Παλαιότερες ασκήσεις
|
|
- Πύθιος Καραβίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY6 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών Παλαιότερες ασκήσεις η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων 007) Θεωρείστε µια συλλογή αξιολόγησης που αποτελείται από 0 έγγραφα {d,,d0}. Η συλλογή αξιολόγησης περιλαµβάνει µια επερώτηση q για την οποία γνωρίζουµε ότι τα έγγραφα της συλλογής που είναι συναφή µε αυτήν είναι, συγκεκριµένα τα {d, d, d8, d, d}. Θέλουµε να αξιολογήσουµε την αποτελεσµατικότητα τριών συστηµάτων S, S και S. Για το λόγο αυτό υποβάλλουµε σε κάθε σύστηµα την επερώτηση q και λαµβάνουµε τις εξής απαντήσεις: Ans(S,q) = <d, d, d8, d, d, d, d9, d7, d8, d6, d, d> Ans(S,q) = < d9, d7, d, d6, d, d, d8, d, d, d, d8, d> Ans(S,q) = < d8, d, d, d, d, d > Το αριστερότερο στοιχείο της κάθε απάντησης παριστάνει το υψηλότερα διαβαθµισµένο έγγραφο, αυτό που το σύστηµα υπολόγισε ως το πιο συναφές µε την επερώτηση q. Συγκρίνετε τα τρία αυτά συστήµατα ως προς τα εξής µέτρα: (α) Ακρίβεια (Precision), (β) Ανάκληση (Recall), (γ) F-Measure, (δ) R-Ακρίβεια (R- Precision) και (ε) Fallout. Για κάθε µέτρο σχολιάστε το αποτέλεσµα της σύγκρισης. Λύση α) Ακρίβεια (Precision) Γνωρίζουµε ότι τα συναφή µε την επερώτηση q έγγραφα της συλλογής είναι (συγκεκριµένα {d, d, d8, d, d}). Έτσι για κάθε σύστηµα έχουµε: S : Τα συναφή έγγραφα που επιστρέφει το σύστηµα S είναι { d, d 8, d, d, d }, άρα ενώ το συνολικό πλήθος είναι έγγραφα. Εποµένως το σύστηµα S έχει ακρίβεια P( S ) = = 0.7 S : Τα συναφή έγγραφα που επιστρέφει το σύστηµα S είναι { d, d, d, d 8, d }, άρα ενώ το συνολικό πλήθος είναι έγγραφα. Εποµένως το σύστηµα S έχει ακρίβεια P( S ) = = 0.7 S : Τα συναφή έγγραφα που επιστρέφει το σύστηµα S είναι { d 8, d, d, d }, άρα ενώ το συνολικό πλήθος είναι 6 έγγραφα. Εποµένως το σύστηµα S έχει ακρίβεια P( S ) = = Έτσι βλέπουµε ότι τα συστήµατα S και S έχουν την ίδια ακρίβεια αν και έχουν διαφορετικές απαντήσεις. Το σύστηµα S έχει µεγαλύτερη ακρίβεια αν και δίνει λιγότερα συναφή έγγραφα από τα άλλα άλλα από την άλλη δίνει και λιγότερα µησυναφή έγγραφα και είναι προτιµητέο από πλευράς ακρίβειας. --
2 β) Ανάκληση (Recall) Γνωρίζουµε ότι το σύνολο των συναφών εγγράφων είναι. Οπότε: S : Επιστρέφει συναφή αποτελέσµατα οπότε : R( S ) = = S : Επιστρέφει συναφή αποτελέσµατα οπότε : R( S ) = = S : Επιστρέφει συναφή αποτελέσµατα οπότε : R( S ) = = 0.8 Παρατηρούµε ότι το S και το S έχουν την καλύτερη δυνατή ανάκληση (επιστρέφουν όλα τα συναφή έγγραφα) ενώ από την άλλη το S επιστρέφει µόνο. Από πλευράς ανάκλησης τα πρώτα είναι προτιµητέα. γ) F-Measure To F-Measure είναι το αρµονικό µέσο της ανάκλησης και της ακρίβειας. * P * R Συγκεκριµένα είναι F =. Εποµένως για κάθε σύστηµα έχουµε : P+ R S : S : S : * 0.7* 0.8 F( S ) = = = * 0.7* 0.8 F( S ) = = = *0.667* F( S ) = = = Ο λόγος που χρησιµοποιούµε τον αρµονικό µέσο της ανάκλησης και ακρίβειας είναι επειδή υψηλή τιµή F-Measure επιτυγχάνεται όταν έχουµε υψηλό R και υψηλό P. Εποµένως προτιµητέο σύστηµα µε βάση το F-Measure είναι τo τελευταίο σύστηµα. δ) R-Precision R-Precision είναι ακρίβεια ενός συστήµατος στην R θέση της διάταξης της απάντησης σε µία επερώτηση που έχει R συναφή έγγραφα. Γνωρίζουµε ότι για την επερώτηση q υπάρχουν συναφή έγγραφα στην συλλογή. Άρα R= --
3 S : Για το σύστηµα S στις πρώτες θέσεις βρίσκονται συναφή έγγραφα και µησυναφή. Εποµένως R Pr ecision( S) = = 0.6 S : Για το σύστηµα S στις πρώτες θέσεις βρίσκεται συναφές έγγραφο και µησυναφή. Εποµένως R Pr ecision( S) = = 0. S : Για το σύστηµα S στις πρώτες θέσεις βρίσκονται συναφή έγγραφα και µησυναφές. Εποµένως R Pr ecision( S) = = 0.8 Από το R-Precision καταλαβαίνουµε εάν ένα σύστηµα επιστρέφει στις πρώτες θέσεις πολλά συναφή έγγραφα. Όσο πιο µεγάλο είναι τόσο πιο πυκνά είναι τα συναφή έγγραφα στις πρώτες θέσεις του αποτελέσµατος. Σύµφωνα λοιπόν µε το R-Measure προτιµητέο σύστηµα είναι το S. ε) Fallout Το Fallout είναι ο λόγος των µη-συναφών εγγράφων που έχουν ανακληθεί προς τον συνολικό αριθµό των µη-συναφών εγγράφων. Συνολικά η συλλογή µας περιλαµβάνει 0 έγγραφα εκ των οποίων είναι συναφή. Άρα τα µη συναφή έγγραφα της συλλογής µας είναι. S : Το σύστηµα S ανακτά συνολικά έγγραφα εκ των οποίων 7 είναι µη συναφή οπότε 7 Fallout( S ) = = 0. S : Το σύστηµα S ανακτά συνολικά έγγραφα εκ των οποίων 7 είναι µη συναφή οπότε 7 Fallout( S ) = = 0. S : Για Το σύστηµα S ανακτά συνολικά 6 έγγραφα εκ των οποίων είναι µη συναφή οπότε Fallout( S ) = = 0.07 Όσο πιο µικρό είναι το Fallout για ένα σύστηµα τόσο πιο λίγα µη συναφή έγγραφα επιστρέφει. Άρα από πλευράς Fallout το S είναι καλύτερο µιας και επιστρέφει λιγότερα µη-συναφή έγγραφα για την επερώτηση q. Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων 007) --
4 Σχεδιάστε τις καµπύλες ακρίβειας/ανάκλησης (P/R curves) των συστηµάτων της προηγούµενης άσκησης. Για κάθε σύστηµα δώστε γραφήµατα: ένα που να απεικονίζει τα P/R σηµεία όπως προκύπτουν από τις απαντήσεις, και ένα χρησιµοποιώντας κανονικοποιηµένα επίπεδα ανάκλησης (standard recall levels). Αν βλέπατε µόνο αυτά τα γραφήµατα (και όχι τις απαντήσεις) θα µπορούσατε να επιλέξετε το καλύτερο σύστηµα; Λύση S: Αρχικά πρέπει να βρούµε τα σηµεία της καµπύλης ακρίβειας/ανάκλησης εποµένως κοιτάζουµε σε ποιες θέσεις έχουµε συναφή έγγραφα. Το S ανακτά συναφή έγγραφα οπότε: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: R( S ) = = 0. R( S ) = = 0. R( S ) = = 0.6 R( S ) = = 0.8 R( S ) = = P( S ) = = P( S ) = = P( S ) = = 0.6 P( S ) = = P( S ) = = 0. Και για την κανονικοποίηση χρησιµοποιούµε τα καθιερωµένα επίπεδα ανάκλησης r j ={0.0, 0., 0., 0., 0., 0., 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,.0} Precision 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 Recall interpolated real --
5 S: Βρίσκουµε ξανά τα σηµεία της καµπύλης ανάκλησης/ακρίβειας. Το S ανακτά συναφή έγγραφα οπότε: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: R( S ) = = 0. R( S ) = = 0. R( S ) = = 0.6 R( S ) = = 0.8 R( S ) = = P( S ) = = 0. P( S ) = = 0. 9 P( S ) = = 0. 0 P( S ) = = 0.6 P( S ) = = 0.7 Και χρησιµοποιώντας τα ίδια επίπεδα κανονικοποίησης µε παραπάνω προκύπτει το παρακάτω γράφηµα : Precision 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 Recall interpolated real S: Βρίσκουµε ξανά τα σηµεία της καµπύλης ανάκλησης/ακρίβειας. Το S ανακτά συναφή έγγραφα οπότε: ο συναφές: R( S ) = = 0. P( S ) = = --
6 ο συναφές: ο συναφές: ο συναφές: R( S ) = = 0. R( S ) = = 0.6 R( S ) = = 0.8 P( S ) = = P( S ) = = P( S ) = = Και χρησιµοποιώντας τα ίδια επίπεδα κανονικοποίησης µε παραπάνω προκύπτει το παρακάτω γράφηµα : Precision 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 Recall interpolated real Αυτό που παρατηρούµε είναι ότι για το σύστηµα S έχει υψηλές τιµές ακρίβειας για χαµηλές τιµές της ανάκλησης και οι τιµές της ακρίβειας όσο η ανάκληση ανεβαίνει προς το µειώνεται µέχρι κάποιο όριο (0,). Σε γενικές γραµµές το σύστηµα αυτό έχει αρκετά καλή συµπεριφορά. Το σύστηµα S έχει χαµηλές τιµές ακρίβειας για σχεδόν όλα τα επίπεδα ανάκλησης. Το σύστηµα αυτό µας επιστρέφει µεγάλο πλήθος µη-συναφών εγγράφων από τα πρώτα κιόλας αποτελέσµατα. Το σύστηµα S τέλος έχει εξαιρετικές τιµές ακρίβειας για χαµηλά και µεσαία επίπεδα ανάκλησης και µετά µειώνεται στο µηδέν η ακρίβεια. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι τα πρώτα αποτελέσµατα της αναζήτησης θα είναι συναφή έγγραφα και από ένα σηµείο και µετά θα είναι µη-συναφή. Χρησιµοποιώντας τα γραφήµατα µε τις κανονικοποιηµένες τιµές είναι πιο ευδιάκριτα τα παραπάνω. Βλέποντας τα γραφήµατα λοιπόν µπορούµε να επιλέξουµε το καλύτερο αναζητώντας αυτό που προσεγγίζει την πάνω δεξιά γωνία (εκεί όπου ακρίβεια = και ανάκληση =). Αυτό θα µπορούσε να γίνει µετρώντας το εµβαδό των γραφηµάτων στην κάτω από την γραµµή του γραφήµατος περιοχή. Έτσι εδώ το σύστηµα S προκύπτει να είναι το καλύτερο. Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων 007) Έστω ότι η συλλογή αξιολόγησης αποτελείται από 00 έγγραφα {d,,d00} και γνωρίζουµε ότι υπάρχουν έγγραφα της συλλογής, συγκεκριµένα τα {d, d, d}, που είναι συναφή µε την επερώτηση q. Θέλουµε να αξιολογήσουµε την -6-
7 αποτελεσµατικότητα τριών συστηµάτων S, S και S τα οποία επιστρέφουν ως απάντηση έγγραφα συνοδευµένα από ένα βαθµό συνάφειας. Υποβάλλουµε σε κάθε σύστηµα την επερώτηση q και λαµβάνουµε τις εξής απαντήσεις: Ans(S,q) = <d, {d, d00 d00}, d> Ans(S,q) = <d, d, d> Ans(S,q) = <{d, d8},d, d> Η απάντηση <{d, d8},d, d> σηµαίνει ότι τα d, d8 ισοβαθµούν στην πρώτη θέση (άρα έλαβαν τον µεγαλύτερο βαθµό συνάφειας). Η απάντηση <d, {d, d00 d00}, d> σηµαίνει ότι το d έλαβε το µεγαλύτερο βαθµό, ενώ µετά ακολουθεί µια οµάδα από 0 έγγραφα τα οποία ισοβαθµούν, και στο τέλος της κατάταξης βρίσκεται το d. Για κάθε ένα από τα συστήµατα απαντήστε τα ακόλουθα ερωτήµατα: (α) Ποια είναι η R-ακρίβεια (R-precision); (β) Ποιο είναι το αναµενόµενο µήκος αναζήτησης για να βρούµε συναφή; (γ) Ποιο είναι το µέσο αναµενόµενο µήκος αναζήτησης; Λύση α) R-ακρίβεια (R-precision) Η R-ακρίβεια για το S σύστηµα, η ακρίβεια δηλαδή στην R θέση της διάταξης, όπου εδώ R=, είναι R Pr esicision( S) = = εάν το d βρίσκεται στην η ή στην η θέση. Εάν το d βρίσκεται στις θέσεις η, η,, 0 η τότε R Pr esicision( S) = = 0. Πρέπει λοιπόν να λάβουµε υπ όψιν τις διαφορετικές µεταθέσεις του d. Οι συνολικοί συνδυασµοί εγγράφων που µπορούν να βρίσκονται στις θέσεις και είναι 0*0= 00. Το d µπορεί να βρίσκεται στην η θέση µε 0 συνδυασµούς από τους παραπάνω. Το d µπορεί να βρίσκεται στην η θέση µε 0 συνδυασµούς από τους παραπάνω. Εποµένως µε πιθανότητα 0 = 0, 096 το R-Presicion(S) = ενώ µε 00 πιθανότητα 000 = 0,980 το R-Presicion(S) = Συνολικά λοιπόν η R-ακρίβεια για το S σύστηµα είναι R Pr esicision( S) = 0, 096i0, , 980i 0, = 0,9 Η R-ακρίβεια για το S σύστηµα είναι Η R-ακρίβεια για το S σύστηµα είναι R Pr esicision( S) = = R Pr esicision( S) = =
8 Ό λόγος είναι προφανής. Κοιτάζοντας τα πρώτα αποτελέσµατα που επιστρέφει κάθε σύστηµα βλέπουµε ότι: Ans(S,q) = <d, {d, d00 }, > Ans(S,q) = <d, d, d> Ans(S,q) = <{d, d8},d, > β) αναµενόµενο µήκος αναζήτησης για να βρούµε συναφή αποτελέσµατα Γνωρίζουµε ότι µήκος αναζήτησης είναι το πλήθος των µη συναφών εγγράφων τα οποία πρέπει να αναζητήσουµε µέχρι να βρούµε συναφή έγγραφα. S Βλέπουµε ότι στην η θέση βρίσκονται 0 έγγραφα µε ίδιο βαθµό. Αν το d βρίσκεται στην η θέση τότε θα έχουµε µήκος αναζήτησης 0. Αν βρίσκεται στην θέση θα έχουµε µήκος αναζήτησης κ.ο.κ. Πρέπει λοιπόν να λάβουµε υπ όψιν όλες τις πιθανές θέσεις που µπορεί να έχει το d. Ανάλογα µε την θέση του d λοιπόν το µήκος αναζήτησης θα είναι 0,,,,, 0 και το µέσο µήκος αναζήτησης για να έχουµε συναφή αποτελέσµατα θα είναι S Εδώ είναι πιο ξεκάθαρα τα πράγµατα επειδή δεν έχουµε ένα έγγραφα µε τον ίδιο βαθµό συνάφειας όταν βρίσκουµε το ο συναφές έγγραφο. Εδώ το αναµενόµενο µήκος αναζήτησης για να βρούµε συναφή έγγραφα είναι 0. S Το µήκος αναζήτησης εδώ όταν βρούµε συναφή έγγραφα είναι. γ) µέσο αναµενόµενο µήκος αναζήτησης Χρειάζεται για κάθε σύστηµα να φτιάξουµε τον πίνακα των συναφών εγγράφων και του αναµενόµενου µήκος αναζήτησης. Έχουµε λοιπόν S Συναφή έγγραφα Αν. µήκος λέξης 0 0 Το µέσο µήκος αναζήτησης είναι : -8-
9 = = 9.7 Από το οποίο παρατηρούµε ότι πρέπει να ψάξουµε πολλά επιπλέον έγγραφα εκτός των συναφών για να ανακτήσουµε ένα πλήθος συναφών. S Συναφή έγγραφα Αν. µήκος λέξης Το µέσο µήκος αναζήτησης είναι : = = 0 Είναι το ιδανικότερο σύστηµα αφού µέσο µήκος αναζήτησης 0 σηµαίνει ότι δεν χρειάζεται να αναζητήσουµε καθόλου µη συναφή έγγραφα για να ανακτήσουµε συναφή. S Συναφή έγγραφα Αν. µήκος λέξης 0, Το µέσο µήκος αναζήτησης είναι : = = 0. Το οποίο σηµαίνει ότι χρειάζεται να αναζητήσουµε ένα πολύ µικρό αριθµό από µη συναφή έγγραφα για να βρούµε κάποια συναφή. Άσκηση ( η σειρά ασκήσεων 007) Έστω ότι έχουµε µια συλλογή Ν εγγράφων και Κ συστήµατα ανάκτησης πληροφοριών. Θέλουµε να αξιολογήσουµε την αποτελεσµατικότητα των συστηµάτων αυτών, ώστε να επιλέξουµε το καλύτερο, αλλά δυστυχώς δεν υπάρχει καµιά συλλογή αξιολόγησης. Επίσης δεν µπορούµε να κάνουµε οι ίδιοι µια άτυπη αξιολόγηση (ήτοι να υποβάλουµε σε κάθε σύστηµα ένα σύνολο επερωτήσεων και να κρίνουµε τις αποκρίσεις τους ως προς την ακρίβεια τους) διότι είτε δεν έχουµε τον -9-
10 απαιτούµενο χρόνο για κάτι τέτοιο (π.χ. φανταστείτε την περίπτωση που Κ=000), ή διότι δεν µπορούµε να το κάνουµε (π.χ. τα έγγραφα είναι γραµµένα στην κινεζική γλώσσα). (α) Προτείνετε τρόπους αντιµετώπισης αυτού του προβλήµατος και δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας (συγκεκριµένα τις υποθέσεις υπό τις οποίες αυτό που προτείνετε θα είχε νόηµα). (β) Έστω ότι έχετε Χ Ευρώ στη διάθεση σας και ότι υπάρχει ένας Κινέζος ο οποίος µε Ευρώ µπορεί να σας απαντήσει αν ένα έγγραφο d είναι συναφές ή όχι µε µια επερώτηση q. Πως θα τον χρησιµοποιούσατε για την αξιολόγηση των συστηµάτων; Λύση α) Αντικειµενικά δεν υπάρχει τρόπος να αποφανθούµε για το ποιο σύστηµα είναι καλύτερο από τα υπόλοιπα. Μπορούµε όµως θεωρήσουµε ως καλύτερο εκείνο το σύστηµα του οποίου η λειτουργία είναι πιο κοντά στην λειτουργία όλων των συστηµάτων. Μια τέτοια υπόθεση δεν είναι αβάσιµη υπό την έννοια ότι σε πολλές περιπτώσεις της καθηµερινής µας ζωής, έτσι ορίσουµε το "αντικειµενικό" (δηλαδή πλειοψηφικά). Η µέθοδος που µπορούµε να ακολουθήσουµε για αυτό το σκοπό είναι η εξής:. Επιλέγω τυχαία ένα έγγραφο.. Το στέλνω ως επερώτηση σε κάθε σύστηµα.. Κατόπιν ενοποιώ τις διατάξεις που έλαβα από όλα τα συστήµατα και ορίζω την συνισταµένη διάταξη. O τρόπος µε τον οποίο θα ενοποιήσουµε τις διατάξεις είναι κρίσιµος για το αποτέλεσµα της αξιολόγησης των συστηµάτων. Μια µέθοδος ενοποίησης διατάξεων που λαµβάνει υπ όψιν τη σειρά του κάθε εγγράφου σε κάθε διάταξη είναι η ενοποίηση διατάξεων κατά Borda (διάλεξη ): Αν κάθε πηγή Si επιστρέφει ένα διατεταγµένο υποσύνολο Oi του συνόλου όλων των εγγράφων, τότε - αν oj ανήκει στο Oi, τότε ri(oj) = θέση του oj στο Oi - αλλιώς, ri(oj) = F+, όπου F = max{ O,, Ok }. Κατόπιν βαθµολογώ κάθε σύστηµα ανάλογα µε την απόσταση της απάντησης του από την συνισταµένη. δεδοµένης της χρήσης της µεθόδου του Borda, µπορούµε να ορίσουµε την απόσταση µεταξύ των δύο διατάξεων (δηλ. της απάντησης του συστήµατος από την ενοποιηµένη διάταξη) ως εξής: dist(i,j) = Σo in Obj ri(o) rj(o) Μπορούµε επίσης να τροποποιήσουµε τον παραπάνω τύπο, ώστε να πάρουµε το άθροισµα των διαφορών των θέσεων των documents σε κάθε µια από τις δύο διατάξεις µόνο για τα documents που βρίσκονται στις πρώτες M (M<N) θέσεις της ενοποιηµένης διάταξης, αφού κυρίως µας ενδιαφέρει τι συµβαίνει στις κορυφαίες θέσεις της απάντησης ενός συστήµατος. Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε τα Μ πρώτα έγγραφα της ενοποιηµένης -0-
11 διάταξης ως το σύνολο (δηλ. να αγνοήσουµε τη διάταξή τους) των συναφών εγγράφων και κατόπιν να αξιολογήσουµε τα συστήµατα βάσει των µέτρων αξιολόγησης αποτελεσµατικότητας (διάλεξη ).. Μπορώ να επαναλάβω την διαδικασία αυτή για πολλά έγραφα, ή για όλα τα έγραφα της συλλογής. β) Ο Κινέζος µπορεί να κρίνει το πολύ Χ έγγραφα (και συνήθως το Χ είναι µικρό). Το κρίσιµο ερώτηµα είναι ποια έγγραφα µας συµφέρει να του δώσουµε να κρίνει. Μια απάντηση σε αυτό το ερώτηµα θα µπορούµε να δώσει η λύση του (α) ερωτήµατος, δηλαδή του δίνουµε έγγραφα που εµφανίζονται ψηλά στην συνισταµένη διάταξη. Συγκεκριµένα, του δίνω τα Χ πρώτα στοιχεία της συνισταµένης διάταξης (που προέκυψε από τις απαντήσεις των συστηµάτων σε µια επερώτηση). Έστω Υ εκείνα τα οποία κατά τη γνώµη του είναι συναφή. Κρίνω τα συστήµατα βάσει του αν περιέχουν (και µάλιστα ψηλά στην απάντησή τους) τα Υ έγγραφα. Αν βέβαια το Χ είναι µεγαλύτερο από το Ν, τότε µπορούµε να κάνουµε παραπάνω από µία επερωτήσεις (στην ακραία περίπτωση για κάθε έγγραφο της συλλογής). Όµως ακόµα και αν τα χρήµατα δε φτάνουν (συνήθως το Ν είναι πολύ µεγάλο) µπορούµε να επιλέξουµε τα πρώτα Χ/Μ έγγραφα της ενοποιηµένης διάταξης και να ρωτήσουµε τον Κινέζο ποια από αυτά είναι συναφή µε κάθε µια από τις Μ επερωτήσεις. --
Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:
Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης)
Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-6 Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 7-8 Εαρινό Εξάµηνο Άσκηση Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσµατικότητας της Ανάκτησης) Θεωρείστε µια
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενες Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσματικότητας της Ανάκτησης & Μοντέλα Ανάκτησης)
Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ463 Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών 28-29 Εαρινό Εξάμηνο Προτεινόμενες Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων (Αξιολόγηση της Αποτελεσματικότητας της Ανάκτησης &
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 5. Το πρώτο πράγµα λοιπόν που πρέπει να κάνουµε είναι να βρούµε τις πιθανότητες εµφάνισης των συµβόλων. Έτσι έχουµε:
Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2006-2007 Εαρινό Εξάµηνο Φροντιστήριο 5 Άσκηση 1 Θεωρείστε το αλφάβητο {α,β,γ,δ,ε} και την εξής φράση: «α α β γ
Διαβάστε περισσότεραP (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότερα/ / 38
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΛύση (από: Τσιαλιαμάνης Αναγνωστόπουλος Πέτρος) (α) Το trie του λεξιλογίου είναι
Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HY463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών 2006-2007 Εαρινό Εξάμηνο 3 η Σειρά ασκήσεων (Ευρετηρίαση, Αναζήτηση σε Κείμενα και Άλλα Θέματα) (βαθμοί 12: όποιος
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιµοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραΑνάκτηση Πληροφορίας
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #05 Ακρίβεια vs. Ανάκληση Extended Boolean Μοντέλο Fuzzy Μοντέλο 1 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ
.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται
Διαβάστε περισσότεραφ(rad) t (s) α. 4 m β. 5 m α. 2 m β. 1 m
ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Τετάρτη 4 Φεβρουαρίου 05 ΘΕΜΑ Β Γ Α B φ(rad) 6π 0 0,3 0,5 0,7 t (s) Στα σηµεία Α και Β του παραπάνου σχήµατος βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π και Π, που εκπέµπουν στην επιφάνεια
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια
Διαβάστε περισσότεραΣυνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f
Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της
Διαβάστε περισσότεραόπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 4. Άσκηση 1. Λύση. Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών Εαρινό Εξάµηνο
Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2007-2008 Εαρινό Εξάµηνο Άσκηση 1 Φροντιστήριο 4 Θεωρείστε ένα έγγραφο με περιεχόμενο «αυτό είναι ένα κείμενο και
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΑ. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα
Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία
ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1 Μία Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότερα400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Θεωρούµε ως χρονικό σηµείο αναφοράς τη στιγµή που
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.
http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης
Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες
Διαβάστε περισσότεραa x (t) = d dt u x(t) = d dt dt x(t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Λύσεις Φροντιστηρίων 1ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. Γνωρίζουµε ότι a x (t) = d dt u x(t) = d dt
Διαβάστε περισσότεραιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα
Διαβάστε περισσότεραΘα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί
Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Χρησιµοποιούµε µια αλυσίδα
Διαβάστε περισσότερα3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότερα2. Missing Data mechanisms
Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί
Διαβάστε περισσότερα11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Διαβάστε περισσότεραροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών
ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου
Διαβάστε περισσότεραΠοια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;
Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Παρασκευή 9 Ιανουαρίου 2007 5:00-8:00 εδοµένου ότι η
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.
Διαβάστε περισσότεραΟρια Συναρτησεων - Ορισµοι
Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
Διαβάστε περισσότερα4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας
5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;
ράφει το σχολικό βιβλίο: Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; Μια πρώτη ένσταση θα µπορούσε να διατυπωθεί, για την απουσία της δυναµικής ενέργειας από τον παραπάνω ορισµό. ιατί να µην
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)
Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού
Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΑσφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων. Επαναληπτικές Ασκήσεις
Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων Επαναληπτικές Ασκήσεις ιάγραµµα Pareto Τα προβλήματα ασφάλειας σε δύο εξυπηρετητές μίας εταιρείας απεικονίζονται στο παρακάτω πίνακα: α/α Κωδικός Προβλήματος Συχνότητα
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.
Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραW = 6.34 kn (2) F = u 2 f = u2 i + 2a(x f x i ) a = u2 f u2 i 2x f. F = d U(x) (5)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-2: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 208 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων Ασκηση. Επιλέγουµε ως σύστηµα τη σφάιρα. Το σύστηµα είναι µη αποµονωµένο.
Διαβάστε περισσότεραΗ εφαρµογή xsortlab. Οπτικός τρόπος ταξινόµησης
Η εφαρµογή xsortlab Η ταξινόµηση µιας λίστας πραγµάτων είτε σε αύξουσα είτε σε φθίνουσα σειρά είναι µια πολύ σηµαντική λειτουργία. Η εφαρµογή xsortlab περικλείει 5 διαφορετικές µεθόδους ταξινόµησης. Την
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων η µερησίων δηµοσίων και ιδιωτικών λυκείων
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )
Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για
Διαβάστε περισσότερα2η Οµάδα Ασκήσεων. 250 km db/km. 45 km 0.22 db/km 1:2. T 75 km 0.22 db/km 1:2. 75 km db/km. 1:2 225 km 0.22 db/km
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής Συβρίδης η Οµάδα Ασκήσεων Άσκηση 1η Στη ζεύξη που φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα (Risky Business 1)
Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)
ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότερα