Αναπαράσταση Γνώσης µε Λογική. Προτασιακή Λογική

Transcript

1 Αναπαράσταση Γνώσης µε Λογική Προτασιακή Λογική 1

2 Αναπαράσταση Γνώσης µε Λογική n Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση (Knowledge-based agents) n Ένα παράδειγµα: Wumpus world n Γενικά για Λογική n Προτασιακή (Boolean) λογική g Μοντέλα, ισοδυναµία, εγκυρότητα, ικανοποιησιµότητα g Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων και απόδειξη θεωρηµάτων forward chaining backward chaining resolution g Αποδοτικές µέθοδοι n Λογική Πρώτης Τάξης (first-order logic) 2

3 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση n Οι πράκτορες που βασίζονται στη γνώση (knowledge-based agents) µπορούν να γίνουν αντιληπτοί ως πράκτορες που ξέρουν πράγµατα σχετικά µε το περιβάλλον και συλλογίζονται σχετικά µε τις ενέργειες που θα εκτελέσουν n Βασικά συστατικά: g Η Βάση Γνώσης (Knowledge Base) είναι ένα σύνολο προτάσεων σχετικά µε τον κόσµο σε κάποια επίσηµη γλώσσα g Η Γλώσσα Αναπαράστασης Γνώσης (Knowledge Representation Language) είναι µια γλώσσα της οποίας οι προτάσεις αντιπροσωπεύουν γεγονότα σχετικά µε τον κόσµο 3

4 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση n Βασικά συστατικά: g Λειτουργίες για Προσθήκη πληροφοριών (προτάσεων) στη βάση γνώσης TELL Ερωτήσεις σχετικά µε το τι είναι γνωστό ASK Παρόµοια µε updates και queries στις βάσεις δεδοµένων g Ο µηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων (inference mechanism) είναι ένας µηχανισµός που προσδιορίζει τι συνεπάγεται από την πληροφορία που έχει προστεθεί στη βάση γνώσης Οι ερωτήσεις που γίνονται στη βάση χρησιµοποιούν αυτό τον µηχανισµό 4

5 Παράδειγµα Εξαγωγής Συµπερασµάτων n Δεδοµένων: g Ο κόκκινος κύβος είναι πάνω από τον µπλε κύβο g Ο πράσινος κύβος είναι πάνω από τον κόκκινο κύβο n Συµπέρανε: Ο πράσινος κύβος είναι πάνω από τον µπλε κύβο g Οι κύβοι σχηµατίζουν έναν πύργο 5

6 Παράδειγµα Εξαγωγής Συµπερασµάτων n Δεδοµένων: Αν έχει ηλιοφάνεια σήµερα, τότε ο ήλιος λάµπει στην οθόνη. Αν ο ήλιος λάµψει στην οθόνη, τότε οι κουρτίνες πρέπει να τραβηχτούν. Οι κουρτίνες δεν είναι τραβηγµένες. n Απάντησε: Έχει ηλιοφάνεια σήµερα? 6

7 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση n Μπορούµε να περιγράψουµε έναν πράκτορα που βασίζεται στη γνώση σε τρία επίπεδα: g Το επίπεδο γνώσης ή επιστηµολογικό επίπεδο Σε αυτό το επίπεδο µπορούµε να περιγράψουµε τον πράκτορα προσδιορίζοντας τι ξέρει για τον κόσµο g Το λογικό επίπεδο Σε αυτό το επίπεδο η γνώση κωδικοποιείται σε προτάσεις κάποιας γλώσσας αναπαράστασης γνώσης g Το επίπεδο υλοποίησης Σε αυτό το επίπεδο οι προτάσεις υλοποιούνται (π.χ. µε µια γλώσσα προγραµµατισµού) 7

8 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση n Παράδειγµα: g Επίπεδο γνώσης ή επιστηµολογικό επίπεδο Ο αυτοµατοποιηµένος οδηγός ταξί ξέρει ότι το Ρίο και το Αντίριο συνδέονται µε γέφυρα g Λογικό επίπεδο Ο αυτοµατοποιηµένος οδηγός ταξί έχει την πρόταση (σε λογική πρώτης τάξης) Συνδέει (Γέφυρα, Ρίο, Αντίριο) g Το επίπεδο υλοποίησης Σε αυτό το επίπεδο η πρόταση Συνδέει (Γέφυρα, Ρίο, Αντίριο) υλοποιείται µε µια γλώσσα προγραµµατισµού (π.χ. C) 8

9 Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση n Ο πράκτορας πρέπει να: g Αναπαριστά καταστάσεις, ενέργειες, κτλ. g Εισάγει νέες αντιλήψεις g Ανανεώνει την εσωτερική αναπαράσταση του κόσµου g Εξάγει κρυφές ιδιότητες του κόσµου g Εξάγει κατάλληλες ενέργειες 9

10 Ο κόσµος του Wumpus n Μέτρο απόδοσης: g για χρυσό g για wumpus, παγίδα (γούβα) g -1 για κάθε βήµα g -10 για βέλος n Περιβάλλον: g Πιθανότητα 20% για παγίδα g Σε Τετράγωνα δίπλα στο Wumpus υπάρχει δυσοσµία και σε τετράγωνο δίπλα σε παγίδα υπάρχει αύρα, στο τετράγωνο όπου είναι ο χρυσός υπάρχει µια λάµψη, κτλ. n Μηχανισµοί δράσης g Μετακίνηση g Στροφή 90 ο g Αρπαγή g Εξακόντιση n Αντιλήψεις g [Δυσοσµία, Αύρα, Λάµψη, Γδούπος, Κραυγή] 10

11 Το περιβάλλον του Wumpus n Πλήρως παρατηρήσιµο? g Όχι µόνο τοπική παρατήρηση n Αιτιοκρατικό? g Ναι τα αποτελέσµατα των ενεργειών είναι προκαθορισµένα n Επεισοδιακό? g Όχι ακολουθιακό σε ότι αφορά τις ενέργειες n Στατικό? g Ναι το Wumpus και οι παγίδες (pits) δεν µετακινούνται n Διακριτό? g Ναι n Μονοπρακτορικό? g Ναι το Wumpus είναι µέρος του περιβάλλοντος, δεν είναι πράκτορας 11

12 Εξερεύνηση στον κόσµο του Wumpus Α = Πράκτορας Β = Αύρα ΟΚ = Ασφαλές τετράγωνο P = Παγίδα S = Οσµή G = Λάµψη 12

13 Εξερεύνηση στον κόσµο του Wumpus Α = Πράκτορας Β = Αύρα ΟΚ = Ασφαλές τετράγωνο P = Παγίδα S = Οσµή G = Λάµψη 13

14 Εξερεύνηση στον κόσµο του Wumpus n Αν έχει αύρα στα [1,2] και [2,1] => δεν υπάρχουν ασφαλείς κινήσεις g αν υποθέσουµε ότι οι παγίδες είναι κατανεµηµένες οµοιόµορφα τότε το [2,2] έχει παγίδα µε πιθανότητα 0.86 (αντί για 0.31) n Αν έχει δυσοσµία στο [1,1] => δεν µπορεί ο πράκτορας να κινηθεί g µπορεί να χρησιµοποιήσει την εξής στρατηγική: Ρίξε βέλος ευθεία Αν το Wumpus ήταν εκεί => νεκρό => ασφαλές Αν το Wumpus δεν ήταν εκεί => ασφαλές 14

15 Γενικά για Λογική n Οι λογικές είναι επίσηµες γλώσσες για την αναπαράσταση πληροφορίας g έτσι ώστε να µπορούν να εξαχθούν συµπεράσµατα n Η σύνταξη καθορίζει τη µορφή των προτάσεων της γλώσσας προσδιορίζοντας ποιες προτάσεις είναι καλά διατυπωµένες n Η σηµασιολογία καθορίζει τη σηµασία των προτάσεων; g κατά πόσο οι προτάσεις ισχύουν (είναι αληθείς) σε κάθε δυνατό κόσµο n Για παράδειγµα η γλώσσα της αριθµητικής g x + 2 y είναι µια καλά διατυπωµένη πρόταση; ενώ η x2 + y > δεν είναι καλά διατυπωµένη πρόταση g x + 2 y είναι αληθές αν και µόνο αν το νούµερο x + 2 δεν είναι µικρότερο από το νούµερο y g x + 2 y είναι αληθές σε έναν κόσµο όπου x=7; y =1 g x + 2 y ψευδές σε έναν κόσµο όπου x=0; y =6 15

16 Λογική n Μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (KR language) ορίζεται από την σύνταξη (syntax) και τη σηµασιολογία (semantics) της g Η σύνταξη αποτελείται από το σύνολο των συµβόλων που χρησιµοποιεί η γλώσσα και των κανόνων σύµφωνα µε του οποίους τα σύµβολα µπορούν να συνδυαστούν g Η σηµασιολογία καθορίζει µια αντιστοιχία µεταξύ συµβόλων, συνδυασµών συµβόλων, προτάσεων της γλώσσας και εννοιών του κόσµου στις οποίες αναφέρονται n Μια πρόταση µιας KR γλώσσας δε σηµαίνει τίποτα από µόνη της g Η σηµασιολογία (δηλ. το νόηµα) της πρότασης πρέπει να προσδιοριστεί από συγγραφέα της γλώσσας µέσω µιας ερµηνείας (interpretation) 16

17 Μοντέλα n Συνήθως στη λογική χρησιµοποιείται ο όρος µοντέλο αντί για δυνατός κόσµος g το m είναι µοντέλο της α θα σηµαίνει ότι η πρόταση α είναι αληθής στο µοντέλο m g Μ(α) είναι το σύνολο όλων των µοντέλων της α n Ένα µοντέλο είναι µια µαθηµατική αφαίρεση ενός πραγµατικού περιβάλλοντος g Π.χ. αν x και y είναι οι αριθµοί των ανδρών και γυναικών που παίζουν σε ένα παιχνίδι µπριτζ τότε οι πρόταση x+y=4 είναι αληθής όταν 4 συνολικά άτοµα παίζουν g όλα τα δυνατά µοντέλα είναι όλες οι δυνατές αναθέσεις τιµών στις µεταβλητές x και y (µπορεί να είναι άπειρα σε πλήθος) n Μια πρόταση λέγεται αληθής κάτω ένα συγκεκριµένο µοντέλο αν οι καταστάσεις του πραγµατικού κόσµου τις οποίες αναπαριστά ισχύουν 17

18 Λογική Κάλυψη (Entailment) n Η λογική κάλυψη (entailment) απλά σηµαίνει ότι µια πρόταση εξάγεται, προκύπτει λογικά, από κάποιες άλλες n Επίσηµα λέµε ότι µια πρόταση α λογικά καλύπτεται (is entailed) από τις προτάσεις µιας βάσης γνώσης (ΒΓ) όταν οποτεδήποτε οι προτάσεις της ΒΓ είναι αληθείς τότε και η α είναι αληθής g σε όλα τα µοντέλα που είναι αληθής η ΒΓ είναι αληθής και η α g Η λογική κάλυψη συµβολίζεται συνήθως ως ΚΒ = α ΚΒ = α αν και µόνο αν Μ(ΚΒ) Μ(Α) 18

19 Λογική Κάλυψη n Η πρόταση Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων εδρεύει στον Πειραιά είναι αληθής σύµφωνα µε το µοντέλο του κόσµου όπου: g το «Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων» αφορά το συγκεκριµένο τµήµα του Παν. Πειραιώς g ο «Πειραιάς» αφορά την συγκεκριµένη πόλη της Αττικής n Η ίδια πρόταση δεν είναι αληθής κάτω από το µοντέλο όπου g ο «Πειραιάς» αφορά το συγκεκριµένο σταθµό του Μετρό g H Ρεάλ Μαδρίτης κέρδισε και η Μπαρτσελόνα κέρδισε = Κέρδισε η Ρεάλ Μαδρίτης ή η Μπαρτσελόνα g (x + y = 4) = (4 = x + y) 19

20 Entailment στον κόσµο του Wumpus n Η κατάσταση αφού ο πράκτορας δε βρει τίποτα στο [1,1], µετακινηθεί δεξιά, και βρει αύρα στο [2,1] g ποια είναι τα µοντέλα των? τετραγώνων σε ότι αφορά παγίδες; 3 δυαδικές επιλογές -> 8 πιθανά µοντέλα 20

21 Entailment στον κόσµο του Wumpus n Η Βάση Γνώσης αποτελείται από: g τους κανόνες του κόσµου του Wumpus g τα δεδοµένα που ισχύουν σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις του πράκτορα n Υπάρχουν 3 µοντέλα για τα οποία η ΒΓ είναι αληθής 21

22 n Η Βάση Γνώσης αποτελείται από: Entailment στον κόσµο του Wumpus g τους κανόνες του κόσµου του Wumpus g τα δεδοµένα που ισχύουν σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις του πράκτορα n Η πρόταση α1: το [1,2] είναι ασφαλές είναι entailed από τη ΒΓ g σε κάθε µοντέλο όπου η α1 είναι αληθής, η ΒΓ είναι αληθής 22

23 Entailment στον κόσµο του Wumpus n Η πρόταση α2: δεν υπάρχει παγίδα στο [2,2] δεν είναι entailed ( =) από τη ΒΓ g σε µερικά µοντέλα η ΒΓ είναι αληθής, η α2 είναι ψευδής g άρα ο πράκτορας δεν µπορεί να συµπεράνει ότι δεν υπάρχει παγίδα στο [2,2]. Χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι σίγουρα υπάρχει 23

24 Εξαγωγή Συµπερασµάτων & Αποδείξεις n O Λογικός Συµπερασµός (logical inference) είναι η διαδικασία της µηχανικής κατασκευής προτάσεων που εξάγονται από µια βάση γνώσης g Μια µορφή λογικού συµπερασµού (έλεγχος µοντέλων) είναι η διαδικασία απαρίθµησης όλων των µοντέλων για να ελεγχθεί αν µια πρόταση α είναι αληθής σε όλα τα µοντέλα όπου µια ΒΓ είναι αληθής g Αν µια πρόταση α εξάγεται από µια ΒΓ χρησιµοποιώντας έναν µηχανισµό εξαγωγής συµπερασµάτων i, γράφουµε ΒΓ - i α g Ένας µηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ορθός (sound) αν κατασκευάζει µόνο προτάσεις που εξάγονται από τη ΒΓ ο έλεγχος µοντέλων είναι ορθός? g Ένας µηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων είναι πλήρης (complete) αν κατασκευάζει όλες τις προτάσεις που εξάγονται από τη ΒΓ 24

25 Εξαγωγή Συµπερασµάτων & Αποδείξεις n Τα βήµατα που απαιτούνται για να δηµιουργηθεί µια πρόταση α από ένα σύνολο προτάσεων ΒΓ ονοµάζεται απόδειξη (proof) g Θεωρία απόδειξης (proof theory) είναι ένα σύνολο από κανόνες για τη δηµιουργία εξαγόµενων προτάσεων από ένα σύνολο προτάσεων n Αν και µια διαδικασία συµπερασµού επενεργεί στη σύνταξη (στις προτάσεις της γλώσσας λογικής), υπάρχει σαφής σχέση µε τον πραγµατικό κόσµο καλύπτει πρόταση πρόταση αναπαράσταση σηµασιολογία σηµασιολογία πραγµατικός κόσµος γεγονός καλύπτει γεγονός 25

26 Γλώσσες Αναπαράστασης Γνώσης n Θα κάνουµε µια σύντοµη επισκόπηση δύο βασικών γλωσσών αναπαράστασης γνώσης: g Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) g Λογική Πρώτης Τάξης ή Κατηγορηµατική Λογική (First Order Logic or Predicate Logic) n Γενικά µια λογική είναι ένα σύστηµα που αποτελείται από: g Σύνταξη g Σηµασιολογία g Θεωρία Απόδειξης n Γιατί δε χρησιµοποιούµε φυσική γλώσσα ή γλώσσες προγραµµατισµού για αναπαράσταση γνώσης? 26

27 Προτασιακή Λογική - Σύνταξη n Ατοµικές προτάσεις g Προτασιακά σύµβολα: P, Q, R, W 1,3, Γ 3,1, Αληθές, Ψευδές Π.χ. το σύµβολο W1,3 αντιπροσωπεύει την ατοµική πρόταση «το Wumpus είναι στο τετράγωνο [1,3] n Λογικά συνδετικά g Άρνηση, W 1,3 Λεκτικά (literals), Θετικό λεκτικό: W 1,3, Αρνητικό λεκτικό:, W 1,3 g Σύζευξη, W 1,3 Γ 3,1 Συζευκτέοι g Διάζευξη, (W 1,3 Γ 3,1 ) W 2,2 Διαζευκτέοι g Συνεπαγωγή, (W 1,3 Γ 3,1 ) W 2,2 προϋπόθεση ή προηγούµενο, συµπέρασµα ή επακόλουθο κανόνες, προτάσεις εάν-τότε g Ισοδυναµία, W 1,3 W 2,2 27

28 Προτασιακή Λογική - Σύνταξη n Η παρακάτω BNF γραµµατική ορίζει τις καλά σχηµατισµένες προτάσεις (well-formed sentences) της ΠΛ Πρόταση ΑτοµικήΠρόταση ΠερίπλοκηΠρόταση ΑτοµικήΠρόταση P 1 P 2... ΠερίπλοκηΠρόταση (Πρόταση) Πρόταση Πρόταση ΔυαδικόΣυνδετικό Πρόταση ΔυαδικόΣυνδετικό n Η γραµµατική είναι πολύ αυστηρή µε τις παρενθέσεις g π.χ. πρέπει να γράφουµε ((Α Β) => Γ) κι όχι Α Β => Γ n Η προτεραιότητα των συνδετικών βοηθάει στην αναγνωσιµότητα g Προτεραιότητα:,,,, Π.χ. P Q R => S ισοδυναµεί µε (( P) (Q R)) => S 28

29 Προτασιακή Λογική - Σηµασιολογία n Ένα προτασιακό σύµβολο µπορεί να συµβολίζει οτιδήποτε θέλουµε και µπορεί να είναι αληθές ή ψευδές. g Δηλαδή η ερµηνεία του µπορεί να είναι οποιοδήποτε γεγονός ή έννοια του πραγµατικού κόσµου g Το γεγονός αυτό θα είναι είτε αληθές είτε ψευδές στον πραγµατικό κόσµο g Τι ακριβώς είναι η ερµηνεία? n Ας θεωρήσουµε ένα σύνολο προτασιακών συµβόλων. Μια ερµηνεία (interpretation) του είναι µια αντιστοίχιση Ι : {true, false} Δηλαδή καθορίζει ένα µοντέλο για τα σύµβολα για παράδειγµα W1,1 = false, W2,1 = false, W1,2 = true n Η έννοια της ερµηνείας µπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε καλά σχηµατισµένη πρόταση χρησιµοποιώντας την ερµηνεία των λογικών συνδετικών 29

30 Προτασιακή Λογική - Σηµασιολογία n Η σηµασιολογία της ΠΛ πρέπει να καθορίζει πως υπολογίζεται η τιµή αληθείας οποιασδήποτε πρότασης µε δεδοµένο ένα µοντέλο g g g Εφόσον όλες οι προτάσεις κατασκευάζονται από ατοµικές προτάσεις και τα συνδετικά, πρέπει να καθορίσουµε: 1. πως υπολογίζεται η αλήθεια των ατοµικών προτάσεων 2. πως υπολογίζεται η αλήθεια των προτάσεων που σχηµατίζονται µε καθένα από τα συνδετικά Το πρώτο είναι απλό Η true είναι αληθής σε κάθε µοντέλο και η false είναι ψευδής σε κάθε µοντέλο Η τιµή αλήθειας κάθε άλλου προτασιακού συµβόλου καθορίζεται άµεσα στο µοντέλο (π.χ. W1,1 = false, W2,1 = false, W1,2 = true) Για το δεύτερο έχουµε κανόνες Π.χ. Για οποιαδήποτε πρόταση s και µοντέλο m, η πρόταση s είναι αληθής στο m εάν και µόνο η s είναι ψευδής στο m 30

31 Σηµασιολογία Πίνακες Αληθείας n Οι κανόνες για το κάθε συνδετικό µπορούν να συνοψιστούν σε έναν πίνακα αληθείας (truth table) g µε χρήση των πινάκων µπορεί να υπολογιστεί η τιµή αληθείας κάθε πρότασης αναδροµικά P Q P P Q P Q P Q P Q ψευδές ψευδές αληθές ψευδές ψευδές αληθές αληθές ψευδές αληθές αληθές ψευδές αληθές αληθές ψευδές αληθές ψευδές ψευδές ψευδές αληθές ψευδές ψευδές αληθές αληθές ψευδές αληθές αληθές αληθές αληθές 31

32 Σηµασιολογία Πίνακες Αληθείας 32

33 Σηµασιολογία Πίνακες Αληθείας n Οι πίνακες αληθείας είναι σύµφωνοι µε την ανθρώπινη διαίσθηση g προσοχή στο P Q (είναι αληθές όταν P και Q είναι αληθή) εκτός από την περίπτωση του P Q g P συνεπάγεται Q (αν P τότε Q) Στην ΠΛ δεν χρειάζεται να υπάρχει σχέση αιτιότητας ή συνάφειας µεταξύ P και Q. Η πρόταση «βρέχει στην Κοζάνη => η Κρήτη είναι νησί» είναι απόλυτα σωστή στην ΠΛ οποιαδήποτε συνεπαγωγή είναι αληθής όταν η προϋπόθεση της είναι ψευδής. Π.χ. «η Κοζάνη είναι νησί => θα χιονίσει τα Χριστούγεννα» είναι αληθής πρόταση άσχετα µε το αν θα χιονίσει τα Χριστούγεννα ή όχι. P Q στην ΠΛ µας λέει «Αν ισχύει το P ισχυρίζοµαι ότι είναι αληθές το Q, αλλιώς δεν ισχυρίζοµαι τίποτα» Αυτό είναι ψευδές µόνο αν το P είναι αληθές και το Q ψευδές 33

34 Σηµασιολογία Πίνακες Αληθείας n Ο πίνακας αληθείας για την ισοδυναµία δείχνει ότι το P Q είναι αληθές όταν είναι αληθές το P Q και το Q P n Ας σκεφτούµε τους κανόνες του κόσµου του Wumpus. Πως θα γράψουµε τον κανόνα που µας λέει ότι ένα τετράγωνο έχει αύρα αν ένα γειτονικό τετράγωνο έχει παγίδα; Β1,1 (P1,2 P2,1) ή Β1,1 (P1,2 P2,1) g Η συνεπαγωγή απαιτεί να υπάρχει παγίδα αν υπάρχει αύρα αλλά δεν αποκλείει να υπάρχει παγίδα όταν δεν υπάρχει αύρα αυτό το κάνει η ισοδυναµία 34

35 Μια απλή βάση γνώσης n Θα ασχοληθούµε µόνο µε τις παγίδες (γούβες): g R 1 : Γ 1,1 g R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ). g R 3 : Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ). g R 4 : Α 1,1 g R 5 : Α 2,1 n Βάση γνώσης: Σύζευξη προτάσεων g KB R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 35

36 Συµπερασµός µε απαρίθµηση n Θέλουµε να απαντάµε σε ερωτήσεις της µορφής: KB α? n 7 µεταβλητές: Α 1,1, Α 2,1, Γ 1,1, Γ 1,2, Γ 2,1, Γ 2,2 και Γ 3,1 n 2 7 =128 δυνατά µοντέλα n Η ΚΒ είναι αληθής σε 3 από αυτά. g KB Γ 1,2 g KB Γ 2,2 g KB Γ 2,2 n Χρονική πολυπλοκότητα: Ο(2 n ) n Χωρική πολυπλοκότητα: Ο(n) g όπου n το πλήθος των προτασιακών συµβόλων n Κάθε γνωστός πλήρης αλγόριθµος συµπερασµού για την προτασιακή λογική έχει µια πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης που είναι εκθετική ως προς το µέγεθος της εισόδου. 36

37 Λογική ισοδυναµία Δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναµες αν είναι αληθείς στο ίδιο σύνολο µοντέλων n (α β) (β α) αντιµεταθετικότητα του n (α β) (β α) αντιµεταθετικότητα του n ((α β) γ) (α (β γ)) προσεταιριστικότητα του n ((α β) γ) (α (β γ)) προσεταιριστικότητα του n ( α) α απαλοιφή διπλής άρνησης n (α β) ( β α) αντιθετοαντιστροφή n (α β) ( α β) απαλοιφή συνεπαγωγής n (α β) ((α β) (β α) απαλοιφή αµφίδροµης υποθετικής πρότασης n (α β) ( α β) νόµος De Morgan n (α β) ( α β) νόµος De Morgan n (α (β γ)) ((α β) (a γ)) επιµεριστικότητα του ως προς το n (α (β γ)) ((α β) (a γ)) επιµεριστικότητα του ως προς το 37

38 Έγκυρες και Ικανοποιήσιµες προτάσεις n Έγκυρες προτάσεις: Είναι αληθείς σε όλα τα µοντέλα g π.χ. P P n Ικανοποιήσιµες προτάσεις: Είναι αληθείς σε τουλάχιστον ένα µοντέλο. g Η πρόταση α είναι αληθής στο µοντέλο m. Το m ικανοποιεί την α. To m είναι ένα µοντέλο της α g π.χ. P, P Q, (P R) Q n µη ικανοποιήσιµες προτάσεις: δεν είναι αληθείς σε κανένα µοντέλο g π.χ. P P n Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών n Η α είναι έγκυρη εάν και µόνο αν η α δεν είναι ικανοποιήσιµη. n Απαγωγή σε άτοπο: g α β εάν και µόνο εάν η πρόταση (α β) είναι µη ικανοποιήσιµη. 38

39 Πολυπλοκότητα στην Προτασιακή Λογική n Θεώρηµα: Το πρόβληµα του καθορισµού αν µια πρόταση της ΠΛ είναι ικανοποιήσιµη είναι NP-complete (Cook, 1971) g Το πρόβληµα του καθορισµού αν µια πρόταση του ΠΛ είναι έγκυρη είναι co-np-complete g Είναι πολύ απίθανο να βρούµε έναν πολυωνυµικό αλγόριθµο για αυτά τα προβλήµατα n Μια πρόταση της ΠΛ καλείται πρόταση Horn αν είναι της µορφής P 1 P 2... P n Q ή ισοδύναµα P 1 P 2... P n Q n Θεώρηµα: Αν η φ είναι µια σύζευξη προτάσεων Horn τότε το αν η φ είναι ικανοποιήσιµη µπορεί να βρεθεί σε πολυωνυµικό χρόνο 39

40 Κανόνες Εξαγωγής Συµπερασµάτων στην ΠΛ n Ένας κανόνας εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ένας κανόνας της µορφής α 1, α 2,..., α n = β όπου οι α 1, α 2,..., α n είναι προτάσεις που ονοµάζονται συνθήκες (conditions) και η β είναι µια πρόταση που ονοµάζεται συµπέρασµα (conclusion) n Όποτε έχουµε ένα σύνολο προτάσεων που ταιριάζουν µε τις συνθήκες ενός κανόνα τότε µπορούµε να εξάγουµε την πρόταση που είναι το συµπέρασµα του κανόνα 40

41 Κανόνες Εξαγωγής Συµπερασµάτων στην ΠΛ n Modus Ponens (τρόπος του «θέτειν»): (α β) α = β n And-Elimination (απαλοιφή του «και»): α 1 α 2... α n = α i n And-Introduction (εισαγωγή του «και»): α 1, α 2,..., α n = α 1 α 2... α n n Or-Introduction (εισαγωγή του «ή»): α i = α 1 α 2... α n n Double-Negation Elimination (απαλοιφή διπλής άρνησης) : α = α n Unit Resolution (µοναδιαία ανάλυση): (α β) β = α n Resolution (ανάλυση): (α β) ( β γ) = (α γ) 41

42 Πρότυπα συλλογιστικής στην προτασιακή λογική 42

43 Μέθοδοι Απόδειξης n Οι µέθοδοι απόδειξης χωρίζονται σε δύο γενικές κατηγορίες: g Εφαρµογή κανόνων συµπερασµού Ορθός τρόπος παραγωγής νέων προτάσεων από υπάρχουσες Απόδειξη = µια ακολουθία εφαρµογής κανόνων συµπερασµού Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους κανόνες συµπερασµού ως τις πιθανές ενέργειες σε έναν γενικό αλγόριθµο αναζήτησης g Επαλήθευση Μοντέλων Απαρίθµηση πίνακα αληθείας (πάντα µε εκθετικό κόστος) βελτιωµένη αναζήτηση υπαναχώρησης (Davis-Putnam-Logemann-Loveland αλγόριθµος) ευριστική αναζήτηση στο χώρο µοντέλων (ορθή αλλά όχι πλήρης) π.χ., hill-climbing αλγόριθµοι 43

44 Κανόνες συµπερασµού n Modus ponens («τρόπος του θέτειν») n Απαλοιφή του ΚΑΙ n Όλες οι λογικές ισοδυναµίες, π.χ. 44

45 Παράδειγµα (1/3) n Θα αποδείξουµε το Γ 1,2 : g R 6 : (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g R 7 : ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) R 1 : Γ 1,1 R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) R 3 : Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ) R 4 : Α 1,1 R 5 : Α 2,1 g R 8 : ( Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) g R 9 : (Γ 1,2 Γ 2,1 ) g R 10 : Γ 1,2 Γ 2,1 g R 11 : Γ 1,2 45

46 Αποδείξεις n Η παραπάνω συλλογιστική διαδικασία ονοµάζεται απόδειξη g Η εύρεση αποδείξεων είναι ακριβώς σαν την εύρεση λύσεων σε προβλήµατα αναζήτησης Αρχική κατάσταση? Μετάβαση µεταξύ καταστάσεων (συνάρτηση διαδόχων)? µπορούν να εφαρµοστούν όλοι οι γενικοί αλγόριθµοι αναζήτησης n Διαδικασία αναζήτησης g Προς τα εµπρός g Προς τα πίσω g είναι πολύ πιο αποδοτική από την απαρίθµηση µοντέλων στην πράξη επειδή αγνοεί πολλές άσχετες ατοµικές προτάσεις. n Μονοτονικότητα g εάν KB α τότε KB β α 46

47 Παράδειγµα (2/3) n Από τις προτάσεις: g R 1 : Γ 1,1 g R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) g R 3 : Α 2,1 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 ) g R 4 : Α 1,1 g R 5 : Α 2,1 g R 6 : (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g R 7 : ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g R 8 : ( Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) g R 9 : (Γ 1,2 Γ 2,1 ) g R 10 : Γ 1,2 Γ 2,1 n και πηγαίνοντας από το [2,1] στο [1,1] και µετά στο [1,2], όπου υπάρχει δυσοσµία αλλά όχι αύρα, προκύπτουν 47

48 Παράδειγµα (3/3) n (συνέχεια ) g R 11 : Α 1,2 g R 12 : Α 1,2 (Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 1,3 ) n Εφαρµόζοντας αντιθετοαντιστροφή και modus ponens παίρνουµε: g R 13 : Γ 2,2 g R 14 : Γ 1,3 n Από τις R 3 και R 5 παίρνουµε: g R 15 : Γ 1,1 Γ 2,2 Γ 3,1 n Από την R 15 και την R 13 παίρνουµε: g R 16 : Γ 1,1 Γ 3,1 n Τέλος από την R 16 και την R 1 παίρνουµε: g R 17 : Γ 3,1 48

49 Ανάλυση (resolution) n Μοναδιαία ανάλυση (unit resolution) l i = m n Πλήρης ανάλυση l i = m j n Διαζευκτική πρόταση, συµπληρωµατικά λεκτικά n Παράδειγµα: 49

50 Πληρότητα n Οποιοσδήποτε πλήρης αλγόριθµος αναζήτησης που εφαρµόζει µόνο τον κανόνα της ανάλυσης µπορεί να συνάγει οποιοδήποτε συµπέρασµα που καλύπτεται λογικά από οποιαδήποτε βάση γνώσης της προτασιακής λογικής. n Με δεδοµένο το Α δεν µπορεί να «αποδείξει» το Α Β. n Μπορεί όµως να απαντήσει εάν το Α Β είναι αληθές ή ψευδές. g Πληρότητα διάψευσης 50

51 Συζευκτική κανονική µορφή (conjunctive normal form, CNF) n Κάθε πρόταση της προτασιακής λογικής είναι λογικά ισοδύναµη µε µια σύζευξη διαζεύξεων λεκτικών. n Διαδικασία µετατροπής σε CNF (παράδειγµα για R 2 ): g R 2 : Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 ) Αλγόριθµος g Απάλειψε τις µε τον κανόνα (p q) ισοδυναµεί µε ( p q) g Χρησιµοποίησε τους κανόνες de Morgan s ώστε οι αρνήσεις να εφαρµόζονται σε ατοµικά λεκτικά g Επιµερισµός των και για να πάρουµε σύζευξη διαζεύξεων g (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) ((Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g ( Α 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 ) ( (Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g ( Α 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 ) (( Γ 1,2 Γ 2,1 ) Α 1,1 ) g ( Α 1,1 Γ 1,2 Γ 2,1 ) ( Γ 1,2 Α 1,1 ) ( Γ 2,1 Α 1,1 ) 51

52 Αλγόριθµος ανάλυσης n Για να αποδείξουµε το KB α, αποδεικνύουµε ότι η (KB α) είναι µη ικανοποιήσιµη: g Εισάγουµε στην KB την α. g Μετατρέπουµε την (KB α) σε µορφή CNF. g Εφαρµόζουµε τον κανόνα της ανάλυσης σε οποιοδήποτε ζεύγος προτάσεων όπου µπορεί να εφαρµοστεί. g Εάν καταλήξουµε σε άτοπο, η πρόταση α καλύπτεται από την KB. άτοπο σηµαίνει κενή πρόταση (false) g Ειδάλλως δεν καλύπτεται 52

53 Αλγόριθµος ανάλυσης 53

54 Παράδειγµα n Έστω οι δύο προτάσεις R 2 και R 4 : g KB = R 2 R 4 = (Α 1,1 (Γ 1,2 Γ 2,1 )) Α 1,1 n Θέλουµε να αποδείξουµε την Γ 1,2. n Μετατρέπουµε την (KB Γ 1,2 ) σε CNF και εφαρµόζουµε την ανάλυση: 54

55 Προτάσεις Horn n Διαζευκτικές προτάσεις µε το πολύ ένα θετικό λεκτικό: g Θ 1,1 Αύρα Α 1,1 g Λογικός προγραµµατισµός, Prolog n Οριστικές προτάσεις: Διαζεύξεις µε ακριβώς ένα θετικό λεκτικό. n Γράφονται και ως «κανόνες»: g Θ 1,1 Αύρα Α 1,1 Κεφαλή (head) κανόνα: Θ 1,1 Αύρα Σώµα (body) κανόνα: Α 1,1 n Γεγονότα (facts): Μόνο ένα θετικό λεκτικό. n Περιορισµοί ακεραιότητας (integrity constraints): Μόνο αρνητικά λεκτικά. g W 1,1 W 1,

56 Συµπερασµός µε προτάσεις Horn n Προς τα εµπρός αλυσίδα εκτέλεσης g Καθοδηγούµενη από τα δεδοµένα n Προς τα πίσω αλυσίδα εκτέλεσης g Καθοδηγούµενη από τους στόχους n Γραµµικός χρόνος ως προς το µέγεθος της βάσης γνώσης n Γράφηµα AND-OR g P Q g L M P g B L M g A P L g A B L g A g B

57 Αποδοτικός Προτασιακός Συµπερασµός 57

58 Αλγόριθµος DPLL n Davis, Putman, Logemann, Loveland (1962) n Πλήρης αναζήτηση µε υπαναχώρηση n Αναδροµική, πρώτα σε βάθος, απαρίθµηση των δυνατών µοντέλων. n Βελτιώσεις g Πρόωρος τερµατισµός: Μπορούµε να συµπεράνουµε για την αλήθεια ή το ψεύδος µιας πρότασης, χωρίς να έχουµε τις τιµές όλων των µεταβλητών. (A B) (A C) g Αµιγή σύµβολα: Εµφανίζονται µε το ίδιο πρόσηµο σε όλες τις προτάσεις. (A B) ( B C) (C A) g Μοναδιαίες διαζευκτικές προτάσεις: Όλα τα λεκτικά εκτός από ένα είναι Ψευδή. n Το πρόβληµα ικανοποιησιµότητας στην προτασιακή λογική είναι γνωστό ως SAT

59 DPLL Πλήρης Αλγόριθµος για SAT n Davis Putnam Logemann and Loveland algorithm (DPLL) g Ανακαλύφθηκε από τους Davis, Logemann and Loveland το 1962 g Ο αρχικός SAT αλγόριθµος των Davis & Putnam του 1960 χρειαζόταν εκθετικό χώρο g Ο DPLL «θυσίασε» χρόνο για χώρο για να δηµιουργήσουν έναν αλγόριθµο που απαιτεί µόνο γραµµικό χώρο 59

60 DPLL n Αλγόριθµος g Υποθέστε ότι έχουµε ένα σύνολο προτάσεων σε CNF (X Y) ( X Z) ( Y Z) g Βασική Ιδέα Δοκίµασε X=true «Διέγραψε» όρους που είναι true 60

61 DPLL n Αλγόριθµος g Υποθέστε ότι έχουµε ένα σύνολο προτάσεων σε CNF ( X Z) ( Y Z) g Βασική Ιδέα Δοκίµασε X=true «Διέγραψε» όρους που είναι true Απλοποίησε όρους που περιέχουν το X 61

62 DPLL n Αλγόριθµος g Υποθέστε ότι έχουµε ένα σύνολο προτάσεων σε CNF ( Z) ( Y Z) g Βασική Ιδέα Δοκίµασε X=true «Διέγραψε» όρους που είναι true Απλοποίησε όρους που περιέχουν το X Τώρα µπορούµε να αποφανθούµε ότι το Z πρέπει να είναι true Κάποια στιγµή µπορεί να χρειαστεί να οπισθοδροµήσουµε και να δοκιµάσουµε το X=false 62

63 DPLL 63

64 DPLL Βασικές Ιδιότητες n Ο αλγόριθµος DPLL µπορεί να συµπεράνει ότι το πρόβληµα έχει λύση χωρίς να έχει κάνει ανάθεση τιµής σε όλες τις µεταβλητές g ( Α Β C) (Α Β D) είναι true αν το Β είναι true ανεξάρτητα από τις τιµές των άλλων µεταβλητών n Επίσης ο αλγόριθµος DPLL µπορεί να συµπεράνει ότι το πρόβληµα είναι false χωρίς να έχει κάνει ανάθεση τιµής σε όλες τις µεταβλητές g ( Α Β C) (Α Β D) είναι false αν το Α είναι true και τα Β C είναι false ανεξάρτητα από την τιµή του D 64

65 DPLL Βασικές Ιδιότητες n Unit Clauses (µοναδιαίοι όροι) g Ένας όρος είναι unit όταν περιέχει µόνο ένα literal g Επίσης ένας όρος θεωρείται unit όταν όλα τα literals εκτός από ένα είναι false Αν στο πρόβληµα ( Α Β C) (Α Β D) το A είναι true και το Β είναι false τότε ο όρος ( Α Β C) είναι unit και προφανώς το C πρέπει να τεθεί σε true n To unit clause heuristic εντοπίζει όλα τα unit clauses και θέτει τις ελεύθερες µεταβλητές που περιέχουν στην κατάλληλη τιµή ώστε να γίνουν οι όροι true g αυτό µπορεί να δηµιουργήσει καινούργια unit clauses 65

66 DPLL Αλγόριθµος (απλοποιηµένη έκδοση) current_literal = 0; while (not solution found) and (not insolubility proved) if both values of have current_literal been tried if current_literal=0 print insolubility has been proved ; break; else current_literal--; else set current_literal to its next available value; if all clauses are true then print solution; break; else if there is no false clause current_literal++; endwhile 66

67 DPLL n Βελτιώσεις βασικού αλγόριθµου g heuristics διάταξης µεταβλητών και τιµών Ποια θα είναι η επόµενη µεταβλητή που θα πάρει τιµή? Ποια τιµή (true/false) θα δοκιµαστεί πρώτα? g Άλλες βελτιώσεις Pure literals Clause learning Έξυπνη οπισθοδρόµηση Έξυπνη υλοποίηση 67

68 Αλγόριθµοι τοπικής αναζήτησης n Αναρρίχηση λόφων, Προσοµοιωµένη ανόπτηση, n Ευρετική συνάρτηση: Πλήθος διαζευκτικών προτάσεων που δεν ικανοποιούνται. n Αλγόριθµος WalkSat: g Επιλογή τυχαίας διαζευκτικής πρότασης g Επιλογή συµβόλου για αλλαγή τιµής: Επιλογή τυχαίου συµβόλου, µε πιθανότητα p Επιλογή συµβόλου που βελτιστοποιεί την ευρετική συνάρτηση, µε πιθανότητα 1-p

69 Greedy Local Search: GSAT n Ο GSAT είναι ένας αλγόριθµος αναρρίχησης λόφων για την επίλυση SAT προβληµάτων n Αρχίζοντας µε µια αρχική ανάθεση τιµών στις µεταβλητές προσπαθεί να φτάσει σε λύση (ανάθεση τιµών σε µεταβλητές έτσι ώστε να ικανοποιούνται όλοι οι όροι) αλλάζοντας τιµές σε µεταβλητές µε βάση µια συνάρτηση αποτίµησης (κόστος) g το κόστος είναι το πλήθος των όρων που είναι FALSE n O GSAT δεν είναι πλήρης αλλά σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να βρει λύση πολύ γρήγορα 69

70 Greedy Local Search: GSAT n Χώρος αναζήτησης S g το σύνολο όλων των πιθανών αναθέσεων τιµών σε όλες τις προτασιακές µεταβλητές n Σύνολο λύσεων S S g τα µοντέλα της CNF φόρµουλας, δηλ. το σύνολο αναθέσεων τιµών που κάνουν το πρόβληµα TRUE n Διαθέσιµες ενέργειες g αλλαγή της τιµής µιας µεταβλητής g γειτονικές καταστάσεις διαφέρουν στην τιµή µόνο µιας µεταβλητής n Συνάρτηση αποτίµησης f : S -> Ν g το πλήθος των όρων που δεν ικανοποιούνται (είναι FALSE) µε την τρέχουσα ανάθεση 70

71 Greedy Local Search: GSAT n GSAT: g Ξεκίνα µε µια τυχαία ανάθεση τιµών (0 ή 1) στις µεταβλητές Αν όλοι οι όροι είναι TRUE βρέθηκε λύση g Άλλαξε την τιµή της µεταβλητής που επιφέρει τη µεγαλύτερη µείωση στο πλήθος των FALSE όρων g Επανέλαβε µέχρι όλοι οι όροι να γίνουν TRUE, ή µέχρι να έχουν πραγµατοποιηθεί «αρκετές» αλλαγές τιµών µεταβλητών g Αν δεν έχει βρεθεί λύση, επανέλαβε τη διαδικασία, αρχίζοντας από διαφορετική αρχική ανάθεση τιµών

72 GSAT n Παράµετροι του αλγόριθµου: g το όριο των αλλαγών τιµών σε µεταβλητές (max flips) όταν ο αλγόριθµος φτάσει αυτό το όριο χωρίς να έχει βρει λύση επαναλαµβάνει τη διαδικασία µε διαφορετική αρχική ανάθεση g το όριο των προσπαθειών (max tries) (δηλ. πόσες φορές θα επαναληφθεί η διαδικασία) όταν ο αλγόριθµος φτάσει αυτό το όριο χωρίς να έχει βρει λύση, τερµατίζει ανεπιτυχώς g ένα σύνολο προτάσεων προτασιακής λογικής σε CNF (φόρµουλα α) 72

73 GSAT procedure GSAT(a, maxtries, maxflips) for i :=1 to maxtries do A := randomly chosen assignment of the variables in a for j:=1 to maxflips do if A satisfies a then return (A) else x := randomly chosen variable of a whose flip satisfies the maximum number of clauses under the current assignment A if by flipping x you get a cost current cost then flip value of x in A endif endfor endfor return ( No model found ) 73

74 PL-WUMPUS-AGENT Function PL-Wumpus-Agent update x,y, orientation if smell then TELL(KB, D_xy) else TELL(KB, not(d_xy)) if breeze then TELL(KB, _Bxy) else TELL(KB, not(b_xy)) if shine then act=grasp else if plan not empty then act=pop(plan) else if (for an (i,j) ASK(KB,(notTrap_ij AND not Wumpus_ij)) is True) or (for an (i,j) ASK(KB,(Trap_ij OR Wumpus_ij)) is False) then plan = A*-GRAPH_SEARCH(ROUTE((x,y),(i,j),checked)) act= pop(plan) Else act=chose_randomly Return act Η ROUTE κατασκευάζει ένα πρόβληµα αναζήτησης για τη µετάβαση από το (x,y) στο (i,j) µέσω ελεγµένων θέσεων. 74