i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο.

Transcript

1 Πάνω σε οριζόντιο έδαφος ηρεµεί µια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχ θεί αβαρές νήµα στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου εξασκείται σταθε ρή οριζόνια δύναµη F. Eάν µέχρις ότου ξετυλιχθεί το νήµα το άκ ρο του Α έχει µετατοπιστεί κατά S A, να βρεθεί η αντίστοιχη µετατό πιση του κέντρου C της τροχαλίας στις εξής δύο περιπτώσεις: i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο. ii) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι κατακόρυφο και αυτή κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Πόση είναι η τελική στροφορµή της τροχαλίας περί το κέντρο µάζας της στις δύο αυτές περιπτώσεις; Δί νεται η ροπή αδράνειας Ι=mR /, της τροχαλίας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. ΛΥΣΗ: i) Όταν το επίπεδο της τροχαλίας εφάπτεται στο οριζόντιο έδαφος το βάρος της εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου εδάφους, οπότε η µόνη δύναµη που επηρεάζει την κίνηση της τροχαλίας είναι η οριζόντια δύναµη F που ασκείται στο άκρο Α του νήµα τος. Η τροχαλία στην περίπτωση αυτή εκτελεί σύνθετη κίνηση που περιλαµ βάνει µια ευθύγραµµη µεταφορική κίνηση στην διάρκεια της οποίας το Σχήµα α. κέντρο µάζας της C µετατοπίζεται στον άξονα Οx µε επιτάχυνση a C και µια περιστροφική κίνηση περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το C µε γωνιακή επιτάχυνση '. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τρο χαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και για την περιστροφή της τον θεµελιώδη νόµο της περιστοφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις:

2 και F = ma C a C = F/m (1) FR = I' FR = mr '/ '= F/mR () H µετατόπιση S A του σηµείου Α σε χρόνο t είναι το άθροισµα των αντίστοι χων µετατοπίσεων S A µ και S A π του Α, λόγω της µεταφορικής και της περισ τροφικής κίνησης της τροχαλίας, δηλαδή ισχύει η σχέση: S A = S A µ + S A = a Ct + R"'t (1),() S A = Ft m + FRt mr = 3Ft m (3) H µετατόπιση S C του κέντρου µάζας C σε χρόνο t είναι: S C = a Ct (1) S C = Ft m (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παρατηρούµε ότι S Α =3S C. Εξάλλου η τελική στροφορµή της τροχαλίας έχει µέτρο που δίνεται από τη σχέση: L " = I " = mr 't A () L " = mr F mr t A = FRt A (5) όπου t A ο χρόνος µέχρις ότου ξετυλιχθεί το νήµα. Όµως για τον χρόνο αυ τόν ισχύει η σχέση: S A = 3Ft A m t = ms A A 3F οπότε η (5) γράφεται: L " = FR ms A 3F = R mfs A 3 (6) ii) Όταν το επίπεδο της τροχαλίας είναι κατακόρυφο και αυτή κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος, τότε το βάρος της w εξουδετερώνεται από την κατακόρυ Σχήµα β. φη αντίδραση N του µη λείου οριζόντιου εδάφους, οπότε οι µόνες δυνάµεις που επηρεάζουν την κίνηση της τροχαλίας είναι η οριζόντια δύναµη F και

3 η στατική τριβή T που ασκείται από το έδαφος. Λόγω της κυλίσεως της τροχαλίας η επιάχυνση του σηµείου επαφής Β της τροχαλίας µε το έδαφος είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: = a C - R' a C = R' (7) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας και ' η γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής της κίνησης. Όµως η επιτάχυνση του άκρου Α του νήµατος είναι ίση µε την επιτρόχια επιτάχυνση του ανώτερου σηµείου της τροχαλίας, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε a C +ω R ή λόγω της (7) ίσο µε a C. Αυτό σηµαίνει ότι όταν το Α µετατοπιστεί κατά S A το κέντρο µάζας C θα έχει µετατοπιστεί κατα S A /. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την τροχαλία το θεώρηµα κινητικής ενέργειας έργου κατά τον χρόνο που χρειάζεται να ξετυ λιχθεί το νήµα παίρνουµε τη σχέση: FS A = mv C + I " FS A = mr " + mr " 4 FS A = 3mR " 4 " = 4FS A 3mR = R FS A 3m όπου " η τελική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας. Το µέτρο της τελικής στροφορµής της τροχαλίας δίνεται από τη σχέση: (8) L " = I " = mr " (8) L " = mr R FS A 3m = R FmS A 3 P.M. fysikos Mια κυκλική στεφάνη µάζας m, εκτοξεύεται επί οριζοντίου επιπέδου και τη στιγµή που έρχεται σε επαφή µε αυτό έχει µεταφορική µόνο ταχύτητα, της οποίας ο φορέας είναι οριζόν τιος και το µέτρο της είναι v. Eάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ της στεφάνης και του οριζοντίου επιπέδου είναι n και η επιτάχυνση της βαρύτητας g, να βρείτε: i) µετά πόσο χρόνο από τη στιγµή της επαφής της στεφάνης µε το έδαφος, αυτή θα αρχίσει να κυλίεται πάνω σ' αυτό και ii) τη µετατόπιση του κέντρου της στεφάνης στη διάρκεια που αυτή δεν κυλίεται και το αντίστοιχο έργο της τριβής. ΛYΣH: i) Tη στιγµή που η στεφάνη έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο (t=) το σηµείο επαφής της A µε αυτό έχει ταχύτητα v, δηλαδή η στε φάνη ολισθαίνει επί του οριζοντίου επιπέδου, που σηµαίνει ότι η τριβή T που δέχεται από αυτό είναι τριβή ολίσθησης, η οποία τείνει να ελαττώσει την v. Όµως η τριβή έχει ροπή ως προς το κέντρο της στεφάνης, η οποία δηµιουργεί περιστροφική κίνηση στη στεφάνη περί άξονα που διέρχεται από

4 το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Aπό τα παραπάνω προκύ πτει ότι, µόλις η στεφάνη έλθει σε επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από µια επιβραδυνόµενη µεταφορική κίνηση και µια επιταχυνόµενη περιστροφική. Eάν a C είναι κάποια στιγµή η επιβράδυνση της µεταφορικής κίνησης της στεφάνης (επιβράδυνση του κέν τρου της) και ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής κίνη σης, θα ισχύουν οι σχέσεις: T = ma C nmg = ma C a C = ng (1) TR = I' nmgr = mr '/ '= ng/r () όπου m η µάζα της στεφάνης και R η ακτίνα της. Oι σχέσεις (1) και () µας πληροφορούν ότι, η µεν µεταφορική κίνηση της στεφάνης είναι οµαλά επιβ ραδυνόµενη, η δε περιστροφική της κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι για το µέτρο της µεταφορικής ταχύτητας v της στεφάνης σε χρόνο t και για το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας θα ισχύουν οι σχέσεις: v C = v - a C t (1) v C = v - ngt (3) = 't ( ) = ngt/r (4) Όταν συµβεί v C =ωr η στεφάνη θα αρχίσει να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και µάλιστα η κίνηση αυτή θα είναι οµαλή, γιατί τη στιγµή αυτή η T µηδενίζεται, αφού δεν υπάρχει επί της στεφάνης καµιά εξωτερική δύναµη που να τείνει να δηµιουργήσει εκ νέου ολίσθηση αυτής. H χρονική στιγµή t * που αρχίζει η κύλιση της στεφάνης ικανοποιεί τη σχέση: v - ngt * = ngt * R/R t * = v /ng (5) ii) H µετατόπιση S του κέντρου της στεφάνης κατά το στάδιο που αυτή ολισ θαίνει, υπολογίζεται από τη σχέση: (1),(4) S = v t * - a C t * / S = v ng - ng " v ' ng S = v ng - v 8ng = 3v 8ng (6)

5 Tο αντίστοιχο έργο της τριβής T θα υπολογιστεί αν εφαρµόσουµε κατά τον χρόνο t * που η στεφάνη ολισθαίνει και περιστρέφεται το θεώρηµα κινητικής ενέργειας έργου, οπότε θα έχουµε: mv C / + I / - mv / = W T + W N + W w mv C / + mr /4 - mv / = W T + + mr / + mr /4 - mv / = W T 3mR /4 - mv / = W T W T = m 4 3R ( - v ) (4) W T = m 4 3n g t ( * - v ) (5) W T = m v 4 3n g 4n g - v " W T = m 4 " 4 - v = - 5mv 16 3v P.M. fysikos Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, εκτοξεύεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, κατά τέτοιο τρόπο ώστε µόλις έρθει σ επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο ν αρχίσει κυλι όµενη κατά µήκος αυτού µε φορά προς την κορυφή του κεκλιµέ νου επιπέδου. i) Kάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατή µια τέτοια κίνηση της στεφάνης; ii) Ποιά είναι η µικρότερη δυνατή προς τα πάνω µετατόπιση του κέντρου της στεφάνης για δεδοµένη αρχική ταχύτητα v αυτού; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ της στεφάνης και του κεκλιµένου επιπέδου.. ΛΥΣΗ: i) Επειδή η στεφάνη κυλίεται, κάθε στιγµή το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας της συνδέεται µε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της, µε τη σχέση: v C = R (1) H (1) εφαρµοζόµενη την στιγµή t= της εκτόξευσης της στεφάνης δίνει: v = R () δηλαδη την στιγµή που η στεφάνη έρχεται σε επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο πρέπει να έχει µεταφορική ταχύτητα v παράλληλη προς το επίπεδο µε φορά προς τα πάνω και ταυτόχρονα να περιστρέφεται δεξιό

6 στροφα περί οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της µε γωνιακή ταχύτητα, τα δε µέτρα των δύο αυτών διανυσµάτων πρέπει να ικανοποιούν την σχέση (). Εξάλλου η στεφάνη κατά την ανοδική της κύλιση δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w 1 και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w και την πλάγια δύναµη επα φής από το επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθε τη αντίδραση N. Η τριβή πρέπει να έχει φορά προς τα πάνω, ώστε η ροπή της περί τον άξονα περιστροφής της στεφάνης να µειώνει την γωνιακή της ταχύτητα και να συντηρείται η σχέση (1). Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της στεφάνης τον δεύτερο νόµο του Νεύ τωνα και για την περιστροφή της τον θεµελιώδη νόµο της περιστρο φικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: w 1 - T = ma C " TR = I' mgµ" - T = ma C TR = mr ' mgµ" - T = ma C T = mr' mgµ" - T = ma C T = ma C mgµ" - ma C = ma C a C = gµ" / (3) όπου a C η επιβράδυνση της µεταφορικής κίνησης της στεφάνης και ' η γωνιακή επιβράδυνση της περιστροφικής της κίνησης. Όµως η τριβή δεσµεύεται να είναι στατική, δηλαδή πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: T nmg" ma C nmg" a C ng" (4) H (4) λόγω της (3) δίνει: gµ" / ng" "" n (5) H (5) αποτελεί δεσµευτική συνθήκη, ώστε η στεφάνη να ανερχεται κυ λιόµενη πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. ii) Εάν s είναι η µετατόπιση του κέντρου της στεφάνης τη στιγµή που παύει να ανέρχεται, συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση:

7 mv / + I / = mgs"µ mv / + mr / = mgs"µ (3) v / + v / = gsµ" v = gsµ" v = a C s (4) a C = v /s v /s ng" s v /ng" s min = v /ng" P.M. fysikos Οµογενής κύλινδρος ακτίνας R, εκτοξεύεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, κατά τέτοιο τρόπο ώστε κατά τη στιγµή της επαφής του µε αυτό να έχει µεταφορική µόνο ταχύτητα v παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, µε φορά προς την κορυφή του. i) Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κεκλιµένου επιπέ δου και του κυλίνδρου ικανοποιεί τη σχέση εφφ 3n, να δείξετε ότι κάποια στιγµή ο κυλινδρος θα αρχίσει κυλιόµενος. ii) Eάν g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, να υπολογίσετε τον χρόνο ανόδου του κυλίνδρου. iii) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου την στιγµή που αυτό επιστρέφει στο σηµείο εκτόξευσης του και να δείξετε ότι η ταχύτητά του είναι µικρότερη σε µέτρο της v. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ: i) Tη στιγµή που ο κύλινδρος έρχεται µε την παράπλευρή επιφά νεια του σε επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο, τα σηµεία επαφής του έχουν σε σχέση µε το κεκλιµένο επίπεδο ταχύτητα v, που σηµαίνει ότι ο κυλινδρος δέχεται τριβή ολίσθησης T αντίρροπη της v. Η τριβή αυτή παρουσιάζει ρο πή περι τον γεωµετρικό άξονα του κυλίνδρου, υπό την επίδραση της οποίας Σχήµα α. αποκτά δεξιόστροφη περιστροφή περί τον άξονα αυτόν και έτσι σε πρώτο στάδιο η κίνηση του κυλίνδρου είναι σύνθετη, αποτελούµενη από µια ανο

8 δική µεταφορική ολίσθηση και από µια περιστροφή. Επί του ανερχόµενου κυ λίνδρου ενεργεί το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w 1 και την κάθετη προς αυτό συνι στώσα w και η πλάγια δύναµη επαφής από το επίπεδο που αναλύε ται στην τριβή ολίσθησης T και την κάθετη αντίδραση N. Εφαρµόζον τας για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρ νουµε τη σχέση: w 1 + T = ma 1 mgµ" + nmg" = ma 1 a 1 = g(µ" + n") (1) όπου a 1 η σταθερή επιβράδυνση της µεταφορικής κίνησης. Εφαρµόζον τας για τον κύλινδρο τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης παίρνουµε τη σχέση: TR = I' 1 nmgr" = mr ' 1 / ' 1 = ng" / R () όπου ' 1 η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Τα µέτρα της ταχύτητας του άξονα του κυλίνδρου και της γωνιακής του ταχύτητας, ύστερα από χρόνο t αφότου ήλθε σε επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο, δίνονται από τις σχέσεις: v = v - a 1 t = ' 1 t " (1),() v = v - g(µ" + n")t ' ( = ngt" / R ) (3) Θεωρούµε τη χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει v=ωr. Aυτή υπο λογίζεται µέσω της σχέσεως: v - g(µ" + n")t * = ngt * " v = g(µ" + 3n")t * t * = v g(µ" + 3n") (4) Eξάλλου ο χρόνος t α ανόδου της µεταφορικής κίνησης του κυλίνδρου είναι: t = v (4) v = t a 1 g("µ + n) > t * Παρατηρούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * κατά την οποία µηδενίζε ται η σχετική ταχύτητα των σηµείων επαφής του κυλίνδρου µε το κεκ λιµένο επίπεδο και επίκειται η ανοδική του κύλιση. Αν δεχθούµε ότι για t> t * o κύλινδρος κυλίεται, τότε η κύλιση αυτή πρέπει να είναι επιβραδυνόµενη που σηµαίνει ότι η τριβή T έχει µετατραπεί σε στατι

9 κή τριβή µε φορά προς τα πάνω (σχήµα β), ώστε να προκαλεί την αναγ καία µείωση του µέτρου της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου. Εφαρµόζοντας κατά το σταδιο αυτό πάλι τον δεύτερο νόµο του Νεύτω να για την µεταφορική κίνηση και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης για την περιστροφή του κυλίνδρου, παίρνουµε τις σχέσεις: w 1 - T = ma TR = I' " mgµ" - T = ma TR = mr ' / mgµ" - T = ma T = mr' / mgµ" - T = ma T = ma / mgµ" - ma / = ma a = gµ" / 3 (5) Σχήµα β. όπου a η νέα σταθερή επιβράδυνση της µεταφορικής κίνησης και ' η γωνιακή επιβράνδυση του κυλίνδρου. Όµως για να είναι αποδεκτή η κύλιση πρέπει να υπάρχει η δεσµευτική σχέση: (5) T nmg" ma / nmg" µ" / 3 n" " 3n (6) ii) O χρόνος ανόδου t αν του κυλύνδρου είναι το άθροισµα του χρόνου t * και του χρόνου που µεσολαβεί από την έναρξη της κύλισης µέχρις µηδενισµού της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, δηλαδή ισχύει: (),(4) t " = t * + ' 1 t * /' = t * (1 + ' 1 /' ) t * = t * = v ( g(µ" + 3n") 1 + ng" / R a / R v ( g(µ" + 3n") 1 + 3n" µ" ' ' ) + * (5) ) + *

10 t * = v gµ" µ" + 3n" µ" + 3n" = v gµ" (7) iii) Aς δεχθούµε ότι για t>t αν o κύλινδρός κατέρχεται κυλιόµενος. Στην περίπτωση αυτή η τριβή T πρέπει να είναι στατική µε φορά προς τα πάνω (σχήµα γ), ώστε µέσω της ροπής της περί τον γεωµετρικό άξονα του κυλίνδρου αυτός να αποκτά γωνιακή επιτάχυνση ' 3 τέτοια ώστε η επιτρόχια επιτάχυνση των σηµείων επαφής του µε το κεκλιµέ νο επίπεδο να είναι µηδενική, δηλαδή να ισχύει: ' 3 R = a 3 όπου a 3 η επιτάχυνση της καθοδικής µεταφορικής κίνησης του κυλίν δρου. Εξάλλου σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και τον θε µελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε τις σχέσεις: Σχήµα γ. w 1 - T = ma 3 TR = I' 3 " mgµ" - T = ma 3 TR = mr ' 3 / mgµ" - T = ma 3 T = mr' 3 / mgµ" - T = ma 3 T = ma 3 / mgµ" - ma 3 / = ma 3 a 3 = gµ" / 3 (8) Όµως για να είναι αποδεκτή η κύλιση πρέπει να υπάρχει η δεσµευτι κή σχέση: T nmg" ma 3 / nmg" µ" / 3 n" " 3n (9) Παρατηρούµε ότι η σχέση εφφ 3n αποτελεί την συνθήκη ώστε, µετά την χρονική στιγµή t * ο κυλινδρος να αρχίσει σε πρώτο σταδιο κυλιό µενος προς τα πάνω (επιβραδυνόµενη κύλιση) και σε δεύτερο στάδιο κυλιόµενος προς τα κάτω (επιταχυνόµενη κύλιση). Από την ανάλυση (8)

11 που προηγήθηκε συµπεραίνουµε ότι τη στιγµή που ο κύλινδρος επισ τρέφει στην θέση εκτόξευσής του, η επιτάχυνση του κέντρου µά ζας του θα είναι a 3, η δε ταχύτητα του θα έχει µέτρο µικρότερο από v, διότι ο κύλινδρος αφ ενός έχασε µηχανική ενέργεια λόγω τριβής ολίσ θησης από τη στιγµή t= µεχρι την στιγµή t=t * και αφ ετέρου απέκτη σε περιστροφική κινητική ενέργεια σε βάρος της µεταφορικής του κινητικής ενέργειας, ενώ η βαρυτική του δυναµική ενέργεια τελι κώς είναι ίδια µε την αρχική. P.M. fysikos Οµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R, αφήνεται µε τον άξονά του οριζόντιο να κινηθεί επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ. i) Εάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και κεκλιµένου επιπέδου να µελετήσετε επαρκώς την κίνηση του κυλίν δρου. ii) Να βρείτε την στοφορµή του κυλίνδρου περί τον γεωµετρικό του άξονα, τη στιγµή που το κέντρο µάζας του έχει µετατοπιστεί κατα κόρυφα κατά R. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ρο πή αδράνειας Ι=mR / του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθουµε ότι ο κύλινδρος κυλίεται επί του κεκλιµένου επιπέ δου. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w 1 και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w και η πλάγια δύναµη επαφής από το επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Η στατική τριβή πρέπει να έχει φορά προς τα πάνω, ώστε η ροπή της περί τον άξονα του κυλίνδρου να προκαλεί αριστερόστροφη περιστρο φή που είναι αναγκαία ώστε τα σηµεία επαφής του κυλίνδρου µε το επίπεδο να αποκτούν περιστροφική ταχύτητα που εξουδετερώνει την µεταφορική τους ταχύτητα. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της µεταφορικής κίνησης παίρνουµε τις σχέ σεις:

12 w 1 - T = ma " TR = I' mgµ" - T = ma TR = mr '/ mgµ" - T = ma T = mr'/ mgµ" - T = ma T = ma/ mgµ" - ma/ = ma a= gµ" / 3 (1) όπου a η σταθερή επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης του κυλίνδ ρου και ' η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής του κίνησης. Όµως για να είναι αποδεκτή η κύλιση πρέπει το µέτρο της τριβής να ικανοποιεί τη σχέση: T nmg" ma/ nmg" µ" / 3 n" " 3n () Η () αποτελεί την δεσµευτική συνθήκη, ώστε όταν ο κύλινδρος αφε θεί επί του κεκλιµένου επιπέδου να κυλίεται πάνω σ αυτό. Εάν µετα ξύ των φ και n ισχύει η σχέση εφφ>3n, τοτε η τριβή T θα είναι τριβή ολίσθησης και η κίνηση του κυλίνδρου θα είναι µια επίπεδη κίνηση αποτελούµενη από µια µεταφορική ολίσθηση προς τα κάτω και µια αριστερόστροφη περιστροφή περί τον οριζόντιο άξονά του. Εφαρµόζον τας πάλι το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: (1) w 1 - T = ma " TR = I' mgµ" - nmg" = ma' ( nmg" = mr'/ ) a = g(µ" - n") ' ( '= ng"/r ) όπου a η σταθερή επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης και ' η στα θερή γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Έαν v C είναι η ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου ύστερα από χρόνο t αφότου αυτός αφέθηκε ελεύθερος και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου, θα ισχύουν οι σχέσεις: (3) v C = at = 't " (3) v C = gt(µ" - n") ' ( R = ngt" ) (4) Aπό τις σχέσεις (4) παρατηρoύµε ότι δεν υπάρχει χρονική στιγµή κατά την οποία συµβαίνει ωr=v C, δήλαδη επιβεβαιώνουµε ότι η συνθήκη εφφ>3n είναι απαγορευτική για την καθοδική κύλιση του κυλίνδρου.

13 i) Κάθε στιγµή η στροφορµή L του κυλίνδρου περί τον γεωµετρικό του άξονα (ιδιοστροφορµή), έχει µέτρο που δίνεται από τη σχέση: L = I = mr / (5) όπου η γωνιακή του ταχύτητα κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Στην περίπτωση που ο κύλινδρος κυλίεται (εφφ 3n) εφαρµόζοντας το θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως όπου το κέντρο µάζας του έχει µετατοπιστεί κατακόρυφα κατά R, παίρνουµε τη σχέση: = mv C / + I / - Rmg =mr / +mr /4-mgR 3R / 4 = gr = g/3r (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: L = mr ( g/3r)/ = mr gr/3 (7) Στην περίπτωση που ο κύλινδρος ολισθαίνει και περιστρέφεται (εφφ>3n) εφαρµόζοντας το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των θέσεων που αναφέρθηκαν προηγούµενα παίρνουµε τη σχέση: mv C / + I / = W w + W T + W N mv C / + mr /4 = mgr - nmg"(r / µ) + v C / + R /4 = gr(1 - n") (8) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) έχουµε: v C "µ - n = R n = ' - n n v C = R(" - n) n οπότε η (8) γράφεται: R (" - n) + R 8n 4 = gr(1 - n) R [ (" - n) + n ] = 16n g(1 - n) = 4n R g(1 - n") ( - n) + n (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (9) έχουµε:

14 L = nmr Rg(1 - n"") ("" - n) + n P.M. fysikos