ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ ΔΥΟ ΑΓΩΓΕΣ ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ ΔΥΟ ΑΓΩΓΕΣ ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ"

Λίγεια Μήτζου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ελληνικό τατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου υνεδρίου τατιστικής (5) σελ.9-6 ΧΕΔΙΑΜΟΙ ΔΙΑΑΥΡΩΗ ΔΥΟ ΑΓΩΓΕ ΡΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΕΞΑΡΗΜΕΝΕ ΠΑΡΑΗΡΗΕΙ τρατής Κουνιάς και Μιλτιάδης Χαλικιάς * μήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών skonias@ath.oa.gr, chalikias@hotail.co ΠΕΡΙΛΗΨΗ την περίπτωση των δύο αγωγών και δύο περιόδων, με εξαρτημένες παρατηρήσεις, ο βέλτιστος σχεδιασμός είναι ο ίδιος με την περίπτωση των ανεξάρτητων παρατηρήσεων. την περίπτωση των τριών περιόδων εξετάζονται δύο μορφές εξάρτησης, της σύνθετης συμμετρίας και του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου. τη σύνθετη συμμετρία, όπου ο συντελεστής συσχέτισης είναι ο ίδιος για κάθε δύο παρατηρήσεις μέσα στην ίδια ακολουθία, ο βέλτιστος σχεδιασμός είναι ο ίδιος με την περίπτωση των ανεξάρτητων παρατηρήσεων. το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δείχνεται ότι ο βέλτιστος σχεδιασμός αλλάζει με την αλλαγή του συντελεστή συσχέτισης, αλλάζει επίσης και η τιμή της εκτιμούμενης διασποράς της κύριας επίδρασης. ) ΕΙΑΓΩΓΗ ε σχεδιασμούς διασταύρωσης (Cross Over designs) κάθε πειραματική μονάδα (π.μ.) δέχεται μια ακολουθία αγωγών, μια αγωγή σε κάθε περίοδο, δηλαδή αν έχουμε αγωγές Α, Β και ΑΒΑ είναι η ακολουθία, τότε έχουμε 3 περιόδους. την αρχή κάθε περιόδου εφαρμόζονται διαδοχικά οι αγωγές Α, Β, Α. Μετρήσεις γίνονται στο τέλος κάθε περιόδου. Οι Cochran et al. (94) δημοσίευσαν την εργασία doble-change over design for dairy cattle feeding experients, οι Willias (949, 95), Peterson and Lcas (959, 96), Hedayat and fsarinejad (975, 978), Jones and Kenward (), Mathews (987), Gill and Shkla (987) και πολλοί άλλοι έχουν κάνει σημαντικές συμβολές στο θέμα αυτό. ε προηγούμενα συνέδρια του ΕΙ (Κουνιάς και Χαλικιάς 3, 5) θεωρήσαμε ότι οι διαδοχικές παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες. την εργασία αυτή * Η έρευνα αυτή υποστηρίχτηκε από το πρόγραμμα Ηράκλειτος Ι αρ του ΥΠΕΠΘ - 9 -

2 μελετάμε βέλτιστους σχεδιασμούς, για την εκτίμηση των κύριων επιδράσεων, στην περίπτωση που έχουμε αγωγές Α, Β, 3 περιόδους και εξαρτημένες παρατηρήσεις μέσα σε κάθε ακολουθία. Η εξάρτηση που εξετάζουμε είναι α) ύνθετης συμμετρίας (copond syetry) β) Αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου R(). ο πρόβλημά μας είναι να βρεθεί ο σχεδιασμός που δίνει εκτιμήτρια με ελάχιστη διασπορά. ) Ο ΜΟΝΕΛΟ ΥΝΘΕΗ ΥΜΜΕΡΙΑ ο μοντέλο είναι: y = μ + τ + π + δ + γ + ζ + e ijk j i, j i κ ijk () ο i αναφέρεται στην i-στή ακολουθία, τo j αναφέρεται στην j-στή περίοδο, το k αναφέρεται στην k -στή επανάληψη της ακολουθίας (k -στή π.μ.). τ Α, τ Β : άμεσες (κύριες) επιδράσεις των αγωγών (Α, Β) π j, : επίδραση της j-στής περιόδου δ Α, δ Β : μεταφερόμενες επιδράσεις των Α, Β γ : επίδραση της i-στής ακολουθίας ι ζ : επίδραση της π.μ. κ (sbject effect) που είναι τυχαία επίδραση, ανεξάρτητη του κ σφάλματος. α σφάλματα e δεν θεωρούνται ανεξάρτητα μέσα σε κάθε ακολουθία, αλλά ijk σφάλματα σε διαφορετικές ακολουθίες είναι ανεξάρτητα. ο μοντέλο () σε διανυσματική μορφή είναι: b y = (X X ) + e, b όπου επίδρασης b είναι οι παράμετροι που μας ενδιαφέρουν. Η εκτίμηση της άμεσης (κύριας) τ δίνεται από τις κανονικές εξισώσεις: Α (Χ Χ Χ Ρ Χ )τˆ = X T (I P )Y () με var(τˆ ) = σ (Χ Χ Χ Ρ Χ ) = σ Q Α - -

3 όπου P = X (X T X ) X T. P και. είναι πίνακες (n)x(n), όπου n ο αριθμός των παρατηρήσεων και ο αριθμός των περιόδων. την περίπτωση σύνθετης συμμετρίας ο x πίνακας, που είναι ο πίνακας διασποράς των παρατηρήσεων μέσα σε κάθε ακολουθία αγωγών, είναι ειδικής μορφής. σ είναι ο πίνακας διασποράς των παρατηρήσεων και σ = σ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ όπου ρ ο συντελεστής συσχέτισης δύο παρατηρήσεων μέσα στην ίδια ακολουθία.. τον πίνακα όλα τα στοιχεία, εκτός από αυτά των n διαγώνιων block πινάκων, είναι μηδέν διότι οι παρατηρήσεις σε δύο διαφορετικές ακολουθίες αγωγών είναι ανεξάρτητες. Επίσης ο P είναι block διαγώνιος με ως διαγώνιους x πίνακες. Πρόταση Αν, σε σχεδιασμούς διασταύρωσης με περιόδους και n πειραματικές μονάδες, ο πίνακας διασποράς αποτελείται από n διαγώνιους block πίνακες της μορφής = ai + bj, a >, a + b >, τότε οι σχεδιασμοί που δίνουν την ελάχιστη τιμή στη διασπορά της εκτιμήτριας, δηλαδή in var( ˆ τ Α ), είναι ίδιοι με τους βέλτιστους σχεδιασμούς του μοντέλου των ανεξάρτητων παρατηρήσεων. Η διασπορά της εκτιμήτριας τώρα είναι: var(τˆ ) = σ a (Q*) ( σ ( Q*) είναι η διασπορά των βέλτιστων σχεδιασμών στο μοντέλο των ανεξάρτητων παρατηρήσεων). Απόδειξη. Αν θέσουμε ~ / X = Χ, ~ / X = Χ, ~ / y = Υ, τότε η () γίνεται, ~ ~ ~ ~~ ~ var(ˆ τ Α ) = σ ( Χ Χ Χ ΡΧ) = σ Q. Αν R (X) είναι ο γραμμικός χώρος των στηλών του πίνακα Χ, τότε σε κάθε ακολουθία ( παρατηρήσεων) ισχύει, ~ R( X ) = R(X ), διότι R X ) και ~ / X = ( a I + bj ) X = ( a I + δj )X, a + b a δ =. ότε ~ P = P, (I P)J = και ~ ~ ~ ~~ Χ Χ Χ ΡΧ ) = a (Χ Χ Χ ΡΧ ) P ( ( τις δύο περιόδους ο x πίνακας διασποράς του μοντέλου σύνθετης συμμετρίας συμπίπτει με τον αντίστοιχο πίνακα διασποράς του αυτοπαλινδρομένου - -

4 μοντέλου πρώτης τάξης έτσι και στις δύο περιπτώσεις, σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, ο βέλτιστος σχεδιασμός έχει βρεθεί (Κουνιάς. και Χαλικιάς. 3). 3) ΡΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΙ, ΜΟΝΕΛΟ R() Υπάρχουν 8 ακολουθίες αγωγών με αγωγές και 3 περιόδους, i, i =,,,7 είναι το πλήθος των πειραματικών μονάδων της κάθε ακολουθίας. ο συνολικό πλήθος μονάδων είναι n, δηλαδή + + = n + 7. Οι ακολουθίες που προκύπτουν με την εναλλαγή των Α και Β λέγονται συζυγείς ( switch-back or reversal designs). Παρατηρούμε ότι οι συζυγείς ακολουθίες έχουν την αρίθμηση i και 7-i, i=,,, 3. το μοντέλο () για 3 περιόδους θέτουμε, για τη μοναδικότητα του μοντέλου, τους περιορισμούς, τ =, π =, γ.το μοντέλο R() ο πίνακας διασποράς Β = 3 7 των παρατηρήσεων, μέσα σε κάθε ακολουθία είναι: όπου P ρ ρ var( e ) = 3 = σ ρ ρ < ρ < ρ ρ var(ˆ = Χ (Χ Χ ) Χ τ Α ) = σ (Χ Χ Χ Ρ Χ ) = σ Q είναι 3n 3n πίνακας. ο πρόβλημά μας είναι η εύρεση του T T T T ax(x X X X(X X ) X X ) = ax Q i i Μετά από μια πολύπλοκη διαδικασία υπολογισμού του Q, η οποία παραλείπεται για οικονομία χώρου, έχουμε την σχέση: Q = ( R q (3 ρ)( ρ ) 4 M q) i (3) - -

5 όπου, T R = n + ) + ρ ( + ), q = q, q, q ), M = ( ) q q q = ( ( = n( + ρ) = ( + ρ) ( = n ( 3 ij [(3 4 ) ( 6 ) + ( 5 )]( + ρ) (3 + 4 )( ρ) 3( + 5 )( + ρ), ) ( ) + + ( )( + ) 4 ( ρ) 5 ( ρ) 6 ρ ) = ( + ρ)n ( + ρ) = [ 3( 6 ) 3( 5 ) ( 7 ) + (3 4 )] = ( ) ( ) + (( ) ( )) ρ 5 Η σχέση (3) είναι μια τετραγωνική μορφή. Επομένως μένει να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση Q ως προς τα, και για διάφορες τιμές του ρ, -<ρ<, δηλαδή,, 7 * Q = ax Q = ax ( R q T M q),, 7 (3 ρ)( ρ ),, 7 4 Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι στη μεγιστοποίηση έχουμε = 7 = διότι T στις λύσεις που δίνονται ισχύει M q q < 4. Υπολογίστηκαν οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις τιμές n=,,,3 και τα αποτελέσματα δίνονται στα επόμενα διαγράμματα. τον κατακόρυφο άξονα δίνεται η τιμή του Q*, στον οριζόντιο άξονα δίνεται η τιμή του ρ,.98 ρ. 98, (στο γράφημα γράφεται r αντί για ρ) και στην τρίτη στήλη δίνεται ο βέλτιστος σχεδιασμός με τις τιμές των,,,,, ε κάθε γράφημα το ίδιο χρώμα σημαίνει ότι, για όλες τις τιμές του ρ στο διάστημα αυτό, ο βέλτιστος σχεδιασμός παραμένει ο ίδιος. Παρατηρούμε ότι, για n=, στο διάστημα.3<ρ<.45 βέλτιστος σχεδιασμός είναι ίδιος με αυτόν των ανεξάρτητων παρατηρήσεων (ρ=)

6 Βέλτιστοι σχεδιασμοί για n= Vales of Q n= Vales of r Βέλτιστοι σχεδιασμοί για n= Vales of Q Vales of r n=

7 Βέλτιστοι σχεδιασμοί για n= Vales of Q Vales of r n= Βέλτιστοι σχεδιασμοί για n= n=3 Vales of Q Vales of r Παρατηρήσεις: Για μεγάλες τιμές του n το υπολογιστικό πρόβλημα απαιτεί πολύ χρόνο, ακόμη και με τους σύγχρονους υπολογιστές

8 Υπάρχουν όμως σχέσεις που απλοποιούν τους υπολογισμούς, τις σχέσεις αυτές παραλείπουμε από έλλειψη χώρου. Αν ένας σχεδιασμός είναι βέλτιστος, τότε και ο συζυγής του είναι βέλτιστος. την περίπτωση που ο πίνακας M είναι ιδιάζων (singlar), τότε χρησιμοποιούμε ένα γενικευμένο αντίστροφο M του M. STRCT In this paper optial Cross-Over treatent designs are constrcted, for estiating direct effects. The case of independent experiental errors is exained. The odel is presented and the design that iniizes the variance of the estiated difference of the two treatents is presented. The optial designs with dependent observations in a copond syetry odel are the sae as in the independent case. Optial designs for dependent observations following an atoregressive odel of order one are also stdied. ΑΝΑΦΟΡΕ Cochran, W.G., tray, K.M. and Cannon, C.Y.(94). doble change-over design for dairy cattle feeding experients. J. Dairy Sci. 4: Gill, P.S. and Shkla, G. K. (987). Optial change-over designs for correlated observations. Conications in Statistics-Theory and Methods, 6:43-6. Hedayat, and fsarinejad, K. (975). Repeated easreents designs I. srvey of Statistical Designs and Linear Models, Srivastava, J.N. (ed.), pp North Holland, sterda and (978) II, nnals of Statistics 6: Jones,. and Kenward, M.G. (). Design and nalysis of coss-over trials. Chapan and Hall, London, New York. Κουνιάς,. και Χαλικιάς, Μ. (3). Ένας αλγόριθμος για την εκτίμηση παραμέτρων σε σχεδιασμούς επαναλαμβανόμενων μετρήσεων». Πρακτικά 5 ου συνεδρίου του ΕΙ, σελ Κουνιάς,. και Χαλικιάς, Μ. (4) Βέλτιστοι cross-over χεδιασμοί». Πρακτικά 6 ου συνεδρίου του ΕΙ, σελ Κουνιάς,. και Χαλικιάς, Μ. (5 ) «Cross-over χεδιασμοί, μεταφερόμενες επιδράσεις, εξαρτημένες παρατηρήσεις». Πρακτικά 7 ου υνέδριου ΕΙ. Mathews, J.N.S. (978): Optial cross-over designs for the coparison of two treatents in the presence of carry-over effects and atocorrelated errors. ioetrika 74: 3-3. Paterson, H.D. and Lcas, H.L. (959). Extra-period change-over designs. ioetrics 5: 6-3. Paterson, H.D. and Lcas, H.L. (96): Change-over designs. North Carolina gricltral Experiental Station. ll. No. 47. Willias, E.J. (949): Experiental designs balanced for the estiation of residal effect of treatents. stralian Jornal of Scientific Research,, : Willias, E.J. (95): Experiental designs balanced for pairs of residal effects. stralian Jornal of Scientific Research,, 3:

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε