Τροχιές δορυφόρου σε διπλά συστήµατα αστεροειδών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Μ.Π.Σ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τροχιές δορυφόρου σε διπλά συστήµατα αστεροειδών Συγγραφή/επιµέλεια: Βασίλειος Μορέλλας Επιβλέπων καθηγητής: Χαράλαµπος Βάρβογλης

2 Περίληψη Σκοπός της εργασίας είναι η µελέτη ειδικών τροχιών δορυφόρων σε διπλά συστήµατα αστεροειδών και συγκεκριµένα τροχιών Sitnikov και τροχιών του περιορισµένου (restricted) προβλήµατος των τριών σωµάτων µε ειδικά χαρακτηριστικά. Αυτό που ενδιαφέρει σε κάθε περίπτωση εδώ, είναι η παραµονή ερευνητικού δορυφόρου, που θεωρούµε ως σώµα αµελητέας µάζας m 3, σε κοντινή στο σύστηµα των δύο σωµάτων τροχιά για αρκετό χρονικό διάστηµα. Τα όρια της απόστασης που εδώ ορίζουµε ως αποδεκτά είναι ένας (ελάχιστο) µέχρι είκοσι (µέγιστο) ηµιάξονες της ελλειπτικής τροχιάς των συνοδών. Θεωρούµε αυτά τα όρια ώστε η τροχιά του δορυφόρου µας να είναι οπωσδήποτε παρατηρήσιµη και διακριτή σε σχέση µε τους αστεροειδείς, επιτρέποντας ταυτόχρονα την παρατήρηση και των δύο σωµάτων από αυτόν. Αρχικά γίνεται σύντοµη µνεία στα διπλά συστήµατα των αστεροειδών, το ιστορικό των παρατηρήσεών τους, τις σύγχρονες υποθέσεις για τους µηχανισµούς δηµιουργίας τους και τα τροχιακά χαρακτηριστικά τους. Στην συνέχεια, περιγράφονται τα µοντέλα µε τα οποία θα προσεγγίσουµε την κίνηση του δορυφόρου γύρω από το κάθε διπλό σύστηµα. Αυτά είναι το µοντέλο του προβλήµατος Sitnikov (θα χρησιµοποιηθεί το ελλειπτικό Sitnikov) για συνοδούς παρόµοιων µαζών και το µοντέλο του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος, για συστήµατα πολύ µικρής εκκεντρότητας. Με τις δύο προσεγγίσεις διαπιστώνεται σηµαντικός αριθµός τροχιών που ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις. Αυτές µπορεί να είναι περιοδικές, ηµιπεριοδικές ή χαοτικές που όµως παραµένουν εντός της ορισµένης απόστασης από το σύστηµα -εδώ δέκα αξονικές αποστάσεις - για χρονικό διάστηµα τουλάχιστον µίας περιόδου. Το χρονικό αυτό διάστηµα κρίνεται αρκετό, µια και η περίοδος κάθε διπλού συστήµατος είναι της τάξης των δεκάδων ωρών. Παρακάτω θα εφαρµοστεί αυστηρότερο κριτήριο εκατό περιόδων ( t = 200π), αφού η µέθοδός µας είναι προσεγγιστική. Τα αποτελέσµατα παρατίθενται σε πίνακες ή διαγράµµατα που κατασκευάστηκαν µε το πρόγραµµα Origin, όπως και οι προσαρµογές (fittings) που υπάρχουν. Τα βασικά προγράµµατα που χρησιµοποιηθήκαν βρίσκονται στο Παράρτηµα. Οι γλώσσες προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκαν για τους υπολογισµούς και την κατασκευή των διαγραµµάτων είναι οι Mathematica 5.1 και Fortran90. Για την προσοµοίωση του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος χρησιµοποιήθηκε η πλατφόρµα EJS της γλώσσας Java. 2

3 ιπλά συστήµατα αστεροειδών Η ύπαρξη διπλών συστηµάτων στους αστεροειδείς αποτελούσε για αρκετό καιρό υπόθεση των αστρονόµων, οι οποίοι βασίζονταν σε παρατηρήσεις και ευρήµατα κρατήρων µετεώρων στη γήινη, τη σεληνιακή ή την επιφάνεια των άλλων τριών πλανητών ως τον Άρη. Σε κάποιες τέτοιες περιπτώσεις (π.χ. λίµνες Clearwater, Κεµπέκ) υπάρχει ζεύγος κρατήρων που έχουν προκληθεί από την ταυτόχρονη κρούση δύο διαφορετικών µετεωριτών επάνω στον πλανήτη. Αυτές οι περιπτώσεις αποτελούν το 2% των κρατήρων του Άρη, 10-15% της Γης και 2-14% της Αφροδίτης 1,2,3. Το 1901 είχε γίνει η πρώτη υπόθεση (Andre) ύπαρξης συνοδού για τον αστεροειδή 433 Eros. 4 Τα έτη προτάθηκαν για πρώτη φορά οι αστεροειδείς 6 Hebe και 532 Herculina, ως διπλά συστήµατα, όµως η πρώτη επιβεβαιωµένη παρατήρηση δορυφόρου αστεροειδή έγινε το 1993 από την αποστολή Galileo και ήταν ο άκτυλος, σε τροχιά γύρω από τον Ίδα (243 Ida-Dactyl). Το δεύτερο σύστηµα ανακαλύφθηκε το 1998 (45 Eugenia, πρώτο από γήινη παρατήρηση) και ο πρώτος διπλός υπερποσειδώνειος επιβεβαιώθηκε το 2002 (1998 WW 31 ) 4. Το 2005 βρέθηκε ο Εικόνα 1 Το διπλό σύστηµα 243 Ida-Dactyl. Εικόνα 3 Το διπλό σύστηµα 617 Patroclus-Meneotius Η γραµµή παριστάνει 50mas (παρατήρηση 28/5/2005, Keck- 10m LGS AO). Εικόνα 2 Το διπλό σύστηµα 45 Eugenia-Petit Prince (1/11/1998, τηλεσκόπιο Καναδά-Γαλλίας-Χαβάης, από 16 πλάνα έκθεσης 15sec). Ο δορυφόρος διακρίνεται στα 0,75 arcsec από το κύριο σώµα. 3

4 πρώτος αστεροειδής µε δύο δορυφόρους (87 Sylvia) 5. Έως σήµερα έχουν εντοπιστεί πάνω από 140 υποψήφιοι διπλοί αστεροειδείς (οι µισοί επιβεβαιωµένοι), εκ των οποίων 37 στο ενδότερο ηλιακό σύστηµα (30 παρα-γήινοι, Near-Earth Objects και 7 Mars-crossers), 2 Τρωικοί, 49 υπερποσειδώνειοι (Trans-Neptunian Objects, TNOs) και 55 της κύριας ζώνης (Main Belt, MBs) 5. Περιλαµβάνουµε εδώ και τα TNO Πλούτωνα (τετραπλό σύστηµα) και Eris, αν και έχουν πια καταχωρηθεί ως νάνοι πλανήτες µε απόφαση της IAU. Ο µηχανισµός δηµιουργίας τους εξαρτάται από την περιοχή που αυτή συντελείται. Για τα παρα-γήινα αντικείµενα και τους Τρωικούς, πιστεύεται ότι οι παλιρροϊκές βαρυτικές δυνάµεις των κοντινών πλανητών είναι αυτές που διασπούν ένα αρχικό σώµα -ιδίως αν ήδη ήταν χαλαρή συγκόλληση αδρών επιµέρους τµηµάτων- σε µικρότερα, εκ των οποίων κάποια καταφέρνουν να αλληλοσυγκρατηθούν, αν έχουν αρκετή µάζα 6,7. Αυτή υποτίθεται πως είναι, για παράδειγµα, η περίπτωση του διπλού Τρωικού 617 Patroclus-Meneotius, όπου τα δύο σώµατα έχουν παρόµοιους όγκους και πυκνότητες. Αυτός ο µηχανισµός δηµιουργίας είναι αποτέλεσµα δυναµικής ισορροπίας µε τον παρόµοιο µηχανισµό καταστροφής των διπλών συστηµάτων, τα οποία άλλωστε έχουν πολύ µικρό χρόνο ζωής (~10 7 έτη). Υπολογίζεται ότι 16% των NEO αποτελούν διπλά συστήµατα, µε το ποσοστό να είναι υψηλότερο για τα Atens. Επίσης, πολλά NEO παρουσιάζουν ατρακτοειδές σχήµα και είναι πιθανό να αποτελούν διπλά συστήµατα σε επαφή 4,8. Στην κύρια ζώνη τα περισσότερα µοντέλα δηµιουργίας διπλών συστηµάτων διαπραγµατεύονται κρούσεις µεταξύ των σωµάτων. Όταν η διαφορά µαζών µεταξύ τους είναι πολύ µεγάλη, το µαζικότερο δεν διαλύεται, αλλά εγκλωβίζει βαρυτικά ορισµένα από τα θραύσµατα (cratering ejecta). Οι εκκεντρότητες των µικρών θραυσµάτων ελαττώνονται µε τις µεταξύ τους συγκρούσεις, πράγµα που επιτρέπει τελικά σε κάποια από αυτά να παραµείνουν σε τροχιές που δεν τέµνουν το κύριο σώµα, ειδικά αν αυτό δεν είναι σφαιρικό 4. Στην κύρια ζώνη, όντως, πολλοί δορυφόροι έχουν πολύ µικρότερη µάζα από τον µεγάλο συνοδός τους, περιφερόµενοι σε µικρές αποστάσεις, πράγµα που επίσης απαιτεί το συγκεκριµένο µοντέλο (π.χ. συστήµατα 22, 45, 87, 107, 243 και 762) 5. Εξάλλου, τέτοιες συγκρούσεις µπορούν να διαλύσουν ήδη σχηµατισµένα διπλά συστήµατα, οπότε και εδώ πρέπει εµφανίζεται δυναµική ισορροπία µεταξύ µηχανισµών δηµιουργίας-καταστροφής. Εξίσου πιθανή είναι η διάλυση του αρχικού σώµατος (disruptive capture) µετά τη σύγκρουσή του µε κάποιο άλλο. Πάντως αυτό το σενάριο γίνεται λιγότερο βάσιµο αν η παρατηρούµενη απόσταση (µεγάλος ηµιάξονας) µεταξύ των δύο σωµάτων είναι πολύ µεγάλη, εκτός και αν η σύγκρουση που τα δηµιούργησε ήταν πολύ βίαιη και διασκόρπισε πολλή από την µάζα του συστήµατος. Οι δύο παραπάνω περιπτώσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικά µοντέλα παραγωγής δορυφόρων και φαίνεται να βρίσκουν εφαρµογή στις περιπτώσεις συστηµάτων που ανήκουν στην ίδια οικογένεια αστεροειδών (π.χ. συστήµατα 45, 90, 243, 3749). Η δε µοναδική περίπτωση του 90 Antiope πιθανολογείται να εµπίπτει σε τρίτο µηχανισµό αδρής διάσπασης του αρχικού σώµατος χωρίς αποµάκρυνση των θραυσµάτων (collisional fission), ο οποίος είναι πολύ σπάνιος (πιθανότητα 0,1%). Με βάση τα παραπάνω, υπολογίζεται ότι συνολικά το 2% περίπου των MB-συστηµάτων είναι διπλά 4. Στα υπερποσειδώνεια αντικείµενα που οι ηµιάξονες των διπλών συστηµάτων φτάνουν τις δεκάδες χιλιάδες χιλιοµέτρων, θεωρούµε ότι αυτά προέκυψαν από βαρυτικές αλληλεπιδράσεις µεταξύ πολλών διερχόµενων σωµάτων. Η πολύ µικρή σηµερινή πυκνότητα του χώρου στη ζώνη Kuiper, σε αντίθεση µε αυτήν που τα αριθµητικά µοντέλα απαιτούν, µαζί µε τους µεγάλους χρόνους ζωής (µεγαλύτεροι από την ηλικία του ηλιακού συστήµατος) τέτοιων συστηµάτων, τα κατατάσσει στα 4

5 αρχέγονα διπλά συστήµατα. Ωστόσο, ακόµη και στα διπλά ΤΝΟs υπάρχουν εξαιρέσεις: για παράδειγµα, ο QG 298 αποτελείται από δύο συνοδούς σε επαφή 5. Από παρατηρησιακά δεδοµένα εικάζεται πως το 11% περίπου των TNOs αποτελείται από πολλαπλά συστήµατα 4. Οι µηχανισµοί δηµιουργίας επιδρούν και στα τροχιακά χαρακτηριστικά των συστηµάτων, αλλά και τα σχετικά µεγέθη των συνοδών σωµάτων. Όπως φαίνεται και στο διάγραµµα 1, αυτά εξαρτώνται από την περιοχή του ηλιακού συστήµατος όπου τα σώµατα βρίσκονται. Στα TNOs τα σχετικά µεγέθη είναι συνήθως συγκρίσιµα και οι σχετικές αποστάσεις µεταξύ τους (ηµιάξονες) αρκετά µεγάλες. Αντίθετα, στους αστεροειδείς MB παρατηρείται µεγάλη ποικιλία αυτών των χαρακτηριστικών. Από την άλλη πλευρά, οι ηµιάξονες των NEOs είναι σχετικά µικροί, αφού οι επιδράσεις των κοντινών πλανητών τείνουν να διαλύσουν µη συνεκτικά συστήµατα. Η απλούστερη προσέγγιση της κίνησης δορυφόρου εντός ενός διπλού συστήµατος είναι αυτή του προβλήµατος Sitnikov που περιγράφεται αµέσως παρακάτω. ιάγραµµα 1 5 Κατάταξη διπλών αστεροειδών σύµφωνα µε τον µεγάλο ηµιάξονα του συστήµατος και τα σχετικά µεγέθη των συνοδών (a ο µέγας ηµιάξων, R p η ακτίνα του πρωτεύοντος, R s η ακτίνα του δευτερεύοντος συνοδού). 5

6 Πρόβληµα Sitnikov Κυκλική περίπτωση Στην γενική περίπτωση του προβλήµατος Sitnikov, σωµατίδιο αµελητέας µάζας m 3 κινείται στον άξονα z που περνά από το βαρύκεντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο των κεπλεριανών τροχιών, δύο ίσων µαζών m 1, m 2. Η κίνηση του σωµατιδίου µπορεί γενικά να είναι χαοτική. Στην περίπτωση όµως, που οι κεπλεριανές τροχιές των Σχήµα 1 Σύστηµα Sitnikov x,y=0, z=z µαζών είναι και κυκλικές (e=0), κάθε αρχική συνθήκη εκτελεί περιοδική τροχιά στον άξονα z (το πρόβληµα είναι ολοκληρώσιµο). Στην κυκλική περίπτωση οι αποστάσεις του σωµατιδίου από τις µάζες είναι r r r a z = 2 = = +, α=σταθ. ενώ m=m 1 =m 2 και η ενέργεια του συστήµατος: 1 2 2m 1 2 2m h= z = z (1) 2 r a + z Άρα 2mz 2mz z = = (2) 3 3 r 2 2 a + z Για α=1, m=1/2 z z = (3). 2 ( 1+ z ) 3 Από την (1) παίρνουµε t t = 0 z 1 2mdz 2 z 1 o h + 1+ z 2 6

7 και για κλειστές τροχιές (0> h 1) έχουµε για τα ακρότατα της κίνησης 1 zmax =± 1. Η τροχιά µπορεί να περιγραφτεί µε σειρές Fourier 2 h ( z = a1ηµν ( t t0) + a3ηµ 3 ν ( t t0) +... ) που µε χρήση ελλειπτικών ολοκληρωµάτων 3 ου είδους βρίσκονται: 3 z = γ [ ηµν ( t t0) + µ ( ηµν ( t t0) + ηµ 3 ν ( t t0)) µ + µ (79 ηµν( t t0) + 108ηµ 3 ν( t t0) + 29ηµ 5 ν( t t0)) +...], γ= µ Μία απεικόνιση Poincare του χώρου φάσεων αποτελείται µόνον από κλειστές περιοδικές και ηµιπεριοδικές τροχιές-καµπύλες (διάγραµµα 2). 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 z ιάγραµµα 2 Απεικόνιση Poincare (z-z ) για κυκλικό Sitnikov (τροχιές z=0,25-0,50-0,75-1,00-1,25-1,50-1,75). Ελλειπτική περίπτωση Εάν οι κύριες µάζες δεν περιφέρονται σε κυκλικές αλλά ελλειπτικές τροχιές (e>0), τότε η ηµι-απόσταση α των µαζών µεταβάλλεται συνεχώς. Υποθέτωντας την εκκεντρότητα µικρή και κάνοντας την προσέγγιση 1 ( ) 2 at () = 1 e συν () t + Oe ( ) 9 2 η (2) γράφεται: 2 m z( t) zt () = (4) at () + zt () 7

8 η οποία µπορεί να ολοκληρωθεί αριθµητικά. Από την ολοκλήρωση αυτή προκύπτουν οι παρακάτω τοµές Poincaré (διάγραµµα 3). Παρατηρούµε πως για µεγαλύτερες τιµές της εκκεντρότητας e η κεντρική «νησίδα» τακτικών (regular) τροχιών συρρικνώνεται και η χαοτική περιοχή γεµίζει τον χώρο φάσεων. Μελετώντας τη κίνηση της m 3 στις τρεις διαστάσεις, είναι δυνατό να βρεθούν περιοδικές τροχιές, µέλη οικογενειών τροχιών Sitnikov, που οι περισσότερες είναι ασταθείς 10,11. Η µελέτη των οικογενειών Sitnikov µπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση που οι µάζες m 1, m 2 δεν είναι ίσες ( µ 0,5 ). Ωστόσο, εδώ δεν ενδιαφέρει τόσο η περιοδικότητα µιας τροχιάς, όσο η σχετική της σταθερότητα εντός των ορίων που ορίσαµε, δηλαδή a z 20 a για χρόνο τουλάχιστον µίας περιόδου περιφοράς. Γι αυτό µια πιο απλή προσέγγιση του ζητήµατος µπορεί να υιοθετηθεί, βάσει του περιορισµένου προβλήµατος. 8

9 e=0,2 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' e=0,1 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-2,0-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-2,0-3,0 3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 z 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-2,0-2,5 3,0-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 z 0,5 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-0,6-0,4-0,2 0,0 2,5 3,0 1,0 1,5 2,0 2,5 e=0,7 e=0,5-0,8 2,0 z 2,0-2,0-1,0 1,5 e=0,4 e=0,3 2,0-2,0-3,0-2,5 1,0 z 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2,0-0,6-0,4 z ιάγραµµα 3 Απεικόνιση Poincare (z-z ) Sitnikov για διάφορες εκκεντρότητες (e=0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,7). -0,2 0,0 0,2 0,4 z 9 0,6

10 Τριδιάστατο περιορισµένο πρόβληµα τριών σωµάτων Εάν δεν περιορίσουµε την κίνηση της m 3 στον άξονα z, αλλά την αφήσουµε να κινείται στις τρεις διαστάσεις, θεωρώντας την τροχιά των δύο κύριων σωµάτων κυκλική, έχουµε την περίπτωση του τριδιάστατου περιορισµένου προβλήµατος (3dcircular restricted problem) συνεχίζουµε να υποθέτουµε την m 3 αµελητέα. Οι εξισώσεις που υπακούν τότε οι συντεταγµένες (x,y,z) της m 3 : x1 x x2 x x = (1 µ ) + µ 3 3 r1 r2 y1 y y2 y y = (1 µ ) + µ (5) 3 3 r1 r2 z z z = (1 µ ) µ, 3 3 r1 r2 m 1 µ 1 και a και G= = = m2 = m1 = m1+ m2 Η περίοδος περιφοράς των m 1, m 2 είναι σύµφωνα µε τις παραπάνω απλουστεύσεις Τ=2π. Το (5) ισχύει για αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (βλ. και σχήµα 1), όπου οι συντεταγµένες x1, y1, x2, y 2 των κύριων σωµάτων αλλάζουν κατά την περιφορά τους. Το σύστηµα εξισώσεων (5) απλοποιείται για το περιστρεφόµενο µαζί µε τα σώµατα σύστηµα αναφοράς, ως εξής: U( x, y) x= 2y + x U( x, y) y = 2 x + (6) y z z z = (1 µ ), 3 3 r µ 1 r µ µ όπου U( x, y) = ( x + y ) + + το υποθετικό δυναµικό που ορίζει την κίνηση 2 r1 r2 του σωµατιδίου µε αµελητέα µάζα (m 3 ). Τα σηµεία ισορροπίας του συστήµατος είναι τα σηµεία Lagrange (όλα µε z=0), που βρίσκονται από τις U( x, y) = 0 x= x = 0 x y = y = 0 U( x, y) = 0 y και τοποθετούνται στο επίπεδο Oxy. 10

11 Υπολογισµός σχετικά σταθερών τροχιών Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω µοντέλα σε πραγµατικά διπλά συστήµατα αστεροειδών του ηλιακού συστήµατος. Λαµβάνονται υπόψη 145 περιπτώσεις διπλών συστηµάτων, όπου στα πολλαπλά συστήµατα οι συνοδοί αντιµετωπίζονται ο καθένας ξεχωριστά µε το πρωτεύον σώµα. ιαθέσιµα δεδοµένα Η ανάλυση βάσει του φαινόµενου Sitnikov θα γίνει σε διπλά συστήµατα αστεροειδών του πίνακα 1 5, µε χρήση κατάλληλων προσεγγίσεων. Εκεί υπάρχουν και τα βασικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και των συνοδών του κάθε συστήµατος. Το πρώτο πρόβληµα που συναντούµε στην µελέτη είναι ότι το πρόβληµα Sitnikov ενέχει ένα περιστρεφόµενο διπλό σύστηµα σωµάτων µε ίσες και σφαιρικά συµµετρικές µάζες, ενώ οι µάζες των πραγµατικών συστηµάτων εδώ είναι καθαυτές άγνωστες (εκτός τεσσάρων περιπτώσεων που σηµειώνονται στον πίνακα). Για αυτόν τον λόγο θα θεωρήσουµε ότι οι πυκνότητες των σωµάτων είναι ίδιες -πράγµα που συχνά δεν απέχει πάρα πολύ από την πραγµατικότητα- και ότι οι αστεροειδείς είναι σφαιρικοί - πράγµα που απέχει πολύ από την πραγµατικότητα, αλλά είναι αναγκαίο για µια απλή διερεύνηση των ιδιοτήτων του συστήµατος, όπως εδώ επιχειρείται. Έτσι, µπορούµε να θεωρήσουµε τις διαµέτρους των σωµάτων, που είναι γνωστές και καταγράφονται στον πίνακα 1, αντιπροσωπευτικές των µαζών τους. 3 δ2 Ως λόγος µαζών µ=m 2 /(m 1 +m 2 ) θεωρείται λοιπόν ο λόγος, εκτός των 3 3 δ2 + δ1 τεσσάρων περιπτώσεων - συστήµατα Pluto-Charon, (66391) 1999KW 4, (66652) 1999RZ 253 και (58534) Logos-Zoe - όπου οι µάζες είναι ήδη εκτιµηµένες. Στον πίνακα 2 βρίσκονται οι παράµετροι που ενδιαφέρουν (οι διάµετροι µετρούνται σε ανηγµένες µονάδες, τέτοιες ώστε ο ηµιάξονας να είναι πάντα ίσος µε a=0,5). Αριθµητικές µέθοδοι Η αριθµητική µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε κατά την ολοκλήρωση όλων των τροχιών ήταν ο αλγόριθµος Runge-Kutta-Fehlberg πέµπτης τάξης ( error=o(h 5 ) ) 12 : xn+1 = xn + h 16k 6656k 28561k 9k 2k y y y k 1=h f (x n, y n) h k1 k=hf 2 (x+ n, y+ n ) 4 4 3h 3k1 9k2 k=hf 3 (x+ n, y+ n + ) h 1932k1 7200k2 7296k3 k=hf 4 (x+ n, y+ n + ) k1 3680k3 845k4 k5=h f (x n+h, y n+ 8k 2+ ) h 8k1 3544k3 1859k4 11k5 k=hf 6 (x+ n, y- n +2k ) n+ 1 = (x n+1) = n+( ), 11

12 α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 1 ιπλά συστήµατα αστεροειδών υπό εξέταση 5 Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e Περίοδος συστήµατος T (h) ιάµετρος δ1 (km) ιάµετρος δ2 (km) KW 4 0,642 2,548 0,0004 ± 0, ,422 1,317 0, HF 1 0,819 7,000 14,017 3,73 0, ST 27 0,819 <7 >0,3 100,000 0,800 0, Sekhmet 0,947 1,540 12,5 1,000 0, RO 1 0,991 1,440 14,54 0,800 0, FG 3 1,054 2, ± ,14 1,500 0, SL 9 1,061 1,520 16,4 0,800 0, AW1 1,105 2,400 0,050 22,3 1,000 0, YT 1 1,110 3,400 36,7 1,06 0, YT 1 1,110 2, ,000 0, VH 1,136 3,600 0,05 ± 0,01 32,67 1,200 0, DP 107 1,366 2, ± ,12 0,800 0, Apollo 1,471 3,000 17,000 1,600 0, Didymos 1,644 1,125 0,06 +0,06/- 0,04 11,91 0,750 0, Hermes 1,655 1,200 13,894 0,600 0, OS 1,678 0, ,300 0, Broefelde 1,818 10,000 18,48 5,000 1, BM 26 1,833 1,100 12,5 0,600 0, AX 1,838 6,630 <0,05 13,52 3,900 0, DJ 4 1,852 0,735 17,73 0,350 0, Pauling 1, , ,700 1, Esclangona- S/ , , ,800 2, Fennia 1,897 7, Johnson 1,910 8,280 21,785 3,600 1, Hovland 1,913 8,000 30,33 3,000 0, UH 2 1,917 7,500 24,42 3,000 1, UG 11 1,929 0, ± ,4 0,260 0, RG 79 1,930 4,760 14,127 2,800 0, SS 84 1,930 <0,3 24,000 0,120 0, Atami 1,947 20,000 27,450 6,000 6, KK 8 1,957 0,500 0, Ishtar 1,981 2,640 20,63 1,200 0, PG 2,015 1,500 14,007 0,900 0, Okamoto 2,160 15,000 20,35 7,000 1, TW 3 2,166 6, Plutarchos 2,170 40,02 5, Pogson 2,188 25,000 24,24 10,000 3, ,192 5,000 HM Arlon 2,196 18,000 18,236 9, Dionysus 2,198 4,050 0,07 +0,03/- 0,07 27,74 1,500 0, JQ 58 2,204 9,000 14,757 5,000 1, DT 103 2,212 0, Tama 2,214 21,620 16,444 9,400 8, JO23 2,223 4,000 12

13 Grahamchapman 2,224 10,000 19,385 5,000 1, Tokai 2,225 10, Efimov 2,228 10,800 14,765 6,000 1, CE 26 2,233 4, ± ,6 3,46 0, QN1 2,235 4, Balam 2, , ± ,000 1, Kursk 2,243 8, Isberga 2,247 35,000 26,8 12, Jeanperrin 2,250 6, OP 83 2,254 8, ,240 4,000 1, Iwamoto 2,257 30, ,000 4,000 3, ,257 3,000 XD Kastel 2,259 10,000 8,488 8, Duponta 2,264 23,000 17,570 12, Metsahovi 2,268 12, Lundia 2,283 12,000 15,400 6,000 6, Edwardolson 2,290 7,600 17,785 3,800 1, QO 2,298 4, Bascom 2,313 25,900 43,5 7,000 2, Polonskaya 2,324 13,440 19,15 6,400 1, Volkonskaya 2,332 6, ,700 1, Levy 2,345 8, XD 2,350 1,000 16,000 0,600 0, Tatianina 2,359 16,100 21,67 7,000 1, Frostia 2,369 36,900 37,711 9,000 8, Wirt 2,382 14,700 18,97 7,000 1, Celle 2,415 19,800 36,57 6,000 2, Bridges 2,525 15,200 16,31 8,000 1, Claudiomaccone 2,581 7, ,640 <4 >1, Berna- S/ ,659 31,000 25,464 10,000 9, Eugenia, ± 2, ,000 Petit-Prince , ,6 12, Eugenia- S/ , ,000 48, ,6 6, Debussy 2,766 35,200 26,606 11,000 10, GL 74 2, , ,200 1, TO 14 2, , ,300 1, Ida-Dactyl 2, ,000 >0,2 36,960 31,3 1, Kalliope- Linus 2, , ± , Emma 3, , ± ,74 145,000 11, Electra 3, ,000 0,01 94,1 179,000 4, Huenna 3, , ± ,000 7, Antiope- S/2000 (90) 1 3, ,000 <0,006 16,505 87,800 83, Pulcova 3, , ,000 21, Alauda- 3, ,7 13

14 S/ AB 3,216 3,800 17,93 1,900 0, Hermione 3, , ± ,97 205,000 13, Camilla 3, , ± , ,000 10, Sylvia-Remus 3, , ± , Sylvia- Romulus 3, , ± , Patroclus- Menoetius 5, ,700 0,02 ± 0,02 102,8 101,000 92, Hektor- (363 x 207) 5, ,000 50,000 S/ ± 42 15, OJ 4 37, , , ,000 93, Typhon- 38, , , ,000 56, Echidna QG , , x 130 x x 102 x TC36-S/ , , , Orcus 39, , , , AZ 84 39, , , Pluto- Charon 39, , ± , Pluto- Hydra 39, , ± , Pluto-Nix 39, , ± , SB CM , , , , ,000 42, , , , , UN , , , ,000 97, RT , , , , , , , , UX QY 90 42, ,000 0,30 ± 0, , , , , , , , ,000 OJ XR , , , , , PD149 42,927 0, EL61-S/ , , ± , , , EL EL 61 -S/ , ,000 0, , , , EL Quaoar 43, , , Borasisi- Pabu ( , ,000 0,460 ± 0, , , ,000 RZ 253 ) QW , , , , CF , , , , , , ,000 0,240 ± 0, , , ,000 14

15 Teharonhiawako- Sawiskera RZ , , , , , QW , , ,000 86,000 86, WU , ,000 96, , , QY , , , , , CS29-S/ , , , , , , , , , , UQ WK , , , , , TJ 58 44, , ,000 95,000 75, FL , , , , , QA 91 44, WW3- S/2000 ( , ,000 0,817 ± 0, , , ,000 WW31) PB , , , , , Logos- Zoe 45, ,000 0,45 ± 0, ,000 80,000 66, QC , , , , , CQ , , , , , QR 91 46, , , , , SM 165 -S/ , , , , , , , ,000 WC QL , , , , , GZ 31 50, , , , , TL 8 52, ,000 12, , , FE 8 55, , , , , , ,000 72, , , YW CM Eris- Dysnomia Ceto- Phorcys 59, , , , ,000 67, ,000 <0,01 378, , ,000 <0, , , ,000 15

16 α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 2 Επεξεργασµένα στοιχεία διπλών συστηµάτων πίνακα 1 Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e Περίοδος συστήµατος T (h) ιάµετρος δ1 (ανηγµένη) ιάµετρος δ2 (ανηγµένη) Θεωρούµενος λόγος µαζών 3 δ2 µ= * 3 3 δ + δ KW 4 2,548 0, ,422 0,2584 0,0885 0,0543(0,0386) HF 1 7,000 14,017 0,2664 0,0571 0, ST 27 7,000 0, ,000 0,0571 0,0086 0, Sekhmet 1,540 12,5 0,3247 0,0974 0, RO 1 1,440 14,54 0,2778 0,1333 0, FG 3 2,850 0,05 16,14 0,2632 0,0816 0, SL 9 1,520 16,4 0,2632 0,0737 0, AW 1 2,400 0,050 22,3 0,2083 0,1021 0, YT 1 3,400 36,7 0,1559 0,0279 0, YT 1 2, ,1786 0,0321 0, VH 3,600 0,05 32,67 0,1667 0,0633 0, DP 107 2,880 0,010 42,12 0,1389 0,0569 0, Apollo 3,000 17,000 0,2667 0,0133 0, Didymos 1,125 0,06 11,91 0,3333 0,0733 0, Hermes 1,200 13,894 0,2500 0,2250 0, OS 0, ,2500 0,0375 0, Broefelde 10,000 18,48 0,2500 0,0650 0, BM 26 1,100 12,5 0,2727 0,0455 0, AX 6,630 0,05 13,52 0,2941 0,0588 0, DJ 4 0,735 17,73 0,2381 0,1190 0, Pauling 251, ,0074 0,0024 0, Esclangona- 210, S/ ,0185 0,0061 0, Fennia Johnson 8,280 21,785 0,2174 0,0826 0, Hovland 8,000 30,33 0,1875 0,0563 0, UH 2 7,500 24,42 0,2000 0,0740 0, UG 11 0,572 0,09 18,4 0,2273 0,1320 0, RG 79 4,760 14,127 0,2941 0,1029 0, SS 84 0,300 24,000 0,2000 0,1000 0, Atami 20,000 27,450 0,1500 0,1500 0, KK 8 0, Ishtar 2,640 20,63 0,2273 0,0955 0, PG 1,500 14,007 0,3000 0,1000 0, Okamoto 15,000 20,35 0,2333 0,0567 0, TW Plutarchos 40, Pogson 25,000 24,24 0,2000 0,0600 0, HM Arlon 18,000 18,236 0, Dionysus 4,050 0,07 27,74 0,1852 0,0370 0, JQ 58 9,000 14,757 0,2778 0,0722 0, DT Tama 21,620 16,444 0,2174 0,1957 0, JO

17 ,000 19,385 Grahamchapman 0,2500 0,0700 0, Tokai Efimov 10,800 14,765 0,2778 0,0556 0, CE 26 4, ,6 0,3681 0,0319 0, QN Balam 336,000 0, ,0089 0,0020 0, Kursk Isberga 35,000 26,8 0, Jeanperrin OP 83 8, ,240 0,2500 0,0625 0, Iwamoto 30, ,000 0,0667 0,0583 0, XD Kastel 10,000 8,488 0, Duponta 23,000 17,570 0, Metsahovi Lundia 12,000 15,400 0,2500 0,2500 0, ,600 17,785 Edwardolson 0,2500 0,0675 0, QO Bascom 25,900 43,5 0,1351 0,0500 0, Polonskaya 13,440 19,15 0,2381 0,0548 0, , Volkonskaya 0,2000 0,0800 0, Levy XD 1,000 16,000 0,3000 0,0750 0, Tatianina 16,100 21,67 0,2174 0,0413 0, Frostia 36,900 37,711 0,1220 0,1195 0, Wirt 14,700 18,97 0,2381 0,0595 0, Celle 19,800 36,57 0,1515 0,0652 0, Bridges 15,200 16,31 0,2632 0,0632 0, , ,640 Claudiomaccone 0,2857 0,0886 0, Berna- 31,000 25,464 S/ ,1613 0,1565 0, Eugenia, Petit- 1184,000 0,01 114,384 Prince 0,0906 0,0054 0, Eugenia-S/ ,000 48,000 0,1533 0,0043 0, Debussy 35,200 26,606 0,1563 0,1453 0, GL , ,0104 0,0042 0, TO , ,0139 0,0044 0, Ida-Dactyl 108,000 0,200 36,960 0,1449 0,0065 0, Kalliope-Linus 1065, ,160 0,0850 0,0178 0, Emma 594,500 0,11 80,74 0,1220 0,0096 0, Electra 1253,000 0,01 94,1 0,0714 0,0019 0, Huenna 3420,000 0, ,0132 0,0010 0, Antiope-S/ ,000 0,006 16,505 0,2567 0,2450 0, Pulcova 811, ,0820 0,0131 0, Alauda- S/ AB 3,800 17,93 0,2500 0,0600 0,

18 Hermione 758,500 0,001 61,97 0,1351 0,0089 0, Camilla 1236,000 0,006 89,040 0,0833 0,0042 0, Sylvia-Remus 706,000 0,016 33,091 0,1055 0,0066 0, Sylvia- 1356,000 0,001 87,590 Romulus 0,2025 0,0050 0, Patroclus- 676,700 0,02 102,8 Menoetius 0,0746 0,0687 0, Hektor-S/ ,000 50,000 0,1425 0,0075 0, OJ , ,000 0,0382 0,0211 0, Typhon 1330, ,000 and Echidna 0,0421 0,0211 0, ,000 QG 298 0,2721 0,2346 0, TC , ,120 S/ ,0245 0,0092 0, Orcus 8700, ,000 0,0522 0,0151 0, AZ , ,000 0,0476 0,0047 0, Pluto- Charon 19571, ,294 0,0589 0,0310 0,1043(0,1271) 102 Pluto- Hydra 64780,000 0, ,956 0,0237 0,0009 0, Pluto-Nix 48675,000 0, ,5488 0,0178 0,0009 0, , ,000 SB60 0,0783 0,0271 0, , ,000 CM105 0,0415 0,0239 0, UN , ,000 0,0011 0,0008 0, RT , ,000 0, UX , ,000 0,0649 0,0205 0, QY ,000 0, ,000 0,0048 0,0035 0, OJ , ,000 0,0550 0,0380 0, XR , ,000 0,0354 0,0340 0, PD EL 61 - S/ EL ,000 0, ,880 0,0178 0,0022 0, EL 61 - S/ EL ,000 0, ,800 0,0141 0,0031 0, Quaoar 11000, ,000 0,0573 0,0043 0, Borasisi- 4660,000 0, ,312 Pabu (1999 RZ 253 ) 0,0178 0,0147 0,3592(0,3598) QW , ,000 0, CF , ,000 0,0037 0,0026 0, Teharonhiawako- Sawiskera 27300,000 0, ,000 0,0032 0,0022 0, RZ , ,000 0,0718 0,0686 0, QW , ,000 0,0003 0,0003 0, WU ,000 96,000 0,0946 0,0685 0,

19 QY , ,000 0,0504 0,0416 0, CS , ,000 S/ ,0663 0,0635 0, , ,000 UQ 18 0,0293 0,0212 0, , ,000 WK 183 0,0354 0,0294 0, TJ , ,000 0,0136 0,0107 0, FL , ,000 0,0379 0,0263 0, QA WW 31 -S/2000 (1998 WW 31 ) ,000 0, ,000 0,0030 0,0025 0, PB , ,000 0,0194 0,0112 0, Logos-Zoe 8010,000 0, ,000 0,0050 0,0041 0,3571(0,3596) QC , ,520 0,0256 0,0210 0, CQ , ,000 0,0139 0,0113 0, QR , ,000 0,0550 0,0500 0, SM S/ , ,400 0,0127 0,0042 0, WC , ,000 0,0741 0,0235 0, QL , ,000 0,0126 0,0126 0, GZ , ,000 0,0445 0,0281 0, TL 8 420,000 12,000 0,4190 0,1917 0, FE , ,000 0,0629 0,0479 0, ,000 72,000 YW 134 0,1134 0,0624 0, , ,000 CM 114 0,0341 0,0270 0, Eris ,000 0, ,528 Dysnomia 0,0321 0,0056 0, Ceto- 1841,000 0, ,296 Phorcys 0,0467 0,0364 0,3210 * όπου υπάρχει παρένθεση: ο πρώτος αριθµός προέρχεται από υπολογισµό για τις πραγµατικές µάζες (σε παρένθεση ο λόγος διαµέτρων) 19

20 Εφαρµογή ελλειπτικού Sitnikov Εξετάζουµε πρώτα τις περιπτώσεις όπου ο λόγος µ πλησιάζει πολύ την τιµή 0,5 (0, 48 µ 0,5 ). Πρόκειται για δέκα (10) συστήµατα εκ των οποίων τα πέντε είναι υπερποσειδώνια (ΤΝΟ s). Για αυτά θεωρούµε καταρχήν ότι µ 0,5 (πίνακας 3). Το σύστηµα (90) Antiope-S/2000 έχει εκκεντρότητα αρκετά µικρή. ιαπιστώνουµε πως και τροχιές µε µεγάλο αρχικό ύψος είναι τακτικές, µε αρχική συνθήκη z 0 περίπου ως 6,7 αξονικών µηκών, δηλαδή ως z 0 =13,4 a=6,7, ενώ και για πιο ακραίες αρχικές συνθήκες η τροχιά µένει σε περιορισµένο χώρο, αν και δεν είναι πια τακτική. Ωστόσο, τα περισσότερα ζεύγη του πίνακα 1, όπως και όλα τα υπόλοιπα µε µ 0,5, έχουν άγνωστες εκκεντρότητες. Για όσα από αυτά βρίσκονται στην κύρια ζώνη των αστεροειδών ή ανάµεσα στους Τρωικούς ή στους παραγήινους αστεροειδείς οι εκκεντρότητες µπορούν εύλογα να θεωρηθούν εξίσου µικρές. Αντίθετα, για όσα ανήκουν στα υπερποσειδώνια αντικείµενα οι εκκεντρότητες πρέπει να είναι µεγαλύτερες. Σε αυτό το συµπέρασµα συντείνουν τόσο η κατανοµή των γνωστών εκκεντροτήτων στον πίνακα 1, όσο και ο τρόπος δηµιουργίας των διπλών συστηµάτων στις δύο αυτές περιοχές του ηλιακού συστήµατος. 2,0 (90) Antiope - S/2001 (e=0,006, µ=0,5) 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2, ιάγραµµα 4 Απεικόνιση Poincare (z-z ) για το σύστηµα (90), θεωρώντας µ=0,5. z 20

21 Για τις άγνωστες εκκεντρότητες µπορούµε να διερευνήσουµε µέχρι ποιες τιµές e έχουµε τροχιά περιορισµένη ως z=10, για αρχική συνθήκη τουλάχιστον z=a=0,5. Έτσι, ολοκληρώνουµε τροχιές αλλάζοντας την εκκεντρότητα -πάντα µε αυτήν την αρχική συνθήκη- και εξετάζουµε την απόσταση όπου καταλήγει ο δορυφόρος µετά από 50 και 100 περιόδους. Τα αποτελέσµατα της διερεύνησης - ποιοτικά παρόµοια για τις δύο περιπτώσεις- βρίσκονται στο διάγραµµα 5 (η 3 t last =50 T 2 1 Log z last ,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 3 e t last =100 T 2 Log z last ,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 ιάγραµµα 5 ιατήρηση του z µε µεταβολή της e για δυο διαφορετικά χρονικά διαστήµατα. e 21

22 ολοκλήρωση 100 περιόδων κρίνεται ικανοποιητική και τα αποτελέσµατα αναφέρονται σε αυτό το χρονικό διάστηµα). Μέχρι την τιµή εκκεντρότητας 0,340 περίπου, το σώµα µένει εντός των επιτρεπτών ορίων ως 10 αξονικές αποστάσεις (logz last <1)- ενώ φαίνεται να υπάρχουν και άλλα τέτοια διαστήµατα εκκεντροτήτων. Αλλάζοντας την αρχική συνθήκη z 0 µεταξύ τιµών z 0 =0,5 και z 0 =6,00 σαρώνουµε τον χώρο z 0 e και κατασκευάζουµε το χρωµατικό διάγραµµα ισοϋψών καµπύλων (διάγραµµα 6, διάστηµα ολοκλήρωσης 100T) για τις τελικές τιµές της µεταβλητής z (z last ). Εντός των προϋποθέσεων που θέτουµε για την τελική απόσταση του δορυφόρου από το σύστηµα, βρίσκονται οι περιοχές log z last < 1. Από τα διαγράµµατα 5 και 6 φαίνεται πράγµατι ότι για z 0 =0,5 ακόµη και για µεγάλες εκκεντρότητες, περίπου έως e=0,340, επίσης για κάποια ακόµη διαστήµατα z 0 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0-2,0-1,0 0 1,0 2,0 2,5 4,0 Log z last 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 e ιάγραµµα 6 ιάγραµµα ισοϋψών e-z 0 -log z last. Ενδιαφέρουν οι περιοχές log z last <1. 22

23 τιµών e (κυρίως , , , ), αλλά και για τις περιοχές e<0,28-1,35<z 0 <2,25 και 0,41<e<0,47 2,45<z 0 <2,65 υπάρχουν αρκετές σχετικά σταθερές τροχιές. Όπως φαίνεται στο διάγραµµα 7, µέχρι e=0,340 υπάρχουν ηµιπεριοδικές τροχιές µε z=0,5, που εµπίπτουν στην κεντρική µεγάλη «νησίδα» του χώρου φάσεων. Όσο οι εκκεντρότητες µεγαλώνουν, τόσο οι ηµιπεριοδικές περιοχές συρρικνώνονται, παραχωρώντας έκταση στις χαοτικές. Στο διάστηµα e=0,320-0,330 η καµπύλη που περικλείει την κεντρική «νησίδα» διαλύεται, οπότε για e=0,340 η z=0,5 παύει να εµπίπτει σε ηµιπεριοδική περιοχή. Όµως εξακολουθούν να υπάρχουν ηµιπεριοδικές περιοχές για z>0,5 στις διπλανές δευτερεύουσες «νησίδες». Τελικά για κάποια τιµή εκκεντρότητας κοντά στην e=0,415 οι µικρές «νησίδες» ξαναπερνούν από την z=0,5 και αυτή ξαναγίνεται ηµιπεριοδική. Ακολούθως οι δευτερεύουσες νησίδες επίσης συρρικνώνονται και η τελευταία -δηλαδή µεγαλύτερη- εκκεντρότητα µε σχεδόν τακτική (regular) την τροχιά z=0,5, σε αυτήν την περιοχή εκκεντροτήτων, βρίσκουµε να είναι η e=0,516. (Για εκκεντρότητα 0,516 η µέγιστη απόσταση τακτικής τροχιάς είναι z=0,5.) Συνεπώς, σε όλα τα αντικείµενα εντός της κύριας ζώνης και σε ορισµένα ίσως TNO s (µε e<0,340) θεωρείται καταρχήν δυνατή η τοποθέτηση δορυφόρου για αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα. (Για εκκεντρότητα 0,340 η µέγιστη απόσταση περιορισµένης τροχιάς θεωρείται περίπου z=0,70.) Οι αναγωγές των παραπάνω αποτελεσµάτων, στην ελάχιστη αρχική συνθήκη z 0 =0,5, για τα 10 πραγµατικά συστήµατα µε µ 0,5, συνοψίζονται στον πίνακα 3. α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Πίνακας 3 Συστήµατα µ 0,5 Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e λόγος µαζών 3 δ2 µ= 3 3 δ + δ 1 2 Μέγιστη απόσταση σχ. σταθερής τροχιάς (σε ηµιάξονες, a) Atami 1,947 20,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [28-20 km] Lundia 2,283 12,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [16,8-12,0 km] QW , ,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [ km] QL , ,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [ km] Frostia 2,369 36,900 [0,340] [0,516] 0,4849 1,4-1 [51,66-36,90 km] 1313 Berna- [0,340] [0,516] 6. S/2004 (1313) 1 2,659 31,000 0,4772 1,4-1 [43,4-31,0 km] XR , ,000 [0,340] [0,516] 0,4683 1,4-1 [ km] [0,340] [0,516] 8. CS 29 -S/2005 (79360) 1 44, ,000 0,4674 1,4-1 [ km] RZ , ,000 [0,340] [0,516] 0,4657 1,4-1 [ km] 90 Antiope ,006 13,4 [471,68km] S/2000 (90) 1 3, ,000 0,

24 ιάγραµµα 7 (α-β) Απεικονίσεις Poincare z 0 =0,5 για ειδικές τιµές e e=0,330 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,340 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 24

25 ιάγραµµα 7 (γ-δ) e=0,415 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,497 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 25

26 ιάγραµµα 7 (ε-στ) e=0,513 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5 z 0 = 0,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,517 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0 z 0 = 0,5-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 26

27 Εφαρµογή 3D-κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος Στην συνέχεια θα προσπαθήσουµε να µελετήσουµε κάποια από τα συστήµατα του πίνακα 1 χωρίς την απλουστευτική προσέγγιση Sitnikov, αλλά µε το µοντέλο του τριδιάστατου περιορισµένου προβλήµατος. Θεωρούµε λοιπόν µόνο τα σώµατα µε εκκεντρότητα e 0, έστω e<0,1. Αυτά είναι είκοσι έξι (26) και τα περισσότερα βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο µικρότερη από την τροχιά του ία, ενώ τα επτά (7) είναι τα υπερποσειδώνια συστήµατα του Πλούτωνα και των Eris- Dysnomia, Ceto-Phorcys (Κένταυρος) και που έχουν γνωστές εκκεντρότητες πολύ µικρές (e<0,015 0) (πίνακας 4). Αυτά ολοκληρώνονται µε βάση τις εξισώσεις του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος. Η προσέγγιση e 0, για e<0,1 γίνεται στη βάση του γεγονότος ότι µόνο ένα µικρό ποσοστό των τροχιών (βλέπε και διάγραµµα 6), για τις αρχικές συνθήκες και τα χρονικά διαστήµατα ολοκλήρωσης που χρησιµοποιούνται, διαφεύγουν της καθορισµένης περιοχής z<10. Για κάθε τιµή ανηγµένης µάζας µ ολοκληρώνονται τα συστήµατα για διάφορες αρχικές συνθήκες z και υπολογίζονται οι χρόνοι διαφυγής (t esc ) ως οι χρόνοι που χρειάζεται η µάζα m 3 για να αποµακρυνθεί σε απόσταση rxyz (,, ) xt () yt () zt () = + + µεγαλύτερη των δέκα αξονικών αποστάσεων (20 a) (χρόνοι t esc10 ). Ταυτόχρονα αποκλείουµε τις τροχιές που οδηγούν σε πρόσκρουση µε τα δύο κύρια σώµατα, που θεωρούνται εδώ σφαιρικά, γνωρίζοντας τις πραγµατικές διαµέτρους τους (πίνακας 1). Ως αρχικές συνθήκες επιλέγονται θέσεις επάνω (z 0) στο εκάστοτε σηµείο Lagrange L 1 (οι συντεταγµένες των σηµείων L 1 υπολογίζονται µε απλό πρόγραµµα της Mathematica 14 ). Παρατηρούµε και στα διαγράµµατα 9, ότι υπάρχει για κάθε τιµή µ µία κρίσιµη τιµή z 0 µετά την οποία ο χρόνος διαφυγής ελαττώνεται ραγδαία (z fe ). Στον πίνακα 5 καταγράφονται τα z fe µετά τα οποία η m 3 µεταπίπτει σε τροχιά ταχείας διαφυγής (fast escape). Ακόµη, για τροχιές z 0 < z fe, οι ελάχιστοι χρόνοι διαφυγής t escmin και η ελάχιστη και µέγιστη τιµή του αρχικού ύψους z 0 για τις οποίες παρατηρείται διαφυγή (σε κάθε περίπτωση z 0 >0,5). Τέλος, στον πίνακα 5 µε διαφορετική απόχρωση και πλάγια γράµµατα σηµειώνονται τα συστήµατα που απεικονίζονται στα διαγράµµατα 9. Ως γενικό συµπέρασµα µπορεί πάντως να εξαχθεί ότι υπάρχουν σχετικά σταθερές τροχιές για όλα τα υπό µελέτη συστήµατα e 0, εκτός των δύο τελευταίων (617, 90) µε λόγο µαζών µ>0,4. 27

28 ιαγράµµατα 8 (α-η) Καµπύλες µηδενικής ταχύτητας και σηµεία Lagrange L 1, L 2, L 3, L 4, L 5 (κόκκινα) για διάφορες τιµές του λόγου µαζών µ. Τα σώµατα m 1 και m 2 απεικονίζονται µε µαύρο χρώµα. Το L 1 βρίσκεται πάντα ανάµεσα σε αυτά τα δύο. µ= µ= µ= µ=

29 µ= µ= µ= µ=

30 α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Μέγας ηµιάξονας a (km) Πίνακας 4 Συστήµατα e 0 Εκκεντρότητα e λόγος µαζών µ Ανηγµένη διάµετρος δ1 (µονάδες αξονικών αποστάσεων) Ανηγµένη διάµετρος δ2 (µονάδες αξονικών αποστάσεων) Sylvia-Remus 3, ,000 0,016 0, ,2025 0, Electra 3, ,000 0,01 0, ,0714 0, Pluto-Nix 39, ,000 0,0023 0, ,0237 0, Pluto- Hydra 39, ,000 0,0052 0, ,0178 0, Camilla 3, ,000 0,006 0, ,0833 0, Eugenia - Petit-Prince 2, ,000 0,01 0, ,0906 0, Sylvia- Romulus 3, ,000 0,001 0, ,1055 0, Hermione 3, ,500 0,001 0, ,1351 0, CE 26 2,233 4, , ,3681 0, EL 61 -S/ EL , ,000 0,000 0, ,0178 0, Eris- 11. Dysnomia 67, ,000 0,010 0, ,0321 0, Dionysus 2,198 4,050 0,07 0, ,1852 0, AX 1,838 6,630 0,05 0, ,2941 0, Kalliope- 14. Linus 2, , , ,0850 0, Didymos 1,644 1,125 0,06 0, ,3333 0, EL 61 -S/ EL , ,000 0,05 0, ,0141 0, FG 3 1,054 2,850 0,05 0, ,2632 0, VH 1,136 3,600 0,05 0, ,1667 0, KW 4 0,642 2,548 0,0004 0, ,2584 0, DP 107 1,366 2,880 0,01 0, ,1389 0, Pluto- Charon 39, , , ,0589 0, AW 1 1,105 2,400 0,050 0, ,2083 0, UG 11 1,929 0,572 0,09 0, ,2273 0, Ceto- 24. Phorcys 102, ,000 0,015 0, ,0467 0, Patroclus- 25. Menoetius 5, ,700 0,02 0, ,0746 0, Antiope- 26. S/2000 (90) 1 3, ,000 0,006 0, ,2567 0,

31 α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 5 Χαρακτηριστικά συστηµάτων e 0 Περίοδος Τ (h) tescmin (περίοδοι) tescmin (h) zmin * zmax * (πριν ταχεία zfe * διαφυγή) Sylvia-Remus 33, , , Electra 94, , ,46 3. Pluto-Nix 596, , ,5 4. Pluto- Hydra 916, , , Camilla 89, , , Eugenia, Petit- 1,56 Prince 114, , Sylvia-Romulus 87, , , Hermione 61, , , CE 26 15, , , EL 61-1,76 S/ EL , , Eris-Dysnomia 378, ,67 0,52 0,69 1, Dionysus 27,74 24,93 691,56 0,51 0,76 2, AX 13,52 24,93 337,05 0,51 0,76 2, Kalliope-Linus 86,160 15, ,84 0,57 0,91 2, Didymos 11,91 5,9 70,27 0,51 0,96 2, EL 61-2,12 S/ EL ,880 5, ,04 0,51 1, FG 3 16,14 10,45 168,66 0,51 1,38 2, VH 32,67 2,72 88,86 0,51 1,68 2, KW 4 17,422 2,32 40,42 0,51 1,74 2, DP ,12 2,55 107,41 0,51 1,96 3, Pluto- Charon 153,294 2,19 335,71 0,51 2,3 3, AW 1 22,3 2,16 48,17 0,51 2,32 3, UG 11 18,4 1,72 31,65 0,51 2,92 5, Ceto-Phorcys 229,296 1,81 415,03 0,51 6, Patroclus- Menoetius 102,8 1,38 141,86 0, Antiope-S/2000 (90) 1 16,505 2,21 36,48 0, * αποτελέσµατα όπου παρατηρείται διαφυγή για z 0 <10 31

32 EL 61 - S/ µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) ,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 z Eris - Dysnomia µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) z 0 ιάγραµµα 9 Εξάρτηση από αρχική συνθήκη z 0 των χρόνων διαφυγής t esc10 (περίοδος περιφοράς συστήµατος Τ π =1) για συστήµατα του πίνακα 5. Κόκκινα είναι τα σηµεία που καταλήγουν σε πρόσκρουση µε το πρωτεύον σώµα, πράσινα µε το δευτερεύον, µαύρα τα υπόλοιπα. Όλοι οι χρόνοι βρίσκονται να υπερβαίνουν την µία περίοδο. Η ολοκλήρωση γίνεται για 100 περιόδους Τ π (200π), οπότε αυτή είναι η µέγιστη τιµή των t esc. Παρατηρούµε ότι όσο µικραίνει ο λόγος των µαζών τόσο µεγαλώνει ο χρόνος διαφυγής. 32

33 65803 Didymos µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) ,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 z DP 107 µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) ,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 z 0 33

34 1994 AW1 µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) z Ceto - Phorcys µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) z 0 34

35 Patroclus - Menoetius µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) z Antiope - S/2000 µ=0, t esc10 (µονάδες περιόδων) z 0 35

36 Παρατηρούµε ότι τα µεγέθη t escmin (ελάχιστος χρόνος διαφυγής), z max (µέγιστο αρχικό ύψος ασταθών τροχιών) και z fe (ελάχιστο αρχικό ύψος γρήγορης διαφυγής) µεταβάλλονται συναρτήσει του λόγου µαζών µε κάποια κανονικότητα. Για τον ελάχιστο χρόνο διαφυγής, λάβαµε υπόψη τους λογάριθµό του σε σχέση µε το λογάριθµο του λόγου µαζών, αφού που η εξάρτησή τους φαίνεται γραµµική. Από την προσαρµογή (fitting) των σηµείων που αναφέρονται στον πίνακα 5, εξαιρώντας τις τροχιές που εξαντλούν τις 100 περιόδους χωρίς διαφυγή, προκύπτουν οι παρακάτω καµπύλες για το καθένα: ln( t esc min ) = ( 0,16 ± 0,13) + ( 0,61± 0,08) ln( µ ) 0,85 t esc min για όλα τα συστήµατα, 0,61 µ z max = (0,25 ± 0,03) + (6,48 ± 0,16) µ για όλα τα συστήµατα και z max = (0,23 ± 0,04) + (6,60 ± 0,16) µ µόνο για την κύρια ζώνη, z = (1,36± 0,05) + (8,02± 0,33) µ για όλα τα συστήµατα και fe z = (1,35 ± 0,07) + (8,14 ± 0, 43) µ µόνο για την κύρια ζώνη fe 1 Ο ελάχιστος χρόνος διαφυγής φαίνεται να υπακούει το νόµο t esc min και µ αν εφαρµόσουµε γραµµική προσαρµογή δεσµεύοντας τους συντελεστές της ευθείας ln( t ) a+ b ln( µ ) στις τιµές α=0 και b=-0,5 αντίστοιχα λαµβάνονται οι ευθείες: esc min ln( t ) = ( 0,52 ± 0,04) ln( µ ) esc min esc min 0,52 t 1 µ 0,997 ln( tesc min ) = ( 0,003 ± 0,056) 0,5 ln( µ ) tesc min µ Η αιτία της συµπεριφοράς αυτής δεν είναι προφανής, αν και περιµέναµε ποιοτικά το φαινόµενο της ταχύτερης διαφυγής του δορυφόρου, όσο η επίδραση του δευτερεύοντος σώµατος γίνεται σηµαντικότερη. Τα αποτελέσµατα αυτά περιγράφονται στα διαγράµµατα 10α ως 10δ. Ειδικά οι µεταβολές των αρχικών υψών z max και z fe υποθέτουµε ότι σχετίζονται µε τη µετατόπιση του σηµείου ισορροπίας L 1 που πραγµατοποιείται µε τον ίδιο νόµο x µ ). Όσο ο λόγος µαζών προσεγγίζει την µέγιστη τιµή µ=0,5 και η τετµηµένη ( L1 x του σηµείου Lagrange L 1 προσεγγίζει την ελάχιστη τιµή 0 (βαρύκεντρο), τόσο αυξάνεται η ελάχιστη τιµή z 0 για την οποία ο δορυφόρος εκτινάσσεται γρήγορα στο άπειρο. ηλαδή η περιοχή των σχετικά σταθερών τροχιών µετατοπίζεται προς µεγαλύτερα αρχικά ύψη, όσο διευρύνεται η περιοχή που περικλείει η καµπύλη µηδενικής ταχύτητας γύρω από το L 1 (διάγραµµα 8). Η αύξηση του z max όσο και η γρήγορη πτώση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής των τροχιών, έχουν να κάνουν µε τη διεύρυνση της χαοτικής περιοχής γύρω από το L 1 όσο το δευτερεύον σώµα παύει να προκαλεί απλή διαταραχή στην τροχιά του δορυφόρου γύρω από το πρωτεύον και οι µάζες των δύο γίνονται συγκρίσιµες (ο λόγος µ πλησιάζει το 0,5). 36

37 5,5 ιάγραµµα 10 (α-β) Εξάρτηση από τον λόγο µαζών µ των z max και z fe. Οι συγκεκριµένες καµπύλες αναφέρονται µόνο στα σώµατα της κύριας ζώνης (µαύρα σηµεία) και όχι στα υπερποσειδώνια (κόκκινα). MBs TNOs 5,0 4,5 4,0 Z fe 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 µ 7 MBs TNOs 6 5 z max ,0 0,1 0,2 0,3 µ 37

38 ιάγραµµα 10 (γ-δ) Εξάρτηση του t escmin από τον λόγο µαζών µ. Οι καµπύλες που παριστάνονται στο γραµµικό και το λογαριθµικό διάγραµµα είναι οι ευθείες ελάχιστων τετραγώνων για τους λογαρίθµους των παραπάνω ποσοτήτων για όλα τα σώµατα, µε γαλάζια την ευθεία µε a=0, µαύρη την ευθεία µε b=-0,5 και κόκκινη την ευθεία χωρίς δέσµευση των συντελεστών t escmin ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 µ 10 t escmin 1 0,01 0,1 µ 38

39 Συµπεράσµατα Μελετήσαµε την επίδραση των παραγόντων εκκεντρότητα (e) και αρχικό ύψος (z 0 ) στη σταθερότητα της τροχιάς δορυφόρου διπλού συστήµατος αστεροειδών µε περίπου ίσες µάζες (µ 0,5), εφαρµόζοντας το ελλειπτικό µοντέλο Sitnikov. Βρήκαµε ότι το εύρος των εκκεντροτήτων, που περιλαµβάνουν τροχιές εντός των καθορισµένων ορίων, φτάνει τουλάχιστον ως τιµές e=0,34 για z 0 =0,5 ή και ως e=0,51 για z 0 =0,55, ενώ για µεγαλύτερη ανοχή στις αρχικές συνθήκες ως τιµές e=0,28. Κατά συνέπεια καλύπτονται διπλά συστήµατα και µε µεγάλες εκκεντρότητες, όπως µπορεί να είναι αρκετά από τα υπερποσειδώνια αντικείµενα. Ωστόσο, για e>0,516 δεν βρέθηκε καµία αξιόλογη περιοχή αρχικών συνθηκών (e,z 0 ) που να περιλαµβάνει σχετικά σταθερές τροχιές. Για e=0,34 για z 0 =0,5 η µέγιστη απόσταση τακτικής τροχιάς είναι περίπου ως 1,4 α. Στη συνέχεια, µελετήσαµε τις τροχιές δορυφόρων σε διπλά συστήµατα µε πολύ µικρές εκκεντρότητες (e<0,1 0), εφαρµόζοντας το µοντέλο του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος. ιαπιστώσαµε ότι υπάρχουν σχετικά σταθερές τροχιές για όλα τα υπό µελέτη συστήµατα e 0, εκτός των δύο τελευταίων (617 Patroclus-Menoetius, 90 Antiope-S/2000) µε µεγάλο λόγο µαζών (µ=0,44 και µ=0,47 αντίστοιχα), οπότε τα χαοτικά φαινόµενα παρουσιάζονται αρκετά έντονα για να διώχνουν τον δορυφόρο σε αποστάσεις µεγαλύτερες των 10 αξονικών, σε χρόνους λίγων περιόδων (σε κάθε περίπτωση µικρότερους από 100 περιόδους). Εξάλλου, διαπιστώσαµε την µείωση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής µε την αύξηση του λόγου µαζών σύµφωνα µε το γενικό νόµο: t esc min 1, εδώ t esc min µ 0,997 µ όπως και την άνοδο του ελάχιστου z 0 στο οποίο ο δορυφόρος διαφεύγει γρήγορα (z fe ) και που φαίνεται να παρακολουθεί τον νόµο: zfe a µ, εδώ z fe 1,36 + 8,02 µ για όλα τα συστήµατα και z 1,35 + 8,14 µ µόνο για την κύρια ζώνη. fe Την ίδια συµπεριφορά ακολουθεί και το µέγιστο αρχικό ύψος (z max ) στο οποίο φτάνει η περιοχή των ασταθών τροχιών. H z max ακολουθεί εδώ τη σχέση: z max = 0, , 48 µ για όλα τα συστήµατα και z max = 0,23 + 6,60 µ µόνο για την κύρια ζώνη. Η ποιοτική µείωση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής t escmin αποδίδεται στην ενίσχυση της παρελκυστικής επίδρασης του δευτερεύοντος σώµατος όσο η µάζα του γίνεται συγκρίσιµη µε αυτή του πρωτεύοντος. Η αύξηση των z max, z fe παρακολουθεί την µετατόπιση του σηµείου Lagrange L 1 προς το βαρύκεντρο, όσο ο λόγος µ τείνει στην µ=0,5, µετατόπιση που συνεπάγεται ενίσχυση της χαοτικής συµπεριφοράς γύρω από το L 1. 39