ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω (R, +, ) µια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου µε µονάδα, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η µεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος. Λύση. Εστω a, b R. Θα δείξουµε ότι : a + b b + a. Χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση του R, υπολογίζουµε µε δύο τρόπους το γινόµενο : (a + 1 R )(b + 1 R ): (a + 1 R )(b + 1 R ) a(b + 1 R ) + 1 R (b + 1 R ) ab + a1 R + 1 R b + 1 R 1 R ab + a + b + 1 R (a + 1 R )(b + 1 R ) (a + 1 R )b + (a + 1 R )1 R ab + 1 R b + a1 R + 1 R 1 R ab + b + a + 1 R Χρησιµοποιώντας τον νόµο της διαγραφής στην οµάδα (R, +), ϐλέπουµε άµεσα ότι ϑα έχουµε : a, b R : a + b b + a Σχόλιο 1. Αν στην Ασκηση 1 για την τριάδα (R, +, ) δεν απαιτήσουµε την ύπαρξη µονάδας, τότε το συµπέρασµα της Ασκησης δεν ισχύει. Πράγµατι, έστω (R, +) µια (προσθετική) µη-αβελιανή οµάδα µε παραπάνω από ένα στοιχεία, για παράδειγµα η συµµετρική οµάδα S 3 τάξης 6. Ορίζουµε πράξη πολλαπλασιασµού ως εξής : r s 0 R, r, s R. Τότε η τριάδα (R, +, ) ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου χωρίς µονάδα (αν υπάρχει µονάδα 1 R, τότε 1 R 1 R 1 R 0 R και εποµένως R {0 R το οποίο είναι άτοπο διότι R > 1), εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Η τελευταία ιδιότητα δεν είναι δυνατόν να ισχύει, διότι η οµάδα R δεν είναι αβελιανή. Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι κάθε αβελιανή οµάδα R µπορεί να ϑεωρηθεί ως δακτύλιος (χωρίς µονάδα αν R > 1) µε τετριµµένο πολλαπλασιασµό. Υπενθύµιση για υποδακτυλίους : υποδακτύλιος του R αν : (1) x, y S: x y S. (2) x, y S: xy S. Ενα µη-κενό υποσύνολο S R ενός δακτυλίου R, καλείται Ισοδύναµα το υποσύνολο S R είναι υποδακτύλιος του R αν και µόνον αν 0 S και ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες (1) και (2). Αν S είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε επειδή το S είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του R, οι πράξεις αυτές επάγουν πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού επί του S, και µε αυτές τις πράξεις το σύνολο S είναι ένας δακτύλιος. Επισηµαίνουµε κάποιες χρήσιµες πληροφορίες για υποδακτυλίους :

2 2 (1) Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S µε µοναδα διαφορετικη απο την µοναδα του R: Πράγµατι ο δακτύλιος R M 2 (Z) έχει µονάδα τον πίνακα 1 0 I και το υποσύνολο S { a 0 M (Z) a Z είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα 1 0 I (2) Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S χωρις µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος Z έχει µονάδα, και το υποσύνολο 2Z των αρτίων ακεραίων είναι υποδακτύλιος του Z ο οποίος δεν έχει µονάδα. (3) Ενας δακτυλιος χωρις µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S µε µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος { a b R M (Z) a, b Z δεν έχει µονάδα, και το υποσύνολο { a 0 S 0 0 είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα M 2 (Z) a Z Ασκηση 2. Ποια από τα επόµενα σύνολα µαζί µε τις αναφερόµενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; (1) (2) (3) (4) (5) (6) R { a + b 3 a, b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. R { a + bi a, b Q όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. R { a b 0 a a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. R {( a ) b b a a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. R { A M 2 (R) Det(A) 0 µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. { m R n Q n περιττός µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ϱητών αριθµών.

3 3 (7) Λύση. R { ri r R όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. (1) Το σύνολο R {a + b 3 a, b Z είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του R και εποµένως είναι δακτύλιος. (2) Το σύνολο R {a + bi a, b Q, είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του C και εποµένως είναι δακτύλιος. { a b (3) Το σύνολο R a, b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M 0 a 2 (R) των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και εποµένως είναι δακτύλιος. { a b (4) Το σύνολο R a, b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M b a 2 (R) των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και εποµένως είναι δακτύλιος. (5) Το σύνολο R {A M 2 (R) det A 0 µαζί µε τις συνήθεις ( πράξεις ) πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων δεν είναι δακτύλιος, διότι, π.χ., οι πίνακες και ανήκουν στο σύνολο R αλλά το άθροισµά τους είναι ο πίνακας ο οποίος δεν ανήκει στο υποσύνολο R. 0 1 (6) Το σύνολο R {m/n Q n περιττός είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος Q των ϱητών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του Q και εποµένως είναι δακτύλιος. (7) Το σύνολο R {ri r R, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών δεν είναι δακτύλιος διότι, π.χ., ο µιγαδικός αριθµός i ανήκει στο R αλλά ii i 2 1 / R (ο µόνος πραγµατικός αριθµός ο οποίος ανήκει στο R είναι το 0). Ασκηση 3. Να δειχθεί ότι το σύνολο πινάκων { u v H v u u, v C M 2 (C) εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαί- ϱεσης. Ο δακτύλιος H καλείται ο δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton. Λύση. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το υποσύνολο H του δακτυλίου M 2 (C) των 2 2 πινάκων µιγαδικών αριθµών είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο H είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου M 2 (C) και άρα είναι δακτύλιος. Επιπλέον ο δακτύλιος H έχει µονάδα τον µοναδιαίο πίνακα ο οποίος προφανώς ανήκει στο H. Μένει να δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο 0 1 z w 0 A H w z είναι αντιστρέψιµο. Επειδή ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ως στοιχείο του δακτυλίου M 2 (C) αν και µόνον αν η ορίζουσα Det(A) 0, για να δείξουµε ότι ο µη-µηδενικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου H, αρκεί να δείξουµε διαδοχικά ότι :

4 4 (1) Det(A) 0, οπότε υπάρχει ο πίνακας A 1 M 2 (C), και (2) Ο πίνακας A 1 ανήκει στο H. Υπολογίζοντας την ορίζουσα του πίνακα A ϐλέπουµε z w Det zz + ww z w z 2 + w 2 και άρα Det(A) 0 αν και µόνον αν z 2 + w 2 0 αν και µόνον αν z w 0 αν και µόνον αν A 0. Εποµένως, επειδή A 0, ϑα έχουµε ότι πράγµατι Det(A) 0. Εποµένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας A 1, ο οποίος όπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα είναι : A 1 1 z 2 + w 2 z w w z Ο πίνακας A 1 προφανώς ανήκει στον υποδακτύλιο H. Εποµένως δείξαµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του H είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ο δακτύλιος διαίρεσης H δεν είναι σώµα διότι δεν είναι µεταθετικός, πχ. οι πίνακες i 0 0 i και ανήκουν στο H αλλά 0 i i 0 i 0 0 i 0 i i ( 0 i i 0 ) i 0 0 i Σχόλιο 2. Στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton, { u v H u, v C M v u 2 (C) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, και τότε µπορούµε να ταυτίσουµε : a b c d H b a d c c d a b a, b, c, d R M 4 (R) d c b a a b όπου χρησιµοποιήσαµε την ταύτιση του µιγαδικού αριθµού a + bi µε τον 2 2 πίνακα και την ταύτιση b a c d του µιγαδικού αριθµού c + di µε τον 2 2 πίνακα. Επιπλέον ϑέτοντας d c I , I , J , K έπεται ότι : H { ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d R M 4 (R) Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο H, εκτός από δακτύλιος διαίρεσης, είναι και υπόχωρος του R-διανυσµατικού χώρου M 4 (R) και το σύνολο πινάκων {I 4, I, J, K είναι µια ϐάση του H υπεράνω του R.

5 5 Σχόλιο 3. Αν στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton στο παραπάνω σχόλιο όπου χρησιµοποιήσαµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, χρησιµοποιήσουµε το πεπερασµένο σώµα Z p, p: πρώτος, αντί του σώµατος των πραγµατικών αριθµών R, αποκτούµε έναν µη-µεταθετικό δακτύλιο µε µονάδα H(Z p ) {ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d Z p M 4 (Z p ) ο οποίος έχει p 4 στοιχεία, και τα µόνα του ιδεώδη (έννοια την οποία ϑα συναντήσουµε στα επόµενα Κεφάλαια) είναι τα τετριµµένα : {0 και H(Z p ). Οµως σε αντίθεση µε τον δακτύλιο H των τετρανίων του Hamilton, ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης. Αν ο δακτύλιος H(Z p ) ήταν δακτύλιος διαίρεσης, τότε επειδή το σύνολο H(Z p ) είναι πεπερασµένο, σύµφωνα µε ένα (δύσκολο) Θεώρηµα το οποίο οφείλεται στον Wedderburn (κάθε πεπερασµένος δακτύλιος διαίρεσης είναι µεταθετικός, και άρα σώµα), ο δακτύλιος H(Z p ) ϑα ήταν µεταθετικός το οποίο είναι άτοπο. Μπορείτε να αποδείξετε, χωρίς τη χρήση του ϑεωρήµατος του Wedderburn, ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης ; Σύµφωνα µε την Ασκηση 17, αρκεί να δειχθεί ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Ασκηση 4. Εστω (R, +, ) ένας δακτύλιος. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Z(R) { r R r x x r, x R είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Λύση. Επειδή x0 R 0 R x0 R, x R, έπεται ότι 0 R Z(R) και ιδιαίτερα Z(R). Εστω r 1, r 2 Z(R), και x R. Τότε ϑα έχουµε : (1) (2) (r 1 r 2 )x r 1 x r 2 x xr 1 xr 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) (r 1 r 2 )x r 1 (r 2 x) r 1 (xr 2 ) (r 1 x)r 2 (xr 1 )r 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) Εποµένως το υποσύνολο Z(R) είναι ένας υποδακτύλιος του R. Σηµειωνουµε οτι: αν ο δακτύλιος R έχει µονάδα, τότε επειδή 1 R x x x1 R, x R, ϑα έχουµε ότι 1 R Z(R). Ετσι αν ο δακτύλιος R έχει µονάδα, τότε και ο υποδακτύλιος Z(R) έχει µονάδα, την µονάδα του δακτυλίου R: 1 Z(R) 1 R. Ασκηση 5. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton, και να δείξετε ότι : Z(H) Z(M 2 (R)) Λύση. (1) Εστω z w A Z(H) w z 1 1 Επειδή H, ϑα έχουµε : 1 1 z w z w z + w z + w z + w w z w z w z w + z w + z z w w + z Η παραπάνω ισότητα πινάκων δίνει άµεσα ότι : w w και z z z a R και w b R

6 6 Εποµένως : z w a b A M w z b a 2 (R) i 0 Από την άλλη πλευρά, επειδή H, ϑα έχουµε : 0 i a b i 0 i 0 a b ai bi ia bi b a 0 i 0 i b a bi ai bi ai bi bi b 0 και εποµένως z w a 0 A, a R w z 0 a z w a 0 Άρα αν ο πίνακας A ανήκει στο κέντρο Z(H), τότε A, για κάποιο a R. w z 0 a a 0 Αντίστροφα αν A H, a R, τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι A Z(H). 0 a Άρα : { { a Z(H) a R a a R 0 a 0 1 a b (2) Από την άλλη πλευρά αν A Z(M c d 2 (R)), ϑα έχουµε : 1 0 a b a b 1 0 a b a c d c d c 0 b c 0 a 0 και άρα A. Επίσης ϑα έχουµε : 0 d 0 1 a 0 a d 0 a d 0 d a d a και εποµένως A a ai 0 a Αντίστροφα είναι προφανές ότι κάθε πίνακας της µορφής ai 2 µετατίθεται µε κάθε 2 2 πίνακα, και εποµένως : Z(M 2 (R)) { ai 2 M 2 (R)) a R Z(H) Ασκηση 6. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του µηδενός των επόµενων δακτυλίων : (1) Z 4, (2) Z 8, (3) Z 11, (4) Z 4 Z 4 Λύση. (1) Υπενθυµίζουµε ότι ένα στοιχείο [k] n Z n είναι διαιρέτης του µηδενός αν και µόνον αν (k, n) > 1. (Το µηδενικό στοιχείο ενός δακτυλίου δεν ϑεωρείται διαρέτης του µηδενός). Ετσι για τους δακτυλίους Z 4, Z 8, και Z 11, ϑα έχουµε : (αʹ) 1 k 3 και (k, 4) > 1 k 2. Άρα ο µόνος διαιρέτης του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 είναι το στοιχείο [2] 4. (ϐʹ) 1 k 8 και (k, 8) > 1 k 2, 4, 6. Άρα οι διαιρέτες το µηδενός στον δακτύλιο Z 8 είναι τα στοιχεία [2] 8, [4] 8, [6] 8. (γʹ) 1 k 11 και (k, 11) > 1. Προφανώς κανένα στοιχείο του δακτυλίου Z 11 δεν είναι διαιρέτης του µηδενός.

7 7 (2) Για τον δακτύλιο Z 4 Z 4, προφανώς τα στοιχεία : ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), είναι διαιρέτες του µηδενός, διότι : [r] 4 Z 4 : ([r] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [r] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Επίσης το στοιχείο ([2] 4, [2] 4 ) είναι διαιρέτης του µηδενός διότι : ([2] 4, [2] 4 ) ([2] 4, [2] 4 ) ([4] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Τα παραπάνω στοιχεία µαζί µε το µηδενικό στοιχείο ([0] 4, [0] 4 ) του δακτυλίου Z 4 Z 4 (το οποίο δεν ϑεωρείται διαιρέτης του µηδενός), δίνουν 8 στοιχεία. Ο δακτύλιος Z 4 Z 4 έχει πλήθος στοιχείων ίσο µε Ετσι µένουν άλλα 8 στοιχεία. Εξ αυτών, τα στοιχεία ([1] 4, [1] 4 ), ([1] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [1] 4 ), ([3] 4, [3] 4 ) είναι προφανώς όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z 4 Z 4, και τα οποία δεν είναι διαιρέτες του µηδενός. Ετσι µένουν προς εξέταση τα στοιχεία ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ). Αυτά τα σοιχεία είναι διαιρέτες του µηδενός διότι : ([1] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [1] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [3] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([3] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Συνοψίζουµε : οι διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 Z 4 είναι : ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), ([2] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ) Σχόλιο 4. Στην Ασκηση 6 είδαµε ότι ο δακτύλιος Z 4 Z 4 είναι ξένη ένωση : Z 4 Z 4 { 0 Z4 Z 4 { αντιστρέψιµα στοιχεία { διαιρέτες του µηδενός Μπορείτε να ϐρείτε τους διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο ευθύ γινόµενο Z n Z m ; Ισχύει η παραπάνω ισότητα σ αυτή την περίπτωση ; Ασκηση 7. Ενας δακτύλιος µε µονάδα R καλείται δακτύλιος του Boole, αν : r R : r 2 r Να δειχθεί ότι κάθε δακτύλιος του Boole R είναι µεταθετικός και char(r) 2, αν R {0. Λύση. Εστω r R. Θα δείξουµε πρώτα ότι, r R: r + r 0 R ή ισοδύναµα : r r. (r + r) 2 r + r (r + r)(r + r) r + r r 2 + r 2 + r 2 + r 2 r + r r + r + r + r r + r Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R, +), ϑα έχουµε : r R : r + r 0 R ή ισοδύναµα r r ( ) Εστω τώρα r, s R. Θα έχουµε : (r + s) 2 r + s (r + s)(r + s) r + s r 2 + rs + sr + s 2 r + s r + rs + sr + s r + s Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R, +), ϑα έχουµε : r, s R : rs + sr 0 R ή ισοδύναµα rs sr ( ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : r, s R : rs sr δηλαδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός

8 8 Τέλος επειδή 2r r + r 0 R, έπεται ότι ο R έχει πεπερασµένη µη-µηδενική χαρακτηριστική και µάλιστα char(r) 2, διότι αν char(r) 1, τότε 1 R 0 R και εποµένως R {0 το οποίο είναι άτοπο. Σχόλιο : Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω απόδειξη δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά ότι ο δακτύλιος R έχει µονάδα. Ετσι η συνεπαγωγή r R : r 2 r r, s R : rs sr ισχύει και για δακτυλίους οι οποίοι δεν έχουν απαραίτητα µονάδα. Αυτό το συµπέρασµα ϑα µας ϕανεί χρήσιµο στην Άσκηση 8. Ασκηση 8. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα R για το οποίο ισχύει ότι : Να δειχθεί ότι ο R είναι µεταθετικός 1. Λύση. Για κάθε x R έχουµε x 3 x. Συνεπώς : r R : r 3 r (x + x) 3 (x + x) x 3 + 3x 2 x + 3xx 2 + x 3 x + x x 3 + 3x 3 + 3x 3 + x 3 x + x 8x 3 2x 8x 2x Με χρήση του Νόµου διαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R, +) ϑα έχουµε : x R : 6x 0 R (a) Χρησιµοποιώντας την ευκόλως αποδεικνυόµενη ταυτότητα σε τυχόντα δακτύλιο R: ϑα έχουµε : a, b R : (a b) 3 a 3 a 2 b aba + ab 2 ba 2 + bab + b 2 a b 3 (x 2 x) 3 x 6 x 5 x 5 + x 4 x 5 + x 4 x 3 x 6 3x 5 + 3x 4 x 3 (x 2 ) 3 3x 3 x 2 + 2x 3 x x 3 x 2 3xx 2 + 3xx x x 2 3x 3 + 2x 2 x x 2 3x + 3x 2 x 4x 2 4x Οµως από την υπόθεση έχουµε : (x 2 x) 3 x 2 x 4x 2 4x x 2 x και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R, +) ϑα έχουµε : Θεωρούµε το σύνολο Τότε x, y R, ϑα έχουµε : και x R : 3x 2 3x (b) S { 3x x R 3x + 3y 3(x + y) S (c 1 ) (3x)(3y) (x + x + x)(y + y + y) xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy 9xy 6xy + 3xy Επειδή από τη σχέση (α) έχουµε 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι : (3x)(3y) 3xy S (c 2 ) 1 Ενα σηµαντικό Θεώρηµα του Jacobson πιστοποιεί ότι αν R είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι : x R, n x N : x nx x τότε ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. - Nathan Jacobson ( ): σπουδαίος Αµερικανός Μαθηµατικός, Πολωνικής καταγωγής, µε ϑεµελιώδη συµβολή στην Άλγεβρα και ιδιαίτερα στην Θεωρία ακτυλίων.

9 9 Οι σχέσεις (c 1 ) και (c 2 ) δίνουν ότι το υποσύνολο S είναι ένας υποδακτύλιος του R. Επιπρόσθετα, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (a), (b), και (c 2 ), για κάθε z 3x S ϑα έχουµε z 2 (3x)(3x) 9x 2 3x 2 3x Εποµένως σύµφωνα µε το πρώτο µέρος της Άσκησης, ο υποδακτύλιος S, ο οποίος δεν έχει απαραίτητα µονάδα, είναι µεταθετικός. Συνεπώς ϑα έχουµε : z x, y R : (3x)(3y) (3y)(3x) 9xy 9yx 6xy + 3xy 6yx + 3yx Επειδή από τη σχέση (a) ισχύει : 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι 3xy 3yx (d) Εργαζόµενοι όπως παραπάνω, αναπτύσσοντας τη σχέση (x + y) 3 x + y, µετά από αναγωγές οµοίων όρων, ϑα έχουµε ότι xy 2 + x 2 y + xyx + yx 2 + yxy + y 2 x 0 (e) και παρόµοια από την σχέση (x y) 3 x y ϑα έχουµε ότι xy 2 x 2 y xyx yx 2 + yxy + y 2 x 0 (f) Προσθέτοντας τις σχέσεις (e) και (f), παίρνουµε την εξής σχέση : 2xy 2 + 2yxy + 2y 2 x 0 (g) Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (g) πρώτα από αριστερά µε y και µετά από δεξιά µε y, και χρησιµοποιώντας ότι y 3 y, ϑα έχουµε τις σχέσεις 2xy + 2yxy 2 + 2y 2 xy 0 (h 1 ) Αφαιρώντας από την σχέση (h 1 ) την (h 2 ), ϑα έχουµε : 2yxy 2 + 2y 2 xy + 2yx 0. (h 2 ) 2xy 2yx (i) Τέλος αφαιρώντας την τελευταία σχέση από την (d), ϑα έχουµε, x, y R: xy yx Εποµένως ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Ασκηση 9. Να δειχθεί ότι οι επόµενοι δακτύλιοι αποτελούν ακέραιες περιοχές: (1) (2) Z[i] { a + bi a, b Z όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Q(i) { a + bi a, b Q όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. (3) Z( 5) { a + b 5 a, b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών.

10 10 (4) Q( 2, 3) { a + b 2 + c 3 + d 2 3 a, b, c, d Q µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε την εξής απλή παρατήρηση : «αν R είναι µια ακέραια περιοχή και S R είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε ο δακτύλιος S είναι ακέραια περιοχή». (1) Το σύνολο Z[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z[i] είναι ακέραια περιοχή. (2) Το σύνολο Q[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q[i] είναι ακέραια περιοχή. (3) Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο Z( 5) είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z( 5) είναι ακέραια περιοχή. (4) Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα, το σύνολο Q( 2, 3) περιέχει το 0, και είναι κλειστό στην πράξη της αφαίρεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο Q( 2, 3) είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών. Άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q( 2, 3) είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 10. Εστω (R, +, ) ένας δακτύλιος µε τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει µοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba a. Να δειχθεί ότι : (1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του µηδενός. (2) bab b. (3) ο R διαθέτει µοναδιαίο στοιχείο. (4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. (1) Εστω a, c R έτσι ώστε ac 0 R. Θα δείξουµε ότι : a 0 R ή c 0 R. Υποθέτουµε ότι a 0 R. Εστω b R το µοναδικό στοιχείο του δακτυλίου R έτσι ώστε aba a. Τότε ϑα έχουµε : a(b + c)a aba + aca aba + 0 R a(b + c)a aba a(b + c)a a Λόγω µοναδικότητας του στοιχείου b έτσι ώστε aba a, ϑα έχουµε b b + c και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής, έπεται ότι c 0 R. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν c 0 R, τότε a 0 R. Άρα ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. (2) Επειδή, από το (1), ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός, από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι ϑα ισχύουν οι Νόµοι της ιαγραφής στον R. Εποµένως για κάθε a R, a 0 R, ϑα έχουµε : aba a baba ba bab b (3) Θα δείξουµε ότι ο R έχει µοναδιαίο στοιχείο και µάλιστα αυτό είναι το στοιχείο ab, όπου 0 R a R και b R το µοναδικό στοιχείο έτσι ώστε : aba a. Εστω c R. Επειδή aba a, έπεται ότι ca caba και άρα c c(ab) Επειδή από το (2) έχουµε b bab, έπεται ότι bc babc και άρα Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουµε ότι c (ab)c (ab)c c c(ab), c R και άρα το ab R είναι το µοναδιαίο στοιχείο του R, το οποίο από τώρα ϑα συµβολίζουµε µε 1 R. ( ) ( )

11 11 (4) Εστω a 0. Τότε, επειδή aba a και λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος (3) έπεται ότι ab 1 R, δηλαδή το στοιχείο b είναι ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a. Σηµειώνουµε ότι a, b 0 R, διότι διαφορετικά ϑα έχουµε 1 R 0 R και τότε ο R έχει µόνο ένα στοιχείο : R {0 R το οποίο είναι άτοπο, διότι R > 1. Επίσης χρησιµοποιώντας τον Νόµο ιαγραφής (διότι a, b 0 R ), έχουµε : ab 1 R ab abab 1 R b b bab 1 R ba και άρα δείξαµε ότι ab 1 R ba, δηλαδή το στοιχείο a 0 R είναι αντιστρέψιµο και a 1 b είναι το αντίστροφό του. Συνεπώς κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 11. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιµα στοιχεία των επόµενων δακτυλίων: (1) Z 10, (2) Z 2 Z 4, (3) Z[i], όπου i 2 1, (4) Z Z, (5) H. Λύση. Συµβολίζουµε µε U(R) την οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων ενός δακτυλίου µε µοναδα R. (1) Ως γνωστόν ένα στοιχείο [k] n Z n είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν (k, n) 1. Άρα για n 10 ϑα έχουµε : U(Z 10 ) { [1] 10, [3] 10, [7] 10, [9] 10 (2) Εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ) Γενικά ισχύει ότι αν R 1 R 2 είναι το ευθύ γινόµενο δύο δακτυλίων µε µονάδα, τότε εύκολα προκύπτει ότι : U(R 1 R 2 ) U(R 1 ) U(R 2 ) Επειδή U(Z 2 ) {[1] 2 και U(Z 4 ) {[1] 4, [3] 4, έπεται πάλι ότι U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ). (3) Εστω a + bi U(Z[i]). Τότε υπάρχει στοιχείο c + di Z[i] έτσι ώστε : (a + bi)(c + di) 1 Επειδή κάθε στοιχείο a + bi του δακτυλίου Z[i] είναι ιδιαίτερα ένας µιγαδικός αριθµός, µπορούµε να ϑεωρήσουµε το µέτρο του a + bi (a + bi)(a bi) a 2 + b 2. Ως γνωστόν ισχύει : (a + bi) (c + di) a + bi c + di Εποµένως (a + bi)(c + di) 1 (a + bi) (c + di) a + bi c + di 1 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1 Επειδή αναζητούµε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1, προφανώς ϑα έχουµε ότι το στοιχείο a + bi είναι της µορφής 1 + 0i 1, 1 + 0i 1, 0 + 1i i, 0 1i i Αντίστροφα τα στοιχεία ±1, ±i είναι προφανώς αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z[i]. Συνοψίζουµε : U(Z[i]) {1, 1, i, i (4) Θα έχουµε : (n, m) U(Z Z) (k, l) Z Z : (n, m)(k, l) (1, 1) (k, l) Z Z : (nk, ml) (1, 1) Εποµένως : n ±1 και m ±1 U(Z Z) { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) ιαφορετικά : U(Z Z) U(Z) U(Z) {1, 1 {1, 1 { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1).

12 12 (5) Τέλος ϑα έχουµε U(H) H διότι ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης, και άρα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του είναι τα µη- µηδενικά στοιχεία του. Ασκηση 12. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα; (1) Z[i], (2) Q Q, (3) Z 13. Λύση. (1) Ο δακτύλιος Z[i] είναι µια ακέραια περιοχή η οποία δεν είναι σώµα διότι διαφορετικά κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του ϑα ήταν αντιστρέψιµο. Σύµφωνα µε την προηγούµενη Άσκηση 11, τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[i] είναι τα ±1, ±i. Άρα ο δακτύλιος Z[i] δεν είναι σώµα. (2) Ο δακτύλιος Q Q δεν είναι ακέραια περιοχή διότι έχει διαιρέτες του µηδενός, π.χ. τα µη-µηδενικά στοιχεία (1, 0) και (0, 1) τα οποία ικανοποιούν τη σχέση (1, 0)(0, 1) (0, 0). Εποµένως ο δακτύλιος Q Q δεν είναι σώµα. (3) Επειδή ο δακτύλιος Z n είναι σώµα (αν και µόνον αν ο δακτύλιος Z n είναι ακέραια περιοχή) αν και µόνον αν ο ϕυσικός αριθµός n είναι πρώτος, έπεται ότι ο δακτύλιος Z 13 είναι σώµα. Ασκηση 13. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόµενων δακτυλίων; (1) Z 10 Z 8, (2) C, (3) Z Z, (4) H, (5) Z 2 Z Z 3. Λύση. (1) Εστω ότι υπάρχει k 1 έτσι ώστε k1 Z10 Z 8 0 Z10 Z 8. Τότε : ([0] 10, [0] 8 ) 0 Z10 Z 8 k1 Z10 Z 8 k([1] 10, [1] 8 ) (k[1] 10, k[1] 8 ) ([k] 10, [k] 8 ) και εποµένως : [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8 10 k και 8 k 40 [10, 8] k k 40 t, t 1 Αντίστροφα αν k 40 t 10(4 t) 8(5 t), t 1, τότε προφανώς [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8, και τότε ϑα έχουµε k([1] 10, [1] 8 ) ([0] 10, [0] 8 ). Επειδή ο αριθµός k 40 είναι ο µικρότερος ϕυσικός µε αυτή την ιδιότητα, ϑα έχουµε : char(z 10 Z 8 ) 40 (2) Προφανώς char(c) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε nz 0, z C. (3) Προφανώς char(z Z) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε n(k, m) (0, 0), (k, m) Z Z. (4) Προφανώς char(h) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε na 0 H, A H. (5) Προφανώς char(z 2 Z Z 3 ) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε n([k] 2, l, [m] 3 ) ([0] 2, 0, [0] 3 ), ([k] 2, l, [m] 3 ) Z 2 Z Z 3. Ασκηση 14. Να δειχθεί ότι σε ένα σώµα F χαρακτηριστικής p > 0 ισχύει a, b F : (a + b) p a p + b p.

13 13 Λύση. Επειδή ένα σώµα είναι µεταθετικός δακτύλιος, ϑα έχουµε ότι ab ba, a, b R. Τότε όµως ισχύει ο διωνυµικός τύπος του Νεύτωνα : p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k k Από την Θεωρία Αριθµών γνωρίζουµε ότι 2 : p ( ( p k). Αυτό σηµαίνει ότι p k) p r για κάποιον ϑετικό ακέραιο r. Τότε χρησιµοποιώντας ότι η χαρακτηριστική του R είναι ίση µε p, ϑα έχουµε : p k 1, 2,, p 1 : a p k b k p r a p k b k k Επειδή σε έναν δακτύλιο R χαρακτηριστικής p ισχύει p r 0, r R, ϑα έχουµε : και εποµένως : k1 k 1, 2,, p 1 : p r a p k b k 0 p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k a p + b p k Ασκηση 15. Εστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα µε µονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο Z R { (n, r) n Z & r R εφοδιασµένο µε τις πράξεις : k1 (n, r) + (m, s) (n + m, r + s) και (n, r) (m, s) (nm, ns + rm + rs) είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα. Λύση. Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί ότι το σύνολο Z R εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις ικανοποιεί τα αξιώµατα δακτυλίου. Σηµειώνουµε ότι rm συµβολίζει το στοιχείο mr, δηλαδή rm mr r + +r (m παράγοντες αν m 1), r0 0r 0 R (αν m 0), και rm mr ( r) + + ( r) ( m παράγοντες αν m < 0). Επιπρόσθετα το στοιχείο (1, 0 R ) είναι η µονάδα του δακτυλίου Z R διότι : (n, r) Z R : (n, r)(1, 0 R ) (n1, n0 R + r1 + r0 R ) (n, r) (1, 0 R )(n, r) Ασκηση 16. Θεωρούµε τον δακτύλιο πινάκων M 2 (Z 2 ). (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (3) Να ϐρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). Λύση. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος διάστασης n υπεράνω ενός πεπερασµένου σώµατος Z p, p: πρώτος, τότε V p n. Επειδή ο δακτύλιος M 2 (Z 2 ) είναι διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος Z 2 διάσταση 2 2 4, µε ϐάση τους πίνακες [1]2 [0] E 11 2 [0]2 [1], E [0] 2 [0] 12 2 [0]2 [0], E 2 [0] 2 [0] 21 2 [0]2 [0], E 2 [1] 2 [0] [0] 2 [1] 2 2 Υπενθυµίζουµε την απόδειξη : Θα έχουµε p p! p! k k!(p k)! ) p k k!(p k)! & p p! p ( ( ) p k!(p k)! k Επειδή p είναι πρώτος, έπεται προφανώς ότι p k! και p (p k)!. Πράγµατι, διαφορετικά ϑα είχαµε p l για κάποιο 1 l k ή p t για κάποιο t p k αντίστοιχα, δηλαδή p l k ή p t p k. Και οι δύο περιπτώσεις µας οδηγούν σε άτοπο διότι 1 k p 1. Εποµένως ϑα έχουµε p ( p k).

14 14 έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι Τα αντιστρέψιµα στοιχεία του M 2 (Z 2 ) είναι όλοι οι αντιστρέψιµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα Z 2, δηλαδή όλοι οι πίνακες A M 2 (Z 2 ) έτσι ώστε det(a) [0] 2. Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι αντιστρέψιµοι πίνακες είναι οι εξής : [1]2 [0] 2, [0] 2 [1] 2 [1]2 [1] 2, [0] 2 [1] 2 [1]2 [0] 2, [1] 2 [1] 2 [0]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 [1]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 [0]2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 Παρατηρώντας ότι 2 [0]2 [1] 2 [1]2 [0 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 και 3 [1]2 [1] 2 [1]2 [0] 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 εύκολα ϐλέπουµε ότι η οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι ισόµορφη µε την συµµετρικη οµάδα S 3 : U ( M 2 (Z 2 ) ) S3 ( Μπορείτε να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό f : U ( M2 (Z 2 ) ) S 3 ; ) Τέλος αν A a11 a 12 a 21 a 22 M 2 (Z 2 ) τότε επειδή 2a ij 0 Z2, έπεται άµεσα ότι 2A 0 M2 (Z 2 ) και εποµένως : char(m 2 (Z 2 )) 2 Σχόλιο 5. Γενικότερα το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ), p: πρώτος, είναι p 4 και η τάξη της οµάδας των αντιστρεψίµων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ) είναι : o ( U ( M 2 (Z 2 ) )) (p 2 1)(p 2 p) Μπορείτε να ϐρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου πινάκων M n (Z p ) υπεράνω του σώµατος Z p και (κυρίως) της οµάδας των αντιστρεψίµων στοιχέιων του U ( M n (Z p ) ) ; Ασκηση 17. Εστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και µόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Λύση. Εστω ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Εστω r, s R έτσι ώστε rs 0. Αν r 0, τότε, επειδή ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης, υπάρχει το αντίστροφο r 1 R. Εποµένως r 1 (rs) 0 (r 1 r)s 0 1 R s 0 s 0 Παρόµοια αν s 0, τότε δείχνουµε ότι r 0. Εποµένως ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Εστω r 0 R και r 0 0. Ορίζουµε απεικόνιση f : R R, f(r) rr 0 Χρησιµοποιώντας ότι r 0 0 R και ότι ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδέν, ϑα έχουµε : f(r) f(s) rr 0 sr 0 (r s)r 0 0 R r s και άρα η απεικόνιση f είναι 1-1. Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασµένο έπεται ότι η f είναι επί 3. Τότε όµως 1 R f(r) και άρα υπάρχει ακριβώς ένα x R έτσι ώστε : f(x) 1 R, δηλαδή xr 0 1 R 3 Χρησιµοποιούµε ότι : αν ένα σύνολο X είναι πεπερασµένο τότε κάθε 1-1 απεικόνιση f : X X είναι επί. Ισοδύναµα, αν σε ένα σύνολο X υπάρχει 1-1 απεικόνιση f : X X η οποία δεν είναι επί, τότε το σύνολο X είναι άπειρο.

15 15 Επιπλέον χρησιµοποιώντας ότι η f είναι 1-1, ϑα έχουµε : f(r 0 x) (r 0 x)r 0 r 0 (xr 0 ) r 0 1 R r 0 1 R r 0 f(1 R ) r 0 x 1 R Εποµένως το r 0 είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 18. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. Αν ένα στοιχείο a R έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a R έτσι ώστε aa 1 R ) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιά αντίστροφα στοιχεία 4. Λύση. Σταθεροποιούµε ένα στοιχείο a R, και υποθέτουµε ότι το a έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία. Συµβολίζουµε µε X(a) το σύνολο των δεξιά αντίστροφων στοιχείων του a: X(a) { a R aa 1 R Τότε X(a) 2. Θα δείξουµε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει 1-1 απεικόνιση από το X(a) στο X(a) η οποία δεν είναι επί (ϐλέπε την υποσηµείωση 3). Σταθεροποιούµε ένα στοιχείο a 0 X(a), δηλαδή aa 0 1 R, και ορίζουµε απεικόνιση f : X(a) X(a), f(a ) a a 1 R + a 0 Η απεικόνιση f είναι καλά ορισµένη, δηλαδή f(a ) X(a), a X(a). Πράγµατι : af(a ) a(a a 1 R + a 0 ) a(a a) a1 R + aa 0 (aa )a a + aa 0 1 R a a + 1 R a a + 1 R 1 R Η απεικόνιση f είναι 1-1 διότι : f(a ) f(a ) a a 1 R + a 0 a a 1 R + a 0 a a a a (a a)a (a a)a a (aa ) a (aa ) a 1 R a 1 R a a Η απεικόνιση f δεν είναι επί. Πράγµατικά το στοιχείο a 0 / X(a), διότι διαφορτετικά : a X(a) : f(a ) a 0 a a 1 R + a 0 a 0 a a 1 R 0 R a a 1 R Τότε όµως ϑα έχουµε a a 1 R aa και εποµένως το στοιχείο a είναι αντιστρέψιµο και a a 1. Τότε όµως για κάθε δύο δεξιά αντίστροφα a 1, a 2 X(a) του a, ϑα έχουµε : aa 1 1 R aa 2 a 1 (aa 1 ) a 1 (aa 2 ) (a 1 a)a 1 (a 1 a)a 2 1 R a 1 1 R a 2 a 1 a 2 Εποµένως υπάρχει ακριβώς ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a, δηλαδή X(a) 1. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουµε X(a) 2. Συµπεραίνουµε ότι η απεικόνιση f δεν είναι επί. Εποµένως επειδή κατασκευάσαµε µια 1-1 απεικόνιση επί του συνόλου X(a) η οποία δεν είναι επί, συνάγουµε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. Ασκηση 19. Εστω R µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι : nr 0 R, για κάποιο r R, r 0 και κάποιο n Z +, n 0. Να δείξετε ότι : char(r) p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n. Λύση. Χρησιµοποιώντας την υπόθεση, ϑα έχουµε nr 0 R n(1 R r) 0 R 1 R r + 1 R r 0 R (n παράγοντες) (1 R R )r 0 R (n παράγοντες) (n1 R )r 0 R Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και r 0 R, ϑα έχουµε n1 R 0 R. Αυτό σηµαίνει ότι char(r) <. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, γνωρίζουµε ότι char(r) p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός. Θα δείξουµε ότι p n. Θεωρούµε την προσθετική αβελιανή οµάδα (R, +). Επειδή nr 0 R, έπεται 4 Το αποτέλεσµα αυτό οφείλεται στον Irving Kaplansky ( ): Καναδός Μαθηµατικός ο οποίος έζησε και εργάσθηκε στις ΗΠΑ, µε σηµαντική συµβολή σε πολλούς ερευνητικούς κλάδους και ιδιαίτερα στην Άλγεβρα.

16 16 ότι κάθε στοιχείο r R έχει πεπερασµένη τάξη και µάλιστα o(r) n. Επειδή char(r) p, έπεται ότι o(r) p, r R, και άρα o(r) 1 ή o(r) p, r R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι ο R έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, και άρα υπάρχει r 0 R έτσι ώστε o(r) p, και εποµένως p n. Ασκηση 20. Εστω R ένας δακτύλιος µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουµε ότι η εξίσωση ax b έχει λύση για κάθε 0 a R και για κάθε b R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. Θα δείξουµε το Ϲητούµενο σε τρία ϐήµατα : (1) Ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Εστω a, b R έτσι ώστε : ab 0 R. Υποθέτουµε ότι a, b 0 R, και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε abx 0 R, x R. Επειδή b 0 R, η εξίσωση bx c έχει λύση για κάθε c R. Εποµένως ϑα έχουµε : ac 0 R, c R ( ) Οµως a 0 R, και άρα η εξίσωση ax a έχει λύση, την οποία συµβολίζουµε µε e: ae a. Θέτοντας c e στη σχέση ( ), ϑα έχουµε a ae 0 R και εποµένως a 0 R το οποίο είναι άτοπο. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι a, b 0 R. Εποµένως είτε a 0 R ή b 0 R και άρα ο δακτύλιος R δεν έχει διαρέτες του µηδενός. (2) Ο δακτύλιος R έχει µονάδα. Επειδή ο δακτύλιος R έχει παραπάνω από ένα στοιχεία, έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο a R, a 0 R. Τότε όπως παραπάνω, έστω e R η λύση της εξίσωσης ax a. Θα έχουµε ae a aee ae a ae 2 ae a(e 2 e) 0 R Επειδή από το (1) ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και a 0 R, ϑα έχουµε e 2 e. Προφανώς e 0 R, διότι διαφορετικά ϑα έχουµε a ae a0 R 0 R το οποίο είναι άτοπο διότι a 0 R. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο e R είναι η µονάδα του δακτυλίου R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραι περιοχή και e 2 e 0, ϑα έχουµε x R : (xe x)e xe 2 xe xe xe 0 R xe x 0 R xe x x R : e(ex x) e 2 x ex ex ex 0 R ex x 0 R ex x Εποµένως : x R : xe x ex το στοιχείο e R είναι η µονάδα του δακτυλίου την οποία από τώρα συµβολίζουµε µε e 1 R. (3) Ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. ηλαδή ϑα δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a R είναι αντιστρέψιµο. Επειδή a 0 R, η εξίσωση ax 1 R έχει λύση a R: aa 1 R. Επιπρόσθετα ϑα έχουµε a(a a 1 R ) a(a a) a1 R (aa )a a 1 R a a a a 0 R. Επειδή a 0 R και ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι a a 1 R 0 R και άρα a a 1 R. Ετσι aa 1 R a a και το στοιχείο a είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης.

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 11 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα