ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη

Transcript

1 ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογικοί Πράκτορες Προτασιακή Λογική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

2 Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης εξέταση διαθέσιµης πληροφορίας Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2

3 Σήµερα Λογικοί ράκτορες πράκτορες βασισµένοι στη λογική Λογικές τυπικές γλώσσες λογική κάλυψη Προτασιακή λογική λογική µε προτάσεις Προτασιακός συµ ερασµός model checking resolution forward chaining backward chaining Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

4 Λογικοί ράκτορες Logical Agents

5 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση (Knowledge-Based Agents) Λογικοί ράκτορες αναπαράσταση γνώσης (knowledge representation) διαδικασίες συµπερασµού (inference procedures) βασικό όχηµα: λογική (logic) Πλεονεκτήµατα αναπαράσταση γενικής χρήσης ευελιξία, προσαρµογή συνδυασµός πληροφοριών «ανακάλυψη» νέας γνώσης συνδυασµός γνώσης και αντίληψης αποκάλυψη κατάστασης Μειονεκτήµατα οριστική (definite) γνώση, έλλειψη χειρισµού αβεβαιότητας Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5

6 Βάση Γνώσης (Knowledge Base) Βάση γνώσης ένα σύνολο προτάσεων (sentences) αρχικοποίηση: γνωστικό υπόβαθρο (background knowledge) Πρόταση ισχυρισµός για τον κόσµο του πράκτορα γλώσσα αναπαράστασης: τυπική γλώσσα Βασικές διεργασίες Tell: ενηµέρωση της βάσης γνώσης Ask: εξαγωγή συµπερασµάτων από βάση γνώσης Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6

7 Α λός Λογικός Πράκτορας ηλωτική (declarative) ροσέγγιση δίνουµε στον πράκτορα την απαραίτητη γνώση για τον κόσµο στόχοι, µεταβολές καταστάσεων, αµετάβλητοι ισχυρισµοί,... ο πράκτορας αποφασίζει πώς πρέπει να ενεργήσει σε αντίθεση µε τη διαδικαστική (procedural) προσέγγιση Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7

8 Ο Κόσµος του Wumpus Μέτρο α όδοσης για χρυσό 1000 για wumpus, γούβα 1 για κάθε βήµα 10 για χρήση βέλους Περιβάλλον πλέγµα 4x4, P(γούβα)=0.2 Ε ενεργητές µετακίνηση εµπρός στροφή +90 ο ή 90 ο αρπαγή χρυσού εξακόντιση βέλους Αισθητήρες [δυσοσµία, αύρα, λάµψη, γδούπος, κραυγή] Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8

9 Παράδειγµα Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9

10 Παράδειγµα Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10

11 Λογικές Logics

12 Λογικές (Logics) Τυ ικές γλώσσες αναπαράσταση πληροφορίας µε στόχο την εξαγωγή συµπερασµάτων Σύνταξη (syntax) καλά σχηµατισµένες / διατυπωµένες προτάσεις συντακτικά σωστή: x+y=2, συντακτικά λανθασµένη: xy2+= Σηµασιολογία (semantics) νόηµα πρότασης = αλήθεια πρότασης σε κάθε δυνατό κόσµο x+y=2 : αληθής αν x=y=1, ψευδής αν x=y=4 Μοντέλα (models) µοντέλα: περιγραφή δυνατών κόσµων (µαθηµατική αφαίρεση) µοντέλο: καθορισµός αλήθειας ή ψεύδους κάθε σχετικής πρότασης m µοντέλο πρότασης p = η πρόταση p είναι αληθής στο µοντέλο m Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12

13 Λογική Κάλυψη (Εntailment) Λογική κάλυψη (entailment) α β: η πρόταση α καλύ τει (entails) την πρόταση β ορισµός: (α β) (σε κάθε µοντέλο: αν α αληθής, τότε β αληθής) (α β) Μ(α) Μ(β), όπου Μ(p) = µοντέλα της πρότασης p Ερµηνεία η πρόταση β προκύπτει λογικά από την πρόταση α αν η α είναι αληθής, τότε και η β ρέ ει να είναι αληθής η αλήθεια της β «εριέχεται» στην αλήθεια της α παράδειγµα: (x + y = 4) (4 = x + y) Παρατηρήσεις κάλυψη: σχέση µεταξύ προτάσεων βασισµένη στη σηµασιολογία λογική κάλυψη: διαφορετική από τη συνεπαγωγή Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13

14 Παράδειγµα: Ο Κόσµος του Wumpus Μέτρο α όδοσης για χρυσό 1000 για wumpus, γούβα 1 για κάθε βήµα 10 για χρήση βέλους Περιβάλλον πλέγµα 4x4, P(γούβα)=0.2 Ε ενεργητές µετακίνηση εµπρός στροφή +90 ο ή 90 ο αρπαγή χρυσού εξακόντιση βέλους Αισθητήρες [δυσοσµία, αύρα, λάµψη, γδούπος, κραυγή] Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14

15 υνατά Μοντέλα του Κόσµου Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15

16 Μοντέλα της Βάσης Γνώσης Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16

17 Παράδειγµα Λογικής Κάλυψης α 1 = εν υπάρχει γούβα στο [1,2]. KB α 1 α 2 = εν υπάρχει γούβα στο [2,2]. KB α 2 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17

18 Έννοιες Λογικής Κάλυψης Λογική ισοδυναµία (logical equivalence) α και β ισοδύναµες όταν είναι αληθείς στο ίδιο σύνολο µοντέλων (α β) ανν (α β) και (β α) Εγκυρότητα (validity) α έγκυρη όταν είναι αληθής σε όλα τα µοντέλα (πάντα αληθής πρόταση α) Μ(α) = όλα τα µοντέλα Ικανο οιησιµότητα (satisfiability) α ικανοποιήσιµη όταν είναι αληθής σε κά οια µοντέλα (α πάντα ψευδής πρόταση) Μ(α) Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18

19 Λογικός Συµ ερασµός (Logical Inference) Έλεγχος µοντέλων (model checking) έλεγχος αν η α είναι αληθής στα µοντέλα που η KB είναι αληθής εξαντλητική απαρίθµηση (πεπερασµένος αριθµός µοντέλων) Συµ ερασµός (inference) KB i α : ο αλγόριθµος i παράγει την πρόταση α από την KB Ορθότητα (soundness) παράγει µόνο καλυπτόµενες προτάσεις: KB i α KB α διατήρηση της αληθείας (truth preservation) Πληρότητα (completeness) παράγει οποιαδήποτε καλυπτόµενη πρόταση: KB α KB i α Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19

20 ιαδικασία Συλλογιστικής Θεµελίωση (grounding) σύνδεση πραγµατικού κόσµου και βάσης γνώσης πώς γνωρίζουµε ότι η βάση γνώσης είναι αληθής στον κόσµο; άµεσες βραχυπρόθεσµες πηγές: αισθήσεις προτάσεις έµµεσες µακροπρόθεσµες πηγές: µάθηση γενικοί κανόνες Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 20

21 Προτασιακή Λογική Propositional Logic

22 Σύνταξη Ατοµικές ροτάσεις (atomic sentences) Αληθές (πάντα αληθής πρόταση), Ψευδές (πάντα ψευδής πρόταση) προτασιακά σύµβολα: P, Q, R, W 1,3, Γ 3,1 Λογικά συνδετικά (logical connectives) άρνηση (negation) : P (θετικά και αρνητικά λεκτικά literals) σύζευξη (conjunction) : P Q (συζευκτέοι) διάζευξη (disjunction) : P Q (διαζευκτέοι) συνεπαγωγή (implication) : P Q (προϋπόθεση και επακόλουθο) ισοδυναµία (equivalence), P Q (αµφίδροµη συνεπαγωγή) Προτεραιότητα (µεγαλύτερη),,,, (µικρότερη) Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 22

23 Σηµασιολογία Μοντέλο καθορίζει την τιµή αληθείας κάθε προτασιακού συµβόλου Πίνακας αληθείας (truth table) καθορίζει την τιµή αληθείας κάθε σύνθετης πρότασης P Q P P Q P Q P Q P Q Ψευδές Ψευδές Αληθές Ψευδές Ψευδές Αληθές Αληθές Ψευδές Αληθές Αληθές Ψευδές Αληθές Αληθές Ψευδές Αληθές Ψευδές Ψευδές Ψευδές Αληθές Ψευδές Ψευδές Αληθές Αληθές Ψευδές Αληθές Αληθές Αληθές Αληθές Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 23

24 Μια Α λή Βάση Γνώσης Κόσµος του Wumpus µόνο µε γούβες Γ i,j υπάρχει γούβα στο [i, j]; A i,j υπάρχει αύρα στο [i, j]; Προτάσεις (Αξιώµατα) R 1 : Γ 1,1 R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 3 : Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ) R 4 : Α 1,1 R 5 : Α 2,1 Βάση γνώσης σύζευξη προτάσεων: KB = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 24

25 Συµ ερασµός µε Α αρίθµηση I απάντηση σε ερωτήσεις της µορφής: KB α ; Α αρίθµηση µεταβλητές: Α 1,1, Α 2,1, Γ 1,1, Γ 1,2, Γ 2,1, Γ 2,2, Γ 3,1 η ΚΒ είναι αληθής σε 3 από τα 128 µοντέλα Λογική κάλυψη KB Γ 1,2, KB Γ 2,2, KB Γ 2,2, KB Γ 3,1, KB Γ 3,1,... ορθός και πλήρης αλγόριθµος (αναζήτηση πρώτα σε βάθος) Πολυ λοκότητα χρονική Ο(2 n ), χωρική Ο(n), για n προτασιακά σύµβολα Θεώρηµα Κάθε γνωστός αλγόριθµος συµ ερασµού για ροτασιακή λογική έχει εκθετική ολυ λοκότητα χειρότερης ερί τωσης ως ρος την είσοδο. Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 25

26 Συµ ερασµός µε Α αρίθµηση II Α 1,1 Α 2,1 Γ 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 Γ 2,2 Γ 3,1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 26

27 Συµ ερασµός µε Α αρίθµηση III Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 27

28 Λογική Ισοδυναµία (Logical Equivalence) (α β) ανν (α β) και (β α) (α β) (β α) αντιµεταθετικότητα του (α β) (β α) αντιµεταθετικότητα του ((α β) γ) (α (β γ)) προσεταιριστικότητα του ((α β) γ) (α (β γ)) προσεταιριστικότητα του ( α) α απαλοιφή διπλής άρνησης (α β) ( β α) αντιθετοαντιστροφή (α β) ( α β) απαλοιφή συνεπαγωγής (α β) ((α β) (β α)) απαλοιφή αµφίδροµης συνεπαγωγής (α β) ( α β) νόµος De Morgan (α β) ( α β) νόµος De Morgan (α (β γ)) ((α β) (a γ)) επιµεριστικότητα του ως προς το (α (β γ)) ((α β) (a γ)) επιµεριστικότητα του ως προς το Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 28

29 Εγκυρότητα (Validity) Έγκυρη ρόταση (ταυτολογία) είναι αληθής σε όλα τα µοντέλα παραδείγµατα: P P, P P, Ψευδές, (P (P Q)) Q αναγκαία αληθής, συνεπώς «κενή περιεχοµένου» λογικά ισοδύναµη µε την πρόταση Αληθές Θεώρηµα της αραγωγής (deduction theorem) για κάθε α και β, (α β) ανν η (α β) είναι έγκυρη Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 29

30 Ικανο οιησιµότητα (Satisfiability) Πρόταση ικανοποιήσιµη: είναι αληθής σε ένα τουλάχιστον µοντέλο µη ικανοποιήσιµη: δεν είναι αληθής σε κανένα µοντέλο Ικανο οιησιµότητα πρόβληµα: υπάρχει µοντέλο m που ικανοποιεί την α; προσδιορισµός ικανοποιησιµότητας πρότασης πρώτο NP-πλήρες πρόβληµα Αντιθετοαντιστροφή (contraposition) η α είναι έγκυρη αν και µόνο αν η α είναι µη ικανοποιήσιµη Α αγωγή σε άτο ο (α β) εάν και µόνο εάν η ρόταση (α β) είναι µη ικανο οιήσιµη Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 30

31 Προτασιακός Συµ ερασµός Propositional Inference

32 Συλλογιστική (Reasoning) Κανόνες συµ ερασµού εφαρµογή κανόνων συµπερασµού στη βάση γνώσης παραγωγή νέων συµπερασµάτων απο τη βάση γνώσης α όδειξη: ακολουθία εφαρµογής κανόνων συµπερασµού συνήθως απαιτείται είσοδος σε κάποια κανονική µορφή Έλεγχος µοντέλων απαρίθµηση όλων των µοντέλων (εκθετική πολυπλοκότητα) έλεγχος εγκυρότητας πρότασης στα µοντέλα της βάσης γνώσης συστηµατική αναζήτηση στο χώρο των δυνατών µοντέλων ευρετική τοπική αναζήτηση στο χώρο των δυνατών µοντέλων Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 32

33 Κανόνες Συµ ερασµού (Inference Rules) Κανόνες λογικές ισοδυναµίες «τρόπος του θέτειν» (modus ponens) απαλοιφή του και (and-elimination) εισαγωγή του και (and-introduction) εισαγωγή του ή (or-introduction) διπλή άρνηση (double negation) µοναδιαία ανάλυση (unit resolution) ανάλυση (resolution) Ορθότητα εφαρµόσιµοι χωρίς έλεγχο µοντέλων α,β,γ δ α, β, γ Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 33 δ

34 Κανόνες Συµ ερασµού (Ι) Λογικές ισοδυναµίες προκύπτουν δύο κανόνες α β ( α β ) ( β α) Modus ponens («τρό ος του θέτειν») δοθείσας µιας συνεπαγωγής και της προϋπόθεσης συµπεραίνουµε το επακόλουθο Α αλοιφή του και από µια σύζευξη συµπεραίνουµε οποιονδήποτε όρο της Εισαγωγή του και σύζευξη προτάσεων που ισχύουν ( α β ) ( β α) α β α β, α β α β α α1, α2, α3,, αn α α α α Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 34 n

35 Κανόνες Συµ ερασµού (ΙΙ) Εισαγωγή του ή διάζευξη προτάσεων που ισχύουν α1, α2, α3,, αn α α α α n ι λή άρνηση αναίρεση αρνήσεων Μοναδιαία ανάλυση αν δεν ισχύει ο ένας όρος µιας διάξευξης θα πρέπει να ισχύει ο άλλος Ανάλυση αφαίρεση συµπληρωµατικών όρων από δύο διαζεύξεις και σύµπτυξη των υπολοίπων α α α β, β α α β, β γ α γ Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 35

36 Α όδειξη (Proof) Α όδειξη ρότασης ακολουθία εφαρµογής κανόνων συµπερασµού η οποία παράγει µια δεδοµένη πρόταση από µια αρχική βάση γνώσης Α όδειξη ως αναζήτηση καταστάσεις: πιθανές βάσεις γνώσης ενέργειες: εφαρµόσιµοι κανόνες συµπερασµού διάδοχοι: βάση γνώσης εµπλουτισµένη µε συµπεράσµατα στόχος: µονοπάτι/ακολουθία συµπερασµού ιαδικασία αναζήτησης προς τα εµπρός: από αρχική βάση γνώσης προς πρόταση-στόχο προς τα πίσω: από πρόταση-στόχο προς αρχική βάση γνώσης Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 36

37 Παράδειγµα Ι Βάση Γνώσης R 1 : Γ 1,1 R 2 :Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 3 :Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ) R 4 : Α 1,1 R 5 : Α 2,1 Α όδειξη Γ 1,2 R 6 : (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) R 7 : ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) R 8 : ( Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) R 9 : (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 10 : Γ 1,2 Γ 2,1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 37

38 Παράδειγµα ΙΙ Βάση γνώσης R 1 : Γ 1,1 R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 3 : Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ) R 4 : Α 1,1 R 5 : Α 2,1 R 6 : (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) R 7 : ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) R 8 : ( Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) R 9 : (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 10 : Γ 1,2 Γ 2,1 Α όδειξη Γ 3,1 R 11 : Α 1,2 R 12 : Α 1,2 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 1,3 ) αντιθετοαντιστροφή: R 13 : Γ 2,2 R 14 : Γ 1,3 από R 3 και R 5 : R 15 : Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 από R 15 και R 13 : R 16 : Γ 1,1 Γ 3,1 από R 16 και R 1 : R 17 : Γ 3,1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 38

39 Μονοτονικότητα (Monotonicity) Μονοτονικότητα εάν KB α, τότε KB β α το σύνολο των καλυπτόµενων προτάσεων δεν µειώνεται µε προσθήκη νέων πληροφοριών στη βάση γνώσης Συµ εράσµατα οι κανόνες συµπερασµού µπορούν να εφαρµόζονται ο οτεδή οτε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις τους τα συµπεράσµατα ενός εφαρµόσιµου κανόνα πρέπει να προκύπτουν άσχετα από το τι άλλο υπάρχει στη βάση γνώσης Μη µονοτονικότητα αναλογία µε την αλλαγή γνώµης στην ανθρώπινη συλλογιστική Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 39

40 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 40 Ανάλυση (Resolution) Εφαρµογή διαζευκτικές πρότασεις µε κάποιο συµπληρωµατικό λεκτικό Μοναδιαία ανάλυση (unit resolution) Πλήρης ανάλυση (full resolution) Παραγοντο οίηση (factoring) απολοιφή πολλαπλών αντιγράφων λεκτικών στο συµπέρασµα k i i k l l l l m l l , n j j k i i n k m m m m l l l l m m l l , l i = m l i = m j

41 Πληρότητα Ανάλυσης Πληρότητα πλήρης στρατηγική αναζήτησης εξέταση όλων των κόµβων επαρκείς κανόνες συµπερασµού κάθε συµπέρασµα προσπελάσιµο Θεώρηµα η ανάλυση από µόνη της είναι επαρκής κανόνας συµπερασµού Πληρότητα διάψευσης (refutation completeness) η ανάλυση δεν µπορεί να «αποδείξει» το Α Β, δοθέντος του Α η ανάλυση µπορεί να απαντήσει εάν το Α Β είναι αληθές ή ψευδές Χρησιµότητα επιβεβαίωση ή διάψευση πρότασης, όχι απαρίθµηση συµπερασµάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 41

42 Συζευκτική Κανονική Μορφή (Conjunctive Normal Form CNF) CNF κάθε πρόταση είναι ισοδύναµη µε µια σύζευξη διαζεύξεων λεκτικών clause: διάζευξη λεκτικών CNF: ( ) ( )... ( ) Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) ( Α 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 ) ( Γ 1,2 Α 1,1 ) ( Γ 2,1 Α 1,1 ) k-cnf: ακριβώς k λεκτικά ανά clause (k 3) Μετατρο ή σε CNF απαλοιφή : (α β) ((α β) (β α)) απαλοιφή : (α β) ( α β) µετακίνηση : (α β) ( α β), (α β) ( α β), ( α) α επιµερισµός ως προς : (α (β γ)) ((α β) (a γ)) Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 42

43 Αλγόριθµος Ανάλυσης Α όδειξη KB α ισοδύναµα, απόδειξη ότι η (KB α) είναι µη ικανοποιήσιµη Αλγόριθµος εισάγουµε την α στην KB µετατρέπουµε την (KB α) σε µορφή CNF εφαρµόζουµε τον κανόνα της ανάλυσης σε οποιοδήποτε ζεύγος clauses µπορεί να εφαρµοστεί αν συµπεράνουµε την κενή πρόταση (άτοπο) η πρόταση α καλύπτεται από την KB ειδάλλως η πρόταση α δεν καλύπτεται από την KB Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 43

44 Αλγόριθµος Ανάλυσης Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 44

45 Παράδειγµα Ανάλυσης Βάση γνώσης KB = R 2 R 4 = (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) Α 1,1 Α όδειξη Γ 1,2 Μετατρο ή (KB Γ 1,2 ) σε CNF ( Γ 1,2 Α 1,1 ) ( Α 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 ) ( Γ 2,1 Α 1,1 ) ( Α 1,1 ) (Γ 1,2 ) Ανάλυση Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 45

46 Πληρότητα Ανάλυσης Ολοκλήρωση ανάλυσης (resolution closure) όλες οι διαζευκτικές προτάσεις (clauses) που προκύπτουν από ανάλυση πεπερασµένο σύνολο προτάσεων σε πεπερασµένο σύνολο συµβόλων Θεώρηµα της θεµελιώδους ανάλυσης (ground resolution) Αν ένα σύνολο διαζευτικών ροτάσεων S είναι µη ικανο οιήσιµο, τότε η ολοκλήρωση της ανάλυσης τους RC(S) εριέχει την κενή ρόταση. Α όδειξη απόδειξη της αντιθετοαντιστροφής αν η RC(S) δεν εριέχει την κενή ρόταση, τότε το S είναι ικανο οιήσιµο κατασκευή µοντέλου για την S Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 46

47 Προτάσεις Horn Horn clauses διαζευκτικές προτάσεις µε ένα το ολύ θετικό λεκτικό π.χ. Θ 1,1 Αύρα Α 1,1 Οριστικές ροτάσεις (definite clauses) διαζεύξεις µε ακριβώς ένα θετικό λεκτικό (κανόνες) π.χ. Θ 1,1 Αύρα Α 1,1 (σώµα κεφαλή) λογικός προγραµµατισµός (Prolog) Γεγονότα (facts) µόνο ένα θετικό λεκτικό, π.χ. Α 1,1 Περιορισµοί ακεραιότητας (integrity constraints) µόνο αρνητικά λεκτικά, π.χ. W 1,1 W 1,2 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 47

48 Συµ ερασµός µε ροτάσεις Horn Προς τα εµ ρός αλυσίδα εκτέλεσης (forward chaining) καθοδηγούµενη από τα δεδοµένα (data-driven) εάν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις, συµπεραίνουµε το επακόλουθο καλύπτεται η πρόταση-στόχος από τα δεδοµένα; Προς τα ίσω αλυσίδα εκτέλεσης (backward chaining) κατευθυνόµενη από τους στόχους (goal-directed) για να ισχύει µια πρόταση, πρέπει να ισχύουν οι προϋποθέσεις της είναι αληθείς όλες οι προϋποθέσεις της πρότασης-στόχου; Χρονική ολυ λοκότητα γραµµική ως προς το µέγεθος της βάσης γνώσης! Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 48

49 Ανα αράσταση µε Γράφηµα AND-OR Προτάσεις Horn P Q L M P B L M A P L A B L A B Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 49

50 Παράδειγµα Forward Chaining P Q L M P B L M A P L A B L A B Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 50

58 Forward Chaining Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 58

59 Ορθότητα και Πληρότητα Ορθότητα ο αλγόριθµος forward chaining είναι ορθός κάθε συµπερασµός είναι εφαρµογή του modus ponens Πληρότητα ο αλγόριθµος forward chaining είναι πλήρης κάθε λογικά καλυπτόµενη πρόταση µπορεί να αποδειχθεί Α όδειξη ληρότητας σταθερό σηµείο (fixed point): δεν παράγονται συµπεράσµατα κάθε προτασιακό σύµβολο έχει τιµή Αληθές ή Ψευδές (µοντέλο) έστω ξ Ψευδές, ενώ θα έπρεπε να είναι αληθές τότε θα υπάρχει (α β... γ ξ ) Ψευδής (α β... γ) Αληθής άτοπο, γιατί δεν θα ήταν ο αλγόριθµος στο σταθερό σηµείο Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 59

60 Παράδειγµα Backward Chaining P Q L M P B L M A P L A B L A B Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 60