ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)"

Transcript

1 ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

2 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία (μ.ο.: 8.10!). Θετικά: 10 άριστες [9.0, 10], 13 πολύ καλές [7.6, 8.9] εργασίες. 29(+2) εργασίες σε σύνολο 30 φοιτητών με υποχρέωση εργασιών! Διάθεση για κατανόηση και προσπάθεια για αναλυτική αιτιολόγηση. Βοηθά να αποφύγετε τα λάθη! Αρκετές εργασίες έδειχναν μεγάλη προσπάθεια και επένδυση χρόνου. Τι μπορεί να βελτιωθεί: Όχι αναπάντητα ερωτήματα (π.χ. 4.δ)! Μεγαλύτερη προσοχή στην κατανόηση του ζητούμενου. Μην μείνετε στην βαθμολογία! Τα περισσότερα ερωτήματα ήταν εύκολα! Η βαθμολόγηση ήταν μάλλον (αλλά όχι πολύ) επιεικής. «Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 2

3 Ερώτημα 1.β Μοιράζουμε 8 μήλα και 14 πορτοκάλια σε 5 παιδιά. #τρόπων αν: Κάθε παιδί παίρνει 1 μήλο και 2 πορτοκάλια. Z = C(5+3-1, 3) x C(5+4-1, 4) = C(7,3) x C(8,4) Κάθε παιδί παίρνει 1 μήλο ή 2 πορτοκάλια. Κάθε παιδί παίρνει 1 μήλο (και οσαδήποτε πορτοκάλια): X = C(5+3-1, 3) x C(5+14-1, 14) = C(7,3) x C(18,14) Κάθε παιδί παίρνει 2 πορτοκάλια (και οσαδήποτε μήλα): Υ = C(5+8-1, 8) x C(5+4-1, 4) = C(12,8) x C(8,4) Τελικό ζητούμενο: Χ Υ = Χ + Υ Χ Υ = X + Y Z ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 3

4 Ερώτημα 2.δ 10 φοιτητές επιλέγουν τυχαία ένα μάθημα από 30 διαθέσιμα. Πιθανότητα τουλάχιστον δύο φοιτητές να επιλέξουν ίδιο μάθημα; Όλες οι διαφορετικές επιλογές: Επιλογές όπου όλοι οι φοιτητές διαφορετικό μάθημα: P(30, 10) Πιθανότητα όλοι οι φοιτητές διαφορετικό μάθημα: P(30, 10) / Πιθανότητα τουλάχιστον δύο φοιτητές να επιλέξουν ίδιο μάθημα: 1 (P(30, 10) / ) = (30 10 P(30, 10)) / ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 4

5 Ερώτημα 3.γ Έχουμε n διαφορετικές θέσεις σε φάκελο και 4 είδη γραμ/σήμων (5λ, 10λ, 20λ, 50λ) σε απεριόριστη ποσότητα. ΓΣ και όρος για #τρόπων να επιλέξουμε 1 γραμματόσημο για κάθε θέση αν πρέπει 1 γραμματόσημο από κάθε είδος. Εκθετική ΓΣ: n διακεκριμένα αντικείμενα (θέσεις) σε 4 διακεκριμένες υποδοχές (είδη γραμματοσήμων) χωρίς να έχει σημασία η σειρά. Οσυντελεστήςx n /n! δίνει το ζητούμενο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 5

6 Ερώτημα 3.γ Έχουμε n διαφορετικές θέσεις σε φάκελο και 4 είδη γραμ/σήμων (5λ, 10λ, 20λ, 50λ) σε απεριόριστη ποσότητα. ΓΣ και όρος για #τρόπων να επιλέξουμε 1 γραμματόσημο για κάθε θέση αν πρέπει συνολική αξία των γραμματοσήμων ίση με k λεπτά. Συνήθης ΓΣ: k ίδια αντικείμενα (αξία σε λεπτά) σε n διακεκριμένες υποδοχές (θέσεις) όπου κάθε θέση προσφέρει αξία 5 ή 10 ή 20 ή 50. Οσυντελεστήςx k δίνει το ζητούμενο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 6

7 Ερώτημα 4.β και4.γ Σε κάθε γύρο, δημιουργούμε ένα κόκκινο τρίγωνο για κάθε πράσινο τρίγωνο. Αναδρομικές σχέσεις για πλήθος g(n) πράσινων και πλήθος r(n) κόκκινων τριγώνων στον n-οστό γύρο. Κάθε πράσινο τρίγωνο στον γύρο n 1 αντικαθίσταται από 3 πράσινα τρίγωνα στον γύρο n. Άρα g(n) = 3g(n 1), με g(0)=1. Λύνοντας έχουμε: g(n)=3 n Στον γύρο n έχουμε όλα r(n 1) κόκκινα τρίγ. γύρου n 1 και ένα νέο κόκκινο τρίγ. για κάθε πράσινο στον γύρο n 1, άρα g(n 1) ακόμη. Τελικά r(n) = r(n 1) + g(n 1) = r(n 1) + 3 n 1, με r(0)=0. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 7

8 Μαθηματική Λογική Προτασιακή Λογική: 2 η ΟΣΣ, 2 η Εργασία (21.12), online quiz! Κατηγορηματική Λογική: 3 η ΟΣΣ, 3 η Εργασία (14.1, 2.1, ) 30% 35% στις εξετάσεις «βαρόμετρο» επιτυχίας! Αντικείμενο: θεμελίωση των μαθηματικών. Πότε μια πρόταση ισχύει / μια απόδειξη είναι σωστή; Σημασιολογικά: συμπέρασμα έπεται αναγκαία από υποθέσεις. Ενδιαφέρει, δεν ελέγχεται αποδοτικά με μηχανιστικό τρόπο. Συντακτικά: όταν στην αποδεικτική διαδικασία εφαρμόζουμε σωστά συγκεκριμένους κανόνες (συντακτικής φύσης). Διατύπωση με νοημοσύνη «μηχανιστικός» έλεγχος. Ζητούμενο ισοδυναμία: σωστές «συντακτικά» αποδείξεις θεμελιώνουν (όλες και μόνο αυτές) «σημασιολογικά» σωστές προτάσεις. Εγκυρότητα Πληρότητα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 8

9 Μαθηματική Λογική Μερικά ενδιαφέροντα βιβλία: Δοξιάδης, Παπαδημητρίου. Logicomix. Δοξιάδης. Θείος Πέτρος και Εικασία του Γκόλντμπαχ. Δομή κεφαλαίου ατζέντα: Γλώσσα Προτασιακής Λογικής: πλαίσιο διατύπωσης επιχειρημάτων. (Μαθηματική επαγωγή). Σημασιολογική προσέγγιση: πίνακες αλήθειας, ιδιότητες λογικών συνδέσμων, ταυτολογία, ταυτολογική συνεπαγωγή. Συντακτική προσέγγιση: αξιώματα, modus ponens, συντακτική αντικατάσταση (τυπικά) θεωρήματα. Ισοδυναμία προσεγγίσεων: εγκυρότητα πληρότητα. Εγκυρότητα: τυπικά αποδείξιμο σημασιολογικά σωστό. Πληρότητα: σημασιολογικά σωστό αποδείξιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 9

10 Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική) πρόταση: δήλωση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής (όχι και τα δύο). Το όνομά μου είναι Δημήτρης. Χθες είχε λιακάδα στην Αθήνα. Ο Σεφέρης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας. Ο Καζαντζάκης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας. Άλλα όχι: Τι ώρα είναι; Κάνετε ησυχία παρακαλώ. Σχεδόν κάθε μέρα βρέχει (χωρίς το σχεδόν;) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 10

11 Μαθηματικές Προτάσεις Προτάσεις συνδυάζονται λογικά: Αν χιονίσει, θα πάω για σκι ή θα παίξω χιονοπόλεμο. Ο Δ είναι καλός ή ο Δ δεν είναι καλός. Θα διαβάζω τα μαθήματά μου στις 17:00 και θα παίζω μπάσκετ στις 17:00. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 11

12 Γλώσσα Προτασιακής Λογικής Στοιχειώδεις προτάσεις: προτασιακές μεταβλητές p, q, r. Βασικά δομικά στοιχεία. Διακριτές τιμές Α ή Ψ (1 ή 0). Συνδυασμός προτάσεων με (λογικούς) συνδέσμους:,,,,,. Προτασιακός τύπος: (Βάση:) Είτε προτασιακή μεταβλητή p, q, r, (Βήμα:) Είτε ( φ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), όπου φ, ψ ήδη σχηματισμένοι προτασιακοί τύποι. Επαγωγικός (ή αναδρομικός) ορισμός: Δομή αναπαρίσταται με (μοναδικό) δενδροδιάγραμμα που εξηγεί πως π.τ. προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού (Θ2.3 μοναδική αναγν.). Ιδιότητες με μαθηματική επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 12

13 Μαθηματική Επαγωγή Αποδεικνύουμε ότι «Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n n 0». Δομική επαγωγή: όλα τα στοιχεία (αριθμήσιμα) άπειρου συνόλου που ορίζεται επαγωγικά (αναδρομικά) έχουν ιδιότητα Ρ. Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής Έστω P(n) μια πρόταση που εξαρτάται από φυσικό αριθμό n. Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n n 0, αρκεί νδο: Βάση: το Ρ(n 0 ) αληθεύει. Βήμα: για κάθε n n 0, αν Ρ(n) αληθεύει, τότε P(n+1) αληθεύει. Αρχή Ισχυρής Μαθηματικής Επαγωγής Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε n n 0, αρκεί νδο: Βάση: το Ρ(n 0 ) αληθεύει. Βήμα: για κάθε n n 0, αν P(k) αληθεύει για κάθε k {n 0,, n}, τότε P(n+1) αληθεύει. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 13

14 Παράδειγμα: Διαιρετότητα Να δείξετε ότι για κάθε n 1, το n 3 +2n διαιρείται από το 3. Βάση: Αληθεύει για n = 1: Το 3 διαιρείται από το 3. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετα επιλεγμένο) n 1, το n 3 + 2n διαιρείται από το 3. Επαγωγικό βήμα: Θδο το (n+1) 3 + 2(n+1) διαιρείται από το 3. Πράγματι, όπουκαιοιδύοόροιδιαιρούνταιαπότο3 (ο 1 ος λόγω της επαγωγικής υπόθεσης). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 14

15 Ερώτημα 4.α, 1 η Εργ ΝδοσεκάθεσύνολοS = {α 1,, α n } με n 1 αριθμούς τ.ω. 0 < α 1 < < α n και 2α i α i+1, για κάθε i, ισχύει ότι: (Ιδ1) άθρ(s) < 2α n. Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α 1 } και 0 < α 1 < 2α 1. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n 1, κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ1. Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S, S = n+1 έχει Ιδ1. Έστω S = {α 1,, α n, α n+1 }. Απόδειξη Ιδ1: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 15

16 Ερώτημα 4.α, 1 η Εργ ΝδοσεκάθεσύνολοS = {α 1,, α n } με n 1 αριθμούς τ.ω. 0 < α 1 < < α n και 2α i α i+1, για κάθε i, ισχύει ότι: (Ιδ2) Α, Β S, με A B, άθρ(α) άθρ(b). Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α 1 }. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n 1, κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ2. Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S με n+1 στοιχεία έχει Ιδ2. Έστω S = {α 1,, α n, α n+1 }, και A, Β S, με A B. Αν Α και Β δεν περιέχουν α n+1, άθρ(α) άθρ(b), από επαγ. υπόθ. Αν Α και Β περιέχουν α n+1, άθρ(α) άθρ(b), από επαγ. υπόθ., γιατί άθρ(α {α n+1 }) άθρ(b {α n+1 }). Αν Α περιέχει α n+1, και Β δεν περιέχει α n+1, άθρ(α) άθρ(b) γιατί άθρ(α) α n+1 2α n > α 1 + +α n άθρ(b), λόγω Ιδ1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 16

17 Παράδειγμα Έστω Τ σύνολο π.τ. που είναι: (Βάση:) είτε προτασιακές μεταβλητές, (Βήμα:) είτε της μορφής φ ψ, όπου φ, ψ π.τ. του Τ. Νδ (με μαθ. επαγωγή) ότι το Τ δεν περιέχει ταυτολογίες. Βάση: προτασιακή μεταβλητή p δεν είναι ταυτολογία. Επαγ. υπόθεση: έστω φ, ψ Τ που δεν είναι ταυτολογίες. Επαγ. βήμα: θεωρούμε χ φ ψ. Θδο χ δεν είναι ταυτολογία. φ όχι ταυτολογία: υπάρχει αποτίμηση α που δεν ικανοποιεί φ. Αποτίμηση α δεν ικανοποιεί χ φ ψ. Άρα ο χ δεν είναι ταυτολογία. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 17

18 Ερωτ. 1.α, 2 η Εργ Έστω Τ 1 σύνολο όλων π.τ. χωρίς άρνηση. Δηλ. στοιχεία Τ 1 είναι: (Βάση:) είτε μία προτασιακή μεταβλητή (π.χ. p), (Βήμα:) είτε της μορφής φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, όπου φ, ψ ήδη κατασκευασμένοι π.τ. του Τ 1. Θδ (με μαθ. επαγωγή) ότι κάθε π.τ. στο Τ 1 ικανοποιείται από αποτίμηση α Α που θέτει όλες τις προτ. μεταβλητές Α. Βάση: προτασιακή μεταβλητή p ικανοποιείται από α Α. Επαγ. υπόθεση: έστω ότι π.τ. φ, ψ Τ 1 που ικανοποιούνται από α Α. Επαγ. βήμα: από πίνακες αλήθειας λογικών συνδέσμων και επαγ. υπόθεση, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ ικανοποιούνται από α Α. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 18

19 Επαγωγή: Δείτε Ακόμη Παραδείγματα Δημητρακόπουλου: Παράδ. 2.1, Ασκ.Αυτοαξ. 2.1, Λήμμα 2.1. Σημειώσεις για Μαθηματική Επαγωγή (Δομική Επαγωγή). Άλλα παραδείγματα: Ερ. 5, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3 και Ερ 4.β, 2 η εργ , Ερ. 3.β, 2 η εργ , Ερ. 2.α, επαναλ. εξ. 11, Ερ. 2.α και3.β, 2 η εργ , Ερ. 2.α και4.γ, 2 η εργ , Ερ. 1, 2 η εργ.13-14, Ερ. 1.β, 2 η εργ , Ερ. 2, 2 η εργ Ασκήσεις επαγωγής πολύ συχνά θέμα εξετάσεων είτε στην Λογική είτε στα Γραφήματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 19

20 Δενδροδιαγράμματα Η δομή ενός προτασιακού τύπου μπορεί να απεικονιστεί με τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος. Παράδειγμα: Οπροτασιακόςτύπος (p q) (r s) μπορεί να παρασταθεί με το δενδροδιάγραμμα: p q p q r s (p q) r s (p q) (r s) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 20

21 Σημασιολογική Προσέγγιση Αποτίμηση: ανάθεση τιμών αλήθειας στις μεταβλητές ενός π.τ. Από τιμές αλήθειας μεταβλητών, δενδροδιάγραμμα, και πίνακες αλήθειας λογικών συνδέσμων, υπολογίζουμε τιμή αλήθειας π.τ. Λογικοί σύνδεσμοι ορίζονται με πίνακες αλήθειας. p q p p q p q p q p q p q Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 21

22 Λογική Συνεπαγωγή Αν αληθεύει το p, τότε αληθεύει το q : p q. p q p q ( p q) Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 22

23 Σημασιολογική Προσέγγιση Αποτίμηση της τιμής αληθείας ενός τύπου εφαρμόζεται σταδιακά στο δενδροδιάγραμμα: Ξεκινάμε από προτασιακές μεταβλητές Προχωράμε στο επόμενο επίπεδο με πίνακα αληθείας. Παράδειγμα. Έστω α(p) = α(s) = Α και α(q) = α(r) = Ψ. Για (p q) (r s) έχουμε: Α p Ψ p q Α Ψ q (p q) Ψ r Α r s Α s (p q) (r s) Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 23

24 Σημασιολογική Προσέγγιση Ταυτολογική ισοδυναμία φ ψ Για κάθε αποτίμηση, φ και ψ έχουν ίδια τιμή αλήθειας. Απόδειξη είτε με πίνακα αλήθειας είτε με ιδιότητες λογικών συνδέσμων. Π.χ. Πίνακες αλήθειας: Πόσες διαφορετικές γραμμές / αποτιμήσεις έχει ένας πίνακας αλήθειας με n προτασιακές μεταβλητές; Πόσοι διαφορετικοί (δηλ. όχι ταυτολογικά ισοδύναμοι) προτασιακοί τύποι μπορούν να οριστούν με n μεταβλητές; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 24

25 Σημασιολογική Προσέγγιση Ταυτολογία φ: φ πάντα Α (για κάθε αποτίμηση). φ αντίφαση ανν φ ταυτολογία. Π.χ., p p ταυτολογία, p p αντίφαση. Έστω φ(p 1,, p n ) και ψ(q 1,, q m ) τύποι που ορίζονται σε διαφορετικά σύνολα προτασιακών μεταβλητών. Νδο φ ψ ταυτολογία ανν φ ταυτολογία ή ψ ταυτολογία. Ούτε φ ταυτολογία ούτε ψ ταυτολογία: αποτίμηση των p 1,, p n που δεν ικανοποιεί τον φ και αποτίμηση των q 1,, q n που δεν ικανοποιεί τον ψ δίνει αποτίμηση που δεν ικανοποιεί τον φ ψ. Ικανοποιήσιμος φ: φ δεν είναι αντίφαση. Τ = {φ 1,..., φ k } ικανοποιήσιμο: φ 1... φ k ικανοποιήσιμος. Υπάρχει αποτίμηση που ικανοποιεί (ταυτόχρονα) όλους τους τύπους του Τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 25

26 Παραδείγματα Νδο ταυτολογία. Αν p = Α, τότε Α (αληθές συμπέρασμα). Αν p = Ψ, τότε Α (ψευδής υπόθεση). Νδο ταυτολογία. p q p q (p q) p ((p q) p) p Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α A Ψ Α Ψ Ψ A Ψ Α Κάθε π.τ. με ίδια συντακτική μορφή φ (φ ψ) ψ (για κάθε φ, ψ) είναι ταυτολογία! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 26

27 Παραδείγματα Νδο ικανοποιήσιμος, όχι ταυτολογία. Ικανοποιήσιμος φ: π.χ. p = q = r = Αήp = q = Ακαιr = Ψ. Όχι ταυτολογία φ: r = Ψκαιείτεp = A, q = Ψείτεp = ψ, q = Α. p q r p q p q (p q) r (p q) r φ Α Α Α Α Α Α Α Α Α A Ψ Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α 27

28 Ταυτολογίες και Αντιφάσεις Ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες και ποιοι αντιφάσεις; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 28

29 Ταυτολογική Συνεπαγωγή Σύνολο π.τ. Τ συνεπάγεται ταυτολογικά π.τ. φ, Τ = φ : Κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και τον φ. (φ έπεται αναγκαία από υποθέσεις στο Τ). = φ (ή απλά = φ ) δηλώνει ότι φ ταυτολογία. Αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ = φ για κάθε π.τ. φ! Θ2.5: Τ = φ ανν Τ { φ} μη ικανοποιήσιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 29

30 Σημασιολογική Προσέγγιση Ποιές ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν: Παρατηρήσεις για ταυτολογικές συνεπαγωγές: μη ικανοποιήσιμο = οτιδήποτε οτιδήποτε = ταυτολογία ταυτολογία = μόνο ταυτολογία μόνο μη ικανοποιήσιμο = αντίφαση ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 30

31 Σημασιολογική Προσέγγιση Έστω σύνολο π.τ. Ποιέςαπότιςπαρακάτωαληθεύουν; Δείτε Ερ. 4, 2 η εργ (και μαζί Θεώρ. 2.5 ). Θεώρημα Συμπάγειας (2.6): Τ άπειρο σύνολο π.τ. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του είναι Τ ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 31

32 Σημασιολογική Προσέγγιση Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 32

33 Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (I) Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Διπλή άρνηση Αντικατάσταση συνεπαγωγής p q q p p q q p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p p p q p q ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 33

34 Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (II) Αποκλεισμός τρίτου p p Α Αντιθετοαναστροφή p q q p Εξαγωγή p q r p (q r) De Morgan (p q) p q (p q) p q Άρνηση συνεπαγωγής (p q) p q ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 34

35 Παράδειγμα Απλοποίηση προτασιακού τύπου: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 35

36 Κανονικές Μορφές Τύπος σε κανονική διαζευκτική μορφή (ΚΔΜ), αν είναι στη μορφή φ 1 φ 2 φ n όπου n 1 και κάθε φ i είναι της μορφής θ 1 θ 2 θ m, όπου m 1 και τα θ j είναι προτασιακές μεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών. Τύπος σε κανονική συζευκτική μορφή (ΚΣΜ), αν είναι στη μορφή φ 1 φ 2 φ n όπου n 1 και φ i είναι της μορφής θ 1 θ 2 θ m, όπου m 1 και τα θ j είναι προτασιακές μεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών. Αποδεικνύεται ότι: Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ* σε ΚΔΜ, τέτοιος ώστε φ φ*. Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ** σε ΚΣΜ, τέτοιος ώστε φ φ**. Η αναγωγή ενός τυχόντος τύπου φ στην ΚΔΜ ή στην ΚΣΜ του μπορεί να επιτευχθεί με κατάλληλη εφαρμογή των νόμων της ΠΛ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 36

37 Παράδειγμα (ερ. 2.2, 2 η εργ ) Ύποπτος δηλώνει: «Λέω την αλήθεια ανν είμαι ένοχος». Γνωρίζουμε ότι είτε λέει πάντα αλήθεια είτε πάντα ψέματα. Μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι ένοχος; p «λέει αλήθεια» q «είναι ένοχος» Δήλωση: p q. Πρέπει να αληθεύει ότι: p (p q) p q p q p (p q) Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 37

38 Παράδειγμα (ερ. 5, 2 η εργ ) Ο κόσμος χωρίζεται σε ευγενείς και απατεώνες. Ευγενείς: πάντα αλήθεια. Απατεώνες: πάντα ψέματα. Κάποιος δηλώνει: «Αν είμαι ευγενής, τότε η σύζυγός μου είναι ευγενής». Είναι ευγενής; Η σύζυγός του; p «άνδρας ευγενής» «άνδρας λέει αλήθεια» q «σύζυγος ευγενής» Δήλωση: p q. Πρέπει να αληθεύει ότι: p (p q) p q p q p (p q) Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 38

39 Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων Ένα σύνολο συνδέσμων C, ονομάζεται πλήρες, ανν κάθε προτασιακός τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με ένα προτασιακό τύπο που περιέχει μόνο συνδέσμους από το C. Πλήρη σύνολα συνδέσμων: {, }, {, }, {, }, {NAND}, {NOR}, p q p NAND q p NOR r Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 39

40 Παράδειγμα Νδο { } πλήρες (με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.) { } πλήρες αν για κάθε φ, υπάρχει φ * : (α) φ φ * και (β) φ * χρησιμοποιεί μόνο τον σύνδεσμο. Βάση: προτασιακή μεταβλητή p. (α) και (β) ισχύουν τετριμμένα. Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετα επιλεγμένους π.τ. ψκαιχ, υπάρχουν ψ * και χ * : (α) ψ ψ * και χ χ *, και (β) ψ * και χ * χρησιμοποιούν μόνο τον σύνδεσμό. Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ζητούμενο ισχύει όταν φ ψ, φ ψ χ, φ ψ χ, φ ψ χ, φ ψ χ. Π.χ. όταν φ ψ χ, θέτουμε: φ * (ψ * χ * ) (ψ * χ * ) (επαγ. υπόθεση) (ψ χ) (ψ χ) (αντικατάσταση ). ψ χ φ Πράγματι, (α) φ φ * και (β) φ * χρησιμοποιεί μόνο, αφού λόγω (β) επαγ. υπόθεσης, ψ * και χ * χρησιμοποιούν μόνο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 40

41 Συντακτική Προσέγγιση Προτασιακός Λογισμός Αξιωματικό Σύστημα (όχι μοναδικό): ΑΣ1: ΑΣ2: ΑΣ3: Αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens: Ξεκινώντας από αξιώματα (ή υποθέσεις), και μόνο με συντακτική αντικατάσταση και MP, αποδεικνύουμε τυπικά θεωρήματα. φ : φ είναι τυπικό θεώρημα. Τ φ : φ αποδεικνύεται τυπικά από υποθέσεις Τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 41

42 Τυπικές Αποδείξεις Γιαναπροκύψειτοζητούμενοαπότην εφαρμογή του ΜΡ, θα πρέπει να εμφανιστούν οι τύποι: ξ ξ ( χ (φ ψ)) Παράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ ψ χ (φ ψ). 1. φ ψ Υπόθεση Ώστε να «αποσπάσουμε» το συμπέρασμα χ (φ ψ) Μοναδική n. χ (φ ψ) Συμπέρασμα υπόθεση: Ποιος φ θα ψ μπορούσε να Οτύποςξ, θα πρέπει να είναι είναι ο τύπος ξ; τέτοιος που, αφενός θα Είναι μπορεί «να σταθεί από μόνοςάρα, πρέπει Ομόνοςτύποςξ, να με αυτές τις αποτέλεσμα Ανήκει στις του», αφετέρου, θα πρέπει προκύπτει από ιδιότητες είναι ο φ ψ. αντικατάστασης υποθέσεις; να δικαιολογεί την παρουσίατην εφαρμογή Ο φ ψ είναι υπόθεση σταόχι ΑΣ1-3; του τύπου του ΜΡ. (φ ψ) ( χ (φ ψ)) ΌΧΙ ξ ( χ (φ ψ)). προκύπτει από το ΑΣ1! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 42

43 Τυπικές Αποδείξεις Παράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ ψ χ (φ ψ). 1. φ ψ Υπόθεση 2. (φ ψ) ( χ (φ ψ)) ΑΣ1, όπου θέσαμε φ ψ στηθέσητουφ και χ στηθέσητουψ. 3. χ (φ ψ) 1,2 ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 43

44 Τυπικές Αποδείξεις Τυπική απόδειξη για φ φ 1. φ ((φ φ) φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ φ) 2. (φ ((φ φ) φ)) ((φ (φ φ)) (φ φ)) ΑΣ2 με (φ, φ), (ψ, φ φ), και (χ, φ) 3. (φ (φ φ)) (φ φ) 2, 1, ΜΡ 4. φ (φ φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ) 5. φ φ 3, 4, ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 44

45 Τυπικές Αποδείξεις Τυπική απόδειξη για φ ( ψ φ) ψ 1. ( ψ φ) (( ψ φ) ψ) ΑΣ3 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 2. φ ( ψ φ) ΑΣ1 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 3. φ Υπόθεση 4. ψ φ 2, 3, ΜΡ 5. ( ψ φ) ψ 1, 4, ΜΡ Ποιά από τα παρακάτω προκύπτουν άμεσα από αξιώματα; φ φ χ (χ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) ((φ ψ) φ) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 45

46 Τυπικές Αποδείξεις Είναι σωστή τυπική απόδειξη για ψ ( φ ψ) φ 1. ψ Υπόθεση 2. ψ ( φ ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 3. φ ψ 2, 1, ΜΡ 4. ( φ ψ) (( φ ψ) φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 5. ( φ ψ) φ 4, 3, ΜΡ Το βήμα 4 είναι λάθος!!! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 46

47 Τυπικές Αποδείξεις Σωστήτυπικήαπόδειξηγια ψ ( φ ψ) φ 1. ψ Υπόθεση 2. ψ ( φ ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 3. φ ψ 2, 1, ΜΡ 4. ( φ ψ) (( φ ψ) φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 5. ( φ ψ) φ 4, 3, ΜΡ Με χρήση του ψ ψ μπορούμε να αποδείξουμε και ότι ψ ( φ ψ) φ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 47

48 Συντακτική vs Σημασιολογική Προσέγγιση Σημασιολογική Προσέγγιση ταυτολογία: = φ ταυτολ. συνεπαγωγή Τ = φ ικανοποιήσιμο Τ μη ικανοποιήσιμο Τ Συντακτική Προσέγγιση τυπικό θεώρημα: φ απόδειξη με υποθέσεις Τ φ συνεπές Τ: αντιφατικό Τ: αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ = φ, για κάθε φ. αν Τ αντιφατικό, τότε Τ φ, για κάθε φ. Εγκυρότητα: Πληρότητα: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 48

49 Μεταθεωρήματα Ισχύει και ότι αν Τ φ ψ, τότε Τ {φ} ψ (αλλά χρειάζεται απόδειξη, όχι δύσκολη!). Θεώρημα Απαγωγής: Θ. Αντιθετοαναστροφής: Τυπική απόδειξη για φ φ Θ. Απαγωγής σε Άτοπο: Αν Τ {φ} αντιφατικό, Τ φ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 49

50 Παραδείγματα Για νδο (φ χ) ((φ (χ ψ)) (φ ψ)) αρκεί νδο { φ χ, φ (χ ψ), φ } ψ. 1. φ Υπόθεση 2. φ (χ ψ) Υπόθεση 3. χ ψ 2, 1, ΜΡ 4. φ χ Υπόθεση 5. χ 4, 1 ΜΡ 6. ψ 3, 5, ΜΡ Για τυπικές αποδείξεις και προτασιακό λογισμό, δείτε ακόμη: Ερ. 6, 7, και 8, 2 η Εργ , ερ. 4 και 9, 2 η Εργ , Ερ. 2 και 4( * ), 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4.1, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 3, 2 η Εργ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 50

51 Ερωτ. 4.β, 2 η Εργ Ερ. 4.β: νδο {χ ψ, φ} χ (φ ψ) Από Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο {χ ψ, φ, χ} (φ ψ) Από Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδο το {χ ψ, φ, χ, φ ψ} είναι αντιφατικό. Το {χ ψ, φ, χ, φ ψ} είναι αντιφατικό, γιατί: {χ, χ ψ, φ, φ ψ} ψ, και {χ, χ ψ, φ, φ ψ} ψ. Νδο {φ, (ψ φ)} είναι αντιφατικό. Υπόθεση φ, ΑΣ1 και MP αποδεικνύουν ψ φ. Νδο {φ ψ, φ ψ} φ Από Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδο το {φ ψ, φ ψ, φ} είναι αντιφατικό. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 51

52 Παράδειγμα Επαγωγής με Τυπική Απόδειξη Ακολουθία π.τ. ψ n : ψ 0 φ φ, και ψ n φ ψ n 1 Νδο για κάθε φυσικό n, ψ n. Βάση: Για n = 0, πράγματι φ φ (γνωστό τυπικό θεώρημα). Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετο n, ψ n. Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ψ n+1. Εξ ορισμού: ψ n+1 φ ψ n Προκύπτει ευθέως από επαγ. υπόθεση και Θ. Απαγωγής. Εναλλακτικά: 1. ψ n Τυπικό Θεώρημα (επαγ. υπόθεση) 2. ψ n (φ ψ n ) ΑΣ1 3. φ ψ n 1,2, ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 52

53 Άσκηση «Αντιφατικό» και «μη ικανοποιήσιμο» ισοδύναμες αλλά όχι ταυτόσημες έννοιες: ισοδυναμία χρειάζεται απόδειξη. Νδο σύνολο π.τ. Τ είναιαντιφατικό ανν είναι μη ικανοποιήσιμο. Τ αντιφατικό T φ για κάποια αντίφαση φ (άμεση συνέπεια ορισμού) Τ = φ για κάποια αντίφαση φ (Θ. Εγκυρότητας) Τ { φ} μη ικανοποιήσιμο (Θ. 2.5) Τμηικανοποιήσιμο( φ ταυτολογία) Τ μη ικανοποιήσιμο για κάθε π.τ. φ: Τ { φ} και Τ { φ} μη ικανοποιήσιμα για κάθε π.τ. φ: Τ = φ και Τ = φ (Θ. 2.5) για κάθε π.τ. φ: Τ φ και Τ φ (Θ. Πληρότητας) Τ αντιφατικό (εξ ορισμού) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 53

54 Άσκηση Έστω Τ ένα άπειρο σύνολο π.τ. Νδο αν Ταντιφατικό, υπάρχει πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 φγιακάθεφ. Τ αντιφατικό Τμηικανοποιήσιμο πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 μη ικανοποιήσιμο (Θ. Συμπάγειας) πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 = φ για κάθε φ (Παρ. 3, σελ. 33) πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 φ για κάθε φ (Θ. Πληρότητας) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 54

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα (μ.ο.: 7.09). Πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα