apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
|
|
- Στέφανος Κουντουριώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 n n 1/2 n (n 1) 0/1
2 l 2
3 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α := A / X A = µ A f X f (f) :=E x X f(x) f(x). f = µ A A X (f) = (α 1 ) H(Y ) Y X f(x) = X P[Y = x]
4 H(Y ):= x X P[Y = x] 1 P[Y = x] = X (f). H(Y ) X (f) 0 (f) f f,g X f g (f) (g) D KL (f g) :=E x X f(x) f(x) g(x) D KL (f 1) = (f) f(x) = X P[Y = x] Y Z X D KL (Y Z) := x X P[Y = x] + (Y ) (Z) P[Y = x] P[Z = x], Z Y Z Y δ(y,z) Y,Z 1 δ(y,z) 2 D KL(Y Z). P[Z S] δ(y,z) P[Y S] P[Z S]+δ(Y,Z),
5 D KL (Y Z) Z S Y S X X 1/2 l 2 F L 2 (X) φ : X R φ 1 F h X h F := h, φ φ F d 1 R L 2 (X) F d R(x) = d (1 + ϵ i φ i (x)) i=1 ϵ 1,...,ϵ d { 1, 0, 1} φ 1,...,φ d F φ i X f X F F 0 <ϵ<e 3 f X g X f g F ϵ F F F 9ϵ 2 (f) g F ( ) ϵ d 18ϵ 1 1 (f)+o. ϵ 1 T>0 {g t : t [0,T]} X
6 g 0 := 1 g t := ( t φ 0 sds) E ( t φ 0 sds) t [0,T] s φ s s φ s [0,t 1 ), [t 1,t 2 ),...,[t i 1,t i ) i N 0 <t 1 <t 2 < <t i t i+1 φ s [t i,t i+1 ) φ F g ti,φ f,φ > 2ϵ/3, t i+1 := {t t i : g t,φ f,φ ϵ/3}, φ s := ( f g ti,φ )φ s [t i,t i+1 ) φ t i T := t i I := i g t φ (g) g X f g F η L(g, λ) = (g) φ F λ φ( f g, φ η) g (g) = φ F λ φφ g = ( φ F λ φφ) f g F g φ l 2 D KL (f g t ) g t f (f) f T I T 3ϵ 1 (f)
7 t [0,T) d dt D KL(f g t )= d dt E[f f g t ]= E(f/g t ) d dt g t, g t t g t (φ t g t,φ t ) d dt D KL(f g t )= φ t,g t f. t [t i,t i+1 ) φ t = ( f g ti,φ )φ φ f g t,φ ϵ/3 t [t i,t i+1 ) d dt D KL(f g t )= φ t,g t f = ( g t f,φ ) φ, g t f ϵ/3. D KL (f g 0 )= (f) D KL (f g t ) 0 t T 0 (f) ϵ/3 T I 9ϵ 2 (f) t i t i 1 ϵ/3 i I I I T /(ϵ/3) [t i 1,t i ) i I φ = φ ti 1 φ t t [t i 1,t i ) g t t [t i 1,t i ) d dt φ, g t = φ, g t (φ t g t,φ t ) = φ 2,g t + φ, g t 2 φ 2 g t 1 1. φ t i φ, g ti 1 φ, g ti = φ, f g ti 1 φ, f g ti 2ϵ/3 ϵ/3 = ϵ/3, t i t i 1 ϵ/3 g T X f g T F 2ϵ/3 g T ψ t := t (1 + φ 0 s)ds p d (x) := d x j j=0 j! d g := p d(ψ T ) Ep d (ψ T ) X
8 g g T 1 ϵ/3 g g T F ϵ/3 g T = ( T φ 0 sds) E ( T φ 0 sds) = ( T (1 + φ 0 s)ds) E ( T (1 + φ 0 s)ds) = (ψ T ) E (ψ T ) ( ) ϵ 1 d := 6T + O ϵ 1 d (x) ψ T 2T (x) p d (x) x [0,2T ] (x) (2T )d+1 (d +1)! ϵ/6. p d (ψ T ) (ψ T ) 1 (ϵ/6)e (ψ T ) g g T 1 = p d (ψ T ) Ep d (ψ T ) (ψ T ) E (ψ T ) p d (ψ T ) 1 E (ψ T ) (ψ T ) E (ψ T ) + p d (ψ T ) 1 Ep d (ψ T ) p d(ψ T ) E (ψ T ). 1 ϵ/6 Ep d (ψ T ) 1 Ep d (ψ T ) 1 E (ψ T ) = 1 Ep d(ψ T ) E (ψ T ), Ep d (ψ T ) (1 ϵ/6)e (ψ T ) ϵ/6 g g T 1 ϵ/3 φ F φ 1 g g T F φ g g T 1 ϵ/3 g T f g F f g T F + g T g F 2ϵ/3 + ϵ/3 = ϵ g F φ s F := {φ s : s [0,T)} F F = I 9ϵ 2 (f) ψ T φ F λ φ (1+φ) λ φ p d (ψ T ) g F d
9 G f : Ĝ C f : G C γ Ĝ f(γ) :=E x G f(x)γ(x). f f(x) = γ Ĝ f(γ)γ(x). f,g = f,ĝ, f,g := E x f(x)g(x) f,ĝ := γ f(γ)ĝ(γ). f g L p p (G) l (Ĝ) ρ>0 f : G C ρ f ρ (f) :={γ Ĝ : f(γ) ρ f 1 }. >0 (f) :={γ Ĝ : f(γ) > 0}. ρ f 2 2 = f 2 2 f(γ) 2 ρ 2 f 2 1 ρ (f), γ ρ (f) ρ (f) ρ 2 f 2 2/ f 2 1 f = µ A A G α := A / G ρ (µ A ) ρ 2 α 1
10 A F n 2 s s Γ Ĝ s S Ĝ S s { } Γ ϵ γ γ : ϵ γ { 1, 0, 1}. γ S l 1 A G α ρ>0 ρ (µ A ) s s 18ρ 2 (α 1 ). G = F n 2 (s, d) s, d Γ Ĝ (s, d) S Ĝ S s { Γ ϵ γ γ : ϵ γ Z, } ϵ γ d. γ S γ S
11 Γ Ĝ s s N (s, s) G = F n 2 A G α ρ>0 ρ (µ A ) (s, d) s 2 30 ρ 2 (α 1 ) d 8 (α 1 ). A G = Z/pZ p 2A 2A := {a 1 +a 2 a 3 a 4 : a 1,a 2,a 3,a 4 A} B(K, δ) :={x G : xt/p δ t K} K Ĝ K 233 α 1 (α 1 ) δ =(2 8 (α 1 )) 1 δ = α(2 8 (α 1 )) 1 F = {Rγ,Iγ : γ Ĝ} F F F F F= {Rγ,Iγ : γ Ĝ} δ>0 R : G R F d r : G R F d r G δ (R) d δ (r) (2 F,d) F R = d i=1 (1+ϵ iφ i ) d φ 1,...,φ d F ϵ 1,...,ϵ d { 1, 0, 1} j = 1,...,d φ j Rγ j = 1 2 (γ j + γ j ) Iγ j = 1 2 (γ j γ j ) γ j Ĝ R(γ) 0 γ d S := {γ 1,...,γ d, γ 1,...,γ d } Ĝ >0 (R) (2d, d) γ k
12 S {γ,γ 2,...,γ k, γ, γ 2,...,γ k } S δ >0 (R) d δ (R) >0 (R) δ (R) r = i c ir i F d r G 1= r 1 = i c i R i 1 γ δ (r) i c i Ri (γ) = r(γ) δ r 1 = δ i c i R i 1, i R i (γ) δ R i 1, γ δ (R i ) δ (r) (2 F,d) f = µ A A G (f) (α 1 ) ϵ = ρ/4 g G f g F ρ/4 F F= {Rγ,Iγ : γ Ĝ} F 144ρ 2 (f) g F d 72ρ 1 (f) + O( ρ 1 / ρ 1 ) f g F ρ/4 ρ (f) ρ/2 (g) ρ/2 (g) (2 F,d) ρ (f) δ = α 1/2 (2 8 (α 1 )) 1
13 0 <ρ<e 3 f G S ρ (f) d S ρ 2 ρ(f) d 36 ( ) ρ 2ρ 1 1 (f)+o. ρ 1 ϵ = ρ/(2 2) g G f g F ρ/(2 2) F F F 72ρ 2 (f) g = l c i R i, i=1 l c i R i F d 36 ( ) ρ 2ρ 1 1 (f)+o. ρ 1 R i d i >0 (R i ) ρ (f) {1, 2,...,l} j c j ER j g G l i=1 c ier i = E l i=1 c ir i = Eg =1 γ ρ (f) ρ/2 (g) f g F ρ/(2 2) E j γ,r j /(ER j ) = l c i ER i γ,r i /(ER i ) γ, i=1 l c i R i = γ,g ρ/2, j {1, 2,...,l} γ ρ (f) i=1 P j [ R j (γ) 0]=P j [ γ,r j /(ER j ) > 0] ρ/2, γ ρ (f) ρ/2 >0 (R i ) i E j >0 (R j ) (ρ/2) ρ (f) j >0 (R j ) (ρ/2) ρ (f) S := >0 (R i ) ρ (f)
14 G G C U k k 2 U k f : G C f 2k U k := E x,h1,...,h k G h1 h2... hk f(x), h f(x) :=f(x)f(x + h) f U 2 = f 4, U 2 f U k k 2 f U 2 f U 3 f U k f. U k+1 k k
15 k +2 L k f : G C f 1 m E x1,...,x d f(l i (x 1,...,x d )) f U k+1. i=1 3 k =1 A G U 2 A k =2 U 3 A G α G α 4 G 2 U 3 A p =2 p >2 U 3 δ>0 f : F n p C f 1 f U 3 δ q F n p E x f(x)ω q(x) c(δ), ω := (2πi/p) c(δ) δ U 3
16 f : F n p [ 1, 1] δ>0 (B 1,B 2 ) O δ (1) f = E(f (B 1,B 2 )) + g, g U 3 δ (B 1,B 2 ) O δ (1) O δ (1) E(f (B 1,B 2 )) f f l 2 f : F p n C f 2 1 ϵ>0 η>0 M = (O( (ηϵ) O(1) )) f f = i λ i ω q i + h + l, q i F n p h U 3 ϵ l 1 η i λ i M h M
17 F φ : X [ 1, 1] ϵ, δ > 0 B>1 A f : X [ B,B] f ϵ 1 δ φ F f,φ η η = η(ϵ, B) f : X [ 1, 1] 1 η 2 δ f = k c i φ i + h + l i=1 k η 2 h ϵ l 1 (2B) 1 φ i F i =1,...,k k A F U 3 A f : F n p R + f <ϵ<e 3 g : F n p R + Ef = Eg Q Q 9ϵ 2 (f/ f 1 ) f g = i λ iω q i f = g + h, λ i h Q ϵ q i q i = q q, q Q i q Q i Q i,q i Q ( ) (ϵ Q i + Q i 18ϵ 1 1 ) (f/ f 1 )+O. (ϵ 1 ) F := {Rω q(x), Iω q(x) : q F n p} f/ f 1 F F Q
18 g : F n p R + g G g Q g := g f 1 h U 3 l 2 F {φ : X [0, 1]} k 1 F k k F ϵ > 0 k = ϵ O(1) η = ( ϵ O(1) ) F = {φ : X [0, 1]} ν : X R + η F k ν 1 X F k η f : X R + 0 f ν Ef 1 g : X [0, 1] Eg = Ef f g F ϵ F ν
19 (F) F k (F) k F t R t : R {0, 1} t (x) =1 x t t (x) =0 x<t
20 ϵ, δ > 0 F = {φ : X [0, 1]} ν : X R + f : X R + 0 f ν Ef = δ g : X [0, 1] Eg = δ f g F ϵδ ν k = O(ϵ 2 (ϵ 1 δ 1 )) t R ψ = t (φ) φ k (F) ψ, ν 1 X =Ω(ϵδ). k = (ϵ 1,δ 1 ) φ F k φ, ν 1 X ( (ϵ 1,δ 1 )). F c V X W Ef(V,W) f : X W [0, 1] Ef(V,W) = W (W) V V V (V) Ef(V,W). W W V (V) W (W) c V V Ef(V,W )= Ef(V,W)=c. W W H g : X [0, 1] Eg = δ h H
21 φ F f h, φ >ϵδ. ν 1 X ϵδ F h, φ h(x) =1 x (φ) f ν h ν 1 X,φ = ν, φ 1 X,φ f,φ 1 X,φ = f,φ h, φ = f h, φ, ν 1 X ϵδ F h F F := F (1 F) φ (F) h H, f h, φ >ϵδ g V:= δ 1 H X φ W:= F φ, δ 1 f g φ, δ 1 f g c g (δ 1 H) φ (F) φ F φ, δ 1 f g c, g δ 1 H φ,δ 1 f g c g δ 1 H δ 1 H φ F φ, δ 1 f g >ϵ c>ϵ φ,δ 1 f g c>ϵ g δ 1 H φ,f g >ϵδ g H φ φ F φ F S δ X X
22 φ S δ X 1 S H f 1 S, φ >ϵδ f 1 S t [ϵ/2, 1] f, t ( φ) 1 S, t ϵ/2 ( φ) >ϵδ/2. t t ( φ)(x)dt = φ(x), f, t ( φ) dt = f, φ > 1 S, φ + ϵδ = S, t ( φ) dt + ϵδ. t [ϵ/2, 1] f, t ( φ) 1 S, t ϵ/2 ( φ) ϵδ/2. 1 f, t ( φ) dt = ϵ/2 f, t ( φ) dt ϵ/2 ϵ/2 f,1 X dt ϵ/2 ϵ/2 δ S, t ( φ) dt + ϵδ/2 0 0 f, t ( φ) dt ( 1 S, t ϵ/2 ( φ) + ϵδ/2)dt 1 1 S, t ( φ) dt + ϵδ, φ f 1 S φ ν 1 X t := t ϵ/2 1 S ( t ( φ)) 1 S (x) < 1 x ( t ( φ)) S δ X X φ 1 S (y) =0 y / ( t ( φ)) 1 S, t ( φ) = 1 S, 1 X = δ = f,1 X f, t ( φ),
23 δ X 1 S t ( φ) 1 S f 1 S ν 1 X, t ( φ) = ν, t ( φ) 1 X, t ( φ) f, t ( φ) 1 S, t ( φ), f, t ( φ) 1 S, t ( φ) ϵδ/2 t ( φ) ν 1 X t ( φ) k F (F) t φ k (F) t 2ϵ/5 (φ),ν 1 X =Ω(ϵδ). φ F φ k φ 1,φ 2,...,φ k F φ k = O(ϵ 2 (ϵ 1 δ 1 )) y P φ1,φ 2,...,φ k [ φ(y) φ 1 (y)+φ 2 (y)+ + φ k (y) k ] >ϵ/10 ϵδ/100. Y [ [ ]] φ 1 (y)+φ 2 (y)+ + φ k (y) E φ1,φ 2,...,φ k P y Y φ(y) k >ϵ/10 ϵδ/100, [ [ ] ] φ 1 (y)+φ 2 (y)+ + φ k (y) P φ1,φ 2,...,φ k P y Y φ(y) k >ϵ/10 >ϵδ/10 1/10 y Y φ 1,φ 2,...,φ k φ := 1 k k i=1 φ i P y Y [ φ(y) ] φ(y) >ϵ/10 ϵδ/10
24 y ν 1 X t ϵ/10 (φ),ν t ( φ),ν ϵδ/5 t ( φ),f ϵδ/5 t 2ϵ/5 (φ), 1 X t ϵ/2 ( φ), 1 X + ϵδ/10 = t ϵ/2 ( φ), 1 S + ϵδ/10. t 2ϵ/5 (φ),ν 1 X t ϵ/10 (φ),ν t 2ϵ/5 (φ), 1 X t ( φ),f ϵδ/5 ( t ϵ/2 ( φ), 1 S + ϵδ/10), Ω(ϵδ) t 2ϵ/5 (φ) ν 1 X k O(ϵ 2 (δ 1 )) k δ ϵ m R + V X W Ef(V,W) f : X W [ m, m] 0 <ϵ<1 S V (1),V (2),...,V (S) (V) W (1),W (2),...,W (S) W W (W) Ef(V,W ) 1 i S Ef(V (i),w (i) ) O(mϵ).
25 V V S D KL (V V (1) ) Sϵ 2 V V W (i) V (i) Ef(V (i),w (i) )= W W Ef(V (i),w). W (W) V V Ef(V,W ) 1 i S Ef(V (i),w (i) ) O(mϵ) = 1 i S Ef(V (i),w) O(mϵ). W W W W Ef(V (i),w) V (V) W W Ef(V,W) i W (W) Ef(V,W) V V V V Ef(V,W ) V (V) W W Ef(V,W) O(mϵ). ϵ 0 V V Z X V X Ŷ V Z V Ŷ = Y V D KL(Y Z). V X Ŷ V Z V y V D KL (Y Ŷ )+D KL(Ŷ Z) D KL(Y Z). 0 <η<1 Z X V X Ỹ
26 η Z V Ỹ V Y V D KL (Y Ỹ ) D KL(Y Z)+η. D KL (Y Ỹ ) D KL(Y Ŷ )+η Y V Ŷ Z V Ỹ η Z V V (1) (V) i =1, 2,...,S W (i) W V (i) V (i) P[V (i) = x] ( ϵf(x, W (i) )/2m) P[V (i) = x]; V (i+1) ϵ 2 V (i) (V) W := 1 S S W (i). A, B X h : X [0, 1] A P[A = x] (ϵh(x))p[a = x] 0 ϵ 1 i=1 D KL (B A ) D KL (B A) ( e)ϵ(e[h(b)] E[h(A)] ϵ). D KL (B A) D KL (B A )= x ( P[B = x] P[A = x] P[A = x] = x P[B = x] ) e ϵh(x) y eϵh(y) P[A = y], ( e) ϵeh(b) y e ϵh(y) P[A = y].
27 e z 1+z + z 2 1+z e z D KL (B A) D KL (B A ) ( e) ( ϵe[h(b)] (1 + ϵe[h(a)] + ϵ 2 ) ) ( e)ϵ(e[h(b)] E[h(A)] ϵ) S V V D KL (V V (1) ) Sϵ 2 A = V (i) A = V (i) B = V h(x) = f(x, W (i) )/2m ( Ef(V D KL (V V (i) (i),w (i) ) Ef(V,W (i) ) ) D KL (V V (i) ) ( e)ϵ 2m ) ϵ. V (i+1) ϵ 2 V (i) (V) D KL (V V (i+1) ) D KL (V V (i) )+ϵ 2 ( Ef(V D KL (V V (i) ) D KL (V V (i+1) (i),w (i) ) Ef(V,W (i) ) ) ( e)ϵ 2m 1 S D KL (V V (1) ) D KL (V V (S+1) ) ( e)ϵ S ( Ef(V (i),w (i) ) Ef(V,W (i) ) ( ) 1 i S Ef(V (i),w (i) ) Ef(V,W ) ( e)sϵ ϵ Sϵ 2. 2m D KL (V V (S+1) ) 0 i=1 1 i S Ef(V (i),w (i) ) Ef(V,W ) 2m 2m D KL(V V (1) )+Sϵ 2 ( e)sϵ + ϵ = O(ϵ), ) ϵ ϵ 2. ) ϵ Sϵ 2, o(1)
28 ϵ, δ > 0 F = {φ : X [0, 1]} ν : X R + f : X R + 0 f ν Ef = δ g : X [0, 1] Eg = δ f g F ϵδ ν k = O(ϵ 2 (δ 1 )) t R ψ = t (φ) φ k (F) ψ, ν 1 X =Ω(ϵδ). c =: V V Ef(V,W ) W W Ef(V,W), c = V V Ef(V,W ) 1 i S Ef(V (i),w (i) ) O(ϵ) m =1 V = δ 1 H X W = F V X V (1) V S V V D KL (V V (1) )=D KL (V U X )= (V ) Sϵ 2 S O(ϵ 2 (δ 1 )) V V W W Ef(V,W) ϵ V (i) 1 i S Ef(V (i),w (i) )= 1 i S W W Ef(V (i),w) ϵ, c ϵ φ g H φ,f g ϵδ, φ S F
29 F n p
30 U 3 (G)
31
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού
.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ).
ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Ο ΗΡ Ε Ε Ε Ε Η Ε Ο Ε Ο Ε Η 14 Ο Ο 2001 Ε Ε Ο Ε Ο Η Ε Η εε : Η Ο ΧΕ Η Ο Ο Ε εά : Ε (6) Ε Α 1ο Α.1. π µ µ ά : Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ). 8,5 Α.2. µ π µπ µ π µ µ, (=,, ) : Ρ ( )... 1 Ρ( ) 2 Ρ( )...
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)
Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =
Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
?=!! #! % &! & % (! )!! + &! %.! / ( + 0. 1 3 4 5 % 5 = : = ;Γ / Η 6 78 9 / : 7 ; < 5 = >97 :? : ΑΒ = Χ : ΔΕ Φ8Α 8 / Ι/ Α 5/ ; /?4 ϑκ : = # : 8/ 7 Φ 8Λ Γ = : 8Φ / Η = 7 Α 85 Φ = :
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις
Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ
r i-γυχ I Λ Κ Η ΕΡ>ι-Λ ;ε ΐ Λ
Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Ο Ε Κ Π Α Ι Ο Ε Υ Τ Ι Κ Ο Ι Ο Ρ Υ Μ Α Κ Α Β Α Λ Α Σ Σ Χ Ο Λ Η Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Ο Ν Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ώ Ν Τ Μ Η Μ Α Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Σ i l t r i-γυχ I Λ Κ Η ΕΡ>ι-Λ ;ε ΐ Λ ΑΥΤΟΜΑΤ
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
ΕΥΤΕΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη βιβλίου σελ -5 Α. Ορισµός βιβλίου σελ 6 Α. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. (z
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ) ( ) = ) ( ) = 2 3, ) ( ) = 4, i f x x x x ii f x x iii f x x. x 4x. iv f x x v f x x vi f x vii f x
1 O ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ, ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. ίνονται τα σύνολα A= (,5], B= [2,7], Γ= (6, + ) µε σύνολο αναφοράς το R Να βρείτε τα σύνολα : A, B, A B, A Β,( B
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=4x-1 β) g(x)= γ.
Ορισμός Μία συνάρτηση f : Α-->R είναι ένα προς ένα (1-1) όταν Για κάθε A με τοτε ή ισοδύναμα για κάθε A με τότε Ο παραπάνω ορισμός μας λέει ότι διαφορετικα x έχουν διαφορετικές εικόνες (διαφορετικα y)
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α
# & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας
Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων
[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις
Κεφάλαιο 5. Κυκλοτοµικά πολυώνυµα. 5.1 Ρίζες της µονάδας. char F = p και ο p δεν διαιρεί τον n.
Κεφάλαιο 5 Κυκλοτοµικά πολυώνυµα Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρµόζουµε τη ϑεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 3, για τα πολυώνυµα x n 1 και x n a. Επίσης εξετάζουµε τις κυκλοτοµικές, τις κυκλικές
!"#$ %&#'($)"!"#$# %"& '(")*+#, )* +,-./0 ΖΖΖ.ΛΨ ΘςΩ ΠΗΘΡΨ.ΦΡΠ 2010
ΖΖΖΛΨ ΘςΩ ΠΗΘΡΨΦΡΠ ± ±,6%1 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ϕ ± ± ±± 9< + ± ± 9< +± ± ± ± ± ±± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± Η ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±±± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας
1 Βασικές Έννοιες Θεωρίας Πληροφορίας Εντροπία τυχαίων μεταβλητών X, Y : H(X) = E [log Pr(x)] (1) H(X, Y ) = E [log Pr(x, y)] (2) H(X Y ) = E [log Pr(x y)] (3) Ιδιότητες Εντροπίας: Νόμος Bayes: Pr(y x)
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x
Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε
Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
..,..,.. ! " # $ % #! & %
..,..,.. - -, - 2008 378.146(075.8) -481.28 73 69 69.. - : /..,..,... : - -, 2008. 204. ISBN 5-98298-269-5. - -,, -.,,, -., -. - «- -»,. 378.146(075.8) -481.28 73 -,..,.. ISBN 5-98298-269-5..,..,.., 2008,
W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)
ΙΙ. b) Μιγαδικό ολοκλήρωμα
ΙΙ b Μιγαδικό ολοκλήρωμα Οι συναρτήσεις που θα θεωρούμε εδώ πραγματικές ή μιγαδικές θα τις υποθέτουμε παραγωγίσιμες Ορισμοί Έστω g :[α, β] C Αν gt xt + iyt και οι xy, yt είναι παραγωγίσιμες, τότε η παράγωγος
Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.
Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
! # !! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4
! #!! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4 ! # % & (! ) & (! (! + & (!, % (! +.! / 0 1 0 2 3 4 1 0 5 6 % 7 8!, %! + 0! # % 0 1 9. 2! 1. 2 8 2 5 : ; 0 % &! & ( ) ; < =2 8 0 ; 0/ =2 8 0 8 2 8 & 8 2 0 8
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις
Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,
Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (
ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain
Continm Mechanics. Official Fom Chapte. Desciption of Motion χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t Chapte. Defomation an Stain s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk U k E ( F F ) ( J J J J)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό)
Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9
140/140 Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 Τσάνγκο Ιωσήφ 24 Απριλίου 2017 1. Εχω ότι R δακτύλιος, S υποδακτύλιος και I ιδεώδες του R. (Σχόλιο:Το πλήθος των απαντήσεων μου είναι ίδιο με αυτό των ερωτήσεων,
Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2018-2019 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία, 2018-2019 1. ώστε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων
Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )
Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού
Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.
Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Εστω συνεχης συναρτηση f : [α, ] με παραγουσα συναρτηση F. Τι ονομαζεται ορισμενο
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Η κοινή ρίζα των εξισώσεων αυτών είναι μ =. Επομένως το Ρ(χ) είναι
1 2-1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Οι παραστάσεις -χ 3 +1 και -χ 3 +3α 2 χ-3αχ 2 +α 3 είναι πολυώνυμα του χ,ενώ οι παραστάσεις χ + και χ 4-2χ ι/3 + 4χ- 1 δεν είναι πολυώνυμα του χ. 2. i) P(x) + Q(x) = x 2-5x
4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala
www.smarterglass.com 978 65 6190 sales@smarterglass.com &&$'()!"#$%$# !!"# "#$%&'! &"# $() &() (, -. #)/ 0-.#! 0(, 0-. #)/ 1!2#! 13#25 631% -. #)/ 013#7-8(,83%&)( 2 %! 1%!#!#2!9&8!,:!##!%%3#9&8!,:!#,#!%63
f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr
- - - * k ˆ v ˆ k ˆ ˆ E x ˆ ˆ [ v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E x ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ Ex U U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ M v ˆ v M v ˆ ˆ I U ˆ I 9 70 k k ˆ ˆ - I I 9ˆ 70 ˆ [ ˆ - v - - v k k k ˆ - ˆ k ˆ k [ ˆ ˆ D M ˆ k k 0 D M k [ 0 M v M ˆ
Inflation and Reheating in Spontaneously Generated Gravity
Univesità di Bologna Inflation and Reheating in Spontaneously Geneated Gavity (A. Ceioni, F. Finelli, A. Tonconi, G. Ventui) Phys.Rev.D81:123505,2010 Motivations Inflation (FTV Phys.Lett.B681:383-386,2009)
T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
T Ш. κεφαλαιο1. οριο - συνεχεια συναρτησης. τ κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. γ λυκειου. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1
γ λυκειου ` κεφαλαιο1 οριο - συνεχεια συναρτησης επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 1 017 ... πραγματικοι αριθμοι... συναρτησεις... μονοτονες συναρτησεις - αντιστροφη συναρτηση... οριο συναρτησης στο χ
(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών
6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.
Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α
ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.3 39 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός 1. Β = k 21 9 1Π 2 β = 10 " ίιτκ τ^β = 2 10 " τ 3. α) Β = Κ μ 21 B-r, 2 10~ 5 20 10~ 2 α => I = ~ } Α k M -2 2-10 I = 20Α ϊ)β 2 2Ι = Κ ψ- _ 10' 10^40 7 2
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2004.. 35.. 5 Š 539.12.01 ˆ ˆ Š œ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ ƒ.. Ë ³µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 1116 Š ˆ ˆ ŒŸ Œ ˆŠ 1119 Š Ÿ ˆŸ Ÿ ˆ Œ Š œ ˆ 1121 Š Ÿ ˆŸ Ÿ Š œ Œ ˆŒ ˆ Œ 1130 Š ˆ Œ ˆ Š Ÿ Š Ÿ ˆŸ Ÿ 1134 ˆ ˆ œ
1 Γραμμικές συναρτήσεις
Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη.
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ
ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ Θ Ε Μ Α 1 Από τους 120 μαθητές ενός Λυκείου, οι 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Α, οι 20 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Β και οι 12 μαθητές
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα