μαθηματικα + φυσικη επιμελεια : τακης τσακαλακος

Transcript

1 μαθηματικα + φυσικη επιμελεια : τακης τσακαλακος 3

2 Μια προσεγγιση σε βασικες ασκησεις της Φυσικης απ τη σκοπια ενος μαθηματικου!!! Σκοπος και προσδοκια μου, οι χαρισματικοι συναδελφοι (κατασκευαστες) να φτιαξουν ασκησεις πανω σ'αυτο το θεμα, περαν των τετριμενων (φτανουν οι ιδιες και οι ιδιες) Τακης Τσακαλακος

3 ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

4 Ρυθμοι Μεταβολης Φυσικων Μεγεθων. Θεσης : dx x ' (t)= = υ dt (ταχυτητα). Ταχυτητας : dυ υ ' (t)= = α dt (επιταχυνση) 3. Ορμης : dp p ' (t)= = ΣF dt (συνισταμενη δυναμη) 4. Γωνιας θ (επιβατικης ακτινας-x'x) : dθ θ ' (t)= = ω dt (γων. ταχυτητα) dω 5. Γωνιακης ταχυτητας : ω '(t)= = αγ dt (γων. επιταχυνση) 6. Κινητικης ενεργειας : dκ Κ ' (t)= = ΣF υ dt (ισχυς) (οι φορεις της συνισταμενης δυναμης και της ταχυτητας συμπιπτουν) 7. Δυναμικης ενεργειας : α. Βαρυτικης: du w U '(t)= =-w υ w dt (ισχυς) β. Ελαστικης: du ελ U '(t)= =-F υ ελ ελ dt (ισχυς) (οι φορεις των δυναμεων (w, F ) και της ταχυτητας συμπιπτουν) ελ 8. Θερμοτητας λογω: α. Τριβης: dq Q ' (t)= = T υ dt (ισχυς) β. φαινομενου Joule: dq Q '(t)= = V i= i R dt (ηλεκτρικη ισχυς) 9. Φορτιου (σε διατομη) : dq q ' (t)= = i dt (ενταση ρευματος). Στροφορμης : dl L ' (t)= = Στ dt (συνισταμενη ροπη)

5 Χρονικοι Ρυθμοι Μεταβολης Οι χρονικοι ρυθμοι μεταβολης εχουν σαν ανεξαρτητη μεταβλητη το χρονο t. Τους συναντουμε κυριως στη Φυσικη και τις περισσοτερες φορες ο ρυθμος μεταβολης ενος φυσικου μεγεθους Α παριστανει καποιο αλ λο φυσικο μεγεθος Β. Στη πραξη, υπολογιζοντας το φυσικο μεγεθος Β (την καταλληλη χρονικη στιγμη) ταυτοχρονα εχουμε και τον ρυθμο μεταβολης του φυσικου μεγεθους Α τη χρονικη στιγμη αυτη, ενω δεν ειναι λιγες οι φορες που ακολουθουμε την αντιστροφη πορεια.. ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΘΕΣΗ Στην ευθυγραμμη κινηση, η ταχυτητα οριζεται ως ο ρυθμος μεταβολης (παραγωγος) της θεσης ως προς το χρονο. dx υ= η υ= x ' (t) dt () Με την ευρεση της παραγωγου της συναρτησης x (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα υπολογισμου ταχυτητας στις διαφορες χρονικες στιγμες, ενω απ τη μονοτονια της x (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα μεγιστων - ελαχιστων θεσης. Η () δινει dx = υdt και με ολοκληρωση προκυπτει : x t t dx= υ dt= υ dt () x t t α. Στην ευθυγραμμη και ομαλη κινηση (ισοταχη) : Απο τη () προκυπτει (υ σταθερη) : x t dx= υ dt ` x-x = υ (t-t ) (3) x t Απο το γραφημα της υ(t) η μεταβολη της θεσης δινεται απ το εμβαδον του ορθογ ω- νιου (χωριο που οριζεται απ το γραφημα της υ(t), τον αξονα x x και τις ευθειες x = t και x = t) συμφωνα με την (3). Δηλαδη, μπορουμε να βρουμε τη θεση του κινητου και απ το γραφημα της υ(t).

6 β. Στην ευθυγραμμη ομαλα μεταβαλλομενη κινηση : Απο τη () προκυπτει = υ +α (t-t ) : x t x t x t x t dx= υdt` dx= [υ +α (t-t )] dt `x-x = υ (t-t ) + α (t-t ) x-x = (t-t ) (υ +υ) (4) `x-x = (t-t ) [υ +α (t-t )] Απο το γραφημα της υ(t) η μεταβολη της θεσης δινεται απ το εμβαδον του τραπεζιου (χωριο που οριζεται απ το γραφημα της υ(t) τον αξονα x x και τις ευθειες x = t και x = t) συμφωνα με την (4). Δηλαδη, μπορουμε να βρουμε τη θεση του κινητου και απ το γραφημα της υ(t).. ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στην ευθυγραμμη ομαλα μεταβαλλομενη κινηση, η επιταχυνση οριζεται ως ο ρυθμος μεταβολης (παραγωγος) της ταχυτητας ως προς το χρονο. d = η α= υ' (t) dt (5) Με την ευρεση της παραγωγου της συναρτησης (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα υπολογισμου επιταχυνσης στις διαφορες χρονικες στιγμες, ενω απ τη μονοτονια της (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα μεγιστων - ελαχιστων ταχυτητας. Η (5) δινει dυ = αdt και με ολοκληρωση προκυπτει : υ t t dυ= αdt` υ-υ = α dt= α (t-t ) (6) υ t t Απο το γραφημα της α(t) η μεταβολη της ταχυτητας δινεται απ το εμβαδον του ορθογωνιου (χωριο που οριζεται απ το γραφημα της α(t) τον αξονα x x και τις ευθειες x = t και x = t) συμφωνα με την (6). Δηλαδη, μπορουμε να βρουμε τη ταχυτητα του κινητου και από το γραφημα της α(t).

7 3. ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ - ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στην ομαλα μεταβαλλομενη κυκλικη κινηση, οριζεται η γωνιακη επιταχυνση α ως ο ρυθμος μεταβολης (παραγωγος) της γ γωνιακης ταχυτητας ω, ως προς το χρονο. dω α = η α = ω' (t) γ γ dt (7) Με την ευρεση της παραγωγου της συναρτησης (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα υπολογισμου της γωνιακης επιταχυνσης στις διαφορες χρονικες στιγμες, ενω απ τη μονοτονια της (t) αντιμετωπιζουμε προβληματα μεγιστων - ελαχιστων ταχυτητας. Η (7) δινει dω = αγdt και με ολοκληρωση προκυπτει : t d = dt` ω-ω = dt= (t-t ) (8) t t Απο το γραφημα της α γ(t) η μεταβολη της γωνιακης ταχυτητας δινεται απ το εμβαδον του ορθογωνιου (χωριο που οριζεται απ το γραφημα της α γ(t) τον αξονα x x και τις ευθειες x = και x = t) συμφωνα με την (8). t Δηλαδη, μπορουμε να βρουμε τη ταχυτητα του κινητου και απο το γραφημα της α γ(t). η γωνιακη ταχυτητα ω, ως ο ρυθμος μεταβολης (παραγωγος) της επικεντρης γωνιας φ, που διαγραφει η επιβατικη ακτινα, ως προς το χρονο. dφ ω= η ω= φ' (t) dt (9) Απ την (9) προκυπτει [ = ω +α (t-t )] : φ t φ t dφ= ωdt ` dφ= [ω +α (t-t )] dt φ t φ t ` φ-φ = ω (t-t ) + α (t-t ) γ t γ ` φ-φ = (t-t ) [ω +α (t-t )] γ ` φ-φ = (t-t ) (ω +ω) () Απο το γραφημα της ω(t) η μεταβολη της επικεντρης γωνιας δινεται απ το εμβαδον του ορθογωνιου (χωριο που οριζεται απ το γραφημα της ω(t) τον αξονα x x και τις ευθειες x = και x =t συμφωνα με την (). t

8 Δηλαδη, μπορουμε να βρουμε την επικεντρη γωνια του κινητου και από το γραφημα της ω(t). Π α ρ α τ η ρ η σ η Στη περιπτωση που η γωνιακη ταχυτητα ω είναι σταθερη, απ τη () προκυπτει φ-φ = (t-t ) (ω +ω) ` ω = ω φ-φ = (t-t ) ω= ω (t-t ) 4. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Συνθετη κινηση, στον οριζοντιο και κατακορυφο αξονα. Στο κατακορυφο αξονα εχουμε ελευθερη πτωση και ο χρονος μεχρι το εδαφος ειναι ο ιδιος με τον χρονο που διαρκει η οριζοντια κινηση. Ισχυουν τα παραπανω. 5. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ Με δεδομενο οτι η επιταχυνση της βαρυτητας λαμβανεται: g= m/s. H συναρτηση που δινει τη θεση του σωματος ειναι h(t)= h - 5t, οπου Η χρονικη στιγμη γινεται μεγιστη, με τιμη h το αρχικο υψος που βρισκοταν το σωμα. t που φτανει το σωμα στο εδαφος ( e max αντιρροπη της μετατωπισης h) h ), η ταχυτητα t (το "-" δειχνει οτι η ταχυτητα ειναι 6. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (Α.Α.Τ.) Για τα χαρακτηριστικα των περιοδικων φαινομενων, περιοδο (Τ) συχνοτητα (f) και γωνιακη ταχυτητα (ω), γενικα ισχυει: Αν το φαινομενο επαναλαμβανεται Ν φορες σε χρονο t t N T=, f= κα ι T f= N t π ω= = π f Τ π ω= = pf Τ H συναρτηση που δινει την απομακρυνση σωματος απο τη θεση ισορροπιας, που εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση, τη χρονικη στιγμη t ειναι

9 x(t)= A ημωt οπου Α: το πλατος της ταλαντωσης και ω: γωνιακη ταχυτητα της ταλαντωσης 7. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ α. μεσος ρυθμος μεταβολης Η γραφικη παρασταση της συναρτησης y=f(x) φαινεται στο διπλανο γραφημα. Για τη συναρτηση f, ο μεσος ρυθμος μεταβολης του y ως προς το x σε ενα διαστημα [x, x ] εκφραζεται απ'το πηλικο y και ειναι ισος με y f(x ) f(x ) h = x -x f(x ) f(x ), h x x h Γεωμετρικη ερμηνεια: Ο μεσος ρυθμος μεταβολης ειναι η κλιση της ευθειας (ε) που τεμνει τη C στα σημεια Α και Β. f β. στιγμιαιος ρυθμος μεταβολης Αν στη προηγουμενη περιπτωση h δη-λαδη x x x (διπλανο σχημα) ο ρυθμος μεταβολης για τη συναρτηση f, λεγεται στιγμιαιος ρυθμος μεταβολης του y ως προς το x, εκφραζεται απ'το πηλικο y y f(x h) f(x ) και ειναι ισος με lim hì h (προυποθεση να υπαρχει το οριο) Γεωμετρικη ερμηνεια: Ο στιγμιαιος ρυθμος μεταβολης στο σημειο με τετμημενη x της συναρτησης y=f(x) εκφραζει τη πα-ραγωγο της f στο σημειο αυτο. Με αλλα λογια ειναι ο συντελεστης διευθυνσης της εφαπτομενης (δ) της C στο σημειο με τετμημενη x. f

10 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

11 Οχημα κινειται ευθυγραμμα με σταθερη ταχυτητα και ο ο δηγος αντιλαμβανεται οτι υπαρχει ενα γατακι μπροστα του. Αρχιζει να φρεναρει, προσδινοντας στο οχημα μια σταθερη επιβραδυνση, τη στιγμη που απεχει απο το γατακι 5 m (μηδενικος χρονος αντιδρασης). Το διαστημα x (σε m) του οχηματος, απο τη στιγμη που αρχιζει να φρενα- ρει δινεται απο την παρακατω συναρτηση θεσης 5 5 x(t)= t- t, t 9 8 α) Ποια ειναι η τυχη του γατιου; β) Αν ο χρονος αντιδρασης του οδηγου είναι t = sec α, συμφωνα και με τα παραπανω, θα ειναι τυχερο το γατακι; Λυση α) Η ταχυτητα σε συναρτηση με το χρονο ειναι υ(t) = x' (t)= t- t ' = - t Το οχημα, τη στιγμη που φρεναρει, εχει αρχικη ταχυτητα ιση με υ()= - = m/ sec α) Για καθε t[,+) εχουμε: 5 5 x' (t)= ` - t= ` t= x' (t)> ` - t> ` t< x' (t)< ` - t< ` t> 9 9

12 Tο προσημο της x (t) και η μονοτονια της x φαινονται στον επομενο πινακα: Tο διαστημα (μεχρι να σταματησει το οχημα) x γινεται μεγιστο τη χρονικη στιγμη t sec (οταν η ταχυτητα γινεται ιση με μηδεν) με τιμη x()= - = - = = 38,9< Αρα το γατακι σωνεται. Α λ λ ι ω ς Η ταχυτητα σε συναρτηση με το χρονο ειναι υ(t) = x' (t)= t- t ' = - t Απο το γραφημα της συναρτησης (t) προκυπτει οτι τη χρονικη στιγμη t sec η ταχυτητα μηδενιζεται και εχουμε μεγιστο διανυθεν διαστημα που είναι 5 x = E= = max 9 η 5 = = 38,9< 5 8 x = (t)dt= x'(t)dt= max = x(t) = x()-x()= 5 5 = - = = 38,9< 5 8

13 Αρα το γατακι σωνεται. Α λ λ ι ω ς Η ταχυτητα σε συναρτηση με το χρονο ειναι υ(t) = x' (t)= t- t ' = - t και τη χρονικη στιγμη t= sec η ταχυτητα μηδενιζεται και εχουμε μεγιστο διανυθεν διαστημα που το γραφημα του φαινεται παρακατω Απο το γραφημα προκυπτει οτι το συνολικο διανυθεν διαστημα (χρονικο διαστημα - sec) ειναι μικροτερο απο 5 μετρα, οποτε το γατακι σωνεται. β) Κατα τη διαρκεια του χρονου αντιδρασης το οχημα εξακολουθει να κινειται ισοταχως και διανυει διαστημα 5 5 x = = m 9 9 Ετσι το συνολικο διαστημα μεχρι να σταματησει ειναι x = x()+x = + = = 66,67m >5 m ολ α oποτε να ειμαστε καλα και... να θυμομαστε το γατακι. Α λ λ ι ω ς Η ταχυτητα σε συναρτηση με το χρονο ειναι 5 υ (t)= υ() =, t [,] και 9

14 υ(t)= x' (t)= (t-)- (t-) ' = - (t-), t [,+ ) Απο το γραφημα της συναρτησης (t) προκυπτει οτι τη χρονικη στιγμη t sec η ταχυτητα μηδενιζεται και εχουμε μεγιστο διανυθεν διαστημα που ειναι 5 x = E= (+)= max 9 η 5 = 66,67 > 5 9 x = x()- x() + (t)dt= max = υ t + x'(t)dt= 5 = + x(t) = = +x()-x()= + - = = 66,67> Αρα, ο θεος να συγχωρησει τον οδηγο που σκοτωσε το γατακι Α λ λ ι ω ς Το μεγιστο διανυθεν διαστημα που το γραφημα του φαινεται διπλα. Απο το γραφημα προκυπτει οτι το συνολικο διανυθεν διαστημα (χρονικο διαστημα - sec) ειναι μεγαλυτερο απο 5 μετρα, οποτε ποτε δεν θα μαθουμε πως... νιαουριζε το γατακι.

15 Τη χρονικη στιγμη t = δυο οχηματα Α και Β βρισκονται στο ιδιο "υψος" ενος ευθυγραμμου δρομου. Το οχημα Α ξεκιναει επιταχυνομενο ομαλα ενω το οχημα Β κινειται με σταθερη ταχυτητα. Τη χρονικη στιγμη t = 6 s τα δυο οχηματα εχουν την ιδια ταχυτητα, ενω το Α εχει διανυσει 9 m. t = 6 s α) Να βρειτε τη κοινη ταχυτητα των οχηματων τη χρονικη στιγμη. β) Να βρειτε τις συναρτησεις θεσης των δυο οχηματων. γ) Ποτε και που θα βρισκονται στο ιδιο "υψος" του δρομου τα δυο οχηματα; Λυση α) Το γραφημα ταχυτητας των δυο οχηματων ως προς το χρονο ειναι: Η θεση του κινητου Β (σταθερη ταχυτητα) δινεται απο τη συναρτηση της μορφης x (t) t Για t=6 s το διαστημα που διανυσε το οχημα Β (απο γραφημα) ειναι 8m (αφου το σκιαγραφημενο εμβαδον δινεται 9 m) και η παραπανω συναρτηση δινει x (6)= υ 6`8= υ 6 B B B `υ B B = 3 m/ s Δηλαδη η κοινη ταχυτητα τη χρονικη στιγμη t=6 s ειναι υ (6)= υ A B = 3 m/ s B β) Για το κινητο Α: 3 υ ' = εφφ= = 5= α(t) A 6 και η ταχυτητα δινεται απο υ (t)= 5t+c A υ '(t)= 5 υ (t)= 5t A A για t= = +c c και η θεση δινεται απο 5t x (t)= +c A x '(t)= 5t A x (t)= 5t A για t= = +c c

16 Για το κινητο Β: x (t)= 3t+c Β 3 x '(t)= 3 x (t)= 3t Β για t= = +c c B 3 3 γ) Τα δυο οχηματα συναντιωνται ξανα (εκτος της στιγμης t=) οταν 5t x (t)= x (t)` A B και η θεση τους θα ειναι 5 36 x()= 36 m 36 3 = 3t` t(t-)= ` t= s

17 (Το κλασσικο προβλημα κατακορυφης βολης προς τα πανω της Φυσικης) Σωμα βαλλεται προς τα πανω απο το εδαφος με αρχικη ταχυτητα υ. Το υψος h (σε m) του σωματος, δινεται απο την παρακατω συναρτηση θεσης h(t)= υ t- αt, t α) Να βρειτε το μεγιστο υψος που θα φτασει το σωμα. β) Να αποδειξετε οτι ο χρονος ανοδου ειναι ισος με το χρονο καθοδου. γ) Να αποδειξετε οτι η ταχυτητα του σωματος οταν επιστρεφει στο εδαφος ειναι κατ απολυτη τιμη ιση με την αρχικη του. Λυση α) Η ταχυτητα του σωματος δινεται απο τον τυπο u(t)= h'(t)=(υ t- αt )' = υ -αt Για καθε t[,+) εχουμε: h'(t)= ` υ h'(t)> ` υ h'(t)< ` υ υ -αt= ` t= α υ -αt> ` t< α υ -αt< ` t> α Tο προσημο της h'(t) και η μονοτονια της h φαινονται στον επομενο πινακα: Tο υψος h γινεται μεγιστο τη χρονικη στιγμη υ t= α με τιμη υ υ υ υ υ υ h = υ - α = - = α α α α α α

18 β) Θα βρουμε τις χρονικες στιγμες που το υψος ειναι μηδεν: h(t)= ~ υ t- αt = ` υ t-αt = ` t(υ -αt)= ` t= η υ t οπου t η χρονικη στιγμη της εναρξης της βολης και χρονικη στιγμη που το σωμα φτανει στο εδαφος. Ετσι Ο χρονος ανοδου ειναι: Ο χρονος καθοδου ειναι: t υ = α υ υ υ t = t -t = - = ολ α α α Αρα ο χρονος ανοδου ειναι ισος με το χρονο καθοδου. υ t= = tολ α η γ) Η ταχυτητα του σωματος τη στιγμη που φτανει στο εδαφος ειναι: υ υ u = υ -α = υ -υ =-υ α α Αρα η ταχυτητα του σωματος οταν επιστρεφει στο εδαφος ειναι κατ απολυτη τιμη ιση με την αρχικη του.

19 Το υψος του σωματος του παρακατω σχηματος δινεται απο την συναρτηση θεσης h(t)= λt+5μt, t και λ,μ> α) Εκ παραδρομης μπηκαν 3 σχηματα. Ποιο ειναι το σωστο; β) Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ. (Δινεται g= m /s) Λυση Η ταχυτητα του σωματος δινεται απο τον τυπο υ(t)= h'(t)=(λt+5μt )' = λ+μt () Η επιταχυνση του σωματος δινεται απο τον τυπο α) α(t)= υ'(t)=(λ+μt)' = μ () Τη χρονικη στιγμη t= η () δινει υ()= το 3ο σχημα (ελευθερη πτωση) λô (λ>) οποτε αποκλειεται Απ τη () η επιταχυνση ειναι θετικη, ομορροπη της αρχικης ταχυτητας, οποτε αποκλειεται το ο σχημα που η επιταχυνση ειναι αντιρροπη της (η επιταχυνση της βαρυτητας εχει φορα προς τα κατω). Δηλαδη το ο σχημα ειναι το σωστο (βολη προς τα κατω) β) Απ τη () προκυπτει α(t)= μ`g= μ`= μ` μ= Απ την () για μ= προκυπτει υ(t)= λ+t (3) Τη χρονικη στιγμη t=, ειναι υ()=λ

20 Ομως (σχημα) () 5 Συνεπως λ=5... Για την ιστορια (μηπως να μπει και στην εκφωνηση;) το λ μετριεται σε m/s ενω το μ σε m/s

21 (Το κλασσικο προβλημα κυκλικης κινησης) Ενα ρολοι δειχνει ακριβως. Μετα από ποσο χρονο ο ωροδεικτης και ο λεπτοδεικτης θα είναι καθετοι μεταξυ τους για πρωτη φορα ; Λυση Εστω μετα χρονο t (σε ωρες) ο ωροδεικτης και ο λεπτοδεικτης θα σχηματιζουν ορθη γωνια ( ειναι t = ) π π Για τον ωροδεικτη ειναι ω = = ω 6 αφου για ενα πληρη κυκλο χρειαζονται ωρες. π π π dφ= ωdt ` dφ= dt ` dφ= dt ~ φ = t ω φ t φ t φ t φ t φ π Για τον λεπτοδεικτη ειναι ω = = π λ αφου για ενα πληρη κυκλο χρειαζεται ωρα. φ t φ t φ t d = ωdt ` dφ= π dt ` dφ= π dt ~ φ = π t t Ομως π π π 3 φ -φ = ` π t- t= ` t= 3 ` t= λ ω 6 λ Α λ λ ι ω ς Για τον ωροδεικτη ειναι π π ω = = ω 6 Για τον λεπτοδεικτη ειναι π ω = = π λ Απ το γραφημα π π π Ε= φ -φ = ` (π- ) t= λ ω 6 π 3π ` t= ` t=

22 Οχημα κινειται κατα τη διαρκεια των πρωτων 5 sec με σταθερη επιταχυνση α = m/sec, τα επομενα 5 sec με σταθερη ταχυτητα, ενω τα τελευταια 5 sec με σταθερη επιβραδυνση μεχρι να σταματησει. Ποσο διαστημα συνολικα διανυσε το οχημα μεχρι να σταματησει ; Λυση Απο - 5 sec ( Κινηση : ευθυγραμμη ομαλα επιταχυνομενη με ) Τη χρο νικη στιγμη t 5 sec το συνολικο διαστημα και η ταχυτητα ειναι x -x = υ (t -t ) + α (t -t ) x = α t = 5 = 5m υ -υ = α (t -t ) x =, t =, υ = υ = α t = 5= m/ sec Απο 5 - sec ( Κινηση : ευθυγραμμη και ομαλη με m/ sec ) Τη χρο νικη στιγμη t sec το συνολικο διαστημα ειναι x -x = υ (t -t ) x -5= (-5) x = 75m x = 5, t = 5, υ = Απο - 5 sec ( Κινηση : ευθυγραμμη ομαλα επιβραδυνομενη με m/ sec ) Τη χρο νικη στιγμη t x -x (t -t )- α (t -t ) υ-υ -α (t -t ) 3 x 75, t,, x -75= (5-) - (5-) 3 x = α (5-) Þ α= m/ sec 3 m 5 sec το συνολικο διαστημα ειναι Αρα, το οχημα μεχρι να σταματησει διανυσε συνολικα m. Α λ λ ι ω ς

23 To γραφημα της ταχυτητας φαινεται στο διπλανο σχημα. Το ζητουμενο διαστημα ισουται με το εμβαδον του χωριου (τραπεζιο) που οριζεται από το γραφημα της υ και τον αξονα x x. Ετσι x (5 5) m 3

24 ( Προβλημα σκιας ) Mια γυναικα υψους,6 m απομακρυνεται απο τη βαση ενος φανοστατη υψους 8 m με ταχυτητα ιση με,8 m/sec. Mε ποια ταχυτητα αυξανεται ο ισκιος της ; Λυση Ανεξαρτητη μεταβλητη ο χρονος t x = x(t) η συναρτηση που εκ- φραζει την απομακρυνση (ΟΠ) s = s(t) η συναρτηση που εκφραζει την σκια της γυναικας Γνωστο : x (t) =,8 Ζητουμενο : s (t) Ετσι Απ την ομοιοτητα των τριγωνων ΣΠΚ και ΣΟΦ εχουμε s,6 s = ` =, s+x 8 s+x ` s=,(s+x) ` s=,s+,x `,8s=,x ` s= x 4 Α λ λ ι ω ς 8 τρ.σοθ: εφθ= s+x 8,6 ~ = ` 8s=,6s+,6x ` 6,4s=,6x ` s= x,6 s+x s 4 τρ.σπκ: εφθ= s Και σε συναρτηση με το χρονο : s(t)= x(t) 4 και x' (t) =,8 s' (t)= x' (t) =,8=, 4 4 Συνεπως, ο ζητουμενος ρυθμος μεταβολης είναι, m/sec.

25 ( Oριζοντια βολη ) Μαχητικο αεροσκαφος κινειται οριζοντια σε υψος h= 5 m και η θεση του δινεται απ τη συναρτηση x (t)= t. Στο εδαφος και στο ιδιο καρακορυφο επιπεδο κινειται αντορροπα αρμα που η θεση του δινεται απ τη συναρτηση x (t)= 5t. Να βρεθει σε ποια οριζοντια αποσταση d απ το αρμα πρεπει ο πιλοτος να αφησει βομβα, ωστε αυτη να χτυπησει το αρμα. Δινεται : συναρτηση ελευθερης πτωσης ενεργει μονο το βαρος της. h(t)= h -5t και στη βομβα Λυση Απ τη στιγμη που ο πιλοτος αφηνει τη βομβα Στο κατακορυφο αξονα εχουμε O χρονος που χρειαζεται η βομβα να φτασει στο εδαφος ειναι η στιγμη που h(t)=. Ετσι h( t ) = h -5t ~ = 5-5t ~ 5= 5t ~ t= sec Τη χρονικη στιγμη t sec το αεροπλανο εχει διανυσει διαστημα (οριζοντια) x ()= t= = m το αρμα εχει διανυσει διαστημα x ()= 5t= 5 = 5 m Ετσι, η ζητουμενη αποσταση d ειναι d= x () + x ()= m + 5m= 5m

26 Λεωφορειο μηκους λ = 5 μετρων, που κινειται ευθυγραμμαμε σταθερη ταχυτητα υ = m/sec, περναει πανω απo γεφυρα μηκους Λ = 35 μετρων. Να υπολογιστει ο χρονος αν α) τμημα του λεωφορειου βρισκεται πανω στη γεφυρα β) ολο το λεωφορειο βρισκεται πανω στη γεφυρα Λυση Η συναρτηση που εκφραζει το διαστημα που διανυει το λεωφορειο ως προς το χρονο ειναι x(t)= t α) Ο χρονος που βρισκεται μερος του λεωφορειου πανω στη γεφυρα αρχι-ζει τη στιγμη που το μπροστινο μερος του είναι στην αρχη της γεφυρα και τελειωνει τη στιγμη που το πισω μερος του είναι στο τελος της γεφυρας. Δηλαδη, διανυει διαστημα Λ + λ. Ετσι Λ+ λ=t ` 35+ 5=t ` 5=t ` t=7,5 sec β)

27 Ο χρονος που βρισκεται ολο το λεωφορειο πανω στη γεφυρα αρχιζει τη στιγμη που το πισω μερος του είναι στην αρχη της γεφυρα και τελειωνει τη στιγμη που το μπροστινο μερος του είναι στο τελος της γεφυρας. Δηλαδη, διανυει διαστημα Λ - λ. Ετσι Λ-λ=t ` 35-5=t ` =t ` t=6 sec

28 H συναρτηση που δινει την απομακρυνση σωματος απο τη θεση ισορροπιας, που εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση, τη χρονικη στιγμη t ειναι x(t)= A ημωt, Α,ω και t Να βρειτε α) τη συναρτηση που δινει την ταχυτητα τη χρονικη στιγμη t β) ποτε η ταχυτητα γινεται μεγιστη και ποια τιμη εχει τοτε (πλατος) γ) τη συναρτηση που δινει την επιταχυνση τη χρονικη στιγμη t Λυση α) Ειναι υ(t) = x'(t)=(a ημωt)' = A συνωt (ωt)' = A ω συνωt β) Για καθε t[,+) εχουμε: υ'(t)=(a ω συνωt)' =-A ω ημωt (ωt)' =-A ω ημωt π κ Τ υ' (t)= ` -A ω ημωt= ` ημωt= ωt= κπ ` t= κπ `t= π κ Τ υ' (t)> ` -A ω ημωt> ` ημωt< ωt< κπ ` t< κπ `t< π κ Τ υ' (t)< ` -A ω ημωt< ` ημωt> ωt> κπ ` t> κπ `t> αφου π ω= Τ, οπου Τ η περιοδος της ταλαντωσης και κ=,,,... Tο προσημο της υ' (t) και η μονοτονια της υ φαινονται στον επομενο πινακα: Παρατηρηση:

29 Δεν βαζω στο πινακακι την τιμη t= γιατι για κ= τοτε κ Τ και η συναρτηση υ ειναι γν. φθινουσα με ολικο μεγιστο στη θεση t=. Για υmax κ Τ t ειναι κt κt π κt = υ = A ω συν ω = A ω συν = A ω συν κπ= max max max Τ A ω γ) Ειναι α(t) = υ'(t)=(a ω συνωt)' =-A ω ημωt (ωt)' =-A ω ημωt δ) Για καθε t [,+³) εχουμε (ας αλλαξουμε λιγο) : Η ποσοτητα -A ω Ομως - ημωt, οποτε για ημωt=- ειναι α (t) = A ω max ημωt γινεται μεγιστη, οταν γινεται ελαχιστο το ημωt. Για την... ιστορια x(t)= A ημωt= χ max υ(t)= A ω συνωt= υ ημωt max συνωt= π υ ημ max ωt + α(t)=-a ω ημωt=-α ημωt= α ημ(-ωt)= max max α ημ(ωt+ π) που σημαινει η ταχυτητα προηγειται της απομακρυνσης κατα η επιταχυνση προηγειται της ταχυτητας κατα και της απομακρυνσης κατα π. max

30 H συναρτηση που δινει την απομακρυνση σωματος απο τη θεση ισορροπιας, που εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση, τη χρονικη στιγμη t ειναι x(t)=, ημαt, t, α Να βρειτε α) την ταχυτητα τη χρονικη στιγμη π t = α β) τον αριθμο α, αν μεγιστη τιμη της ταχυτητας ειναι,8 m/s γ) αν εχει επιταχυνση το σωμα τη χρονικη στιγμη t. Λυση α) Ειναι υ(t) = x'(t)=(, ημαt)' =, συναt (αt)' =, α συναt π Για t = ειναι α π υ(t )=, α συν α =, α συνπ=, α =, α α β) Ειναι x(t)= A ημωt και υ max Ετσι υ =,8`A ω=,8`, α=,8`α= 4 max = A ω (προηγουμενη εφαρμογη) με Α=, και ω=α γ) Η συναρτηση που δινει την εφαπτομενη (συμφωνα με τη προηγουμενη εφαρμογη) ειναι α(t)=-a ω ημωt=-, 6 ημ4t=-3, ημ4t Τη χρο νικη στιγμη t η επιταχυνση γινεται 4 π α(t )=-3, ημ 4 = - 3, ημπ=. Α λ λ ι ω ς Για Α=, και ω=4 η συναρτηση που δινει την ταχυτητα τη χρονικη στιγμη t ειναι υ(t)=,8 συν4t Η επιταχυνση ειναι ορυθμος μεταβολης της ταχυτητας, οποτε

31 α( t)= υ'( t)=,8 συν4t ' =-,8 4 ημ4t-3, ημ4t Τη χρο νικη στιγμη t η επιταχυνση γινεται π a(t )=-3, ημ 4 = -3, ημπ=.

32 ΔΥΝΑΜΗ ΓΕΝΙΚΑ

33 (Ψευτο)χρονικοι Ρυθμοι Μεταβολης. ΝΟΜΟΙ ΝΕΥΤΩΝΑ Οι νομοι του Νευτωνα ειναι συνδεδεμενοι εμμεσα με τη κινηση των σωματων. ος Νομος Αν σε ενα σωμα δεν ασκειται εξωτερικη δυναμη, παραμενει σταθερη η κινητικη του κατασταση. (τι λεει, που ειναι ο χρονος;) Λεει: F α(t)= Ομως α(t)= υ(t)= υ, αν υ (κινηση ισοταχης) υ(t)= υ υ(t) = υ + α(t) t υ(t)=, αν υ (ακινησια)... η ταχυτητα ειναι ο ρυθμος μεταβολης της θεσης του κινητου και συμφωνα με τα προηγουμενα... ος Νομος Αν σε ενα σωμα ασκειται εξωτερικη δυναμη F, αυτη προσδιδει στο σωμα σταθερη επιταχυνση α (η μαζα σταθερη, ανεξαρτητη του χρονου) F=mα Θυμιζουμε για τη ορμη του σωματος ρ ειναι: ρ=mυ Ειναι F m α(t) F m υ'(t) F (m υ(t))' F= ρ'(t) Δηλαδη η δυναμη που ασκειται στο σωμα ειναι ο ρυθμος μεταβολης της ορμης του σωματος (... να και ο ρυθμος μεταβολης!) 3ος Νομος Αν δυο σωματα αλληλεπιδρουν, η δυναμη που ασκει το πρωτο σωμα στο δευτερο ειναι αντιθετη της δυναμης που ασκει το δευτερο στο πρωτο. Για την ορμη του συστηματος των δυο σωματων ειναι F ρ'(t) = ρ(t) = σταθερη Δηλαδη m = σταθερη ρ( t)=σταθερη m υ(t)= σταθερη υ(t)= σταθερη υ(t)= υ... οποτε οπως προηγουμενα... Γενικα

34 Σ'ενα απομονωμενο συστημα σωματων (δρουν μονο εσωτερικες δυναμεις με ολικη δυναμη ιση με ) η ολικη ορμη διατηρειται σταθερη (αρχη διατη-ρησης της ορμης).. ΕΡΓ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ α. κινητικη ενεργεια (οριζοντια κινηση) Η κινητικη ενεργεια δινεται απο το τυπο: Η ισχυς Ρ δινεται απο το τυπο: P= F υ Ειναι Κ= m υ K'(t)=( m υ (t))' = m (υ (t))' = m υ(t) υ'(t)= m υ(t) α(t)= F υ(t)= Ρ(t) Δηλαδη η ισχυς Ρ εκφραζει το ρυθμο μεταβολης της κινητικης ενεργειας. β. βαρυτικη δυναμικη ενεργεια (κατακορυφη κινηση) Η δυναμικη ενεργεια δινεται απο το τυπο: U= m g h Η ισχυς Ρ δινεται απο το τυπο: P= w υ, Ειναι ανεβαινει w= βαρος U'(t)=(m g h(t))' = m g h'(t)= m g υ(t)= w υ(t)= Ρ(t) κατεβαινει U'(t)=(-m g h(t))' =-m g h'(t)=-m g υ(t)=-w υ(t)=-ρ(t) (το "-" σημαινει οτι η δυναμικη ενεργεια και το εργο βαρους αντιρροπα Δηλαδη ανεβαινει: ΔU ΔW w -w Δh =- =- = w h'(t)= m g υ(t) Δt Δt Δt ΔU ΔW κατεβαινει: W W Δh =- =- =-W h'(t)=-m g υ(t) ) Δt Δt Δt Αρα, η ισχυς Ρ εκφραζει το ρυθμο μεταβολης της δυναμικης ενεργειας. γ. ελαστικη δυναμικη ενεργεια Η ελαστικη δυναμικη ενεργεια δινεται απο το τυπο: Η ισχυς Ρ δινεται απο το τυπο: P= F υ, F =-κχ Ειναι U = κ χ U '(t) =( κ χ (t))' = κ χ(t) χ'(t) = κ χ(t) υ(t) =-F υ(t) =-Ρ(t)

35 Αρα, η ισχυς Ρ εκφραζει το ρυθμο μεταβολης της ελαστικης δυναμικης ενεργειας. δ. ηλεκτρικη ενεργεια Η ηλεκτρικη ενεργεια δινεται απο το τυπο: E = V i t Η ηλεκτρικη ισχυς Ρ δινεται απο το τυπο: P= V i οπου V, i η ταση και η ενταση του ρευματος. Ειναι Ε '(t)=(v i t)' = V i= Ρ(t) Αρα, η ισχυς Ρ εκφραζει το ρυθμο μεταβολης της ηλεκτρικης ενεργειας. 3. ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΟΤΟΜΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ Απ τον ορισμο της εντασης του ηλεκτρικου ρευματος ειναι ΔQ i(t) = = Q'(t) Δt Δηλαδη η ενταση του ρευματος i εκφραζει το ρυθμο μεταβολης του φορτιου Q. 4. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Η στροφορμη L υλικου σημειου δινεται απ'το τυπο: L=pr=mυr=mr ω (οπου m:μαζα, r:ακτινα κυκλικης τροχιας, ρ:ορμη, ω:γωνιακη ταχυτητα) Η ορμη δινεται απ'το τυπο: ρ=mυ Η ροπη τ δινεται απ'το τυπο: τ=fr (η F εφαπτομενη κυκλικης τροχιας) Ειναι L'(t)=(m υ(t) r)' = m r υ'(t)= m r a(t)= F r= τ Δηλαδη η ροπη τ εκφραζει το ρυθμο μεταβολης της στροφορμης.

36 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

37 α) Ο Μακης δινει την παρακατω ασκηση: Σωμα μαζας m αφηνεται απο ενα υψος να πεσει στο εδαφος, με μοναδικη δυναμη που ενεργει σ'αυτο να ειναι το βαρος του W. Aν η συναρτηση που δινει την ορμη του σωματος ειναι p(t)=t, να βρειτε το βαρος του σωματος W. β) Ο Τακης δινει τη δικη του εκδοχη: Η απομακρυνση απο το σημειο που αφηνουμε το παραπανω σωμα δινεται απο τη συναρτηση h(t)= 5t. i) να βρειτε την ταχυτητα του σωματος τη χρονικη στιγμη t= sec. ii) να δειξετε οτι η συναρτηση της απομακρυνσης ισχυει για καθε t (μεχρι να φτασει στο εδαφος). γ) ποια ειναι η μαζα του σωματος; (Δινεται: W=m, g=m/s ) Λυση α) Μακης: To βαρος W του σωματος (μοναδικης δυναμης που ενεργει στο σωμα) ειναι ο ρυθμος μεταβολης της ορμης. Ετσι W= p'(t)=(t)' = N β) Τακης: i) Η ταχυτητα ειναι ο ρυθμος μεταβολης της απομακρυνσης. Ετσι υ(t)= h'(t)=(5t )' = t Για t= s ειναι υ()= = m/ s ii) Η επιταχυνση της βαρυτητας ειναι g= m / s. Οποτε αρκει να δειξουμε οτι η επιταχυνση που προκυπτει απο τη συναρτη-ση απομακρυνσης ειναι ιση με την g. Πραγματι h'(t)=(5t )' = t h''(t)=(t)' = a(t)= m/ s a(t)= h''(t) g γ) Ειναι W W= m`m = `m= `m= Kg

38 Σωμα εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση (χωρις αρχικη φαση) με δοσμενα χ υ> υ=±ω Α -χ οπου, υ: ταχυτητα, χ: απομακρυνση και Α: μεγιστη απομακρυνση. Να βρειτε α) για ποιο χ ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος β) ποια ειναι η μεγιστη τιμη του ρυθμου μεταβολης της κινητικης ενεργειας. Λυση α) Για το ρυθμο μεταβολης της κινητικης ενεργειας εχουμε: απο δοσμενα K'(χ)= ΣF υ=-κ χ υ = κ χ κ χ ( ) () 3 κ ( χ 4 ) κ χ ( ) K''(χ)= = χ ( ) χ ( ) K''(χ)= χ ( )= χ= ή χ= Tο προσημο της Κ'' ( ) και η μονοτονια της Κ' ( ) φαινονται στον επομενο πινακα: Ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος για χ=.

39 Α λ λ ι ω ς Απ την () ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος αν γινει μεγιστη η ποσοτητα Οι αριθμοι χ ( ) (κ, ω σταθερα) χ, Α -χ εχουν σταθερο αθροισμα, οποτε το γινομενο τους γινεται μεγιστο οταν αυτοι ειναι ισοι (δες αποδειξη παρακατω) Ετσι Α χ = Α -χ `χ = Α `χ=± Θ ε μ α τ α κ ι Για τους πραγματικους αριθμους x, y ισχυει x+y=α, α. Ποια σχεση συνδεει τους x, y ωστε το γινομενο τους να ειναι το μεγιστο. Αποδειξη x+y= α`y= α-x Tο προσημο της Ρ' ( ) και η μονοτονια της P(x)= χ y= x (α-x)= αx-x Ρ φαινονται στον επομενο πινακα: P'(x)=(αx- x )' α P'(x)= `χ= α P'(x)> `χ< α P'(x)< `χ> x με Το γινομενο παρουσιαζει μεγιστο για Αρα αν x=y το γινομενο γινεται μεγιστο. α χ= και y= a-x`y= a- `y= β) Η () για χ=± Α γινεται 4 Α Α Α Α Α κ ω Α K'(χ) = κ ω ± = κ ω = κ ω = max Α - ± Α - 4 Παρατηρηση: Στην εκφωνηση θα μπορουσαμε να δωσουμε x(t)= A ημωt, Α,ω και t και να ζητουμε υπολοιπα. υ(χ)=±ω Α -χ (αλλαγη μεταβλητης) και στη συνεχεια τα

40 Σωμα εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση (χωρις αρχικη φαση) με δοσμενα x(t)= A ημωt υ(t)= A ω συνωt οπου, υ: ταχυτητα, χ: απομακρυνση και Α: μεγιστη απομακρυνση. Να βρειτε α) για ποιο t ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος β) ποια ειναι η μεγιστη τιμη του ρυθμου μεταβολης της κινητικης ενεργειας. Λυση α) Για το ρυθμο μεταβολης της κινητικης ενεργειας εχουμε: απο δοσμενα K'(t)= ΣF υ=-κ χ υ = -κ Α ημωt A ω συνωt=-κ ω A ημωt συνωt` K'(t)=- κ ω A ημωt () K''(t)= - κ ω A ημωt ' =-κ ω A συνωt λπ π t= + ω 4ω K''(t)= συνωt= ή. λ λπ 3π t= + ω 4ω Tο προσημο της Κ'' (t) και η μονοτονια της Κ' (t) φαινονται στον επομενο πινακα: Ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος για 4λπ 3π t= 4.

41 β) 4λπ 3π Η () για t= γινεται 4 4λπ+ 3π +π 4ω K'(t)=- κ ω A ημ ω =- κ ω A ημ λπ+ = =- κ ω A (-)= κ ω A Α λ λ ι ω ς Απ την () ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας γινεται μεγιστος αν γινει μεγιστo το ημωt (κ, ω, Δηλαδη σταθερα) 3π λπ 3π 4λπ+ 3π ημωt =- ωt = λπ + t = + t = ω 4ω 4ω με τιμη K'(t) =- κ A ( ) κ A

42 α) Ο τυπος που δινει την ολικη αντισταση R δυο αντιστασεων R, R που συνδεονται παραλληλα, ειναι = + R R R Αν οι δυο αντιστασεις εχουν σταθερο αθροισμα Ω, πως πρεπει να επιλεγουν ωστε να εχουμε τη μεγιστη δυνατη ολικη αντισταση R; β) Για τους πραγματικους αριθμους x, y ισχυει x+y=α, α. Ποια σχεση συνδεει τους x, y ωστε το γινομενο τους να ειναι το μεγιστο. γ) Τι πρεπει να ισχυει, ωστε οι δυο παραπανω περιπτωσεις να εκφραζουν την ιδια περιπτωση; Λυση α) Ειναι R R = + R= R (- R ) R R R R R + R R= R= R - R +R = R = -R Θεωρουμε τη συναρτηση x f'(x)= `- = `x= x f'(x)> `- > `x< x f'(x)< `- < `x> x f(x)= x, < x< με x f'(x)= Tο προσημο της f' ( ) και η μονοτονια της f φαινονται στον παρακατω πινακα" απ'τον οποιο προκυπτει οτι εχουμε μεγιστο για x==y β)

43 Ειναι x+y= α`y= α-x P(x)= χ y= x (α-x)= αx-x P'(x)=(αx- x )' x με α α α P'(x)= `χ=, P'(x)> `χ<, P'(x)< `χ> Tο προσημο της Ρ' ( ) και η μονοτονια της Ρ φαινονται στον παρακατω πινακα: Το γινομενο παρουσιαζει μεγιστο για Αρα αν x=y το γινομενο γινεται μεγιστο. α χ= και y= α-x`y= α- `y= γ) Αν R +R = = α τοτε (α) και (β) ειναι ιδια περιπτωση γιατι: R +R = x+y με R = R = x= y= R R R +R = R= = R R = = = x y R +R 4 Αρα πρεπει το αθροισμα των δυο αντιστασεων οπως και το αθροισμα των x,y να ειναι ισο με.

44 Σε κυλινδρο που βρισκεται πανω σε δοκο ασκειται δυναμη F. Οι συναμεις που ασκουνται στον κυλινδρο φαινονται στο σχημα. Δεδομενου οτι η συνισταμενη ροπη ως προς αξονα ειναι ιση με το γινομενο της συνισταμενης δυναμης επι την αποσταση της απο τον αξονα περιστροφης, να αποδειξετε οτι ο λογος του ρυθμου μεταβολης της στροφορμης, ως προς τον αξονα που διερχεται απ το σημειο επαφης Α, προς το ρυθμο μεταβολης της στροφορμης, ως προς τον αξονα που διερχεται απο το κεντρο Ο, ισουται με F οπου Τ: η δυναμη της τριβης, w: το βαρος του κυ- T λινδρου και Ν: η αντιδραση απο τη δοκο. Λυση Ο ρυθμος μεταβολης της στροφορμης L ως προς αξονα, ισουται με τη ροπη τ της συνισταμενης δυναμης. Ακομη, οι δυναμεις που η διευθυνση τους διερχεται απο τον αξονα, δεν εχουν ροπη (η αποσταση τους l απ'τον αξονα ειναι και τ= ΣF l= ΣF = ) Eτσι Για τον αξονα που διερχεται απ το σημειο Α: Οι δυναμεις Ν, w, T δεν εχουν ροπη (οι φορεις τους διερχονται απ το Α), οποτε η μοναδικη δυναμη που εχει ροπη ειναι η δυναμη F. Συνεπως L'(t) = τ = F R () A A R: η ακτινα του κυλινδρου Για τον αξονα που διερχεται απ το σημειο Ο: Οι δυναμεις Ν, w, F δεν εχουν ροπη (οι φορεις τους διερχονται απ το O), οποτε η μοναδικη δυναμη που εχει ροπη ειναι η δυναμη τριβης Τ. Συνεπως L'(t) = τ = T R () O O R: η ακτινα του κυλινδρου Αρα, απο (), () L'(t) τ A A F R = = = F L'(t) τ T R T O O

45 Ο ενισχυτης με αντισταση εξοδου r τροφοδοτει με σταθερο ρευμα το ηχειο μεταβλητης αντιστασης R με αποτελεσμα για ελαχιστη τιμη της R να εχουμε μεγιστη ισχυ πανω σ'αυτην. α) Να βρειτε τη μεγιστη ισχυ πανω στην R β) Ποια ειναι η τιμη της R, ωστε να εχουμε τη μεγιστη ι- σχυ πανω σ' αυτην. Δινεται: Ε=i(R+r), P=i R Λυση α,β) Ειναι E R +r P= R P= i= E E R P= i R Θεωρουμε τη συναρτηση E R P(R)=, R> R +r +Rr R+r R +r +Rr παραγωγισιμη με E R +r +R r -E R R+r P'(R)= = R +r +R r = E R +E r +E R r -E R -E R r E r -R = R +r +Rr R +r +Rr και οι ριζες και το προσημο της εξαρτωνται απο τη ποσοτητα = r R. Tο προσημο της P' (R) και η μονοτονια της Ρ φαινονται στον παρακατω πινακα (προσημο τριωνυμου):

46 Δηλαδη η ισχυς γινεται μεγιστη, οταν R=r με τιμη E r E r P = = max r +r +r r 4r E = 4r Α λ λ ι ω ς α) Ειναι E i= E E R +r P R P R P R +P r +P R r= E R R+r R +r Rr P= i R P R + P r-e R+P r = () Η () (δευτεροβαθμια εξισωση ως προς R) για να εχει πραγματικη τιμη για την ισχυ πανω στην R, πρεπει να εχει τουλαχιστον μια ριζα. Ετσι 4 Δ ` P r-e -4P P r ` 4P r +E -4P r E -4P r E 4 ` E -4P r E ` P 4 r Αρα η μεγιστη τιμη της ισχυος ειναι P max E 4r β) Για E P η () δινει: 4r E 4r E E E R + r-e R+ r = ` R + R r-4 R r+r = ` 4r 4r 4r 4r R - R r+r = ` R-r = ` R-r= `R= r E Ηθικο διδαγμα: Για να εχουμε μεγιστη ισχυ σε ενα ηχειο, πρεπει η αντισταση εξοδου του ενισχυτη να ειναι ιση με την αντισταση εισοδου του ηχειου.

47 Σωμα μαζας m= Kg αφηνεται να πεσει στο εδαφος απο υψος h. Να βρεθει τη χρονικη στιγμη,4 s : α) Η στιγμιαια ισχύς Ρστιγμ του βαρους του σωματος β) Ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας. Λυση α) Τη χρονικη στιγμη t ειναι Ρ(t)= W '(t)=-u'(t)=-(-m g h(t))' = m g h'(t)= m g υ(t) () B και υ(t)= g t () Απο () και () εχουμε Ρ(t)= m g g t= m g t Οποτε τη χρονικη στιγμη t=,4 s η ισχυς ειναι Ρ(,4)=,4= 8 W β) Ειναι: t K'( )=( m υ (t))' = m (υ (t))' = m υ(t) υ'(t)= m υ(t) g(t)= F υ(t) = Ρ(t) συνθετη Οποτε τη χρονικη στιγμη t=,4 s ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης ενεργειας ειναι K '(,4)= P(,4)= 8 J/ s

48 κερκυρα 7