CROSS-OVER ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΙ, ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΕΣ ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Εηνικό τατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πεηνίου υνεδρίου τατιστικής 00 σε 5-5 CROSS-OVER Ε ΙΜΟΙ ΜΕΤΦΕΡΟΜΕΝΕ ΕΠΙ ΡΕΙ ΕΞΡΤΗΜΕΝΕ ΠΡΤΗΡΗΕΙ τρατής Κουνιάς * και Μιτιάδης αικιάς* Τµήµα Μαθηµατικών Πεπιστήµιο θηνών ΠΕΡΙΛΗΨΗ αυτή την εργασία εξετάζονται σχεδιασµοί διασταύρωσης Coss-Ov sgs δύο αγωγών και τριών περιόδων όπου µετέχουν πειραµατικές µονάδες πµ ίνονται οι βέτιστοι σχεδιασµοί για την εκτίµηση: α των άµεσων επιδράσεων t ts β των µεταφερόµενων επιδράσεων a ov ts στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις είναι εξάρτητες µε σταθερή διασπορά και το µοντέο είναι σταθερών επιδράσεων την περίπτωση αυτή ο βέτιστος σχεδιασµός είναι ίδιος στις α και β για 3 περιόδους όχι όµως για περιόδους Ότ οι παρατηρήσεις είναι εξαρτηµένες µε τη µορφή σύνθετης συµµετρίας ompou smmt και συντεεστή συσχέτισης ρ δείχνεται ότι οι βέτιστοι σχεδιασµοί δεν διαφέρουν από αυτούς των εξάρτητων παρατηρήσεων µόνο είναι ποαπασιασµένη µε -ρ η διασπορά των εκτιµητριών Η περίπτωση παρατηρήσεων µε µορφή εξάρτησης R θα ακοινωθούν σε επόµενο συνέδριο του ΕΙ ΕΙΓΩΓΗ Υπάρχει πούσια βιβιογραφία στο θέµα αυτό µετά το 950 ηµτική είναι η συµβοή των: EJWllams 95 tso a Luas ενώ η µεέτη των βέτιστων σχεδιασµών άρχισε µε τους: Haat a saja Για σχεδιασµούς µε δύο αγωγές και σφάµατα εξάρτητα ή οµοιόµορφα εξαρτηµένα έχουν ασχοηθεί οι Chg a Wu 90 Laska a Msm 95 Maths 97 επίσης είναι γνωστοί οι σχεδιασµοί Balaa 96 Ένα βιβίο που καύπτει ικοποιητικά το θέµα είναι των Jos a Ka 003 Η υπόθεση της εξαρτησίας των παρατηρήσεων είναι µια πρώτη προσέγγιση του προβήµατος και εφαρµόζεται στις περιπτώσεις που σε κάθε περίοδο δίνεται ένα χρονικό διάστηµα ashout po µέχρι να εφαρµοστεί η επόµενη αγωγή ώστε να αποσβεστεί η επίδραση της προηγούµενης αγωγής Οι µεταφερόµενες επιδράσεις δεν συµβάουν στο αποτέεσµα της πρώτης περιόδου την υπάρχουσα βιβιογραφία το µοντέο διαµορφώνεται ως οι * Η εργασία αυτή υποστηρίχτηκε από τον ΕΛΚΕ του Πεπιστηµίου θηνών αριθµός 70//56 και το πρόγραµµα ΗΡΚΛΕΙΤΟ 5

2 µεταφερόµενες επιδράσεις να επιδρούν και στην πρώτη περίοδο υτή η εσφαµένη διαδικασία δεν δίνει πάντα αποδεκτούς σχεδιασµούς την εργασία αυτή δίνουµε βέτιστους σχεδιασµούς για την εκτίµηση της διαφοράς: α των κύριων επιδράσεων β των µεταφερόµενων επιδράσεων το 6 ο συνέδριο του ΕΙ 003 ακοινώσαµε τους βέτιστους Coss-ov σχεδιασµούς για την εκτίµηση των κύριων επιδράσεων για δύο αγωγές και ή τρεις περιόδους ν έχουµε εξάρτητες παρατηρήσεις και είναι οι δύο αγωγές U U U είναι οι πειραµατικές µονάδες πµ τ τ οι κύριες επιδράσεις των τότε οι βέτιστοι σχεδιασµοί που εαχιστοποιούν τη διασπορά της διαφοράς τ τ είναι: α ύο περίοδοι : ι άρτιος: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε κ πειραµατικές µονάδες πµ την ακοουθία σε κ πµ την ακοουθία σε k πµ και την ακοουθία σε k πµ µε k 0 και τότε va τ τ σ / ιι περιττός: Εφαρµόζουµε σε πµ την ακοουθία σε πµ την ακοουθία και τότε va τ τ σ / έτιστοι είναι και οι σχεδιασµοί που προκύπτουν τιµεταθέσουµε τις αγωγές και β Τρεις περίοδοι 3 : ι άρτιος: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε πµ και την ακοουθία σε πµ µε va 3 τ τ σ / ιι περιττός: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε σε πµ µε va τ τ 3σ / πµ την ακοουθία ΕΚΤΙΜΗΗ ΜΕΤΦΕΡΟΜΕΝΩΝ ΕΠΙ ΡΕΩΝ Μοντέο δύο αγωγών δύο περιόδων πειραµατικών µονάδων µε εξάρτητες παρατηρήσεις µ γ α τ j j j j j j όπου γ η επίδραση της ακοουθίας που εφαρµόζεται επί της ι-στής πµ a j η επίδραση της περιόδου j τ j η κύρια επίδραση t t της αγωγής που εφαρµόστηκε στην µονάδα την περίοδο j τ j { τ τ } j η µεταφερόµενη επίδραση a-ov o sual t της αγωγής που εφαρµόστηκε στην µονάδα την περίοδο j- j { } 5

3 Η επίδραση γ από µερικούς ερευνητές θεωρείται ότι είναι επίδραση της - στής πµ όµως ο βέτιστος σχεδιασµός και για τις δύο περιπτώσεις είναι ο ίδιος αυτή την εργασία δεχόµαστε: ι την πρώτη περίοδο ότι οι µεταφερόµενες επιδράσεις είναι ίσες µε 0 ιι τα σφάµατα είναι εξάρτητα και ακοουθούν την κονική κατοµή N0 σ j ύο αγωγές δύο περίοδοι ν η αγωγή εφαρµόζεται σε πµ η αγωγή σε πµ η αγωγή σε πµ και η αγωγή σε πµ καούµαστε να βρούµε τα µε ώστε οι µεταφερόµενες επιδράσεις να εκτιµώνται κατά το βέτιστο τρόπο Για τη µοναδικότητα του µοντέου στην θέτουµε τους περιορισµούς: τ 0 α 0 γ 0 εν έχουµε περιορισµούς για τα ν γράψουµε το µοντέο για τις πµ και τις δύο περιόδους για κάθε πµ παίρνουµε το επόµενο σύστηµα εξισώσεων µε άγνωστες παραµέτρους µ τ α γ γ } { Y όπου ο πίνακας που τιστοιχεί στις παραµέτρους ο πίνακας που τιστοιχεί στις παραµέτρους { µ τ α γ γ } Για να τιηφθούµε τη µορφή του µοντέου αρκεί να γράψουµε πχ τις δύο σχέσεις που τιστοιχούν στην εφαρµογή της ακοουθίας στην ι-στή πµ µ τ α µ τ γ υτό επααµβάνεται για τις πµ που εφαρµόζεται η ακοουθία µε τον ίδιο τρόπο γράφουµε τις σχέσεις για τις ακοουθίες Οι στήες του πίνακα σχεδιασµού δεν είναι γραµµικά εξάρτητες διότι το άθροισµα των στηών που τιστοιχούν στις παραµέτρους a έχει όα τα στοιχεία ίσα µε είναι δηαδή ίσο µε τη στήη που τιστοιχεί στο γενικό µέσο µ εποµένως δεν είναι όες οι παράµετροι εκτιµήσιµες Η εκτίµηση µε τη µέθοδο εαχίστων τετραγώνων των παραµέτρων που µας ενδιαφέρουν δίνεται από τις σχέσεις: γ Τ Ι Y 3 όπου είναι ο πίνακας ορθής προβοής pojto mat στο γραµµικό χώρο των στηών του Παρατηρούµε ότι: I 5 53

4 όπου είναι το διάνυσµα του που τιστοιχεί στην παράµετρο Εποµένως µπορούµε να εκτιµήσουµε µόνο τη διαφορά οπότε: Y I / va / σ έτιστος είναι ο σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη διασπορά του ή ισοδύναµα που µεγιστοποιεί την ποσότητα Θεώρηµα ν είναι η ποσότητα που δίνεται στη σχέση 5 τότε ο βέτιστος σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη / va σ είναι: ι άρτιος: ρησιµοποιούµε σε / πµ την ακοουθία και σε / πµ την ακοουθία µε / va σ ιι περιττός: ρησιµοποιούµε σε -/ πµ την ακοουθία και σε / πµ την ακοουθία µε / / va σ πόδειξη Ο υποογισµός του πίνακα ορθής προβοής που δίνεται στη σχέση δίνει: > µε ν β µε ν α 0 ] [ 0 6 Παρατηρούµε ότι: ς περιττ και ρτιος ό ά τότε στην περίπτωση β έχουµε: ς περιττ ρτιος ό ά / την περίπτωση α έχουµε: άρτιος ] [ [ ς περιττ ό ] [ ] [ ε κάθε περίπτωση η ισότητα πετυχαίνεται µόνο µε το σχεδιασµό ι ιι που δίνεται σ αυτό το Θεώρηµα Όπως αφέρθηκε ο σχεδιασµός παραµένει βέτιστος τιµεταθέσουµε τις αγωγές ΟΕ 5

5 Παρατηρούµε ότι για περιόδους ο βέτιστος σχεδιασµός για την εκτίµηση των κύριων επιδράσεων δεν είναι ίδιος µε αυτόν για τις µεταφερόµενες επιδράσεις ύο αγωγές τρεις περίοδοι την περίπτωση αυτή υπάρχουν ακοουθίες που µπορεί να εφαρµοστούν: B B B B B B B B B B B B a g h Οι τρεις πρώτες γραµµές δίνουν τις αγωγές που εφαρµόζονται στις τρεις περιόδους η τέταρτη γραµµή δίνει το πήθος των πµ που εφαρµόζεται η τίστοιχη ακοουθία έτσι η ακοουθία εφαρµόζεται σε a πµ κπ Το µοντέο δίνεται στη και εδώ ενδιαφερόµαστε για την εκτίµηση των µεταφερόµενων επιδράσεων Οι κονικές εξισώσεις για την εκτίµηση αυτών των παραµέτρων αυτών δίνονται στην 3 Ο πίνακας είναι 3 και τιστοιχεί στις παραµέτρους ο πίνακας είναι 33 και τιστοιχεί στις παραµέτρους µ τ α α γ γ γ δηαδή του γενικού µέσου της αγωγής των δύο πρώτων περιόδων και των - πρώτων πµ έχουµε θέσει για τη µοναδικότητα του µοντέου τ α 3 γ 0 Παρατηρούµε ότι το άθροισµα των στηών που τιστοιχούν στις παραµέτρους a είναι το µοναδιαίο 3 διάνυσµα που τιστοιχεί στο γενικό µέσο µ Ο πίνακας σχεδιασµού δεν είναι πήρους βαθµού Ισχύει και εδώ η σχέση που δίνεται στην 5 και εποµένως µπορούµε να εκτιµήσουµε µόνο τη διαφορά Τότε I 3 Y / 3 va σ / F F I I 3 το διάνυσµα είναι η στήη του πίνακα που τιστοιχεί στην παράµετρο Θεώρηµα ν F είναι η ποσότητα που δίνεται στη σχέση 7 τότε ο βέτιστος σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη va σ / F είναι: ι άρτιος: ρησιµοποιούµε σε / πµ την ακοουθία BB και σε / πµ την ακοουθία µε va σ / ιι περιττός: ρησιµοποιούµε σε -/ πµ την ακοουθία BB και σε / πµ την ακοουθία µε va σ / / πόδειξη Ο υποογισµός της ποσότητας F δίνει: όπου F 3 R 7 55

6 a a / / 3 3 h a R / / 3 g g Η µεγιστοποίηση της ποσότητας F ως προς agh µε ag πετυχαίνεται για τις τιµές που δίνονται στο Θεώρηµα δηαδή: ι άρτιος: agh0 / τότε F/ ιι περιττός: agh0 -/ / τότε F-// ΟΕ Παρατηρούµε ότι ότ έχουµε τρεις περιόδους ο βέτιστος σχεδιασµός για την εκτίµηση της διαφοράς των κύριων επιδράσεων τ τ είναι ίδιος µε το βέτιστο σχεδιασµό για την εκτίµηση της διαφοράς των µεταφερόµενων επιδράσεων 3 ΕΞΡΤΗΜΕΝΕ ΠΡΤΗΡΗΕΙ τα προβήµατα επααµβόµενων µετρήσεων ότ δεν υπάρχει χρόνος απόσβεσης οι παρατηρήσεις είναι εξαρτηµένες διότι είναι παρατηρήσεις πάνω στην ίδια πειραµατική µονάδα σε διαδοχικές περιόδους την περίπτωση αυτή συµβοίζουµε µε τον πίνακα διασποράς των σφαµάτων δηαδή va ν είναι το πήθος των περιόδων και το πήθος των πµ τότε το διάνυσµα των σφαµάτων είναι και ο πίνακας διασποράς είναι Το µοντέο είναι Y 9 Ενδιαφερόµαστε για το βέτιστο σχεδιασµό που αφορά την εκτίµηση των παραµέτρων Η µέθοδος εαχίστων τετραγώνων µας δίνει: Υ Τ I 0 όπου Τ Τ Με va Τ σ ν θέσουµε και Υ Υ Y I Ι Τ που έχουν την ίδια µορφή µε τις σχέσεις 3 56

7 ΥΝΘΕΤΗ ΥΜΜΕΤΡΙ την περίπτωση που ο πίνακας διασποράς των σφαµάτων παρατηρήσεων σε κάθε πµ και για περιόδους είναι της µορφής: ρ ρ ρ ρ ρ σ ρ σ [ ρ Ι ρ J ] < ρ < ρ ρ ρ τότε έχουµε σύνθετη συµµετρία ompou smmt o uom p Ένας τρόπος να πάρουµε σύνθετη συµµετρία είναι ότ έχουµε εξάρτητες τυχαίες µεταβητές Z Z Z µε va Z σ va Z τ και Z Z Z Z Z Z ο πίνακας διασποράς V των σφαµάτων είναι: ρ ρ ρ σ V σ τ ρ σ τ ρ ρ ρ ρ / ρ [ ρ I ρ J ] Ι J ρ ρ ρ Τέτοια είναι η περίπτωση που η επίδραση κάθε πµ είναι τυχαία µεταβητή µε διασπορά τ εξάρτητη από τα σφάµατα Παρατηρούµε ότι ο πίνακας / έχει τον ίδιο γραµµικό χώρο στηών µε του πίνακα τότε Εποµένως ο βέτιστος σχεδιασµός για τις κύριες επιδράσεις ή τις µεταφερόµενες επιδράσεις σε µοντέο σύνθετης συµµετρίας είναι ο ίδιος µε αυτόν που παίρνουµε σε µοντέα µε εξάρτητα σφάµατα Η µόνη διαφορά είναι ότι η διασπορά των εκτιµητριών στο βέτιστο σχεδιασµό µε τη σύνθετη συµµετρία είναι ποαπασιασµένη µε -ρ δηαδή: va τ τ ρ va τ τ και va ρ va Μία άη µορφή εξάρτησης είναι ότ τα σφάµατα ακοουθούν ένα µοντέο R της µορφής: ρ u όπου τα u είναι εξάρτητες τµ µε διασπορά σ ρ τότε va σ 57

8 την περίπτωση αυτή ο βέτιστος σχεδιασµός εξαρτάται από την τιµή του ρ και η περίπτωση αυτή χρειάζεται να µεετηθεί περισσότερο BSRC I th pst pap am optmal oss-ov sgs th to tatmts to o th pos a pmtal uts h optmal sgs a pst o th stmato o a t ts sual o a-ov ts o to a th pos a pt os I th as o pt o stutu t s pov that h th mol has ompou smmt th th optmal sgs a th sam as th pt os ut th vaa o th stmat ots s small a ato -ρ h as th mols th oth o stutus a aom ts s uth sah ΝΦΟΡΕ Balaa LN 96: to po sg th t pmtal uts Bomts 6-73 Chg CS & Wu CF 90: Bala pat masumts sgs als o Statsts Jos B & Ka M 003: Dsg a alss o Coss-Ov als Haat S & saja K 975: Rpat masumts sgs I I Svastava JN to suv o Statstal Dsg a La Mols 9- Noth-Holla: mstam Haat S & saja K 97: Rpat masumts sgs II als o Statsts Laska EM a Msm M 995: vaatoal appoah to optmal totatmt ossov sgs: applato to a-ov t mols Joual o th ma Statstal ssoato Matths JNS 97: Optmal ossov sgs o th ompaso o to tatmts th ps o aov ts a autoolat os Bomtka atso HD & Luas HL 96: Chag-ov sgs Noth Caola gultual Epmtal Stato h Bull No 7 Wllams EJ 950: Epmtal sgs ala o pas o sual Fts ustala Joual o St Rsah