Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Transcript

1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει: α Ρίζα ή λύση εξίσωσης : Η τιμή του αγνώστου που επαληθεύει την εξίσωση.η διαδικασία που ακολουθούμε λέγεται επίλυση Π. χ: y+ 4= 8 y= 4+ 8 y=+ 4 y= Αδύνατη Εξίσωση : Η εξίσωση η οποία δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του αγνώστου. Μορφή : x= α, όπου α πραγματικός αριθμός. Π. χ: x= 8, x+ 5= x 9, 3x+ 15= 9x 9 Αόριστη Εξίσωση ή Ταυτότητα : Η εξίσωση η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές του αγνώστου. Μορφή : x= Π. χ: x+ 5=+ 5, x+ 5+ 4= x+ 9, 3x+ 5= 9x+ 65 Διερεύνηση της εξίσωσης α x+ = ήα x=, όπου α, πραγματικοί αριθμοί α Μοναδική λύση x=- α α= και Αδύνατη α= και = Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Μαθηματικός Τηλ /

2 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 Εξισωσεις Με Κλάσματα και Παρενθέσεις 1 Απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών. Προσοχή!!! Όταν σε αριθμητή έχουμε τον άγνωστο μαζί με αριθμό πρέπει να τα άλουμε σε παρένθεση. Απαλοιφή παρενθέσεων, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση ή ως προς την αφαίρεση. 3 Χωρίζουμε ο γνωστούς από αγνώστους.προτιμάμε στο 1 μέλος ( αριστερά από το ίσον) να έχουμε τον άγνωστο και στο τους γνωστούς(αριθμοί ή γράμματα) Προσοχή!!! Αλλάζοντας μέλος σε έναν όρο του αλλάζουμε και το πρόσημο. ο 4 Εκτελούμε αναγωγήομοίων όρων, δηλαδή κάνουμε σύμπτηξη του αγνώστου και των αριθμών. Π. χ: 3x+ 5+ 5x 6+ 4x 6x+ 9= 3x+ 5x+ 4x 6x = ( ) x+ (5 6+ 9) = 1 x+ 1= x+ 1 Προσοχή!!!! x= 1 x και x= 1 x 5 Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. Μαθηματικός Τηλ /146445

3 x 1 4( x+ 6) 1 x 3 Π1 Να λυθεί η εξίσωση : x+ = + 3x Λύση 1 Απαλοιφή παρονομαστών:ε.κ.π.(,4,8) = 8 4 ( x ) x x+ 1 ( = x 8 x ) ( x 1) 8 x+ 4( x+ 6) = 1+ 4x 6 ( x 3) Απαλοιφή παρενθέσεων 4x 48 8x+ 4x+ 4= 1+ 4x 1x Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. 4x 8x+ 4x 4x+ 1x= Εκτελούμε αναγωγή ομοίων όρων 1x= 5 5 Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου 1 1 x 5 13 = x= 1 3 Μαθηματικός Τηλ /

4 3 Εξίσωση της μορφής Α x= ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Οι εξισώσεις αυτές μετά από καταλήγουν στη μορφή Α x=. παραγοντοποίηση Πρέπει να γνωρίζουμε πολύ καλά τις γνωστές μας ταυτότητες: 1 ( α+ ) = α + α+ ( α ) = α α+ 3 α = ( α+ )( α ) 4 ( α+ + γ) = α + + γ + α+ αγ+ γ ( α+ ) = α + 3α+ 3α + = α + + 3αα ( + ) ( α ) = α 3α+ 3α = α 3αα ( ) α = α α + α+ 3 3 α + = α+ α α ( α+ + γ) = α + + γ + 3( α+ )( + γ)( γ+ α) 1 Ταυτότητα Euler α + + γ 3αγ= α+ + γ α + + γ α γ γα ή α + + γ 3αγ= ( α+ + γ)( α ) + ( γ) + ( γ α) Συμπεράσματα: + + = + + = Αν α γ τότε: α γ 3αγ α + + γ = 3αγ = = + + = Αν α γ τότε : α γ 3αγ Αν α + + γ = 3αγ α + + γ = 3 αγ τότε: α+ + γ= ή α= = γ 11 Ταυτότητα De Mivre α + + γ α γ γα = ( α+ + γ)( α + γ)( α+ γ)( α γ) ( α ) 1 α = α α + α + α ν ν ν ν ν ν ν (Θα πρέπει το άθροισμα των εκθετών να είναι ίσο με ν 1) Μαθηματικός Τηλ /

5 Π4 Λύση 3 Να λυθεί η εξίσωση: x + 9x + x= Η εξίσωση είναι 3ου αθμού αλλά δεν έχει σταθερό συντελεστή.πρώτη μας κίνηση είναι να γάλουμε κοινό παράγοντα στη μικρότερη δύναμη.δηλαδή το x 3 x + 9x + x = x x + 9x+ = ( 5 4 ) [ Διάσπαση του όρου 9] x x + x+ x+ = x x + 4x+ 5x+ = [ ομαδοποίηση] x x( x 4) 5( x 4) = [ κοινός παράγοντας] x ( x+ 4)( x+ 5) = [ Α Β... Κ= Α= ή Β= ή... Κ= ] Άρα : x= ή x+ 4= ή x+ 5= x= ή x= 4 ή x= 5 Π5 3 Να λυθεί η εξίσωση: x 6x= 18 Λύση Τα φέρνουμε όλα σε ένα μέλος κατά προτίμηση στο 1ο μέλος. ( ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Αλλάζοντας μέλος αλλάζει και το πρόσημο) 3 3 x 6x 18 x 6x 9 + = + = 3 x 9x+ 3x+ 9= [ Διάσπαση του όρου 6x] 3 x 9x+ 3 x+ 9= [ Ομαδοποίηση] ( 9) 3( x 3) [ Κοινός παράγοντας] x x + + = x( x 3)( x+ 3) + 3( x+ 3) = Ανάπτυγμα ταυτότητας α ( α )( α ) = + ( x+ 3) x( x 3) 3 + = [ Κοινός παράγοντας] ( x 3)( x 3x 3) [... ή ή... ] + + = Α Β Κ= Α= Β= Κ= Άρα : x+ 3= ή x 3x+ 3= x x x = 3 το τριώνυμο : 3 + 3= Α ΥΝΑΤΗ Μαθηματικός Τηλ /

6 4 Εξίσωση κλασματικής μορφής ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ονομάζουμε κλασματική εξίσωσητην εξίσωση που περιέχει στον παρονομαστή τον άγνωστο σε διάφορους αθμούς. Για την επίλυση τέτοιας εξίσωσης ακολουθούμε τα εξής ήματα: 1 Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές( όποιος χρειάζεται) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Πτων παρονομαστών ( κοινοί και μη κοινοί όροι στη μεγαλύτερη δύναμη) 3 Θέτουμε το Ε.Κ.Π [ Σε κάθε κλάσμα ΠΡΕΠΕΙ:παρονομαστής ] και άζουμε τους περιορισμούς για τον άγνωστο, ώστε αν καταλήξουμε σε λύση που έχουμε από τον περιορισμό την απορρίπτουμε. 4 Πολλ/με κάθε όρο με το Ε.Κ.Π. 5 Επιλύουμε την εξίσωση αναλόγως την μορφή. 6 Δεχόμαστε μόνο τις λύσεις που δεν έρχονται σεαντίθεση με τους περιορισμούς. x+ 4 x+ 1 Π6 Να λυθεί η εξίσωση: = x+ 3 x + x 3 ( x 1) Λύση ο 1 Διακρίνουμε ότι η δευτεροάθμια εξίσωση : x + x 3 χρειάζεται παραγοντοποίηση. Διάσπαση όρου 3 Ομαδοποίηση x + x 3 = x + x 1 = x 1+ x Ανάπτυγμα Ταυτότητας Κοινός παράγοντας = = ( x 1)( x+ 3) Κοινός Παράγοντας ( x 1)( x+ 1) + ( x 1) = ( x 1)( x+ 1+ ) Μαθηματικός Τηλ /

7 ο ( x+ )( x )( x+ ) ( x ) = ( x )( x+ ) Ε.Κ.Π 3, 1 3, ( x )( x ) ο 3 Πρέπει : x 1 x+ 3 x 1 και x+ 3 ο ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ x 1 και x 3 ( x )( x+ ) 4 Πολλ/με κάθε όρο με το : ο ( x+ ) ( x+ 3) ( x )( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) 1 + 4= x + x x = x + x+ x x + x x = x + x+ x x + x x x x x = [ ] [ ] 5 x x 15= Παραγοντοποίηση = Διάσπαση όρου - x x x x ( x 5x) ( 3x 15) [ Ομαδοποίηση] + = x( x 5) + 3( x 5) = [ Κοινός παράγοντας] ( x 5)( x+ 3) = [ Κοινός παράγοντας] Άρα : x 5= ή x+ 3= x= 5 ή x= 3 Απορρίπτεται 4 = ( x 1) ( x 3) ( x 1)( x+ 3) + ( x+ 1) ( x 1) ο 6 Δεχόμαστε μόνο την λύση : x=5 και απορρίπτουμε το : x=-3επειδή έχουμε δεχτεί ότι x 3 από τους περιορισμούς. Εξίσωση ου αθµού Α.. Εξισώσεις ου Βαθµού Εξίσωση µε πολυώνυµο P( x) ου αθµού που περιέχει τον άγνωστο x και έχει την µορφή P( x) = Μορφή : αx + x+ γ =, όπου α,, γ σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί, µε α Π.χ : x + 3x+ = ( α= 1, = 3, γ = ) x + 4x+ = ( α=, = 4, γ = ) 1 1 x 3x+ = 1, 3, α= = γ = 3x 4x= ( α= 3, = 4, γ = ) x 1 1= α,, γ 1 9 = = = 9 α,, γ : Συντελεστές της εξίσωσης α :συντελεστής δευτεροάθµιου όρου : συντελεστής πρωτοάθµιου όρου γ : σταθερός όρος Μαθηματικός Τηλ /

8 Η εξίσωση αx + x =, µε α i Είναι εξίσωση δευτερου αθµού µε τη διαφορά ότι της λείπει ο σταθερός όρος π.χ: 4x + 3x=, 5x + 6x=, 7 x, 4 x x 3 = i Για να ρούµε τις λύσεις σε µια τέτοια εξίσωση χρησιµοποιούµε την εξής ασική ιδιότητα : Α Β= Α= ή Β= αν και µ όνο αν Παράδειγµα 1 Παράδειγµα 3 ( x ) ( x ) Παράδειγµα 4 4x + 3x= Παράδειγµα = 5 ( x 4) = x ( 4x+ 3) = 5 6 x = x 3 ( 4 x 3 + 6) = 5 ( x 4) ( x 4) = x= ή 4x+ 3= x = x= x 3 4x 6 = ( x 4) = ή ( x 4) = x= ή 4x= 3 x 3= ή 4x 6= x= 4 ή x= 4 ( ιπλή ρίζα) x= ή x= 3 / 4 x= 3 ή x= 6 / 4 ιπλή ρίζα δευτεροάθµιας εξίσωσης Με αφορµή το Παράδειγµα 4 όταν οι λύσεις της δευτεροάθµιας εξίσωσης είναι ίδιες, τότε λέµε ότι η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα. Η εξίσωση αx + γ =, µε α iείναι και αυτή εξίσωση δευτέρου αθµού µε τη διαφορά ότι της λείπει ο πρωτοάθµιος όρος του x. + = + = = π.χ : 6x 3, 8x 4, 18 x i Τέτοιες εξισώσεις λύνονται µε τρόπους : 1ος Παραγοντοποιούµε το πρώτο µέλος χρησιµοποιώντας την ασική µας ( α ) ( α ) ταυτότητα : α = + π.χ : 9x 16= 3x 4 = 3x 4 3x+ 4 = 4 4 3x 4= ή 3x+ 4= x= ή x= 3 3 Μαθηματικός Τηλ /

9 ς Τον τρόπο αυτό µπορούµε να τον χρησιµοποιούµε πάντα σε τέτοιου είδους εξισωσεις.εργαζόµαστε ως εξής : Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους και σαν αγνωστο θεωρούµε το x.έπειτα διαιρούµε µε τον συντελεστή του ( i) δεττεροάθµιου όρου x και φθάνουµε στην λύση της µορφής : x γ H λύση x = εξαρτάται µόνο από τα πρόσηµα του γ και του α α ιακρίνουµε περιπτώσεις : Γενικά όταν α, γ είναι οµόσηµοι. γ >, α > ή γ <, α < τότε x < το οποίο είναι αδύνατο, διότι το x πάντα είναι x. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη γ = α π.χ : 5x + 1= 5x = 1 x = Αδύνατη π.χ : 8x 4= 8x = 4 x = = Aδύνατη ( ii) Γενικά όταν α, γ είναι ετερόσηµοι γ >, α < ή γ <, α > τότε η εξίσωση έχει λύσεις τις εξής : γ x = ή x= α γ α π.χ : 6x 54= 6x = 54 x = = 9 x=± 9 x= 3 ή x= Μαθηματικός Τηλ /

10 αx x γ Λύση εξίσωσης + + = Μέθοδος Συµπλήρωσης Τετραγώνου x x = Πολλαπλασιάζουµε µε 4α = και τα δύο µέλη της = εξίσωσης Mεταφέρουµε το 64x 16x= 96 σταθερό όρο στο µέλος αλλάζοντας µέλος, αλλάζει και πρόσηµο 3 T µέλος α το γράφουµε σε µορφή : ( x) x x x x 8 8x 1= 96 Α + ΑΒ ή Α - ΑΒ 4 Προσθέτουµε και στα Β= 1 Άρα : µέλη το Β ( 8x) 8x 1+ 1 = ( x ) 5 Παραγοντοποιούµε 8 1 = 196 το α µέλος: α± = α + α + 6 Aν το µέλος είναι 8x 1= 196 ή 8x 1= 196 αριθµός αρνητικός τότε 8x 1= 14 ή 8x 1= 14 η εξίσωση είναι Α ΥΝΑΤΗ 8x= ή 8x= 1 14 ενώ αν είναι θετικός 4 4 η εξίσωση έχει λύσεις : x= ή x= 8 8 x = α x = α ή x = - α Μαθηματικός Τηλ /

11 Επίλυση Εξισώσεων ου αθµού µε την οήθεια τύπου Έστω η εξίσωση : x x µε. α : Συντελεστής ευτεροάθµιου Ό ρου x, y, z,... : Συντελεστής Π ρωτοάθµιου Ό ρου x, y, z,... γ : Σταθερός Συντελεστής α + + γ = α ( x x) ( γ,...) Όταν µπροστά από την µεταλητή δεν υπάρχει αριθµός ( x x) σα συντελεστή λαµάνουµε το 1 για π.χ:, το -1 για π.χ:, Όταν σε µια εξίσωση τότε σαν συντελεστή λαµάνουµε το ( x + 5= ή x + x+ 5) Παράδειγµα : λείπει ένας όρος ( άθµιος,1 άθµιος, σταθερός ) x + x+ = x + x = x + = + x = α : 3 α : 1 α : 4 α : : + 6 : + 5 : :8 γ : + 5 γ : 5 γ : + 6 γ : x x =!!!!T - 7 του αλλάζουµε µέλος, άρα και δηλαδή πρόσηµο + 7 ώστε να έχουµε την µορφή αx + x + γ = α : 3 : + 5 γ : + 7 Μαθηματικός Τηλ /

12 ιακρίνουσα Έστω η εξίσωση α τον αριθµό : = γ = ορίζουµε σαν ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ x x αγ Ανάλογα µε το πρόσηµο της ιακρίνουσας συµπεραίνουµε τα παρακάτω : Πρόσηµο ιακρίνουσας ( = - 4αγ) ( π χ ) Πλήθος Ριζών Λύσεις + δύο πραγµατικές x1 = α > ( π. χ : = 9) x1, λύσεις ( άνισες) x = α καµία λύση <. : = 4 ( εξίσωσηείναι αδύνατη) = µία λύση( διπλή) x= α ετερόσηµων αρνη τικός πρόσηµο ( ) οµόσηµων θετικός Γινόµενο +,,εκτός του µηδενός αριθµός Γινόµενο +, + ή,,εκτός του µηδενός αριθµός πρόσηµο + Αν οι συντελεστές α, γ είναι τότε η εξίσωση αx x γ ετερόσηµοι + + = έχει δύο άνισες λύσεις, δηλαδή έχει ιακρίνουσα: >. Λ > όγω ότι : και 4αγ Αν = και α, γ οµόσηµοι, τότε δεν έχουµε λύσεις, γιατί η εξίσωση α x x Λόγω ότι : = και 4 < + + γ = είναι αδύνατη, από το οποίο καταλααίνουµε ότι <. αγ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Την ιακρίνουσα την χρησιµοποιούµε µόνο όταν α Μαθηματικός Τηλ /

13 Παραγοντοποίηση Τριωνύµου αx + x + γ = µε α Πρόσηµο Πλήθος Ριζών Μορφή Παραγοντοποίησης ( x ) ( x ) > ρίζες άνισες : ρ, ρ α ρ ρ = 1 1 < καµία ρίζα 1 ρίζα διπλή : ρ = α ( x ρ) ( x ρ) = α ( χ ρ) = Παράδειγµα x + x = Να λυθεί η εξίσωση : ήµα : Φέρνουµε την εξίσωση στην µορφή : + + = x + x + = ( µέλος πρόσηµο) 1 16 αλλάζουµε,αλλάζουµε και x + x = 1 14 ήµα : Ορίζουµε όπου α :, =+ 1, γ = 14 αx x γ 3 ήµα : Βρίσκουµε την ιακρίνουσα : = 4 = = = 3 > Άρα θα έχει άνισες λύσεις. 4 ήµα : x 1, x1 = = = = ± α ( ) 4 4 = = α x = = = = α ( ) 4 4 αγ 5 ήµα : Να παραγοντοποιηθέι η εξίσωση. Μαθηματικός Τηλ /