Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Πρόγραμμα Σπουδών Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών ΘΕΜΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΕ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΠΑΤΡΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

2 Όνομα Φοιτητή : ΘΕΟΔΩΡΟΣ Χ. ΚΡΟΥΜΠΟΥΖΟΣ Επιβλέπων Καθηγητής : ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ..7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 1. Σκοπός Εισαγωγή Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου Μετασχηματισμός θέσης και χρόνου. 2. Μετασχηματισμός ταχύτητας 3. Μετασχηματισμός ορμής και ενέργειας 4. Αρχή Σχετικότητας Γαλιλαίου Το πείραμα του MICHELSON MORLEY Περιγραφή του πειράματος Michelson Morley..19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 0 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ 1. Σκοπός Μετασχηματισμοί LORENTZ Συνέπειες Αξιώματα της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας Πρώτο αξίωμα 2. Δεύτερο αξίωμα 4. Συνέπειες της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας Η Σχετικότητα του Ταυτοχρονισμού Ο Μετασχηματισμός των εξισώσεων LORENTZ Πίνακας μετασχηματισμών εξισώσεων ΤΟΥ LORENTZ Ο Μετασχηματισμός του LORENTZ των εξισώσεων της ταχύτητας Πίνακας μετασχηματισμών εξισώσεων του LORENTZ της ταχύτητας Διαστολή του χρόνου Επιβεβαίωση της διαστολής του χρόνου με τα μιόνια Η συστολή του μήκους.39 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 0 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 1. Σκοπός Επιτάχυνση Φαινόμενο Doppler Το Φαινόμενο Doppler με τη σχετικιστική περιγραφή Το παράδοξο των διδύμων Παραδείγματα και εφαρμογές.57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 0 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1. Σκοπός Ελαστική κρούση Ανελαστική κρούση Μετασχηματισμοί Δύναμης Σχετικιστική ενέργεια και έργο Σωματίδια με μηδενική μάζα ηρεμίας Σκέδαση Compton Inverse Compton Μετασχηματισμοί Lorentz ορμής και ενέργειας Παραδείγματα και εφαρμογές.80 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 0 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ 1. Σκοπός Ο Μαγνητισµός ως Σχετικιστικό Φαινόμενο Το αναλλοίωτο του ηλεκτρικού φορτίου Μετασχηματισμός των Πεδίων Μετασχηματισμοί Lorentz του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου Εφαρμογές 1. Ηλεκτρικό πεδίο σωματίου που κινείται με σταθερή ταχύτητα Υπολογισμός του μαγνητικόυ πεδίου ενός σηµειακού φορτίου που κινείται με σταθερή ταχύτητα Ο νόμος του Coulomb στη θεωρία της σχετικότητας..103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο Σκοπός..106 Α. ΧΩΡΟΧΡΟΝΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΜΕΓΕΘΗ 1. Χωροχρονικά διαγράμματα Τετρανύσματα ταχύτητα ορμή επιτάχυνση δύναμη Αναλλοίωτα μεγέθη Αναλλοίωτο διάστημα Η αναλλοίωτη ποσότητα E 2 P 2 c Β. ΣΥΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Τανυστής Πεδίου..121 Παράδειγμα

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 0 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1. Σχετικότητα και παρερμηνείες Εκπαιδευτική προσέγγιση της ειδικής θεωρίας σχετικότητας με απλή άλγεβρα Διδασκαλία των μετασχηματισμών Lorentz, βασικές έννοιες ειδικής θεωρίας σχετικότητας,κατασκευή μοντέλου 137 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Βιογραφικό σηµείωµα Albert Einstein Βιβλιογραφία Χρήσιμες Διευθύνσεις.144 6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΕ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Σκοπός και μεθοδολογία Η διπλωματική εργασία με τον παραπάνω τίτλο εκπονήθηκε στα πλαίσια του ΜΔΕ «Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών». Το θέμα είναι επιμορφωτικό για τους καθηγητές ΠΕ04 της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και συνεπώς εκτός από την παρουσίαση του γνωστικού αντικειμένου, θέτει και προτάσεις για εκπαιδευτικές εφαρμογές. Θα αναπτυχθεί η ειδική θεωρία Σχετικότητας καθώς και εκπαιδευτικό υλικό που αντιστοιχεί σε ένα κεφάλαιο της ειδικής Σχετικότητας που απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου. Η εργασία αυτή στηρίζεται σε βιβλιογραφική έρευνα γύρω από το γνωστικό αντικείμενο(το οποίο αποτελεί κλασικό κεφάλαιο της φυσικής). Θα δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στην συγγραφή έντυπου υλικού που να στηρίζει την επιμόρφωση εκπαιδευτικών ώστε να εξασφαλίζεται επιστημονική πληρότητα να αποφεύγονται επιζήμιες απλουστεύσεις καθώς επίσης να αποφεύγονται (όπου είναι δυνατό) μαθηματικές λεπτομέρειες και περιπλοκές. Τέλος θα δοθεί ένα παράδειγμα της μεταφοράς γνώσεων από το επιστημονικό πεδίο στην Β θμια εκπαίδευση. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Παραγωγή μεθοδολογίας και υλικού επιμόρφωσης εκπαιδευτικών σε σημαντικό πεδίο της φυσικής επιστήμης καθώς και παραγωγή εκπαιδευτικού παραδείγματος μεταφοράς επιστημονικής γνώσης στην εκπαίδευση. Χρησιμοποιήθηκαν αρκετά βιβλία Φυσικής, Επιστημονικά άρθρα και Διαδικτυακοί τόποι για να καλυφθεί το γνωστικό αντικείμενο και οι εκπαιδευτικές εφαρμογές. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές του συγκεκριμένου ΜΔΕ και ιδιαίτερα τον κ. Σ. Τζαμαρία που υπήρξε και ο επιβλέπων Καθηγητής μου. Καθώς την γυναίκα και τα παιδιά μου για την υπομονή και κατανόηση για όλο αυτό το χρονικό διάστημα των μεταπτυχιακών σπουδών μου. 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι η συγκέντρωση και επανάληψη όλων εκείνων των εννοιών και των αρχών της Νευτώνειας Μηχανικής, που σχετίζονται ή μεταβάλλονται στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, ώστε να αποσαφηνιστεί πού βρισκόμασταν µε την παλαιά θεωρία και τι χρειάζεται ενδεχομένως να αλλάξει. Ειδικότεροι σκοποί είναι περιγραφή των ιδιοτήτων του νευτώνειου χωροχρόνου και των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς καθώς και η ανάγκη εισαγωγής της ειδικής σχετικότητας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein στην Ειδική και στην Γενική της μορφή αποτελεί έναν από τους θεμέλιους λίθους της κλασσικής φυσικής και έχει κεντρική θέση στην κατανόηση πολλών περιοχών της αστροφυσικής, της κοσμολογίας και γενικότερα της θεμελιώδους φυσικής. Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας προέκυψε στις αρχές του 19ου αιώνα από την ανάγκη κατανόησης πειραματικών (πείραμα Michelson Morley) και θεωρητικών (εξισώσεις Maxwell) δεδομένων που έδειχναν ότι η ταχύτητα του φωτός παραμένει η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς. Το σημαντικό αυτό δεδομένο μπορεί να γίνει κατανοητό μόνα αν εγκαταλειφθούν οι γνωστοί μετασχηματισμοί το Γαλιλαίου και αντικατασταθούν από τους μετασχηματισμούς Lorentz που ενοποιούν τον χώρο και τον χρόνο σε ένα 4 διάστατο συνεχές και εισάγουν την σχετικότητα του χρόνου. Ρολόγια κινούμενων παρατηρητών χτυπούν με διαφορετικό ρυθμό. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας προέκυψε αμέσως μετά την Ειδική Θεωρία με στόχο την κατανόηση της βαρύτητας στα πλαίσια της αρχής της ισοδυναμίας. Στην εργασία γίνεται προσπάθεια να εισαχθούν σχεδόν όλες οι έννοιες εκ του μηδενός ελαχιστοποιώντας τις προϋποθέσεις προηγούμενων γνώσεων χωρίς όμως να γίνονται εκπτώσεις όσον αφορά το εύρος των θεμάτων που καλύπτονται Υπάρχουν ακόμα και αρκετά παραδείγματα εφαρμογές για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται ανασκόπηση των μετασχηματισμών Lorentz και ορισμένων βασικών θεμάτων της Ειδικής Σχετικότητας (συστολή μήκους, διαστολή χρόνου κλπ). 8

9 Αδρανειακό σύστηµα αναφοράς: Για να περιγράψουµε ένα φυσικό φαινόµενο πρέπει να ορίσου µε ένα σύστηµα αναφοράς. Αδρανειακό σύστηµα αναφοράς είναι αυτό το σύστηµα στο οποίο ισχύουν οι Νόµοι του Νεύτωνα. Σώµα στο οποίο η συνολική δύναµη είναι µηδέν κινείται µε σταθερή ταχύτητα η το σώμα είναι ακίνητο και έχει µηδενική επιτάχυνση. Μπορούμε να ορίσουµε, ότι το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς είναι αυτό στο οποίο ένα ελεύθερο σώµα δεν επιταχύνεται. Όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς είναι ισοδύναμα. Δηλαδή, τα αποτελέσµατα ενός πειράματος που γίνονται σ' ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς που κινείται µε σταθερή ταχύτητα είναι τα ίδια µε τα αποτελέσµατα του ιδίου πειράματος όταν το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς έµενε ακίνητο. Έτσι, οι κλασικοί νόµοι της Μηχανικής είναι οι ίδιοι για όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Θα δούµε στη συνέχεια ότι από τα δύο προαναφερθέντα αξιώµατα προκύπτουν τρία σηµαντικά συμπεράσματα: 1 0 Όταν δύο παρατηρητές που κινούνται ο ένας ως προς τον άλλο με σταθερή ταχύτητα µετρήσουν ένα χρονικό διάστηµα ή ένα µήκος είναι δυνατόν να βρουν διαφορετικά αποτελέσµατα. Οι έννοιες του µήκους, του χρόνου, του συγχρονισµού στη σχετικιστική Μηχανική διαφέρουν από εκείνες της Μηχανικής του Γαλιλαίου. Στη θεωρία της σχετικότητας δεν υπάρχουν οι έννοιες του απόλυτου µήκους ή του απολύτου χρόνου. Σύµφωνα µε τη θεωρία της σχετικότητας οι µετρήσεις των χρονικών διαστημάτων εξαρτώνται από το σύστηµα αναφοράς στο οποίο γίνεται η µέτρηση. Οµοίως, η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων εξαρτάται από το σύστηµα αναφοράς όπου γίνεται η µέτρηση. 2 0 Συµβάντα που φαίνονται ταυτόχρονα για έναν παρατηρητή που βρίσκεται σ' ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, πιθανόν δεν είναι ταυτόχρονα για κάποιον άλλο παρατηρητή που ευρίσκεται σε ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα που κινείται σε σχέση µε το πρώτο. 3 0 Για να έχουν ισχύ οι αρχές της διατήρησης της ορµής και της ενέργειας σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα ο δεύτερος Νόµος του Νεύτωνα ο οποίος έχει την σύντοµη διατύπωση (για μάζα που δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο): ΣF=m'α, όπου ΣΡ είναι η συνισταµένη των ασκούμενων δυνάμεων σ' ένα σώµα µάζας m και α η προδιδόμενη επιτάχυνση σ' αυτό, θα πρέπει να αλλάξει. Οµοίως θα πρέπει να τεθεί σε νέα βάση ο ορισµός της ορµής και της κινητικής ενέργειας ενός σώµατος. Τέλος θα µελετήσουµε τις σχετικιστικές µορφές της ορµής και της ενέργειας και ορισμένες επιπτώσεις της γνωστής σχέσης ισοδυναμίας μάζας ενέργειας E=mc 2. Αυτό που 9

10 θα πρέπει να επισημάνουμε είναι ότι η ειδική θεωρία της σχετικότητας διαδραματίζει ένα σηµαντικό ρόλο. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Μετασχηματισμός θέσης και χρόνου. Ένα φαινόμενο που συμβαίνει σε σημείο Μ με συντεταγμένες x, y, z ως προς σύστημα αναφοράς o x y z τη χρονική στιγμή t αποτελεί ένα γεγονός Α. Θεωρούμε σύστημα αναφοράς (Σ) με τους άξονές του παράλληλους με τους αντίστοιχους άξονες του (Σ ). Το Σ' κινείται ως προς το Σ με σταθερή ταχύτητα υ παράλληλη προς τον άξονα o x. Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, οι χρονικές στιγμές t και t' του ιδίου γεγονότος ως προς τα δυο αυτά αδρανειακά συστήματα είναι ίδιες δηλ. t' = t (1) Την χρονική στιγμή t = 0 τα δυο σώματα συμπίπτουν χωρικά. y y' (Σ) (Σ ) υ Μ x o o' x' z z' Για τις συντεταγμένες του ιδίου γεγονότος Μ ως προς τα δύο αδρανειακά συστήματα, ισχύουν οι τύποι: x' = x υ t (2) y' = y (3) z' = z (4) 10

11 Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τις εξισώσεις μετασχηματισμού θέσης χρονικής στιγμής του Γαλιλαίου. Από τους μετασχηματισμούς αυτούς προκύπτουν τα εξής: α) Θεωρούμε δύο γεγονότα Μ 1 με συντεταγμένες x 1, y 1, z 1, τη χρονική στιγμή t 1 και Μ 2 με συντεταγμένες x 2, y 2, z 2, τη χρονική στιγμή t 2 ως προς το σύστημα αναφοράς o x y z. Η απόσταση των γεγονότων ως προς το σύστημα αυτό είναι: Δx = x 2 x 1 Δy = y 2 y 1 Δz = z 2 z 1 Ως προς το αδρανειακό σύστημα Σ' οι συντεταγμένες των γεγονότων Μ 1 και Μ 2 τις χρονικές στιγμές t 1 ' = t 1 και t 2 ' = t 2 είναι αντίστοιχα x 1 ', y 1 ',z 1 ' και x 2 ', y 2 ', z 2 '. Οι αποστάσεις των γεγονότων αυτών είναι Δx' = (x 2 υt 2 ) (x 1 υt 1 ). Για απλούστευση θεωρούμε ότι: t 2 = t 1 οπότε: Δx' =x 2 x 1 Δx' = Δx Από τους τύπους (3) και (4) προκύπτει ότι : Δy' = Δy Δz' = Δz Καταλήξαμε δηλαδή στο ότι η απόσταση δύο γεγονότων είναι ίδια και για τους δύο αδρανειακούς παρατηρητές, οπότε και οι διαστάσεις ενός σώματος θα είναι ίδιες και για τους δύο. β) Η χρονική διάρκεια ενός φαινομένου ως προς το Σ είναι Δt = t 2 t 1 Για το Σ' η χρονική διάρκεια του ιδίου φαινομένου είναι: Δt' = t 2 ' t 1 ' Δt' = t 2 t 1 Δt' = Δt Οπότε αν δύο ρολόγια συγχρονισθούν σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς θα παραμένουν συνεχώς συγχρονισμένα. 11

12 Μετασχηματισμός ταχύτητας Έστω ότι ένα σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ x (σταθερή) ως προς το σύστημα αναφοράς Σ με διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα o x. Είναι υ x = Ως προς το αδρανειακό σύστημα Σ' το σωματίδιο αυτό έχει ταχύτητα υ' x = Αλλά Οπότε x' = x υt = υ υ x ' = υ x υ Μετασχηματισμός ορμής και ενέργειας Επανερχόμαστε στην κίνηση του σωματιδίου που εξετάσαμε πριν. Η ορμή του ως προς το Σ έχει μέτρο Ενώ ως προς το Σ' P = m υ x P' = m υ' x P' = m (υ x υ) P' = P m υ Από τον προηγούμενο τύπο μπορούμε να βρούμε ότι η μεταβολή της ορμής και η δύναμη που την προκάλεσε έχουν το ίδιο μέτρο ως προς τα αδρανειακά συστήματα. Ως προς το Σ' ΔΡ' = Δ (Ρ mυ) ΔΡ' = ΔΡ 12

13 Επειδή Δt' = Δt = ΣF ' = ΣF Η κινητική ενέργεια του σωματιδίου ως προς το Σ είναι Ως προς το Σ' είναι Κ = mυ2 x Κ' = mυ2 x Κ' = m (υ x υ) 2 Από τους προηγούμενους τύπους φαίνεται ότι η μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σωματιδίου, που προκαλείται από μία δύναμη δεν είναι ίδια και για τα δύο αδρανειακά συστήματα. Είναι γνωστό ότι σε ένα σώμα το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής του ενεργείας (ΘΜΚΕ), πράγματι: ΔΚ = ΔΚ' = ΔΚ' = ΔΚ' = ΔΚ ΑΡΧΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Σύμφωνα με αυτή οι νόμοι της κλασσικής μηχανικής ισχύουν με την ίδια μορφή για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Μπορεί οι τιμές των φυσικών μεγεθών που εμφανίζονται στους νόμους να είναι διαφορετικές ως προς τα αδρανειακά συστήματα, αλλά οι νόμοι παραμένουν οι ίδιοι. Αυτό φαίνεται στην απλή περίπτωση που ακολουθεί. Θεωρούμε δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m A, m B, που κινούνται όπως φαίνεται στο σχήμα. 13

14 y y' Α B m A υ A m B υ B υ o o' x' x z z' Αν υ A > υ B οι σφαίρες θα συγκρουσθούν. Μετά την κρούση θα έχουν μάζες m Γ, m Δ, και ταχύτητες υ Γ, υ Δ όπως φαίνεται στο σχήμα. y y' Γ Δ m Γ υ Γ m Δ υ Δ υ o x o' x' z z' Η συνολική μάζα δεν άλλαξε παρά το γεγονός ότι έγινε μεταφορά μάζας από τη μια σφαίρα στην άλλη. m Α + m Β = m Γ + m Δ Κατά την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. Ως προς το Σ m Α υ A + m Β υ B = m Γ υ Γ + m Δ υ Γ 14

15 Ως προς το Σ' είναι υ A ' = υ A υ ή υ A = υ A ' + υ υ B ' = υ B υ ή υ B = υ B ' + υ υ Γ ' = υ Γ υ ή υ Γ = υ Γ ' + υ υ Δ ' = υ Δ υ ή υ Δ = υ Δ ' + υ Οπότε m A (υ A ' + υ) + m B (υ B ' + υ) = m Γ (υ Γ ' + υ) + m Δ (υ Δ ' + υ) m A υ A ' + m A υ + m B υ B ' + m B υ = m Γ υ Γ ' + m Γ υ + m Δ υ Δ ' + m Δ υ m A υ A ' + m B υ B ' = m Γ υ Γ ' + m Δ υ Δ ' + (m Γ + m Δ m A m B )υ m A υ A ' + m B υ B ' = m Γ υ Γ ' + m Δ υ Δ ' δηλαδή η ολική ορμή διατηρείται και ως προς το o' x' y' z'. Αν η κρούση θεωρηθεί ελαστική μπορούμε όμοια να δείξουμε ότι, αφού η ολική κινητική ενέργεια διατηρείται στο o x y z θα διατηρείται και στο o' x' y' z'. Είναι πολύ φυσικό να αναρωτηθεί κανείς εάν η αρχή της Galilean σχετικότητας µπορεί να εφαρμοστεί και σε πειράµατα ηλεκτρισµού, µαγνητισµού, οπτικής, καθώς και σε άλλες κατηγορίες φαινομένων. Εάν δεχτούμε ότι οι νόµοι του ηλεκτρισµού και του µαγνητισµού είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα, θα διαπιστώσουμε αµέσως ότι προκύπτει ένα παράδοξο σε σχέση την ταχύτητα του φωτός. Αυτό µπορεί να γίνει αντιληπτό αν ξαναθυμηθούμε ότι σύµφωνα µε τις εξισώσεις του Maxwell στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία, η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό έχει πάντοτε την καθορισμένη τιµή. Το αποτέλεσµα αυτό είναι ασύµβατο µε τον κανόνα πρόσθεσης ταχυτήτων του Γαλιλαίου. Σύµφωνα µε τον κανόνα αυτό, η ταχύτητα του φωτός δεν θα πρέπει να είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα. Υποθέτουμε ότι ένας φωτεινός παλµός εκπέμπεται από έναν παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται πάνω σε ένα βαγόνι που κινείται µε ταχύτητα υ, Σχήμα (1). Ο φωτεινός παλµός έχει ταχύτητα c ως προς τον παρατηρητή S' του βαγονιού. Σύµφωνα µε την αρχή της νευτώνειας σχετικότητας, η ταχύτητα του παλµού ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή έξω από το βαγόνι θα πρέπει να είναι c + υ. Αυτό είναι µια προφανής αντίφαση, η οποία διορθώνεται από την θεωρία σχετικότητας του Einstein, που δηλώνει αξιωματικά ότι η ταχύτητα του φωτεινού παλµού είναι ίδια για όλους τους παρατηρητές. Προκειμένου να άρουµε αυτό το παράδοξο, πρέπει να συμπεράνουμε είτε (1) ότι ο κανόνας πρόσθεσης ταχυτήτων του Γαλιλαίου δεν είναι σωστός είτε (2) ότι οι νόµοι του ηλεκτρισµού και του µαγνητισµού δεν είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα. Αν ο κανόνας πρόσθεσης ταχυτήτων του Γαλιλαίου δεν είναι σωστός, είµαστε αναγκασμένοι να εγκαταλείψουμε τις φαινομενικά σωστές έννοιες του 15

16 απόλυτου χρόνου και του απόλυτου µήκους, που αποτελούν τη βάση του μετασχηματισμού Γαλιλαίου. Αν δεχτούµε ότι η δεύτερη υπόθεση είναι αληθής, τότε πρέπει να υπάρχει ένα «προνομιακό» σύστηµα αναφοράς στο οποίο η ταχύτητα του φωτός έχει την τιµή c, ενώ σε κάθε άλλο σύστηµα αναφοράς η ταχύτητα του φωτός θα είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη απ' αυτήν την τιµή, σύµφωνα µε τον κανόνα πρόσθεσης ταχυτήτων του Γαλιλαίου. Είναι χρήσιµο να κάνουµε έναν παραλληλισµό µε τα ηχητικά κύµατα τα οποία διαδίδονται σε ένα µέσο όπως είναι, π.χ. ο αέρας. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι περίπου 330 m/s όταν μετρείται σε ένα σύστηµα αναφοράς στο οποίο ο αέρας είναι ακίνητος. Αλλά, η ταχύτητα του ήχου είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από αυτήν την τιµή όταν μετρείται σε ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται σε σχέση µε την πηγή του ήχου. Στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυµάτων, η θεωρία του Maxwell προβλέπει ότι τέτοια κύµατα πρέπει να διαδίδονται στο κενό µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα του φωτός. Αλλά, η θεωρία του Maxwell δεν απαιτεί την παρουσία ενός µέσου για τη διάδοση των κυµάτων. Αυτή η περίπτωση βρίσκεται σε αντίθεση µε την περίπτωση των μηχανικών κυµάτων, όπως των υδάτινων ή ακουστικών κυµάτων, στα οποία είναι απαραίτητη η παρουσία ενός µέσου για τη διάδοση των διαταραχών. Τον 19 0 αιώνα, οι φυσικοί υπέθεσαν ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύµατα χρειάζονται ένα µέσο για να διαδοθούν και υποστήριξαν ότι τέτοιο µέσο υπήρχε και το ονόµασαν φωτοφόρο αιθέρα. Υπέθεσαν ότι ο αιθέρας υπήρχε παντού, ακόµη και στον ελεύθερο χώρο, και ότι τα φωτεινά κύµατα δεν ήταν τίποτε περισσότερο παρά ταλαντώσεις του αιθέρα. Επί πλέον, ο αιθέρας έπρεπε να έχει τις ασυνήθεις ιδιότητες να είναι ένα αβαρές αλλά συµπαγές µέσο και να µην έχει καµία επίδραση στην κίνηση των πλανητών ή άλλων αντικειμένων. Σχήμα (1) 16

17 Σχήµα (1). Ένα φωτεινό κύµα εκπέμπεται από έναν άνθρωπο που βρίσκεται πάνω σε ένα κινούμενο βαγόνι. Σύµφωνα µε τη νευτώνεια σχετικότητα, η ταχύτητα του παλµού θα πρέπει να είναι c + υ σε σχέση µε έναν ακίνητο παρατηρητή. Αν υ είναι η ταχύτητα του ρεύµατος του αιθέρα ως προς τη Γη και c είναι η ταχύτητα του φωτός ως προς τον αιθέρα, η ταχύτητα του φωτός ως προς τη Γη είναι c + υ όταν το φως διαδίδεται προς την ίδια κατεύθυνση µε τον αιθέρα, (β) c υ όταν διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση και (γ) (c 2 υ 2 ) 1/2 όταν διαδίδεται κάθετα στη διεύθυνση του ρεύµατος του αιθέρα. (διπλανό σχήμα) Οι προβληματικοί πλέον νόµοι του ηλεκτρομαγνητισμού θα έπαιρναν πιο απλή µορφή τους σε ένα σύστηµα αναφοράς που ακινητεί σε σχέση µε τον αιθέρα. Αυτό το σύστηµα ονοµάστηκε απόλυτο σύστηµα αναφοράς. Οι νόµοι του ηλεκτρομαγνητισμού θα ίσχυαν σε αυτό το απόλυτο σύστηµα, αλλά θα έπρεπε να τροποποιηθούν για κάθε σύστηµα κινούμενο ως προς το σύστηµα του αιθέρα. Λόγω της σηµασίας που δόθηκε σε αυτό το απόλυτο σύστηµα αναφοράς, η πειραµατική απόδειξη της ύπαρξής του αναδείχθηκε γρήγορα σε σημαντικό θέµα για τη φυσική. Μια άµεση µέθοδος ανίχνευση του ρεύµατος αιθέρα θα ήταν να µετρηθεί η επίδρασή του στην ταχύτητα του φωτός ως προς ένα σύστηµα αναφοράς που βρίσκεται πάνω στη Γη. Αν υ είναι η ταχύτητα του αιθέρα ως προς τη Γη (όπως παρατηρείτε από έναν ακίνητο παρατηρητή πάνω στην γη όπου βλέπει τον αιθέρα να κινείται με ταχύτητα υ προσεγγίζοντας την κίνηση ως ευθύγραμμη ομαλή), τότε η ταχύτητα του φωτός θα πρέπει να έχει τη µέγιστη τιµή της, c + υ, όταν το φως διαδίδεται προς την κατεύθυνση ροής του αιθέρα, όπως δείχνει το Σχήµα(1). Αντίστοιχα, η ταχύτητα του φωτός θα πρέπει να παίρνει την ελάχιστη τιµή της, c υ, όταν αυτό διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση, όπως στο, και µια ενδιάμεση τιµή, (c 2 υ 2 ) 1/2, όταν διαδίδεται σε διεύθυνση που είναι κάθετη προς τη διεύθυνση ροής του αιθέρα, όπως στο. Αν υποτεθεί ότι ο Ήλιος είναι ακίνητος ως προς τον αιθέρα, τότε η ταχύτητα του ρεύµατος του αιθέρα θα ήταν ίση µε την ταχύτητα περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο, η οποία έχει τιµή περίπου 3x10 4 m/s. Δεδομένου ότι c =3x10 8 m/s, θα έπρεπε να ήταν δυνατή η διαπίστωση µιας μεταβολής στην ταχύτητα του φωτός της τάξεως περίπου 1 µέρους στα 10 4 για µετρήσεις προς την ίδια ή προς την αντίθετη κατεύθυνση. Όµως, όλες οι προσπάθειες ανίχνευσης τέτοιων μεταβολών και απόδειξης της ύπαρξης του αιθέρα (και επομένως του απόλυτου συστήµατος αναφοράς) υπήρξαν άκαρπες. 17

18 ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ MICHELSON MORLEY Το πείραμα του MICHELSON MORLEY σχεδιάστηκε για να ανιχνευθούν µικρές µεταβολές της ταχύτητας του φωτός, πραγματοποιήθηκε το 1887 από τους Α.Α. Michelson και E.W. Morley. Θα πρέπει να αναφέρουµε από την αρχή ότι το αποτέλεσµα του πειράματος ήταν αρνητικό, γεγονός ασύµβατο µε την υπόθεση για την ύπαρξη του αιθέρα. Σκοπός του πειράματος ήταν ο προσδιορισµός της ταχύτητας της Γης σε σχέση µε τον υποτιθέμενο αιθέρα. Ως πειραµατική διάταξη χρησιμοποιήθηκε το συμβολόμετρο Michelson. που φαίνεται στο Σχήμα 1. Υποθέστε ότι ένα από τα σκέλη του συµβολοµέτρου ευθυγραμμίζεται µε τη διεύθυνση κίνησης της Γης στο Διάστηµα. Η κίνηση της Γης διά µέσου του αιθέρα θα ισοδυναμεί µε την περίπτωση ροής του αιθέρα ως προς τη Γη στην αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό το ρεύµα του αιθέρα που κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση θα πρέπει να έχει το εξής αποτέλεσµα στην ταχύτητα του φωτός, όπως αυτή μετρείται από το σύστηµα αναφοράς της Γης όταν το φως πλησιάζει το κάτοπτρο Μ 2, η µετρούµενη τιµή της ταχύτητάς του θα πρέπει να είναι c υ, ενώ όταν αποµακρύνεται (µετά την ανάκλαση) c + υ. Η ταχύτητα υ είναι η ταχύτητα της Γης στο Διάστηµα και εποµένως και η ταχύτητα του ρεύµατος του αιθέρα, ενώ c είναι η ταχύτητα του φωτός ως προς το σύστηµα αναφοράς του αιθέρα. Οι δύο φωτεινές δέσµες µετά την ανάκλασή τους στα κάτοπτρα Μ 1 και Μ 2 επανενώνονται και σχηματίζουν µια εικόνα συμβολής, η οποία αποτελείται από εναλλασσόμενες σκοτεινές και φωτεινές ζώνες ή κροσσούς. Κατά τη διάρκεια του πειράματος, το συμβολόμετρο περιστράφηκε κατά µια γωνία 90 µοιρών, ενώ γινόταν συνεχής παρατήρηση της εικόνας συμβολής. Αυτή η περιστροφή θα μετέβαλλε την ταχύτητα του ρεύµατος του αιθέρα κατά µήκος των σκελών του συµβολοµέτρου. Το αποτέλεσµα της θα έπρεπε να ήταν µια µικρή αλλά µετρήσιµη µετατόπιση των κροσσών συμβολής. Οι µετρήσεις που έγιναν όµως, δεν έδειξαν καµιά αλλαγή της εικόνας συμβολής. Το πείραµα Michelson Morley επαναλήφθηκε από άλλους ερευνητές υπό διάφορες συνθήκες και σε διαφορετικούς τόπους, αλλά τα αποτελέσµατα ήταν πάντοτε ίδια δεν παρατηρήθηκε ποτέ η αναµενόµενη µετατόπιση των κροσσών συμβολής. Τα αρνητικά αποτελέσµατα του πειράματος Michelson Morley σήµαιναν ότι δεν ήταν δυνατόν να µετρηθεί η απόλυτη ταχύτητα της Γης (η τροχιακή ταχύτητα) ως προς το σύστηµα αναφοράς του αιθέρα. Παρ' όλα αυτά, όπως θα δούµε στην επόμενη παράγραφο, ο Einstein διατύπωσε ένα αξίωµα στη θεωρία της σχετικότητας το οποίο προσφέρει µια αρκετά διαφορετική εξήγηση αυτών των αρνητικών αποτελεσμάτων. 18

19 Αργότερα, η ιδέα του αιθέρα που περιβάλει όλο τον χώρο εγκαταλείφθηκε ως ξεπερασμένη. Σήµερα µε τον όρο φως εννοούμαι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύµα, το οποίο δεν απαιτεί την ύπαρξη µέσου για τη διάδοσή του. Κατά συνέπεια, η ύπαρξη ενός αιθέρα διά µέσου του οποίου τα κύµατα αυτά θα µπορούν να διαδίδονται, καθίσταται εντελώς περιττή. Μπορούμε εδώ να αναφέρουμε ότι η ιδέα του αιθέρα ξαναέρχεται στην κβαντική βαρύτητα άλλα θεωρητικά μόνο. Σχήµα (2).Διάγραµµα του συµβολοµέτρου Michelson. Μια φωτεινή δέσµη διαχωρίζεται σε δύο ακτίνες από ένα µερικώς επαργυρωμένο κάτοπτρο. Σύµφωνα µε την έννοια του ρεύµατος του αιθέρα, η ταχύτητα του φωτός θα πρέπει να είναι c υ όταν η δέσµη πλησιάζει το κάτοπτρο Μ 2 και c + υ όταν (µετά την ανάκλασή του) απομακρύνεται από αυτό. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ MICHELSON MORLEY Προκειμένου να κατανοήσουμε το αποτέλεσµα του πειράματος Michelson Morley, ας υποθέσουµε ότι το συμβολόμετρο που φαίνεται στο Σχήµα έχει δύο σκέλη ίσου µήκους, L. Πρώτα ας εξετάσουμε τη δέσµη που διαδίδεται παράλληλα προς τη διεύθυνση του ρεύµατος του αιθέρα, την οποία θεωρούµε οριζόντια στο Σχήµα (2). Όταν η δέσµη κινείται προς τα δεξιά, η ταχύτητά της είναι c v σε σχέση µε τη Γη. Κατά την επιστροφή της, όταν δηλαδή η φωτεινή δέσµη κινείται προς τα 19

20 αριστερά, η ταχύτητά της είναι c + v σε σχέση µε τη Γη. Έτσι, ο χρόνος κατά τον οποίο οδεύει προς τα δεξιά είναι L/(c υ) και ο αντίστοιχος χρόνος προς τα αριστερά είναι L / (c + υ). Ο συνολικός χρόνος µετάβασης και επιστροφής κατά µήκος της οριζόντιας διεύθυνσ ης είναι t 1 = = = 1 Τώρα ας θεωρήσουµε τη φωτεινή δέσµη που διαδίδεται κάθετα στο ρεύµα και αντιστοιχεί στην κατακόρυφη διεύθυνση. Δεδομένου ότι σ' αυτήν την περίπτωση η ταχύτητα της δέσµης ως προς τη Γη είναι (c 2 v 2 ) 1/2, ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσει την απόσταση L είναι L/(c 2 v 2 ) 1 /2 και ο συνολικός χρόνος µετάβασης και επιστροφής είναι t 2 = = / (1 - -1/2 Συνεπώς, η διαφορά χρόνου µεταξύ της δέσµης που διαδίδεται οριζόντια και της δέσµης που διαδίδεται κατακόρυφα είναι Δt = t 1 t 2 = [(1 (1 ] 1 1/2 Δεδομένου ότι v 2 /c 2 «1, αυτή η σχέση µπορεί να απλοποιηθεί εάν χρησιμοποιηθεί η διωνυµική ανάπτυξη και παραλειφθούν όλοι οι όροι από δεύτερη τάξη και πάνω ! 2! Οπότε παίρνουμε t 1 t 2 = Δt = Επειδή η ταχύτητα περιφοράς της Γης είναι προσεγγιστικά 3 x 10 4 m/s, η ταχύτητα του ρεύµατος θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση µε αυτή. Οι δύο φωτεινές δέσµες αρχίζουν την πορεία τους σε φάση και επιστρέφουν για να σχηματίσουν µια εικόνα συμβολής. Ας υποθέσουµε ότι το συμβολόμετρο είναι ρυθμισμένο να σχηµατίζει παράλληλους κροσσούς και ότι ένα τηλεσκόπιο είναι εστιασμένο σε έναν από αυτούς τους κροσσούς. Η διαφορά χρόνου µεταξύ των δύο φωτεινών δεσµών προσδίδει µια διαφορά φάσης µεταξύ τους, δημιουργώντας µια εικόνα συμβολής όταν αυτές συμβάλλουν στη θέση του τηλεσκοπίου. Εάν περιστραφεί το συμβολόμετρο κατά 90 0 πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο, θα πρέπει να ανιχνευθεί µια διαφοροποίηση της εικόνα συμβολής, καθώς οι δύο 20

21 δέσµες αλλάζουν αμοιβαία ρόλους. Αυτή η περιστροφή καταλήγει σε µια ολική διαφορά χρόνου διπλάσια από αυτήν που δίνεται από την εξίσωση t 1 t 2 = Δt = Συνεπώς, η διαφορά διαδρομής που αντιστοιχεί σ' αυτήν τη διαφορά χρόνου είναι Δd = c(2δt) = Η αντιστοιχούσα διαφορά φάσης ΔΦ είναι 2π/λ επί τη διαφορά δρόµου, όπου λ είναι το µήκος κύµατος του φωτός. Έτσι είναι Δφ = Στα πρώτα πειράµατα των Michelson και Morley, κάθε φωτεινή δέσµη υφίστατο πολλαπλές ανακλάσεις µέσω κατόπτρων έτσι ώστε να δημιουργείται µια αυξημένη ουσιαστικά διαδροµή L µήκους 11 μέτρων περίπου. Εάν χρησιμοποιηθεί αυτή η τιµή και ληφθεί η υ ίση µε 3x10 4 m/s, προκύπτει µια διαφορά διαδρομής Δd = 2.2x10 7 m Αυτή η επί πλέον απόσταση θα πρέπει να δημιουργήσει µια παρατηρήσιµη μετατόπιση στην εικόνα κροσσών. Συγκεκριμένα, οι υπολογισµοί δείχνουν ότι αν κάποιος παρακολουθεί την εικόνα συμβολής καθώς το συμβολόμετρο περιστρέφεται κατά 90 0, θα πρέπει να παρατηρήσει µια μετατόπιση περίπου κατά 0,4 του κροσσού, Η διάταξη που χρησιμοποιήθηκε από τους Michelson και Morley είχε τη δυνατότητα ανίχνευσης µιας µετατόπισης στην εικόνα συμβολής τόσο µικρής όσο και το 0,01 του κροσσού. Ωστόσο, δεν ανίχνευσαν µετατόπιση στην εικόνα των κροσσών. Από τότε, το πείραµα επαναλήφθηκε πολλές φορές από διάφορους επιστήμονες υπό διαφορετικές συνθήκες και ποτέ δεν ανιχνεύθηκε μετατόπιση κροσσών. Έτσι, έχει συναχθεί το συμπέρασμα ότι δεν ήταν δυνατόν να ανιχνευθεί η κίνηση της Γης ως προς τον αιθέρα. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα αποτελέσματα του πειράματος από διάφορους επιστήμονες Όνομα Έτος Μήκος βραχιόνων Μετατόπιση κροσσών αναμενόμενη Μετατόπιση κροσσών που μετρήθηκε Πειραματική ανάλυση Ανώτερο όριο σε V aether 21

22 Michelson Michelson και Morley < km/s Morley και Μίλερ Μίλερ Μίλερ Μίλερ (φως του ήλιου) Tomascheck Μίλερ Kennedy Illingworth km/s Piccard και Stahel Michelson και λοιποί Joos

23 Πολλές προσπάθειες έγιναν για να εξηγηθούν τα αρνητικά αποτελέσµατα του πειράματος Michelson Morley. Μία πρώτη ς εξήγηση που δόθηκε, ήταν ότι η Γη συμπαρασύρει τον αιθέρα µαζί της κατά την κίνησή της µέσα στο Διάστηµα. Προκείμενου να ελεγχθεί αυτή η υπόθεση, πραγματοποιήθηκαν συµβολοµετρικές μετρήσεις σε διάφορα υψόμετρα, αλλά και πάλι δεν παρατηρήθηκε μετατόπιση κροσσών. Οι G.F. Fitzgerald και Η.Α. Lorentz προσπάθησαν να εξηγήσουν τα αρνητικά αποτελέσµατα κάνοντας µια αυθαίρετη υπόθεση. Υποστήριξαν ότι, αν το µήκος ενός αντικειμένου που κινείται προς την κατεύθυνση ροής του αιθέρα συστελλόταν κατά έναν παράγοντα 1 /, το καθαρό αποτέλεσµα αυτής της συστολής θα ήταν µια μεταβολή του µήκους του ενός σκέλους του συµβολοµέτρου έτσι ώστε να µην παρουσιαστεί διαφορά διαδροµής κατά την περιστροφή. 23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 0 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΣΚΟΠΟΣ Το πρώτο βήµα έγινε µε τη δικαιολόγηση της ανάγκης για µια νέα Μηχανική, µε λογικούς συλλογισμούς και συγκεκριμένες εφαρμογές. Ακολουθεί το σημαντικότερο βήµα η διατύπωση του µετασχηµατισµού του Lorentz, που συνδέει δύο αδρανειακά συστήµατα αναφοράς και αντικαθιστά το μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Η γενική εικόνα συμπληρώνεται µε της συνέπειες της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως την διαστολή του χρόνου και την συστολή του μήκους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εξήγηση του πειράματος του Michelson, σύµφωνα µε τη θεωρία της συστολής (Lorentz Fitzgerald), έκανε τη θεωρία αυτή για πολλά χρόνια αποδεκτή. Κύριος άξονας της ήταν η απόλυτη κίνηση στον αιθέρα και η συστολή των µηκών κατά τη διεύθυνση της κίνησης, παρόλο που πολλά πειράµατα έδειχναν το δρόµο για την εγκατάλειψη της απόλυτης κίνησης και του αιθέρα και την αποδοχή µόνο της σχετικής κίνησης. Απλά πειράµατα του Ηλεκτρομαγνητισμού δείχνουν ότι κάτι δεν πάει καλά µε την απόλυτη κίνηση και ότι πρέπει να δεχτούµε µόνο τη σχετική κίνηση. Όπως ότι ένα ηλεκτρικό φορτίο δημιουργεί γύρω του ένα ηλεκτρικό πεδίο. Όταν το ηλεκτρικό αυτό φορτίο κινείται, ισοδυναμεί µε ηλεκτρικό ρεύµα και δημιουργεί γύρω του µαγνητικό πεδίο, που ασκεί δυνάµεις πάνω στη µαγνητική βελόνα ή σε κινούμενα ηλεκτρικά φορτία. Αν οι νόμοι της φύσης εξαρτιόταν από την απόλυτη κίνηση ως προς τον αιθέρα, ή µ' άλλα λόγια ως προς το χώρο, λόγω της κίνησης της Γης και τα ακίνητα στη Γη ηλεκτρικά φορτία θα έπρεπε να δημιουργούν γύρω τους μαγνητικό πεδίο και να εξασκούνται μαγνητικές δυνάµεις και πάνω στα ακίνητα ηλεκτρικά φορτία. Όµως µια μαγνητική βελόνη εκτρέπεται, όχι όταν υπάρχει δίπλα της ένα ηλεκτρικό φορτίο, αλλά όταν κινείται δίπλα της ένα ηλεκτρικό φορτίο. Το μαγνητικό πεδίο του 24

25 ηλεκτρικού φορτίου υπάρχει µόνο στο σύστηµα αναφοράς στο οποίο το ηλεκτρικό φορτίο βρίσκεται σε κίνηση. Όμως όταν ένας μαγνήτης κινείται κοντά σ' ένα κλειστό κύκλωµα, δημιουργείται ρεύµα από επαγωγή. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει αν είναι ακίνητος ο μαγνήτης και κινείται αντίθετα το κύκλωµα. Δεν ενδιαφέρουν οι απόλυτες κινήσεις του μαγνήτη και του κυκλώματος αλλά η σχετική τους κίνηση. Ακόµα, οι εξισώσεις του Maxwell δεν έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα αδρανειακά σύστημα αναφοράς, αφού µόνο σ' ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, που είναι ακίνητο ως προς τον αιθέρα, η ταχύτητα του φωτός θα έπρεπε να είναι c = 1/(ε o μ ο ) 1I2, όπου ε ο και μ ο είναι η διηλεκτρική σταθερή και η μαγνητική διαπερατότητα του κενού αντίστοιχα. Σε ένα άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, που κινείται µε ταχύτητα V, η ταχύτητα του φωτός θα είναι διαφορετική της c. Πρέπει να υπάρχει ένα προνομιούχο σύστηµα αναφοράς, στο οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι c. Οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου αλλάζουν τη µορφή των εξισώσεων του Maxwell στα διάφορα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η αρχή όµως της Σχετικότητας πρέπει να ισχύει σε όλα τα φαινόμενα της Φυσικής και όχι µόνο της Μηχανικής και, φυσικά και οι εξισώσεις του Maxwell να έχουν την ίδια µορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, το επιβάλει και η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυµάτων να έχει την ίδια τιµή. Το 1905 ο Einstein δημοσίευσε την Ηλεκτροδυναμική των κινουμένων σωµάτων. Στο έργο αυτό γινόταν φανερό ότι οι δυσκολίες της Φυσικής και η αδυναµία της να εξηγήσει τα αποτελέσµατα πολλών πειραμάτων, ήταν η εµµονή της στις έννοιες του αιθέρα, της απόλυτης κίνηση, του απόλυτου χώρου και χρόνου. Ο Einstein, με τρόπο απλό, περιγράφει θεωρητικά τα πειραματικά αποτελέσματα χωρίς αντιφάσεις. Δέχεται µόνο τη σχετική κίνηση, την ισοδυναμία όλων των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς για όλα τα φαινόμενα της Φυσικής, το πεπερασμένο της ταχύτητας του φωτός και τις νέες αντιλήψεις που προκύπτουν για το χώρο και το χρόνο. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein βασίζεται σε δυο αξιώµατα τα οποία επαληθεύονται από το πείραµα. Τα αξιώµατα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι τα εξής: Πρώτο αξίωμα Οι νόµοι και οι αρχές της Φυσικής έχουν την ίδια µορφή σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. 25

26 Δεύτερο αξίωμα Το φως στο κενό έχει την ίδια σταθερή ταχύτητα σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής και του παρατηρητή. Όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς είναι ισοδύναμα και σ' αυτά όλα τα φαινόμενα της Φυσικής, για ίδιες αρχικές συνθήκες, γίνονται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Άµεση συνέπεια του πρώτου αξιώµατος είναι ότι µε κανένα φυσικό φαινόµενο και µε κανένα πείραµα της Φυσικής δεν µπορούµε να βρούµε απόλυτη κίνηση. Οπότε ουσιαστικά θέτουμε τέλος στην θεωρία του αιθέρα και τον απόλυτο χώρο της Κλασικής Μηχανικής του Newton γιατί δεν χρειαζόμαστε φορέα άρα και απόλυτο σύστημα. Δεν υπάρχει πλέον προνομιούχο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και όλα τα αδρανειακά σύστημα αναφοράς είναι ισοδύναμα. Το δεύτερο αξίωµα προβληματίζει, γιατί έρχεται σε αντίθεση µε τις καθημερινές μας αισθήσεις, όσον αφορά τη σύνθεση ταχυτήτων. Το δεύτερο αξίωµα έχει ως συνέπεια (όπως θα δείξουμε αργότερα )ότι κανένα σώµα δεν µπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός στο κενό, ενοποιεί τις έννοιες του χώρου και του χρόνου και εισάγει νέο τρόπο στις µετρήσεις τους. Η ταχύτητα του φωτός στο κενό έχει ξεχωριστή σηµασία στη Θεωρία της Σχετικότητας. Παρόλο που η σταθερότητα και το αξεπέραστο της ταχύτητας του φωτός στο κενό για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές φαίνεται παράξενο, οδηγεί σε σπουδαία συμπεράσματα. Οι συνέπειες δεν γίνονται τόσο αντιληπτές σε µικρές ταχύτητες, αλλά είναι σημαντικές στις μεγάλες ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός στο κενό θα δούμε στην συνέχεια παραδείγματα. Από τα αξιώµατα της Θεωρίας της Σχετικότητας µε τις νέες απόψεις περί χώρου και χρόνου καταλήγουµε απλά στους μετασχηματισμούς Lorentz Einstein, που είναι ίδιοι µε τους μετασχηματισμούς του Lorentz. Η διαφορά είναι ότι ο Lorentz θεωρεί απόλυτη κίνηση ως προς τον αιθέρα, πράγµα χωρίς έννοια για τη Θεωρία της Σχετικότητας. Με τους μετασχηματισμούς Lorentz Einstein, που συνήθως φέρονται µε το όνοµα μετασχηματισμοί Lorentz, οι εξισώσεις που αφορούν όλα τα φαινόμενα της Φυσικής έχουν την ίδια µορφή σ' όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Μελετώντας την ειδική θεωρία θα διαπιστώσουμε ότι αντιτίθενται σε βασικές καθημερινές αντιλήψεις µας για τον χώρο και τον χρόνο. Θα περιορίσουμε τη µελέτη µας στις έννοιες του µήκους, του χρόνου και του ταυτοχρονισμού, οι οποίες είναι εντελώς διαφορετικές στη σχετικιστική μηχανική από ότι είναι στη Galilean 26

27 σχετικότητα. θα δούµε ότι η απόσταση μεταξύ δύο σηµείων και το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο συµβάντων εξαρτώνται από το σύστηµα αναφοράς στο οποίο μετρούνται. Αυτό σηµαίνει ότι στη σχετικότητα δεν υπάρχει η έννοια του απόλυτου µήκους ή του απόλυτου χρόνου όπως έχουμε αναφέρει. Επί πλέον, θα δείξουµε ότι συµβάντα που συντελούνται ταυτοχρόνως σε διαφορετικές θέσεις σε ένα σύστηµα, δεν είναι, ταυτόχρονα σε ένα άλλο σύστηµα. Η ΣΧΕTΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΙΣΜΟΥ Μια βασική παραδοχή της Galilean σχετικότητας είναι ότι υπάρχει µια παγκόσμια κλίµακα χρόνου η οποία είναι ίδια για όλους τους παρατηρητές. Πράγματι, ο Νεύτων έγραφε ότι «ο απόλυτος, αληθινός και µαθηµατικός χρόνος, από την ίδια του τη φύση, ρέει ομοιόμορφα χωρίς καµιά συσχέτιση µε οτιδήποτε το εξωτερικό». Έτσι, ο Νεύτων θεώρησε το ταυτόχρονο, απλώς, ως δεδομένο. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, ο Einstein εγκατέλειψε αυτήν την υπόθεση. Σύµφωνα µε τον Einstein, οι µετρήσεις χρονικών διαστημάτων εξαρτώνται από το σύστηµα αναφοράς στο οποίο γίνεται η µέτρηση. Προκειμένου να επεξηγήσει το σηµείο αυτό, ο Einstein επινόησε το εξής νοητικό πείραµα. Ένα όχηµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα όταν δύο κεραυνοί χτυπούν τα άκρα του οχήματος, όπως δείχνει το Σχήµα (3), αφήνοντας σηµάδια στο όχηµα και στο έδαφος. Έστω σαν Α' και Β' τα σηµάδια που αποτυπώνονται στο όχηµα και Α και Β τα αντίστοιχα σηµάδια που αποτυπώνονται στο έδαφος. Ένας παρατηρητής στο σηµείο Ο', ο οποίος κινείται µε το όχηµα, βρίσκεται στο µέσο της απόστασης µεταξύ των Α' και Β', ενώ ένας ακίνητος παρατηρητής στο σηµείο Ο του εδάφους βρίσκεται στο µέσο της απόστασης µεταξύ των Α και Β. Τα συµβάντα που καταγράφονται από τους δύο παρατηρητές είναι τα φωτεινά σήµατα που εκπέμπονται από τους κεραυνούς. Ας υποθέσουµε ότι τα δύο φωτεινά σήµατα φθάνουν στον ακίνητο παρατηρητή στο Ο την ίδια χρονική στιγµή, όπως φαίνεται στο Σχήµα (3). Αυτός ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ότι τα φωτεινά σήµατα έχουν διανύσει ίσες αποστάσεις µε την ίδια ταχύτητα. Έτσι ο παρατηρητής στο σηµείο Ο ορθά συμπεραίνει ότι τα συµβάντα στα σηµεία Α και Β συντελούνται ταυτοχρόνως. Τώρα ας θεωρήσουµε τα ίδια συµβάντα, όπως τα αντιλαμβάνεται ο κινούμενος παρατηρητής στο σηµείο Ο' του οχήματος. Τη χρονική στιγµή που τα φωτεινά σήµατα φθάνουν στον ακίνητο παρατηρητή στο Ο, ο παρατηρητής στο Ο' έχει µμετακινηθεί, όπως φαίνεται στο Σχήµα (3). Συνεπώς, το φωτεινό σήµα από το Β' έχει ήδη αφιχθεί στο Ο', ενώ το φωτεινό σήµα από το Α' δεν έχει ακόµη φθάσει στο Ο'. Επισημαίνουμε ότι η ταχύτητα τους φωτός και στα δυο συστήματα είναι ίδια αλλά λόγω της κίνησης τα φωτεινά κύματα διανύουν διαφορετικές αποστάσεις. 27

28 Σχήµα (3) Δύο κεραυνοί χτυπούν τα άκρα ενός κινούμενου οχήματος. (α) Τα συµβάντα φαίνονται ότι είναι ταυτόχρονα για τον ακίνητο παρατηρητή στο Ο, ο οποίος βρίσκεται στο µέσο της απόστασης µεταξύ των Α και Β. (β) Τα συµβάντα δεν φαίνονται ότι είναι ταυτόχρονα για τον κινούμενο παρατηρητή στο Ο', ο οποίος υποστηρίζει ότι το πρόσθιο άκρο του οχήματος υφίσταται το χτύπηµα του κεραυνού πριν από το οπίσθιο άκρο. Σύµφωνα µε τον Einstein, ο παρατηρητής στο Ο' πρέπει να παρατηρεί ότι το φως διαδίδεται µε την ίδια ταχύτητα που μετρείται και από τον παρατηρητή στο Ο. Συνεπώς, ο παρατηρητής στο Ο' συμπεραίνει ότι ο κεραυνός χτυπά το πρόσθιο άκρο του οχήματος προτού χτυπήσει το οπίσθιο άκρο. Αυτό το ιδεατό πείραµα δείχνει σαφώς ότι τα δύο συµβάντα, τα οποία φαίνονται ότι είναι ταυτόχρονα για τον παρατηρητή στο Ο, δεν φαίνονται να είναι ταυτόχρονα για τον παρατηρητή στο Ο'. Με άλλα λόγια, δύο συµβάντα τα οποία είναι ταυτόχρονα σε ένα σύστηµα αναφοράς, δεν είναι, ταυτόχρονα σε ένα δεύτερο σύστηµα που κινείται ως προς το πρώτο. Αυτό σηµαίνει ότι ο ταυτοχρονισμός δεν είναι απόλυτη έννοια. Σ' αυτό το σηµείο, ίσως αναρωτηθείτε ποια από τις δύο παρατηρήσεις είναι σωστή σε ότι αφορά τα δύο συµβάντα. Η απάντηση είναι ότι και οι δύο είναι σωστές, επειδή η Αρχή της Σχετικότητας αναφέρει ότι δεν υπάρχει κάποιο προνομιακό αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Παρόλο που οι δύο παρατηρητές καταλήγουν σε διαφορετικά συμπεράσματα, και οι δύο έχουν δίκιο στο δικό τους σύστηµα αναφοράς, επειδή η έννοια του ταυτοχρονισμού δεν είναι απόλυτη. Πράγματι, αυτό είναι το κεντρικό σηµείο της σχετικότητας δηλαδή κάθε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς µπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καταγραφή συµβάντων και τη µελέτη φυσικών φαινόμενων. Δεν υπάρχει κάτι το λανθασμένο µε τα ρολόγια ή µε τα υποδεκάμετρα που χρησιμοποιούνται για την πραγματοποίηση των μετρήσεων. Απλώς τα χρονικά διαστήματα και οι µετρήσεις µήκους εξαρτώνται από τον παρατηρητή. Παρατηρητές σε διαφορετικά αδρανειακά συστήµατα αναφοράς θα μετρούν διαφορετικά χρονικά διαστήματα µε τα ρολόγια τους και διαφορετικές αποστάσεις µε τα υποδεκάμετρα τους. Ωστόσο, και οι δύο θα συμφωνούν σε ότι αφορά τους 28

29 νόµους της φυσικής στα αντίστοιχα συστήµατα αναφοράς τους, αφού οι νόµοι αυτοί είναι οι ίδιοι για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. Η σχετικότητα που διέπει τις µετρήσεις χρόνου και αποστάσεων δίνει τη δυνατότητα στους νόµους της φυσικής (συμπεριλαμβανομένων και των εξισώσεων του Maxwell) να είναι ίδιοι για όλους τους παρατηρητές που κινούνται µε σταθερή ταχύτητα. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ LORENTZ Θεωρούµε ένα γεγονός το οποίο συμβαίνει στο σηµείο Ρ και αναφέρετε σε δυο παρατηρητές, ο ένας βρίσκεται ακίνητος στο σύστηµα S και ο άλλος στο σύστηµα S', το οποίο κινείται προς τα δεξιά µε ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο Σχήμα (4). Ο παρατηρητής εντός του S αναφέρει τα γεγονότα µε χωροχρονικές συντεταμένες (x, y, z, t) και ένας Σχήμα (4). Συµβάν το οποίο συμβαίνει στο σηµείο Ρ και παρατηρείται απ' ένα παρατηρητή ακινήτου στο S σύστηµα αναφοράς και από έναν άλλο ακίνητο στο S' σύστηµα αναφοράς, το οποίο κινείται προς τα δεξιά ως προς το S µε µια ταχύτητα υ. άλλος παρατηρητής του S' αναφέρει τα ίδια συμβάντα χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες (χ', y', z', t). Οι εξισώσεις x'= x ut, y'= y, z'= z, προβλέπουν ότι η απόσταση μεταξύ δυο σημείων στον χώρο στον οποίο τα γεγονότα συμβαίνουν δεν πρέπει να εξαρτάται από την κίνηση του παρατηρητή Δx = Δx. 29

30 Επειδή αυτή η πρόβλεψη είναι αντίθετη ως προς την έννοια της συστολής του μήκους, ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου δεν είναι σωστός όταν η ταχύτητα υ προσεγγίζει την ταχύτητα του φωτός. Σ' αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε τον μετασχηματισμό ο οποίος εφαρμόζεται για όλες τις ταχύτητες, όπου u << c. Οι εξισώσεις οι οποίες είναι εφαρμόσιμες για όλες τις ταχύτητες και οι οποίες δίνουν την δυνατότητα να μετασχηματίσουμε συντεταγμένες από το σύστημα S στο σύστημα S' λέγεται ο μ ε τ α σ χ η μ α τ ι σ μ ό ς ε ξ ι σ ώ σ ε ω ν τ ο υ L ο r e η t z και είναι: x = γ (x υt ) y = y (1) z = z t = γ ( t ) όπου γ = (1 ) 1/2 Εάν θέλουμε να μετασχηματίζουμε τις συντεταγμένες του συστήματος S' και να τις εκφράσουμε από συντεταγμένες του S, δηλαδή τον αντίστροφο του μετασχηματισμού (1) εργαζόμαστε ως εξής: Η πρώτη από της εξισώσεις (1) δίνει x = x' + υ t και η τελευταία δίνει: t = t x οπότε αντικαθιστώντας τον χρόνο t στην πιο πάνω σχέση του χ προκύπτει x = γ( x + υt ) Ανάλογα υπολογίζουμε t = γ(t' + x ). Οπότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός τελικά είναι: (είναι ο ίδιος μετασχηματισμός απλά υ υ ) x = γ(x + υt ) y = y (2) z = z 30

31 t = γ ( t + x ) Όταν υ < < c, ο μετασχηματισμός του Lorentz της εξισώσεως (1) ανάγονται στις εξισώσεις του Γαλιλαίου. Καθώς η ταχύτητα υ τείνει προς το μηδέν, δηλαδή υ/c«1, ο παράγοντας γ = (1 ) 1/2 γίνετε μονάδα. και ο εξισώσεις ανάγονται στο χωροχρονικό μετασχηματισμό του Γαλιλαίου. Τώρα θα μελετήσουμε την διαφορά των συντεταγμένων μεταξύ δύο συμβάντων ή το χρονικό διάστημα μεταξύ των δύο συμβάντων, όπως τα βλέπουν οι παρατηρητές Ο και Ο. Από τις εξισώσεις (1) και (2) μπορούμε εύκολα να εκφράσουμε τις διαφορές στην μορφή: και αντίστροφα Δx = γ (Δx υδt ) Δt = γ (Δ t ) Αναφέρετε στο Σ Σ (3) Δx = γ(δx + υδt ) Δt = γ ( Δt + Δx ) Αναφέρετε στο Σ Σ (4) Όπου Δχ =χ 2 χ 1 και Δt = t 2 t 1 είναι οι διαφορές που μετρούνται από τον παρατηρητή Ο Δx = x 2 x 1 και Δt = t 2 t 1 και αντίστοιχα οι διαφορές που μετρούνται από Ο. Αξίζει να αναφέρουμε ότι δεν έχουμε συμπεριλάβει τις συντεταγμένες y και z επειδή αυτές είναι ανεπηρέαστες από την κίνηση κατά μήκος της x διευθύνσεως. 31

32 ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΟΥ LORENTZ Μετασχηματισμοί Lorentz x = γ (x υt ) y = y z = z t = γ ( t ) Αντίστροφος Μετασχηματισμός x = γ(x + υt ) y = y z = z t = γ ( t + x ) Διάστημα Μετασχηματισμού Δx = γ (Δx υδt ) Δy =Δy Δz = Δz Δt = γ( Δt ) Αντίστροφο Διάστημα Μετασχηματισμού Δx = γ(δx + υδt ) Δy = Δy Δz = Δz Δt = γ ( Δt + x ) Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LORENTZ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Θεωρούμε δυο παρατηρητές σε σχετική κίνηση του ενός ως προς τον άλλο οι οποίοι μετρούν ένα κινούμενο αντικείμενο. Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου της ταχύτητας ισχύει για μικρές ταχύτητες. Ας δούμε τώρα με ποιο τρόπο οι μετρήσεις των παρατηρητών, για την ταχύτητα του αντικειμένου, συνδέονται του ενός ως προς τον άλλο, εάν η ταχύτητα του αντικειμένου πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Έστω S' είναι το σύστημά μας κινούμενο με μια σχετική ταχύτητα υ ως προς το σύστημα S. Υποθέτουμε τώρα ένα αντικείμενο έχει συνιστώσα ταχύτητας υ ', μετρούμενη εντός του συστήματος S' οπότε έχουμε: u x = Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3) και (4) έχουμε: dx' = γ (dx υd t) dt = γ (dt ) Αντικαθιστώντας αυτές τ ις τιμές στην πιο πάνω εξίσωση προκύπτει u x = = = u x = 32

33 διαιρούμε το κλάσμα με το dt ο όρος dx/dt είναι η συνιστώσα της ταχύτητας που μετριέται από τον παρατηρητή S οπότε τελικά έχουμε u x = (5) Εάν το σώμα έχει ταχύτητες u y και u z κατά μήκος των y και z αξόνων όπως μετρούνται από παρατηρητή στο S θα έχουμε από τον μετασχηματισμό (1) της προηγούμενης παραγράφου dy = dy και dz = dz τελικά για τις ταχύτητες u y και u z έχουμε u y = = = οπότε τελικά u y = και u z = Παρατηρήσεις: α) όταν η ταχύτητα υ είναι μικρή ως προς την ταχύτητα του φωτός c ο παρονομαστής τείνει στη μονάδα οπότε προκύπτει u x = u x v. Καταλήγουμε στο μη σχετικιστικό αποτέλεσμα, στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου για την ταχύτητα. β) Στην περίπτωση που έχομε u x = c, το γεγονός κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα των χ με την ταχύτητα του φωτός, τότε από την σχέση (5) προκύπτει: u x = = c το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με την δεύτερη αρχή της σχετικότητας που θέτει ως όριο της ταχύτητας στην φύση την ταχύτητα του φωτός. 33

34 ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΤΟΥ LORENTZ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Μετασχηματισμός Ταχύτητας Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ταχύτητας u x = u x = u y = u y = u z = u z = ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Για να εξετάσουμε ότι παρατηρητές µέσα σε διαφορετικά αδρανειακά συστήµατα μπορούν να μετρούν διαφορετικά χρονικά διαστήματα µεταξύ δυο συµβάντων, θα θεωρήσουµε ένα όχηµα κινούμενο προς τα δεξιά µε ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο Σχήμα (5). (α) (β) (γ) Σχήμα (5) 34

35 Ένας καθρέπτης είναι στερεωμένος στο ανώτερο σηµείο ενός οχήματος και ο παρατηρητής Ο' ακίνητος ως προς το όχημα Σχήμα (5α), κρατάει ένα φλας σε απόσταση d κάτω από τον καθρέπτη. Σε µια στιγµή το φλας εκπέμπει ένα φωτεινό παλµό προς τον καθρέπτη (1 0 συμβάν) και λίγο αργότερα το φως ανακλάται από τον καθρέπτη επιστρέφει πίσω προς το φλας( 2 0 συμβάν). Ο παρατηρητής Ο' με ένα ρολόι μεγάλης ακριβείας μετρά το χρονικό διάστηµα Δt της πορείας του φωτός παρατηρητής καθρέπτης παρατηρητής. Όπου Δt = 2d/c Τώρα θεωρούµε το ίδια συµβάν όπως παρατηρούνται από τον παρατηρητή Ο σε σύστηµα αναφοράς κινούμενο προς τα δεξιά, όπως δεικνύει το Σχήμα (5β). Σύµφωνα µε τον παρατηρητή, ο καθρέπτης και το φλας έχουν κινηθεί προς τα δεξιά µε µια ταχύτητα υ και ως αποτέλεσµα των συµβάντων έχουµε ένα διαφορετικό αποτέλεσµα, από το προηγούμενο. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο φωτεινός παλμός από το φλας φθάνει στον καθρέπτη, ο καθρέπτης έχει κινηθεί προς τα δεξιά κατά µια απόσταση υδt/2 όπου Δt είναι το χρονικό διάστημα από τον παρατηρητή Ο στον καθρέπτη και πάλι στον Ο, όπως μετράται από τον παρατηρητή Ο, (γιατί ο καθρέπτης κινείτε αλλά το φως συνεχίζει με την ίδια ταχύτητα). Ο παρατηρητής Ο συμπεραίνει ότι εξαιτίας της κίνησης του οχήματος, εάν το φως προσκρούσει στον καθρέπτη, αυτό πρέπει να αφήνει το φλας υπό γωνία, ως προς την κάθετη διεύθυνση. Βλέπουµε ότι το φως πρέπει να διανύσει µεγαλύτερη απόσταση στο µέρος (β) απ' ότι στο µέρος (α). Σύµφωνα µε την δεύτερη θεμελιώδη Αρχή της Θεωρίας της Σχετικότητας και οι δυο παρατηρητές πρέπει να μετρούν την τιµή c για την ταχύτητα του φωτός. Επειδή το φως διαδίδεται σε µεγαλύτερη απόσταση, σύµφωνα µε τον παρατηρητή Ο, το χρονικό διάστηµα Δt µετρούµενο από τον Ο είναι µεγαλύτερο από το χρονικό διάστηµα Δt, µετρούµενου από τον παρατηρητή Ο'. Για να υπολογίσουμε την σχέση µεταξύ αυτών των δυο χρονικών διαστημάτων, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, Σχήμα (5γ) (cδt/2) 2 = (vδt/2) 2 + d 2 Λύνοντας την ως προς Δt λαµβάνουµε: τελικά προκύπτει Δt = όμως Δt = 2d/c 35

36 Δt = = γδt Το γ είναι πάντοτε µεγαλύτερο της µονάδος επειδή v«c 2 µας δείχνει ότι: η παραπάνω εξίσωση Αν σ' ένα συγκεκριμένο σύστηµα αναφοράς δυο γεγονότα συμβαίνουν στο ίδιο σηµείο του χώρου, και αν το µεταξύ τους χρονικό διάστηµα µετρούµενο από ένα παρατηρητή που ηρεµεί σ' αυτό το σύστηµα είναι Δt, τότε ένας άλλος παρατηρητής σ ένα δεύτερο σύστηµα κινούμενο ευθύγραμμα, µε σταθερή ταχύτητα υ, ως προς το πρώτο σύστηµα, κατά την διεύθυνση των συμπιπτόντων αξόνων xx' θα µετρήσει για τα ίδια γεγονότα το χρονικό διάστηµα Δt, όπου αυτό δίδεται από την προηγούμενη εξίσωση, όπου το Δt είναι µεγαλύτερο από το χρονικό διάστηµα Δt, επειδή γ> 1 (Διαστολή του χρόνου). Η διαστολή του χρόνου δεν είναι παρατηρήσιµη στην καθημερινή µας ζωή, η διαστολή είναι δυνατόν να κατανοηθεί με τον παράγοντα γ. Αυτός ο παράγων αποκλίνει σηµαντικά από την τιµή του 1 (προς τα άνω) µόνο για πολύ υψηλές ταχύτητες. Η κλίµακα του χρόνου µέσα σε ένα κινούμενο σύστηµα αναφοράς προχωρεί αργά σε σχέση µε ένα ακίνητο σύστηµα αναφοράς. Όταν η σχετική ταχύτητα υ των δυο συστημάτων αναφοράς είναι πολύ μικρή, σε σχέση με το c, το β = v/c είναι πολύ μικρότερο της μονάδος και το γ είναι σχεδόν ίσο με την μονάδα και η εξίσωση προσεγγίζει τη σχέση Δt = Δt' Το χρονικό διάστημα Δt, το ονομάζουμε ιδιόχρονο. Γενικά, ως ιδιόχρονος (proper time) ορίζεται το χρονικό διάστημα που διαρρέει μεταξύ δυο γεγονότων τα οποία συμβαίνουν στο ίδιο σημείο του χώρου. 36

37 ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Σε μεγάλο πλήθος πειραμάτων έχει επιβεβαιωθεί η διαστολή του χρόνου και είναι πλέον μια πραγματικότητα. Τα μιόνια είναι ασταθή σωματίδια τα οποία έχουν ηλεκτρικό φορτίο ίσο με αυτό του ηλεκτρονίου και μάζα 207 φορές μεγαλύτερη από αυτή του ηλεκτρονίου. Τα μιόνια μπορούν να παραχθούν από τη σύγκρουση της κοσμικής ακτινοβολίας με τους πυρήνες των ατόμων της ανώτερης γήινης ατμόσφαιρας. Μιόνια ευρισκόμενα σε ηρεμία, στο εργαστήριο, έχουν μια διάρκεια ζωής η οποία μετράται ότι έχει τον ιδιόχρονο Γνωρίζουμε ότι P(t) = 1/λe λt με μέση τιμή <t> = 1/λ ίσο με Δt = 2.2 μs = 2.2x10 6 s (Είναι ο χρόνος που μετριέται από ένα σύστημα που κινείται μαζί με τα μιόνια.) Εάν λάβουμε το 2.2 μs ως μέσο όρο ζωής ενός μιονίου και υποθέσουμε ότι η ταχύτητα του μιονίου είναι κοντά στην ταχύτητα του φωτός τότε υπολογίζουμε ότι το σωματίδιο μπορεί να διανύσει μια απόσταση που είναι: (3.00x10 8 m/s). (2.2x10 6 s) = 6.6χ 10 2 m=660m, προτού αυτό διασπασθεί, Σχήμα (6). Επομένως είναι απίθανο αυτά να φθάσουν στην επιφάνεια της Γης, η οποία απέχει αρκετά χιλιόμετρα από τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας που έχουν παραχθεί. Παρόλα αυτά, πειράματα έχουν δείξει ότι ένας μεγάλος αριθμός μιονίων φθάνει στην επιφάνεια της Γης. Το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου εξηγεί αυτό το παράδοξο φαινόμενο. Καθώς μετράται ο χρόνος ζωής ενός μιονίου από παρατηρητές που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης, τα μιόνια έχουν διαστολή του χρόνου ζωής των ίση με γ Δt', εάν τα μιόνια κινούνται με ταχύτητα υ = 0.99c τότε το γ = 7.1 και το Δt=7.1χ2.2 μs = 16μs. Τελικά υπολογίζουμε τη μέση διανυόμενη απόσταση σ' αυτό το χρονικό διάστημα, μετρούμενη από ένα παρατηρητή της Γης θα είναι: 0.99 x (3x10 8 m/s) x(16x10 6 s) = 4.00 x 10 3 m = 4800 m, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Έτσι τα μιόνια φθάνουν στην επιφάνεια της Γης και αυτό οφείλεται στη διαστολή του χρόνου της ζωής τους. 37