ÈÅÙÑÇÌÁÔÁ ÓÕÃÊÑÉÓÅÙÓ ÊÁÉ ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÓÔÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ

Transcript

1 ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ Ó ÏËÇ ÈÅÔÉÊÙÍ ÅÐÉÓÔÇÌÙÍ ÔÌÇÌÁ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ ÔÏÌÅÁÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ ÊÁÉ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁÓ ÄÁÍÁÇ - ÅÉÑÇÍÇ ÂÑÁÃÊÁËÇ ÈÅÙÑÇÌÁÔÁ ÓÕÃÊÑÉÓÅÙÓ ÊÁÉ ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÓÔÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ ÌÅÔÁÐÔÕ ÉÁÊÇ ÄÉÁÔÑÉÂÇ ÉÙÁÍÍÉÍÁ, 2012

2

3

4

5 Στους γονείς μου Γιάννη και Κατερίνα και στον αδελφό μου Δημήτρη

6

7 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω μέσα από την καρδιά μου, τον επιβλέποντα μου καθηγητή Θωμά Χασάνη, για την εμπιστοσύνη του και την ευκαιρία που μου έδωσε να μαθητεύσω στο πλευρό του. Χωρίς την καθοδήγηση του και τις πολύτιμες συμβουλές του, η ολοκλήρωση αυτής της διατριβής δεν θα ήταν δυνατή. Θέλω να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου τόσο σε αυτόν, όσο και στη σύζυγο του Φρόσω, γιατί μου στάθηκαν ως δεύτεροι γονείς όλο αυτό το διάστημα. Ευχαριστώ τον αναπληρωτή καθηγητή Θεόδωρο Βλάχο και τον ε- πίκουρο καθηγητή Θεόδωρο Βιδάλη, για τη συμμετοχή τους στη τριμελή επιτροπή κρίσης καθώς και για τη προσεκτική ανάγνωση του κειμένου, τις υποδείξεις και τις παρατηρήσεις τους. Ενα θερμό ευχαριστώ στον κ. Γεώργιο Ακρίβη, καθηγητή του Τμήματος Πληροφορικής, για τη συμβολή του στη μορφοποίηση αυτού του κειμένου. Τέλος, νοιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω τις φίλες μου Μελίνα και Φανή, για την αμέριστη συμπαράσταση των.

8

9 Πρόλογος Η αρχή μεγίστου για μη γραμμικούς δεύτερης τάξης ελλειπτικούς τελεστές εφαρμόζεται στη Διαφορική Γεωμετρία, σε προβλήματα μοναδικότητας και για πληροφορίες, που αφορούν το μέγεθος συμπαγών υπερεπιφανειών. Σκοπός της παρούσης Μεταπτυχιακής Διατριβής είναι, να παρουσιάσουμε αρχές επαφής (tangency principle) για υπερεπιφάνειες M n στον Ευκλείδειο χώρο R n+1. Δηλαδή, να βρούμε ικανές γεωμετρικές συθήκες ώστε δύο υπερεπιφάνειες, που εφάπτονται σε ένα σημείο p 0, να ταυτίζονται ως σύνολα σε μια περιοχή του σημείου p 0. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι κάποια από τις μέσες καμπυλότητες m-τάξης μιας συμπαγούς υπερεπιφάνειας είναι, κατάλληλα, άνω και κάτω φραγμένη. Θα δόσουμε εκτιμήσεις για την ακτίνα της μεγαλύτερης σφαίρας που περιέχεται στο εσωτερικό της υπερεπιφάνειας, καθώς και για την ακτίνα της μικρότερης σφαίρας που περιβάλλει την υπερεπιφάνεια. Θεωρούμε μια λεία υπερεπιφάνεια M n στον Ευκλείδειο χώρο R n+1 και έστω p 0 M n ένα σημείο της. Μια περιοχή του σημείου p 0 στην υπερεπιφάνεια μπορεί να παρασταθεί ως γράφημα, πάνω από το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο στο p 0, μιας τάξης C 2 συνάρτησης f : B r (O) R, με

10 x f(o) = f(o) = 0. Η απεικόνιση Weingarten της υπερεπιφάνειας, 1 ως προς το μοναδιαίο κάθετο διανυσματικό πεδίο ξ = ( f, 1) 1+ f 2 συμβολίζεται με A. Σε κάθε σημείο x B r (O) έστωσαν κ i (x), 1 i n, οι κύριες καμπυλότητες της υπερεπιφάνειας (οι ιδιοτιμές του A στο σημείο (x, f(x)) έτσι ώστε κ 1 (x) κ n (x). Συμβολίζουμε με κ(x) := (κ 1 (x),..., κ n (x)) το διάνυσμα καμπυλοτήτων της υπερεπιφάνειας στο x. Εστωσαν σ m (x 1,..., x n ), 1 m n, τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα n μεταβλητών, που ορίζονται ως σ m (x 1,..., x n ) = 1 i 1 < <i n n x i1 x im. Ορίζουμε τις μέσες καμπυλότητες m-τάξης H m (x), 1 m n της υ- περεπιφάνειας, στο σημείο x, από τη σχέση ( n m) Hm (x) = σ m (κ(x)). Η H 1 = H είναι η μέση καμπυλότητα της υπερεπιφάνειας και η H n = K είναι η καμπυλότητα Gauss-Kronecker. Η συνεκτική συνιστώσα του συνόλου {(x 1,..., x n ) R n : σ m (x 1,..., x n ) > 0}, που περιέχει το σημείο a = (1,..., 1), συμβολίζεται με Γ m και λέγεται υπερβολικός κώνος του σ m. Ο υπερβολικός κώνος Γ m είναι κυρτό υποσύνολο του R n και ισχύει Γ n Γ n 1 Γ 1, όπως προκύπτει απο την εργασία [13] του L. Garding, για α-υπερβολικά πολυώνυμα. Θεωρούμε, τώρα, δυο υπερεπιφάνειες M 1, M 2 στον Ευκλείδειο χώρο R n+1, που είναι γραφήματα των συναρτήσεων f : B r (O) R n R, g : B r (O) R n R, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ισχύουν f(o) = f(o) = 0 και g(o) = g(o) = 0. Οι υπερεπιφάνειες εφάπτονται στο σημείο O R n και έχουν κοινό κάθετο στο O το διάνυσμα (0,..., 0, 1).

11 xi Αν f(x) g(x), για κάθε x B r (O) θα λέμε ότι η M 1 είναι υπεράνω της M 2. Αποδεικνύονται τα ακόλουθα Θεωρήματα Επαφής. Πρώτο Θεώρημα Επαφής: Εστωσαν H f 1 (x), H g 1 (x) οι μέσες καμπυλότητες των M 1, M 2, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ισχύει H f 1 (x) H g 1 (x), για κάθε x B r (O), τότε f(x) = g(x) για κάθε x B r (O). Δεύτερο Θεώρημα Επαφής: Εστωσαν H f m(x), H g m(x), για m 2, οι μέσες καμπυλότητες m-τάξης των M 1, M 2, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ισχύει H f m(x) H g m(x), για κάθε x B r (O) και επιπλέον ότι το διάνυσμα καμπυλοτήτων της M 2 ανήκει στον υπερβολικό κώνο Γ m, δηλαδή κ g (O) Γ m. Τότε ισχύει f(x) = g(x) για κάθε x B r (O). Η απόδειξη των παραπάνω δυο Θεωρημάτων προκύπτει εφαρμόζοντας το ακόλουθο Θεώρημα Συγκρίσεως. Θεώρημα Συγκρίσεως: Εστωσαν f, g συναρτήσεις ορισμένες και τάξης C 2 σε ένα χωρίο Ω R n, Γ ανοιχτό υποσύνολο του R d, d = n(n+1) 2 + 2n + 1 και Φ : Γ R d R μια συνάρτηση τάξης C 1, η οποία είναι ελλειπτική ως προς τις συναρτήσεις u t (x) = tf(x) + (1 t)g(x), για κάθε t [0, 1]. Υποθέτουμε ότι ισχύει f(x) g(x) και Φ(g ij (x), g i (x), g(x), x) Φ(f ij (x), f i (x), f(x), x), για κάθε x Ω. Αν υπάρχει σημείο x 0 Ω όπου f(x 0 ) = g(x 0 ), τότε f(x) = g(x) για κάθε x Ω. Τα Θεωρήματα Επαφής έχουν, ως συνέπεια, ενδιαφέροντα αποτελέσματα στη Διαφορική Γεωμετρία όπως τα εξής: Εστω M n συμπαγής υπερεπιφάνεια, χωρίς αυτοτομές στον Ευκλείδειο χώρο R n+1. Αν H m c m ( H m c m ), για κάποιο m με 1 m n

12 xii και c > 0, τότε η μεγαλύτερη σφαίρα που κάθεται μέσα στην M n έχει ακτίνα μικρότερη του 1 c (η μικρότερη σφαίρα που περιβάλλει την M n έχει ακτίνα μεγαλύτερη του 1 c ), εκτός αν η M n είναι σφαίρα ακτίνος 1 c. Το παραπάνω αποτέλεσμα αποτελεί γενίκευση αποτελεσμάτων των W. Blaschke [1], Δ. Κουτρουφιώτη [21] και άλλων. Εστω M n μια υπερεπιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο, η οποία είναι γράφημα μιας συνάρτησης f ορισμένης στην κλειστή μπάλλα B r (O) R n, ακτίνος r. Αν H είναι η μέση καμπυλότητα, τ η αριθμητική καμπυλότητα και A η απεικόνιση Weingarten της υπερεπιφάνειας, τότε ισχύουν: (i) inf M H < 1 r, (ii) inf M τ < n(n 1), αν η A είναι ημιοριστική σε κάποιο σημείο, r 2 (iii) inf M A < n, αν η μέση καμπυλότητα δεν αλλάζει πρόσημο. r Από το παραπάνω αποτέλεσμα, για ολικά γραφήματα (r = ), προκύπτουν βελτιώσεις προηγούμενων αποτελεσμάτων της M. F. Elbert [8] και των Θ. Χασάνη-Θ. Βλάχου [16]. Η Μεταπτυχιακή Διατριβή έχει οργανωθεί ως εξής: Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται στοιχεία απο τη Γεωμετρία Riemann, τη Θεωρία υπερεπιφανειών και τα υπερβολικά πολυώνυμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται οι αποδείξεις του Θεωρήματος Συγκρίσεως και των Θεωρημάτων Επαφής. Το τρίτο κεφάλαιο ασχολείται με εφαρμογές των Θεωρημάτων Επαφής στη Γεωμετρία και κλείνει με μερικά ανοιχτά προβλήματα στη Θεωρία υπερεπιφανειών.

13 Περιεχόμενα 1 Προκαταρκτικά Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann Υπερεπιφάνειες Γραφήματα Υπερβολικά πολυώνυμα Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων Θεώρημα Συγκρίσεως Θεωρήματα Επαφής Εφαρμογές στη Γεωμετρία Συμπαγείς υπερεπιφάνειες στον R n Υπερεπιφάνειες Γραφήματα Ανοικτά προβλήματα

14

15 Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικά Σε αυτό το κεφάλαιο θα δώσουμε βασικές έννοιες, και τους αντίστοιχους συμβολισμούς, από τη Γεωμετρία Riemann. Για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε στα βιβλία [5], [18] και [22]. Θα επικεντρωθούμε, ειδικότερα, στις υπερεπιφάνειες γραφήματα καθώς και στις βασικές ιδιότητες των υπερβολικών πολυωνύμων. 1.1 Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann Εστω ένα διαφορίσιμο πολύπτυγμα M n και p ένα σημείο του. Το σύνολο των εφαπτόμενων διανυσμάτων στο σημείο p με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, είναι ένας γραμμικός χώρος που ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος (tangent space) του M n στο p και συμβολίζεται με T p M n. Αν (U, ϕ) είναι χάρτης περί το p με συντεταγμένες x 1,..., x n, τα διανύσματα p x i, i = 1,..., n αποτελούν

16 2 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά βάση του T p M n. Αν f : M n M k μια διαφορίσιμη απεικόνιση μεταξύ των διαφορίσιμων πολυπτυγμάτων M n, M k και p ένα σημείο του M n, τότε η γραμμική απεικόνιση df p : T p M n T f(p) M k, που ορίζεται από τη σχέση df p (v)g := v(gof), για κάθε v T p M n και g D(f(p)), καλείται διαφορικό (differential) της f στο σημείο p. Με D(f(p)) συμβολίζουμε το σύνολο των διαφορίσιμων συναρτήσεων σε περιοχή του f(p). Για τη συνέχεια θα συμβολίσουμε με D(M n ) το σύνολο των διαφορίσιμων συναρτήσεων f : M n R και με (M n ) το σύνολο των διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων X : M n T M n, όπου T M n = p M nt p M n είναι η εφαπτόμενη δέσμη (tangent bundle) του M n. Η διαφορίσιμη απεικόνιση f : M n M k λέγεται εμβάπτιση (immersion) αν το διαφορικό της, σε κάθε σημείο του πολυπτύγματος M n, είναι ένα προς ένα. Αν η εμβάπτιση f είναι επιπλέον ομοιομορφισμός επί του συνόλου f(m n ) M k, με τη σχετική τοπολογία του M k, τότε ονομάζεται εμφύτευση (imbedding). Αν το πολύπτυγμα M n είναι υποσύνολο του πολυπτύγματος M k και η απεικόνιση εγκλείσεως i : M n M k, i(p) = p είναι εμφύτευση, σε κάθε σημείο p M n, το πολύπτυγμα M n λέγεται υποπολύπτυγμα (submanifold) του M k. Πολύπτυγμα Riemann (M n,, ) είναι ένα διαφορίσιμο πολύπτυγμα M n εφοδιασμένο με μια αντιστοίχηση, η οποία σε κάθε σημείο p M n αντιστοιχεί ένα εσωτερικό γινόμενο στο T p M, που είναι διαφορίσιμη με την εξής έννοια: για κάθε ζεύγος διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων

17 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 3 X, Y (M n ) η συνάρτηση X, Y, που ορίζεται ως X, Y (p) := X p, Y p, είναι διαφορίσιμη. Η αντιστοίχηση αυτή καλείται μετρική Riemann. Θα εισάγουμε την έννοια της διαφόρισης ενός διανυσματικού πεδίου σε ένα πολύπτυγμα M n. Η απεικόνιση : (M n ) (M n ) (M n ), που αντιστοιχεί τα διανυσματικά πεδία X, Y στο X Y και ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) X1 +X 2 Y = X1 Y + X2 Y, X (Y 1 + Y 2 ) = X Y 1 + X Y 2, (ii) fx Y = f X Y, X (fy ) = f X Y + (Xf)Y, για κάθε f D(M n ) και X, X 1, X 2, Y, Y 1, Y 2 (M n ), ονομάζεται γραμμική συνοχή (linear connection) στο πολύπτυγμα M και το διανυσματικό πεδίο X Y ονομάζεται συναλλοίωτη παράγωγος (covariant derivative) του Y στη διεύθυνση X, ως προς τη γραμμική συνοχή. Αν η γραμμική συνοχή ικανοποιεί, επιπλέον, τις (iii) X Y Y X = [X, Y ], (iv) X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z, για κάθε X, Y, Z (M), θα καλείται συνοχή Riemann ή συνοχή Levi-Civita. Αποδεικνύεται το ακόλουθο Θεώρημα 1.1 (Θεμελιώδες Θεώρημα της Γεωμετρίας Riemann). Σε κάθε πολύπτυγμα Riemann (M n,, ) υπάρχει και μάλιστα μοναδική συνοχή Riemann. Στα επόμενα το M n θα συμβολίζει ένα n-διάστατο πολύπτυγμα Riemann με αντίστοιχη συνοχή Riemann.

18 4 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Ο τανυστής καμπυλότητας R δίνεται από τη σχέση (1.1) R(X, Y )Z := X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, όπου X, Y, Z (M). Με τη βοήθεια του τανυστή καμπυλότητας R θα ορίσουμε καμπυλότητες στο πολύπτυγμα M n : καμπυλότητα τομής, καμπυλότητα Ricci και αριθμητική καμπυλότητα. Ορισμός 1.1. Καμπυλότητα τομής (sectional curvature) του M στο σημείο p, ως προς τον διδιάστατο υπόχωρο σ του T p M n, είναι ο αριθμός (1.2) K(σ) = K(X Y ) := R(X, Y )Y, X X Y 2, όπου {X, Y } είναι τυχούσα βάση του υποχώρου σ και X Y 2 = X 2 Y 2 X, Y 2. Θεωρούμε το σημείο p M n και την ορθομοναδιαία βάση {E 1,..., E n } του T p M n. Το συμμετρικό τανυστικό πεδίο Q, που ορίζεται ως Q(X, Y ) := n R(E i, X)Y, E i, i=1 X, Y T p M n ονομάζεται τανυστής Ricci και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή Q(X, X), για X = 1, λέγεται καμπυλότητα Ricci (Ricci curvature) στο σημείο p και στη διεύθυνση X. Συμβολίζεται με Ric(X). Η συνάρτηση τ : M n R, η οποία ορίζεται ως εξής (1.3) τ(p) := n Ric(E i ) i=1

19 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 5 είναι καλά ορισμένη και λέγεται αριθμητική καμπυλότητα (scalar curvature). Θα δούμε τώρα κάποιες βασικές έννοιες, ήδη γνωστές από την α- νάλυση, πώς επεκτείνονται σε πολυπτύγματα Riemann. Εστω f D(M n ). Σε κάθε σημείο p του M n αντιστοιχίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα, που συμβολίζεται με grad f p ή f p και καλείται κλίση (gradient) της f στο σημείο p. Για τυχαίο X T p M n ορίζουμε το grad f p από τη σχέση (1.4) grad f p, X := df p (X) = Xf. Για κάθε p M n και Z (M n ) θεωρούμε την R-γραμμική απεικόνιση του T p M n Lp : v vz, v TpM. Απόκλιση (divergence) του διανυσματικού πεδίου Z, στο σημείο p καλείται το ίχνος της L p, δηλαδή (1.5) div Z p := trace L p. Η συνάρτηση div Z : M n R που αποκτούμε αφήνοντας το p να μεταβάλλεται λέγεται απόκλιση του Z. Οταν Z = grad f τότε η συνάρτηση (1.6) f := div(grad f) ονομάζεται Λαπλασιανή της f και ο τελεστής : D(M n ) D(M n ) λέγεται τελεστής Laplace στο πολύπτυγμα Riemann M n.

20 6 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Η διγραμμική απεικόνιση 2 f : (M n ) (M n ) D(M n ), όπου (1.7) 2 f(x, Y ) := X(Y f) ( X Y )(f) = X grad f, Y, είναι συμμετρική και καλείται μορφή Hesse (Hessian form). Παράδειγμα 1.1. Θεωρούμε τον R n συντεταγμένες x 1,..., x n και έστω εφοδιασμένο με καρτεσιανές x i, i = 1,..., n, τα αντίστοιχα διανυσματικά πεδία. Ο R n με το κανονικό εσωτερικό γινόμενο γίνεται πολύπτυγμα Riemann. Αν Y = (b 1,..., b n ), όπου b i : R n R διαφορίσιμες συναρτήσεις, ορίζουμε τη συνήθη συνοχή στον R n ως X Y := (Xb 1,..., Xb n ). Α- ποδεικνύεται ότι η πληροί τις ιδιότητες της συνοχής Levi-Civita. Οι τύποι της κλίσης, απόκλισης και Λαπλασιανής μιας διαφορίσιμης συνάρτησης είναι ήδη γνωστοί από τους κλασσικούς τύπους της ανάλυσης, δηλαδή και grad f = ( f,, f ), x 1 x n n z i div Z =, για Z = (z 1,..., z n ) x i i=1 f = n i=1 2 f x i 2. Θεώρημα 1.2 (Stokes-Green). Εστω B r η κλειστή μπάλλα ακτίνος r. Με B r συμβολίζουμε το σύνορο της B r. Αν X είναι ένα διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο τότε ισχύει div XdV = X, ν dσ, B r B r

21 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 7 όπου ν είναι το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διανυσματικό πεδίο του B r, dv το στοιχείο όγκου στον R n και dσ το στοιχείο όγκου της σφαίρας S r := B r. Στη συνέχεια θα ενδιαφερθούμε για μια ειδική κατηγορία εμβαπτίσεων f : M n R n+1, όπου ο R n+1 είναι εφοδιασμένος με τη συνήθη μετρική, και τη συνήθη συνοχή Levi-Civita. Τέτοιες εμβαπτίσεις λέγονται υπερεπιφάνειες. Η εικόνα f(m n ) της υπερεπιφάνειας μπορεί να έχει αυτοτομές. Η f είναι τοπικά εμφύτευση, λόγω του Θεωρήματος Αντίστροφης Απεικόνισης, και η f(m n ) μπορεί να θεωρηθεί, κατά φυσικό τρόπο, τοπικά υποπολύπτυγμα. Σε κάθε σημείο x του R n+1 θεωρούμε την κανονική ταύτιση T x R n+1 = R n+1. Εστω f : M n R n+1 μια υπερεπιφάνεια p M n ένα σημείο και U μια περιοχή του, έτσι ώστε η f U είναι εμφύτευση. Επειδή οι συλλογισμοί μας είναι, συχνά, τοπικοί θα αναφερόμαστε στο f(u), το οποίο είναι υποπολύπτυγμα του R n+1, αγνοώντας την εμβάπτιση f δηλαδή ταυτίζουμε το U με το f(u). Στο ίδιο πνεύμα το διαφορικό df p απεικονίζει τον T p M ισομορφικά στον υπόχωρο df p (T p M) του R n+1 και μέσω αυτού του ισομορφισμού ταυτίζουμε τον T p M με τον df p (T p M). Υποθέτουμε, όπως είναι θεμιτό, ότι το M n είναι τοπικά τουλάχιστον υποπολύπτυγμα του R n+1. Το M n γίνεται και αυτό πολύπτυγμα Riemann με την επαγόμενη μετρική, δηλαδή για v, w T p M, το εσωτερικό γινόμενο στο M n ορίζεται ως v, w M := di(v), di(w) R n+1, όπου i είναι η συνάρτηση εγκλείσεως. Στο εξής, θα ταυτίζουμε ένα

22 8 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά εφαπτόμενο διάνυσμα v του M με το di(v) του R n+1 και το, θα συμβολίζει το εσωτερικό γινόμενο του M αλλά και το σύνηθες του R n+1. Εστω {e 1,..., e n+1 } η συνήθης βάση στον R n+1. Ενα μοναδιαίο κάθετο και διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο ξ κατά μήκος της υπερεπιφάνειας f : M n R n+1 είναι μια απεικόνιση p M n ξ p T p R n+1 με ξ p, ξ p = 1 και ξ p, v = 0 για κάθε v df p (T p M). Εχουμε την παράσταση ξ p = n+1 i=1 ai (p)e i. Διαφορισιμότης του ξ σημαίνει ότι οι συναρτήσεις a i : M n R είναι διαφορίσιμες. Σημειώνουμε ότι, όταν κοιτάζουμε την υπερεπιφάνεια ως υποπολύπτυγμα στον R n+1, τότε το ρόλο της f παίζει η έγκλειση i. Ορισμός 1.2. Μια υπερεπιφάνεια f : M n R n+1 θα λέγεται προσανατολίσιμη (orientable) αν υπάρχει μοναδιαίο, κάθετο και διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο ξ κατά μήκος της f. Σημειώνουμε ότι κάθε υπερεπιφάνεια f : M n R n+1 είναι τοπικά προσανατολίσιμη, δηλαδή, υπάρχει περιοχή U κάθε σημείου p M n, όπου ορίζεται μοναδιαίο κάθετο και διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της f U. Θεωρούμε, τώρα, μια υπερεπιφάνεια M n ως υποπολύπτυγμα του R n+1 η οποία είναι, τουλάχιστον τοπικά, προσανατολισμένη με το μοναδιαίο και κάθετο διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο ξ. Για κάθε p M n έχουμε την ανάλυση T p R n+1 = T p M (T p M),

23 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 9 όπου (T p M) είναι το ορθοσυμπλήρωμα του T p M. Συνεπώς για κάθε v T p R n+1 θα ισχύει v = v + v, v T p M και v (T p M). Είναι προφανές ότι το διάνυσμα v v = v, ξ ξ. Για X, Y (M n ) θέτουμε είναι παράλληλο με το ξ, δηλαδή X Y := ( X Y ) και B(X, Y ) := ( X Y ). Αποδεικνύεται ότι η είναι η συνοχή Levi-Civita της υπερεπιφάνειας, ως προς την επαγόμενη μετρική, και η b(x, Y ) := B(X, Y ), ξ είναι συμμετρική διγραμμική μορφή σε κάθε σημείο της υπερεπιφάνειας. Η b(x, Y ) λέγεται δεύτερη θεμελιώδης μορφή (second fundamental form) της υπερεπιφάνειας. Επειδή η διγραμμική μορφή είναι συμμετρική υπάρχει μοναδικός αυτοπροσηρτημένος (self-adjoint) γραμμικός μετασχηματισμός A : T p M T p M, σε κάθε σημείο p M, τέτοιος ώστε να ισχύει (1.8) b(x, Y ) = AX, Y. Ο A ονομάζεται απεικόνιση Weingarten ή τελεστής σχήματος (shape operator) της υπερεπιφάνειας. Είναι σχεδόν προφανές ότι ισχύει η ταυτότητα (1.9) AX = X ξ,

24 10 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά σε κάθε εφαπτόμενο χώρο T p M. Για τον τανυστή καμπυλότητας R(X, Y )Z της υπερεπιφάνειας, επειδή ο τανυστής καμπυλότητας του R n+1 είναι ταυτοτικά μηδέν, ισχύει η εξίσωση R(X, Y )Z, W = B(X, W ), B(Y, Z) B(X, Z), B(Y, W ) για X, Y, Z, W T p M, ή ισοδύναμα ισχύει η εξίσωση (1.10) R(X, Y )Z, W = AX, W AY, Z AX, Z AY, W η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση του Gauss. Επιπλέον, για τον τελεστή σχήματος A ισχύει η εξίσωση (1.11) ( X A)Y = ( Y A)X, για X, Y (M n ), γνωστή ως εξίσωση του Godazzi, όπου (1.12) ( X A)Y := X (AY ) A X Y. Σημειώνουμε ότι ένας αυτοπροσηρτημένος γραμμικός μετασχηματισμός του εφαπτόμενου χώρου, σε κάθε σημείο της υπερεπιφάνειας, που πληροί την εξίσωση Godazzi λέγεται τανυστής Godazzi. Οπως προκύπτει από τη Γραμμική Άλγεβρα, όλες οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος σε κάθε σημείο της υπερεπιφάνειας, είναι πραγματικές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετα μεταξύ τους. Υπάρχει ορθομοναδιαία βάση {e 1,..., e n }, σε κάθε T p M, από ιδιοδιανύσματα του τελεστή σχήματος A με Ae i = κ i (p)e i, i = 1,..., n

25 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 11 και κ 1 (p) κ 2 (p) κ n (p). Οι ιδιοτιμές κ i (p) (i = 1,..., n) λέγονται κύριες καμπυλότητες (principal curvatures), είναι συνεχείς συναρτήσεις του p και σχεδόν παντού διαφορίσιμες στην M n. Οι διευθύνσεις των e i στον T p M λέγονται κύριες διευθύνσεις (principal directions) στο p M n. Για X, Y μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους διανύσματα του T p M, από την εξίσωση του Gauss (1.10) λαμβάνουμε (1.13) K(X Y ) = AX, X AY, Y AX, Y 2. Ειδικότερα, αν X = e i και Y = e j είναι ιδιοδιανύσματα θα έχουμε (1.14) K(e i e j ) = κ i κ j. Η ποσότητα H = 1 n n i=1 κ i λέγεται μέση καμπυλότητα της υπερεπιφάνειας στο αντίστοιχο σημείο. Επίσης η ποσότητα K = κ 1 κ n λέγεται καμπυλότητα Gauss-Kronecker στο αντίστοιχο σημείο της υπερεπιφάνειας. Από την (1.14) αθροίζοντας ως προς j i λαμβάνουμε την καμπυλότητα Ricci στη διεύθυνση e i (1.15) Ric e i = κ i (nh κ i ) = κ 2 i + nhκ i. Επιπλέον, αθροίζοντας ως προς i, λαμβάνουμε την αριθμητική καμπυλότητα (1.16) τ = n Ric e i = n 2 H 2 A 2, i=1 όπου A 2 = n i=1 κ2 i είναι το τετράγωνο του μέτρου της απεικόνισης Weingarten.

26 12 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Αν σε ένα σημείο p M n ισχύει κ 1 (p) = = κ n (p) = c, τότε το p θα λέγεται ομφαλικό σημείο (umbilic point) αν c 0 και ισόπεδο σημείο (flat point) αν c = 0. Συμβολίζουμε με σ m (x), x = (x 1,..., x n ) R n το στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο m-βαθμού, m = 1,..., n, που ορίζεται ως (1.17) σ m (x 1,..., x n ) := x i1 x im. 1 i 1 < <i m n Θέτουμε, για λόγους ενιαίας διατύπωσης, όπου είναι απαραίτητο σ 0 (x) := 1 και σ m (x) := 0, για m > n. Είναι φανερό ότι το σ m (x) είναι ο συντελεστής του t n m στο πολυώνυμο n i=1 (t + x i). Ορίζουμε την μέση τιμή d k (x) του σ k (x) από τη σχέση ( ) n d k (x) := σ k (x). k Για m = 0, 1,..., n η m-μέση καμπυλότητα H m (m-th mean curvature) της υπερεπιφάνειας M n είναι η συνάρτηση H m : M n R, που ορίζεται ως (1.18) H 0 := 1, H m (p) := 1 ( n m)σ m (κ 1,..., κ n ), όπου κ i είναι οι κύριες καμπυλότητες στο σημείο p. Η συνάρτηση H 1 = H είναι η μέση καμπυλότητα της υπερεπιφάνειας και η H n = K είναι η καμπυλότητα Gauss-Kronecker.

27 1.1. Εννοιες από τη Γεωμετρία Riemann 13 Κλείνοντας αυτή την παράγραφο, θεωρούμε μια υπερεπιφάνεια M n ως υποπολύπτυγμα του R n+1 και προσανατολισμένη, τουλάχιστον τοπικά, με το ξ. Εστω (u 1,..., u n ) παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων στο ανοικτό U της M και x (u1,..., u n ) = (x 1 (u 1,..., u n ),..., x n+1 (u 1,..., u n )) το διάνυσμα θέσης της M με τον κλασσικό συμβολισμό. Τα διανύσματα x u i = ( x 1 u i,, xn+1 u i ), i = 1,..., n, είναι εφαπτόμενα της υπερεπιφάνειας. Οι συναρτήσεις g ij : U M n R, i, j = 1,..., n, που ορίζονται ως (1.19) g ij := x u i, x u j, είναι διαφορίσιμες και ο πίνακας E = [g ij ] είναι ο πίνακας, ως προς το σύστημα συντεταγμένων u 1,..., u n της επαγόμενης μετρικής (πρώτης θεμελιώδους μορφής) της υπερεπιφάνειας. Επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις (1.20) και οι (1.21) 2 x u i u j = n ξ u i = Γij k k=1 n k=1 x + b ij ξ u k b k i x u k,

28 14 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά όπου οι συναρτήσεις Γ k ij = Γ k ij(u 1,..., u n ), i, j, k = 1,..., n, ονομάζονται σύμβολα Christoffel, b ij = b( x u i, x u j ) είναι τα στοιχεία του πίνακα B = [b ij ] της δεύτερης θεμελιώδους μορφής της υπερεπιφάνειας, ως προς το σύστημα συντεταγμένων u 1,..., u n, και b k i = n b im g mk. m=1 Τα g mk είναι τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα του E = [g ij ]. σχέσεις (1.20), (1.21) ονομάζονται τύποι του Gauss και Weingarten, αντίστοιχα, της υπερεπιφάνειας. Οι 1.2 Υπερεπιφάνειες Γραφήματα Μια σημαντική κατηγορία υπερεπιφανειών του R n+1 είναι τα γραφήματα. Η μελέτη τους μας δίνει τοπικές πληροφορίες για τις υπερεπιφάνειες καθώς, όπως θα αναφέρουμε στο τέλος της παραγράφου, κάθε υπερεπιφάνεια του R n+1, τοπικά, μπορεί να γραφεί ως γράφημα. Εστωσαν ένα ανοικτό υποσύνολο D του R n και μια διαφορίσιμη συνάρτηση f : D R n R. Θεωρούμε την απεικόνιση F : D R n+1, που ορίζεται ως F (x 1,..., x n ) := (x 1,..., x n, f(x 1,..., x n )). Το σύνολο F (D) ονομάζεται γράφημα της συνάρτησης f και συμβολίζεται με Γ f. Εστω e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) η συνήθης ορθομοναδιαία βάση στον R n. Επεκτείνουμε τη βάση αυτή στον R n+1 ως εξής: E i = (e i, 0) για i = 1,..., n και E n+1 = (0,..., 0, 1). Δηλαδή, μπορούμε να θεωρήσουμε τον R n ως υπόχωρο του R n+1 κάθετο στον

29 1.2. Υπερεπιφάνειες Γραφήματα 15 άξονα x n+1. Με και θέτουμε τις συνήθεις συνοχές των R n και R n+1, αντίστοιχα. Ως προς την ορθομοναδιαία βάση {E i }, i = 1,..., n + 1 τα σημεία του γραφήματος Γ f γράφονται, για x = (x 1,..., x n ) D, ως F (x) = n x, E i E i + fe n+1 = i=1 n x i E i + fe n+1. i=1 Ισχύει (1.22) df (X) = X + (Xf)E n+1, για κάθε X T D. Το διαφορικό df είναι προφανώς ένα προς ένα. Με f i συμβολίζουμε τη μερική παράγωγο της f ως προς τη μεταβλητή x i (i = 1,..., n). Μια βάση του εφαπτόμενου χώρου T p M n είναι η F p = (1, 0,..., 0, f 1 ),..., F p = (0,..., 0, 1, f n ). x 1 x n Ο πίνακας της πρώτης θεμελιώδους μορφής, ως προς αυτό το σύστημα συντεταγμένων, είναι ο E = [g ij ] = [ F, F ] = [δ ij + f i f j ]. x i x j Θέτουμε W := 1 + f 2. Το μοναδιαίο διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο ξ = 1 W ( f, 1) είναι κάθετο στο Γ f αφού πληροί τις σχέσεις ξ, F x i = 0, i = 1,..., n. Ορισμός 1.3. Το ξ θα το ονομάζουμε το προς τα άνω μοναδιαίο κάθετο διανυσματικό πεδίο του Γ f, ενώ το ξ το προς τα κάτω μοναδιαίο κάθετο.

30 16 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Ο πίνακας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής, ως προς τις παραμέτρους x 1,..., x n και το προς τα άνω μοναδιαίο κάθετο, είναι ο B = [b ij ] = [ fij ]. W Οι κύριες καμπυλότητες κ i (i = 1,..., n) του γραφήματος δίνονται ως λύσεις της εξίσωσης det(b κe) = 0. Με A συμβολίζουμε την απεικόνιση Weingarten του γραφήματος ως προς το κάθετο ξ. Από τον τύπο του Weingarten προκύπτει ότι (1.23) A ξ X = X ξ, όπου X (Γ f ). Θεωρούμε το γραμμικό μετασχηματισμό Ã : T xd T x D, που δίνεται από τη σχέση (1.24) Ã = (df ) 1 A df. Η (1.24), λόγω της (1.23), γίνεται (1.25) ÃX = (df ) 1 ( df (X) ξ), για όλα τα X T D. Παρατήρηση 1.1. Εστω {v i }, i = 1,..., n, βάση του T D τέτοια ώστε τα διανύσματα {df (v i )}, i = 1,..., n, να είναι η βάση των κυρίων διευθύνσεων του A. Τότε από την (1.24) προκύπτει ότι Ãv i = (df ) 1 κ i df (v i ) = κ i v i. Άρα ο γραμμικός μετασχηματισμός Ã έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον A.

31 1.2. Υπερεπιφάνειες Γραφήματα 17 Θα αποδείξουμε τον εξής ισχυρισμό: Για κάθε X T D ισχύει ( 1 ) ( ( f ) ) (1.26) X = df X. W W Πραγματικά, έχουμε ( 1 ) (1.27) X = 1 W W X( f), f = 1 3 W df( X( f)). 3 Επειδή, ( df X ( f W ) ) = 1 ( 1 ) W df( X f) + X f 2, W η (1.27) δίνει ( 1 ) X = 1 ( df ( ( f )) ( 1 ) ) W W 2 X X ( f 2 ) W W = 1 ( W df ( f ) ) 2 X + 1 ( 1 ) W W X f 2. 2 W Άρα, ισχύει Δηλαδή έχουμε ( 1 ] X )[1 f 2 = 1 ( W W 2 W df ( f 2 X W ( 1 ) ( ( f X = df X W W ) ). Χρησιμοποιώντας τις (1.22) και (1.25) προκύπτει ότι ( f ) (1.28) ÃX = X, W για κάθε X T D. Παρατήρηση 1.2. (i) Από τη ( X Ã)Y = X (ÃY ) Ã XY, λόγω της (1.28), λαμβάνουμε ( X Ã)Y = X ( Y ( f W ) ) X Y ) ). ( f ), W

32 18 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά όπου είναι η συνήθης συνοχή στον R n. Επειδή R(X, Y ) ( ) f W = 0 η παραπάνω σχέση γράφεται ( X Ã)Y = X Y ( f W = Y X ( f W ) ( f ) ( f ) X Y R(X, Y ) W W ) ) Y X( f = ( Y Ã)X, W όπου R είναι ο τανυστής καμπυλότητας του R n με τη συνήθη μετρική. Συνεπώς ο Ã πληροί την εξίσωση Godazzi. (ii) Ο Ã, γενικώς, δεν είναι συμμετρικός. Εστω ότι ισχύει η σχέση ÃX, Y = X, ÃY, για τυχαία X, Y T D. Τότε θα έχουμε, για όλα τα X, Y T D, ( 1 ) ( 1 ) 0 = ÃX, Y X, ÃY = X Y f Y Xf W W = 1 { } (XW )(Y f) (Y W )(Xf). W 2 Δηλαδή, θα ισχύει (XW )(Y f) (Y W )(Xf) = 0, για όλα τα X, Y T D. Η τελευταία σχέση δεν μπορεί να ισχύει για όλα τα X, Y εκτός αν η f είναι ειδικής μορφής. f(x, y) = 1 2 (x2 y 2 ), (x, y) R 2 και X = x, Y = y σχέση δεν ισχύει παντού στον R 2. Για παράδειγμα, αν η τελευταία Οι μετασχηματισμοί Newton P m : R n R n, m = 0,..., n που προκύπτουν από το μετασχηματισμό Ã ορίζονται επαγωγικά ως εξής: P 0 = I, η ταυτότητα P m = σ m I ÃP m 1, για m 1,

33 1.2. Υπερεπιφάνειες Γραφήματα 19 όπου σ m είναι η στοιχειώδης συμμετρική συνάρτηση των ιδιοτιμών του Ã, δηλαδή των κυρίων καμπυλοτήτων του γραφήματος Γ f. Θυμίζουμε ότι η μέση καμπυλότητα m-τάξης H m του γραφήματος Γ f ορίζεται από τη σχέση ( n m) Hm = σ m. Για τους μετασχηματισμούς Newton η παρακάτω Πρόταση περιγράφει τρείς βασικές ιδιότητες. Πρόταση 1.1. Εστω f : D R n R μια διαφορίσιμη συνάρτηση και Γ f το γράφημα της. Με τους παραπάνω συμβολισμούς ισχύουν οι ισχυρισμοί: (1.29) ÃP m = P m Ã, για m = 0,..., n. (1.30) Οι ιδιοτιμές του P m (0 m n) είναι οι σ m+1, όπου κ i οι κ i κύριες καμπυλότητες του γραφήματος. (1.31) mσ m = trace(ãp m 1), για 1 m n. Απόδειξη. Οι ισχυρισμοί (1.29) και (1.30) είναι σχεδόν προφανείς, αφού οι μετασχηματισμοί Ã και P m διαγωνοποιούνται ως προς κοινή βάση. Για το μετασχηματισμό Newton P m ισχύει P m = σ m I ÃP m 1, επομένως trace ÃP m 1 = trace(σ m I P m ). Ισχύει, λόγω της γραμμικότητας του ίχνους, ότι trace ÃP m 1 = nσ m trace P m.

34 20 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Συνεπώς αρκεί να υπολογίσουμε το trace P m. Εχουμε, λόγω του (1.30), ότι n i=1 Το σ m+1 κ i trace P m = n i=1 σ m+1 κ i. είναι το σ m χωρίς τους όρους που περιέχουν τα κ i. Το σ m+1 κ i είναι το σ m πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά. Ο όρος κ 1 κ m εμφανίζεται στους σ m+1 κ m+1,, σ m+1, δηλαδή (n m)-φορές. κ n Ανάλογα συμβαίνουν και με τους υπόλοιπους όρους. Άρα trace P m = (n m) σ m, από όπου προκύπτει, λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, ότι trace (ÃP m 1) = m σ m. Θα κλείσουμε την παράγραφο αυτή με μια Πρόταση, που βεβαιώνει ότι κάθε υπερεπιφάνεια του R n+1 είναι τοπικά γράφημα (κοίταξε για παράδειγμα [22]). Πρόταση 1.2. Εστω M n μια υπερεπιφάνεια του R n+1. Τότε η M n είναι τοπικά γράφημα, δηλαδή μια αρκετά μικρή περιοχή κάθε σημείου της παριστάνεται ως γράφημα συνάρτησης. 1.3 Υπερβολικά πολυώνυμα Θα χρειαστούμε κάποιες ιδιότητες των υπερβολικών πολυωνύμων. Τα υπερβολικά πολυώνυμα μελετήθηκαν στα πλαίσια της θεωρίας των μερι-

35 1.3. Υπερβολικά πολυώνυμα 21 κών διαφορικών εξισώσεων. Εχουν ιδιότητες που έχουν στενή σχέση με τον κυρτό προγραμματισμό. Ορισμός 1.4. Ενα ομογενές πολυώνυμο n μεταβλητών P (x) βαθμού m λέγεται α-υπερβολικό, για α = (α 1,..., α n ) R n και α 0, αν η εξίσωση P (x + tα) = 0 έχει m πραγματικές λύσεις για κάθε x R n. Παρατήρηση 1.3. (i) Το πολυώνυμο P (x) είναι α-υπερβολικό σημαίνει, γεωμετρικά, ότι κάθε ευθεία από τυχαίο σημείο x R n και παράλληλη στο α τέμνει την υπερεπιφάνεια P (x) = 0 σε m πραγματικά σημεία. (ii) Είναι προφανές ότι αν το P (x) είναι α-υπερβολικό πολυώνυμο τότε P (α) 0. Με παραγοντοποίηση θα έχουμε m (1.32) P (x + tα) = P (α) (t + λ i (α, x)), όπου λ 1 (α, x) λ 2 (α, x) λ m (α, x) είναι τα αντίθετα των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης P (x + tα) = 0. Οι συναρτήσεις λ i (α, x), i = 1,..., m, είναι συνεχείς. Επιπλέον, επειδή ισχύει m P (sx + tα) = P (α) (t + λ i (α, sx)) i=1 και m P (sx + tα) = P (α) (t + sλ i (α, x)) συμπεραίνουμε ότι λ i (α, sx) = sλ i (α, x), δηλαδή οι συναρτήσεις λ i (α, x) είναι και ομογενείς πρώτου βαθμού. (iii) Είναι προφανές ότι λ i (α, α) = 1. Επιπλέον, επειδή m P (sx + µα + tα) = P (sx + (µ + t)α) = P (α) (µ + t + sλ i (α, x)) i=1 i=1 i=1

36 22 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά και P (sx + µα + tα) = P (α) m (t + λ i (α, sx + µα)), ισχύει λ i (α, sx + µα) = sλ i (α, x) + µ, για s 0. Για s < 0 ισχύει i=1 αντίστοιχη σχέση με κατάλληλη αρίθμηση. Παράδειγμα 1.2. Το στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο n-μεταβλητών σ n (x 1,..., x n ) = x 1 x n είναι α-υπερβολικό με α = (1,..., 1). Πρόταση 1.3. Εστω P (x) ένα α-υπερβολικό πολυώνυμο m-βαθμού (m > 1) και Q(x) := d dt P (x + tα) t=0 = n i=1 α i P x i (x). Τότε το Q(x) είναι α-υπερβολικό πολυώνυμο. Επιπλέον ισχύει η σχέση λ 1 (α, x) µ 1 (α, x), όπου µ 1 (α, x) είναι η μεγαλύτερη λύση της ε- ξίσωσης Q(x + tα) = 0. Απόδειξη. Από την P (tx) = t m P (x), παραγωγίζοντας ως προς x i, λαμβάνουμε ή P (tx) t = t m P (x), x i x i P m 1 P (tx) = t (x). x i x i Συνεπώς το πολυώνυμο P x i (x) είναι ομογενές (m 1)-βαθμού. Άρα θα έχουμε Q(tx) = n i=1 = t m 1 n α i P x i (tx) = i=1 n i=1 m 1 P α i t (x) x i α i P x i (x) = t m 1 Q(x).

37 1.3. Υπερβολικά πολυώνυμα 23 Το Q(x) είναι, συνεπώς, ομογενές (m 1)-βαθμού. Από τη P (tx) = t m P (x), παραγωγίζοντας ως προς t, λαμβάνουμε ή για t = 1, i P x i (tx)x i = mt m 1 P (x), η γνωστή ταυτότητα του Euler. Τώρα, για x R n, θα έχουμε Q(x + tα) = i P x i (x)x i = mp (x), n i=1 α i P x i (x + tα) = dp (x + tα). dt Επειδή P (x + tα) = 0 για t = t i = λ i (x, α), i = 1,..., m, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής, η εξίσωση Q(x + tα) = 0 θα έχει (m 1) πραγματικές λύσεις. Συνεπώς, το Q(x) είναι α-υπερβολικό πολυώνυμο. Παρατήρηση 1.4. Ξεκινώντας από το στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο P (x) = σ n (x), n μεταβλητών, το οποίο είναι α-υπερβολικό με α = (1,..., 1) R n και εφαρμόζοντας, διαδοχικά, την Πρόταση 1.3 διαπιστώνουμε ότι όλα τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα σ m (x 1,..., x n ) = x i1 x in 1 i 1 <i 2 < <i n n είναι α-υπερβολικά με α = (1,..., 1). Ορισμός 1.5. Εστω P (x) ένα α-υπερβολικό πολυώνυμο n-μεταβλητών. Το σύνολο C := {x R n : λ 1 (α, x) > 0}

38 24 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά είναι ανοικτό υποσύνολο του R n και ονομάζεται υπερβολικός κώνος του P (x) ως προς α. Παρατήρηση 1.5. (i) Το σύνολο C είναι κώνος με κορυφή το O. Πραγματικά, επειδή λ 1 (α, x) > 0 θα έχουμε λ 1 (α, sx) = sλ 1 (α, x) > 0 για s > 0. Άρα αν x C τότε και το sx C για s > 0. (ii) Λαμβάνοντας υπόψη την παραγοντοποίηση (1.32) από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι, αν x C τότε η ευθεία από το x που είναι παράλληλη στο α δεν τέμνει την υπερεπιφάνεια P (x) = 0 για t > 0. (iii) Αποδεικνύεται [13] ότι ο C συμπίπτει με τα παρακάτω σύνολα Λ = {x R n : P (x + tα) = 0, τότε t < 0}, C(P, α) = {x R n : P (x + tα) 0, για κάθε t 0}, Γ (P, α) = η συνεκτική συνιστώσα του {x R n : P (x) 0}, η οποία περιέχει το α. Ισχύει η εξής σημαντική Πρόταση Πρόταση 1.4. Εστω P (x) ένα α-υπερβολικό πολυώνυμο με P (α) > 0. Τότε ισχύουν (i) Για κάθε b C(P, α) το P (x) είναι b-υπερβολικό και C(P, α) C(P, b). (ii) Το C(P, α) είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη. (i) Εστω b C(P, α) και t > 0. Θεωρούμε, ως προς s, το πολυώνυμο P (itα + sb + rx), όπου i η φανταστική μονάδα και x οποιοδήποτε στοιχείο του R n. Θα εξετάσουμε για r 0 τις ρίζες του

39 1.3. Υπερβολικά πολυώνυμα 25 πολυωνύμου. Θα δείξουμε ότι για r 0 η εξίσωση P (itα + sb + rx) = 0, ως προς s, έχει λύσεις στο ανοικτό κάτω ημιεπίπεδο. Για r = 0 η εξίσωση P (itα + sb) = 0 δεν μπορεί να έχει το s = 0 ως λύση, αφού P (itα) = (it) m P (α) 0. Για s 0 θα έχουμε ότι η P (itα + sb) = s m P (its 1 α + b) = 0, θα ισχύει για its 1 < 0, δηλαδή για s που ανήκουν στον αρνητικό φανταστικό άξονα. Αφήνουμε το r να αυξηθεί θετικά και υποθέτουμε ότι για κάποιο r > 0 η εξίσωση P (itα + sb + rx) = 0, ως προς s, έχει λύση στο ανοικτό άνω ημιεπίπεδο. Τότε, λόγω συνέχειας, θα υπάρχει r 1 > 0 τέτοιο ώστε η εξίσωση P (itα + sb + r 1 x) = 0 θα έχει πραγματική λύση s 1, δηλαδή P (itα + s 1 b + r 1 x) = 0. Αυτό είναι άτοπο αφού το P (x) είναι α-υπερβολικό. Θα εξετάσουμε τις ρίζες της εξίσωσης P (sb + rx) = 0, δηλαδή της P (itα + sb + rx) = 0 για t = 0. Λόγω συνέχειας των ριζών, το πολυώνυμο P (sb + rx) θα δέχεται ρίζες στο κλειστό κάτω ημιεπίπεδο. Το P (x) έχει πραγματικούς συντελεστές άρα έχει m ακριβώς ρίζες πραγματικές ή μιγαδικές. Επιπλέον, αν έχει μια μιγαδική λύση τότε έχει και τη συζυγή της. Συνεπώς οι ρίζες είναι αναγκαστικά όλες πραγματικές, για οποιοδήποτε x R n, άρα το P (x) είναι b-υπερβολικό. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει C(P, α) C(P, b). Εστω x C(P, α). Το P (x) είναι α-υπερβολικό πολυώνυμο, άρα ισχύει m (1.33) P (tb + x) = P (α) λ i (α, tb + x). Λόγω της Παρατήρησης 1.3 (ii) και (iii) έχουμε λ 1 (α, tb + x) λ 2 (α, tb + x) λ m (α, tb + x) i=1

40 26 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά και λ 1 (α, tb + x) = tλ 1 (α, b) + λ 1 (α, x) > 0 για t 0, αφού b C(P, α) και x C(P, α). Συνεπώς, λόγω της (1.33), το x C(P, b), δηλαδή C(P, α) C(P, b). Ισχύει και C(P, b) C(P, α), λόγω συμμετρικότητας. Άρα C(P, α) C(P, b). (ii) Εστωσαν b, c C(P, α) και µ, ν > 0. Το c μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με το α λόγω του πρώτου μέρους της Πρότασης. Το b C(P, α), άρα λ 1 (α, b) > 0. Ομως λόγω της Παρατήρησης 1.3 (iii) θα έχουμε λ 1 (α, νb + µα) = νλ 1 (α, b) + µ > 0, και συνεπώς το νb + µα C(P, α). Συμβολίζουμε με Γ m := C(σ m, α), τον υπερβολικό κώνο του σ m ως προς α, όπου α = (1,..., 1) και σ m το στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο m-βαθμού και n-μεταβλητών. Λαμβάνοντας υπόψη την Πρόταση 1.3 και την Πρόταση 1.4, συμπεραίνουμε ότι οι κώνοι Γ m είναι κώνοι με κορυφή το Ο και ισχύει Γ n Γ n 1 Γ 1, όπου Γ n = O n είναι το πρώτο ογδοημόριο (orthant). Η ακόλουθη Πρόταση οφείλεται στους L. Caffarelli, L. Nirenberg και J. Spruck [2] και θα την αναφέρουμε χωρίς απόδειξη. Πρόταση 1.5. Εστω σ m (x 1,..., x n ) το στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο βαθμού m. Ισχύει D i σ m := σ m x i > 0, i = 1,..., n,

41 1.3. Υπερβολικά πολυώνυμα 27 στον Γ m, όπου Γ m είναι ο αντίστοιχος υπερβολικός κώνος του σ m. Θα δώσουμε μια σύντομη απόδειξη στην ακόλουθη Πρόταση (κοίταξε για παράδειγμα στο [11]). Πρόταση 1.6. Εστωσαν p = (x 1,..., x n ) Γ m και v = (v 1,..., v n ) Γ n, τότε (p + tv) Γ m, για κάθε t 0. Απόδειξη. Εστω ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Τότε υπάρχει t 0 > 0 τέτοιο ώστε σ m (p+tv) > 0 στο [0, t 0 ) και σ m (p+t 0 v) = 0. Η διαφορίσιμη συνάρτηση σ m (p + tv) είναι φθίνουσα σε κάποιο διάστημα [t 1, t 0 ] άρα υπάρχει t 2 (0, t 0 ) τέτοιο ώστε να ισχύει d dt σ m(p + tv) < 0. t=t2 Ομως, λόγω της Πρότασης 1.5, θα έχουμε d dt σ m(p + tv) = t=t2 στον Γ m, το οποίο είναι άτοπο. n D i σ m (p + t 2 v)v i 0. i=1 Θα κλείσουμε την παράγραφο αυτή με την εξής Πρόταση 1.7. Εστωσαν M n R n+1 υπερεπιφάνεια και p 0 M n. Αν H 1, H 2,..., H m > 0 στο p 0, για κάποιο m με 1 < m n, τότε ισχύει (1.34) H 1 H H 1 m m και η ισότητα σε κάποιο βήμα συνεπάγεται ότι το σημείο p 0 είναι ομφαλικό.

42 28 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Η απόδειξη της Πρότασης προκύπτει, άμεσα, ως συνέπεια του α- κόλουθου Λήμματος Λήμμα 1.1. (i) Για τις μέσες τιμές d m (x) των στοιχειωδών συμμετρικών πολυωνύμων n μεταβλητών x = (x 1,..., x n ) R n ισχύει η ανισότητα Newton (1.35) d 2 m(x) d m 1 (x) d m+1 (x). (ii) Αν d 1 (x 0 ),..., d m (x 0 ) > 0, για κάποιο 1 < m n, σε κάποιο σημείο x 0 = (x 0 1,..., x 0 n) R n, τότε ισχύει η ανισότητα Mac-Laurin (1.36) d 1 (x 0 ) d 2 (x 0 ) 1 2 dm (x 0 ) 1 m και η ισότητα σε κάποιο βήμα συνεπάγεται ότι x 0 1 = = x 0 n 0. Απόδειξη. (i) Θεωρούμε το πολυώνυμο f(t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 βαθμού n 2, με πραγματικούς συντελεστές και πραγματικές ρίζες. Τότε, κατά τα γνωστά, κάθε παράγωγος dk f dt k (t) καθώς και το αντίστροφο πολυώνυμο Af(t) = α 0 t n + a 1 t n a n 1 t + a n του f(t) έχουν επίσης πραγματικές ρίζες. Σχηματίζουμε, για 1 k n 1, το πολυώνυμο d n k 1 ( (d k 1 f A dt n k 1 dt (t))) (k 1)! (n k + 1)! = a k 1 k 1 t 2 2 (k + 1)! (n k 1)! + k!(n k)!a k t + a k+1, 2

43 1.3. Υπερβολικά πολυώνυμα 29 το οποίο έχει πραγματικές λύσεις και ως εκ τούτου η διακρίνουσα του θα είναι μη αρνητική. Δηλαδή θα έχουμε (1.37) a 2 k k + 1 k n k + 1 n k a k 1 a k+1, για 1 k n 1. Για x = (x 1,..., x n ) R n θεωρούμε το πολυώνυμο f(t) = n i=1 (t + x i). Εφαρμόζοντας την (1.37) για a k = ( n k) dk λαμβάνουμε την (1.35). (ii) Θέτοντας d k (x 0 ) d k και εφαρμόζοντας την (1.35) για k = 1,..., m θα έχουμε d 2 1 d 0 d 2 d 2 2 d 1 d 3. d 2 m 1 d m 2 d m. Συνεπώς, πολλαπλασιάζοντας, λαμβάνουμε (d 0 d 2 )(d 1 d 3 ) 2 (d m 2 d m ) m 1 d 2 1 d 4 2 d 2(m 1) m 1. Άρα απλοποιώντας, αφού d 1,..., d m > 0, θα πάρουμε d m 1 m d m m 1.

44

45 Κεφάλαιο 2 Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων 2.1 Θεώρημα Συγκρίσεως Η αρχή μεγίστου για μη γραμμικούς τελεστές δεύτερης τάξης έχει χρησιμοποιηθεί στη Διαφορική Γεωμετρία για την απόδειξη, κυρίως, αποτελεσμάτων μοναδικότητας. Επιπλέον μας δίνει πληροφορίες, που αφορούν το μέγεθος συμπαγών υπερεπιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο, καθώς και συνθήκες ταύτισης αυτών στην περιοχή ενός σημείου επαφής των. Χρειαζόμαστε μερικές έννοιες. Για αυτές και άλλες σχετικές παραπέμπουμε στα βιβλία ([19], [24]). Ορισμός 2.1. Θεωρούμε το συμμετρικό πίνακα A = [a ij (x)], όπου a ij (x) συναρτήσεις ορισμένες σε ένα χωρίο Ω του R n. Αν για κάθε

46 32 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων χωρίο Ω Ω, με συμπαγή θήκη στο Ω, η τετραγωνική μορφή n a ij (x)ξ i ξ j i,j=1 είναι θετικά οριστική και φραγμένη ομοιόμορφα, μακριά από το μηδέν, για κάθε x Ω και κάθε ξ R n με ξ = 1, τότε ο πίνακας A λέγεται τοπικά ομοιόμορφα θετικά οριστικός στο Ω (locally uniformly positive definite). Θεωρούμε το γραμμικό τελεστή δεύτερης τάξης n 2 L := a ij (x) + x i x j i,j=1 n i=1 b i (x) x i, όπου ο συμμετρικός πίνακας [a ij (x)] είναι τοπικά ομοιόμορφα θετικά οριστικός στο χωρίο Ω και οι συντελεστές a ij (x), b i (x) είναι τοπικά φραγμένες συναρτήσεις στο Ω. Αρχή Μεγίστου του Hopf (Hopf s maximum principle). Εστω u = u(x 1,..., x n ) μια συνάρτηση ορισμένη και τάξης C 2 στο χωρίο Ω R n, που πληροί τη διαφορική ανισότητα Lu 0, στο Ω. Αν η u δέχεται μέγιστο σε ένα εσωτερικό σημείο x 0 Ω, τότε η u είναι σταθερή, δηλαδή u(x) = u(x 0 ) για κάθε x Ω. Από την Αρχή Μεγίστου προκύπτει το ακόλουθο Πόρισμα, το οποίο θα χρειασθούμε και θα το αποδείξουμε για λόγους πληρότητας.

47 2.1. Θεώρημα Συγκρίσεως 33 Πόρισμα 2.1. Εστω u = u(x 1,..., x n ) μια συνάρτηση ορισμένη και τάξης C 2 σε ένα χωρίο Ω R n, που πληροί τη διαφορική ανισότητα (2.1) Lu + c(x)u 0 ( 0) στο Ω, όπου η συνάρτηση c(x) είναι τοπικά κάτωθεν φραγμένη στο Ω. Αν η u δέχεται στο Ω το μηδέν ως μέγιστη (ελάχιστη) τιμή, τότε ισχύει u(x) = 0 για κάθε x Ω. Απόδειξη. Εστω x 0 Ω, τέτοιο ώστε u(x 0 ) = 0 η μέγιστη τιμή, ανάλογα προχωρούμε για την ελάχιστη τιμή. Τότε για κάθε x Ω θα έχουμε u(x) u(x 0 ) = 0. Αν x 1 είναι η πρώτη συντεταγμένη του x Ω και a μια θετική σταθερά, θέτουμε h(x) := u(x)e ax 1. Η συνάρτηση h(x) είναι τάξης C 2 και μη θετική στο Ω. Αντικαθιστώντας u(x) = h(x)e ax 1 στην (2.1) και εκτελώντας τις πράξεις λαμβάνουμε: Lh(x) + n i=1 bi (x) h x i (x) c(x)e ax 1 u(x), όπου θέσαμε bi (x) = 2aa i1 (x) και c(x) = a 2 a 11 (x) + ab 1 (x) + c(x). Επειδή οι συναρτήσεις a ij (x), b i (x) είναι τοπικά φραγμένες και η c(x) τοπικά κάτωθεν φραγμένη συμπεραίνουμε ότι, για κάθε χωρίο Ω Ω, υπάρχει a > 0 αρκετά μεγάλο ώστε c(x) > 0 για κάθε x Ω. Για τον ίδιο λόγο οι b i (x) είναι φραγμένες στο Ω. Από την Αρχή Μεγίστου, θεωρώντας Ω με x 0 Ω, συμπεραίνουμε ότι h(x) = e ax 1 u(x) = 0, και συνεπώς u(x) = 0, για κάθε x Ω.

48 34 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων Θεωρούμε το σύνολο M = {x Ω : u(x) = 0}. Είναι φανερό ότι το M είναι μη κενό και κλειστό στο Ω. Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει ότι είναι και ανοικτό στο Ω, και συνεπώς M Ω. Θα δούμε, στη συνέχεια, ένα Θεώρημα Συγκρίσεως, το οποίο θα μας οδηγήσει στην επόμενη παράγραφο σε αναγκαίες γεωμετρικές συνθήκες ώστε δύο υπερεπιφάνειες του Ευκλείδιου χώρου να συμπίπτουν ως σύνολα σε μια περιοχή ενός σημείου επαφής. Θεωρούμε το συμβολισμό (r, p, z, x) := (r ij, r i, z, x), όπου r = (r 11, r 12,..., r 1n, r 22,..., r 2n,..., r n 1n, r nn ) R n(n+1) 2, p = (r 1,..., r n ) R n, z R και x = (x 1,..., x n ) R n. Είναι προφανές ότι το (r, p, z, x) είναι σημείο του R d με d = ( n 2) +3n+1 = n(n+1) 2 + 2n + 1. Εστω f : Ω R n R, μια συνάρτηση τάξης C 2 στο χωρίο Ω. Συμβολίζουμε με f i τη μερική παράγωγο της f ως προς τη μεταβλητή x i και με f ij τη δεύτερη μερική παράγωγο της f ως προς τις μεταβλητές x i, x j. Ορίζουμε Λ(f)(x) := (f ij (x), f i (x), f(x), x), όπου i, j = 1,..., n με i j για x Ω και έχουμε Λ(f)(x) R d. Εστω Γ ανοικτό υποσύνολο του R d. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 2.2. Μια συνάρτηση Φ : Γ R d R, τάξης C 1, λέγεται ελλειπτική σε ένα σημείο (r, p, z, x) αν πληροί τη σχέση n Φ (r, p, z, x)ξ i ξ j > 0, r ij i,j=1

49 2.1. Θεώρημα Συγκρίσεως 35 για κάθε μη μηδενικό ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n. Η Φ θα λέγεται ελλειπτική στο Γ, αν είναι ελλειπτική σε κάθε σημείο του Γ. Επιπλέον, η Φ θα λέγεται ελλειπτική ως προς την τάξης C 2 συνάρτηση f : Ω R n R, αν Λ(f)(x) Γ για κάθε x Ω και η Φ είναι ελλειπτική σε κάθε σημείο Λ(f)(x), x Ω. Παρατήρηση 2.1. Είναι προφανές ότι αν η Φ είναι ελλειπτική σε ένα σημείο του Γ θα είναι ελλειπτική και σε μια περιοχή του σημείου. Θεώρημα Συγκρίσεως (Comparison Theorem). Εστωσαν f, g συναρτήσεις ορισμένες και τάξης C 2 σε ένα χωρίο Ω R n, Γ ανοικτό υποσύνολο του R d, d = n(n+1) 2 + 2n + 1 και Φ : Γ R d R μια συνάρτηση τάξης C 1, η οποία είναι ελλειπτική ως προς τις συναρτήσεις u t (x) = tf(x) + (1 t)g(x), t [0, 1]. Αν Φ(Λ(g)(x)) Φ(Λ(f)(x)) και g(x) f(x), για κάθε x Ω, τότε ισχύει (i) g(x) < f(x), για όλα τα x Ω ή (ii) f(x) = g(x) για όλα τα x Ω, αν υπάρχει x 0 Ω τέτοιο ώστε f(x 0 ) = g(x 0 ). Απόδειξη. Θέτουμε u(x) := f(x) g(x). Η u(x) είναι τάξης C 2 και μη αρνητική στο Ω. Για κάθε x Ω, η συνάρτηση F (t) := Φ(Λ(u t )(x)) είναι τάξης C 1, ως προς t, και έχουμε df dt (t) = + n i,j=1 n i=1 Φ (Λ(u t 2 u )(x)) (x) r ij x i x j Φ r i (Λ(u t )(x)) u x i (x) + Φ z (Λ(ut )(x))u(x).

50 36 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων Ολοκληρώνοντας, ως προς t, την παραπάνω σχέση λαμβάνουμε n ( 1 Φ ) Φ(Λ(f)(x)) Φ(Λ(g)(x)) = (Λ(u t 2 u )(x)) dt i,j=1 0 r ij x i x j n ( 1 Φ ) u + (Λ(u t )(x)) dt i=1 0 r i x i ( 1 Φ ) + z (Λ(ut )(x)) dt u. Επειδή Φ(Λ(f)(x)) Φ(Λ(g)(x)) 0 θα έχουμε 0 (2.2) n 2 u a ij (x) + x i x j i,j=1 n i=1 b i (x) u x i + c(x)u 0 στο Ω, όπου θέσαμε και a ij (x) := b i (x) := c(x) := Φ r ij (Λ(u t )(x)) dt, Φ r i (Λ(u t )(x)) dt, Φ z (Λ(ut )(x)) dt. Η διαφορική ανίσωση (2.2) πληροί όλες τις προϋποθέσεις του Πορίσματος 2.1. Πραγματικά, επειδή η Φ είναι ελλειπτική ως προς κάθε συνάρτηση u t = tf + (1 t)g, t [0, 1], ο πίνακας [a ij (x)] είναι τοπικά ομοιόμορφα θετικά οριστικός. Οι συναρτήσεις a ij (x), b i (x) και c(x), λόγω συνέχειας, είναι φραγμένες σε κάθε Ω Ω. Η u είναι μη αρνητική. Αν u(x 0 ) = f(x 0 ) g(x 0 ) = 0 στο x 0 Ω, τότε σύμφωνα με το Πόρισμα 2.1 θα έχουμε παντού u(x) = 0, δηλαδή f(x) = g(x) για κάθε x Ω.

51 2.2. Θεωρήματα Επαφής Θεωρήματα Επαφής Εστω f : Ω R n R συνάρτηση ορισμένη και τάξης C 2 στο χωρίο Ω. Για το γράφημα Γ f της f στο Ω ορίζεται η μέση καμπυλότητα m τάξης H m, m = 1,..., n, όπου H 1 = H είναι η μέση καμπυλότητα και H n = K η καμπυλότητα Gauss-Kronecker του γραφήματος Γ f. Σε αυτή την παράγραφο θα βρούμε, για m = 1,..., n, μια συνάρτηση Φ m : R d R, d = n(n+1) 2 + 2n + 1, η οποία είναι ελλειπτική ως προς την f και πληροί τη σχέση (2.3) Φ m ( Λ(f)(x) ) = Hm (x), στο x Ω. Για το σκοπό αυτό το παρακάτω Λήμμα, που οφείλεται στους L. Cafarelli, L. Nirenberg και J. Spruck [3], είναι αρκετά χρήσιμο. Λήμμα 2.1. Εστω f : Ω R n R μια συνάρτηση τάξης C 2. Οι κύριες καμπυλότητες του γραφήματος Γ f, στο σημείο x Ω, είναι οι ιδιοτιμές του συμμετρικού πίνακα C(x) = [c ij (x)] με (2.4) c ij = 1 W ( f ij n k=1 (f i f k f kj + f j f k f ki ) W (1 + W ) + n k,m=1 f i f j f k f m f ) km, W 2 (1 + W ) 2 όπου το δεύτερο μέλος υπολογίζεται στο x Ω και W = (1 + f 2 ) 1 2. Απόδειξη. Κατά τα γνωστά οι πίνακες [g ij ], [b ij ] της πρώτης και δεύτερης θεμελιώδους μορφής του γραφήματος δίνονται ως: g ij = δ ij + f i f j,

52 38 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων b ij = f ij W. Οι κύριες καμπυλότητες κ 1 κ 2 κ n του γραφήματος είναι οι ιδιοτιμές του [b ij ] ως προς τον [g ij ]. Δηλαδή, οι κύριες καμπυλότητες πληρούν την εξίσωση Ισοδύναμα, πληρούν την det[b ij κg ij ] = 0. det[c ij κδ ij ] = 0, όπου [c ij ] = [g ij ] 1 2 [b ij ][g ij ] 1 2. Ο πίνακας [g ij ] 1 2 αντιστρόφου [g ij ] του πίνακα [g ij ]. Διαπιστώνεται εύκολα ότι: [g ij ] = [ δ ij f ] if j W 2 είναι η θετική ρίζα του και [g ij ] 1 2 = [δ ij Με πράξεις αποδεικνύεται η (2.4). f i f ] j. W (1 + W ) Παρατήρηση 2.2. Παρακάτω όταν αναφερόμαστε στον πίνακα C, θα αναφερόμαστε ως ο πίνακας καμπυλοτήτων C του γραφήματος της f : Ω R n R. Εστω S(n, R) ο χώρος των συμμετρικών πραγματικών (n n)- πινάκων. Θεωρούμε την απεικόνιση κ : S(n, R) R n, κ(a) := (κ 1 (A),..., κ n (A)),

53 2.2. Θεωρήματα Επαφής 39 όπου κ 1 (A) κ 2 (A) κ n (A) είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A. Αν σ m, m = 1,..., n, είναι οι στοιχειώδεις συμμετρικές συναρτήσεις n μεταβλητών, τότε οι: σ m κ : S(n, R) R είναι ομογενή πολυώνυμα βαθμού m, ως προς τα στοιχεία του πίνακα, όπως προκύπτει από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Ειδικότερα οι συναρτήσεις σ m κ : R n(n+1) 2 R, σ m κ(r 11, r 12,..., r nn ) = σ m (κ([r ij ])) είναι διαφορίσιμες, ως ομογενή πολυώνυμα m βαθμού. Με οδηγό τον πίνακα καμπυλοτήτων C ενός γραφήματος και θέτοντας r = (r ij ), i, j = 1,..., n με i j, p = (r 1,..., r n ), z R, x = (x 1,..., x n ) R n και W = (1 + p 2 ) 1 2, ορίζουμε τη συνάρτηση (2.5) Ã : R d S(n, R), [ 1 ( n (r i r k r kj + r j r k r ki ) Ã(r, p, z, x) = r ij + W W (1 + W ) k=1 όπου d = n(n+1) 2 + 2n + 1. n k,m=1 r i r j r k r m r )] km, W 2 (1 + W ) 2 Οι συναρτήσεις σ m κ Ã : Rd R είναι διαφορίσιμες ως προς όλες τις μεταβλητές και ειδικότερα ως προς τις μεταβλητές r = (r ij ). Ισχύει η παρακάτω Πρόταση 2.1. Εστω f : Ω R n R συνάρτηση ορισμένη και τάξης C 2 στο χωρίο Ω. Τότε υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση Φ m : R d R, όπου d = n(n+1) 2 + 2n + 1, τέτοια ώστε να ισχύει Φ m (Λ(f)(x)) = H m (x), m = 1,..., n,

54 40 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων στο x Ω. Απόδειξη. Η συνάρτηση Φ m = 1 ( n m)σ m κ Ã, πληροί το ζητούμενο, λόγω του Λήμματος 2.1 και της κατασκευής της συνάρτησης Ã. Η παρακάτω Πρόταση μας εξασφαλίζει την ελλειπτικότητα των συναρτήσεων Φ m της Πρότασης 2.1. Πρόταση 2.2. Εστω f : Ω R n R συνάρτηση ορισμένη και τάξης C 2 στο χωρίο Ω. Τότε (i) Η συνάρτηση Φ 1 είναι ελλειπτική σε κάθε σημείο του R d. (ii) Για 2 m n η συνάρτηση Φ m είναι ελλειπτική στα σημεία Q 0 := (r 0, p 0, z 0, x 0 ) Ω m = (κ Ã) 1 (Γ m ), για τα οποία ισχύει ότι p 0 = (r1, 0..., rn) 0 = (0,..., 0), όπου Γ m είναι ο κώνος που αντιστοιχεί στη συμμετρική συνάστηση σ m. Απόδειξη του (i). Οι τιμές της Ã είναι συμμετρικοί πίνακες. Επειδή Φ 1 = 1 σ n 1 κ Ã = 1 trace Ã, λόγω της (2.5), θα έχουμε n Φ 1 (r, p, z, x) = 1 trace Ã(r, p, z, x) n = 1 [ ij r ii 2 r ir j r ij nw W (1 + W ) + i (r i) 2 j,k r jr k r jk ] W 2 (1 + W ) 2 i = 1 [ r ii 1 r nw W 2 i r j r ij ]. i i,j

55 2.2. Θεωρήματα Επαφής 41 Συνεπώς λαμβάνουμε Φ 1 (r, p, z, x) = 1 r kl nw (δ kl 1 W r kr 2 l ) = 1 nw (W 2 δ 3 kl r k r l ). Για τυχαίο μη μηδενικό διάνυσμα ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n έχουμε Φ 1 ξ k ξ l = 1 (W 2 δ r kl nw 3 kl r k r l )ξ k ξ l k,l k,l = 1 nw (W 2 ξ 2 r 3 k ξ k r l ξ l ) k l = 1 nw (W 2 ξ 2 p, ξ 2 ). 3 Λόγω της ανισότητας Cauchy-Schwartz προκύπτει ότι k,l Φ 1 ξ k ξ l 1 r kl nw (W 2 ξ 2 p 2 ξ 2 ) = ξ 2 3 nw > 0. 3 Για την απόδειξη του (ii) χρειαζόμαστε το εξής Λήμμα 2.2. Εστω A 0 S(n, R) με κ(a 0 ) Γ m. Τότε για όλα τα μη μηδενικά διανύσματα ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n ισχύει (2.6) i,j (σ m κ) r ij (A 0 )ξ i ξ j > 0, όπου σ m κ : R n(n+1) 2 R, σ m κ(r 11, r 12,..., r nn ) = σ m (κ([r ij ])). Απόδειξη. Θα δώσουμε την απόδειξη του Λήμματος σε τρία βήματα. Βήμα 1. Ο A 0 είναι διαγώνιος πίνακας με διακεκριμένες ιδιοτιμές. Σε αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις κ i, 1 i n, είναι διαφορίσιμες σε μια περιοχή του A 0, στο S(n, R). Άρα έχουμε (2.7) (σ m κ) (A 0 ) = r kl i σ m z i ( κ(a0 ) ) κ i r kl (A 0 ),

56 42 Κεφαλαιο 2. Ελλειπτικοί τελεστές καμπυλοτήτων όπου σ m : R n R, σ m (z 1,..., z n ) = 1 i 1 < <i n n z i1 z in. Εστω E kl ο πίνακας του οποίου το (k, l)-στοιχείο είναι η μονάδα, ενώ τα υπόλοιπα είναι μηδενικά. Για οποιοδήποτε t R και k l ο πίνακας A 0 + te kl είναι τριγωνικός και συνεπώς θα έχει το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο με τον A 0. Άρα ισχύει κ i r kl (A 0 ) = 0 για k l και 1 i n. Θα δούμε, τώρα, τι συμβαίνει για k = l. Επειδή ο πίνακας A 0 είναι διαγώνιος, οι ιδιοτιμές του είναι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Θεωρούμε τη μοναδική μετάθεση ϑ των {1,..., n} τέτοια ώστε κ ϑ(j) = (A 0 ) jj, όπου με (A 0 ) jj συμβολίζουμε το στοιχείο του πίνακα A 0 στη θέση (j, j). Αφού, σε μια περιοχή του A 0, οι συναρτήσεις κ i (1 i n), είναι διαφορίσιμες τότε και οι κ i (A 0 + te kk ), είναι διαφορίσιμες, ως προς t, σε μια περιοχή του t = 0. Επιπλέον, για πολύ μικρά t, οι κ i (A 0 + te kk ) είναι διακεκριμένες αφού οι κ i (A 0 ) είναι διακεκριμένες. Συνεπώς, για μικρά t, έχουμε Επομένως, και συνεπώς κ ϑ(j) (A 0 + te kk ) = (A 0 + te kk ) jj. d dt κ i(a 0 + te kk ) = (σ m κ) r kl (A 0 ) = 0, k ϑ 1 (i) 1, k = ϑ 1 (i) 0, k l ( D ϑ(k) σ m κ(a0 ) ), k = l.