n N έτσι
Διαβάστε περισσότεραΦ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΡητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραx 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1)
Πυθαγόρειες Τριάδες Χριστίνα Ιατράκη Ημερομηνία παράδοσης -10-014 1 Εισαγωγικά Ορισμός 1.1 Πυθαγόρεια τριάδα καλείται κάθε τριάδα ακέραιων (x, y, z) που είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Μια τέτοια
Διαβάστε περισσότερα4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραShmei seic JewrÐac Arijm n
Shmei seic JewrÐac Arijm n Tm ma Majhmatik n Paneist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί 3 1.1 Το σύνολο των ακεραίων......................... 3 1.2 Διαιρετότητα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0
Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων Ρ (ν), όταν Α. ν R Β. ν Q Γ. ν R*. ν N Ε. κανένα από τα προηγούµενα 2. * Για τους ακεραίους
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
Διαβάστε περισσότερα1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.
Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΓΕΛ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ορισμός Ταυτότητα σε ένα σύνολο,καλείται μια μαθηματική πρόταση που χαρακτηρίζεται αληθής για οποιαδήποτε τιμή και αν πάρουν από το σύνολο αυτό, οι παράμετροι που αυτή περιέχει Έτσι ταυτότητες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (1) επί 2, λαμβάνουμε = k+ ), (2) οπότε με αφαίρεση της (1) από τη (2) κατά μέλη, λαμβάνουμε:
6 Θέματα μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Δίνεται η ακολουθία πραγματικών αριθμών ( a ), =,,, με + a = και a = ( a+ a + + a ), Να προσδιορίσετε τον όρο a 0 Λύση ( ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι: 4 4 a =, a = a =, a
Διαβάστε περισσότεραβ) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1
Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
Διαβάστε περισσότερα