Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1

2 Γενικό Λύκειο Μεγαλόπολης Σχολικό έτος: Β Λυκείου Α Τετράμηνο ΟΜΑΔΑ Αριδάς Γιάννης Θεοδωρόπουλος Γιώργος Καΐκα Χαρά Μπαρμπαλιά Γεωργία ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ Λέφα Κατερίνα 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ.4ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5ΣΤΟΧΟΙ.6ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ.7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 - Η ΑΡΙΘΜΗΣΗ Τι σημαίνει αρίθμηση; Πότε αρχίζουμε να μετράμε; Συλλογιστικές διεργασίες της αρίθμησης Γλώσσα και αρίθμηση 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΠΑΡΧΕΣ..14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Ιστορικό πλαίσιο Κοινωνικό πλαίσιο Επιτεύγματα Μαθηματικά Σουμέριων..21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΒΑΒΥΛΩΝΙΟΙ 3

4 Ιστορικό πλαίσιο Επιτεύγματα και σύστημα αρίθμησης Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα συστήματος αρίθμησης Μαθηματικά Βαβυλώνιων Επιτεύγματα Σουμέριων Βαβυλωνίων.29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ Ιστορικό πλαίσιο Κοινωνικό πλαίσιο Τα Μαθηματικά των Αιγυπτίων Η γεωμετρία των Αιγυπτίων Μειονεκτήματα Αιγυπτίων.. 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ.37 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 42ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 43ΕΠΙΛΟΓΟΣ.44ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.45ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.46 4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε την καθηγήτρια μας Λέφα Κατερίνα για το συντονισμό και τη συνεχή βοήθεια που μας προσέφερε, τις υπεύθυνες καθηγήτριες της Βιβλιοθήκης του σχολείου μας που δεν μας στέρησαν ποτέ το κλειδί τόσο για την γνώση όσο και για την βιβλιοθήκη και όλους του συμμαθητές και συμμαθήτριες μας για την άψογη συνεργασία τους. Τέλος θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε την φίλη μας Μπελδέκα Αθανασία, φοιτήτρια του Μαθηματικού Πανεπιστημίου Πάτρας για την βοήθεια της. Σας ευχαριστούμε όλους. 5

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Καλωσορίσατε στη εργασία μας! Είμαστε ο Γιάννης, ο Γιώργος, η Γεωργία και η Χαρά μαθητές της Β ΓΕΛ Μεγαλόπολης. Στα χέρια σας κρατάτε όλους τους κόπους και τις προσπάθειες μας. Έχετε μπροστά σας την εργασία μας η οποία έγινε στα πλαίσια του μαθήματος της Ερευνητικής Εργασίας και έχει θέμα την ιστορία των Μαθηματικών. Ασχοληθήκαμε λοιπόν με την απαρχή της αρίθμησης. Ταξιδέψαμε πίσω στον χρόνο και μελετήσαμε πως άρχισαν όλα. Στο ταξίδι μας αυτό περάσαμε από την εποχή του Homo Erectus καθώς και του Homo Sapiens, του λαού των Σουμερίων και των Βαβυλώνιων και τέλος φτάσαμε μέχρι την εποχή του Αιγυπτιακού πολιτισμού. Όλη αυτή την διάρκεια ο άνθρωπος κατάφερε να κάνει πολύ σημαντικά βήματα προόδου τα οποία έβαλαν τα πρώτα θεμέλια για να φτάσουμε στο σήμερα, στο άνθρωπο της λογικής, της σκέψης και της συνεχούς εξέλιξης καθώς και των Μαθηματικών που γνωρίζουμε. Σκοπός μας με αυτήν την εργασία δεν είναι να σας ενημερώσουμε σε βάθος αλλά να σας δημιουργήσουμε ερωτήματα και να εξάψουμε την περιέργεια σας ώστε να οδηγηθείτε στο δικό σας ταξίδι αναζήτησης! 6

7 ΣΤΟΧΟΙ Τα μαθηματικά που γνωρίζουμε σήμερα ήταν πάντα τα ίδια; Η απάντηση είναι προφανώς όχι. Μέσω αυτής της εργασίας μας δόθηκε η ευκαιρία να ψάξουμε της ιστορία τους. Με την βοήθεια της καθηγήτριας μας, με το κατάλληλο ψάξιμο σε πλούσια βιβλιογραφία, με αρκετό διάβασμα και με την κατάλληλη συλλογή πληροφοριών φτάσαμε τελικά στην αρχή της μακραίωνης ιστορίας των μαθηματικών. Με το να γνωρίζει κανείς την ιστορία τους μπορεί να αντιληφθεί και να εκτιμήσει καλύτερα τόσο την σημασία όσο και το νόημα των μαθηματικών καθώς και το πόσο σημαντικός παράγοντας υπήρξε για την ανάπτυξη της κοινωνίας μας. Ετοιμαστείτε να γνωρίσετε μια από τις σπουδαιότερες ιστορίες ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7

8 Η μεθοδολογία με την οποία εργαστήκαμε είναι η εξής: Κεφάλαιο 0 8

9 ΑΡΙΘΜΗΣΗ 9

10 0.1 Τι σημαίνει αρίθμηση; Καθημερινά ερχόμαστε σε επαφή με αριθμούς και μετρήσεις. Η αρίθμηση είναι τόσο δεδομένη για εμάς που ποτέ μας δεν αναρωτηθήκαμε τι πραγματικά σημαίνει. «Αρίθμηση δεν είναι το να λέμε τις σωστές λέξεις με την σωστή σειρά αλλά να απαντήσουμε στο ερώτημα ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ;» Συνεπώς το νόημα της αρίθμησης δεν είναι η κατανόηση της ακολουθίας των αριθμών 1,2,3,4 καθώς και το πώς μπορούμε να μετράμε με αυτή. Το νόημα της αρίθμησης είναι να φτάσουμε στο σωστό πληθικό αριθμό του συνόλου που μελετάμε και επομένως να απαντήσουμε στο ερώτημα πόσα είναι. Απαντώντας στο ερώτημα αυτό ο άνθρωπος μπορεί να υπολογίσει τα ζώα του, τα υπάρχοντα του και να λύσει καθημερινά προβλήματα. όλα αυτά τα κάνει με την βοήθεια μιας χειριστικής δεξιότητας που δεν απαιτεί τη χρήση γλώσσας. Θεωρούμε την αρίθμηση ως μια απλή διαδικασία, ωστόσο υπάρχει ένας όρος πιο προσφιλής στους μαθηματικούς, η «απεικόνιση». Κάθε στοιχείο έχει μόνο μία εικόνα. Για παράδειγμα όταν μετράμε στα δάχτυλα κάθε αριθμός είναι ένα ξεχωριστό δάχτυλο. Οι μαθηματικοί το ονομάζουν αυτό αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση (συνάρτηση) και βρίσκεται στο επίκεντρο της διαδικασίας της αρίθμησης. 10

11 Αμφιμονοσήμαντη Απεικόνιση: Το να εκχωρούμε ακριβώς ένα και μόνο ένα στοιχείο ενός συνόλου Α (π.χ. των αριθμητικών λέξεων) σε κάθε στοιχείο ενός δεύτερου συνόλου Β(π.χ. των δαχτύλων) 11

12 0.2 Πότε αρχίζουμε να μετράμε; Εντυπωσιακό είναι το γεγονός ότι μόλις στην ηλικία των 2-5 ετών έχουμε κατορθώσει μέσω της αρίθμησης να μάθουμε δύο από τις πιο δύσκολες έννοιες των μαθηματικών. Να αντιλαμβανόμαστε τα πράγματα σε σύνολα και να καταλαβαίνουμε ότι κάθε σύνολο αποτελείται από ένα πλήθος στοιχείων το οποίο προσδιορίζεται από τον πληθικό αριθμό του. Μάθαμε να ανακαλύπτουμε τον σωστό πληθικό αριθμό ενός συνόλου, μια διαδικασία αρίθμησης δηλαδή. Οι δύο αυτές ικανότητες τις οποίες θεωρούμε πλέον αυτονόητες είναι στην πραγματικότητα μια εκπληκτική συλλογή δεξιοτήτων. 12

13 0.3 Συλλογιστικές διεργασίες της αρίθμησης Η αρίθμηση βασίζεται σε τρείς κύριες δραστηριότητες: 1. Προσδιορισμός συνόλου.* 2. Αγγίζουμε ή δείχνουμε διαδοχικά με το δάχτυλο μας το κάθε στοιχείο. 3. Λέμε την κατάλληλη αριθμητική λέξη. Στην πραγματικότητα η 2 η και 3 η δραστηριότητα συμβαίνουν ταυτόχρονα κα αποτελούν την διαδικασία της απεικόνισης. Όταν τελειώσουμε την αριθμητική μέτρηση, ο τελευταίος αριθμός που θα πούμε είναι ο πληθικός αριθμός που ψάχνουμε. *Για τον προσδιορισμό του συνόλου είναι απαραίτητο ο άνθρωπος να κατέχει την αφηρημένη έννοια του πλήθους στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα να μπορεί να ξεχωρίσει μια συλλογή από καρύδες, να αντιλαμβάνεται δηλαδή το κοινό τους χαρακτηριστικό. Αφού λοιπόν τις αναγνωρίσει ως σύνολο αντικειμένων, θέλει τώρα να υπολογίσει το πλήθος τους. Για να καταφέρει να πάρει την πληροφορία που χρειάζεται, δηλαδή τον πληθικό αριθμό των καρυδών θα πρέπει να ολοκληρώσει όλη την σειρά βημάτων γιατί αλλιώς μια διακοπή της διαδικασίας μπορεί να τον οδηγήσει σε ένα λανθασμένο αποτέλεσμα. Καταλαβαίνουμε λοιπόν πως ο άνθρωπος δεν σχεδιάζει απλώς να ξεκινήσει μια διαδικασία απεικόνισης αλλά σχεδιάζει από την αρχή να ολοκληρώσει τη σειρά βημάτων που θα τον οδηγήσει ως το τέλος και θα του δώσει το αποτέλεσμα που τον ενδιαφέρει. 13

14 0.4 Γλώσσα και Αρίθμηση Η γλώσσα δεν ήταν πάντα απαραίτητη για την αρίθμηση. Οι άνθρωποι που μπορούμε να πούμε πως μέτρησαν για πρώτη φορά δεν χρησιμοποίησαν λέξεις όπως το ένα, δύο, τρία αλλά την ένα προς ένα αντιστοιχία. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η μέτρηση με τα δάχτυλα που κάναμε παιδιά. Αν θέλαμε να μετρήσουμε πόσες καραμέλες έχουμε για κάθε καραμέλα σηκώναμε και ένα δάχτυλο. Στο τέλος μπορούσαμε να δείξουμε τα δάχτυλα μας στην μαμά μας και αυτή να καταλάβει τον αριθμό. Τα μαθηματικά δεν έχουν ανάγκη καμία γλώσσα, αποτελούν από μόνα τους ένα είδος καθολικής γλώσσας. 14

15 Κεφάλαιο 1 ο ΑΠΑΡΧΕΣ 15

16 Οι πρώτες αντιλήψεις που απόχτησε ο άνθρωπος για αριθμούς και σχήματα ανάγονται στα πολύ παλιά χρόνια στην Παλαιολιθική Εποχή. Εκείνη την περίοδο που διάρκεσε χιλιάδες χρόνια οι άνθρωποι ζούσαν σε σπηλιές, κάτω από συνθήκες που ελάχιστα διαφέρουν από αυτές των ζώων. Η κύρια ενεργητικότητα τους περιοριζόταν μόνο στις στοιχειώσεις διαδικασίες, τις απαραίτητες για την συλλογή τροφής από οπουδήποτε ήταν σε θέση να την βρουν. Κατασκεύασαν όπλα για κυνήγι και ψάρεμα, ανέπτυξαν μια γλώσσα για να μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους και στην ύστερη παλαιολιθική εποχή εμπλούτισαν την ζωή τους με δημιουργικές μορφές τέχνης, αγαλματίδια και ζωγραφιές. Η πρόοδος προς την κατανόηση αριθμητικών αποτιμήσεων και σχέσεων στο χώρο ήταν ελάχιστη, ως την εποχή που συντελέστηκε η μετάβαση από την απλή συλλογή τροφής στην παραγωγής της, από το κυνήγι και το ψάρεμα στην γεωργία. Από την θεμελιακή αυτή μεταβολή, την επανάσταση που μετέτρεψε την στάση του ανθρώπου από παθητική σε ενεργητική σημειώνεται η έναρξη της Νεολιθικής εποχής. Το μεγάλο αυτό γεγονός στην ιστορία του ανθρώπινου γένους έχει συμβεί πριν από δεκάδες χιλιάδες περίπου χρόνια. Τότε που λιώσανε οι πάγοι που σκέπαζαν την Ευρώπη και την Ασία και στην θέση τους εμφανίστηκαν με τον καιρό δάση και έρημοι. Σιγά-σιγά σταμάτησε η νομαδική περιπλάνηση για αναζήτηση τροφής και συντελέστηκε, σε πλατιά κλίμακα η μεταλλαγή των ψαράδων και των κυνηγών σε πρωτόγονους καλλιεργητές. Αυτοί παραμένοντας στην ίδια τοποθεσία όσο καιρό το έδαφος ήταν γόνιμο άρχισαν να χτίζουν μονιμότερες κατοικίες. Για να προστατεύονται από τις δυσμενείς καιρικές συνθήκες και από τις επιθέσεις των εχθρών τους συγκεντρώνονταν και σχημάτιζαν χωριά. Πολλοί τέτοιοι νεολιθικοί οικισμοί έχουν ανασκαφεί, και τα ευρήματα φανερώνουν πως αναπτύχθηκαν σταδιακά κάποιες στοιχειώδεις τέχνες για την κατασκευή χειροποίητων αντικειμένων όπως η αγγειοπλαστική, η ξυλουργική και η υφαντουργική. Σημαντικό ανταλλακτικό εμπόριο είχε αναπτυχθεί ανάμεσα στα χωριά και σε τέτοια έκταση ώστε να εντοπίζονται διασυνδέσεις ανάμεσα σε τοποθεσίες που απέχουν μεταξύ τους εκατοντάδες χιλιόμετρα. Η ανάπτυξη των τεχνών και του εμπορίου είχε ως συνέπεια και την αποκρυστάλλωση της έννοιας του αριθμού. Οι αριθμοί 16

17 ταξινομούνταν και συσσωματώνονταν σε ενότητες. Αυτό συνήθως επιτυχαινόταν με χρησιμοποίηση των δαχτύλων του ενός ή και των δύο χεριών-πρακτικη που συνηθίζεται στο εμπόριο. Αυτές οι διαδικασίες οδήγησαν στην αρίθμηση με βάση πρώτα το δύο, το πέντε και ύστερα το δέκα. Αξίζει επίσης να αναφέρουμε την αρίθμηση με κλαδιά η οποία χρονολογείται πριν την αρίθμηση με τα δάχτυλα, σύμφωνα με αυτήν ο άνθρωπος αντιστοιχούσε για κάθε ένα αντικείμενο ένα κλαδί στην συνέχεια αποθήκευε τα κλαδιά και την επόμενη μέρα μπορούσε να μετρήσει και να επαληθεύσει πάλι τα αντικείμενα αυτά, ήταν ένας πρώτος τρόπος για να ελέγχει ο άνθρωπος τα αγαθά του. Για αριθμητικές καταγραφές χρησιμοποιούσαν δέσμες ή χάραζαν σημάδια σε ραβδιά ή δένανε κόμπους σε σχοινιά. Επίσης ταξινομούσαν κατά πεντάδες βότσαλα ή όστρακα. Το πιο αρχαίο παράδειγμα χρησιμοποίησης χαραγών για αριθμητικές καταγραφές ανάγεται στους παλαιολιθικούς χρόνους και βρέθηκε το 1937 στο Βεστόνιτσε της Μοραβίας. Πρόκειται για το κόκκαλο του ποδιού ενός μικρού λύκου, μήκους 18 εκατοστών που έφερε 55 βαθιές εγκοπές, από τις οποίες οι πρώτες 25 είχαν διαταχτεί σε ομάδες ανά 5. Ύστερα από την πρώτη εικοσιπεντάδα υπήρχε μια απλή εγκοπή με διπλάσιο μήκος και σε συνέχεια, οι άλλες 30 εγκοπές από τις οποίες η πρώτη είχε διπλάσιο μήκος. 17

18 Κεφάλαιο 2 ο ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ «Οι Σουμέριοι υπήρξαν λαός προικισμένος με καταπληκτικές επινοητικές δυνατότητες και έφτασαν σε υψηλότατο τεχνολογικό επίπεδο» 18

19 2.1 Ιστορικό πλαίσιο Κατά την Χαλκολιθική εποχή ( π.χ.) εμφανίστηκαν οι πρώτες πόλεις στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας, σε μια περιοχή γνωστή με το όνομα Σουμερία, που στις μέρες μας αποτελεί το νότιο Ιράκ. Οι Σουμέριοι έφτασαν στο νότιο Ιράκ γύρω στο π.χ. και δημιούργησαν μια αυτοκρατορία που διήρκησε μέχρι την κατάληψη της από τους Βαβυλώνιους, περίπου το 2000 π.χ. Μέχρι το π.χ. υπήρχαν περισσότερες από 12 πόλεις στην περιοχή της Σουμερίας,με μεγαλύτερη την Ούρ. Η προέλευση των Σουμερίων είναι αμφισβητούμενη, ωστόσο γλωσσολογικές κυρίως ενδείξεις συνηγορούν στο ότι η καταγωγή τους πρέπει να ήταν από την Κεντρική Ασία, πιθανώς από κάποια περιοχή κοντά στην Κασπία Θάλασσα. 2.2 Κοινωνικό πλαίσιο Επιτεύγματα 19

20 Εμπόριο Για να ακμάσουν οι πόλεις απαραίτητη ήταν η ανταλλαγή εμπορευμάτων και πρώτων υλών με άλλες πόλεις. Για παράδειγμα, στην περιοχή όπου βρίσκονταν οι πόλεις των Σουμερίων δεν υπήρχε πρόσβαση σε καλή ξυλεία ή οικοδομικούς λίθους ή μέταλλα όπως ο χαλκός, το ασήμι και ο χρυσός. Η ανάγκη μεταφοράς των αγαθών και επαλήθευσης των φορτίων έκαναν ακόμη μεγαλύτερες τις απαιτήσεις για λογιστές. Τα περίφημα κουπόνια Η προσπάθεια επίλυσης αυτών των προβλημάτων από τους Σουμέριους οδήγησε στα πολύπλοκα κουπόνια και τελικά στην γραφή. Όταν ένα φορτίο επρόκειτο να μεταφερθεί σ έναν άλλο τόπο έπρεπε να συνοδεύεται από ένα έγγραφο έτσι ώστε ο αγοραστής να ξέρει ότι δεν τον κορόιδεψαν ούτε ο πωλητής ούτε ο μεταφορέα. Το έγγραφο αποτελούνταν από ένα σύνολο κουπονιών που προσδιόριζαν τον αριθμό και το είδος των μεταφερόμενων αγαθών. Για να αποφύγουν οι πόλεις της γόνιμης ημισελήνου τυχών κλοπές αγαθών και των αντίστοιχων κουπονιών τους επινόησαν μια έξυπνη τεχνική: τα κάλυπταν με πηλό και μετά τα έψηναν. Ο αγοραστής που τα λάμβανε έσπαγε τον πηλό και επαλήθευε ότι τα κουπόνια αντιστοιχούσαν στα αγαθά που παραδίδονταν. Όταν η μεταφορά γινόταν από δύο φορτωτές, για να αποδειχθεί ότι ήταν οι σωστές ποσότητες χάραζαν ή ζωγράφιζαν μια εικόνα των κουπονιών που βρίσκονταν μέσα στον φάκελο στην εξωτερική του επιφάνεια πριν ψηθεί. Οι γεμισμένες αυτές με κουπόνια πήλινες μπάλες ονομάζονταν σφραγίδες ή φάκελοι και ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά στα Σούσα. Απαρχή Γραφής Οι έξυπνοι Σουμέριοι κατάλαβαν ότι τα κουπόνια που περιείχαν οι φάκελοι ήταν περιττά. Εγκατέλειψαν επομένως τους φακέλους χάριν των απλών πήλινων πινακίδων και έτσι γεννήθηκε η γραφή. Αρχικά, κάθε κουπόνι εξακολουθούσε να αναπαριστά ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, γιατί οι αριθμοί δεν είχαν διαχωριστεί από τα μετρούμενα αντικείμενα. Αυτό το είδος αρίθμησης ονομάζεται συγκεκριμένη αρίθμηση από τον Ντένιζ Σμάν-Μπεσερά και χρησιμοποιούνταν σε φακέλους και πινακίδια μεταξύ και π.χ. Οι Σουμέριοι διαχώρισαν τα αποτυπώματα που αναπαριστούσαν τον αριθμό των α αντικειμένων και τα ίδια τα 20

21 αντικείμενα. Οι αφηρημένοι αριθμοί αποτυπώνονταν στον πυλό, ενώ το πικτόγραμμα του μετρουμένου αντικειμένου χαραζόταν με ένα εργαλείο γραφής πάνω στον πυλό. Αυτός ο διαχωρισμός αριθμών και αντικειμένων διευκόλυνε τη πρήνη των πληθικών αριθμών που δήλωναν την ποσότητα σε συνδυασμό με ένα άλλο πικτόγραμμα που προσδιόριζε το είδος του. Αφού τα αντικείμενα δε συσχετίζονταν πια με τους αριθμούς, τα πικτογράμματα που τα αναπαριστούσαν γενικεύονταν ώστε να συμβολίζουν πολλές διαφορετικές ιδέες και έτσι γεννήθηκε η γραφή. Η δημιουργία αυτή παρατηρήθηκε από τους Σουμέριους μεταξύ και π.χ. έτσι η προφορική επικοινωνία που επικρατούσε περιορίστηκε. Οι άνθρωποι μετέδιδαν πληροφορίες όχι μόνο στους άμεσους απογόνους τους αλλά και σε μακρινούς λαούς και γενιές. Επίσης διαφαίνεται μια εικόνα του τρόπου ζωής των ανθρώπων και του τρόπου που έκαναν υπολογισμούς στην αρχαιότητα. Η χάραξη ήταν η καταγραφή των ημερομηνιών και η δημιουργία καταλόγων με αντικείμενο. Με βάση αυτό το είδος, οι Σουμέριοι ανέπτυξαν γύρω στο π.χ. την σφηνοειδή γραφή. Αυτή αντικαθιστούσε την αριθμητική-παραστατική γραφή των κουπονιών με φωνητικά σύμβολα, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί ένα ξεχωριστό αφηρημένο σύστημα αρίθμησης. Αρχικά, η γραφή γινόταν σε στήλες από δεξιά προς τα αριστερά, όμως από το 3000 π.χ καθιερώθηκε να γίνεται σε γραμμές από αριστερά προς τα δεξιά. 2.3 Μαθηματικά Σουμερίων 21

22 Λίγα είναι γνωστά για τα μαθηματικά των Σουμερίων αλλά από τα πλακίδια που σώζονται διαπιστώνεται ότι γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής. Από τα πρώτα κιόλας κουπόνια που αντιπροσώπευαν αριθμούς φαίνεται ότι το σύστημα αρίθμησης των Σουμερίων ήταν πολύπλοκο συγκριτικά με το αρχαιότερο δυαδικό,πενταδικό ακόμα και από το το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης γιατί ήταν έναν εξηνταδικό σύστημα με βάση τόσο το 60 όσο και το 10. Από αυτά γνωρίζουμε ότι οι Σουμέριοι μπορούσαν να δουλεύουν με πολύ μεγάλους αριθμούς αλλά και με πολύ μικρούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας τόσο ακεραίους όσο και κλάσματα. Το σύμβολο για το ένα που σχηματιζόταν αν ο γραφές πίεζε τη γραφίδα πάνω στον πηλό υπό γωνία, επαναλαμβανόταν για να σχηματιστούν οι μεγαλύτεροι αριθμοί. Ο γραφέας διαχώριζε μια συλλογή αριθμητικών ψηφίων που συμβόλιζαν ένα αριθμό από την υπόλοιπη γραφή τοποθετώντας τα μέσα σένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Το σύστημα όμως των Σουμερίων δεν είχε ως βάση το δέκα αλλά το εξήντα. Από το ένα έως το πενήντα εννέα χρησιμοποιούνταν ένας συνδυασμός μονάδων και δεκάδων. Για το εξήντα ζωγράφιζαν ένα μεγάλο σύμβολο με το σχήμα του D ακουμπισμένο πλάγια. Το επόμενο βήμα ήταν το 600 ή το οποίο συμβολιζόταν μ ένα D το οποίο είχε ένα μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Το ή αλλιώς το ζωγράφιζαν με ένα μεγάλο κύκλο και το ήταν ένας μεγάλος κύκλος με έναν μικρό κύκλο στο εσωτερικό του. Ως εκ τούτου το δικό μας είναι ένα καθορισμένο από την θέση σύστημα αριθμών. Το πρώτο αριθμητικό σύστημα των Σουμερίων ήταν ένα μη καθοριζόμενο από την θέση σύστημα αφού ο γραφέας απλώς πρόσθετε τις τιμές των διαφόρων συμβόλων για να φτάσει στο άθροισμα. Η τιμή των συμβόλων δεν εξαρτιόταν από την θέση τους όπως στο δικό μας σύγχρονο σύστημα. Στη μετέπειτα σφηνοειδή γραφή, το άκρο της γραφίδας είχε τέτοιο σχήμα ώστε να αφήνει τριγωνικά σημάδια με ουρές πάνω στον πηλό. Περίπου το π.χ βλέπουμε ότι οι Σουμέριοι έκοβαν επιταγές, υπολόγιζαν τη γη, ζύγιζαν σε τάλαντα, μετρούσαν υγρά και υπολόγιζαν τόκους. Ακόμα πιο αξιοπρόσεκτο είναι ότι χρησιμοποιούσαν τα κλάσματα ένα δεύτερο, ένα τρίτο και πέντε έκτα. Αυτή είναι η παλαιότερη γνωστή αναγνώριση του γεγονότος ότι τα κλάσματα είναι αριθμοί. Τα κύρια χαρακτηριστικά του συστήματος των Σουμερίων είναι ότι έχει ως βάση το εξήντα, με το δέκα να αποτελεί ένα ενδιάμεσο βήμα, καθώς και η εμφάνιση των κλασμάτων. Έτσι οι Σουμέριοι κατάφεραν να γράφουν όχι μόνο μεγάλους αλλά και μικρούς αριθμούς. Από το ξεκίνημα της 22

23 ονομαστικής απαρίθμησης, όταν οι αριθμοί άρχισαν να γίνονται αφηρημένοι, οι μόνοι διαθέσιμοι αριθμοί ήταν οι φυσικοί αριθμοί. Πρωτοεμφανίστηκε επομένων ένα είδος αριθμών. Κεφάλαιο 3 ο 23

24 ΒΑΒΥΛΩΝΙΟΙ 3.1 Ιστορικό πλαίσιο 24

25 Ο λαός των Βαβυλωνίων εμφανίστηκε το π.χ. όταν ο λαός των Αμοριτών εισέβαλε στην γη των Σουμερίων και κατέκτησε τις πόλεις τους. Οι άνθρωποι αυτοί έγιναν γνωστοί ως Βαβυλώνιοι και δημιούργησαν σιγά σίγα μια μεγάλη αυτοκρατορία που περιλάμβανε περιοχές του σημερινού Ιράκ, της Ιορδανίας και της Συρίας. Κατάφεραν να χτίσουν πολλές πόλεις με σπουδαιότερη από όλες την περίφημη Βαβυλώνα. Η αυτοκρατορία τους διήρκησε μέχρι το 538 π.χ όταν η Βαβυλώνα τελικά κατακτήθηκε από Πέρσες. 3.2 Επιτεύγματα και σύστημα αρίθμησης 25

26 Οι Βαβυλώνιοι όταν κατέκτησαν την γη των Σουμερίων είναι λογικό να υιοθέτησαν και πολλά από τα επιτεύγματα τους, όπως τη σφηνοειδή γραφή και κάποια από τα μαθηματικά τους. Για παράδειγμα οι Βαβυλώνιοι κράτησαν το βασικό εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης των Σουμερίων που είχε ως βάση το δέκα και το εξήντα, με την διαφορά ότι κατάργησαν τα 5 ειδικά σύμβολα των Σουμερίων και κράτησαν μόνο δύο άλλα σύμβολα: 1. Το τρίγωνο με την κάθετη ουρά, που ονομαζόταν σφήνα και συμβόλιζε το Το τρίγωνο με τις δύο ουρές στα πλάγια που ονομαζόταν άγκιστρο και συμβόλιζε το 10. για το 1 για το 2 για το 3 για το 10 Επίσης, οι Βαβυλώνιοι πρόσθεσαν στο σύστημα τους ένα χαρακτηριστικό που το έκανε να ξεχωρίζει ανάμεσα στα συστήματα των άλλων λαών της εποχής. Χρησιμοποίησαν ένα καθοριζόμενο από την θέση σύστημα με το οποίο μπορούσαν να αναπαριστούν μεγάλους και μικρούς αριθμούς. Για να εξηγήσουμε τι ακριβώς σημαίνει καθοριζόμενο από την θέση σύστημα μπορούμε να μιλήσουμε για το σημερινό αριθμητικό μας σύστημα. Κάθε αριθμός αποτελείται από ψηφία τα οποία 26

27 βρίσκονται σε μία διαφορετική συγκεκριμένη θέση π.χ. θέση εκατοντάδων, δεκάδων, νομάδων. Ο αριθμός 743 αποτελείται από τρία ψηφία, το 3 βρίσκεται στην θέση των μονάδων, το 4 στην θέση των δεκάδων και το 7 στην θέση των εκατοντάδων. Αν αυτός ο αριθμός βρισκόταν σε ένα μη καθοριζόμενο από την θέση σύστημα αλλά σε ένα προσθετικό σύστημα θα σήμαινε 7+4+3= 14. Καταλαβαίνουμε λοιπόν πόσο εύχρηστο είναι ένα καθοριζόμενο από την θέση σύστημα και πόσο πιο εύκολα χειριζόμαστε μεγάλους ή μικρούς αριθμούς. Το καθοριζόμενο από την θέση σύστημα των Βαβυλωνίων λειτούργησε με τον ίδιο τρόπο με το σημερινό δικό μας μόνο που για βάση είχε αντί το 10, το Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα 27

28 συστήματος αρίθμησης Με το εξηνταδικό σύστημα οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν να γράφουν πολύ μεγάλους και πολύ μικρούς αριθμούς και να τους χρησιμοποιήσουν για να κάνουν με επιδεξιότητα υπολογισμούς. Το σύστημα αυτό επέτρεπε ακόμα στους Βαβυλώνιους να παριστάνουν κλάσματα. Η επιλογή του εξήντα για βάση του συστήματος τόσο από τους Σουμέριους όσο και από τους Βαβυλώνιους έγινε επειδή αυτό μπορεί να διαιρεθεί τέλεια με πολλούς μικρότερους αριθμούς όπως το 2,3,4,5,6,10,12,15,30 με αποτέλεσμα να υπάρχουν αρκετοί απλοί βασικού υπολογισμοί. Αυτό το πλεονέκτημα του εξηνταδικού συστήματος το έκανε να χρησιμοποιηθεί ευρέως για καθημερινές μετρήσεις όπως βαρών, ποσοτήτων, εμβαδών γης κτλπ. Παρά τα αρκετά πλεονεκτήματα, στο εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης των Βαβυλωνίων υπήρχαν δύο πολύ σημαντικά μειονεκτήματα. 1. Δεν υπήρχε αριθμός θέσης, όπως το δικό μας μηδέν για να δείχνει ότι μία από τις δυνάμεις του εξήντα ήταν κενή. 2. Δεν υπήρχε υποδιαστολή για να δείχνει που άρχιζε το κλασματικό τμήμα του αριθμού, αφήνοντας έτσι τον αναγνώστη να πρέπει να το κατανοήσει από μόνος του μέσα από τα συμφραζόμενα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα οι γραπτοί αριθμοί των Βαβυλωνίων να είναι ασαφείς. 3.4 Μαθηματικά Βαβυλωνίων 28

29 Οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει σπουδαία μαθηματικά. Το καθοριζόμενο από την θέση σύστημα ήταν ανώτερο από τα μη καθοριζόμενα από την θέση συστήματα των Αιγυπτίων αλλά και των Ελλήνων. Είναι λοιπόν λογικό οι Βαβυλώνιοι να έφτασαν σε υψηλό βαθμό μαθηματικής κουλτούρας. Μέσα από τα ευρήματα που έχουν βρεθεί συμπεραίνουμε πως οι Βαβυλώνιοι ήξεραν να κάνουν πολλαπλασιασμούς, να υπολογίζουν τα τετράγωνα των αριθμών, τις κυβικές ρίζες καθώς επίσης και να υπολογίζουν τόκους. Γνώριζαν να επιλύουν προβλήματα με την βοήθεια της άλγεβρας, να πολλαπλασιάζουν και να προσθέτουν και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και να την απλοποιούν, μπορούσαν να παραγοντοποιούν και αντί για γράμματα, για συμβολισμούς χρησιμοποιούσαν όρους όπως ο όγκος, το πλάτος και το μήκος. Εντυπωσιακό είναι το γεγονός πως οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν αν επιλύουν συστήματα εξισώσεων με δύο αγνώστους, ορισμένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις και κάποιες κυβικές εξισώσεις. Γνώριζαν ακόμα και το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δεν ήξεραν όμως να το αποδεικνύουν. 3.5 Επιτεύγματα Σουμερίων-Βαβυλωνίων ΟΙ Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι είναι δύο πολύ αξιόλογοι λαοί που ανέπτυξαν μεγάλους πολιτισμούς και άφησαν πίσω τους 29

30 σημαντικά επιτεύγματα. Καταρχάς εφευρέθηκε η γραφή, επίσης εισήχθησαν τα κλάσματα στα μαθηματικά τους. Ακόμα αναπτύχθηκε ένα καθοριζόμενο από την θέση σύστημα που διευκόλυνε τις πράξεις με μεγάλους αριθμούς. Τέλος τα μαθηματικά εξελίχθηκαν από την απλή αρίθμηση πραγμάτων στην επίλυση προβλημάτων και την μέτρηση μεγεθών. Μπορούμε λοιπόν να καταλάβουμε πόσο σημαντική υπήρξε η παρουσία αυτών των δύο λαών και πόσο καθοριστικό ρόλο έπαιξαν για τα μαθηματικά. Η αναπαράσταση του κόσμου από τους Βαβυλώνιους 600 π.χ. Κεφάλαιο 4ο 30

31 ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ 4.1 Ιστορικό πλαίσιο 31

32 Ο πολιτισμός των Αιγυπτίων ξεκίνησε περίπου κατά την 5 η χιλιετία π.χ. και διήρκησε μέχρι που τους κατέκτησε ο Μέγας Αλέξανδρος το 332 π.χ Αποτέλεσαν μια μεγάλη παγκόσμια δύναμη, αναμφίβολα ο παραποτάμιος πολιτισμός των Αιγυπτίων είναι από τους αρχαιότερους πολιτισμούς του πλανήτη γη. Ο πατέρας της Ιστορίας, o Ηρόδοτος από την Αλικαρνασσό ( π.χ.) έχει αφιερώσει στο πολιτισμό αυτό το δεύτερο βιβλίο της ιστορίας του, το Ευτέρπη, ενώ αξιόπιστοι συγγραφείς της κλασικής αρχαιότητας αναφέρονται στις μαθηματικές τους κατακτήσεις. 4.2 Κοινωνικό πλαίσιο Στην Αίγυπτο ανώτατος άρχοντας ήταν ο Φαραώ. Όλοι υπάκουαν και δούλευαν για αυτόν. Οι Αιγύπτιοι είχαν δύο συστήματα γραφής: 1. Τα ιεροφλυφικάμ που έμοιαζαν με εικόνες και σκοπό είχαν την καταγραφή των επιτευγμάτων του Φαραώ 2. Την ιερατική γραφή, η οποία ήταν λίγοτερο επίσημη και πιο καθημερινή. Η παρουσία του ποταμού Νείλου στην αίγυπτο έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση της κοινωνίας της. Τα εύφορα εδάφη που σχημάτιζε ο ποταμός έδωσαν την ευκαιρία στους Αιγύπτιους να καλλιεργήσουν την πλούσια αυτή γη. Όμως οι συχνές πλημμύρες του ποταμού δημιουργούσαν προβλήματα αφού οι ανθρωποι έχαναν μέρη της γης τους. Κάπως έτσι,μέσα από τα καθημερινά προβλήματα τους οι Αιγύπτιοι ανέπτυξαν την γεωμετρία και τα μαθηματικά τους. Ιερογλυφικά 4.3 Τα Μαθηματικά Αιγυπτίων 32

33 Από το σκήπτρο του βασιλιά των Αιγυπτίων Μήνη ιδρυτή της πρώτης δυναστείας των Φαραώ το π.χ. περίπου, μαθαίνουμε ότι οι Αιγύπτιοι διέθεταν ήδη ένα εύχρηστο δεκαδικό αθροιστικό αριθμητικό σύστημα, για την αναπαράσταση μέχρι και πολύ μεγάλων αριθμών. Το αλφάβητό της διαθέτει επτά σύμβολα, ενώ η σύνταξή της δύο κανόνες: την απλή παράθεση και την αντικατάσταση κάθε δεκάδας παρατιθέμενων συμβόλων κάποιας αξίας από ένα σύμβολο επόμενης αξίας. Το Αιγυπτιακό το λαϊκό διέθετε: (α) Αλφάβητο (β) Κανόνες σύνταξης: Η παράθεση των συμβόλων αυτών με το μόνο ουσιαστικά περιορισμό κάθε δέκα εμφανίσεις ενός από αυτά να αντικαθίστανται από το επόμενο σύμβολο, όπως εμφανίζονται στην παραπάνω σειρά. (γ) Κανόνες σημασίας: Το είναι το 1, To είναι το 10, Το e είναι το 100, To με ένα μισοφέγγαρο από πάνω είναι το 1000, Μια χοντρή κατακόρυφη γραμμή είναι το , Ένα ψαράκι είναι το , Ένα ανθρωπάκι είναι το Στο πλαίσιο του παραπάνω συμβολισμού οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν και κλάσματα. Όχι όμως οποιοδήποτε κλάσμα αλλά μόνο μοναδιαία κλάσματα, δηλαδή με αριθμητή τη μονάδα. Είναι φανερό ότι για το συμβολισμό τέτοιων κλασμάτων απαιτείται μόνο η γνώση του παρονομαστή. Έτσι οι Αιγύπτιοι δήλωναν μόνο τον παρονομαστή του κλάσματος τον οποίο έγραφαν κάτω από το σύμβολο. Όμως για ορισμένα κλάσματα με συχνή όπως φαίνεται χρήση διέθεταν ειδικά σύμβολα. Μοναδικές δηλαδή εξαιρέσεις ήταν το κλάσμα δύο τρίτα και το τρία τέταρτα για τα οποία είχαν 33

34 ένα ειδικά σύμβολα. Η παράθεση συμβόλων κλασμάτων δήλωνε το άθροισμα των αξιών των κλασμάτων. Προκύπτει όμως το ερώτημα πως έγραφαν ένα κλάσμα με αξία μεγαλύτερη από την κλασματική μονάδα, για παράδειγμα το 5/6 ; Είναι φανερό ότι η αναπαράσταση 1/6 +1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 είναι αντιοικονομική και άβολη. Ένας σύγχρονος που ξέρει την απλοποίηση θα σκεπτότανε αμέσως ότι αν γράψει τον αριθμητή ως άθροισμα διαιρετών του παρονομαστή θα έχει μια πιο κομψή έκφραση ενός αθροίσματος από μοναδιαία κλάσματα: 5/6 = 2/6 + 3/6 = 1/3 + 1/2 Όμως η μέθοδος δεν είναι γενική. Αν για παράδειγμα ο παρονομαστής είναι πρώτος αριθμός η μέθοδος δεν δουλεύει. Δεν είναι γνωστό, τουλάχιστον ακόμη, αν οι Αιγύπτιοι διέθεταν κάποιο γενικό εμπειρικό κανόνα. Είναι βέβαιο όμως ότι για να διευκολύνονται οι γραφείς οι «ειδικοί», κάποια μέλη του ιερατείου, είχαν καταρτίσει πίνακες με έτοιμες λύσεις. Για παράδειγμα στον πάπυρο του Αχμή εκτίθεται ένας πίνακας με τα αποτελέσματα των διαιρέσεων του δύο με όλους του περιττούς από τον 3 μέχρι τον 101. Προφανώς τα αποτελέσματα αυτά εμφανίζονται με τη μορφή μοναδιαίων κλασμάτων. Το Αιγυπτιακό ιερατείο διέθετε ένα διαφορετικό, πολύ πιο λειτουργικό αριθμητικό σύστημα, το ιερατικό το οποίο ήταν επίσης δεκαδικό αθροιστικό αλλά διέθετε 28 σύμβολα. Και τα δύο αριθμητικά συστήματα, λαϊκό και ιερατικό, που περιγράψαμε πιο πάνω είναι αθροιστικά. Η πρόσθεση λοιπόν είναι μια απλή διαδικασία συνένωσης όλων των συμβόλων των προσθετέων, όσοι και να είναι, σε μια ενιαία γραφή στην οποία κάθε δεκάδα από σύμβολα μια τάξης αντικαθίσταται από το σύμβολο της επόμενης τάξης. Η αφαίρεση είναι η αντίστροφή διαδικασία δηλαδή η διαγραφή από το μειωτέο όλων των συμβόλων από τα οποία αποτελείται ο αφαιρετέος και η αντικατάσταση για να είναι εφικτή η διαγραφή, όσων συμβόλων απαιτείται από δέκα σύμβολα της αμέσως χαμηλότερη τάξης. Ο πολλαπλασιασμός ουσιαστικά γίνεται με τη βοήθεια του διπλασιασμού δηλαδή της πρόσθεσης ενός αριθμού με τον εαυτό του. Ας δούμε ως παράδειγμα τον πολλαπλασιασμό 12χ13 : 1 φορά 13 κάνει 13 2 φορές 13 κάνει 26 4 φορές 13 κάνει 52 8 φορές 13 κάνει φορές 13 κάνει

35 Η διαίρεση των Αιγυπτίων ήταν απόλυτα συνδεδεμένη με τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Αν είχαν για παράδειγμα να διαιρέσουν τον α διά του β, έθεταν το ερώτημα με ποιόν αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω τον β για να πάρω τον α; Έτσι από τα αποτελέσματα των διπλασιασμών στον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού σημείωναν εκείνα που το άθροισμά τους έκανε τον διαιρετέο και μετά άθροιζαν τις αντίστοιχες δυνάμεις του 2. Αν για παράδειγμα θέλανε να διαιρέσουνε το 156 διά του 13, σημείωναν τις δύο τελευταίες γραμμές (52+104=156) και άθροιζαν τις αντίστοιχες δυνάμεις του 2 (4+8=12) 1 φορά 13 κάνει 13 2 φορές 13 κάνει 26 4 φορές 13 κάνει 52 8 φορές 13 κάνει φορές 13 κάνει 156 Είχαν αναπτύξει λοιπόν λειτουργικούς αλγόριθμους για τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις και είχαν καταρτίσει κατάλληλους πίνακες για τη μετατροπή ενός πηλίκου σε άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων. Με τις εμπειρικές τους τεχνικές είχαν φτάσει να αντιμετωπίζουν προβλήματα που σήμερα αντιμετωπίζονται με εξισώσεις πρώτου βαθμού. 4.4 Η Γεωμετρία των Αιγυπτίων Πρόκειται για πρακτικές και χρήσιμες γνώσεις και διαδικασίες πάνω στη γη. Τέτοιες γνώσεις τους ήταν απαραίτητες εφόσον ήθελαν να ελέγχουν τα εδάφη γης που άνηκαν στον καθένα ύστερα από τις συχνές πλημμύρες του ποταμού Νείλου. 35

36 Υπολόγιζαν σωστά το εμβαδόν του τριγώνου, του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και λαθεμένα του τυχαίου τετράπλευρου (πολλαπλασίαζαν τα ημιαθροίσματα των απέναντι πλευρών). Η έννοια της γωνίας δεν φαίνεται να έχει πλήρως κατακτηθεί, ενώ για το π είχαν, σε σύγχρονα εκφραστικά μέσα, την πολύ καλή προσέγγιση: π~4(8/9)=3, Αναμφίβολα ο Αιγυπτιακός πολιτισμός είναι συνδεδεμένος με τις περίφημες πυραμίδες. Με μια πρώτη ματιά φαίνεται να απαιτείται πολύ θεωρητική γνώση για την κατασκευή τους. Όμως τα πράγματα δεν είναι έτσι. Η εμπειρία των πρακτικών αρχιτεκτόνων και μηχανικών αρκούσε. Ταυτόχρονα οι πάπυροι από τους οποίους αντλούμε τις γνώσεις μας για τον πολιτισμό αυτό δεν περιέχουν κανένα ψήγμα θεωρητικής γνώσης. Για τις πυραμίδες οι Αιγύπτιοι ήξεραν ότι ο όγκος μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ένα τρίτο από το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος, καθώς και ότι ο όγκος μιας κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας είναι: 1/3 υ (α² + β² + αβ) Όπου υ είναι το ύψος, α η πλευρά της βάσης και β η πλευρά της μικρής βάσης. 4.5 Μειονεκτήματα Αιγυπτίων Κανείς δεν είναι τέλειος συνεπώς και οι Αιγύπτιοι είχαν σοβαρά μειονεκτήματα. Τα δύο κυριότερα είναι: 36

37 1. Τα μαθηματικά προβλήματα τους ήταν γραμμένα σε πεζό λόγο με αποτέλεσμα να είναι υποκειμενικά. Ήταν επίσης μεγάλα σε μέγεθος και δυσνόητα. Η έλλειψη συμβόλων από τα μαθηματικά τους είναι σίγουρα ένα σημαντικό μειονέκτημα. 2. Θεώρησαν τα μαθηματικά μόνο ως λύση για τα καθημερινά τους προβλήματα και δεν τα ανέπτυξαν όπως τα άρμοζε. Ήρθαν αντιμέτωποι συνεπώς με μια πνευματική στασιμότητα. Κεφάλαιο 5 ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 37

38 ΚΑΙ ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ Τα Μαθηματικά και η αρίθμηση είναι αδιαμφισβήτητα μια διεργασία του εγκεφάλου μας. Ο εγκέφαλος του ανθρώπου χωρίζεται σε δύο μέρη, το αριστερό και το δεξί ημισφαίριο. Όλοι χρησιμοποιούμε σε ένα βαθμό και τα δυο ημισφαίρια του εγκεφάλου μας, Όμως οι περισσότεροι έχουμε ένα κυρίαρχο ημισφαίριο, όπως έχουμε ένα κυρίαρχο χέρι, πόδι, μάτι και αυτί. Ο Δυτικός (κυρίως) πολιτισμός, έχει διαμορφωθεί βασιζόμενος στις λειτουργίες του αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου, τις οποίες θεωρεί πιο «φυσιολογικές» και αυτές ανταμείβει. Είναι το μέρος 38

39 του εγκεφάλου που ονομάζουμε «Εγώ», η ταυτότητα μας: ποιοι είμαστε, πού ανήκουμε, τι πιστεύουμε, οι επιθυμίες, οι φόβοι, οι στόχοι μας. Τα δυο ημισφαίρια επεξεργάζονται πληροφορίες με διαφορετικούς τρόπους. Γνωρίζοντας αυτές τις διαφορές κατανοούμε τον εαυτό μας καλύτερα, αναγνωρίζουμε και αποδεχόμαστε τη μοναδικότητα των άλλων, είμαστε σε θέση να προσφέρουμε και να βοηθάμε τους φίλους μας πιο αποτελεσματικά και ανοίγουμε νέες πόρτες προς την ενεργοποίηση μεγαλύτερου μέρους του εγκεφάλου μας. Το αριστερό ημισφαίριο επεξεργάζεται πληροφορίες με γραμμικό, αναλυτικό τρόπο: από το μέρος στο όλον, από τις λεπτομέρειες στο σύνολο. Αναλύει, κρίνει, εστιάζεται περισσότερο στο πρόβλημα. Το δεξί ημισφαίριο ξεκινά από το σύνολο (τη μεγάλη εικόνα, τη λύση) για να προχωρήσει στα μέρη. Είναι δημιουργικό και σκέφτεται έξω από όρια και τους περιορισμούς της λογικής. Η οργάνωση, η λογική επεξεργασία και η τακτοποίηση είναι χαρακτηριστικά του αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου. Φτιάχνει λίστες, προγράμματα και τ αναλύει ή τα κατατάσσει, ακολουθώντας μια λογική σειρά, ανακαλώντας τα με την ίδια ευκολία. Το δεξί ημισφαίριο συνθέτει και συνδέει πληροφορίες με βάση το νόημα που αυτές έχουν, μέσα στο πλαίσιο που βρίσκονται. Τα φαινομενικά αντίθετα του αριστερού ημισφαιρίου είναι για το δεξί ημισφαίριο απλά διαφορετικές όψεις μιας 39

40 μεγαλύτερης εικόνας. Η μνήμη και η επεξεργασία της σκέψης στο αριστερό ημισφαίριο είναι λεκτική. Αυτό το ημισφαίριο είναι υπεύθυνο για την κατανόηση των συμβόλων (όπως γράμματα, λέξεις), των αριθμών και των μαθηματικών ορισμών. Το δεξί ημισφαίριο σκέφτεται με εικόνες, ψάχνει το νόημα, θέλει τα πράγματα χειροπιαστά. Μια εικόνα αξίζει χίλιες λέξεις, και σε αυτές τις εικόνες υπάρχει χρώμα, κίνηση, ρυθμός, μυρωδιές και φαντασία. Ο διαχωρισμός του χρόνου σε γραμμικό (παρελθόν παρόν μέλλον) είναι ιδιότητα του αριστερού ημισφαιρίου. Χρησιμοποιεί το παρελθόν (υποσυνείδητο) για να ερμηνεύσει το παρόν και να δράσει στο μέλλον. Στο δεξί ημισφαίριο ο μόνος πραγματικός χρόνος είναι το παρόν, στο οποίο υπάρχει διαισθητικά με βάση τις αισθήσεις που παίρνει από το περιβάλλον και την εσωτερική καθοδήγηση στο εδώ και τώρα. Χρειαζόμαστε τις λειτουργίες του αριστερού ημισφαιρίου του εγκεφάλου για να είμαστε αποτελεσματικοί και να συνδεόμαστε με τον υλικό, τρισδιάστατο κόσμο στον οποίο ανήκουμε. Τα ένστικτα του βιολογικού μας εαυτού, προσφέρουν και εξασφαλίζουν την επιβίωση μας. Η ποιότητα όμως της ζωής μας, η δημιουργικότητα, η ανθρωπιά μας, η ευτυχία, βρίσκονται στις ιδιότητες του δεξιού ημισφαιρίου το οποίο μας συνδέει με τα πάντα γύρω μας, το 40

41 σύμπαν και την ανώτερη φύση μας. Η αγνότητα, η αυθεντικότητα, ο αυθορμητισμός είναι όλα χαρακτηριστικά του άγνωστου ημισφαιρίου που όλοι διαθέτουμε αλλά βρίσκονται σε αδράνεια. Σπάνια το σύστημα και ο πολιτισμός που έχουμε δημιουργήσει συνδέει πληροφορίες, τομείς και θέματα με τρόπο ολιστικό. Προτιμά την κατάταξη, την αντιπαράθεση, την επιβολή ή τη φυγή. Αλλά είναι αυτή η εξειδίκευση, ο διαχωρισμός και η ανάλυση που συχνά μας κρατάνε μακριά από την αλήθεια. Κάποια στιγμή χρειάζεται να διερωτηθούμε μήπως έχουμε συλλάβει τις ιδέες μας ανάποδα ή αν υπάρχουν πολύ περισσότερα πράγματα που δεν γνωρίζουμε παρά τα ελάχιστα που πιστεύουμε πως ξέρουμε και επιτρέπουμε να διαμορφώνουν την πραγματικότητα μας. Διαθέτουμε τον πλέον εξελιγμένο, τέλειο και ασύγκριτα σπουδαίο υπολογιστή που έχει δημιουργηθεί ή πρόκειται να δημιουργηθεί ποτέ. Μένει στην ελεύθερη βούληση του καθενός μας να τον γνωρίσουμε. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως η διαδικασία της αρίθμησης χρειάζεται τόσο το δεξί όσο και το αριστερό ημισφαίριο για να πραγματοποιηθεί. Το αριστερό ημισφαίριο παίζει σημαντικό ρόλο για την κατανόηση των συμβόλων ωστόσο η αφαιρετική ικανότητα του δεξιού ημισφαιρίου είναι απαραίτητη για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Συνεπώς δεν υπάρχει μια συγκεκριμένη περιοχή του εγκεφάλου στην οποία λαμβάνει χώρα η διαδικασία της αρίθμησης αλλά πραγματοποιείται ύστερα από την συνεργασία πολλών μερών του εγκεφάλου μας. 41

42 42

43 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνοψίζοντας καταλήγουμε στα εξής: Η αρίθμηση προϋπήρχε της γλώσσας Η αντιστοιχία ένα προς ένα ήταν το πρώτο βήμα του ανθρώπου για την αρίθμηση Τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν με σκοπό ο άνθρωπος να λύνει τα καθημερινά του προβλήματα και να κάνει την ζωή του πιο εύκολη Οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι έπαιξαν καταλυτικό ρόλο στην ανάπτυξη των πρώτων μαθηματικών αφήνοντας πίσω τους μια πλούσια κληρονομιά Οι Αιγύπτιοι κατάφεραν να δημιουργήσουν μεγάλα έργα με την βοήθεια των μαθηματικών τους μετρήσεων Ο εγκέφαλός μας χωρίζεται σε δύο ημισφαίρια τα οποία είναι υπεύθυνα για εξίσου σημαντικές λειτουργίες Δεν υπάρχει συγκεκριμένη περιοχή του εγκεφάλου στην οποία πραγματοποιείται η αρίθμηση. 43

44 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με την ολοκλήρωση της συγκεκριμένης ερευνητικής εργασίας αποκομίσαμε σημαντικές γνώσεις για τα Μαθηματικά και την ιστορία τους. Η εργασία αυτή μας έκανε επίσης να συνειδητοποιήσουμε το νόημα και της αξία της ομαδικής δουλειάς. Μάθαμε να εργαζόμαστε ομαδικά, να συμπληρώνει ο ένας τον άλλον όπου τα βρίσκαμε «δύσκολα» και με αυτόν τον τρόπο μέσα από τα μειονεκτήματα μας δημιουργήσαμε το σημαντικότερο πλεονέκτημα μας, το ομαδικό πνεύμα! 44

45 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σαν επίλογο της ερευνητικής μας εργασίας θα θέλαμε να παραθέσουμε το παρακάτω απόφθεγμα: «Η ιστορία είναι ο μάρτυρας των εποχών, η λαμπάδα της αλήθειας, η ζωή της μνήμης, ο δάσκαλος της ζωής, ο αγγελιοφόρος της αρχαιότητας.» -Μάρκος Τούλιος Κικέρων 45

46 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών, Calvin C. Clawson Η Ιστορία των Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων, Τόμος Α, Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών, Αθήνα 1997 Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών, Dirk J. Struik, εκδόσεις Δαίδαλος Τα μαθηματικά και ο εγκέφαλος, Jean-Pierre Changeur - Alain Connes Οι ιστορικές ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηματικών, Lucas N.H.Bunt Phillip S. Jones Jack D. Bedient, εκδόσεις Γ.Α ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ Η Ιστορία των Μαθηματικών, Carl B. Boyer UTA C. Merzabach, εκδόσεις Γ.Α ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η παρουσίαση Αφού λοιπόν ολοκληρώσαμε την έρευνα και την εργασία μας ήρθαμε αντιμέτωποι με την παρουσίαση της. Η παρουσίαση της 46

47 Ερευνητικής Εργασίας γίνεται σε επίπεδο τάξης με κύριο σκοπό της αξιολόγηση μας από την υπεύθυνη καθηγήτρια αλλά και την ενημέρωση των υπόλοιπων συμμαθητών μας για την δουλειά που πραγματοποιήσαμε καθ όλη την διάρκεια του τετραμήνου. Αποφασίσαμε λοιπόν να παρουσιάσουμε την εργασία μας με την μορφή ενός μικρού θεατρικού. Κατά την διάρκεια του θεατρικού προβάλλονταν επίσης κάποιες διαφάνειες στο αντίστοιχο PowerPoint που είχαμε ετοιμάσει. Παρακάτω σας παραθέτουμε το θεατρικό μας: 47

48 Γιώργος Γιάννης Γεωργία Χαρά 48

49 Τρεις συμμαθητές, ο Γιάννης, η Γεωργία και ο Γιώργος χαζεύουν στο σπίτι του Γιάννη καθώς περιμένουν την Χαρά για να παίξουν tichu.καθώς ο Γιώργος σερφάρει στο διαδίκτυο: Γιώργος: Χαχαχα, πω ρε φίλε αυτή η Χαρά δεν την παλεύει, κοιτάξτε τι ανέβασε στο Facebook η τύπισσα. Γιάννης: Ωχ τι ανέβασε πάλι; Γεωργία: Περιμέντε, περιμένετε, θέλω και γώ να δώ. Γιώργος: Να ρε κοιτάχτε, τα χώνει στους θεωρητικούς για τα καλά. 49

50 Γιάννης: Πω ρε φίλε τι λέει αυτή; Δηλαδή πιστεύει ότι πρώτα αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά και ύστερα η γλώσσα; Αν είναι δυνατόν, αν δεν ξέραν να μιλούν πως θα έλεγαν τους αριθμούς; ΕΛΕΟΣ Γιώργος: Ντάξει ρε Γιάννη αλλά σου χω πει να μην βρίζεις, χαχα! Γεωργία: Λοιπόν παιδία και όμως η Χαρά έχει δίκιο. Γιάννης: Ε,Ε,Ε, για κάτσε, τι εννοείς έχει δίκιο; (σηκώνεται όρθιος) Γεωργία: Εννοώ ότι ο άνθρωπος πρώτα μέτρησε και ύστερα μίλησε. Γιώργος: Όπα Γιάννη κάτσε κάτω, η Γεωργία κάτι ξέρει. Γιάννης: Ρε Γεωργία για πές μας δηλαδή πως ακριβώς μετράγαν; Γεωργία: Ξέρεις Γιάννη,η γλώσσα δεν ήταν πάντα απαραίτητη για την μέτρηση. Ξέρω πως δυσκολεύεσαι να το δεχτείς όπως και οι περισσότεροι άνθρωποι σήμερα. Και αυτό γιατί δεν έχουμε συνειδητοποιήσει το σκοπό της μέτρησης. Το νόημα της. Αρίθμηση δεν είναι να λέμε τις σωστές λέξεις με την σωστή σειρά, αλλά να απαντήσουμε στο ερώτημα ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ! Για να το καταφέρουμε αυτό πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε το σύνολο των πραγμάτων που θέλουμε να μετρήσουμε π.χ. τους μαθητές που βρίσκονται μέσα σε μια τάξη. Αφού κάνουμε αυτό το μόνο που μας μένει είναι να φτάσουμε στον σωστό πληθικό αριθμό. Γιάννης: Και πως θα φτάσουμε στον σωστό πληθικό αριθμό αν δεν ξέρουμε να μετράμε ρε Τζό; 50

51 Γεωργία: Άσε με να τελειώσω καλέ μου! Όπως σου είπα και στην αρχή η γλώσσα δεν ήταν πάντα αναγκαία. Οι πρώτοι άνθρωποι που μέτρησαν έζησαν τόσο παλιά που ούτε και η επιστήμη δεν γνωρίζει ακριβώς το πότε, θεωρείται πάντως πως η αρίθμηση είναι παλαιότερη από την γραπτή γλώσσα. Συγκεκριμένα λέγεται πως ο Homo Erectus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε την αρίθμηση με κλαδιά. Γιώργος: Τι είναι αυτό; μέτραγε κλαδιά; Γεωργία: Χμ, λοιπόν, η αρίθμηση με κλαδιά έχει ως εξής, για παράδειγμα αν ο τότε άνθρωπος ήθελε να ελέγχει τον αριθμό των ζώων του καθημερινά έκανε το εξής: Πήγαινε δίπλα από κάθε ζώο του και έβαζε ένα κλαδί, στο τέλος μάζευε όλα τα κλαδιά που είχε βάλει και τα αποθήκευε κάπου. Την επόμενη μέρα έπαιρνε τα αποθηκευμένα αυτά κλαδιά και τα έβαζε με τον ίδιο τρόπο δίπλα σε κάθε ζώο. Έτσι αν του περίσσευε κάποιο κλαδί καταλάβαινε πως είχε χάσει κάποιο από τα ζώα του. Γιώργος: Δηλαδή τα μέτραγε χωρίς να χρησιμοποιήσει κάποιο είδος γλώσσας, σωστά; Γεωργία: Ακριβώς! Η ανάγκη του ανθρώπου να μετράει και να ελέγχει τα υπάρχοντα του τον ανάγκασε να δημιουργήσει αυτό το είδος μέτρησης. Γιάννη τι έχεις να πεις: Γιάννης: Ενδιαφέρον! Εσύ που τα έμαθες όλα αυτά; Γεωργία: Πάντως όχι παίζοντας NBA και PRO! Γιώργος: Το NBA να το αφήσεις ήσυχο! Σου μαθαίνει άλλα πράγματα. Χαρά: Τι σου μαθαίνει γιώρη; 51

52 Γιώργος: Καλώς την! Σου μαθαίνει να σκάφτεσαι στρατηγικές ώστε να κερδίσεις τον αντίπαλο, να είσαι γρήγορος, να εκτελείς πολλές εντολές ταυτόχρονα,να συντονίζεις και να συγχρονίζεις τις σκέψεις σου, να σκέπτεσαι λογικά αλλά και με φαντασία ταυτόχρονα. Γεωργία: Όλα αυτά το nba; Μωρέ μπράβο! Χαρά: Γιώρη φίλε μου, μου δίνεις την ευκαιρία να σου κάνω ένα πολύ όμορφο κήρυγμα. Γιώργος: Ωχ! Χαρά: Μην δυσανασχετείς, είναι ενδιαφέρον. Λοιπόν άκου, ο εγκέφαλος μας χωρίζεται σε 2 μέρη. Το αριστερό και το δεξί ημισφαίριο. Όλοι μας χρησιμοποιούμε σε έναν βαθμό και τα 2 ημισφαίρια του εγκεφάλου μας. Όμως οι περισσότεροι έχουμε ένα κυρίαρχο ημισφαίριο όπως έχουμε ένα κυρίαρχο χέρι ή πόδι. Το αριστερό ημισφαίριο επεξεργάζεται πληροφορίες με γραμμικό αναλυτικό τρόπο από το μέρος στο όλον. Η οργάνωση, η λογική επεξεργασία και η τακτοποίηση είναι χαρακτηριστικό του αριστερού ημισφαιρίου. Το ημισφαίριο αυτό είναι υπεύθυνο για την κατανόηση των συμβόλων, π.χ. γράμματα και λέξεις, των αριθμών και των μαθηματικών ορισμών. 52

53 Γιάννης: Το δεξί; Κάνει τίποτα αυτό; Χαρά! Αν κάνει λέει! Αντίθετα με το αριστερό, το δεξί ημισφαίριο ξεκινά από το σύνολο για να προχωρήσει στα μέρη. Είναι δημιουργικό και σκέφτεται έξω από τα όρια της λογικής. Το δεξί ημισφαίριο σκέφτεται με εικόνες, ψάχνει το νόημα. Γιάννης: Δηλαδή μπορούμε να πούμε πως το αριστερό ημισφαίριο είναι ένας μαθηματικός και το δεξί ένας καλλιτέχνης; 53

54 Χαρά: Ναι, ίσως! Ωστόσο θα προτιμούσα να μην γίνουμε τόσο απόλυτοι, γιατί για να πετύχεις κάτι ξεχωριστό χρειάζεσαι τόσο το αριστερό όσο και το δεξί. Σίγουρα πάντως το αριστερό ημισφαίριο παίζει πολύ σημαντικό ρόλο για την αρίθμηση και στης ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής, όμως και η αφαιρετική ικανότητα του δεξιού ημισφαιρίου είναι απαραίτητη για την επίλυση ενός προβλήματος. Συνεπώς η αρίθμηση είναι πολύπλοκη δραστηριότητα, η οποία απαιτεί την συνεργασία πολλών μερών του εγκεφάλου. Γιώργος: Συμπέρασμα, πάω να παίξω NBA!(σηκώνεται) Γιάννης: Χαχα, κάτσε κάτω ρε! Γεωργία: Γιώρη κοίτα μόνο μην κάψεις καναν εγκέφαλο και μετά δεν ξέρεις ούτε πόσο κάνει ημθ/συνθ. 54

55 Γιάννης: Πάντως όση ώρα παραληρούσε η χαρά εγώ θυμήθηκα κάτι που κάναμε παλιά στην ιστορία, που ο άνθρωπος από κυνηγός τροφοσυλλέκτης έφτασε να έχει μια μόνιμη κατοικία, να καλλιεργεί τη γη και να αποκτήσει υπάρχοντα. Γιώργος: Πως φαίνεται ο άνθρωπος άμα είναι θεωρητική! Γιάννης: Κάπου εκεί δημιουργήθηκαν και οι πρώτοι οικισμοί χωριά και εμφανίστηκαν και τα πρώτα επαγγέλματα όπως κεραμοποιία και υφαντουργία. Γεωργία: Ακριβώς, έτσι δημιουργήθηκε και η ανάγκη για την ανάπτυξη των υπολογισμών. Γιώργος: Ρε παιδιά για καθήστε, για τι χρονολογίες μιλάμε τώρα; Ψιλοχάθηκα Γιάννης: Χμμ, περίπου πριν 11 χιλιάδες χρόνια. Γιώργος: Κάπου εκεί κοντά δεν ήταν και οι Σουμέριοι; Χαρά: Ναι, κάπου εκεί. Γύρω στο π.χ. που τους ξέρεις εσύ τους Σουμέριους; Γιώργος: Άσε, θλιβερή ιστορία. Με είχε βάλει μια τρελή που είχα στο γυμνάσιο να κάνω ολόκληρη εργασία για αυτούς γιατί αλλιώς λέει θα με έκοβε στο τρίμηνο. Γεωργία: Τουλάχιστον έμαθες τίποτα; Γιώργος: Ακούστε με προσεχτικά! Κατά την χαλκολιθική εποχή εμφανίστηκα οι πρώτες πόλεις στο κατώτερο τμήμα της πεδιάδας της Μεσοποταμίας σε μια περιοχή γνωστή ως Σουμερια, που στις μέρες μας είναι το νότιο Ιράκ. Η 55

56 Αυτοκρατορία των Σουμέριων διήρκησε μέχρι την κατάληψη τους από τους Βαβυλώνιους. Για να ακμάσουν οι πόλεις ήταν απαραίτητο το εμπόριο με άλλες πόλεις ώστε ο λαός των Σουμερίων να προμηθεύεται αγαθά τα οποία δεν είχαν στην περιοχή τους. Οι Σουμέριοι έτσι δημιούργησαν ένα είδος ελέγχου του εμπορεύματος που πρόκειται να στείλουν ή να δεχθούν, τα περίφημα κουπόνια. Η διαδικασία είχε ως εξής : όταν το φορτίο επρόκειτο να μεταφερθεί σε έναν άλλον τόπο έπρεπε να συνοδεύεται από ένα έγγραφο έτσι ώστε ο αγοραστής να ξέρει ότι δεν τον κορόιδεψαν ούτε ο πωλητής ούτε ο μεταφορέας. Το έγγραφο αυτό αποτελούνταν από ένα σύνολο κουπονιών που προσδιόριζαν τον αριθμό και το είδος των μεταφερόμενων αγαθών. Το έγγραφο αυτό το κάλυπταν με πηλό και μετά το έψηναν. Ο αγοραστής που το λάμβανε έσπαγε τον πηλό και επαλήθευε ότι τα κουπόνια αντιστοιχούσαν στα αγαθά που παραδίδονταν. Όταν η μεταφορά γινόταν από δύο φορτωτές χάραζαν ή ζωγράφιζαν μια εικόνα των κουπονιών που βρίσκονταν μέσα στο φάκελο στην εξωτερική του επιφάνεια πριν ψηθεί. Βέβαια ύστερα από καιρό οι Έξυπνοι Σουμέριοι διαπίστωσαν ότι τα κουπόνια που περιείχαν οι φάκελοι ήταν περιττά, εγκατέλειψαν λοιπόν τους φακέλους και γεννήθηκε η γραφή. Περίπου το π.χ Χαρά-Γιάννης-Γεωργία: έκπληκτοι :Ο Χαρά: Άμα ξέρεις και για τα μαθηματικά τους σε παραδέχομαι-υποκλίνομαι. Γιώργος: Σε έχω! Οι Σουμέριοι γνώριζαν τις τέσσερις βασικές πράξεις, την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση. Το σύστημα αρίθμησης τους ήταν αρκετά πολύπλοκο, πιο πολύπλοκο από το δυαδικό και το πενταδικό που προϋπήρχαν. Γιάννης: Δυαδικό, πενταδικό; Τι ήταν αυτά; Εγώ μόνο το σημερινό δεκαδικό ξέρω. Γεωργία: Το δυαδικό σύστημα αποτελούνταν μόνο από το ένα και το δύο. Όπως αυτό για τους υπολογιστές που έχουμε μάθει περίπου. Το δυαδικό σύστημα δεν ήταν καθόλου εύχρηστο, το πενταδικό αντίθετα ήταν πολύ πιο εύχρηστο αφού μπορούσε εύκολα να συνδεθεί με την αρίθμηση με δάχτυλα, 56

57 τα οποία είναι 5 σε κάθε χέρι. Εγκυκλοπαιδικά το πενταδικό σύστημα εξελίχθηκε σε πενταδικό-εικοσαδικό και πενταδικό-δεκαδικό. Γιώργος: Ναιιιιιι! και συνεχίζω, το σύστημα των Σουμέριων ήταν αρκετά περίπλοκο αφού πρόκειται για ένα εξηνταδικό σύστημα που είχε ως βάση τόσο το 10 όσο και το 60. Από το 1 έως το 59 χρησιμοποιούνταν ένας συνδυασμός δεκάδων και μονάδων. Για το εξήντα ζωγράφιζαν ένα μεγάλο σύμβολο με το σχήμα του D πάλι ακουμπισμένο πλάγια. Επίσης χρησιμοποιούσαν κλάσματα, ελάχιστα βέβαια. Χαρά: Μπράβο Γιώργο! Γιώργος: Α, επίσης να προσθέσω πως το σύστημα τους δεν ήταν καθοριζόμενο από την θέση σύστημα σε αντίθεση με το σημερινό δικό μας. Χαρά: Ξαναμπράβο Γιώργο! Γιώργος: Ωραίοι τύποι οι Σουμέριοι. Γεωργία: Ωραίοι, ξε-ωραίοι μπροστά στους Βαβυλώνιους δεν πιάνουν μία. Οι βαβυλώνιοι ήταν αυτοί που έδωσαν τέλος στην αυτοκρατορία των Σουμέριων όταν εισέβαλαν και κατέκτησαν τις πόλεις τους. Έτσι γεννήθηκε η Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία που περιλάμβανε περιοχές του σημερινού Ιράκ, της Ιορδανίας και της Συρίας. Κατάφεραν να χτίσουν πολλές πόλεις με σπουδαιότερη απ όλες την περίφημη Βαβυλώνα. Η αλήθεια είναι όμως πως επειδή οι Βαβυλώνιοι κατέκτησαν την γη των Σουμερίων υιοθέτησαν και πολλά από τα επιτεύγματα τους, όπως την σφηνοειδή γραφή και κάποια από τα μαθηματικά τους. Γιώργος-Γιάννης: ΚΛΕΦΤΕΣΣΣΣ!! Γεωργία: (κοιτάει περιφρονητικά και συνεχίζει)για παράδειγμα κράτησαν το βασικό σύστημα αρίθμησης των Σουμέριων που είχε ως βάση το 10 και το 60 με διαφορά ότι κατάργησαν κάποια ειδικά σύμβολα που είχαν οι Σουμέριοι και κράτησαν μόνο δύο άλλα σύμβολα. Το τρίγωνο με την κάθετη ουρά-σφήνα που συμβόλιζε το 1 και το τρίγωνο με τις δύο ουρές στα πλάγια που ονομαζόταν άγκιστρο και συμβόλιζε το 10. Επίσης πρόσθεσαν στο σύστημα τους κάτι που το έκανε ξεχωριστό από τα υπόλοιπα συστήματα των τότε λαών. Χρησιμοποίησαν ένα καθοριζόμενο από την θέση σύστημα με το οποίο μπορούσαν να αναπαριστούν μεγάλους και μικρούς αριθμούς. Το σύστημα αυτό επέτρεψε ακόμα στους Βαβυλώνιους να παριστάνουν κλάσματα. Η επιλογή του εξήντα από τους Σουμέριους και τους Βαβυλώνιους έγινε επειδή αυτό μπορεί να διαιρεθεί τέλεια με πολλούς μικρότερους αριθμούς όπως το 2,3,4,5,6,10,12,15,30 με αποτέλεσμα να υπάρχουν πολλοί απλοί βασικοί υπολογισμοί. Γιάννης: Καλά άμα είναι τόσο τέλειο αυτό το εξηνταδικό γιατί δεν το χρησιμοποιούμε και σήμερα; Γεωργία: Γιατί παρά τα αρκετά πλεονεκτήματα του υπάρχουν και δύο πολύ σημαντικά μειονεκτήματα. Πρώτον δεν υπάρχει αριθμός θέσης όπως το δικό μας μηδέν για να δείχνει ότι μία από τις δυνάμεις του εξήντα ήταν κενή και 57

58 δεύτερον δεν υπήρχε υποδιαστολή για να δείχνει που αρχίζει το κλασματικό τμήμα, με αποτέλεσμα οι γραπτοί αριθμοί των Βαβυλωνίων να είναι ασαφείς. Γιώργος: Για τα μαθηματικά που ανέπτυξαν ξέρουμε τίποτα ήήή στουρνάρια; Γεωργία: Οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει σπουδαία μαθηματικά, το καθοριζόμενο από την θέση σύστημα τους ήταν ανώτερο από τα υπόλοιπα συστήματα της εποχής, ακόμα και των Αιγύπτιων και των Ελλήνων. Είναι λοιπόν λογικό οι Βαβυλώνιοι να έφτασαν σε υψηλό βαθμό μαθηματικής κουλτούρας. Μέσα από τα ευρήματα που έχουν βρεθεί συμπεράνουμε πως οι Βαβυλώνιοι ήξεραν να κάνουν πολλαπλασιασμούς, να υπολογίζουν τα τετράγωνα των αριθμών, τις κυβικές ρίζες καθώς επίσης να υπολογίζουν τόκους. Γνώριζαν να επιλύουν προβλήματα με την βοήθεια της άλγεβρας, να πολλαπλασιάζουν και να προσθέτουν τα μέλη μιας εξίσωσης, να την απλοποιούν, να παραγοντοποιούν και επίσης χρησιμοποιούσαν έννοιες όπως όγκος, πλάτος, μήκος. Εντυπωσιακό είναι το γεγονός πως οι Βαβυλώνιοι μπορούσαν να επιλύουν συστήματα εξισώσεων με δύο αγνώστους, ορισμένες δευτεροβάθμιες και κυβικές εξισώσεις. Τους ήταν επίσης γνωστό το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Χαρά: Σίγουρα οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι είναι δύο πολύ αξιόλογοι λαοί που ανέπτυξαν μεγάλους πολιτισμούς και άφησαν πίσω τους σημαντικά επιτεύγματα όπως η γραφή και τα μαθηματικά, βέβαια και τα μαθηματικά δέχτηκαν τρομερή εξέλιξη, από απλούς υπολογισμούς φτάσαμε στη επίλυση προβλημάτων άλγεβρας και μέτρησης μεγεθών. Ότι και να λένε πάντως για μένα top πολιτισμός είναι ένας. Αιγύπτιοι. Γιώργος: Σιγά τα στουρνάρια και αυτοί, επειδή έφτιαξαν κάτι χωνάκια στην άμμο; Γεωργία: Πυραμίδες λέγονται! Γιάννης: Και να ξέρεις οι τύποι ήταν πολύ καλλιτέχνες, δεν φτιάχνονται έτσι εύκολα τέτοια πράγματα. Χαρά: Σε πληροφορώ Γιώργο πως οι πυραμίδες θαυμάζονται ακόμα. 58

59 Γιάννης: Πολλοί άνθρωποι ταξιδεύουν στην Αίγυπτο για να δουν από κοντά αυτά τα τέρατα διαστάσεων. Μεγαλύτερη απ όλες είναι του Χέοπα η οποία έχει ύψος 146 μέτρα και 60 εκατοστά παρακαλώ πολύ. Γενικά η Αρχαία Αίγυπτος θεωρείται ένα θαύμα. Ο πολιτισμός των Αιγυπτίων ξεκίνησε περίπου κατά την 5 η χιλιετία π.χ. και διήρκησε μέχρι που τους κατέκτησε ο Μέγας Αλέξανδρος το 332 π.χ Αποτέλεσαν μια μεγάλη παγκόσμια δύναμη. Χαρά: Τα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι Αιγύπτιοι πιστεύεται ότι προήλθαν από καθημερινά προβλήματα που αντιμετώπισαν. Η γεωμετρία τους δηλαδή προέρχεται από την ανάγκη τους για μέτρηση της γης, γιατί όπως θα γνωρίζετε ο ποταμός Νείλος είχε δημιουργήσει πολύ εύφορα εδάφη τα οποία αφθονούσαν από σιτάρι. Ωστόσο οι συχνές πλημμύρες του ποταμού ανάγκασαν Τους Αιγύπτιους να βρουν έναν τρόπο καταμέτρησης της γης έτσι ώστε να μην χάνουν εδάφη. Όσο αναφορά την άλγεβρα τώρα το σύστημα τους είχε βάση το 10 και οι τιμές των συμβόλων δεν συνδέονταν με την θέση του αλλά μιλάμε για ένα σύστημα αυστηρό προσθετικό. Μπορούμε να πούμε πως αυτό είναι σχετικά χρονοβόρο όμως οι Αιγύπτιοι κατάφεραν να φτάσουν σε αριθμούς που έφταναν τα εκατομμύρια. Μια άλλη παραξενιά που είχαν ήταν τα κλάσματα τους, τα οποία ήταν όλα μοναδιαία( δλδ είχαν αριθμητή μονάδα) με εξαίρεση δύο κλάσματα, το 2/3 και το ¾. Καταλαβαίνατε λοιπόν πόσο περίπλοκη ήταν η αναπαράσταση όλων των κλασμάτων υπό την μορφή του μοναδιαίου. Παρόλα αυτά τα κλάσματα αυτά χρησιμοποιήθηκαν μέχρι τον Μεσαίωνα. Οι αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τις 4 πράξεις τις αρίθμησης πολύ επιδέξια. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση τους είχαν μάλιστα κάποια κόλπα, να σας τα εξηγήσω; Γεω-Γιαν-Γιώρ: ΟΧΙΙΙ-ΟΧΙΙΙΙ! 59