ΙΙ. b) Μιγαδικό ολοκλήρωμα

Transcript

1 ΙΙ b Μιγαδικό ολοκλήρωμα Οι συναρτήσεις που θα θεωρούμε εδώ πραγματικές ή μιγαδικές θα τις υποθέτουμε παραγωγίσιμες Ορισμοί Έστω g :[α, β] C Αν gt xt + iyt και οι xy, yt είναι παραγωγίσιμες, τότε η παράγωγος της gt είναι g t x t + iy t Ορίζουμε b b b gtdt xtdt + i ytdt a a a Μία συνεχή συνάρτηση της μορφής g :[α, β] C λέγεται καμπύλη Έστω f : Ω C και γ:[α, β] Ω, Ω περιοχή του C Τότε ως επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f πάνω στην γ ορίζουμε ότι είναι το fd fγtdt γ a Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο της παραμέτρισης της καμπύλης γ εφόσον η γ διατηρεί την ίδια φορά Με αντίθετη φορά έχουμε αντίθετη τιμή στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Έστω f : Ω C και γ:[α, β] Ω απλή κλειστή καμπύλη με ορθή φορά, Ω περιοχή b του C Τότε το γ fd το συμβολίζουμε και

2 Έστω απλή κλειστή καμπύλη γ :[α, β] C με ορθή φορά Τότε, αντί στο χωρίo Ω C και f : Ω C, τότε με f d Θα ορίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f πάνω στην καμπύλη παραμετρισμένη σε τρόπο ώστε να έχει την ορθή φορά από μία γ: [α, β] C, οπότε f d f d Θεώρημα ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauhy Έστω f : Ω C, παραγωγίσιμη και απλή κλειστή καμπύλη στο Ω τέτοια ώστε η περιοχή που περικλείει να ανήκει όλο στο Ω, τότε f d Απόδειξη Έστω γ : [α, β] C, η παραμέτριση της κατά την ορθή φορά, τότε, αν Α η περιοχή που ορίζει η, f d f d f tdt t dt [ u t i t] [x t,yty t]dt

3 uxt, yt y t + uxt, yt y t]dt + + i uxt, yt y t + υxt, ytx tdt udx-υdy + + i udy-υdx u x y + i u x y - + i Παραδείγματα Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα d όπου γt t - it, t[, ] Απάντηση Έχουμε γtt-i, άρα d t it t idt t t it t idt t t t t it t dt t t dt i t t dt 6 i 6 i Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα d, όπου οι πλευρές του τριγώνου με κορυφές τα σημεία,, i Απάντηση Έχουμε d d + d + d * Όπου γt t με t[, ], γt +I -t με t[, ], γt I - it με t[, ] Άρα * tdt [ i t]i dt + i it idt tidt

4 + tdt i Θεώρημα Ολοκληρωτικός τύπος του Cauhy Έστω f:ω C παραγωγίσιμη και απλή κλειστή καμπύλη στο Ω τέτοια ώστε η περιοχή που ορίζει η να περιέχεται στο Ω, τότε f f d i για κάθε που βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής που ορίζει η Απόδειξη Γύρω από το θεωρούμε κύκλο t + pe -it, με p> τέτοιο ώστε να περιέχεται στο εσωτερικό που ορίζει η που θα συμβολίζουμε D Στο παίρνουμε τα σημεία Α, Β, Σ διαδοχικά κατά την ορθή φορά, και Γ, Δ, Τα σημείο στο διαδοχικά κατά την ορθή φορά Παίρνουμε τόξα ΑΓ, ΒΔ ξένα μεταξύ τους που βρίσκονται εντός του D και δεν βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου Tότε f d AB f d B f d A f d AB f d + f f f f + d d d d + f f f + d d d f d AB f d f d f d it f pe it pe dt it pe ip it f pe it it e i f pe dt it pe Ο τελευταίος όρος θεωρώντας ότι ρ, είναι

5 i f dt if Παραδείγματα Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα όπου η απλή κλειστή καμπύλη που σχηματίζεται από τις πλευρές του τετραγώνου με κορυφές + i, - + i, - - i, - i dt Απάντηση Έχουμε dt d πi πi Από το θεώρημα Canhy Υπολογίστε το d, όπου ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το Απάντηση Η παραγωγίσιμη συνάρτηση }, έχει πεδίο ορισμού το C -{, Άρα περιλαμβάνει το εσωτερικό του και τον Οπότε d e Υπολογίστε το d, όταν :, :, :

6 Απάντηση Έχουμε ότι ο κύκλος περιέχει το αλλά όχι το και ο περιέχει το αλλά όχι το Οπότε i e d i e d e e, και i e d i e d e e Ο κύκλος ορίζει μια περιοχή που ανήκει όλη στο πεδίο ορισμού της e e Άρα d Ισχύουν στη μιγαδική παραγώγιση αντίστοιχες ιδιότητες με την παραγώγιση πραγματικών συναρτήσεων: α + α + α + + αn n α + α + α + + nαn n- e e [f + g] f +g [λf] λf [f + g] f + g [f g] f g + f g f g f g f g, με g g [fg] f g g

7 Δεν αναφερόμαστε στις os, sin, ln γιατί δεν τις ορίσαμε Παράδειγμα Βρείτε τις παραγώγους f, f, g, όπου f + + e, gx Απάντηση f + f 6 + e e + e + e + e g x Ισχύει ότι αν η f : Ω C έχει μιγαδική παράγωγο f τότε και η f : Ω C έχει μιγαδική παράγωγο, δηλ υπάρχει το f n για κάθε n,,, Ένας άλλος ολοκληρωτικός τύπος του Cauhy είναι ο ακόλουθος Θεώρημα Canhy Αν f : Ω C παραγωγίσιμη και απλή κλειστή καμπύλη στο Ω τέτοια ώστε η πριοχή που ορίζει να περιέχεται στο Ω, τότε f n n! f n i d για κάθε που βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής που ορίζει η Παράδειγμα Έστω { : } Να βρείτε το

8 d Απάντηση Θέτουμε f Το πεδίο ορισμού της f είναι το Ω C -{} H καμπύλη είναι κύκλος κέντρου και ακτίνας Άρα το εσωτερικό του βρίσκεται όλο στο Ω Συνεπώς f i f d f Οπότε d πif Έστω Ω περιοχή του C και,,, σημεία στο εσωτερικό του Ω Αν f : Ω \{,,,} C παραγωγίσιμη τότε τα σημεία,,, λέγονται πόλοι της f και ο αριθμός Re f, i f d όπου ν,,, και απλή κλειστή καμπύλη το εσωτερικό της οποίας ανήκει στο και περιέχει το ν, λέγεται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στον πόλο ν Θεώρημα Αν το εσωτερικό της ανήκει στο και περιέχει τα,,,,,, τότε f d Re f, Re f, Re f, i Παράδειγμα Να υπολογίσετε το d, όπου απλή κλειστή καμπύλη που περιέχει τα i, -i

9 Απάντηση Έχουμε d d Re f,i Re f,i i i i i i i i i i i i i i Παράδειγμα Να υπολογίσετε το i d όπου { : } Απάντηση Ο κύκλος περιλαμβάνει τους πόλους i, αλλά όχι τον πόλο Άρα d Re f, -i + Ref, i i όπου i f Έχουμε Ref,-i τον πόλο i οπότε i f d, όπου απλή κλειστή καμπύλη που περιέχει μόνο Αλλά! i d i '' i i Όμοια, Ref, τον πόλο Άρα i i f d, όπου απλή κλειστή καμπύλη που περιέχει μόνο

10 f d i d i i i i Συνδυάζοντας τα προηγούμενα δύο θεωρήματα παίρνουμε για τις συνήθεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις την ακόλουθη χρήσιμη πρόταση Πρόταση Έστω απλή κλειστή καμπύλη στο C που ορίζει περιοχή που ανήκει στο πεδίο ορισμού των f και,,, σημεία στο εσωτερικό της Τότε d f i f! f! όπου χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό g g λ

11 Παράδειγμα Έστω {: }, τότε i 8 d πi i 8 ' + πi i 8 ' + + πi 8 ' i απλός υπολογισμός Στην περίπτωσή μας χρησιμοποιήσαμε ως f το, που αυτή 8 ορίζεται στο δίσκο που ορίζει η