Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας"

Όλυμπος Κασιδιάρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1α 1β 2 3 Σύνολο Κ Ε

2 ΑΜ: Σελ. 2 από 6 Θέμα 1α [1 μονάδα]. Έστω ϕ και ψ τύποι προτασιακού λογισμού. Ποιος ή ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Αν (ϕ ψ) ταυτολογία τότε ϕ είτε ψ ταυτολογία. (II) Αν (ϕ ψ) ταυτολογία τότε ϕ και ψ ταυτολογίες. (III) Αν (ϕ ψ) και ϕ ταυτολογίες τότε ψ ταυτολογία. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ο ισχυρισμός (Ι) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (2) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙ) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (3) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙI) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (4) Αληθεύει ο ισχυρισμός (ΙII) ενώ δεν αληθεύουν οι άλλοι δύο. (5) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (Ι) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (6) Αληθεύουν οι ισχυρισμοί (ΙI) και (ΙΙI) ενώ δεν αληθεύει ο άλλος. (7) Ουδείς αληθεύει. (8) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό είναι το (6).

3 ΑΜ: Σελ. 3 από 6 Θέμα 1β [3 μονάδες]. Έστω Σ σύνολο τύπων της προτασιακής λογικής (ενδεχομένως άπειρο) τέτοιο ώστε δεν υπάρχουν πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ώστε ο τύπος (σ 1 σ n ) να είναι αντιλογία (δηλαδή να διαψεύδεται από κάθε απονομή αληθοτιμών). Έστω επίσης σ τύπος τέτοιος ώστε υπάρχουν πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ώστε ο τύπος (σ 1 σ n σ) να είναι αντιλογία. Αποδείξτε σύντομα και με ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή των συμβόλων και των γραμμάτων και χωρίς χρήση του Θεωρήματος Συμπάγειας ότι δεν υπάρχουν πεπερασμένα σε πλήθος σ 1,..., σ n Σ ώστε ο τύπος (σ 1 σ n ( σ)) να είναι αντιλογία. (Στη διόρθωση θα δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στη σωστή μαθηματική έκφραση και τη σωστή επιλογή συμβολισμού.) Απάντηση: Έστω, προς άτοπο, ότι για κάποιο φυσικό αριθμό m υπάρχουν τ 1,..., τ m Σ τέτοια ώστε ο τύπος (τ τ m ( σ)) να είναι αντιλογία. Από την υπόθεση, ο τύπος (σ 1 σ n τ 1 τ m ) είναι ικανοποιήσιμος, έστω από την απονομή αληθοτιμών a. Η απονομή a δεν είναι δυνατόν να ικανοποιεί τον σ διότι τότε ο τύπος (σ 1 σ n σ) δεν θα ήταν αντιλογία. Επομένως η απονομή a ικανοποιεί τον ( σ). Τότε όμως η a θα ικανοποιούσε τον (τ τ m ( σ)), άτοπο.

4 ΑΜ: Σελ. 4 από 6 Θέμα 2 [3 μονάδες]. Θεωρούμε την πρωτοβάθμια γλώσσα L θα της Θεωρίας Αριθμών (με σύμβολο ισότητας) της οποίας τα μη λογικά σύμβολα είναι: ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο <, δύο διθέσια σύμβολα συναρτήσεων + και, ένα μονοθέσιο συναρτησιακό σύμβολο S και ένα μονοθέσιο σύμβολο σταθεράς 0. Έστω ακόμη N = N, < N, + N, N, S N, 0 N δομή για την L θα, όπου N είναι το σύνολο των φυσικών, S N είναι η συνάρτηση του «επόμενου» και οι ερμηνείες των υπόλοιπων συμβόλων είναι οι τυπικές. Να γράψετε πρόταση ϕ στην L θα της οποίας η ερμηνεία στην N να βεβαιώνει ότι υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί. Nα περιγράψετε τη ϕ με δομημένο τρόπο, δηλαδή να δώσετε πρώτα μερικότερους τύπους από τους οποίους να συνθέσετε τη ϕ. Για τους μερικότερους τύπους να εξηγήσετε, με δυο λόγια, τι σημαίνει η ερμηνεία τους στη N. Δυσνόητες ή περίπλοκες ή δυσανάγνωστες λύσεις δεν θα γίνουν δεκτές. Μπορείτε, για λόγους οικονομίας, να μην ξεχωρίσετε τη γραφή ενός συμβόλου από τη γραφή της ερμηνείας του. Μη μουντζουρώνετε. Απάντηση: Ό τύπος ϕ 1 (S0 < v) x y ((v = xy) (x = S0 y = S0)) ερμηνεύεται ως «ο v είναι πρώτος». Ο ζητούμενος τύπος είναι ο: z v(z < v ϕ 1 ).

5 ΑΜ: Σελ. 5 από 6 Θέμα 3 [4 μονάδες]. Θεωρούμε πρωτοβάθμια γλώσσα L με ισότητα και με μόνο μη λογικό σύμβολο ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο <. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σύνολο προτάσεων Σ στην L ώστε για κάθε δομή A = A, < A όπου η < A είναι σχέση γνήσιας διάταξης, οι προτάσεις του Σ ικανοποιούνται στην A αν και μόνο αν δεν υπάρχει άπειρη γνησίως αύξουσα ακολουθία στο A ως προς τη διάταξη < A. Υπόδειξη: Προσθέστε στη γλώσσα L αριθμήσιμο νέο πλήθος σταθερών c i, i = 1,... και στη νέα γλώσσα θεωρήστε το σύνολο των προτάσεων T = Σ {c i < c i+1 i = 1,...}, όπου τα αξιώματα της γνήσιας διάταξης (σχέση μεταβατική και αναυτοπαθής). Απάντηση: Έστω, προς άτοπο, ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο Σ. Σύμφωνα με την υπόδειξη, προσθέτουμε στη γλώσσα L αριθμήσιμο νέο πλήθος σταθερών c i, i = 1,... και στη νέα γλώσσα θεωρούμε το σύνολο των προτάσεων T = Σ {c i < c i+1 i = 1,...}, όπου τα αξιώματα της γνήσιας διάταξης (σχέση μεταβατική και αναυτοπαθής). Θα αποδείξουμε πρώτα ότι το T είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο, δηλαδή κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι ικανοποιήσιμο. Πράγματι, θεωρούμε πεπερασμένο S T. Τότε υπάρχει φυσικός k 1 έτσι ώστε S Σ {c i < c i+1 i = 1,..., k}. Θεωρούμε σύνολο X = {x 1,..., x k } με k στοιχεία. To σύνολο S είναι ικανοποιήσιμο από τη δομή X = X, < X, c 1 X, c 2 X,..., c k X, όπου τα c i X = x i, i = 1,..., k και η < X είναι τέτοια ώστε x 1 < X x 2 < X... < X x k (σε αυτήν την ερμηνεία δεν υπάρχει άπειρη γνησίως αύξουσα ακολουθία αφού το σύμπαν X είναι πεπερασμένο). Επομένως από το Θεώρημα Συμπάγειας, υπάρχει ερμηνεία A για το T. Στο σύμπαν αυτής της ερμηνείας όμως υπάρχει άπειρη γνησίως αύξουσα ακολουθία, η c 1 A, c 2 A,..., ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούνται οι προτάσεις του Σ, άτοπο.

6 ΑΜ: Σελ. 6 από 6 Πρόσθετος χώρος για λύση του Θέματος 3.

Σχετικά έγγραφα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις