07_Έλεγχος_Συχνοτήτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Transcript

1 Ν161_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 07_Έλεγχος_Συχνοτήτων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.. 1 Σύγκριση παρατηρούμενων συχνοτήτων με τις αντίστοιχες θεωρητικές συχνότητες εωρητικές συχνότητες: - από τη βιβλιογραφία - αναμενόμενες τιμές 1

2 Ερώτημα: αν οι παρατηρούμενες συχνότητες συμφωνούν (είναι ίδιες) με τις θεωρητικές Μηδενική υπόθεση: Δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των δύο υπό έλεγχο συχνοτήτων 3 Έλεγχος καλής προσαρμογής (μιάς ποιοτικής μεταβλητής) - κατανομή Όταν ένα δείγμα είναι ταξινομημένο σε κλάσεις και διαθέτουμε την κατανομή συχνοτήτων του, αυτή η κατανομή προέρχεται από μια άλλη γνωστή κατανομή ή κάποια που μπορούμε να την υποθέσουμε; 4

3 Παράδειγμα: Σε ένα συγκεκριμένο αριθμό αγώνων μπάσκετ καταγράφεται ο αριθμός των φάουλ (ποιοτική μεταβλητή) των παικτών που συμμετέχουν. Έστω ότι συνολικά καταγράφτηκε ο αριθμός των φάουλ 80 παικτών. Στη συνέχεια υπολογίζεται ο αριθμός των παικτών που σημείωσαν από 1 έως 5 φάουλ (κατηγορίες, κλάσεις, τάξεις), δηλαδή υπολογίζεται η συχνότητα με την οποία πραγματοποιούνται 1,, 3, 4 ή 5 φάουλ σε κάθε αγώνα. Αυτή η συχνότητα πραγματοποίησης του αντίστοιχου αριθμού φάουλ, που αποτελεί την «παρατηρούμενη συχνότητα», παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα. αριθμός φάουλ παρατηρούμενη συχνότητα= αριθμός παικτών που σημείωσαν τον αντίστοιχο αριθμό φάουλ υπολογισμός θεωρητικής συχνότητας: ίδια πιθανότητα να σημειωθούν από 1 έως 5 φάουλ άθροισμα πραγματικών τιμών θεωρητική συχνότητα: σύνολο περιπτώσεων αριθμός φάουλ παρατηρούμενη συχνότητα= αριθμός παικτών που σημείωσαν τον αντίστοιχο αριθμό φάουλ θεωρητική συχνότητα

4 αριθμός φάουλ παρατηρούμενη συχνότητα (Π) θεωρητική συχνότητα () Μηδενική υπόθεση: Δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των δύο υπό έλεγχο συχνοτήτων (οι παρατηρούμενες και οι θεωρητικές συχνότητες είναι ίδιες μεταξύ τους) ο έλεγχος πραγματοποιείται μέσω της χ- κατανομής (Π ) i1 7 i1 (Π ) X Π Π- (Π-) (Π ) i1 (Π ) =

5 i1 (Π ) X Π Π- (Π-) (Π ) i1 (Π ) = i1 (Π ) X Π Π- (Π-) (Π ) i1 (Π ) =

6 i1 (Π ) X Π Π- (Π-) (Π ) i1 (Π ) = (Π ) i Η τιμή = θα πρέπει να συγκριθεί με μία κρίσιμη -τιμή για επίπεδο σημαντικότητας α= 0.05 ( = 0.95) και βαθμούς ελευθερίας

7 επίπεδο σημαντικότητας α= = 0.95 β.ε.: -1 (όπου = αριθμός κλάσεων) = 5-1= 4 = 17,375 > κρίσιμο=9.49 df \p = > - κρίσιμο=9.49 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση H o : οι πραγματικές τιμές δεν διαφέρουν από τις θεωρητικές αποδεχόμαστε την εναλλακτική υπόθεση Η Α : οι πραγματικές τιμές διαφέρουν από τις θεωρητικές Δεν υπάρχει η ίδια πιθανότητα να σημειωθούν από 1 έως 5 φάουλ 14 7

8 Έλεγχος ανεξαρτησίας (δύο ποιοτικών μεταβλητών) αν δύο ποιοτικά χαρακτηριστικά είναι ανεξάρτητα ή όχι μεταξύ τους Ανεξάρτητα: οι συχνότητες του ενός ΔΕΝ μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο Μη ανεξάρτητα: οι συχνότητες του ενός μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο Μηδενική υπόθεση: Οι συχνότητες του ενός ποιοτικού ο ούχαρακτηριστικού είναι ανεξάρτητες από τις συχνότητες του άλλου ποιοτικού χαρακτηριστικού (οι συχνότητες του ενός ΔΕΝ μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο) 15 Δεδομένα: Πίνακας συνάφειας (συχνοτήτων) (πόσες φορές εμφανίζεται ταυτόχρονα αυτό που αντιστοιχεί στη διασταύρωση της γραμμής και της στήλης) R= γραμμές C= στήλες Πίνακας παρατηρούμενων συχνοτήτων Β1 Β... Βc Σύνολο Α1 N11 N1... N1c N1 Α N1 N... Nc N Α3 N31 N3... N3c N ΑR NR1 NR... NRc NR Σύνολο N1 N... N c N 16 8

9 Β1 Β... Βc Σύνολο Α1 N11 N1... N1c N1 Α N1 N... Nc N Α3 N31 N3... N3c N ΑR NR1 NR... NRc NR Σύνολο N1 N... N c N Καθορισμός θεωρητικών συχνοτήτων Πιθανότητα εμφάνισης οποιουδήποτε στοιχείου N - με το χαρακτηριστικό Α i. i Αν Αi ανεξάρτητο του Βi τότε η πιθανότητα N.. N ταυτόχρονης εμφάνισης Αi και Βi.i και με το χαρακτηριστικό B i N.. Ni. N. i NN i.. i N.. N.. N.. 17 ο έλεγχος πραγματοποιείται μέσω της - κατανομής (Π ) i1 για προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας α: (1-α) και βαθμούς ελευθερίας: (R-1)X(C-1) 18 9

10 παράδειγμα: Ένας ερευνητής καταγράφει ένα δείγμα 100 κολυμβητών σε δύο ποιοτικές μεταβλητές. Η πρώτη ποιοτική μεταβλητή αναφέρεται στο είδος της ξηρής προπόνησης που εκτελούν οι κολυμβητές και διαχωρίζεται σε τρεις κατηγορίες: Α1= «ξηρή προπόνηση μόνο όομε λάστιχα», Α= «ξηρή προπόνηση μόνο με βάρη», Α3= «ξηρή προπόνηση και με λάστιχα και με βάρη». Η δεύτερη ποιοτική μεταβλητή αναφέρεται στην συμμετοχή των κολυμβητών σε αγώνες: B1= «σε προημιτελικές σειρές», Β= «σε ημιτελικές σειρές», Β3 = «σε τελικές σειρές». Το ερώτημα που τίθεται είναι κατά πόσο το είδος της ξηρής προπόνησης που εκτελούν οι κολυμβητές επηρεάζει ή όχι τη συμμετοχή τους σε «προημιτελικές», «ημιτελικές» ή «τελικές» σειρές αγώνων, αν δηλαδή οι δύο ποιοτικές μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ή όχι. 19 παρατηρούμενες συχνότητες Α1 Α Α3 Σύνολο Β Β Β Σύνολο εωρητικές συχνότητες Α1 Α Α3 Σύνολο Β1 (50 Χ30)/100=15 (50Χ30)/100=15 (50Χ40)/100=0 50 Β (5Χ30)/100=7.5 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ40)/100=10 5 Β3 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ40)/100=10 5 Σύνολο

11 παρατηρούμενες συχνότητες Α1 Α Α3 Σύνολο Β Β Β Σύνολο εωρητικές συχνότητες Α1 Α Α3 Σύνολο Β1 (50 Χ30)/100=15 (50Χ30)/100=15 (50Χ40)/100=0 50 Β (5Χ30)/100=7.5 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ40)/100=10 5 Β3 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ30)/100=7.5 (5Χ40)/100=10 5 Σύνολο Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) ( ) i ( 1 =

12 i1 (Π ) Υπολογισμός -τιμής Π Π- (Π-) ( ) i ( 1 = Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) ( ) i ( 1 =

13 i1 (Π ) Υπολογισμός -τιμής Π Π- (Π-) ( ) i ( 1 = Η τιμή = θα πρέπει να συγκριθεί με μία κρίσιμη -τιμή για επίπεδο σημαντικότητας α= 0.05 ( = 0.95) και βαθμούς ελευθερίας (R-1)X(C-1)= (3-1)Χ(3-1)=

14 επίπεδο σημαντικότητας α= = 0.95 β.ε.: (R-1)X(C-1)= (3-1)Χ(3-1)= 4 = > κρίσιμο=9.49 df \p = > - κρίσιμο=9.49 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση H o : Οι συχνότητες του ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού είναι ανεξάρτητες από τις συχνότητες του άλλου ποιοτικού χαρακτηριστικού (οι συχνότητες του ενός ΔΕΝ μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο) αποδεχόμαστε την εναλλακτική υπόθεση Η Α : Οι συχνότητες του ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού δεν είναι ανεξάρτητες από τις συχνότητες του άλλου ποιοτικού χαρακτηριστικού (οι συχνότητες του ενός μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο) 8 14

15 Παράδειγμα: (έλεγχος της επίδρασης δύο ποιοτικών μεταβλητών): η επίδραση της προθέρμανσης στην εμφάνιση τραυματισμών παρατηρούμενες συχνότητες προθέρμανση απουσία Σύνολο προθέρμανσης τραυματισμοί απουσία τραυματισμών Σύνολο Να εξεταστεί σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 αν η διεξαγωγή της προθέρμανσης και η εμφάνιση τραυματισμών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους 9 παρατηρούμενες συχνότητες προθέρμανση απουσία Σύνολο προθέρμανσης τραυματισμοί απουσία τραυματισμών Σύνολο εωρητικές συχνότητες προθέρμανση απουσία προθέρμανσης Σύνολο τραυματισμοί μ (0Χ30)/50=1 (0Χ0)/50=8 0 απουσία (30Χ30)/50=18 (30Χ0)/50=1 30 τραυματισμών Σύνολο

16 Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) (Π ) (49/1)= (49/8)= (49/18)= (49/1)=4.08 i1 (Π ) =17, Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) (Π ) (49/1)= (49/8)= (49/18)= (49/1)=4.08 i1 (Π ) =17,

17 Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) (Π ) (49/1)= (49/8)= (49/18)= (49/1)=4.08 i1 (Π ) =17, Υπολογισμός -τιμής i1 (Π ) Π Π- (Π-) (Π ) (49/1)= (49/8)= (49/18)= (49/1)=4.08 i1 (Π ) =17,

18 Η τιμή = θα πρέπει να συγκριθεί με μία κρίσιμη -τιμή για επίπεδο σημαντικότητας α= 0.05 ( = 0.95) και βαθμούς ελευθερίας (R-1)X(C-1)= (-1)Χ(-1)= 1 35 επίπεδο σημαντικότητας α= = 0.95 β.ε.: (R-1)X(C-1)= (-1)Χ(-1)= 1 = > κρίσιμο=3.84 df \p

19 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση = > - κρίσιμο=3.84 H o : Οι συχνότητες του ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού είναι ανεξάρτητες από τις συχνότητες του άλλου ποιοτικού χαρακτηριστικού (οι συχνότητες του ενός ΔΕΝ μεταβάλλονται σε σχέση με το άλλο) αποδεχόμαστε την εναλλακτική υπόθεση Η Α : Οι συχνότητες του ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού δεν είναι ανεξάρτητες από τις συχνότητες του άλλου ποιοτικού χαρακτηριστικού 37 (η συχνότητα των τραυματισμών μεταβάλλεται σε σχέση με την προθέρμανση) 38 19