διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!

Transcript

1 Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της ράβδου και του κεκλιµένου επιπέδου είναι n, να βρεθεί η γωνία µεταξύ τοίχου και ράβδου, για την οποία επίκειται η ολίσθηση της ράβδου. Ποια είναι τα αντίστοιχα µέτρα των αντιδράσεων που δέχεται η ράβδος στις άκρες της; ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε τη ράβδο ΑΒ, όταν επίκειται η ολίσθησή της στον κατακόρυφο τοίχο και στο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγµή αυτή ο φορέας της δύναµης R που δέχεται από το κεκλιµένο επίπεδο σχηµατίζει µε την κάθετη σ αυτό διεύθυνση γωνία θ για την οποία ισχύει: = T/N = nn/n = n (1) όπου T η οριακή τριβή που εξασκεί το κεκλιµένο επίπεδο στην ράβδο και N η αντίστοιχη κάθετη αντίδραση του επιπέδου. Η γωνία θ ονοµάζεται και γω νία τριβής µεταξύ της ράβδου και του κεκλιµένου επιπέδου. Εξάλλου ο φορέ Σχήµα 1 ας της R διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A του κατακόρυφου τοίχου. Όµως στην περίπτωση αυτή η ράβδος ισορροπεί οριακά, οπότε θα ισχύουν οι σχέ σεις:

2 R µ (/) = F µ[- (- $)] = w µ[ /+ (- $)] R = F µ ( - ) = w $%&(- ) R = w/($- %) ( ) F = w&'($- %) * () Eξάλλου η ισορροπία της ράβδου επιβάλλει και τη σχέση: (A ) = 0 Fµ (/ - ) - wµ / = 0 () F$ = w%µ$ w(- $)%&'( = w)µ( = ($- %) µε εφθ=n P.M. fysikos O λαιµός µιας τροχαλίας, µάζας m, εφάπτεται κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, µε το οποίο η τροχαλία παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. (σχήµα ). H τροχαλία συγκρατείται µε τη βοήθεια νήµατος, το οποίο εφάπτεται του λαι µού της και του οποίου η διεύθυνση µπορεί να µεταβάλλεται. i) Nα καθορίσετε την διεύθυνση του νήµατος για την οποία η τάση του παίρνει την ελάχιστη τιµή, ώστε η τροχαλία να ηρεµεί και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιµή. ii) Nα βρείτε την συνθήκη ώστε, για την ελάχιστη αυτή τιµή της τάσεως να είναι δυνατή η ισορροπία της τροχαλίας. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η τροχαλία ηρεµεί, όταν το νήµα σχηµατίζει γωνία θ µε την διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, την δύναµη επαφής από το κεκλι µένο επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη F από το νήµα (τάση του νήµατος) που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα F x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα F y. Λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας η συνολική ροπή, περί το κέντρο µάζας της C, όλων των δυνάµεων που δέχεται πρέπει να είναι µηδενική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: (C) = 0 FR - TR = 0 F = T (1) H σχέση (1) εγγυάται ότι η φορά της στατικής τριβής T είναι σωστή. Ακόµη η ισορροπία της τροχαλίας εξασφαλίζει ότι η συνισταµένη των δυνάµεων κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Cx και Cy είναι µηδενική, δη λαδή ισχύουν οι σχέσεις:

3 F (x) = 0 F (y) = 0$ F - w + T = 0 x x F y - w y + N = 0 F$ + T - mg%µ& = 0 ' ( F%µ$ + N - mg& = 0) () Σχήµα H πρώτη εκ των (), λόγω της (1) δίνει: F$ + F - mg%µ& = 0 F(1 + $) = mg%µ& F = mgµ 1 + $%& Aπό την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της F γίνεται ελάχιστο, όταν θ=0 δηλα δή όταν το νήµα είναι παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο. Η ελάχιστη αυτή τιµή είναι: (3) F min = mgµ = mgµ (4) ii) Επειδή η τριβή είναι στατική, το µέτρο της δεσµεύεται µε τη σχέση: (1) T nn F nn η οποία, όταν η τάση του νήµατος έχει το ελάχιστο µέτρο της, γράφεται: mgµ / nn mgµ nn (5) Εξάλλου από την δεύτερη εκ των σχέσεων () παίρνουµε: N = mg$ - F min %µ0 = mg$ οπότε η (5) γράφεται: mgµ nmg$%& $ n (6)

4 H (6) αποτελεί την ζητούµενη σχέση. P.M. fysikos Θεωρούµε σύστηµα αποτελούµενο από ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και φυσικού µήκους και από οµογενή ράβ δο µήκους και µάζας m, η οποία είναι αρθρωµένη στο άκρο της Ο, που της επιτρέπει να στρεφεται περί οριζοντιο άξονα σε κατα κόρυφο επίπεδο. Το σύστηµα κρατείται ακίνητο σε θέση όπου η ράβδος είναι οριζόντια και το ελατήριο τεντωµένο υπό κλίση, όπως φαίνεται στο σχήµα (3) και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο. i) Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου τη στιγµή που αυτή γίνεται κατακόρυφη, εάν στην αντίστοιχη θέση το ελατή ριο έχει το φυσικό του µήκος. ii) Nα βρεθεί η δύναµη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση στην προηγούµενη θέση του συστήµατος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι Ο =m /3 ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα την αρχή διατήρησης της µηχα νικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως, όπου η ραβδος είναι οριζόν τια και της θέσεως όπου αυτή γίνεται κατακόρυφη, παίρνουµε τη σχέση: U + K = U $%& + K $%& 0 + k + 0 = mg I O k = mg + m 3 (1) Σχήµα 4 Σχήµα 3 όπου γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή που γίνεται κατακόρυφη και Δ η επιµήκυνση του ελατηρίου από τη φυσική του κατάσταση στην αρ χική θέση του συστήµατος. Όµως ισχύει και η σχέση: = () + - = 5 - =( 5-1)

5 οπότε η (1) γράφεται: k ( 5-1) = mg + m / 3 3k( ) = 3mg + m m = 3k(6-5) - 3mg = 6k m (3-5)- 3g = 6k m (3-5)- 3g () Το µέτρο της τάχύτητας v C του κέντρου της ράβδου τη στιγµή που γίνεται κατακό ρυφη, δίνεται από τη σχέση: v C = () v C = 6k m (3-5)- 3g (3) To πρόβληµα έχει λύση εφ όσον ισχύει k(3-5 )>mg/ ii) Όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη το κέντρο µάζας της C έχει µηδενική επιτρόχια επιτάχυνση, διότι στην θέση αυτή το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας έχει λάβει την µέγιστη τιµή του. Αυτό σηµαίνει ότι συνιστα µένη όλων των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος στην θέση αυτή, όταν αναχ θούν στο κέντρο µάζας, αποτελεί κεντροµόλο δύναµη. Για να συµβαίνει αυτό πρέπει η δύναµη F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση να έχει φορέα την ράβδο, ώστε µαζί µε το βάρος m g της ράβδου να δίνουν κεντροµόλο δύναµη. Έτσι έαν F είναι η αλγεβρική τιµή της F θα ισχύει η σχέση: mg + F = m v (3) C / mg+f=m 4 6k m (3-5)- 3g $ & % mg+f=m 6k m (3-5) - 3g $ & % F=3k(3-5)- 5mg mg+f=3k(3-5)- 3mg (4) Eάν 3k(3-5 )>5mg/, θα είναι και k(3-5 )>mg/. Τότε F>0, που σηµαί νει ότι η F είναι οµόρροπη προς το βάρος m g της ράβδου. Eάν mg/<k(3-5 )<5mg/6, τότε F<0, δηλαδή η F είναι αντίρροπη προς το βάρος m g της ράβδου. P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µάζας M και µήκους, µπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο

6 άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Α. Aρχικά η ράβδος ισορ ροπεί ευσταθώς και κάποια στιγµή προσκρούει στο κέντρο της µικ ρό βλήµα µάζας m, κινούµενο οριζοντίως στο επίπεδο κινήσεως της ράβδου και εξέρχεται µε ταχύτητα ίση µε το µισό της ταχύτη τας προσκρούσεώς του. i) Nα βρεθεί η ταχύτητα προσκρούσεως του βλήµατος, αν η µέγιστη εκτροπή της ράβδου από την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ=π/3. ii) Nα βρεθεί η δύναµη που εξασκεί στην ράβδο ο άξονας περιστρο φής της στην θέση της µέγιστης εκτροπή της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=Μ /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος προς αυτήν. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο που διαρκεί το πέρασµα του βλήµα τος µέσα από τη ράβδο, η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-βλήµα περί τον άξονα περιστροφής της ράβδου διατηρείται σταθερή, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: mv = mv 0 + I mv 0 = M 4 3 mv 0 4 = M 3 (1) Σχήµα 5 όπου v 0 η ταχύτητα προσκρούσεως του βλήµατος και η γωνιακή ταχύτη τα περιστροφής της ράβδου, αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµατος, δηλαδή κατά την έναρξη της περιστροφικής της κίνησης. Eφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση της ράβδου το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, παίρνουµε τη σχέση: 0 + I = Mg(1 -$%) + 0 M 6 = Mg(1 - $/3) = 3g/ = 3g/ () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: mv 0 4 = M 3 3g v 0 = M m g 3 (3)

7 ii) Στην θέση της µέγιστης εκτροπής της ράβδου (φ=π/3) το κέντρο µάζας της έχει µηδενική ταχύτητα, που σηµαίνει ότι µηδενική είναι η κεντροµόλος επιτάχυνσή του, δηλαδή στην θέση αυτή η επιτάχυνση a του κέντρου µάζας είναι επιτρόχιος επιτάχυνση. Εάν ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυν ση της ράβδου, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει: I'= Mg µ M 3 '= Mg 3 '= 3 3g 4 (4) Σχήµα 6 To µέτρο της επιτάχυνσης a είναι: a = ' (4) a = 3 3g 4 = 3 3g 8 Εξάλλου εάν a x, a y είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοί χως της a, τότε για τις αλγεβρικές τους τιµές θα ισχύουν οι σχέσεις: (5) a x = -a$ a y = a%µ$ & ' ( (5) a x = -(3 3g/8)(1/ ) a y = (3 3g/8)( 3 / ) $ a x= -3 3g/16 a y = 9g/16 $ (6) Eφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου στην θεωρούµενη θέση τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, κατά τις διευθύνσεις Αx και Ay, παίρ νουµε τις σχέσεις: Ma x = F x Ma y = Mg + F y F x= Ma x F y = Ma y - Mg (6) F x = -3 3Mg/16 F y = -7Mg/16 $ (7) όπου F x, F y οι αλγεβρικές τιµές της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνι στώσας αντιστοιχως της ζητούµενης δύναµης F. P.M. fysikos

8 Μια κοίλη σφαίρα µε λεπτό τοίχωµα, µάζας m και ακτίνας R και ένας κύβος ακµής R και µάζας λm, όπου λ αδιάστατη θετική ποσότητα, κινούνται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ, ώστε τα δύο σώµατα συνεχώς να εφάπτονται. Η σφαίρα προπορεύεται του κύβου, η δε κάθετη ευθεία επί την έδρα του κύβου στο σηµείο επαφής µε την σφαίρα διέρχεται από τα κέντρα µάζας των δύο σωµάτων (σχήµα 7). Η επαφή του κύβου µε το κεκλιµένο επίπεδο και µε την σφαίρα είναι λεία, ενώ µεταξύ σφαίρας και κεκλιµένου επιπέδου υπάρχει τριβή, µε συντελεστή οριακής τριβής n. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο κεκλιµένο επί πεδο, να δείξετε την σχέση: < n( + $) 1 + $ ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι η σφαίρα κυλίεται πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, που σηµαίνει ότι η περιστροφή της περί το κέντρο µάζας της C 1 είναι αριστερόστροφη. Έτσι είναι δυνατός ο µηδενισµός της ταχύτητας του σηµεί ου επαφής της µε το κεκλιµένο επίπεδο στο σύστηµα αναφοράς του επιπέ δου αυτού. Κατά την κύλιση της σφαίρας αυτή δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, την δύναµη επαφής από το κεκλι µένο επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T 1 και την κάθετη αντίδρα Σχήµα 7 ση N 1 και τέλος την δύναµη επαφής N από τον κύβο, της οποίας ο φορέας ως κάθετος στην έδρα επαφής διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Eφαρµό ζοντας για την µεταφορική κίνηση της σφαίρας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: w x + N - T 1 = ma C mgµ + N - T 1 = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας. Εξάλλου, εφαρµό ζοντας για την περιστροφή της σφαίρας περί το κέντρο της τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τη σχέση: I'= T 1 R mr '= T 1 R mr'= T 1 ()

9 όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως λόγω της κυλίσεως της σφαίρας ισχύει a C =ω R, οπότε η () γράφεται: T 1 = ma C (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) έχουµε: mgµ + N - T 1 = T 1 mgµ + N = T 1 (4) Eξετάζοντας τον κύβο διαπιστώνουµε ότι αυτός εκτελεί µεταφορική κίνηση, υπό την επίδραση του βάρους του W, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα W x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα W y, την δύναµη επαφής N από το κεκλιµένο επίπεδο που έχει φορέα κάθε το σ αυτό και τέλος την δύναµη επαφής από την σφαίρα, η ποία σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα είναι ίση µε - N. Στο σηµείο αυτό πρέπει να Σχήµα 8 παρατηρήσουµε ότι ο φορέας της δύναµης N διέρχεται από το κέντρο µά ζας C του κύβου, ώστε η συνολική ροπή όλων των δυνάµεων περί το κέν τρο µάζας να είναι µηδενική, όπως απαιτεί η µεταφορική κίνηση του κύβου. Εφαρµόζοντας για τον κύβο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα έχουµε: (3) W x - N = ma C mgµ - N = ma C mgµ - N = T 1 N = mgµ - T 1 (5) Συνδυάζοντας τις (4) και (5) παίρνουµε: mgµ + mgµ - T 1 = T 1 mgµ(1 + ) = T 1 ( + ) T 1 = mgµ(1 + )/ + (6) Eπειδή η τριβή T 1 είναι στατική ισχύει: (6) T 1 < nn 1 T 1 < nmg$ mgµ (1+)/ + <nmg$%& µ(1 + ) < n( + )$%& µ /$% < n( + &)/1 + &

10 n( + $) < 1 + $ P.M. fysikos Κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, εκτο ξεύεται σε τραχύ οριζόντιο έδαφος κατά τέτοιο τρόπο, ώστε την στιγµή που έρχεται σ επαφή µε το έδαφος να έχει µεταφορική τα χύτητα v 0 παράλληλη προς αυτό και γωνιακή ταχύτητα 0 περι το κέντρο της, κάθετη στο επίπεδο της στεφάνης. Εάν τα διανύσµατα v 0, 0 ικανοποιούν τη σχέση: v 0 = ( 0 r A )/ 5 όπου r A το διάνυσµα θέσεως του σηµείου επαφής Α της στεφάνης µε το έδαφος, ως προς το κέντρο της C, να δείξετε τα εξής: i) υπάρχει χρονική στιγµή κατά την οποία αντιστρέφεται η µεταφο ρική κίνηση της στεφάνης, ii) η στεφάνη τελικώς θα κυλίεται ισοταχώς και iii) η τελική κινητική ενέργεια της στεφάνης είναι K = 9mv 0 /16 ΛΥΣΗ: i) Η σχέση (α) δηλώνει ότι, αν η φορά της µεταφορικής ταχύτητας v 0 είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα (9), τότε η φορά της γωνιακής ταχύ τητας 0 είναι προς τον αναγνώστη (κανόνας του δεξιού χεριού), τα δε µέτρα των διανυσµάτων v 0, 0 ικανοποιούν τη σχέση: v 0 = 0 R/5 v 0 < 0 R (1) Eπειδή κατά τη στιγµή που η στεφάνη έρχεται σ επαφή µε το οριζόντιο έδαφος το σηµείο επαφής A έχει, λόγω µεταφορικής κίνησης και λόγω περιστροφικής κίνησης, οµόρροπες ταχύτητες, η στεφάνη θα ολισθαίνει κατά την φορά της v 0 µε αποτέλεσµα η τριβή T από το έδαφος να είναι τριβή (α) Σχήµα 9 Σχήµα 10 ολίσθησης, η δε φορά της είναι αντίρροπη της v 0 (σχήµα 10). Έτσι υπό την επίδραση της τριβής η µεταφορική κίνηση της στεφάνης γίνεται επιβραδυνό

11 µενη, η δε επιβράδυνση a C του κέντρου µάζας της στεφάνης, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, θα έχει µέτρο που ικανοποιεί τη σχέση: T = ma C nn = ma C nmg = ma C a C = ng () όπου m η µάζα της στεφάνης και N η κάθετη αντίδραση από το οριζόντιο έδαφος. Aπό την () προκύπτει ότι, η επιβράδυνση a C είναι σταθερή, δηλαδή η µεταφορική κίνηση της στεφάνης είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της, ύστερα από χρόνο t αφότου ήλθε σ επαφή µε το οριζόντιο έδαφος, θα δίνεται από την σχέση: () v C = v 0 - a C t v C = v 0 - ngt (3) Eξάλλου, υπό την επίδραση της ροπής της T περί το κέντρο µάζας της στε φάνης, η περιστροφική της κίνηση είναι επιβραδυνόµενη µε γωνιακή επιβρά δυνση ', της οποίας το µέτρο, σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης δίνεται από τη σχέση: TR = Iω nmgr = mr ω ω = ng/r (4) δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει η περιστροφική κίνηση της στεφά νης είναι οµαλά επιβραδυνόµενη. Έτσι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της κατά τη χρονική στιγµή t θα είναι: (3) ω = ω 0 - ω t ω = ω 0 - ngt/r (5) Aπό τη (3) προκύπτει ότι, η ταχύτητα v C µηδενίζεται κατά τη χρονική στιγ µή t 1, για την οποία ισχύει: 0 = v 0 - ngt 1 t 1 = v 0 /ng (6) Σχήµα 11 Σχήµα 1 ενώ από την (5) προκύπτει ότι, η µηδενίζεται κατά τη χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει: 0 = ω 0 - ngt /R t = ω 0 R/ng (7) Eπειδή ισχύει v 0 <Rω 0 θα είναι t 1 <t, δηλαδή θα µηδενιστεί πρώτη η µετα

12 φορική ταχύτητα της στεφάνης και την στιγµή t 1 το σηµείο επαφής A θα έχει ταχύτητα v * µε µέτρο: (6) v * = R( 0 - ngt 1 / R) = R 0 - ngt 1 v * = 5v 0 / - v 0 = 3v 0 / (8) που σηµαίνει ότι, η τριβή T εξακολουθεί να είναι τριβή ολίσθησης µε φορά ως και προηγουµένως, προκαλεί δε αναστροφή της µεταφορικής κίνησης της στεφάνης, η οποία τώρα είναι επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση µέτρου ng, ενώ η ροπή της T περί το κέντρο µάζας της στεφάνης συνεχίζει να επιβραδύνει την περιστροφική κίνηση αυτής µε γωνιακή επιβράδυνση µέτρου ng/r. Έτσι το σηµείο επαφής A θα έχει σ αυτό το στάδιο κίνησης της στεφάνης δύο αντίρροπες ταχύτητες v A,µ και v A,, εκ των οποίων η v A,µ θα οφείλεται στην µεταφορική κίνηση της στεφάνης και η v A, στην περιστροφική της κίνηση, τα δε µέτρα τους θα ικανοποιούν τις σχέσεις: v A,µ = ngt v A, = v * - ngtr/r $ (8) v A,µ = ngt v A, = 3v 0 /- ngt $ (9) Aπό τις σχέσεις (9) παρατηρούµε ότι, υπάρχει χρονική στιγµή τ για την οποία ισχύει: v A,µ = v A, ng = 3v 0 /- ng ng = 3v 0 / = 3v 0 /4ng (10) Tην χρονική αυτή στιγµή τ µηδενίζεται η ταχύτητα του σηµείου επαφής A, οπότε η στεφάνη αρχίζει να κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος. Eξάλλου τη στιγµή αυτή καµιά εξωτερική δύναµη δεν εξαναγκάζει τη στεφάνη προς ολίσθηση, οπότε η τριβή T µηδενίζεται µε αποτέλεσµα η κύλιση της στεφά νης στο οριζόντιο έδαφος να είναι οµαλή µε ταχύτητα µεταφορικής κίνησης v, η οποία είναι αντίρροπη της v 0, το δε µέτρο της είναι: v = ng (10) v = 3ngv 0 /4ng = 3v 0 /4 (11) iii) H τελική κινητική ενέργεια Κ τ της στεφάνης υπολογίζεται από την σχέ ση: K = mv + mr = mv + mv (11) mv = mv K = 9mv 0 16 P.M. fysikos Οµογενής ράβδος AB µάζας Μ και µήκους, µπορεί να στρέφεται εκτός του πεδίου βαρύτητας της Γης περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το µέσο της O. Στο ένα της άκρο Α έχει προσαρµοσθεί µικρός σωλήνας µάζας m που διαπερνά την ράβδο και υπό κειται σε δύναµη δεσµού µεγιστης τιµής Τ 0, η οποία ενεργεί παράλληλα προς τη ράβδο. H ράβδος

13 είναι οριζόντια και κάποια στιγµή στο άλλο άκρο της Β προσπίπτει κατακόρυφα µε ταχύτητα v 0 ένα σφαιρίδιο πυλού µάζας m, το οποίο συγκρούεται πλαστικά µε τη ράβδο. Nα βρείτε την συνθήκη, ώστε µετά την κρούση ο σωλήνας να ηρεµεί σε σχέση µε την ράβ δο. Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I Ο =M /1. ΛΥΣΗ: Aν δεχθούµε ότι µετά την κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο ο σωλήνας ηρεµεί ως προς τη ράβδο, τότε κάθε στιγµή η γραµµική του ταχύ τητα θα είναι ίδια µε την ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου. Όµως κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) της πλαστικής κρούσεως της ράβδου µε το σφαιρίδιο η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-σωλήνας-σφαιρίδιο, περί τον άξονα περιστροφής του διατηρείται σταθερή, διότι η αντίστοιχη συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα είναι µηδενική, δη λαδή ισχύει η σχέση: λίγο πριν = αµέσως µετά λίγο πριν = αµέσως µετά mv 0 = I O + m 4 mv 0 = M 1 + m % $ ' & 6mv 0 = (M + 6m) = 6mv 0 (M + 6m) (1) Σχήµα 13 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος αµέσως µετά την κρούση. Στην συνέχεια η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων εξακο λουθεί να είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι το σύστηµα θα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε, δηλαδή ο σωλήνας εκτελεί οµαλή κυκ λική κίνηση κέντρου Ο και ακτίνας /. Kατά την κίνηση αυτή η δύναµη δεσµού T που δέχεται ο σωλήνας από τα τοιχώµατα της ράβδου αποτελεί για τον σωλήνα κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: T = m (1) T = m 6mv 0 $ (M + 6m) & % () Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος εξασφαλίζουν ότι Τ Τ 0, οπότε η () παίρνει την µορφή: m 6mv 0 $ (M + 6m) & % ' T 0 6mv 0 (M + 6m) T 0 m

14 v 0 T 0 (M + 6m) m 6m (3) Η σχέση (3) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. P.M. fysikos