ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ p ΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΑΤΙΜΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ p ΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΑΤΙΜΗΣΕΙΣ Διπλωματική εργασία για Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης ΝΥΔΡΙΩΤΟΥ ΜΑΡΙΓΟΥΛΑ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Αγγελική Κοντολάτου ΠΑΤΡΑ 006

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι (Πραγματικά σώματα). Διατεταγμένοι δακτύλιοι...5. Φυσικοί αριθμοί Ο δακτύλιος Ζ, των Ακεραίων Αριθμών Κατασκευή του σώματος πηλίκον Το σώμα Q των ρητών αριθμών Το σώμα των πραγματικών αριθμών Πλήρη διατεταγμένα σώματα Μετρικές και orms σε διατεταγμένα σώματα p Αδικές Διατιμήσεις στο σώμα Q Υπερμετρικοί χώροι...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ (Διατιμήσεις). Διατιμήσεις τάξεως...6. Εύρεση όλων των διατιμήσεων στο Q Ισοδυναμία διατιμήσεων Πλήρωση ενός σώματος σε σχέση με τη διατίμηση...73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ (p αδικοί Αριθμοί). p αδικοί Ακέραιοι...8. Ο δακτύλιος των p αδικών Ακεραίων Κλασματικοί p αδικοί Αριθμοί Σύγκλιση στο Σώμα των p αδικών Αριθμών Αξιωματικός Χαρακτηρισμός του σώματος των p αδικών Αριθμών Αριθμητική στο Q p...04 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 08

3 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή μελετάμε διατεταγμένα σώματα και ορίζουμε μετρικές και orms πάνω σ αυτά. Αναφερόμαστε καταρχήν στο διατεταγμένο σώμα των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια μελετάμε διατιμήσεις, αναφέρουμε βασικά θεωρήματα και επικεντρωνόμαστε στις p αδικές διατιμήσεις και στις διατιμήσεις τάξεως. Τέλος ορίζουμε το σώμα των p αδικών αριθμών, στο οποίο μελετούμε σύγκλιση και δίνουμε ενδιαφέρουσες ιδιότητες και θεωρήματα με τα οποία αποσαφηνίζεται η θέση των p αδικών σωμάτων στη γενική θεωρία των σωμάτων. Η στενή σχέση ανάμεσα στη θεωρία των αλγεβρικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής και στη θεωρία των αλγεβρικών αριθμών είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία της θεωρίας των διατιμήσεων. Η αριθμητική προσέγγιση της θεωρίας των αλγεβρικών συναρτήσεων, η οποία πραγματοποιήθηκε από τον Dedekid και τον Weber, προκάλεσε το ερώτημα σχετικά με το αν υπάρχει ένα ανάλογο στα αναπτύγματα δυναμοσειράς, που να συσχετίζεται με κάποιο σημείο της επιφάνειας Riema. Ο Hesel ανακάλυψε ένα τέτοιο ανάλογο στη θεωρία του αναφορικά με τους p αδικούς αριθμούς. Αναγνώρισε ότι τα αναπτύγματα της δυναμοσειράς μπορούν να συντελέσουν στην αποσαφήνιση των ιδιοτήτων των συστημάτων των ισοτιμιών που λαμβάνουν χώρα συχνά στις συγγενικές θεωρίες των αλγεβρικών αριθμών και των αλγεβρικών συναρτήσεων. Το 908 στο βιβλίο του με τίτλο «Η θεωρία των αλγεβρικών αριθμών» εξέφρασε το γνωστό «Λήμμα Αναγωγιμότητας» (Reducibility Lemma), πάνω στο οποίο βασίστηκε ένα σημαντικό μέρος της επεξεργασίας των διατιμήσεων. Συνεπώς, ένα ισχυρό εργαλείο, το οποίο ήταν ήδη γνωστό στο Νεύτωνα από τις επίπεδες καμπύλες, υπήρχε τώρα στη διάθεση της Θεωρητικής Άλγεβρας. Οι βασικές ιδέες του Hesel αναπτύχθηκαν στις κλασικές πλέον εργασίες των Chevalley, Krull και Ostrowski. Η θεωρία των Διατιμήσεων θεωρείται κλάδος της Τοπολογικής Άλγεβρας. Χρησιμοποιούνται μόνο στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας. Ένα σώμα με μία διατίμηση αποτελεί ένα αλγεβρικό σύστημα στο οποίο ορίζεται μία μετρική. Αυτός ο περιορισμός της αλγεβρικής ελευθερίας δίνει τη δυνατότητα να αποδειχτούν λεπτομερώς δομικές ιδιότητες. Αφού, λοιπόν, δοθούν κατάλληλοι ορισμοί πληρότητας, το πέρασμα στα πλήρη συστήματα

4 4 επιφέρει εντυπωσιακές απλοποιήσεις των προβλημάτων που σχετίζονται με την αλγεβρική δομή. Έτσι ένα σώμα με μία διατίμηση μπορεί να επεκταθεί σ ένα ευρύτερο σώμα, έτσι ώστε όλες οι αριθμητικές ιδιότητες του αρχικού σώματος να διατηρούνται σε σχέση με τη δεδομένη διατίμηση, αλλά η επέκταση των νέων στοιχείων να απλοποιεί σημαντικά την αλγεβρική δομή του επεκτεταμένου σώματος. Το σώμα των p αδικών αριθμών, το οποίο μπορεί να ληφθεί από το σώμα των ρητών αριθμών μέσω της διαδικασίας πλήρωσης, παρουσιάζει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες σχετικά μ ένα ιδιαίτερο είδος απεικόνισης, της συνήθους απόλυτης τιμής. Ωστόσο, εκτός αυτού, φαίνεται ότι τέτοια σώματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και έχουν ιδιαίτερη σημασία στην αλγεβρική αριθμοθεωρία και την αλγεβρική γεωμετρία. Επιθυμώ να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου και την εκτίμησή μου στην καθηγήτρια Αγγελική Κοντολάτου για την ενθάρρυνση και τις συμβουλές της καθ όλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτής της εργασίας..την ευχαριστώ, μέσα απ την ψυχή μου, διότι με έκανε να καταλάβω πως μία μητέρα τριών παιδιών μπορεί να ξανακαθήσει μετά από πολλά χρόνια στα φοιτητικά έδρανα με επιτυχία. Πιστεύω ότι αποτελεί πρότυπο μίμησης για το ήθος της, τις παιδαγωγικές της αρχές, την ατέρμονη θέληση για μάθηση, την απέραντη αγάπη της για τα μαθηματικά και προπαντός για την ακούραστη προσπάθειά της να μεταλαμπαδεύει στους φοιτητές της το φως της γνώσης. Θέλω επίσης, να ευχαριστήσω θερμά τον καθηγητή Ιωάννη Σταμπάκη για τις χρήσιμες υποδείξεις του στην εργασία αυτή, καθώς και για το γνήσιο ενδιαφέρον που επέδειξε στην πραγματοποίηση των στόχων μου. Τέλος ευχαριστώ την οικογένειά μου για την υπομονή της και ιδιαίτερα τον σύζυγό μου Χρήστο Μερκούρη για την έμπρακτη συμπαράστασή του. Μαριγούλα Νυδριώτου Πάτρα, 006

5 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Πραγματικά σώματα Η κατηγορία των πραγματικών σωμάτων είναι μία κατηγορία σωμάτων στα οποία είναι ορισμένη διάταξη, συμβιβαστή με τις πράξεις, η δε ονομασία τους οφείλεται στο ότι ένας αντιπρόσωπος αυτών είναι οι πραγματικοί αριθμοί.. Διατεταγμένοι δακτύλιοι Ορισμός Με τον όρο διατεταγμένος δακτύλιος εννοούμε έναν μη τετριμμένο δακτύλιο (R, +,.) με μία ολική διάταξη > η οποία διατηρεί τις πράξεις του δακτυλίου, υπό την έννοια ότι οι ακόλουθοι κανόνες ισχύουν: () x > x, y > y x + y > x + y () x > 0, y > 0 x. y > 0. Αν στην () αντικαταστήσουμε τα x, y με x x, y y και αναδιατάξουμε το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας την (), επιτυγχάνουμε τον πιο συνεπτυγμένο κανόνα: ( ) x > x, y > y xy + x y > xy + x y. Μελετώντας την διάταξη πάνω στο R θα γράφουμε x y για να εννοούμε x > y ή x = y και χρησιμοποιούμε <, για την αντίθετη διάταξη. Θα ονομάζουμε το x θετικό ή αρνητικό αν x > 0 ή x < 0, αντίστοιχα. Ορισμός Σ ένα διατεταγμένο δακτύλιο R ορίζουμε απόλυτη τιμή ως εξής: α, αν α 0 α = -α, αν α < 0, όπου α R.

6 6 Σαφώς α 0, με ισότητα αν και μόνο αν α = 0. Εύκολα αποδεικνύεται η τριγωνική ανισότητα: α + b α + b και η ιδιότητα: α. b = α. b. Ένας διατεταγμένος δακτύλιος μπορεί να περιγραφεί από τον θετικό του κώνο. Ορισμός Σε τυχαίο δακτύλιο R, κώνος είναι ένα υποσύνολο Ρ του R, που περιέχει το αλλά όχι το 0 και για τυχαία στοιχεία x, y του Ρ, τα x + y, xy ανήκουν επίσης στο Ρ. Παράδειγμα Αν R είναι ένας διατεταγμένος δακτύλιος, το σύνολο των θετικών στοιχείων Ρ = {x R / x > 0} είναι ένας κώνος του R. Επί πλέον επειδή το R είναι ολικά διατεταγμένο έχει την ιδιότητα: κάθε x R ανήκει σ ένα μόνο από τα σύνολα {0}, Ρ, -Ρ = {-x / x Ρ} (). Αντιστρόφως: Κάθε κώνος που ικανοποιεί την () ορίζει μία διάταξη στο R: θέτουμε x > y αν και μόνο αν (x y) Ρ. Παρατήρηση Παρατηρούμε ότι κάθε διατεταγμένος δακτύλιος και γενικότερα ένας οποιοσδήποτε δακτύλιος με κώνο είναι μη τετριμμένος ( 0). Πρόταση Κάθε διατεταγμένος δακτύλιος είναι ακέραια περιοχή και το τετράγωνο κάθε μη μηδενικού στοιχείου του είναι θετικό. Έστω R τυχαίος διατεταγμένος δακτύλιος, τότε 0 εξ ορισμού. Δεδομένων x, y R, με x, y 0 αν x, y > 0, τότε xy > 0 αν x, y < 0, τότε x, - y > 0, οπότε xy = (-x) (-y) > 0 αν y < 0 < x, τότε x, -y > 0, οπότε xy = x (-y) > 0, άρα xy < 0 αν x < 0 < y, τότε x, y > 0, οπότε xy = (-x)y > 0, άρα xy < 0 Σε κάθε περίπτωση, xy 0, άρα R είναι ακέραια περιοχή. Ειδικά όταν x = y, οι δύο τελευταίες περιπτώσεις δεν μπορεί να ισχύουν και επομένως x > 0.

7 7 Θεώρημα Κάθε διατεταγμένος αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι μία ακέραια περιοχή, χαρακτηριστικής μηδέν. Η διάταξη μπορεί να επεκταθεί σε μία διάταξη στο σώμα των κλασμάτων κατά ένα και μοναδικό τρόπο. Επειδή R είναι διατεταγμένος αντιμεταθετικός δακτύλιος, βάσει της πρότασης, είναι ακέραια περιοχή, έστω δε Κ το σώμα των κλασμάτων του. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος διάταξης του Κ, επέκτασης της διάταξης στο R, ο εξής: Για κάθε α, β R, β 0, β a > 0 στο Κ αν και μόνο αν αβ > 0 (). a Πρώτα απ όλα, επειδή. β = α. β και β > 0, οποιαδήποτε διάταξη στο Κ β πρέπει να ικανοποιεί την (). Απομένει να δείξουμε ότι η () ορίζει μία διάταξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι είναι καλώς ορισμένη. Πράγματι αν a a' = β β ' (β, β 0), τότε αβ = α β και πολλαπλασιάζοντας έτσι ββ, έχουμε α β β = α β β, επομένως α β > 0 α β β > 0 α β β > 0 α β > 0. a Επί πλέον η () ορίζει μία τριχοτόμηση στο Κ και αν > 0, β α β > 0 και α β > 0 τότε (α β + α β) β β = α β β + α β β a a ' > 0 άρα + > 0 β β ' a a ' (α α ) (β β ) > 0 άρα > 0 β β ' a ' β ' > 0 δηλαδή Επί πλέον επειδή, +, + +. είναι όλα > 0, τότε το R (άρα και το Κ) έχει χαρακτηριστική μηδέν ( N. > 0). Ας θεωρήσουμε τους ακέραιους Ζ. Σε οποιαδήποτε διάταξη, οι, +, + +,... πρέπει να είναι όλοι θετικοί και επειδή αυτοί οι αριθμοί και οι αρνητικοί τους μαζί με το μηδέν, καλύπτουν το Ζ, υπάρχει ένας μόνο τρόπος ολικής διάταξης του Ζ, δηλαδή η γνωστή φυσική διάταξη των ακεραίων. Από το θεώρημα, το ίδιο ισχύει στο Q και έτσι έχουμε το ακόλουθο πόρισμα.

8 8 Πόρισμα Υπάρχει μόνο ένας τρόπος να εμφανίσουμε το Q ως διατεταγμένο σώμα, δηλαδή με τη συνήθη ολική διάταξη, συμβιβαστή με τις πράξεις. Οι πραγματικοί αριθμοί R επίσης, δέχονται μία μόνο διάταξη, αλλά για διαφορετικό λόγο: κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι θετικό, κι επειδή τα τετράγωνα, τα αντίθετά τους και το μηδέν καλύπτουν το R, καμία άλλη διάταξη δεν υπάρχει, εκτός απ τη συνήθη, συμβιβαστή με τις πράξεις. Παράδειγμα σώματος με διαφορετικές διατάξεις Ένα παράδειγμα σώματος με διαφορετικές διατάξεις είναι το Q ( ). Υπάρχουν δύο τρόποι να εμβαπτίσουμε αυτό το σώμα μέσα στο R και αντίστοιχα δύο τρόποι να το διατάξουμε ος τρόπος: Η συνήθης διάταξη του συνόλου των πραγματικών αριθμών, έστω R ος τρόπος: Έστω α + b c + d α b R c - d με α, b, c, d Q. Η σχέση είναι σχέση διάταξης διότι είναι: αυτοπαθής: α + b α + b α b R α - b, που ισχύει προφανώς. αντισυμμετρική: α + b c + d και c + d α + b τότε α - b R c - d και c d R α - b. Επομένως α - b = c - d α c + (d b) = 0 α = c και b = d, αφού α, b, c, d Q και Q. μεταβατική: Έστω α, b, c, d, e, f Q με α + b c + d και c + d e + f τότε α - b R c - d και c d R e - f επομένως α - b R e - f, άρα α + b e + f. Θα δείξουμε επίσης ότι η διατηρεί την αλγεβρική δομή, δηλαδή ότι: αν 0 x, 0 y, τότε 0 x + y και 0 xy, όπου x, y Q ( ).

9 9 Έστω 0 x = α + b και 0 y = c + d με α, b, c, d Q. Τότε 0 R α - b () και 0 R c - d () Με πρόσθεση των () και () έχουμε: 0 R (α + c) (b + d) 0 (α + c) + (b + d) 0 x + y. Έστω 0 x = α + b και 0 y = c + d με α, b, c, d Q. Τότε 0 R α b () και 0 R c - d () Με πολλαπλασιασμό των (), () έχουμε: 0 R (α - b ) (c - d ) 0 R (αc + bd) - (αd + bc) 0 (αc + bd) + (αd + bc) 0 (α + b ) (c + d ) 0 xy. Η ιδέα να αντιστοιχίσουμε τον α + b στον α - b είναι ότι η απεικόνιση α + b α - b είναι το δεύτερο στοιχείο της ομάδας Gαl ( Q( )/ Q) που είναι διαφορετικό του ουδετέρου, δηλαδή της ταυτοτικής συνάρτησης. Έτσι γενικότερα, αν Q K R και η διάσταση Κ: Q είναι πεπερασμένη, τότε το σώμα Κ δέχεται Κ: Q τουλάχιστον διατάξεις, αρκεί να συνθέσουμε τα στοιχεία της ομάδας Gαl (K/ Q) με την R. Ορισμός Δύο διατεταγμένοι δακτύλιοι R και R λέγονται order ισόμορφοι εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός δακτυλίων x x από το R στο R, ο οποίος διατηρεί τη διάταξη, δηλαδή x > 0 x > 0. Προφανώς, αρκεί να απαιτήσουμε x > 0 x > 0. Για παράδειγμα, το πρώτο υπόσωμα ενός διατεταγμένου σώματος Κ είναι order ισόμορφο με το Q. Επίσης μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μία order εμβάπτιση του Q στο Κ.

10 0. Φυσικοί αριθμοί Δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα σύνολο Ν με τις εξής ιδιότητες: i) Είναι διατεταγμένο. ii) Κάθε υποσύνολο του Ν μη κενό έχει ελάχιστο στοιχείο. (Ένα διατεταγμένο σύνολο του οποίου κάθε υποσύνολο έχει ελάχιστο στοιχείο, λέγεται καλώς διατεταγμένο και η αντίστοιχη διάταξη καλή διάταξη. Άρα το Ν είναι καλώς διατεταγμένο). iii) Το Ν δεν έχει μέγιστο στοιχείο. iv) Κάθε φραγμένο υποσύνολο του Ν έχει μέγιστο στοιχείο. Ορισμός Ένα σύνολο με τις παραπάνω ιδιότητες i) iv) λέγεται σύνολο φυσικών αριθμών. Πρόταση Το Ν είναι ολικά διατεταγμένο. Έστω m, δύο τυχαία στοιχεία του Ν. Τότε το σύνολο {m, } είναι ένα μη κενό υποσύνολο του Ν. Σύμφωνα με το αξίωμα ii) έχει ελάχιστο στοιχείο. Αν το ελάχιστο στοιχείο του {m, } είναι το m, τότε m. Σε αντίθετη περίπτωση, m. Άρα κάθε δύο στοιχεία του Ν είναι συγκρίσιμα, δηλαδή η διάταξη είναι ολική. Παρατήρηση Το Ν δέχεται, αφού Ν Ν, ελάχιστο στοιχείο (αξίωμα ii). Το συμβολίζουμε με. Έστω Ν, Α() = {m N/ m > }. Αφού το Ν δεν έχει μέγιστο στοιχείο, έπεται ότι Α(). Συνεπώς από το ii) έχει ελάχιστο στοιχείο. Το συμβολίζουμε με * και το ονομάζουμε επόμενο του. Η συνάρτηση ƒ: Ν Ν με f () = * είναι αμφιμονοσήμαντη και γνησίως αύξουσα. Το καλείται προηγούμενο του *. Θεώρημα Έστω Α Ν, τέτοιο ώστε Α και ƒ(α) Α. Τότε Α = Ν.

11 Έστω Α Ν. Το συμπλήρωμα Α του Α είναι διάφορο του, συνεπώς έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω m. Επειδή Α, έπεται ότι m >. Επομένως υπάρχει N, ώστε * = m. Τότε Α, * = ƒ () A, δηλαδή * = m A, πράγμα άτοπο, αφού m A. Το θεώρημα αυτό χρησιμοποιείται για την απόδειξη προτάσεων των οποίων η αλήθεια εξαρτάται από ένα φυσικό. Η αποδεικτική αυτή μέθοδος λέγεται μέθοδος της επαγωγής και εφαρμόζεται ως εξής: Έστω Π() μία πρόταση της οποίας η αλήθεια εξαρτάται από το φυσικό. Αν ο Π() είναι αληθής ο Π() αληθής συνεπάγεται ότι Π(*) αληθής, τότε η πρόταση είναι αληθής για κάθε φυσικό, διότι το σύνολο Α = { N/ Π() αληθής} πληροί τις υποθέσεις του προηγούμενου θεωρήματος και συνεπώς Α = Ν. Η επαγωγή δεν χρησιμοποιείται μόνο ως αποδεικτική μέθοδος, αλλά και για ορισμό συναρτήσεων και εννοιών. Ορισμός Ορίζουμε τον εσωτερικό νόμο της πρόσθεσης + επί του Ν θέτοντας + = *, + m* = ( + m)*. Η πρόθεση + είναι ορισμένη επί του Ν x Ν. Πραγματικά, είναι ορισμένη σ ένα υποσύνολο Ν x Α όπου Α Ν. Προφανώς Α και αν m Α m* A, συνεπώς Α = Ν. Ορισμός Ορίζουμε τον εσωτερικό νόμο του πολλαπλασιασμού, επί του Ν θέτοντας. =,. m* =. m +. Στην συνέχεια μπορούμε να αποδείξουμε όλες τις γνωστές ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διάταξης στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

12 3. Ο δακτύλιος Ζ,των Ακεραίων Αριθμών Αν α, β είναι δύο φυσικοί αριθμοί, δεν υπάρχει πάντοτε φυσικός x τέτοιος, ώστε α + x = β. Η εξίσωση αυτή έχει λύση στο σύνολο Ν μόνο, όταν α < β. Η λύση αυτή είναι μοναδική και γράφεται x = β α. Αν το x είναι λύση και της εξίσωσης α + x = β, θα έχουμε β α = β - α ή α + β = β + α. Η λύση όμως x ορίζεται μονοσήμαντα από το ζεύγος (α, β). Συνεπώς (α, β) = (α, β ) τότε και μόνο, όταν α + β = β + α. Αυτές οι παρατηρήσεις μας οδηγούν στην εξής κατασκευή του συνόλου Ζ των ακέραιων αριθμών από το σύνολο των φυσικών αριθμών: α + β = β + α. Στο σύνολο Ν x Ν ορίζουμε μία σχέση ισοδυναμίας ως εξής: (α, β) (α, β ) Το σύνολο πηλίκο Ζ = Ν x Ν/ λέγεται σύνολο ακεραίων αριθμών. Ο ορισμός των ακεραίων αριθμών και η ταύτιση του συνόλου των φυσικών αριθμών μ ένα υποσύνολο του Ζ πραγματοποιούνται ως εξής: Έστω ( a, β ) η κλάση του (α, β) Ν x Ν ως προς τη σχέση ισοδυναμίας και δύο ακέραιοι x = ( a, β ), x = ( α, β ). Ορίζουμε x + x = ( α + α, β + β ) x. x = ( α. α + β. β, α. β + β. α ) Αποδεικνύουμε ότι το άθροισμα x + x και το γινόμενο x. x είναι ανεξάρτητα από την επιλογή των αντιπροσώπων των x, x. Έστω π. χ x = ( α, β ), x = ( α, β ). Τότε: α + β = β + α, α + β = β + α ή (α + β ) + (α + β ) = (β + α ) + (β + α ) ή (α + α ) + (β + β ) = (β + β ) + (α + α ), δηλαδή ( α+α, β +β ) = ( α +α, β +β ). Ανάλογα αποδεικνύεται και η ανεξαρτησία του γινομένου x. x από την επιλογή των αντιπροσώπων των κλάσεων x, x. Πρόταση Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες των πράξεων των ακεραίων αριθμών. i) x + y = y + x, x. y = y. x ii) x + (y + z) = (x + y) + z, x. (y. z) = (x. y). z iii) ουδέτερο της πρόσθεσης είναι το 0 = (, ) και του πολλαπλασιασμού το % = ( +, )

13 3 iv) Η εξίσωση x + z = y με x, y Z έχει πάντοτε μοναδική λύση z Z v) x. (y + z) = x. y + x. z Επειδή οι αποδείξεις δεν παρουσιάζουν δυσκολία, αποδεικνύουμε ενδεικτικά ότι %. x = x Πράγματι %. x = ( +, ). ( α, β ) = ( ( + ) α+ β, ( + ) β+ α) = = (α+α+ β, β+β+ α ) = ( a, β ) = x διότι (α + α + β) + β = (β + β + α) + α. Ταυτίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν με το υποσύνολο Ζ + του Ζ, που αποτελείται από τα στοιχεία ( +,), Ν. Η συνάρτηση ƒ: ( +,) είναι αμφιμονοσήμαντη, διότι ( +,) = (m +,) ( + ) + = + (m + ) = m και επί πλέον, πράγμα πολύ σημαντικό, ƒ( + m) = ƒ() + ƒ(m) ƒ(. m) = ƒ(). ƒ(m) δηλαδή η ƒ διατηρεί τις πράξεις. Για το λόγο αυτό ταυτίζουμε το φυσικό με τον ακέραιο ( +,). Έτσι = (,) =( +,), = (3,),., = ( +,). Στο παρακάτω σχήμα παριστάνουμε τις κλάσεις (, ), (,), (3,), (, ). Κάθε κλάση είναι ένα σύνολο σημείων του Ν x N που βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη της διχοτόμου της γωνίας xoy.

14 4 Οι ακέραιοι ( α, β ), ( βα, ) είναι αντίθετοι διότι ( α, β ) + ( β, α ) = ( α+β, β+α ) = 0. Ένας οποιοσδήποτε ακέραιος έχει μία απ τις τρεις μορφές (, ) = 0, (m +, ) = = m, (, m + ) = - m με m N. Συνεπώς Ζ = {, -3, -, -, 0,,, 3 } Τα πρόσημα α (-β) = (-α) β = -α. β, (-α) (-β) = α. β προκύπτουν εύκολα. Διάταξη στο Ζ Με τη βοήθεια της διάταξης στο Ν, ορίζουμε μία σχέση διάταξης επί του Ζ, θέτοντας ( αβ, ) ( α, β ) α + β β + α. Προφανώς η σχέση είναι καλά ορισμένη και έχει όλες τις ιδιότητες της διάταξης. 4. Κατασκευή του σώματος πηλίκον Έστω D μία ακέραια περιοχή, την οποία θέλουμε να επεκτείνουμε σ ένα σώμα πηλίκον F. Για να γίνει αυτό πρέπει: ) Να ορίσουμε ποιά θα είναι τα στοιχεία του σώματος πηλίκον F. ) Να ορίσουμε τις διμελείς πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. 3) Να ελέγξουμε τα αξιώματα του σώματος. 4) Να δείξουμε ότι η D είναι ακέραια υποπεριοχή του F.. Έστω D δοθείσα ακέραια περιοχή. Σχηματίζουμε το καρτεσιανό γινόμενο D x D = {(α, b) / α, b D}. Θα θεωρούμε ότι ένα διατεταγμένο ζεύγος παριστάνει το πηλίκο a. b π. χ. Αν D = Z το ζεύγος (, 3) παριστάνει τον αριθμό 3. Αν (, 0), τότε το Q. Γι αυτό πρέπει να περιορίσουμε λίγο το D x D. 0 Έστω S ένα υποσύνολο του D x D, με S = {(α, b)/ α, b D, b 0}. Όμως ούτε και το S είναι το ζητούμενο σώμα, αφού το ζεύγος (, 3) είναι το κλάσμα 3 και το ζεύγος (4, 6) παριστάνει το κλάσμα 6 4, το οποίο είναι ίσο με το (, 3). Γι αυτό θα ορίσουμε τα ισοδύναμα ζεύγη.

15 5 Ορισμός Δύο στοιχεία (α, b) και (c, d) του S λέγονται ισοδύναμα ζεύγη και συμβολίζονται (α, b) (c, d), αν και μόνο αν αd = bc. Πρόταση Η σχέση ανάμεσα στα στοιχεία του S, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι σχέση ισοδυναμίας. Πράγματι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα: (α, b) (α, b), αφού αb = bα, διότι ο πολλαπλασιασμός στη D είναι αντιμεταθετικός. Συμμετρική ιδιότητα: αν (α, b) (c, d) τότε (c, d) (α, b). Πράγματι, (α, b) (c, d) b a = d c αd = bc cb = dα (λόγω της αντιμεταθιστικότητας του πολλαπλασιασμού στη D) (c, d) (α, b). Μεταβατική ιδιότητα: Αν (α, b) (c, d) και (c, d) (r, s), τότε (α, b) (r, s) Έχουμε (α, b) (c, d) b a = d c αd = bc και (c, d) (r, s) c r = cs = dr. d s Όμως α s d = s a d = s b c = b c s = b d r = b r d και d 0, αφού D ακέραια περιοχή και ισχύει ο νόμος της διαγραφής, έχουμε αs = br, άρα, (α, b) (r, s). H σχέση ισοδυναμίας επί του S ορίζει μία διαμέριση του S σε κλάσεις ισοδυναμίας. Το F είναι το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας [(α, b)], με (α, b) S.. Ορισμοί των διμελών πράξεων +,. Πρόταση Αν [(α, b)] και [(c, d)] είναι στοιχεία του F, οι ισότητες [(α, b)] + [(c, d)] = [(αd + bc, bd)] [(α, b)]. [(c, d)] = [(αc, bd)] δίνουν καλώς ορισμένες πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στο F.

16 6 Αν [(α, b)] και [(c, d)] F, τότε τα στοιχεία (α, b) και (c, d) S. Συνεπώς b 0 και d 0. Όμως, η D είναι ακέραια περιοχή, συνεπώς bd 0. Άρα τα δεξιά μέλη των ισοτήτων ανήκουν στο F. Απομένει να δείξουμε ότι αυτές οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι καλώς ορισμένες. Πρέπει να αποδείξουμε ότι, αν επιλεγούν δύο διαφορετικοί αντιπρόσωποι στο S, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο στοιχείο του F. Έστω (α, b ) [(α, b)] και (c, d ) [(c, d)] α a (α, b ) (α, b) = α b = b α () b b c (c, d ) (c, d) d = c c d = d c () d Πολλαπλασιάζοντας την () με d d και την () με b b έχουμε: Τότε: α bd d + c db b = b αd d + d cb b (α d + b c ) bd = b d (αd + bc) Άρα (α d + b c, b d ) (αd + bc, bd) Δηλαδή: (α d + b c, b d ) [(αd + bc, bd)] Άρα η πρόσθεση είναι καλώς ορισμένη στο F. Για τον πολλαπλασιασμό, πολλαπλασιάζοντας τις () και () έχουμε: α bc d = b αd c α c bd = b d αc. Άρα (α c, b d ) (αc, bd) και συνεπώς (α c, b d ) [(αc, bd)]. 3. Έλεγχος των αξιωμάτων του σώματος: Η πρόσθεση στον F είναι αντιμεταθετική. [(α, b)] + [(c, d)] = [(αd + bc, bd)] [(c, d)] + [(α, b)] = [(cb + dα, db)] Πρέπει να δείξουμε ότι: (αd + bc, bd) (cb + dα, db). Αυτό είναι προφανές, αφού αd + bc = cb + dα και bd = db, απ τα αξιώματα της D. Η πρόσθεση είναι προσεταιριστική. [(α, b)] + ([(c, d)] + [(r, s)]) = [(α, b)] + [(cs + dr, ds)] = [(ads + bcs, bds)] ()

17 7 ([(α, b)] + [(c, d)]) + [(r, s)] = [(αd + bc, bd)] + [(r, s)] = [(αds + bcr, bds)] () Απ τις () και () έχουμε: [(α, b)] + ([(c, d)] + [(r, s)]) = ([(α, b)] + [(c, d)]) + [(r, s)] Το [(0, )] είναι το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση στο F. Πράγματι, [(α, b)] + [(0, )] = [(α. + b. 0, b. )] = [(α, b)]. To [(-α, b)] είναι το αντίθετο του [(α, b)] στο F. Ο πολλαπλασιασμός στο F είναι προσεταιριστικός, αντιμεταθετικός και ισχύουν οι επιμεριστικοί νόμοι. (όλα προκύπτουν άμεσα απ τα αξιώματα της D). Το [(, )] είναι το ουδέτερο στον πολλαπλασιασμό στο F. [(α, b)]. [(, )] = [(α., b. )] = [(α, b)] και το Αν το [(α, b)] F δεν είναι το ταυτοτικό στοιχείο της πρόσθεσης, τότε α 0 στο D [(b, α)] είναι το πολ/ κό αντίστροφο του [(α, b)]. Έστω [(α, b)] F Αν α = 0 τότε α. = b. 0 = 0 (α, b) (0, ). Δηλαδή [(α, b)] = [(0, )]. Το [(0, )] είναι το ουδέτερο της πρόσθεσης στο F. Άρα, αν το [(α, b)] δεν είναι το ουδέτερο της πρόσθεσης στο F, έχουμε α 0 και συνεπώς μπορούμε να μιλάμε για το [(b, α)] στο F. [(α, b)]. [(b, α)] = [(αb, bα)]. Όμως στο D: αb = bα (αb). = (bα). [(α, b)]. [(b, α)] = [(, )] Άρα το [(b, α)] είναι το πολ/ κό αντίστροφο του [(α, b)].

18 8 5. Το σώμα Q των ρητών αριθμών Από τον δακτύλιο των ακεραίων (Ζ, +,.) θα κατασκευάσουμε ένα σώμα (Q, +,.), το οποίο θα περιέχει ένα δακτύλιο ισόμορφο του δακτυλίου των ακεραίων και επί πλέον θα είναι το ελάχιστο, ως προς τη σχέση, σώμα με την ιδιότητα αυτή. Η κατασκευή ενός τέτοιου σώματος είναι πάντοτε δυνατή, εάν αντί του δακτυλίου των ακεραίων θεωρήσουμε γενικότερα ένα μοναδιαίο αντιμεταθετικό δακτύλιο (Δ, +,.) χωρίς διαιρέτες του μηδενός. Επειδή δεν υπάρχει καμία διαφορά στις αντίστοιχες κατασκευές, περιοριζόμαστε στον δακτύλιο των ακεραίων. Εάν α, β Ζ, θα γράφουμε αβ, αντί του α. β. Θέτουμε Ζ* = Ζ \ {0}, Ε = Ζ x Ζ* και θεωρούμε μία σχέση επί του Ε, η οποία ορίζεται ως εξής: (α, β) (α, β ) αβ = α β. Είναι εύκολο να αποδείξουμε, ότι η σχέση αυτή είναι μία σχέση ισοδυναμίας επί του Ε. Η κλάση του (α, β), ως προς τη σχέση αυτή, a παρίσταται με και καλείται κλάσμα με αριθμητή το α και παρονομαστή το β. β Προφανώς a a γ =, διότι α (βγ) = β(αγ) Το σύνολο Q = Ζ x Ζ*/ είναι σώμα ως προς β βγ τους εσωτερικούς νόμους +,. : a + β διότι, αν a β = aβ +α ββ β, a. β a β = aα. ββ Οι ορισμοί των νόμων +,. είναι ανεξάρτητοι της επιλογής των αντιπροσώπων, a x = και β y a β = x έχουμε αy = βx, α y = β x και συνεπώς: y aβ +α β ββ = ( αβ + α β ) yy ββ yy = ( α y)( β y ) + ( α y )( βy) ββ yy = β xβ y + β x βy ββ yy = = ( xy + x y)ββ yy ββ = xy + x y yy x x = + και ομοίως y y a. β a β = x x.. y y και 0 a 0 a + 0β a Τα ουδέτερα των νόμων +,. είναι αντίστοιχα,, διότι + = = β β β a a a. = =. β β β a a a Το συμμετρικό του, ως προς την +, είναι διότι + β β β βa = β 0 = 0 και ως προς τον

19 9., εάν a 0 β a β αβ ( α 0) είναι το, διότι. = =. β α β α βα a a Συνεπώς, - = β β και ( β a ) - = α β. Τέλος η αντιμεταθετικότητα και η προσεταιριστικότητα, όπως επίσης και η επιμεριστικότητα του νόμου + ως προς τον., επαληθεύονται εύκολα. Διάταξη επί του Q Έστω β a Q. Εάν β < 0, είναι β > 0 και α β = a. Συνεπώς, για κάθε β z Q, υπάρχουν x Z και y Ν, έτσι ώστε z = y x. αριθμός, δηλαδή > 0. Στο εξής υποθέτουμε ότι ο παρονομαστής κάθε στοιχείου β a του Q είναι φυσικός Ορίζουμε μία σχέση επί του Q ως εξής: β a a β αβ α β. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η σχέση είναι μία σχέση ολικής διατάξεως επί του Q και έχει τις παρακάτω ιδιότητες: x y x + z y + z x y, 0 z x. z y. z x y, 0 z x. z y. z, για κάθε x, y, z Q. Παρατήρηση Η συνάρτηση ƒ : Ζ Q με τιμή ƒ (α) = a είναι ισομορφισμός, διότι ƒ (α + β) = a + β = a β aβ a β a β +, ƒ (αβ) = =. και = α = β Επί πλέον, α β a β. Για το λόγο αυτό ταυτίζουμε τον ακέραιο α με την εικόνα του ƒ (α), γράφουμε δηλαδή a = α. Τότε β β = = ) - ( β και β a = a. β = αβ -.

20 0 6. Το σώμα των πραγματικών αριθμών Υπάρχουν δύο διακεκριμένοι τρόποι να κατασκευάσουμε τους πραγματικούς αριθμούς: (α) η μέθοδος του Dedekid της συμπλήρωσης με τομές και (b) η μέθοδος του Cator με ακολουθίες. Από αυτές η (α) είναι λογικά η απλούστερη, ενώ η (b) αντιστοιχεί περισσότερο στον πρακτικό τρόπο προσέγγισης των πραγματικών αριθμών. Για μας η (b) έχει το πλεονέκτημα να διευκολύνει τον ορισμό των αλγεβρικών πράξεων. Για το λόγο αυτό θα επικεντρωθούμε στο (b). Μελετώντας διατιμήσεις, χρησιμοποιούμε την ίδια κατασκευή για να ορίσουμε p - αδικούς αριθμούς. Έστω Κ ένα διατεταγμένο σώμα. Με τον όρο μηδενική ακολουθία ορίζουμε μία ακολουθία {α }, α Κ, τέτοια ώστε για κάθε ε > 0, υπάρχει ο N, τέτοιος ώστε α < ε, για κάθε > ο. Στην ανάλυση λέμε α συγκλίνει στο 0, όταν τείνει στο. Μία ακολουθία {α } συγκλίνει στο α Κ, όταν α α 0 και ονομάζουμε το α, όριο της ακολουθίας. Η παρακάτω ιδιότητα είναι μία απαραίτητη προϋπόθεση για τη σύγκλιση μίας ακολουθίας (η οποία δεν αναφέρει το όριο). Η συνθήκη του Cauchy: αν μία ακολουθία {α } συγκλίνει στο α, τότε η διπλή ακολουθία {C m }, όπου C m = α m α, συγκλίνει στο μηδέν. Λεπτομερώς αυτό σημαίνει: δοθέντος ε > 0, υπάρχει o N, τέτοιο ώστε α m α < ε, για κάθε m, > o. Θα ονομάζουμε την {α } ακολουθία Cauchy, αν α m α 0. Άρα, εκ του ορισμού, κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. To αντίστροφο δεν ισχύει π. χ. οι ρητοί αριθμοί:,.4,.4,.44 που έχουν βρεθεί με διαδοχικές προσεγγίσεις του σχηματίζουν μία ακολουθία Cauchy, αλλά η ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει στο Q. Στην περίπτωση που το αντίθετο συμβαίνει, έχουμε μία σημαντική ιδιότητα των διατεταγμένων σωμάτων. Ορισμός Ένα διατεταγμένο σώμα λέγεται πλήρες, αν κάθε ακολουθία Cauchy είναι συγκλίνουσα.

21 Πρόταση β = Αν {α } μη μηδενική ακολουθία Cauchy του Κ, τότε η ακολουθία {β } με για o α για > o είναι επίσης ακολουθία Cauchy του Κ. Επειδή η {α } είναι ακολουθία Cauchy του Κ, αλλά όχι μηδενική, τότε εξ ορισμού υπάρχει ρ Κ, ρ > 0, τέτοιο ώστε σε κάθε αντιστοιχεί >, για το οποίο α > ρ. Επειδή η {α } είναι Cauchy, υπάρχει o, έτσι ώστε α - α <, > o. Επιλέγουμε > o και παίρνουμε >, οπότε α = α - α + α α - α - α > ρ - ρ = ρ, δηλαδή α > ρ ρ α για κάθε > o. Άρα για την {β } έχουμε ότι για κάθε m, > o ισχύει: β β m = α α = αm α m αα = αm α m αm α < ε4 ρ, άρα η{β } είναι Cauchy στο Κ. < για ρ Θεώρημα Έστω Κ ένα διατεταγμένο σώμα. Τότε υπάρχει ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα Κ % και μία order εμβάπτιση λ: Κ Κ %, τέτοια ώστε, σε κάθε order εμβάπτιση ƒ: Κ L σ ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα L αντιστοιχεί, μοναδική order εμβάπτιση ƒ : Κ % L, τέτοια ώστε ƒ = λƒ. Έστω R το σύνολο των ακολουθιών Cauchy στο Κ, το R είναι ένα υποσύνολο του Κ Ν του συνόλου όλων των ακολουθιών στο Κ. Το Κ Ν είναι ένας δακτύλιος και το R είναι υποδακτύλιος. Το σύνολο των μηδενικών ακολουθιών είναι ένα ιδεώδες στο R. Θα δείξουμε ότι αν {α } και {b }, τότε {α b }. Επειδή {α } είναι ακολουθία Cauchy, υπάρχει o, έτσι ώστε αm α < για κάθε m, > o, άρα α m < α + για > o. o

22 Επομένως α m Μ, όπου Μ = max { α α o, α + }. o Έτσι κάθε ακολουθία Cauchy είναι φραγμένη. Επειδή b 0 για κάθε ε > 0 είναι b < ε Μ για >, επομένως α b < ε για >, άρα α b 0. Αποδείξαμε ότι {α b }. Ισχυριζόμαστε ότι είναι maximal ιδεώδες στο R. Για R, η ακολουθία,, δεν είναι μηδενική, και αν {α } είναι οποιαδήποτε ακολουθία Cauchy, αλλά όχι μηδενική τότε η ακολουθία b = για o α - για > o βάσει της προηγούμενης πρότασης είναι ακολουθία Cauchy. Τότε η {α b } συγκλίνει στο ({α } {b } (mod )). Αυτό δείχνει ότι είναι maximal και R/ είναι σώμα. Συμβολίζουμε αυτό το σώμα Κ % και λ τον φυσικό ομομορφισμό Κ R R/ που έχει επιτευχθεί, απεικονίζοντας το α Κ στο σώμα των υπολοίπων της σταθερής ακολουθίας α, α, Όπως κάθε ομομορφισμός σωμάτων, αυτή είναι μία εμβάπτιση και θα ταυτίσουμε το Κ με την εικόνα του στο Κ %. Επεκτείνουμε την διάταξη στο Κ % ως εξής: Δοθέντος γ Κ %, που αντιπροσωπεύεται από μία ακολουθία Cauchy {α }, ή αυτή είναι μία μηδενική ακολουθία, ή υπάρχουν ε > 0 και o, τέτοια ώστε α > ε για > o ή υπάρχει, έτσι ώστε α < -ε για >. Επί πλέον, όλες οι ακολουθίες Cauchy που αντιπροσωπεύουν το γ έχουν την ίδια ιδιότητα και αναλόγως θέτουμε: γ = 0, γ > 0, γ < 0. (Στην πρόταση που ακολουθεί το θεώρημα αποδεικνύουμε ότι ανάμεσα σε δύο στοιχεία του Κ % υπάρχει ένα στοιχείο του Κ, δηλαδή το Κ είναι πυκνό στο Κ % ). Δοθείσης μίας ακολουθίας Cauchy {γ } στο Κ %, ή το γ είναι σταθερό από κάποιο και πάνω, οπότε είναι όριο ακολουθίας Cauchy στο Κ, συνεπώς, συγκλίνει ή περιέχει άπειρους διακεκριμένους όρους. Σ αυτή την τελευταία περίπτωση, παραλείποντας τις επαναλήψεις μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλα τα γ είναι διακεκριμένα. Επιλέγουμε για κάθε, α Κ να βρίσκεται ανάμεσα στα γ και γ + (λόγω του ότι το Κ είναι πυκνό στο Κ % ), τότε η {α } είναι ακολουθία Cauchy στο Κ, η οποία έχει όριο γ στο K %, προφανώς lim γ = lim α = γ και αυτό αποδεικνύει ότι το K % είναι πλήρες.

23 3 Έστω ƒ: Κ L είναι μία order εμβάπτιση σ ένα πλήρες σώμα L. Κάθε στοιχείο γ του Κ % είναι όριο ακολουθίας Cauchy {α } του Κ. Είναι εύκολο να αποδειχτεί ότι η ƒ(α ) είναι ακολουθία Cauchy του L, επομένως έχει όριο, έστω b. Κάθε άλλη ακολουθία Cauchy, η οποία συγκλίνει στο γ, διαφέρει από την α κατά μηδενική ακολουθία άρα η εικόνα της τείνει στο b, έτσι το b εξαρτάται μόνο απ το γ και μπορούμε να θέσουμε ƒ (γ) = b. Χωρίς δυσκολία επαληθεύεται ότι ƒ είναι μία order εμβάπτιση τέτοια ώστε ƒ = λƒ και είναι η μοναδική που ικανοποιεί αυτή την ισότητα. Το σώμα Κ %, του οποίου η ύπαρξη αποδείχτηκε στο θεώρημα, ονομάζεται πλήρωση του Κ. Εάν, για παράδειγμα, πάρουμε Κ = Q, τότε Κ % = R. Πρόταση (Συμπλήρωση στο Θεώρημα ) Το διατεταγμένο σώμα Κ είναι πυκνό στο Κ %, όπου Κ % είναι το πλήρες σώμα στο οποίο εμφυτεύουμε το Κ. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις. α > 0 και β > 0 με α < β Έστω {α }, {β } εκπρόσωποι των κλάσεων α και β αντίστοιχα Τότε N και ε > 0 τ.ω α > ε, > και N και ε > 0 τ.ω β > ε, >. Επειδή κάθε ακολουθία Cauchy είναι φραγμένη, θα ισχύει α < Μ, β < Μ. Ισχυριζόμαστε ότι υπάρχει Ν Ν τέτοιο ώστε η διάταξη των ε, Μ, ε, Μ να είναι ε < Μ < ε < Μ, δηλαδή το Μ να είναι άνω φράγμα της {α }, για > N και αντίστοιχα το Μ να είναι άνω φράγμα της {β }, για > N. (Προκύπτει άμεσα διότι {α }, {β } είναι ακολουθίες Cauchy). ε +Μ Θέτουμε γ =, για κάθε ({γ } σταθερή ακολουθία). Για > N = max {,, N } έχουμε ε γ α = +Μ ε - α > +Μ ε - Μ > Μ > 0 και ε +Μ ε β γ = β - > ε - {γ } Κ είναι ενδιάμεσο των α, β Κ %. Μ ε - = Μ > 0, άρα το

24 4 Έστω α < 0,,β < 0, α < β ε > 0 και N τέτοιο ώστε α < - ε, > και ε > 0 και N τέτοιο ώστε β < - ε, > ε ε Με συλλογισμό όμοιο με της προηγούμενης περίπτωσης έχουμε β > > max {,, N }. ε ε Θέτουμε γ = για κάθε N ({γ } σταθερή ακολουθία) Για > max {,, N } είναι: ε γ α = ε β γ = β + +ε ε ε - α > ε ε ε + ε = ε > ε ε + +ε = 0. > 0 και Επομένως υπάρχει στοιχείο του Κ ανάμεσα σε δύο διαφορετικά στοιχεία του Κ %. Έστω α < 0, β > 0, α < β ε > 0 και N τ.ω α < - ε, > και ε > 0 και N τ.ω β > ε, > Θέτουμε γ = 0 για κάθε Ν (δηλ. {γ } σταθερά μηδενική ακολουθία) Άρα για > Ν = max {, } έχουμε β γ = β 0 = β > ε > 0 και γ α = -α > ε > 0 Πάλι έχουμε το ζητούμενο. Έστω α = 0, β > 0. ε Επομένως α < > και β > ε > 4 Θέτουμε γ = ε για κάθε N, επομένως για > N = max {, } είναι β γ = β - ε > ε - ε = ε > 0 και γ α = ε - α > ε - 4 ε = 4 ε > 0 Επομένως έχουμε το ζητούμενο.

25 5 Έστω α < 0, β = 0. Άρα α < - ε > και β > ε >. Επομένως για > N = max {, } και γ = ε για κάθε Ν έχουμε γ α = ε - α > ε ε + ε = > 0 και β γ > ε ε + = 0. Συνεπώς υπάρχει στοιχείο του Κ ανάμεσα σε δύο διαφορετικά στοιχεία του Κ % Συνοψίζοντας όλες τις περιπτώσεις, έχουμε ότι το Κ είναι πυκνό στο Κ %. Πρόταση (Συμπλήρωση στο Θεώρημα ) Έστω {α } ακολουθία Cauchy στο σώμα Κ και ƒ: order ισομορφισμός από το σώμα Κ στο σώμα L. Τότε η {ƒ(α )} είναι Cauchy στο L. Επειδή {α } Cauchy στο Κ, εξ ορισμού ε > 0 o N m, > o α α < ε - ε < α α m < ε ƒ(-ε) < ƒ(α α m ) < ƒ(ε) - ƒ(ε) < ƒ(α ) - ƒ(α m ) < ƒ(ε) m ƒ(α ) - ƒ(α m ) < ƒ(ε) και ƒ(ε) > 0. Άρα {ƒ(α )} είναι Cauchy στο L. Οι πραγματικοί αριθμοί, ως διατεταγμένο σώμα, έχουν σημαντικές ιδιότητες, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να τους χαρακτηρίσουν. Παραθέτουμε δύο από αυτές. Ορισμός Ένα διατεταγμένο σώμα Κ λέγεται Αρχιμήδειο εάν έχει την ακόλουθη ιδιότητα: δοθέντων α, b K, α > 0, υπάρχει Ν, τέτοιο ώστε α > b. Πρόταση κ Ν: κ m > m. Το Q είναι Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα. Θεωρούμε δύο ρητούς m, m με m > 0. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει

26 6 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν m m Επειδή m > 0 Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις έχουμε m > m άρα κ = και η πρόταση αποδείχτηκε. Αν 0 < m < m. m 0 < m..m <. Όμως m m..m < m. m m < m. m < m = K m όπου Κ = m..m Q. Θέτω κ = [κ] + και έχω κ m > m, Οπότε έχουμε το ζητούμενο. κ Ν Πρόταση Το R είναι Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα. Έστω α, β R με α > 0. Θα δείξουμε ότι υπάρχει N: α > β () Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν α β προσθέτοντας τις δύο σχέσεις έχουμε και α > 0 α > β οπότε η () αποδείχτηκε (αφού = ) Αν 0 < α < β τότε 0 < α β. Επειδή το Q είναι πυκνό στο R, υπάρχει ρητός m, τέτοιος ώστε 0 < m < α β (m Ν, Ν), τότε όμως 0 < < m < α β και από την < α β έχουμε α > β. Επομένως το R είναι Αρχιμήδειο.

27 7 Θεώρημα Κάθε διατεταγμένο υπόσωμα του R είναι Αρχιμήδειο και αντίστροφα, κάθε αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα είναι order ισόμορφο μ ένα υπόσωμα του R. Επειδή το Q είναι πυκνό στο R, είναι πυκνό σε κάθε υπόσωμα του R και επομένως ένα τέτοιο υπόσωμα είναι Αρχιμήδειο. Αντίστροφα: Θεωρούμε Κ Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα. Θα αποδείξουμε ότι το Q είναι πυκνό στο Κ. Έστω α, β Κ με α < β, τότε β α > 0 και > 0. Εφαρμόζοντας την β α αρχιμήδεια ιδιότητα έχουμε ότι υπάρχει Ν: > (). Εφαρμόζοντας την αρχιμήδεια β α ιδιότητα ξανά βρίσκουμε ότι υπάρχει m Ν: m + β (). Επιλέγουμε το ελάχιστο m για το οποίο ισχύει η (), επομένως: m+ m m + m β > (3) (αφού το m δεν πληροί την (): < β < β). Έτσι έχουμε: Από την (): β α > α < β - Από την (): β - m άρα α < m < β Από την (3): m < β Επομένως το Q είναι πυκνό στο Κ. Επίσης έχουμε ότι για κάθε α Κ και για κάθε Ν υπάρχει m = m() Z έτσι ώστε m < α < m + m(). Τα κλάσματα ( =, ) σχηματίζουν μία ακολουθία που συγκλίνει στο α Κ, άρα σχηματίζουν μία ακολουθία Cauchy. Έστω α το όριο αυτής της ακολουθίας στο R, τότε η απεικόνιση α α είναι μία καλώς ορισμένη απεικόνιση του Κ στο R και μία order εμβάπτιση του Κ στο R, οπότε μέσω αυτής το Κ είναι order ισόμορφο μ ένα υπόσωμα R του R.

28 8 Πόρισμα Κάθε πλήρες αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα είναι ισόμορφο με το R. Μία δεύτερη σημαντική χαρακτηριστική ιδιότητα των πραγματικών αριθμών είναι η ιδιότητα του άνω φράγματος. Σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο S το supremum κάθε υποσυνόλου X, εάν υπάρχει, είναι μοναδικό. Μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο X, για παράδειγμα τα {0, -, -, } και {-,, } έχουν και τα δύο sup το 0, το οποίο 3 ανήκει στο πρώτο σύνολο, αλλά όχι στο δεύτερο. Ένα σύνολο λέγεται φραγμένο άνω αν έχει άνω φράγμα. Όσον αφορά τα άνω φράγματα μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τους πραγματικούς απ την ιδιότητα του φράγματος: κάθε μη κενό υποσύνολο, το οποίο είναι άνω φραγμένο, έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (sup). Πρόταση Κάθε διατεταγμένο σώμα που έχει την ιδιότητα του άνω φράγματος είναι αρχιμήδειο. Έστω α, β Κ, α > 0. Υποθέτουμε ότι για κάθε Ν: α β, τότε το σύνολο Α = {α, α, 3α } είναι άνω φραγμένο σύνολο (από το β) και επομένως έχει sup έστω γ, απ την ιδιότητα του άνω φράγματος. Επειδή α > 0 - α < 0 γ α < γ, οπότε υπάρχει Ν ώστε α > γ α α + α > γ ( + )α > γ, άτοπο διότι γ = sup Α. Θεώρημα 3 Το σώμα των πραγματικών αριθμών R έχει την ιδιότητα του άνω φράγματος και κάθε διατεταγμένο σώμα με την ιδιότητα του άνω φράγματος είναι order ισόμορφο με το R. Έστω Χ οποιοδήποτε υποσύνολο πραγματικών αριθμών, φραγμένο άνω. Αν το Χ έχει μέγιστο στοιχείο γ, τότε γ = sup Χ. Αν το Χ δεν έχει μέγιστο τότε θεωρούμε Υ το σύνολο των άνω φραγμάτων του και Χ το συμπλήρωμα του Υ στο R. Τότε Χ X. Κάθε αριθμός του Χ είναι μικρότερος

29 9 από κάθε αριθμό του Υ. Επειδή τα Χ και Υ είναι συμπληρωματικά, μπορούμε για κάθε =, να βρούμε α - Χ, α Y έτσι ώστε α α <, α 3 < α < α < α. Έτσι η {α } είναι ακολουθία Cauchy, έστω γ το όριό της. Τότε για κάθε Ν γ + είναι ένα άνω φράγμα του Χ, γι αυτό υπερέχει κάποιου α r και έτσι ανήκει στο Υ, οπότε το γ - είναι μικρότερο από κάποιο α r και έτσι βρίσκεται στο Χ. Επομένως γ = sup X. Αντίστροφα Έστω Κ ένα διατεταγμένο σώμα το οποίο έχει την ιδιότητα του άνω φράγματος. Από την πρόταση που προηγείται του θεωρήματος, το Κ είναι Αρχιμήδειο, επομένως είναι order ισόμορφο προς ένα υπόσωμα του R, προφανώς το Κ περιέχει το Q σαν ένα υπόσωμα. Κάθε στοιχείο γ του R μπορεί να εκφραστεί ως supremum κάποιου υποσυνόλου Α του Q. Το Α έχει επίσης ένα supremum γ στο Κ, από την ιδιότητα του άνω φράγματος. Προφανώς γ γ. Αν όμως η ανισότητα είναι αυστηρή, δηλαδή γ < γ, τότε μπορούμε να βρούμε α Q έτσι ώστε γ < α < γ και αυτό αντιβαίνει στο ότι γ = sup Α στο Κ. Επομένως γ = γ, άρα Κ R (Η συνάρτηση γ a γ Κ είναι ισομορφισμός σωμάτων, όπου γ R). Πρόταση Δοθέντος ενός πολυωνύμου ƒ στο R[x] και α, β R τέτοιων ώστε α < β, αν ƒ(α) ƒ(β) < 0, τότε υπάρχει γ R έτσι ώστε α < γ < β και ƒ(γ) = 0. Από την υπόθεση ƒ(α), ƒ(β) έχουν αντίθετα πρόσημα και μπορούμε να υποθέσουμε ότι ƒ(α) < 0 < ƒ(β), αντικαθιστώντας την ƒ με -ƒ αν είναι αναγκαίο. Έστω Α το σύνολο των πραγματικών αριθμών t, ώστε t < β και ƒ(t) < 0. Αυτό το σύνολο είναι φραγμένο άνω (απ το β) και επομένως έχει ένα supremum, έστω γ. Αυτό σημαίνει ότι για γ < t < β, ƒ(t) 0. Αν t < γ, μπορούμε να βρούμε t τέτοιο ώστε t < t < γ και ƒ (t ) < 0. Τώρα εκφράζουμε το ƒ(γ + x) ως πολυώνυμο του x: ƒ(γ + x) = α ο x + α x α, όπου α = ƒ(γ).

30 30 Αν α 0, η δεξιά πλευρά έχει το ίδιο πρόσημο με το α για επαρκώς μικρό x. Αλλά γνωρίζουμε ότι ƒ(t) αλλάζει πρόσημο σε κάθε γειτονιά του γ, οπότε α = 0 άρα ƒ(γ) = 0. Πρόταση Ο δακτύλιος Ζ είναι order ισόμορφος με τους ακεραίους ενός Αρχιμήδειου διατεταγμένου σώματος. Δηλαδή Κ= δακτυλίου. Έστω Κ το σύνολο των ακεραίων ενός διατεταγμένου σώματος L. U N Θεωρούμε την απεικόνιση: ƒ: Ζ Κ { } {( ) + ( ) ( )} 443 U, όπου η μονάδα του φορές φορές α a α, όπου α = , αν α 0 αφορές α = ( ) + ( ) ( ), αν α < α φορές Προφανώς η ƒ είναι και ΕΠΙ. Θα αποδείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. Έστω α, β > 0 α + β = ƒ(α + β) = (α + β) = = ( α+β) φορές ( α+β) φορές = αφορές βφορές = α + β = ƒ(α) + ƒ(β). Έστω α, β < 0 τότε α + β = ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ƒ(α + β) = α+βφορς έ α+βφορς έ = ( ) ( ) + ( ) ( ) αφορς έ βφορς έ = α + β = ƒ(α) + ƒ(β). Έστω α < 0, β > 0 και α>β τότε

31 3 α + β = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ƒ(α + β) = (α + β) α βφορς έ α βφορς έ = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) +...( ) = α βφορς έ βφορς έ βφορς έ αφορς έ βφορς έ = α + β = ƒ(α) + ƒ(β). Έστω α < 0, β > 0 και α<β Τότε: α + β = β αφορς έ ƒ(α + β) = (α + β) = = ( ) ( ) = β αφορς έ β αφορς έ αφορς έ = ( ) ( ) = βφορς έ αφορς έ =α + β = ƒ(α) + ƒ(β) Σε κάθε περίπτωση: ƒ(α + β) = ƒ(α) + ƒ(β). αφορς έ Όσον αφορά τον πολλαπλασιασμό, διακρίνουμε πάλι τις περιπτώσεις: α, β > 0 α.β = ƒ(α.β) = (αβ) = α. β φορές = = ( ).( ) α. β φορές α φορές β φορές = α β = ƒ(α). ƒ(β). Έστω α,β < 0 αβ= ƒ(α.β) = (αβ) = = α. β φορές α. β φορές = ( ) ( ). ( ) ( ) αφορς έ β φορές = α β = ƒ(α). ƒ(β). Έστω α > 0 και β < 0. Τότε αβ = ( ) + ( ) ( ) αβ φορές ƒ(αβ) = (αβ) = = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) α. β φορές α φορές β φορές Σε κάθε περίπτωση ƒ(αβ) = ƒ(α) ƒ(β). = α β = ƒ(α) ƒ(β)

32 3 Θα αποδείξουμε ότι η ƒ διατηρεί τη διάταξη, δηλαδή αν α > 0 τότε ƒ(α) > 0. Έστω α > 0 α = α φορές ƒ(α) = ƒ(++ +) = > 0, επομένως η διάταξη διατηρείται. Πρόταση Κάθε αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα δεν έχει order αυτομορφισμό διαφορετικό του ταυτοτικού. Ισχυριζόμαστε ότι αν Α, Β διατεταγμένα υποσώματα του R με Α, τότε κάθε order ισομορφισμός φ: Α Β έχει τη μορφή φ(α) = rα, r R, για κάθε α R. Έστω α i > 0, α i Α συνεπάγεται φ(α i ) > 0, α i Α. φα ( ) φα ( ) φ( α) φ( α) Έστω επίσης. Αν < α α α α φ( α ) α < φ( α ) α Q είναι πυκνό στο R, m Q έτσι ώστε φ( α) m α < < φ( α ) α α > mα και mφ(α ) < φ(α ). Επειδή το φ( α) φ( α) που είναι άτοπο, διότι η φ είναι order ισομορφισμός. Επομένως = = r, r R και α α γενικά φα ( i) = r α i, για κάθε i. Τελικά φ(α) = rα, α Α. Αν τώρα Α = Β και φ order αυτομορφισμός, τότε ( α Α) φ(α) = rα, r R. Όμως φ(α α ) = φ(α ) φ(α ) rα rα = rα α r α α = rα α r = r r = (Το r είναι θετικό αφού τα α i > 0 και συνεπώς φ(α i ) > 0). Άρα ο φ είναι ο ταυτοτικός. Πρόταση Αν ένα διατεταγμένο σώμα Κ έχει ένα αρχιμήδειο υπόσωμα πυκνό στο Κ, τότε το Κ είναι αρχιμήδειο. Έστω Κ αρχιμήδειο υπόσωμα του Κ και το Κ είναι πυκνό στο Κ. Έστω επίσης c, c K, με 0 < c < c. Τότε υπάρχουν α, b, d K, ώστε α < c < b < c < d. Το Κ είναι

33 33 Αρχιμήδειο, επομένως υπάρχουν m, N, ώστε b > d > c και mα > b > c. Επομένως mc > mα > mb > c. Θέτουμε Ν = m οπότε Νc > c, άρα το Κ είναι αρχιμήδειο. Παρατήρηση: Ο δακτύλιος (Ζ m, +,.) αποτελεί παράδειγμα μη αρχιμήδειου δακτυλίου. Μία διαφορετική προσέγγιση του R Πλήρη διατεταγμένα σώματα Ένα διατεταγμένο σύνολο (Κ, ) καλείται πλήρες ως προς τη διάταξη ή πλήρες κατά Dedekid, εάν κάθε υποσύνολό του, μη κενό και φραγμένο άνω, έχει άνω πέρας εντός του Κ. Εάν το Κ είναι διατεταγμένο σώμα και πλήρες ως προς τη διάταξή του, καλείται πλήρες διατεταγμένο σώμα. Θεώρημα Κάθε πλήρες διατεταγμένο σώμα είναι Αρχιμήδειο, δηλαδή έχει την ιδιότητα: Εάν α, β Κ και α > 0, υπάρχει φυσικός με α > β. Βλέπε πρόταση στη σελίδα 8. Θεώρημα Για κάθε x Κ, υπάρχει μοναδικό Ζ τέτοιο ώστε ( ). x.. Για 0 x < παίρνουμε =. Έστω x >. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο θεώρημα για α = και β = x έχουμε ότι υπάρχει φυσικός με x <.. Το σύνολο Ε = { N/ x <.} είναι ένα μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών, συνεπώς έχει ελάχιστο στοιχείο. Έστω = mie N. Προφανώς N και E. Άρα ( ). x <.. Εάν x < 0, θεωρούμε το θετικό στοιχείο x και τον ακέραιο m με (m ). -x < m.. Τότε ( m). x > -m.. Εάν x = ( m)., παίρνουμε = m, οπότε ( ). = x <..

34 34 Εάν x < ( m), παίρνουμε = m οπότε ( ). < x <.. Η μοναδικότητα αποδεικνύεται απλά: Εάν ( ). x <. και (m ). x < m. με m έπεται ότι x <. (m )., πράγμα άτοπο. Ορισμός Η συνάρτηση ƒ: Κ Ζ, με τιμή ƒ(x) και η οποία ικανοποιεί τη σχέση ƒ(x) x < ƒ(x) +, καλείται ακέραιο μέρος του x και συμβολίζεται [.]. Συνεπώς απ το θεώρημα (): ( x K) [x] Z και [x]. x < ([x] + ). Το σώμα των ρητών στοιχείων Κάθε στοιχείο του Κ της μορφής (m.).(.) -, όπου m Z και N, καλείται ρητό στοιχείο του Κ και παρίσταται με m.. Το σύνολο των ρητών στοιχείων του Κ. παρίσταται με Q(K). Θεώρημα 3 Η δομή (Q(K), +,.) είναι σώμα. Έστω m.., α. β. Q(K). Προφανώς m.. + α. β. = (mβ + α). Q(K) β. m. α.. m.. β. διότι + ( β ) = (mβ + α)., m... α. β. = m α. Q(K), - m. β.. = ( m).. και m.. =. m. με m 0. Θεώρημα 4 Έστω Κ ένα Αρχιμήδειο σώμα. Μεταξύ δύο διαφόρων στοιχείων του α, β υπάρχει ένα ρητό στοιχείο αυτού.

35 35 Έστω α, β Κ, α < β. Επειδή το Κ είναι αρχιμήδειο, υπάρχει φυσικός, τέτοιος ώστε. > (β α) - ή β α >. Υπάρχει, κατά το θεώρημα, ακέραιος m. τέτοιος ώστε (m )..α < m.. Προφανώς α < m.. = (m ). + <α+ ( β α ) =β δηλαδή.. το ρητό στοιχείο m.. Πόρισμα βρίσκεται μεταξύ των α, β. Μεταξύ δύο στοιχείων του Κ υπάρχουν άπειρα ρητά στοιχεία. Εάν μεταξύ των α, β υπήρχαν πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία, έστω r, r r με α r < r < < r β, μεταξύ των r, r δεν υπάρχει ρητός, πράγμα αντίθετο προς το θεώρημα 4. Θεώρημα 5 Έστω Κ ένα αντιμεταθετικό και πλήρες διατεταγμένο σώμα. Για κάθε x > 0 και για κάθε φυσικό υπάρχει ένα μόνο στοιχείο y > 0, τέτοιο ώστε y = x. (Γράφουμε y= x ή y = x ). Το στοιχείο x καλείται νιοστή ρίζα του x. Έστω Α = {t K/ t > 0 και t < x}. Το σύνολο Α είναι μη κενό διότι, π. χ. το x στοιχείο t = A. Πράγματι, έχουμε 0 < t < x, t < και συνεπώς t < t < x. Επί πλέον + x το σύνολο Α είναι φραγμένο άνω απ το στοιχείο Μ = + x, διότι αν t > M t >, συνεπώς t > t > x, ήτοι t A. Έστω y το supremum του Α εντός του Κ. Θα αποδείξουμε ότι y = x. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: i) y < x Εκλέγουμε h Κ τέτοιο ώστε 0 < h < και h < Τότε έχουμε: (y + h) y = ( y + h y) / x y (+ y) y (y+ h) (y + h)y + y <.

36 36 < (y ) y h (y )... (y )y y h = = (y + ) y h (y+ ) y < x y ή (y + h) < y < x ήτοι (y + h) A, πράγμα ασυμβίβαστο προς την υπόθεση ότι y = sup A. ii) Έστω Τότε: (y κ) - > y > x. Εκλέγουμε κ Κ τέτοιο ώστε 0 < κ <, κ < y και κ < y = ( y κ y) / (y κ ) (y κ )y + y > (y ) y κ (y )... (y )y y = κ = (y+ ) y y (+ y) y = κ (y+ ) y > (y x) = = x y ή (y κ) > x ήτοι y κ είναι άνω φράγμα του Α, πράγμα άτοπο. Άρα y = x. To μονοσήμαντο του y έπεται από το γεγονός ότι για 0 < y < y y < y. Πόρισμα ρητά. Σε κάθε αντιμεταθετικό και πλήρες διατεταγμένο σώμα υπάρχουν στοιχεία μη Βάσει του θεωρήματος υπάρχει στοιχείο y > 0, τέτοιο ώστε y = +.. Έστω ότι y είναι ρητό στοιχείο. Τότε y = m., όπου m και φυσικοί αριθμοί μη. διαιρούμενοι δια, ήτοι m. = (m. ) = (.) =. ή m =. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: Ο m να είναι είτε περιττός είτε άρτιος. Α) Εάν m = μ +, θα ήταν m = 4μ + 4μ + = περιττός. Β) Εάν m = μ, θα ήταν m = 4μ = ή = μ ήτοι = ν. Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι οι m, θα είχαν κοινό διαιρέτη το φυσικό αριθμό. Άρα το στοιχείο y με y =. δηλαδή το στοιχείο. δεν είναι ρητό στοιχείο. Ορισμός Τα μη ρητά στοιχεία ενός σώματος καλούνται άρρητα στοιχεία.

37 37 Πόρισμα Μεταξύ δύο διαφορετικών στοιχείων ενός αντιμεταθετικού και πλήρους διατεταγμένου σώματος Κ υπάρχει ένα άρρητο στοιχείο του. Πράγματι, εάν α, β Κ υπάρχουν ένα ρητό στοιχείο r με α < r < β και φυσικοί m, έτσι ώστε m(r α) >. και (β r) >.. Τότε για ένα φυσικό ρ > m, έχουμε ρ(r α) >. και ρ(β r) >., δηλαδή α <. r + <β ρ.. Το στοιχείο z = r + ρ. είναι άρρητο διότι διαφορετικά το (z r)ρ =. θα ήταν ρητό. Πόρισμα 3 Μεταξύ δύο στοιχείων α, β ενός αντιμεταθετικού και πλήρους διατεταγμένου σώματος Κ υπάρχουν άπειρα άρρητα στοιχεία του. Θεώρημα 6 Δύο πλήρη διατεταγμένα σώματα Κ, Κ είναι order ισόμορφα. Υπάρχει δηλαδή ένας ισομορφισμός ƒ του Κ επί του Κ ο οποίος διατηρεί τη διάταξη, δηλαδή x < y ƒ(x) < ƒ(y). Έστω, τα μοναδιαία στοιχεία των Κ, Κ αντίστοιχα. Για κάθε x K θεωρούμε το σύνολο Α x = { m.. / m.. < x }. Το σύνολο Α x είναι μη κενό, διότι, επειδή το Κ είναι Αρχιμήδειο, υπάρχει φυσικός με. > - x και κατά συνέπεια (-). < x, δηλαδή (-). Α x άρα Α x. Το σύνολο Α x είναι επί πλέον φραγμένο άνω. Πράγματι, έστω ρ ένας φυσικός με ρ. > x. Εάν υποθέσουμε ότι m.. Α m. m. x, τότε < x < ρ. και συνεπώς < ρ., δηλαδή το.. στοιχείο ρ. είναι άνω φράγμα του Α x. Επειδή το Κ είναι πλήρες, το σύνολο Α x έχει άνω πέρας εντός του Κ. Ορίζουμε συνάρτηση ƒ: Κ Κ με ότι η ƒ πληροί το θεώρημα. ƒ(x) = sup A x και αποδεικνύουμε

38 38 α. α. Θα αποδείξουμε αρχικά την παρακάτω ιδιότητα της ƒ: ƒ =, για κάθε β. β. α ρητό στοιχείο. του Κ () β. Επειδή m.. < α. β. α mβ > 0 m.. < α. β. έχουμε α. ƒ β. = sup { m.. / m.. < α.} β. α. β. α. Εάν υποθέσουμε ότι ƒ β. < α. β. και θεωρήσουμε ένα στοιχείο μ. ν. α. του Κ με ƒ β. < μ. ν. α <. β. θα έχουμε μ. ν. α <. β. και α. συνεπώς ƒ β. μ., πράγμα άτοπο. ν. Άρα αποδείχτηκε η (). Ερχόμαστε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος. ο. Έστω x < y. Εάν m.. Α x, έχουμε m.. < x < y, δηλαδή m.. Α y ή Α x Α y. Συνεπώς ƒ(x) = sup A x sup A y = ƒ(y). Έστω τώρα m.. και μ. δύο ρητά στοιχεία του Κ ν. με x < m.. < μ. < y. Τότε ν. ƒ(x) ƒ m.. = m.. < μ. μ. = ƒ ƒ(y), δηλαδή ν. ν. x < y ƒ(x) < ƒ(y). Προφανώς ƒ(x) < ƒ(y) x < y. ο. H σχέση ƒ(x + y) = ƒ(x) + ƒ(y) ισχύει όπως εύκολα φαίνεται για οποιαδήποτε ρητά στοιχεία x, y του Κ. Έστω x, y K με ƒ(x + y) ƒ(x) + ƒ(y). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) ƒ(x + y) < ƒ(x) + ƒ(y) Υπάρχει ένα ρητό στοιχείο α. β. α του Κ με ƒ(x + y) <. β. <ƒ(x) + ƒ(y) α. Τότε ƒ(x + y) < ƒ β., ήτοι x + y < α. β.. Έστω r m. =. δύο ρητά στοιχεία του Κ με x < r, y < r και r + r = m. και r =. α.. Αλλά τότε έχουμε: β.

39 39 α. β. α. =ƒ β. = ƒ(r + r ) = ƒ(r ) + ƒ(r ) > ƒ(x) + ƒ(y), πράγμα άτοπο. ii) ƒ(x + y) > ƒ(x) + ƒ(y). Αποκλείεται όπως η προηγούμενη περίπτωση. Άρα ƒ(x + y) = ƒ(x) + ƒ(y) για κάθε, x, y K. Ομοίως αποδεικνύεται η σχέση ƒ(x.y) = ƒ(x). ƒ(y). Τέλος η ƒ είναι επί του Κ. Πράγματι, έστω y K. Θεωρούμε το σύνολο Ε ={ m.. m. /ƒ. < y}. Το σύνολο Ε είναι προφανώς μη κενό και φραγμένο άνω. Έστω x = sup E. Θα αποδείξουμε ότι ƒ(x) = y. Έστω ƒ(x) < y. Υπάρχει ένα ρητό στοιχείο m.. m.. του Κ με ƒ(x) < m.. < y. Τότε m. Ε και x <, πράγμα ασυμβίβαστο με τη σχέση x = sup E. Όμοια αποκλείεται η. περίπτωση ƒ(x) < y. Άρα ƒ(x) = y. Ένα αντιμεταθετικό και πλήρες διατεταγμένο σώμα καλείται σώμα των πραγματικών αριθμών και παριστάνεται με R. Κατά προσέγγιση ισομορφισμού υπάρχει το πολύ ένα σώμα πραγματικών αριθμών. Πρόκειται τώρα να κατασκευάσουμε ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα, χρησιμοποιώντας το διατεταγμένο σώμα των ρητών αριθμών ( Q, +,., ). Η μέθοδος κατασκευής περιληπτικά έχει ως εξής: θεωρούμε ένα σύνολο R με στοιχεία κατάλληλα υποσύνολα του συνόλου των ρητών, ορίζουμε εντός του R μία διάταξη και δύο εσωτερικούς νόμους + και. και αποδεικνύουμε ότι (R, +,., ) είναι πλήρες διατεταγμένο σώμα. Έστω R το σύνολο των υποσυνόλων a του Q, τα οποία έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: ) a, a Q ) x a, y Q, y < x y a 3) ( x a) ( y a) y > x δηλαδή το σύνολο a δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Εάν a, b R, ορίζουμε: a < b a b.

40 40 Θεώρημα Έστω η σχέση επί του R, η οποία ορίζεται ως εξής: a b a < b ή a = b Τότε: ) Αυτή είναι μία σχέση ολικής διάταξης επί του R. ) Το διατεταγμένο σύνολο ( R, ) είναι πλήρες. ) Είναι προφανές ότι η σχέση είναι μία σχέση διάταξης επί του R. Αποδεικνύουμε ότι είναι σχέση ολικής διάταξης. Έστω a, b R. Υποθέτουμε ότι a b και ότι η σχέση a b είναι ψευδής. Τότε a b. Συνεπώς υπάρχει x o a, τέτοιο ώστε x o b. Έστω x b. Εάν x > x o θα έχουμε x o b, άτοπο. Κατά συνέπεια x < x o, ήτοι x a. Άρα b a, δηλαδή a < b. ) Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του R φραγμένο άνω. Θα αποδείξουμε ότι έχει sup εντός του R. Θέτουμε b = U a. Ισχυριζόμαστε b R και b = sup A. Έχουμε: a A i) b, διότι A και κάθε a A είναι. Επί πλέον b Q, διότι, αν C είναι άνω φράγμα του Α, θα υπάρχει x Q με x C, οπότε x b (εάν x b, τότε x a με a A και επειδή a C, θα έχουμε x C). ii) Έστω x b και y Q με y < x. Υπάρχει a A, έτσι ώστε x a. Επειδή a R, έπεται ότι y < x. iii) Έστω x b. Υπάρχει a A που περιέχει το x. Επειδή a R, το a είναι υποσύνολο του Q χωρίς μέγιστο στοιχείο. Συνεπώς υπάρχει y a με y > x. Προφανώς y b. Δηλαδή το b δεν έχει μέγιστο στοιχείο, άρα b R. Η σχέση b = sup A έπεται ως εξής: Προφανώς a b για κάθε a A, διότι a b. Εάν c είναι άνω φράγμα του Α, έχουμε a c για κάθε a A. Συνεπώς a c, ήτοι b = Ua c. Άρα b c, δηλαδή b είναι το μικρότερο άνω φράγμα του Α. Θεώρημα Έστω + ο εσωτερικός νόμος επί του R, ο οποίος ορίζεται ως εξής: a + b = {x + y/ x a και y b}. Η δομή (R, +) είναι αντιμεταθετική ομάδα. Αποδεικνύουμε διαδοχικά ότι:. a + b R. a + (b + c) = (a + b) + c 3. a + b = b + a