( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.

Transcript

1 Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται µε την βοήθεια οριζόντιου νήµα τος που περιβάλλει τον κυλινδρικό κορµό του, το ελεύθερο άκρο Α του οποίου κινείται µε σταθερή v 1 ταχύτητα αντίρροπη της v, µε v 1 >v. Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια του καρουλιού. Δίνεται η µάζα m του καρουλιού, η ακτίνα αδράνειας R K αυτού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα και οι ακτίνες r, R του κυλινδρικού κορµού και των κυκλικών του βάσεων, µε R>r. ΛΥΣΗ: Λόγω της κυλίσεως του καρουλιού η ταχύτητα του σηµείου επαφής του Ε µε το δοκάρι στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ίση µε την αντί στοιχη ταχύτητα v του δοκαριού, δηλαδή ισχύει η σχέση: R - v K = v v K = R - v όπου v K η ταχύτητα του κέντρου µάζας Κ του καρουλιού και η γωνιακή του ταχύτητα. Ακόµη για την ταχύτητα του σηµείου επαφής Α του καρουλιού µε το νήµα ισχύει: v A = v 1 v K + r = v 1 v K = v 1 - r () Σχήµα 1 Συνδυάζοντας τις σχέσεις και () έχουµε: R - v = v 1 - r ( R + r) = v + v 1

2 = v + v 1 R + r (3) H λόγω της (3) γράφεται: ( v K = v + v 1 )R ( - v R + r v K = v + v 1 )R - v R + r R + r ( ) = v 1R - v r R + r > (4) δηλαδή η ταχύτητα v K έχει την φορά που δεχθήκαµε στο σχήµα. Για την κινητική ενέργεια K του καρουλιού έχουµε την σχέση: K = mv K + I K (3),(4) K = m v 1 R - v r & " R + r % + mr K " v + v 1 R + r & % K = m ( v ( ) 1 R - v r) + R K ( v + v 1 ) " R + r %& P.M. fysikos Στο αυλάκι µιας κυκλικής οµογενούς τροχαλίας µάζας m και ακτίνας R έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα του οποίου το ένα ακρο έχει στερεωθεί σε σταθερό σηµείο Ο. Αρχικά η τροχαλία κρατείται ακίνητη, ώστε η περιφερειά της να εφάπτεται λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα µε το επίπεδο της κατακόρυφο, το νήµα τεντωµένο µε κατεύθυνση κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο, το δε κέντρο της τροχαλίας βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη µε το Ο. Κάποια στιγµή η τροχαλία αφήνεται ελεύθερη και αποκτά επίπεδη κίνηση εφαπτόµενη συνεχώς του κεκλι µένου επιπέδου. i) Nα βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου επαφής της τροχαλίας µε το κεκλιµένο επίπεδο, την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακόρυφο, αν η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας είναι. ii) Nα βρεθεί το έργο της τάσεως του νήµατος από την στιγµή που η τροχαλία αφήνεται ελεύθερη, µέχρις ότου το νήµα γίνει κατακόρυφο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR / της τροχαλίας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) H τροχαλία όταν αφεθεί ελεύθερη εκτελεί επίπεδη κίνηση που θεωρείται επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου και µιας περιστροφικής κίνησης περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της. Την στιγµή που το νήµα γίνεται κατακό ρυφο η ταχύτητα v E του σηµείου επαφής E της τροχαλίας µε το νήµα είναι κάθετη στο νήµα, δηλαδή οριζόντια, διότι κατά την διεύθυνση του νήµατος η

3 ταχύτητα του Ε είναι µηδενική. Eξάλλου η ταχύτητα v E προκύπτει ως συνι σταµένη της µεταφορικής ταχύτητας v C της τροχαλίας και της περιστροφικής ταχύτητας v,e του σηµείου Ε, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος (σχ. ). Aπό το διανυσµατικό διάγραµµα ταχυτήτων του Ε προκύπτει η σχέση: µ" = v,e v C = R v C v C = R "µ Σχήµα H ταχύτητα v A του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε το κεκλιµένο επίπεδο θα προκύψει ως συνισταµένη της µεταφορικής ταχύτητας v C της τροχαλίας και της περιστροφικής ταχύτητας v,a του σηµείου Α, η οποία κατευθύνεται παράλληλα προς το κεκλιµένο επίπεδο και προς τα πάνω (σχ. ). Aπό το διανυσµατικό διάγραµµα ταχύτήτων του Α έχουµε την σχέση: v A = v C - v,a = v C - "R v A = R "µ R - R = ( "µ 1 - "µ ) () ii) H τροχαλία στην διάρκεια της κίνησής της δέχεται το βάρος της w, την τάση T του νήµατος και την δύναµη επαφής N από το λείο κεκλιµένο επίπε δο, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτό. Εφάρµόζοντας για την τροχαλία το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου από την στιγµή που αφήνεται ελεύ θερη µέχρις ότου το νήµα γίνει κατακόρυφο, παίρνουµε την σχέση: U+ K = W T + W -mg(oe)+mg(oc )+mv C N + I =W + T -mg(oe - OC ) + mv C + I = W T -mg(ec ) + mv C + mr 4 = W T

4 W T = -mgr" + m R %µ + mr 4 W = mr & -4g" + R T 4 %µ + ) ( R+ ' * όπου W T το ζητούµενο έργο της τάσεως του νήµατος. P.M. fysikos Στη διάταξη του σχήµατος (3) η τροχαλία τ έχει µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά της ακτίνας R, ο κυκλικός δισκος δ έχει µάζα m και ακτίνα R, το δέ δοκάρι Δ έχει µάζα m και εφάπτεται λείου οριζόντιου εδάφους. Εφαρµόζοντας επί του δοκαριού οριζόντια δύναµη F της οποίας ο φορέας έχει την κατεύθυνση του δοκαριού αυτό αρχίζει να κινείται, ενώ ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο δοκάρι. Nα βρεθoύν: i) η επιτάχυνση του δοκαριού και ii) η ελάχιστη τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και δοκαριού, ώστε να εξασφαλίζεται η κύλιση του δίσκου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ροπή αδράνειας Ι=mR του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του, το δε νήµα που διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας θεωρείται αµελητέας µάζας µη εκτατό και δεν ολισθαίνει. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας το σύστηµα κάποια στιγµή, παρατηρούµε τα εξής: α. Ο δίσκος δ δέχεται το βάρος του w, την τάση Q 1 του οριζόντιου νήµατος και την δύναµη επαφής από το δοκάρι, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T. H κίνηση του δίσκου µπορεί να θεωρηθεί ως επαλ ληλία δύο κινήσεων µιας οριζόντιας µεταφορικής κίνησης µε επιτάχυνση a και µιας περιστροφικής κίνησης µε γωνιακή επιτάχυνση ". Εφαρµόζοντας για Σχήµα 3 την µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέ σεις:

5 Q 1 - T = ma % TR = mr " & Q 1 - T = ma T = mr " % & β. Το δοκάρι Δ κατά την οριζόντια διεύθυνση κινήσεώς του δέχεται την δύ ναµη F, την τάση Q του οριζόντιου νήµατος και την τριβή - T από τον δίσκο αντίθετη της T (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης). Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε: F - Q - T = ma F - Q - T = ma () όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού, που είναι αντίθετη της a. γ. Η σταθερή τροχαλία τ περιστρέφεται υπό την επίδραση των ροπών περί το κέντρο της των τάσεων Q 1, Q του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της οι οποίες είναι αντίθετες των Q 1 Q, διότι το νήµα είναι αµελητέας µάζας, σύµφωνα δε µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε: Q R - Q 1 R = MR " Q - Q 1 = MR " (3) όπου " η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Όµως ισχύει a δ =a Δ =ω τ R οπότε η (3) παίρνει την µορφή: Q - Q 1 = Ma (4) Eξάλλου επειδή ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι η εφαπτο µενική επιτάχυνση του σηµείου επαφής του Ε µε αυτό είναι ίση µε την επιτά χυνση του δοκαριού, δηλαδή ισχύει η σχέση: a - a " = a R " - a = a a = R " R " = R " " = " όπου a η επιτάχυνση του Ε η οφειλόµενη στην περιστροφή του δίσκου, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε Rω δ, όποτε oι σχέσεις γράφονται: Q 1 - T = ma T = ma " (5) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (), (4) και (5) παίρνουµε: (5) F - T = 4ma + Ma F - ma = 4ma + Ma F = ( 5m + M)a a = F 5m + M (6) ii) Επειδή η τριβή είναι στατική ικανοποιεί την σχέση:

6 (5) T nn (6) ma " nmg a " ng F 5m + M ng n F ( 5m + M)g n min = F ( 5m + M)g όπου n min η µικρότερη τιµή που πρέπει να έχει ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ δίσκου και δοκαριού για να εξασφαλίζεται η κύλιση χωρίς ολίσθηση του δίσκου πάνω σ αυτό. P.M. fysikos Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο της µια δύναµη µέρου F=mg/π, που ο φορέας της είναι συνεχώς κάθετος στην ράβδο. i) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή εκτροπή της ράβδου και την δύνα µη από τον άξονα περιστροφής στην αντίστοιχη θέση της. ii) Nα βρείτε σε ποια θέση η κινητική ενέργεια της ράβδου γίνεται µέγιστη και να υπολογίσετε την κινητική αυτή ενέργεια. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Η ράβδος δέχεται το βάρος της w, την δύναµη F στο άκρο της Μ και την αντίδραση R του άξονα περιστροφής, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σταθερό άκρο της Ο. Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα µηχανι Σχήµα 4 κής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής της θέσεως ΟΜ και της τυχαίας θέσε

7 ως ΟΜ, όπου αυτή σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση, παίρ νουµε την σχέση: K + U - ( K + U ) = W F + W K-mg(O C )+mg(oa R )=W F K-mg(L/)"+mgL/ = F L K-mgL (" - 1) / = F L H µέγιστη γωνιακή εκτροπή φ max της ράβδου αντιστοιχεί στην περίπτωση που η κινητική της ενέργεια Κ µηδενίζεται, οπότε στην θέση αυτή η δίνει: -mgl (" max - 1) / = F max L mgl( 1 - " max ) / = ( mg/% ) max L 1 - " max = max /% max = "/ () Το κέντρο µάζας C της ράβδου µε την επανέναρξη κίνησής της από την θέση µέγιστης εκτροπής θα διαγράφει κυκλικό τόξο κέντρου O και ακτίνας L/, oι δε εξισώσεις κίνησής του την στιγµή που επανακινεί έχουν την µορφή: R x = m L/ R y + w - F = m " L/ % R x = % R y + mg - mg/ = m " L/ & R x = [ ( ) + " L/ ] & % & R y = m g / ' (3) Σχήµα 5 όπου " η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου την στιγµή αυτή, ενώ η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα είναι µηδενική. Εφάρµόζοντας την ίδια στιγµή για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: " (O) = I O mg L ml -FL = " 3 mg L - mg L = ml 3 " g - g = L " 3 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

8 R x =. ( " R y = m g % ' + 3 " g & - g % + / * ' - ) &, 1 R x = R y = - mg ( " * % ) ' & * + Aπό την δεύτερη εκ των (5) προκύπτει ότι η κατακόρυφη συνιστώσα R y της R είναι αντίρροπη του µοναδιαίου διανύσµατος j του άξονα Οy, δηλαδή έχει σχεδιαστεί σωστά (σχ. 5). ii) H εφαρµοζόµενη στο ελεύθερο άκρο M της ράβδου δύναµη F, έχει περί τον άξονα περιστροφής της σταθερή ροπή, µέτρου τ 1 =FL υπό την επίδραση της οποίας η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της OM. Kατά την περιστροφή αυτή το βάρος w της ράβδου παρουσιάζει αντί στοιχη ροπή που αντιστέκεται στην περιστροφή της, της οποίας το µέτρο είναι: = w(km) = mgl"µ / (6) Eπειδή η γωνία φ αυξάνεται, σύµφωνα µε την (6) θα αυξάνεται και το µέτρο της ροπής του βάρους και έστω ότι υπάρχει γωνία φ * για την οποία ισχύει: (5) 1 = FL = mglµ" * / mgl/ = mgl"µ * / µ" * =/ * ="%µ ( /& ) (7) Δηλαδή, όταν φ φ * θα ισχύει τ 1 >τ, που σηµαίνει ότι η ράβδος θα επιταχύ νεται, ενώ για φ>φ * θα ισχύει τ 1 <τ και η ράβδος θα επιβραδύνεται, οπότε για φ=φ * η ράβδος θα παρουσιάζει την µέγιστη γωνιακή της ταχύτητα max και εποµένως και την µέγιστη κινητική της ενέργεια. Eφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως όπου φ=φ *, παίρνουµε: K max - K " = W F + W w K max - = FL * - mgl ( 1 - " * ) K max = mgl * " & K max = mgl ( '( - mgl "µ ( /% ) % (7) ( µ * ) ) + % * + K max = mgl, & "%µ ) /. ( ' * P.M. fysikos

9 Mια ευκίνητη τροχαλία µάζας M και ακτίνας R είναι στερεωµένη, όπως φαίνεται στο σχήµα (6) και στο αυλάκι της έχει πετυλιχθεί λεπτό και µη εκτατό νήµα επαρκούς αντοχής, στο ένα άκρο του οποίου έχει δεθεί σώµα µάζας m 1 και στο άλλο άκρο σώµα µάζας m <m 1. Tο πρώτο σώµα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο σώµα κρατείται, ώστε το νήµα να είναι χαλαρό και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Ύστερα από κατακόρυ φη διαδροµή h του σώµατος το νήµα τεντώνεται και το σώµα µάζας m 1 αρχίζει να ανυψώνεται. Nα βρεθεί η µέγιστη αποµάκρυνση της µάζας m 1 από το οριζόντιο έδαφος, µε την προϋπόθεση ότι η από σταση της τροχαλίας από αυτό είναι αρκετά µεγάλη. Δίνεται η η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι= MR / της τροχαλίας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερ χόµενο από το κέντρο της. ΛYΣH: Tο σώµα µάζας m, µέχρις ότου τεντωθεί το νήµα δέχεται µόνο το βάρος του, οπότε η ταχύτητά του v λίγο πριν τεντωθεί το νήµα θα έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: v = gh Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt ) που διαρκεί το τέντωµα του νήµατος το σώµα µάζας m δέχεται την τάση T του νήµατος και το βάρος του m g, οπότε εφαρµόζοντας για το σώµα αυτό κατά τον χρόνο Δt, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση: m V = m v + " ("t) T + m g t m V = m v + " T () Σχήµα 6 όπου V η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος και

10 T η ώθηση* της T για τον χρόνο Δt. Mε θετική φορά στην κατακόρυφη διεύ θυνση την προς τα πάνω, η διανυσµατική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία έχει την µορφή: -m V = -m v + " T T = m v - m V " (3) Eξάλλου, το σώµα µάζας m 1 στην διάρκεια του χρόνου Δt δέχεται το βάρος του m 1 g, την τάση T 1 του νήµατος και την αντίδραση A του οριζοντίου επιπέδου, της οποίας το µέτρο ελαττώνεται από την τιµή m 1 g στην τιµή µηδέν, οπότε αρχίζει και η ανύψωσή του. Eφαρµόζοντας για το σώµα αυτό, κατά τον χρόνο Δt, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση: m 1 (- V ) = + " T 1 + m 1 g t + " A -m 1 V = " T 1 m 1 V = " T 1 (4) διότι m 1 g t" και A ". Eξάλλου η τροχαλία κατα τον χρόνο Δt αποκτά γωνιακή ταχύτητα υπό την επίδραση των ροπών περί το κέντρο της των τά σεων T 1, T του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της, οι οποίες τάσεις είναι αντιστοίχως αντίθετες των T 1, T (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης). Εφαρ µόζοντας για την τροχαλία το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορµής για τον χρόνο Δt παίρνουµε την σχέση: t MR / - = ( T " Rdt) - ( T " Rdt) 1 t MR / = "t (T dt) - (T 1 dt) MR / = " T - " "t T 1 MV / = " T - " T 1 (5) διότι ισχύει V κ =ωr. Συνδυάζοντας την (5) µε τις (3) και (4) παίρνουµε: m v - m V - m 1 V = MV / m v = V (M / + m 1 + m ) V = m v M/ + m 1 + m V = m gh (7) M / + m 1 + m Έστω ότι το σώµα µάζας m 1, µετά το τέντωµα του νήµατος ανέρχεται κατά H, σε σχέση µε το οριζόντιο επίπεδο, οπότε το σώµα µάζας m θα µετατοπιστεί προς τα κάτω κατά H. Eπειδή η µηχανική ενέργεια του συστήµατος της τροχα λίας και των µαζών m 1, m διατηρείται σταθερή µετά το τέντωµα του νήµατος, * H ωθηση της τάσεως του νήµατος δεν είναι αµελητέα, διότι στην διάρκεια του χρόνου Δt η τάση αυτή αποτελεί ωστική δύναµη.

11 θα έχουµε την σχέση: E 1 + E + E " = K 1 + U 1 + K + U + K " = (-m 1 V / )+ m 1 gh + (-m V / ) - m gh + (-MR " /) = V (m 1 + m + M/)= gh(m 1 - m ) H = V (m 1 + m + M/) g(m 1 - m ) H = (7) ghm (m 1 + m + M/) (m 1 + m + M/ ) g(m 1 - m ) H = hm (m 1 + m + M/ )(m 1 - m ) Παρατήρηση 1η: Μπορούµε ευκολότερα να υπολογίσουµε το κοινό µέτρο των ταχυτήτων V και - V χρησιµοποιώντας το θεώρηµα* γωνιακής ώθησης-στροφορµής για το σύστηµα της τροχαλίας και των δύο σωµάτων, λαµβάνοντας τις στροφορµές περί το ακίνητο κέντρο O της τροχαλίας. Έτσι θα έχουµε: L (o) " = L (o) %& + ' (o) m 1 V R k +m V R k + I" k = m vr k (-m 1 gr k +m gr k )t + R k t " Adt RV ( m 1 +m )+ I" = m vr + Rg( -m 1 +m )t + R Adt V ( m 1 +m )+ MR" / = m v + g( -m 1 +m )t + Adt t t ( ) + όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο της τροχαλίας, Όµως η ποσότητα g(-m 1 +m )Δt τείνει στο µηδέν, διότι ο χρόνος Δt είναι πολύ µικρός, η δε δύνα * Το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορµής για σύστηµα στερεών σωµάτων έχει µια ιδιαιτερό τητα όσον αφορά την εκλογή του σηµείου περί το οποίο λαµβάνονται οι στροφορµές των σωµά των. Στην περίπτωση που το σηµείο αυτό είναι ακίνητο το θεώρηµα έχει την ακόλουθη διατύ πωση: H µεταβολή σε ορισµένο χρόνο της στροφορµής περί <<ακίνητο σηµείο >> συστήµα τος στερεών σωµάτων, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των ωθήσεων για τον χρόνο αυτόν των ροπών περί το θεωρούµενο σηµείο, όλων των εξωτερικών δυνάµε ων που δέχεται το σύστηµα.

12 µη A είναι µη ωστική και η ώθησή της t " Adt για τον χρόνο Δt τείνει στο µη δέν, οπότε η προηγούµενη σχέση καταλήγει µε καλή προσέγγιση στην µορφή: V ( m 1 +m )+ MR" / = m v V ( m 1 +m )+ MV / = m v V = m v M/ + m 1 + m V = m gh M / + m 1 + m Παρατήρηση η: Tο φυσικό φαινόµενο που συνοδεύει το τέντωµα του νήµα τος είναι υπερστατικό, διότι κατά το τέντωµα προκύπτει εφελκυσµός του νήµατος, ο οποίος καθορίζεται ποσοτικά από τον νόµο του Hοοke, ο οποίος εισάγει το λεγόµενο µέτρο του Young. Aν λάβουµε υπ όψη µας τον εφελκυσ µό, τότε όλοι οι υπολογισµοί κατά το τέντωµα του νήµατος γίνονται πολύπλο κοι, διότι µεταβάλλεται το µήκος του νήµατος και πλέον η παραµόρφωσή του ενδέχεται να µην είναι ελαστική µε αποτέλεσµα να εµπλέκεται η ενέργεια παραµορφώσεως του νήµατος. Κατά την γνώµη µου πρέπει το τέντωµα του νήµατος να το έξεταζουµε χωρίς εφελκυσµό, χρησιµοποιώντας παραδοχές που ποικίλουν, ανάλογα µε την ελαστικότητα που παρουσιάζει το νήµα. Στην περί πτωσή µας το νήµα θεωρήθηκε µη εκτατό, δηλαδή µε µηδενική ελαστικότητα µε αποτέλεσµα να δεχθούµε ότι κατά το τέντωµά του η τάση σε κάθε σηµείο του αποκαθίσταται στην τελική της τιµή σε πολύ µικρό (απειροστό) χρόνο και ότι αποτελεί κρουστική δύναµη. P.M. fysikos