χ 2 = με β.ε =1 και a=0.05 το κρίσιμο χ 2 =3.841

Transcript

1 Έστω, ότι ένα δείγμα ελέγχου χρησιμοποιήθηκε σε ένα πείραμα ελέγχου ποιότητας μιας μεθόδου για 30 συνεχόμενες ημέρες. Η θεωρητική (ισχυριζόμενη) συγκέντρωση της γλυκόζης στο δείγμα αυτό είναι 0 mg/l. Ο πειραματικός μέσος είναι 0 mg/l και η τυπική απόκλιση 5 mg/l. Είναι η μέση τιμή των δεδομένων σημαντικά διαφορετική από την θεωρητική τιμή; H 0 : H : y y μ y s μ μ t y μ 0 s / n -.9 Ο πίνακας της κατανομής "t" για β.ε. 9 και a/0.05 δίνει κρίσιμο t.045. Άρα η μέση τιμή των μετρήσεων της γλυκόζης είναι σημαντικά διαφορετική από την θεωρητική.

2 x A 74 από 50 ασθενείς που πήραν το φάρμακο Α βελτίωσαν την κατάστασή τους. x B 9 από 50 ασθενείς που πήραν το φάρμακο Β βελτίωσαν την κατάστασή τους. i) Μπορούμε να δεχθούμε ότι και τα δύο φάρμακα έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα; (a0.05) ii) Δώστε ένα 98% δ.ε. για τη διαφορά του αποτελέσματος των φαρμάκων. H 0 : A B H : A <> B A x A /n 74/50 0,96 B x B /n 9/50 0,368 AB (x A +x B )/(n+m) (74+9)/500 0,33 z Για a0.05 Z a/,96 Επειδή z < Z a/ μπορούμε να δεχθούμε ότι τα δύο φάρμακα έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα Το διάστημα εμπιστοσύνης 98% (a/0,0) για τη διαφορά θα είναι (Z a/.33) : A - B +/- Z a/ *sqrt[ A (- A )/50+ B (- B )/50)] (-0,7, 0,06) Το ερώτημα μπορεί να απαντηθεί και με την δοκιμασία χ Παρατηρούμενες Θεωρητικές Φάρμακο Βελτίωση Μη Βελτ. Σύνολο Φάρμακο Βελτίωση Μη Βελτ. Σύνολο Α Α Β Β Σύνολο Σύνολο χ.9 με β.ε και a0.05 το κρίσιμο χ 3.84 Αρα αποδεχόμαστε ότι τα δύο φάρμακα είναι το ίδιο αποτελεσματικά

3 Από 50 ασθενείς, στους n80 δώσαμε χάπι με ζάχαρη και στους m70 δώσαμε ασπιρίνες. Μετά από μια εβδομάδα βρέθηκε ότι βελτιώθηκε η υγεία x48 ασθενών που πήραν χάπι ζάχαρης και y56 που πήραν ασπιρίνη. (i) Μπορούμε να δεχθούμε ότι η θεραπεία με ασπιρίνες είναι προτιμότερη σε σ.σ. 0.05; (ii) Να δοθεί δ.ε. 95% για τη διαφορά των ποσοστών, ( ποσοστό ασθενών που βελτιώθηκε η υγεία τους με χάπι ζάχαρης, ποσοστό ασθενών που βελτιώθηκε η υγεία τους με ασπιρίνη). Ζάχαρη Ασπιρίνη x/n 0.60 y/m 0.80 Η κοινή αναλογία των επιτυχιών είναι (x+y)/(n+m) (i) H 0 : H : < Αφού τα δείγματα είναι μεγάλα το στατιστικό που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το Z. Έτσι: z ( )( + ) n m -.65 Για a0.05 Φ0.45 άρα z c.645. Επειδή z<-z c, συμπεραίνουμε ότι δεχόμαστε την H. (ii) Το δ.ε. για την διαφορά - θα δίνεται από τον τύπο: ± z a / ) + n ( m ( ) Για a/0.05 έχουμε Φ0.475 άρα za/.96. με ( ) ( ) + n m έχουμε: < - <-0.058

4 Δύο δίαιτες Α,Β εφαρμόσθηκαν σε δύο σειρές ποντικών επί μια εβδομάδα. Υποθέτοντας ότι η αύξηση του βάρους τους ακολουθεί την κανονική κατανομή (i) να εξετασθεί αν σ Aσ B για α0.0, (ii) να δοθεί 95% δ.ε. για τη διαφορά μ Α -μ Β A B meana 76. Αύξ. Βάρ. [gr] Αύξ. Βάρ. [gr] s A n A meanb s B n B Η 0 : σ Α /σ Β Η : σ Α /σ Β <> 80. s A /s B 3.08 ν Α 6, ν Β 8 F να,νβ;a/ 4.5 Άρα μπορούμε να δεχθούμε ότι οι διασπορές δεν διαφέρουν Η 0 : μ Α -μ Β 0 Η : μ Α -μ Β <>0 t 6-;0,05.45 sσταθμ. Διακ. s t ( n ( X Y ) ( μ μ ) s )s + ( n )s n + n + n n t > t 6-;0,05 οι μέσοι διαφέρουν σημαντικά

5 Σε αυτοκίνητα τεσσάρων διαφορετικών τύπων (Α,Β,Γ,Δ) βάλαμε 0 lt βενζίνης. Η απόσταση σε km που διανύθηκε από κάθε αυτοκίνητο ήταν: Απόσταση σε km Α Β Γ Δ Με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις της α.δ., μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κατανάλωση είναι ίδια σε όλα τα αυτοκίνητα; Total mean s s α H 0 : Η κατανάλωση είναι ίδια σε όλα τα αυτοκίνητα H 0 : Η κατανάλωση δεν είναι ίδια σε όλα τα αυτοκίνητα α ni ( xi x) sυ ( n i κ MS μεταξύ κ ) s i s υ MS εντός F τετράγωνα μεταξύ ομάδων τετράγωνα εντός ομάδων s s α υ /( κ ) /( n κ ) 4.8 F 3,8; F > F 3,8;0.05 άρα η Η 0 απορρίπτεται

6 Το ποσοστό των αιφνιδίων βρεφικών θανάτων (SIDS) ανέρχεται παγκοσμίως σε 4.4 σε.000 γεννήσεις. Στην πρωτεύσουσα της Τασμανίας Hobart μεταξύ 975 και 980 εμφανίσθηκαν 4 SIDS σε γεννήσεις. Είναι αυτή η συχνότητα υψηλότερη από τη μέση παγκοσμίως εμφανιζόμενη για a0.05; H 0 : Η συχνότητα εμφάνισης SIDS στην Τασμανία δεν διαφέρει από αυτήν παγκοσμίως H 0 : Η συχνότητα εμφάνισης SIDS στην Τασμανία διαφέρει από αυτήν παγκοσμίως 4/ n(-) 3.939*0,006*(-0,006) Δηλ. ακολουθείται η κανονική κατανομή z 0 0 ( 0 ) / n.603 < z Άρα αποδεχόμαστε, ότι η συχνότητα εμφάνισης SIDS στην πόλη αυτή δεν ξεπερνά τον παγκόσμιο μέσο όρο.

7 Σε 346 αυτοκινητιστικά δυστυχήματα με αυτοκίνητα διαφόρων μεγεθών (μικρό, μεσαίο, μεγάλο) έγιναν θανατηφόρα και μη ατυχήματα σύμφωνα με τον πίνακα που ακολουθεί. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το είδος του ατυχήματος έχει σχέση με το μέγεθος του αυτοκινήτου; (a0.05) Πίνακας συνάφειας Μικρό αυτ. Μεσαίο αυτ. Μεγάλο αυτ. Σύνολο Θανατηφόρα Μη Θανατηφόρα Σύνολο H 0 : H : Το είδος του ατυχήματος ανεξάρτητο από το μέγεθος του αυτοκινήτου Το είδος του ατυχήματος εξαρτάται από το μέγεθος του αυτοκινήτου Δοκιμασία "χ " ως test ανεξαρτησίας Οι αναμενόμενες τιμές υπολογίζονται από τα αντίστοιχα επιμέρους σύνολα. e 6.43 e 8.04 e e e e X (o-e) /e+(o-e) /e+(o-e) /e+(o-e) /e+(o3-e3) /e3+(o3-e3) /e3 X.885 β.ε. a 0.05 X ;0, Άρα απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση

8 Συγκρίνουμε την επιτυχία μιας νέας χειρουργικής τεχνικής () με αυτήν της συνηθισμένης (). Σε διάστημα ετών μετά τις εγχειρίσεις με την νέα τεχνική πέθαναν 4 και επέζησαν 6 ασθενείς, ενώ με την συνηθισμένη τεχνική πέθαναν 64 και επέζησαν 80. Αν οι τεχνικές και έχουν τον ίδιο βαθμό επιτυχίας, τότε οι αναλογίες των ασθενών που επέζησαν θα είναι ίδιες. Να γίνει έλεγχος αυτής της υπόθεσης. H 0 : Οι τεχνικές έχουν τον ίδιο βαθμό επιτυχίας H : Οι τεχνικές δεν έχουν τον ίδιο βαθμό επιτυχίας Τεχν. Εγχείρ. Πέθαναν Επέζησαν Σύνολο Σύνολο o 4 o 6 o 64 o 80 e e 03.4 e 5.4 e 9.86 X ( ) /53.86+(6-03.4) /03.4+(64-5.4) /5.4+( ) / Για a0.05 και β.ε., x,a 3.84 Άρα απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση

9 Σε 4 ομάδες ασθενών με συγκεκριμένους πόνους δόθηκε δόση αναλγητικού και τα αποτελέσματα κατηγοριοποιήθηκαν στον πίνακα που ακολουθεί. Έχουν τα φάρμακα το ίδιο ποσοστό επιτυχίας; H 0 : Τα αναλγητικά δεν διαφέρουν ως προς την αποτελεσματικότητά τους H : Τα αναλγητικά διαφέρουν ως προς την αποτελεσματικότητά τους Κατηγορία "j" Ομάδα "i" Λίγη Μέτρια Καλή Πολύ καλή Σύνολο Ισχ. Δ. Ibu Ασθ. Δ. Ibu Asirin Placebo Σύνολο e e 8.48 e e e e 9.7 e e e e e e e e e e β.ε. (4-)x(4-) 9 X > χ Άρα απορρίπτουμε την H 0